一元线性回归方程教学内容
第三章 一元线性回归模型
第三章 一元线性回归模型一、预备知识（一）相关概念对于一个双变量总体,若由基础理论，变量和变量之间存在因果),(i i x y x y 关系，或的变异可用来解释的变异。
为检验两变量间因果关系是否存在、x y 度量自变量对因变量影响的强弱与显著性以及利用解释变量去预测因变量x y x ，引入一元回归分析这一工具。
y 将给定条件下的均值i x i yi i i x x y E 10)|(ββ+=（3.1）定义为总体回归函数（PopulationRegressionFunction,PRF ）。
定义为误差项（errorterm ）,记为，即，这样)|(i i i x y E y -i μ)|(i i i i x y E y -=μ，或i i i i x y E y μ+=)|(i i i x y μββ++=10（3.2）（3.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。
其中，称为解释变量x （explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；称为被解释y 变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项解释μ了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。
误差项的构成包括以下四个部分：（1）未纳入模型变量的影响（2）数据的测量误差（3）基础理论方程具有与回归方程不同的函数形式，比如自变量与因变量之间可能是非线性关系（4）纯随机和不可预料的事件。
在总体回归模型（3.2）中参数是未知的，是不可观察的，统计计10,ββi μ量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。
给定一组随机样本，对（3.1）式进行估计，若的估计量分别记n i y x i i ,,2,1),,( =10,),|(ββi i x y E 为，则定义3.3式为样本回归函数^1^0^,,ββi y （）i i x y ^1^0^ββ+=n i ,,2,1 =（3.3）注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说是随机变量，^1^0,ββ它们的随机性是由于的随机性（同一个可能对应不同的）与的变异共i y i x i y x 同引起的。
《一元线性回归方程》教学设计
《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》教学设计一、 教学内容解析1. “一元线性回归模型参数的最小二乘估计”是人民教育出版社A 版《普通高中教科书选择性必修第三册》第8章“成对数据的统计分析”第2节的内容，是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例。
本节内容渗透了数学建模与转化化归的数学思想方法，在具体方法上有观察法、主元、消元等。
本节课的教学重点是一元线性回归模型参数的最小二乘估计和利用残差分析进行数据曲线拟合程度分析。
2 . 本节内容是在学习了“一元线性回归模型”的基础上，继续对一元线性回归模型参数进行估计，并对模型的刻画效果进行检验，是后续非线性回归模型学习的基础。
因此本节内容可以看作一元线性回归模型的下位学习，非线性回归模型的上位学习。
3.本节教学过程呈现了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的特点。
在学习过程中让学生体会最小二乘的思想，积累数据分析的经验。
围绕“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，完整呈现了从直观寻找与散点整体接近的直线，到用竖直距离i i y bx a --刻画散点与直线的“距离”，再到用()21n i i i Q y bx a ==--∑定量刻画整体接近的程度，最后得到参数估计的数学化过程。
对建立的模型进行应用是利用数学建模解决实际问题的一个重要环节，教学中通过“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，利用经验回归方程进行预测，并对结果进行合理解释，进而进一步介绍残差分析的方法，据此对模型进行评价和改进。
二、教学目标设置统计学习不应只是记住一些概念、公式或方法实施的操作步骤，更重要的是了解概念和方法产生的必要性，以及方法的合理性，了解统计研究问题的思路和特点，进而学会用统计的眼光看问题，培养数据分析素养。
依据“课程目标——单元目标——课堂教学目标”设置本节课的教学目标如下：1.通过小组合作探究问题：“从直观感知与散点在整体上最接近的直线”，学生了解解决这一问题的各种思路，并能判断可行性。
一元线性回归方程教案
8.5一元线性回归案例湘教版选修2-3第8.5节【教学目标】（一） 知识与技能了解样本、样本容量、线性回归的概念，理解变量之间的相关系数的概念、相关系数、一元线性回归直线等概念。
（二） 过程与方法熟练利用公式求相关系数，掌握求一元线性回归直线方程 的方法，加深理解线性回归模型的意义。
判断变量间是否线性相关。
（三） 情感、态度与价值观培养学生分析问题、解决问题的能力，收集数据和处理数据的能力。
【教材分析】1. 教学重点：让学生了解线性回归的基本思想和方法。
2. 教学难点：掌握建立回归模型的基本步骤。
3. 变量间的关系：函数关系：自变量x 确定y 唯一确定；（确定关系）相关关系：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系 。
例如：在水稻产量与施肥量的关系中，施肥量是可控制变量，而水稻产量是随机变量。
因此只能说明水稻产量与施肥量是相关关系。
现实生活中相关关系大量存在，从某种意义上看，函数是一种理想的关系模型，而相关关系式一种更为一般的情况，因此更有研究相关关系的必要了。
4. 一元线性回归分析在具有相关关系的变量中如果因变量仅与一个变量有关，相应的统计分析成为一元回归分析；若与因变量与多个自变量有关，称为多元线性回归分析。
5. 线性相关性检验：（相关系数检验法）当 >0时，我们称其正相关； 当 <0时，我们称其负相关； 当 =0时，我们称其不相关。
.ˆ:a bx y l +=xy r xy r xy r212x nx ni i -∑=。
大学一元线性回归教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解一元线性回归的概念、原理和应用。
2. 掌握一元线性回归模型的建立、参数估计和假设检验方法。
3. 能够运用一元线性回归模型解决实际问题。
教学重点：1. 一元线性回归模型的概念和原理。
2. 一元线性回归模型的参数估计和假设检验方法。
教学难点：1. 一元线性回归模型的参数估计方法。
2. 一元线性回归模型的假设检验方法。
教学准备：1. 多媒体课件2. 数据集3. 统计软件（如SPSS、R等）教学过程：第一课时一、导入1. 提出问题：在实际生活中，我们经常需要了解两个变量之间的关系，如何建立这种关系的数学模型呢？2. 引入一元线性回归的概念。
二、一元线性回归的概念1. 定义：一元线性回归是一种统计分析方法，用于建立自变量和一个因变量之间的线性关系模型。
2. 模型表示：y = β0 + β1x + ε，其中y为因变量，x为自变量，β0和β1为回归系数，ε为误差项。
三、一元线性回归模型的参数估计1. 最小二乘法：利用最小二乘法求解回归系数β0和β1。
2. 公式推导：给出最小二乘法的推导过程，让学生理解其原理。
四、一元线性回归模型的假设检验1. 假设检验方法：介绍一元线性回归模型的假设检验方法，包括t检验和F检验。
2. 公式推导：给出t检验和F检验的公式推导过程，让学生理解其原理。
第二课时一、回顾与巩固1. 回顾一元线性回归的概念、原理、参数估计和假设检验方法。
2. 让学生运用所学知识解决实际问题。
二、案例分析1. 展示一个实际案例，引导学生分析问题并提出解决方案。
2. 分析案例中的变量关系，建立一元线性回归模型。
3. 利用统计软件求解回归系数和进行假设检验。
三、总结与拓展1. 总结一元线性回归模型的应用领域和局限性。
2. 引导学生思考如何在实际问题中运用一元线性回归模型。
3. 拓展一元线性回归模型的应用，如多元线性回归、非线性回归等。
教学评价：1. 学生对一元线性回归的概念、原理和应用的理解程度。
一元线性回归案例教案设计人教课标版(实用教学设计)
一元线性回归案例教案设计人教课标版(实用教学设计)引言教案的目的是帮助学生理解并掌握一元线性回归的基本概念和应用。
本教案设计适用于人教课标版教材，旨在提供实用的教学设计方案。
教学目标- 让学生了解一元线性回归的定义和基本原理。
- 培养学生使用一元线性回归进行数据分析和预测的能力。
- 培养学生运用一元线性回归解决实际问题的能力。
教学内容1. 一元线性回归的概念和原理- 引导学生了解线性回归的基本概念，并重点介绍一元线性回归。
- 讲解一元线性回归的原理和数学表达式。
- 实际案例分析，让学生明确一元线性回归的实际应用。
2. 数据集收集和处理- 引导学生研究如何收集适用于一元线性回归的数据集。
- 教授数据处理和清洗的方法，确保数据的准确性和可靠性。
3. 模型建立和拟合- 讲解如何建立一元线性回归模型。
- 引导学生研究如何进行模型参数拟合，并解读拟合结果。
4. 数据分析和预测- 使用建立好的一元线性回归模型，进行数据分析和预测。
- 引导学生分析预测结果，并讨论模型的准确性和可靠性。
5. 实际问题解决- 引导学生应用一元线性回归解决实际问题。
- 带领学生思考如何调整模型参数以获得更好的结果。
教学方法与手段- 课堂讲授：通过讲解基本概念、原理和方法，帮助学生建立知识框架。
- 案例分析：通过实际案例分析，让学生了解一元线性回归的实际应用。
- 数据实践：引导学生收集数据集并进行分析和预测，让学生亲身体验一元线性回归的过程。
教学评价与反馈- 课堂小测验：通过布置小测验，检查学生对一元线性回归的理解和能力。
- 学生作业：布置作业，让学生运用一元线性回归解决实际问题，并提交报告。
- 教师评价与反馈：根据学生的表现和作业报告，评价学生的理解和能力，并提供反馈建议。
结束语通过本教学设计，学生能够全面了解一元线性回归的概念、原理和应用，并具备运用一元线性回归解决实际问题的能力。
希望本设计能为教师提供实用的教学指导，帮助学生取得良好的学习效果。
一元线性回归原理_各种详细
第二节简单线性相关与回归分析一、相关系数及其检验（一）相关系数的定义单相关分析是对两个变量之间的线性相关程度进行分析。
单相关分析所采用的尺度为单相关系数，简称相关系数。
通常以ρ表示总体的相关系数，以ｒ表示样本的相关系数。
总体相关系数的定义式是：ρ＝（7.1）式中，Cov（X，Y）是变量X和Y的协方差；Var(X)和Var(Y)分别为变量X和Y的方差。
总体相关系数是反映两变量之间线性相关程度的一种特征值，表现为一个常数。
样本相关系数的定义公式是：（7.2）上式中，和分别是Ｘ和Ｙ的样本平均数。
样本相关系数是根据样本观测值计算的，抽取的样本不同，其具体的数值也会有所差异。
容易证明，样本相关系数是总体相关系数的一致估计量。
（二）相关系数的特点样本相关系数ｒ有以下特点：1.ｒ的取值介于－１与１之间。
2.当ｒ＝０时，Ｘ与Ｙ的样本观测值之间没有线性关系。
3.在大多数情况下，０＜｜ｒ｜＜１，即Ｘ与Ｙ的样本观测值之间存在着一定的线性关系，当ｒ＞０时，Ｘ与Ｙ为正相关，当ｒ＜０时，Ｘ与Ｙ为负相关。
4.如果｜ｒ｜＝１，则表明Ｘ与Ｙ完全线性相关，当ｒ＝１时，称为完全正相关，而ｒ＝－１时，称为完全负相关。
5.ｒ是对变量之间线性相关关系的度量。
ｒ＝０只是表明两个变量之间不存在线性关系，它并不意味着Ｘ与Ｙ之间不存在其他类型的关系。
对于二者之间可能存在的非线性相关关系，需要利用其他指标去进行分析。
关于这一问题，我们将在后面作进一步讨论。
（三）相关系数的计算具体计算样本相关系数时,通常利用以下公式：（7.3）上式是由样本相关系数的定义式推导而来的。
【例7-1】表7－2是2000年我国部分省市自治区城镇居民人均消费性支出和人均可支配收入的有关资料，试利用表中的数据计算消费性支出与可支配收入的样本相关系数。
)()(),(YVarXVarYXCov∑∑--∑--=22)()())((YYXXYYXXrttttX Y∑∑-∑∑-∑∑∑-=))(())((2222ttttttttYYnXXnYXYXnr资料来源：《中国统计摘要》，中国统计出版社2001年5月版解：将表7-2中的有关数据代入（7.3）式,可得:（四）相关系数的检验在实际的客观现象分析研究中，相关系数一般都是利用样本数据计算的，因而带有一定的随机性，样本容量越小其可信程度就越差。
一元线性回归模型教学设计
一元线性回归模型教学设计一、教学目标通过本次教学，学生应该能够：1. 了解一元线性回归模型的基本概念和原理；2. 掌握一元线性回归模型的建立和求解方法；3. 能够运用一元线性回归模型解决实际问题；4. 培养学生的数据分析和模型建立能力。
二、教学内容1. 介绍一元线性回归模型的基本概念- 线性回归模型的基本思想- 回归方程和回归线的含义- 最小二乘法的原理2. 一元线性回归模型的建立和求解方法- 数据收集和变量选择- 模型建立和参数估计- 残差分析和模型检验3. 运用一元线性回归模型解决实际问题- 实际问题的建模方法- 数据处理和分析方法- 结果解释和模型评价三、教学过程1. 导入引入案例通过一个实际案例来引入一元线性回归模型的概念和应用，例如预测房价与房屋面积的关系。
2. 概念讲解- 介绍线性回归模型的基本思想和原理，以及回归方程和回归线的含义；- 解释最小二乘法的原理及其在一元线性回归模型中的应用。
3. 模型建立和参数估计- 数据收集和变量选择：讲解数据收集的方法和重要性，以及对自变量的选择；- 模型建立和参数估计：讲解如何建立一元线性回归模型并通过最小二乘法来估计模型的参数。
4. 残差分析和模型检验- 残差分析：讲解残差的概念及其在回归模型中的含义；- 模型检验：讲解常用的模型检验方法，如回归系数的显著性检验、模型拟合优度检验等。
5. 实际问题的建模和解决- 介绍实际问题的建模方法和步骤，包括数据处理、模型选择和参数估计；- 使用实际数据进行模型的建立和求解，分析结果并给出合理解释。
6. 教学案例练习提供多个一元线性回归的教学案例，供学生进行实践操作和分析讨论。
7. 总结归纳小结一元线性回归模型的基本概念、建立方法和应用步骤，提醒学生需要注意的问题和要点。
四、教学手段教学手段可以采用多种形式，如讲解、示范、案例分析、课堂练习、小组讨论等，通过多种形式的互动与合作，达到知识的传授和能力的培养。
一元线性回归方程
Yi nˆ0 ˆ1 Xi
Yi Xi ˆ0
Xi ˆ1
X
2 i
ˆ1
( Xi X )(Yi Y (Xi X )2
)
xi yi xi2
ˆ0 Y ˆ1X
其中, X和Y分别为X、Y的均值， xi （Xi X）和yi （Yi Y）为离差。
对于Wage1中的数据，利用EVIEWS软件，可得到一元回归模型估计结果：
第二章 一元线性回归模型
回归的含义 一元回归模型的建立 参数估计——最小二乘法 随机误差项的古典假定 最小二乘估计量的性质 最小二乘估计量的概率分布 回归系数的显著性检验与置信区间 用样本可决系数检验回归方程的拟合优度 案例分析
一、回归的含义
➢ 回归概念的提出
Francis Galton最先使用“回归（regression）”。
响应变量（response variable）
控制变量（control variable）
被预测变量（predicted variable） 预测变量（predictor variable）
回归子（regressand）
回归元（regressor）。
➢ 回归分析中的因果关系和其他条件不变的概念
在多数对经济理论的检验中（包括对公共政策的评价），经济 学家的目标就是要退订一个变量（比如受教育程度）对另一个 变量（如犯罪率或工人的生产率）具有因果效应（causal effect）。有时可能会很简单就能发现两个或多个变量之间存 在很强的联系，但除非能得到某种因果关系，否则这种联系很 难令人信服。
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi
（估计的）样本回归模型：
Yi ˆ0 ˆ1Xi ei
其中ei是第i次观测的残差
Y2
e2 Y1 u2
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父母高，子女也高；父母矮，子女也矮。给定父母的身高，子女 平均身高趋向于“回归”到 全体人口的平均身高。
➢ 回归的现代释义
回归分析用于研究一个变量关于另一个（些）变量的具
体依赖关系的计算方法和理论。
inflation a b
1
unemployment
商品需求函数： Q a bP
生产函数： ln Q ln A ln K ln L
我们可以通过建立一个如下的关于Y和X的方程来解决上述三个问 题
总体回归模型
Y= 0 + 1 X+ u
其中： Y——被解释变量； X——解释变量；
u——随机误差项；表示除X之外其他影响Y的因素，一元回 归分析 将除X之外的其他所有影响Y的因素都看成了无法观测 的因素
0，1—回归系数（待定系数或待估参数） 1是斜率系数，是主要的研究对象 0 是常数项，也被称作截距参数，很少被当做分析的核心
为解决上面提到的第三个问题，及如何在忽略其他因素的同时， 又得到其他因素不变情况下X对Y的影响呢？这需要我们对无法观测 的u和X之间的关系加以约束，并且只有如此，才能从一个随机样本 数据中获得β0和β1的可靠估计量。
➢ E(u)=0 即无法观测的因素的平均值为零，不会对结果产生影响
➢ E(u|X)=0 根据X的不同把总体划分为若干部分，每个部分中无法 观测的因素都具有想通的平均值，且这个共同的平均值 必然等于整个总体中u的平均值，即u是均值独立的。
响应变量（response variable）
控制变量（control variable）
被预测变量（predicted variable） 预测变量（predictor variable）
回归子（regressand）
回归元（regressor）。
➢ 回归分析中的因果关系和其他条件不变的概念
在多数对经济理论的检验中（包括对公共政策的评价），经济 学家的目标就是要退订一个变量（比如受教育程度）对另一个 变量（如犯罪率或工人的生产率）具有因果效应（causal effect）。有时可能会很简单就能发现两个或多个变量之间存 在很强的联系，但除非能得到某种因果关系，否则这种联系很 难令人信服。
Yˆi ˆ0 ˆ1X i
（估计的）样本回归模型：
Yi ˆ0 ˆ1X i ei
其中ei是第i次观测的残差
Y2
e2 Y1 u2
e1 u1
Yˆi ˆ0 ˆ1X i
u3
e3
Y3
Xi
三、参数估计——最小二乘法
对于所研究的经济问题，通常总体回归直线 E(Yi|Xi) = 0 + 1Xi 是
观测不到的。可以通过收集样本来对总体（真实的）回归直线做出估计。
实验——通过对模型进行假定。
二、一元线性回归模型
回归分析都是从如下假设前提开始的：Y和X是代表某个总体 的变量，我们感兴趣的是“用X解释Y”或“研究Y如何随X而变 化”在写出用X解释Y的模型时，面临三个问题 Y和X的函数关系是怎么样的？ 如何考虑其他影响Y的因素呢？ 我们如何才能确信我们得到的是，是在其他条件不变情况下 的Y和X之间的关系？
根据上面的假定对原模型取期望得：
E(Y|X)=E[(0+1X+u)|X] =0+1X+E(u|X)= 0+1X
总体回归函数 （回归函数E(Y|X)是X的一 个线性函数，它表示Y中可以由 X解释的部分，线性意味着X变 化一个单位，Y的期望改变β1个 单位。对于任意给定的X值，Y 的分布都是以E(Y|X)为中心的。
通常总体回归函数E(Y) = 0+ 1X是观测不到的，利用样本得到的是 对它的估计，即对0和1的估计。令{(Xi,Yi):i=1,…,n}表示从总体中抽取
的一个样本容量为n的随机样本，对于每个i，可以写出：
Yi 0 1X i ui 其中ui是第i次观测的误差项
（估计的）样本回归函数：
Yi
E(Y|Xi) = 0 + 1 Xi
菲利普斯曲线：
拉弗曲线： Tax a b(TR)2
➢ 回归的现代释义
等式左边的变量被称为
等式右边的变量被称为
被解释变量（explained variable） 解释变量（explanatory variable）
因变量 （dependent variable）
自变量（independent variable）
样本回归模型： Yi ˆ0 ˆ1X i ei
样本回归直线： Yˆi ˆ0 ˆ1X i
其中： Yˆi 为Yi的估计值（拟合值）； ˆ0 , ˆ1 为 0 , 1 的估计值；
ei为残差，可视为ui的估计值。
如何得到一条能够较好地反映这些点变化规律的直线呢？
Y
200 180 160 140 120 100
其他条件不变（ceteris paribus）：意味着“其他（相关因素 保持不变）”的概念，它在因果分析中有重要的作用。
这个概念看似简单，但是除非在极为特殊的条件下，很难实现 多数经验研究中的一个关键问题是：要做出一个因果推断，是
否能使其他足够多的因素保持不变呢？ 只要方法得当，用计量经济方法可以模拟一个其他条件不变的
第二章 一元线性回归模型
回归的含义 一元回归模型的建立 参数估计——最小二乘法 随机误差项的古典假定 最小二乘估计量的性质 最小二乘估计量的概率分布 回归系数的显著性检验与置信区间 用样本可决系数检验回归方程的拟合优度 案例分析
一、回归的含义
➢ 回归概念的提出
Francis Galton最先使用“回归（regression）”。