高中数学《线性回归方程》教案

线性回归方程
教学目标:
（1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法； （2）掌握散点图的画法及在统计中的作用； （3）掌握回归直线方程的实际应用。

教学重点: 线性回归方程的求解。

教学难点: 回归直线方程在现实生活与生产中的应用。

教学过程: 一、复习练习
1．下例说法不正确的是（ B ）
A.在线性回归分析中，x 和y 都是变量；
B.变量之间的关系若是非确定关系,那么x 不能由y 唯一确定;
C.由两个变量所对应的散点图,可判断变量之间有无相关关系;
D.相关关系是一种非确定性关系.
2．已知回归方程81.05.0ˆ-=x y
,则x =25时, y 的估计值为__11.69____. 3．三点)24,11(),20,7(),10,3(的线性回归方程是 （ D ） A x y 75.175.1ˆ-= B x y 75.575.1ˆ
+=
C x y 75.575.1ˆ-=
D x y 75.175.1ˆ+=
4．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下： 模型１:x y 46+=：；模型２：e x y ++=46． （１）如果1,3==e x ，分别求两个模型中y 的值； （２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型． 解 (1)模型１：y=6+4x=6+4×3=18; 模型２：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.
(2)模型１中相同的x 值一定得到相同的y 值.所以是确定性模型；模型２中相同的x 值，因 δ不同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型。

二、典例分析
例1、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：
零件个数x （个） 10 20 30 40 50 60
70
80 90 100
加工时间y （分）
62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
请判断y 与x 是否具有线性相关关系，如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程．
解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：
101010
2
2
1
1
1
55,91.7,38500,87777,55950
i i i i i i i x y x y x y ========∑∑∑
10
110
2
2
21
1055950105591.7
0.668385001055
10i i
i i i x y x y
b x x
==--⨯⨯∴=
=
≈-⨯-∑∑
91.70.6685554.96a y bx =-=-⨯≈
因此，所求线性回归方程为0.66854.96y bx a x =+=+ 例2、已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：
x
45 42 46 48 42 35 58 40 39 50
y
6.53 6.30 9.52
7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.59
8.72
x (血球体积,ml )，y （红血球数，百万）
（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程并画出图形．
解：
1
(45424648423558403950)44.5010x =
+++++++++=
1
(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =
+++++++++=7.37
设回归直线方程为y bx a =+
则
10
1
10
2
2
1
100.175
10i i
i i
i x y x y
b x
x
==-=
=-∑∑ a y bx =-= -0.418
所以所求回归直线的方程为0.1750.148y x =-
例3、以下是收集到的新房屋销售价格y 与房屋的大小x 的数据：
房屋大小x （2
m ） 80 105 110 115] 135 销售价格y （万元）
18.4
22
21.6
24.8
29.2
（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（３）计算此时(,)Q a b 和(2,0.2)Q 的值，并作比较． 解：（1）
(2)
55
1
1
5,545,109,116,23.2,
i i i i n x x y y =======∑∑
5
5
2
1
1
60952,12952
i
i i i i x
x y ====∑∑
2
512952545116
0.1962,23.20.1962109 1.8166560952545b a ⨯-⨯=
≈=-⨯≈⨯-
所以,线性回归方程为0.1962 1.8166y x =+ (3) (1.8166,0.1962) 5.171,(2,0.2)7.0Q Q ≈≈
由此可知,求得的 1.8166,0.9162a b ==是函数Q(a,b)取最小值的a ,b 值.
三、课堂练习
1.为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性,甲乙两位同学各自独立做了10次和15次实验,并且利用线性回归直线分别为1l ,2l ,已知两人获得的实验数据中,变量x 和y 的数据平均值都相等,且分别为s,t 那么下例说话正确的是( )
A ．直线1l 和2l 一定有公共点(s,t)
B ．直线1l 和2l 相交,但交点不一定是(s,t)
销售价格y（万元）
0510
1520
2530350
50
100
150
销售价格y（万
元）
C ．必有1l // 2l
D ．1l 和2l 与必定重合
2．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y
2．2
3．8
5．5
6．5
7．0
设y 对x 程线性相关关系．试求：
（1）线性回归方程ˆ
y bx a =+的回归系数a,b ； （2）估计使用年限为10年时，维修费用多少？
四、回顾小结：求线性回归方程的步骤：
(1)x y (2)x y x y (3)i i i i 计算平均数、，
计算与的积，求，
计算，，∑∑∑x y i
i 22
(4)将上述有关结果代入公式，求b ，a 写出回归直线方程． 五、课外作业： 课本第82页第9题．。