一元线性回归方程教案
8.5一元线性回归案例(3)教学设计
8．5一元线性回归案例（3）一、教学目标（一）知识目标一元线性回归直线方程的求法（二）能力目标熟练利用公式求相关系数；掌握求一元线性回归直线方程a=的方法；加深理bxy+解线性回归模型的意义（三）情感目标培养学生分析问题，解决问题的能力，收集数据和处理数据的能力二、教学重点一元线性回归方程的求法三、教学难点对线性回归模型的理解四、教学过程（一）引入课题在上两节课中我们学习了如何求相关系数，建立线性回归模型，利用最小二乘法得到线性回归模型。
那么这节课我们对这些知识加深理解和巩固。
（二）案例讲解案例一“小卖部”遇到的一个小难题：昨天最高气温c 0，生产的100杯热珍珠奶茶下午全部买完，晚间无货供应；今天加大生产150杯，谁知“天公不作美”，最高气温c 7，只买出102杯，剩下全部报废，小卖部损失严重。
气象台预测明天：最高气温c 5，估计应该生产多少杯比较适合呢？就读高二的你能根据下列有关数据利用“数学方法”作出相对合理决策吗？解：设温度为x，卖出的杯数为y，画出散点图图8－5－11从散点图看，点分布在以直线附近，可建立线性回归模型。
列表如下：则利用计算器得：98.01111111112211122111-=---=∑∑∑===i i i ii i iyy xxyx y xr ，所以x 与y 高度负相关，建立线性回归方程a bx y +=，计算得35.2-=b ，77.147=a ，所以回归直线方程为77.14735.2+-=x y当c x5=时，136≈y 所以明天生产136杯较为合适。
（三）课堂练习1．在下列各量与量的关系中： ①正方体的体积与棱长间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄；④家庭的支出与收入；⑤某户家庭用电量与电价间的关系。
是相关关系的为（ ）A ．②③B ．③④C ．④⑤D ．②③④2．某工厂某产品产量x（千件）与单位成本y（元）满足回归直线方程x77-=，.36y82.1则以下说法中正确的是（）A．产量每增加1000件，单位成本下降1.82元B．产量每减少1000件，单位成本上升1.82元C．产量每增加1000件，单位成本上升1.82元D．产量每减少1000件，单位成本下降1.82元3．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为x60+=，下列判y90断正确的是A．劳动生产率为1000元时，工资为150元B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D．劳动生产率为1000元时，工资为90元4．现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩（x）与入学后的第一次考试中的数学成绩（y），数据如下：5．为研究重量x（单位：克）对弹簧长度y（单位：厘米）的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，得如下数据：（2）如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程。
一元线性回归方程教学课件
Y:人均食品支出
北京市城市居民家庭生活抽样调查图表
10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x:人均生活费收入
第3页，共28页。
§1.1 模型的建立及其假定条件
一、一元线性回归模型
例如：研究某市可支配收入X对人均消费支出Y 的影响。建立如下理论 回归模型：
总离差平方和 ＝ 回归平方和 ＋ 残差平方和
SST
=
SSR
+
SSE
H0： 1 0 H1： 1 0
F SSR /1 ~ F (1, n 2) SSE /(n 2)
拒绝域 F >Fα (1,n-2)
第21页，共28页。
三、 用样本可决系数检验回归方程的拟合优度
R2 = SSR
SST
R2=0时 表明解释变量X与被解释变量Y之间不存在线性关系； R2=1时 表明样本回归线与样本值重合，这种情况极少发生； 一般情况下，R2越接近1表示拟合程度越好，X对Y的解释能力越强。
Yi = 0 + 1 Xi + εi
其中： Yi——被解释变量；
ε I ——随机误差项；
Xi——解释变量； 0，1—回归系数
随机变量ε i包含：
回归模型中省略的变量; 确定数学模型的误差； 测量误差
第4页，共28页。
假设调查了某社区所有居民，他们的人均可支配 收入和消费支出数据如下：
X 80 100 Y
（ei为εi的估计值）
第9页，共28页。
注意：分清4个式子的关系 （1）理论（真实的）回归模型：
Yi 0 1Xi i
（2）理论（真实的）回归直线：
E( Y | X i ) 0 1X i
《一元线性回归方程》教学设计
《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》教学设计一、 教学内容解析1. “一元线性回归模型参数的最小二乘估计”是人民教育出版社A 版《普通高中教科书选择性必修第三册》第8章“成对数据的统计分析”第2节的内容，是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例。
本节内容渗透了数学建模与转化化归的数学思想方法，在具体方法上有观察法、主元、消元等。
本节课的教学重点是一元线性回归模型参数的最小二乘估计和利用残差分析进行数据曲线拟合程度分析。
2 . 本节内容是在学习了“一元线性回归模型”的基础上，继续对一元线性回归模型参数进行估计，并对模型的刻画效果进行检验，是后续非线性回归模型学习的基础。
因此本节内容可以看作一元线性回归模型的下位学习，非线性回归模型的上位学习。
3.本节教学过程呈现了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的特点。
在学习过程中让学生体会最小二乘的思想，积累数据分析的经验。
围绕“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，完整呈现了从直观寻找与散点整体接近的直线，到用竖直距离i i y bx a --刻画散点与直线的“距离”，再到用()21n i i i Q y bx a ==--∑定量刻画整体接近的程度，最后得到参数估计的数学化过程。
对建立的模型进行应用是利用数学建模解决实际问题的一个重要环节，教学中通过“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，利用经验回归方程进行预测，并对结果进行合理解释，进而进一步介绍残差分析的方法，据此对模型进行评价和改进。
二、教学目标设置统计学习不应只是记住一些概念、公式或方法实施的操作步骤，更重要的是了解概念和方法产生的必要性，以及方法的合理性，了解统计研究问题的思路和特点，进而学会用统计的眼光看问题，培养数据分析素养。
依据“课程目标——单元目标——课堂教学目标”设置本节课的教学目标如下：1.通过小组合作探究问题：“从直观感知与散点在整体上最接近的直线”，学生了解解决这一问题的各种思路，并能判断可行性。
一元线性回归案例教学设计人教课标版(实用教案设计)
一元线性回归案例教学设计人教课标版(实用教案设计)教学目标- 了解一元线性回归的概念和基本原理- 掌握一元线性回归的计算方法和应用技巧- 学会通过实例分析和解决实际问题教学准备- 讲义：提供一元线性回归的讲义，明确概念和公式- 例题：准备适当数量的一元线性回归的实例题目- 计算工具：确保每个学生都有计算器或者电脑可以进行回归计算教学过程1. 引入（5分钟）- 通过一个实际场景，引入一元线性回归的概念和应用- 举例说明回归分析在实际问题中的作用和意义2. 概念讲解（10分钟）- 介绍一元线性回归的基本概念、公式和原理- 解释回归方程的含义和解释- 强调自变量和因变量之间的关系及其影响因素3. 计算方法（15分钟）- 演示一元线性回归的计算步骤和方法- 通过实例展示计算公式的具体应用- 解释残差和拟合优度的概念，说明其意义4. 实例分析（20分钟）- 提供多个一元线性回归的实例题目- 让学生依次进行回归计算和分析- 引导学生思考如何解释回归结果和给出建议5. 讨论与总结（10分钟）- 分享学生对实例分析的解答和思考- 引导学生讨论一元线性回归在其他实际问题中的应用- 总结一元线性回归的重要性和局限性教学扩展- 鼓励学生自行寻找更多的一元线性回归的实例进行分析和讨论- 引导学生了解多元线性回归的概念和应用，拓展研究内容教学评估- 布置作业：要求学生独立完成一元线性回归的实例分析报告- 考察学生对回归分析方法的理解和应用能力- 对学生的作业进行评分，并给予反馈和建议参考资料- 《数学必修3》人教课标版- 网络资源：一元线性回归的教学视频和学习资料。
一元线性回归方程教案
8.5一元线性回归案例湘教版选修2-3第8.5节【教学目标】（一） 知识与技能了解样本、样本容量、线性回归的概念，理解变量之间的相关系数的概念、相关系数、一元线性回归直线等概念。
（二） 过程与方法熟练利用公式求相关系数，掌握求一元线性回归直线方程 的方法，加深理解线性回归模型的意义。
判断变量间是否线性相关。
（三） 情感、态度与价值观培养学生分析问题、解决问题的能力，收集数据和处理数据的能力。
【教材分析】1. 教学重点：让学生了解线性回归的基本思想和方法。
2. 教学难点：掌握建立回归模型的基本步骤。
3. 变量间的关系：函数关系：自变量x 确定y 唯一确定；（确定关系）相关关系：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系 。
例如：在水稻产量与施肥量的关系中，施肥量是可控制变量，而水稻产量是随机变量。
因此只能说明水稻产量与施肥量是相关关系。
现实生活中相关关系大量存在，从某种意义上看，函数是一种理想的关系模型，而相关关系式一种更为一般的情况，因此更有研究相关关系的必要了。
4. 一元线性回归分析在具有相关关系的变量中如果因变量仅与一个变量有关，相应的统计分析成为一元回归分析；若与因变量与多个自变量有关，称为多元线性回归分析。
5. 线性相关性检验：（相关系数检验法）当 >0时，我们称其正相关； 当 <0时，我们称其负相关； 当 =0时，我们称其不相关。
.ˆ:a bx y l +=xy r xy r xy r212x nx ni i -∑=。
一元线性回归模型(教学设计)(人教A版2019选择性必修第三册)
8.2.1一元线性回归模型教学设计一、课时教学内容本节的主要内容是一元线性回归模型，它是线性回归分析的核心内容，也是后续研究两变量间的相关性有关问题的基础.通过散点图直观探究分析得出的直线拟合方式不同，拟合的效果就不同，它们与实际观测值均有一定的偏差.在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系的过程中，解决用数学方法刻画从整体上看各观测点到拟合直线的距离最小的问题，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于他们更好地理解核心概念“经验回归直线”，并最终体现回归方法的应用价值.就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽.了解最小二乘法思想，将其与各种估算方法进行比较，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又是在体会此思想的过程中促进学生对核心概念进一步理解的需要.最小二乘法思想作为本节课的核心思想，由此得以体现，而回归思想和贯穿统计学科的随机思想，也是本节课需要渗透的.二、课时教学目标1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．三、教学重点、难点1．教学重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法.2．难点：回归模型与函数模型的区别，随机误差产生的原因与影响.四、教学过程设计环节一创设情境，引入课题问题1如何求经验回归方程？提示：求经验回归方程的一般步骤如下：(1)画出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系；(2)当两变量具有线性相关关系时，求系数的最小二乘估计书"，写出经验回归方程；(3)进行残差分析，分析模型的拟合效果，不合适时，分析错因，予以纠正.【师生互动】教师让学生举手回答问题，并及时给予纠正.【设计意图】复习上节课所学知识，为本节课解决与线性回归分析有关的实际问题做好铺垫。
《 一元线性回归方程》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
变量与之间具有函数关系吗?
没有函数关系，我们得到的线性回归方程只是对其变化趋势的一种近似描述，并不是函数关系．
某小卖部6天卖出热茶的杯数Y(单位:杯)与当天气温X(单位:℃)之间存在近似的线性关系．数据如下表．
解 (1)先画出散点图，根据点的分布，得到两个变量很可能有近似的线性关系．
26
18
13
10
解 (1)画出散点图如图．
(2)再将10对数据分别记为，，，，代入，的表达式，，，可得到，．线性回归方程为Y=X．
(3)如果这座城市居民的年收入达到40亿元，即当X=40时，这种商品的销售额Y=X==42.037万元．
最小二乘法:对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重)，假设有n对观测值，，，，，拟合的直线是，令其满足最小．换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小．这个方法称为最小二乘法．
这条拟合直线的数学表达式是什么样的？
如何使所有的点到拟合直线的距离之和最小？
有没有较好的用成对数据的数学表达式表示拟合直线的方法呢?
在成对数据生成的散点图中，可以利用所有的点到拟合直线的距离之和最小时对应的数学表达式来表示拟合直线．
对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重)，假设有n对观测值，，，，，拟合的直线是，令其满足最小．换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小.(这种方法叫最小二乘法)
4
-1
杯数/杯
20
24
34
38
50
64
(1)试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程;(2)如果某天的气温是-3 ℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯．
再将6对数据分别记为，，，代入，的表达式，，，可得到，.则线性回归方程为 Y=57.5571.648X．
大学一元线性回归教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解一元线性回归的概念、原理和应用。
2. 掌握一元线性回归模型的建立、参数估计和假设检验方法。
3. 能够运用一元线性回归模型解决实际问题。
教学重点：1. 一元线性回归模型的概念和原理。
2. 一元线性回归模型的参数估计和假设检验方法。
教学难点：1. 一元线性回归模型的参数估计方法。
2. 一元线性回归模型的假设检验方法。
教学准备：1. 多媒体课件2. 数据集3. 统计软件（如SPSS、R等）教学过程：第一课时一、导入1. 提出问题：在实际生活中，我们经常需要了解两个变量之间的关系，如何建立这种关系的数学模型呢？2. 引入一元线性回归的概念。
二、一元线性回归的概念1. 定义：一元线性回归是一种统计分析方法，用于建立自变量和一个因变量之间的线性关系模型。
2. 模型表示：y = β0 + β1x + ε，其中y为因变量，x为自变量，β0和β1为回归系数，ε为误差项。
三、一元线性回归模型的参数估计1. 最小二乘法：利用最小二乘法求解回归系数β0和β1。
2. 公式推导：给出最小二乘法的推导过程，让学生理解其原理。
四、一元线性回归模型的假设检验1. 假设检验方法：介绍一元线性回归模型的假设检验方法，包括t检验和F检验。
2. 公式推导：给出t检验和F检验的公式推导过程，让学生理解其原理。
第二课时一、回顾与巩固1. 回顾一元线性回归的概念、原理、参数估计和假设检验方法。
2. 让学生运用所学知识解决实际问题。
二、案例分析1. 展示一个实际案例，引导学生分析问题并提出解决方案。
2. 分析案例中的变量关系，建立一元线性回归模型。
3. 利用统计软件求解回归系数和进行假设检验。
三、总结与拓展1. 总结一元线性回归模型的应用领域和局限性。
2. 引导学生思考如何在实际问题中运用一元线性回归模型。
3. 拓展一元线性回归模型的应用，如多元线性回归、非线性回归等。
教学评价：1. 学生对一元线性回归的概念、原理和应用的理解程度。
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8.5 一元线性回归案例
湘教版选修 2-3 第 8.5 节
【教学目标】
（一） 知识与技能
了解样本、样本容量、线性回归的概念，理解变量之间的相关系数的概念、 相关系数、一元线性回归直线等概念。
（二） 过程与方法
熟练利用公式求相关系数，掌握求一元线性回归直线方程 l : y = bx + a. 的方 法，加深理解线性回归模型的意义。
判断变量间是否线性相关。
（三） 情感、态度与价值观
培养学生分析问题、解决问题的能力，收集数据和处理数据的能力。
【教材分析】
1. 教学重点：让学生了解线性回归的基本思想和方法。
2. 教学难点：掌握建立回归模型的基本步骤。
3. 变量间的关系：
函数关系：自变量 x 确定 y 唯一确定；（确定关系）
相关关系：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的 随机性的两个变量之间的
关系称为相关关系 。
例如：在水稻产量与施肥量的关系中，施肥量是可控制变量，而水稻产量
是随机变量。
因此只能说明水稻产量与施肥量是相关关系。
现实生活中相关关系大量存在，从某种意义上看，函数是一种理想的关系模型， 而相关关系式一种更为一般的情况，因此更有研究相关关系的必要了。
4. 一元线性回归分析
在具有相关关系的变量中如果因变量仅与一个变量有关，相应的统计分析成 为一元回归分析；若与因变量与多个自变量有关，称为多元线性回归分析。
5. 线性相关性检验：
（相关系数检验法）
当 r
>0 时，我们称其正相关；
当 r
xy <0 时，我们称其负相关； 当
r xy
=0 时，我们称其不相关。
教学过程教师活动学生活动
问题一：如果有两个变量X
和Y，那么这两个变量之间
有什么关系呢？答：
设计意图
引入新知
讲授新知（联系我们之前学过的知函数：涉及了两个变量，自通过对两识，哪些涉及了两个变量并变量X因变量Y，个变量之着重强调两个变量之间的随着自变量X的变化相应间关系的关系呢？）的有唯一的因变量Y与之探讨，既用身高和体重这个例子引对应复习了已出相关关系学的函数那么什么叫做相关关系函数关系知识，又呢？引出这节函数关系与相关关系之间课所要关又有什么异同点呢？相关关系注的相关那么这节课我们就一起来关系。
研究一下相关关系。
在此之前，我们先一起来看
一道例题。
首先我们先一起分析一下答：通过学生表中所给数据，你能得到怎（1）随着年份的增加，船对数据的样的结论呢？只数量X也是在逐年增加观察可以
的；大概得到这是我们从表中数据直接（2）并且随着船只数量的两个变量得到的，一般情况下对于数增加，被撞死的海牛数整体间的关据的处理我们除了可以采呈现一种上升的趋势。
系，但是用列表法，还可以采用图像未来更加法。
那么为了更加直观的反直观便可映整体走势，下面请同学们以借助散根据表中数据在坐标系中点图来帮绘出相应各点。
看看能得到助我们分什么样的结论呢？析。
（用excel绘制散点图）
我们发现绘制出的图形呈
现一个一个的散点，我们称
这样的图形为散点图。
并且从数据散点图看到y
i
有随着x的增加而沿某一
i
直线增加的趋势。
并且这些
n x
2 n - x 2
∑ ( x - x )( y
- y )
∑ ( x - x ) ∑ ( y
- y )
2
x, y , ∑ x 2 , ∑ y 2 , ∑ x y 系数 r 。
散点是相对较均匀的分布 在这条直线的两侧。
那么这 条直线就被我们叫做一元 线性回归直线，
讲
授 新
知
那么这条直线该如何确定 呢？（为了解决确定直线的 问题，我们先给出一些必要 的公式。
）
下面介绍一个新的名词定 义——相关系数。
当 s s ≠ 0 时，…………
x y
我们称其为相关系数、并且 相关系数有如下几条性质：
x + x + ...... + x
x = 1 2 n
n
y + y + ...... + y y = 1 2 n
n
( x - x )2 + ( x - x ) 2 + ...
+ ( x - x )
s 2 = 1 2 n
x
x y + x y + ⋅⋅⋅ + x y
s =
n
- xy
1 1
2
2 n
n
xy
n
i i
r =
i =1
xy
n n
2
i i
2
=
n ∑ i =1
i
1、正相关、负相关和不相
关；（主要根据 90 至 91 页的图形加以说明）
2、.相关系数的取值为[-1,1]
3、相关系数的大小与相关
程度的关系。
既然学习了相关系数，下面 i =1 i =1
从 90 页的六个散点图中， 我们可以发现散点图的密 集程度是不一样的，并且这 种密集程度与相关系数有 着一定的联系，相关系数越 接近 1，X,Y 的线性相关性 越强，并随着 X 的增加 Y 也在线性增加。
我们就一起来解决例一中
的两个问题。
（1）答：要求解 s 和 s , s
xy x
y
（1） 首 先 我 们 先 一 起 来
计算一下例一中两
个变量 X 、Y 的相关
n n n
i i i i =1 i =1 i =1
i
所以
xy
要计算相关系数，就要求解 r = xy 哪些量呢？
（我们发现 r 很接近 1，说 xy
明被撞死的海牛数 Y 和机
动船数 X 正相关，即随着 X 的增加 Y 也是在增加的。
就 此我们可以预测出机动船
979.36
88.56 ⨯11.75
≈ 0.9412
ˆ ˆ
的数量增加时，被撞死的海 牛数也会增加。
）
（2） 那对于问题二，这样
一个具体的数据，我 们要想找到 Y 的一 个大概取值就要确 定这条回归直线的
方程。
最小二乘法：
首 先 设 回 归 直 线 为 （又称最小平方法）
l : y
= bx + a
x 和 y 满足以下关系：
i i
y = bx + a + e （i=1,2,…n ）
i i
i
其中 e , e ,....e 表示随机误
1
2
n
通过最小化误差的平
方和寻找数据的最佳 函数配对。
差。
要想根据表中数据求解 a,b 所利用的方法是最小二乘
b =
s
xy s
2
x
=
979.36 ≈ 0.125,
88.562
法，那什么叫做最小二乘法 呢？
则回归直线：
l : y = 0.125x - 41.5
a = y - bx = 29.43 - 0.125 ⨯ 567.5 ≈ -41.5
小
结
板书设计。