一元线性回归方程PPT教材
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2、一元线性回归 PPT课件
假设零均值同方差 E( )=0
无序列相关性
i
假设零均值同方差 无序列相关性
Var( i)= 2
E(Yi )= 0 1 X i
Var(Yi /X i )= 2
假设零均值同方差 Cov( i , j)=0 Cov(Yi , Y j)=0
无序列相关性
二、普通最小二乘法
给定一元线性回归模型
回归函数（方程）
E（Y
X
）＝
i
0 1X i
估计
回归模型
估计
Yi 0 1 X i i
样本（实际） Yˆi ˆ0 ˆ1Xi Yi ˆ0 ˆ1Xi ei
2.2 一元线性回归模型的参数估计
一元线性回归模型是最简单的线性回归模型，在模型中只有 一个自变量，其参数估计方法普通最小二乘法也是最普 遍使用的。
n
X
2 i
(
X i )( Yi ) Xi )2
将ˆ1代入正规方程组，令 X
ˆ0 Y ˆ1 X
Xi n
，Y
Yi
n
，得ˆ0表达式
令
xi
差
Xi X
，则
，
ˆ0
yi Yi Y ，即分别代表样本值与其平均值的离 、ˆ1表达式可简写为
ˆ1
质，即最小二乘估计量还具有一致性：当样本容量趋于无 穷时，估计量收敛于总体参数真值。
高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)
在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计 量是具有最小方差的线性无偏估计量。
2、无偏性，即估计量ˆ0 、 ˆ1 的均值（期望）等于总体回归
第二章 一元线性回归分析基础-PPT文档资料
, X , , X ) 也可以用显函数形式表示为 Y 1 2 n
其中最简单的形式为一元线性函数关系。
例如 当某种商品单价P固定不变，其销售收入y与销售 的商品数量x之间的关系为一元线性关系，即y = Px 如果用x，y构成的直角坐标图来表示，上式所表示的 函数关系为一条经过坐标原点的直线，所有可能的点 都在这条直线上。
Y X Y Y Y 0 1 , X X X
其中Y为消费额，X为收入。
该线性方程描述了消费与收入之间的确定关系，即给定 一个收入值，可以根据方程得到一个唯一确定的消费值。 但实际上消费与收入间的关系不是准确实现的。
原因： 1. 消费除了受到收入的影响外，还受到其他一些因素 的影响。 例如，消费者所处群体的平均水平、家庭人口、消 费习惯、银行存款利率、商品价格变化趋势、对未 来收入的期望等。 2. 线性关系的近似性，即所假定的线性关系并不严格。 3. 收入数值的近似性，即所给定的收入数据本身并不 绝对的反映收入水平。 所以，更符合实际情况的消费与收入之间的关系如下
Y X u 是一个随机方程，参数和可以
用回归分析法求得，所以它是一个线性回归方程，因 而也是一个计量经济学方程。
因为绝大多数经济变量都受到多种其他经济变量 的影响，所以变量之间有完全确定的函数关系的情况 在经济问题中很少见。 引入随机误差项，将变量之间的关系用一个线性 随机方程来描述，用随机数学的方法来估计方程中的 参数，这就是线性回归模型的特征，也就是线性计量 经济学模型的特征。
X u , i 1 , 2 , , n 当k=2时， Y i 1 2 i i 为一元线性回归模型。 参数2确定了解释变量X影响被解释变量Y的基本关系， 不确定的部分由变量u表示，u称为随机误差项。 以家庭收入X与消费支出Y之间的关系为例 每个家庭的消费支出Y主要取决于该家庭的收入X， 但是也受其他因素的影响。 • 高收入的家庭，消费支出的离散性比较大(方差较大) • 低收入的家庭，消费支出的离散性比较小(方差较小) 通常，消费支出Y的分布函数是多种多样的，不一 定是正态分布，也不一定是相同的分布。分布函数的 方差、均值都不相同，分布函数的形式也不同。如图
其中最简单的形式为一元线性函数关系。
例如 当某种商品单价P固定不变，其销售收入y与销售 的商品数量x之间的关系为一元线性关系，即y = Px 如果用x，y构成的直角坐标图来表示，上式所表示的 函数关系为一条经过坐标原点的直线，所有可能的点 都在这条直线上。
Y X Y Y Y 0 1 , X X X
其中Y为消费额，X为收入。
该线性方程描述了消费与收入之间的确定关系，即给定 一个收入值，可以根据方程得到一个唯一确定的消费值。 但实际上消费与收入间的关系不是准确实现的。
原因： 1. 消费除了受到收入的影响外，还受到其他一些因素 的影响。 例如，消费者所处群体的平均水平、家庭人口、消 费习惯、银行存款利率、商品价格变化趋势、对未 来收入的期望等。 2. 线性关系的近似性，即所假定的线性关系并不严格。 3. 收入数值的近似性，即所给定的收入数据本身并不 绝对的反映收入水平。 所以，更符合实际情况的消费与收入之间的关系如下
Y X u 是一个随机方程，参数和可以
用回归分析法求得，所以它是一个线性回归方程，因 而也是一个计量经济学方程。
因为绝大多数经济变量都受到多种其他经济变量 的影响，所以变量之间有完全确定的函数关系的情况 在经济问题中很少见。 引入随机误差项，将变量之间的关系用一个线性 随机方程来描述，用随机数学的方法来估计方程中的 参数，这就是线性回归模型的特征，也就是线性计量 经济学模型的特征。
X u , i 1 , 2 , , n 当k=2时， Y i 1 2 i i 为一元线性回归模型。 参数2确定了解释变量X影响被解释变量Y的基本关系， 不确定的部分由变量u表示，u称为随机误差项。 以家庭收入X与消费支出Y之间的关系为例 每个家庭的消费支出Y主要取决于该家庭的收入X， 但是也受其他因素的影响。 • 高收入的家庭，消费支出的离散性比较大(方差较大) • 低收入的家庭，消费支出的离散性比较小(方差较小) 通常，消费支出Y的分布函数是多种多样的，不一 定是正态分布，也不一定是相同的分布。分布函数的 方差、均值都不相同，分布函数的形式也不同。如图
一元线性回归原理PPT课件
图1 化肥施用量与粮食产量的散点图
上述变量间关系的特点：
1. 变量间关系不能用函数关
系精确表达
y
2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定
3. 当变量 x 取某个值时，变
量 y 的取值可能有几个
x
4. 各观测点分布在直线周围
问题
两个变量之间有着密切的关系，但它们之间密 切的程度并不能由一个变量唯一确定另一个变 量，即它们间的关系是一种非确定性的关系。 它们之间到底有什么样的关系呢?
2694148832 20 3023.916 42960.6825 95958928.85
bˆ0 y bˆ1x 42960.6825 4.217 3023.916 30208.913 bˆ1 Lxy / Lxx 95958928.85 / 22755409 4.217
bˆ0 y bˆ1x 42960.6825 4.217 3023.916 30208.913 bˆ1 Lxy / Lxx 95958928.85 / 22755409 4.217
动一个单位时， y 的平均变动值 .
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的 ，所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
例1中由20组数据，粮食产量与化肥施用量的关 系式
yˆ 30208.913 4.217x
是如何得到的？
解决方案
运用模型来拟合这些数据点。
y
观测值分解成两部分：
观测项 = 结构= 项 + +随机项
一元线性回归PPT演示课件
196.2
15.8
16.0
102.2
12.0
10.0
本年固定资产投资额 (亿元) 51.9 90.9 73.7 14.5 63.2 2.2 20.2 43.8 55.9 64.3 42.7 76.7 22.8 117.1 146.7 29.9 42.1 25.3 13.4 64.3 163.9 44.5 67.9 39.7 97.1
6. r 愈大，表示相关关系愈密切.
例 11.7
根据例11.6的样本数据，计算不良贷款、贷款余额、应收 贷款、贷款项目、固定资产投资额之间的相关系数.
解：用Excel计算的相关系数矩阵如下.
三、相关系数的显著性检验
(一) r 的抽样分布
当样本数据来自正态总体，且 0 时，则
t r n 2 ~ t(n 2) 1 r2
时，yˆ ˆ0 .
二、参数的最小二乘估计
假定样本数据 (xi , yi ) , i 1,2,, n ，满足一元线性回归模 型, 根据(11.6)式则样本回归方程为
yˆi ˆ0 ˆ1xi , i 1,2,, n
(11.7)
最小二乘法是使因变量的观察值 yi 与估计值 yˆi 之间的离差平
i1 i1
n
n
n
n
n xi2 ( xi )2 n yi2 ( yi )2
i 1
i 1
i 1
i 1
( 11.1 ) ( 10.2 )
相关系数的取值范围及意义
1. r 的取值范围为[－1，1].
2. r 1 ，称完全相关，既存在线性函数关系.
r ＝1，称完全正相关. r ＝－1，称完全负相关. 3. r ＝0，称零相关，既不存在线性相关关系. 4. r ＜0，称负相关. 5. r ＞0，称正相关.
第二节-一元线性回归分析PPT课件
-0.8208
-2.2882
-0.9263
0.9676
1.0619
2.9156
-1.6404
6.3038
-1.8122
0.6708
-1.3033
-0.1802
-0.5911
-2.2869
1.0443
0.8245
0.4687
-1.5557
0.8935
2.3470
-1.5233
-1.1970
-2.1237
三相关关系的描述与测度散点图scatterdiagram用直角坐标的横轴表示变量x的值纵轴表示变量y的值每组数据在直角坐标系中用一个点表示n组数据在直角坐标系中形成的n个数据点称为散布点或散点由坐标及其散点形成的二维数据图
8-1
第八章 相关与回归分析
学习目的：
1. 理解现象之间存在的相关关系； 2. 能利用相关系数对相关关系进行测定分析； 3. 明确相关分析与回归分析的主要内容以及它们 各自的特点；
不可观测的随机变量，表示 x和 y的关系中不确定因素的影响，我们 称之为随机误差；响应变量 y为随机变量。
模型的三个假定
1. 随机误差 e的期望值为0，即 E(e)0 2. 对于所有的x值，e的方差都相同 ； 3. 随机误差 e是一个服从正态分布的随机变量，且各次观测的随机误
差 e1,e2,,en相互独立。
• 回归模型(regression model) 描述响应变量与回归变量和误差项之间的因果关系的数学表达式
称为回归模型。
-
8
8-9第二节 一元线性回归分析
一、一元线性回归模型
理论回归模型
yAB xe
式中A和B是未知常数，称作回归系数（coefficient）；回归变量 x
一元线性回归模型PPT课件
b1、b2
Yi B1 B2 Xi ui
ei
第18页/共67页
3.3 参数的最小二乘估计
• 参数估计：普通最小二乘法（OLS）
• 普通最小二乘法就是要选择参数 ，使得残差平方和（residual sum of squares, RSS） 最小。
•即
b1、b2
ei2
Q ei2
Yi Yˆi 2
Xi 也称 自变量（independent variable）
称为 参数（parameter）
B , B 1 称2为 随机扰动项（random error term）
ui
第13页/共67页
3.2 随机扰动项的来源
• 上式如何解释？
• 可以认为，在给定家庭收入水平 上，第i个学生的数学分数可以表达为两部分之和：
第14页/共67页
3.2 随机扰动项的来源
•
第15页/共67页
3.2 随机扰动项的来源
• 性质1：扰动项代表了未纳入模型变量的影响。例如个人健康状况、居住区域等等。 • 性质2：反映了人类行为的内在随机性。即使模型中包括了决定数学分数的所有变量，其内在随机性也
不可避免，这是做任何努力都无法解释的。 • 性质3：还代表了度量误差，例如收入的数据可能不等于真实值。 • 性质4：“奥卡姆剃刀原则”——即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要的信息，此时可以把影响Y
第8页/共67页
3.1 回归的涵义
• 样本回归函数（sample regression function, SRF） • 可用样本回归函数（SRF）表示样本回归线：
其中， 总体条件均值
的估计量；
Yˆi b1 b2 Xi
Yˆ E Y X • 并非所有样本数据都准确地i落在样本回归线上，因此建立随机i 样本回归函数：
一元线性回归分析PPT课件
第18页/共40页
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
第8页/共40页
例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
第1页/共40页
回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
第2页/共40页
一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第15页/共40页
回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第17页/共40页
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
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回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
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一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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一元线性回归方程PPT课件
第一章 一元线性回归模型
以下设 x 为自变量(普通变量) Y 为因变量(随机变 量) .现给定 x 的 n 个值 x1,…, xn, 观察 Y 得到相应的 n 个 值 y1,…,yn, (xi ,yi) i=1,2,…, n 称为样本点.
以 (xi ,yi) 为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到 的这张图便称之为散点图.
Yi = 0 + 1 Xi + εi
其中： Yi——被解释变量； Xi——解释变量；
ε I ——随机误差项； 0，1—回归系数
随机变量ε i包含：
回归模型中省略的变量; 确定数学模型的误差； 测量误差
第3页/共28页
假设调查了某社区所有居民，他们的人均可支 配收入和消费支出数据如下：
X 80 100 Y
=
(Xi X )2
=
( Xi X )Yi (Xi X )2
ˆ 令 ki
(Xi X) (Xi X )2
xi xi2
代入上式，得：
1
kiYi
同理可证：0也具有线性特性 。
第15页/共28页
2、无偏性
ki
(Xi - X) (Xi - X )2
xi xi2
证明： E(ˆ1) = E( kiYi ) = E [ki (0 1Xi i ] = 0E[ ki 1 ki Xi kii ] = 1E [ki (Xi X )] E (kiui )
Y
55
80 100 120140 160
X
第5页/共28页
二、随机误差项εi的假定条件
为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定：
假定1：零期望假定：E(εi) = 0。 假定2：同方差性假定：Var(εi) = 2。 假定3：无序列相关假定：Cov(εi, εj) = 0, (i j )。 假定4： εi 服从正态分布，即εi N (0, 2 )。 前三个条件称为G-M条件
以下设 x 为自变量(普通变量) Y 为因变量(随机变 量) .现给定 x 的 n 个值 x1,…, xn, 观察 Y 得到相应的 n 个 值 y1,…,yn, (xi ,yi) i=1,2,…, n 称为样本点.
以 (xi ,yi) 为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到 的这张图便称之为散点图.
Yi = 0 + 1 Xi + εi
其中： Yi——被解释变量； Xi——解释变量；
ε I ——随机误差项； 0，1—回归系数
随机变量ε i包含：
回归模型中省略的变量; 确定数学模型的误差； 测量误差
第3页/共28页
假设调查了某社区所有居民，他们的人均可支 配收入和消费支出数据如下：
X 80 100 Y
=
(Xi X )2
=
( Xi X )Yi (Xi X )2
ˆ 令 ki
(Xi X) (Xi X )2
xi xi2
代入上式，得：
1
kiYi
同理可证：0也具有线性特性 。
第15页/共28页
2、无偏性
ki
(Xi - X) (Xi - X )2
xi xi2
证明： E(ˆ1) = E( kiYi ) = E [ki (0 1Xi i ] = 0E[ ki 1 ki Xi kii ] = 1E [ki (Xi X )] E (kiui )
Y
55
80 100 120140 160
X
第5页/共28页
二、随机误差项εi的假定条件
为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定：
假定1：零期望假定：E(εi) = 0。 假定2：同方差性假定：Var(εi) = 2。 假定3：无序列相关假定：Cov(εi, εj) = 0, (i j )。 假定4： εi 服从正态分布，即εi N (0, 2 )。 前三个条件称为G-M条件
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经验回归直线： Yˆi ˆ0 ˆ1Xi 其中： Yˆi 为Yi的估计值（拟合值）； ˆ0, ˆ1 为 0 , 1 的估计值；
如果观测值到这条直线的纵向距离（真实值与估计值的偏差）用ei
表示（称为残差），则经验回归模型为：
Yi ˆ0 ˆ1Xi ei
（ei为εi的估计值）
注意：分清4个式子的关系 （1）理论（真实的）回归模型：
ˆ 令 ki
(Xi X) (Xi X )2
xi xi2
代入上式，得：
1
kiYi
同理可证：0也具有线性特性 。
2、无偏性
ki Βιβλιοθήκη (Xi - X) (Xi - X )2
xi xi2
证明： E(ˆ1) = E( kiYi ) = E [ki (0 1Xi i ] = 0E[ ki 1 ki Xi kii ] = 1E [ki (Xi X )] E (kiui )
i 1
二、OLS回归直线的性质
（1）估计的回归直线 Yˆi ˆ0 ˆ1Xi 过点 ( X ,Y ) .
（2）
ei 0 ei X i 0
（3） Yi 的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数 Yˆ Y .
Yˆ
1 n
n
Yˆi
i 1
=
1 n
n i 1
(ˆ0
ˆ1 X i
)
= ˆ0 ˆ1X = Y
前三个条件称为G-M条件
§1.2 一元线性回归模型的参数估计
普通最小二乘法（Ordinary Least Squares） OLS回归直线的性质 OLSE的性质
一、普通最小二乘法
对于所研究的问题，通常真实的回归直线 E(Yi|Xi) = 0 + 1Xi 是观
测不到的。可以通过收集样本来对真实的回归直线做出估计。
Y
55
80 100 120140 160
X
二、随机误差项εi的假定条件
为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定：
假定1：零期望假定：E(εi) = 0。 假定2：同方差性假定：Var(εi) = 2。 假定3：无序列相关假定：Cov(εi, εj) = 0, (i j )。 假定4： εi 服从正态分布，即εi N (0, 2 )。
Q
ˆ 0
n
= 2 (Yi ˆ0 ˆ1X i )(1)
i 1
=0
即
Q
ˆ1
=
n
2 (Yi ˆ0 ˆ1X i )( X i ) = 0 i 1
ei 0 ei X i 0
根据以上两个偏导方程得以下正规方程 （Normal equation） ：
Yi nˆ0 ˆ1 Xi
Yi Xi ˆ0
回归分析
确定性关系或函数关系y =f (x)
变 量 间 的 关 系
非 确 定 性 关 系
人的身高和体重
x
家庭的收入和消费
商品的广告费和销售额
粮食的施肥量和产量
Y
相关关系
称这种非确定性关系为统计关系或相关(相依)关系.
第一章 一元线性回归模型
以下设 x 为自变量(普通变量) Y 为因变量(随机变 量) .现给定 x 的 n 个值 x1,…, xn, 观察 Y 得到相应的 n 个 值 y1,…,yn, (xi ,yi) i=1,2,…, n 称为样本点.
Xi ˆ1
X
2 i
ˆ1
(Xi X )(Yi Y ) (Xi X )2
ˆ0 Y ˆ1X
其中, X 和Y 分别为X、Y的均值
若记
则
n
Lxx ( Xi X )2 i 1 n
ˆ0 Y ˆ1X
Lyy (Yi Y )2
i 1
n
Lxy ( Xi X ) (Yi Y )
ˆ1
Lxy Lxx
和）
n
Q =
ei 2 =
i 1
n
(Yi Yˆi )2
i 1
=
n
( Yi ˆ 0 ˆ1X i )2
i 1
则通过Q最小确定这条直线，即确定 ˆ0, ˆ1 ，以 ˆ0, ˆ1 为变量，
把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求
导数得到。 求Q对 两个待估参数 的偏导数：
正规方程组
－ 6
750
200
120 136 140 144 145
－ － 5
685
220
135 137 140 152 157 160 162
7 104
3
240
137 145 155 165 175 189
－ 6
966
260
150 152 175 178 180 185 191
5 121
1
描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y 的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。
55 65
60 70
65 74
70 80
75 85
－ 88
－－
户数
56
总支出 325 462
120
79 84 90 94 98 － － 5
445
140
80 93 95 103 108 113 115 7
707
160
102 107 110 116 118 125
－ 6
678
180
110 115 120 130 135 140
Yi 0 1Xi i
（2）理论（真实的）回归直线：
E( Y | X i ) 0 1X i
（3）经验（估计的）回归模型：
Yi ˆ0 ˆ1Xi ei
（4）经验（估计的）回归直线：
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi
对于参数的估计采用最小二乘估计法、最小二乘法的原则是以
“残差平方和最小” 确定直线位置（即估计参数）。（Q为残差平方
理论回归模型：
Yi = 0 + 1 Xi + εi
其中： Yi——被解释变量； Xi——解释变量；
ε I ——随机误差项； 0，1—回归系数
随机变量ε i包含：
回归模型中省略的变量; 确定数学模型的误差； 测量误差
假设调查了某社区所有居民，他们的人均可支 配收入和消费支出数据如下：
X 80 100 Y
三、OLSE回归直线的性质
统计性质
线性 无偏性 有效性
2 的估计
1、线性 这里指 ˆ0, ˆ1 都是Yi的线性函数。
证明： ˆ1 =
( Xi X )(Yi Y ) (Xi X )2
(Xi X )Yi Y (Xi X )
=
(Xi X )2
=
( Xi X )Yi (Xi X )2
以 (xi ,yi) 为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到 的这张图便称之为散点图.
Y:人均食品支出
北京市城市居民家庭生活抽样调查图表
10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x:人均生活费收入
§1.1 模型的建立及其假定条件
一、一元线性回归模型
例如：研究某市可支配收入X对人均消费支出Y 的影响。建立如下