高新一中2019届高一下学期期末考试数学试题(解析版)
B. 函数 ( )的图象关于 = − 对称 D. 函数 ( )的图象关于( , 0)对称
【答案】D 【解析】解：第 1 次循环得 = ， = 4， = 2； 第 2 次循环得 = + ， = 6， = 3； 第 3 次循环得 = + + ， = 8， = 4； …； 第 8 次循环得 = + + + ⋯ + ， = 18， = 9；
故：A、B、C 正确． 故选：D． 首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力 和转化能力，属于基础题型．
此时循环结束． 故选：D． 根据题意，模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的 S 值． 本题考查了程序语言的应用问题，是基础题． 8. 已知统计某校 1000 名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示， 则直方图中实 ) 数 a 的值是(
故选：B． 原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值． 此题考查了诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 2. 某校高一年级有学生 1800 人，高二年级有学生 1500 人，高三年级有 1200 人，为了调查学生的视力状 况，采用分层抽样的方法抽取学生，若在抽取的样本中，高一年级的学生有 60 人，则该样本中高三年 级的学生人数为( ) A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】C 【解析】解：设该样本中高三年级的学生人数为 x， 则 = ，解得 = 40，
【答案】D 【解析】解：运行这个程序，先把 + = 25赋值给 a， 再把 − = 25 − 10 = 15赋值给 b， 最后把 − = 25 − 15 = 10赋值给 a， 所以程序运行后输出 a、b 的值分别是 10 与 15． 故选：D． 模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的 a、b 的值． 本题考查了程序运行的应用问题，是基础题．
+ )的图象变换规律，关键是注意自变量 x 的变化，是基础题．
已知 x，y 的取值如表： x y −3 8.0 −1 6.5 2 5.0 6 −0.5 7 −2.0
∧
8 −3.0 )
若 x，y 之间是线性相关，且线性回归直线方程为 = − + ，则实数 a 的值是(
A. −5.5
【答案】B 【解析】解：∵ =
A.
B. 1
C. 28
D. 30
【答案】D ⃗， 【解析】解：由于： ⃗ = 所以 ⃗和 ⃗共线， 由于： ⃗ = (2,4), ⃗ = ( − 1,2)， 则：4( − 1) − 4 = 0， 解得： = 2， 所以： ⃗ = (3,6)， ⃗⋅ ⃗ = 2 × 3 + 4 × 6 = 30 ) 故选：D． 直接利用向量共线的充要条件求出 x 的值，进一步利用向量的数量积求出结果．
A. ≤ 9 B. ≥ 8 C. ≤ 18 D. ≤ 16
A. 函数 ( )的最小正周期为 C. 函数 ( )的最大值为2 + √3
【答案】D 【解析】解：利用排除法， 函数 ( ) = sin2 + 2√3sin ， = sin2 + √3(1 − cos2 )， = 2sin(2 − ) + √3， 所以：函数的最小正周期为： = 函数的最大值为2 + √3， 当 = − 时，函数取得最小值−2 + √3． = ，
. . . .
B. 5.5
=
. .
C. −3.5，Biblioteka D. 3.5= = ，
故选：C． 设该样本中高三年级的学生人数为 x，则 = ，解得即可
本题考查了分层抽样方法的应用问题，是容易题目． 3. 若运行下列程序，则输出 a，b 的值分别为( A. 10，5 B. 10，25 C. 5，15 D. 10，15 )
∴
19 14 =− + 6 6
∴ = 5.5． 故选：B． 根据所给的两组数据，做出横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据线性回归方程一定过 样本中心点，得到线性回归直线一定过的点的坐标． 本题考查线性回归方程的意义， 线性回归方程一定过样本中心点， 本题解题的关键是正确求出样本中心点， 题目的运算量比较小，是一个基础题． 6. 已知 (−1, −1)， (1,3)， ( , 5)，若 ⃗ = ⃗，则 ⃗ ⋅ ⃗=( )
A. 向左平移 个单位
B. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
2019 届高新一中高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. cos(− )的值等于( )
C. 向右平移 个单位
【答案】C 【解析】解：∵ = cos(2 − ) = cos2( − )，
√ √
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4.
要得到 = cos(2 − )的图象，只需将函数 = cos2 的图象(
本题考查的知识要点：向量共线的充要条件的应用，向量的坐标运算的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型．
7. 如图是计算 + + + ⋯ + 条件是( )
的一个程序框图，判断框内应填入的
【解析】解：由频率分布直方图的性质得： 10(0.005 + 0.015 + + 0.035 + 0.015 + 0.010) = 1， 解得 = 0.020． 故选：A． 由频率分布直方图的性质列方程，能求出 a． 本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思 想，是基础题． 9. 已知函数 ( ) = sin2 + 2√3sin ，下列结论错误的是( )
A.
【答案】B 【解析】解：cos(−
B. −
C.
D. −
∴要得到 = cos(2 − )的图象，只需将函数 = cos2 的图象向右平移 个单位． ) = cos = cos(5 + ) = cos( + ) = −cos = − ． 故选：C． 化 = cos(2 − )为 = cos2( − 本题考查函数 = cos( 5. )，再由函数的图象变换规律得答案．
10. 若
= ，则sin
− sin cos − 3cos
=(
)
A.
【答案】C 【解析】解：由 ∴ sin
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2019 届新高一期末考试数学试卷命题：王书朝校对：张叶锋一、选择题（本大题有 3 小题,共24 分）1．已知集合 M=｛1，2，3｝ ,N=｛2，3,4}，则（)( A ）M N（ B）N M( C）M N2，3（ D ）M 2．下列各式正确的是(）（ A ）6( 3）233（ B）4a4a（ C）62 2 323．下列函数中表示同一函数的是（)（ A ）y1, y x（ B ) y x 1 x 1 ， yx( C）。
y x ，y 3 x（ D）y x , y ( x) 2 4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（)( A ）y x e x （B）yx1x5．函数 f (x）a x（a 0， a 1）对任意的（ A) f (xy)f （x) f （ y）( C）f(xy）f ( x）（ y）（ C ） y2x1（ D ） y1 x22xx ， y 都有（）（ B ） f( xy） f (x) f (D ） f（ xy ） f ( x) ( y ）．已知偶函数f ( x)在区间[0， ） 单调递增，则满足 f （2x 1）f (1)63（ A ）（1 ， 2)（B ）［ 1 , 2）（ C ） ( 1 , 2）（D ) [13 33 32 327.x1xx 3 在, a上取得最小值 1,则实数 a的取值函数f（ A ） , 2 （ B )[ 2 2, 2］（ C ） ［2，22]（ D ）8. 设函数fx 3x 1, x 3 f f a2fa的 a 取值范围是（ 2x, x ，则满足3（ A ） 2，4( B) 2， （ C)4,（ D ）4,3 3333二、填空题（每题 4 分，共28分）9 a1 ， f (x ） （a 1）3的图象恒过定点， 则这个定点．若对任意x 2R 上递减，则 a 的取值范围为▲．10．若y f ( x) 在R是奇函数，且当 x0 时， f（x）x22x2 ,则f当 x 0 时, f(x）▲．11．若a log 4 3,则4a 4 a▲; 2a 2 a▲．12. 函数 f(x）2x, x 0，f1 的值等于▲，若 f（a)f(1)x 1,x013．若方程 2 x1a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是▲．14．设非空集合S x｜m x l对任意的 xS ，都有x2S ，若m15．已知关于x的函数f x （1t）x t 2R) 的定义域为D，若存a, b2x（t也是 a， b ，则当t变化时，b a 的最大值为▲．三、解答题16.（本题满分8 分）计算（ 1）（13)011（1）2(9）2( 0.001）3;524（ 2）lg 252lg8lg 5lg20（lg2）2。
2019级高一下学期数学期末考试试卷答案
a1q 2
1 2
，
3 2
，解得 q
1 2
， a1
2.
综上所述：
a1
1 2
或
a1
2
.
16.【答案】5.设 m (2x y)2 , n (x 2 y)2 , 则 4 9 1 ，且 m n 5x2 5 y2 , mn
∴
x2
y2
m
n
m
n
(
4
9)
13 （4n m
9m ） n
3.【答案】D.利用赋值法:令 a 1, b 0 排除 A,B,C,选 D.
合 肥六中卫星 联 校 专用A
4.【答案】C .
m 1
n 3
,
m n
1. 3
5.【答案】B.根据几何概型概率计算公式，即可求出结果.
6.【答案】B.根据茎叶图中数据的分布可得， A 班学生的分数多集中在 70,80 之间， B 班
2
BC
1
BA
AB ， AB
，所以选项
CE 0 ，所以选项
B 错误；
A
错误;
33
以 E 为原点，EA，EC 分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，
如图所示， E(0, 0), A(1, 0), B(1, 0),C(0, 3), D(1 , 2 3 ) ，
33
设 O(0, y), y (0,
综上所述，当 a 3时，不等式解集为 R ； 当 a 3时，不等式的解集为 (,3] [a, ) ； 当 a 3 时，不等式的解集为 (, a] [3, ) .…………………………………………12 分
3),
BO
(1,
y),
DO
最新陕西省西安市高新一中高一下学期第一次阶段性质量检测数学试题(解析版)
2019-2020学年陕西省西安市高新一中高一下学期第一次阶段性质量检测数学试题一、单选题1．已知ABC ∆中，222c a b =+-，那么角C 的大小是( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】由题意根据余弦定理求出cosC 的值，再写出C 的大小． 【详解】∵222c a b =+，∴cos C 2222a b c ab +-===， 又A ∈(0,)π， ∴A ＝6π． 故选：A ． 【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，考查了转化思想，属于基础题．2．已知点(3,5)P -，(2,1)Q ，向量(21,1)m λλ=-+u r ，若//PQ m u u u r u r，则实数λ等于( )A ．113B ．913C ．113-D ．913-【答案】C【解析】由点P 、Q 的坐标计算出向量PQ uuu r，再由向量平行的坐标表示求解出λ即可.【详解】由题意，(3,5)P -，(2,1)Q ，所以(5,4)PQ =-u u u r，又因为//PQ m u u u r u r ，5(1)4(21)0λλ++-=，解得113λ=-.故选：C 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，属于基础题.3．已知ABC V 中，1a =，b =30A =︒，则B Ð等于( )A ．60°B ．120°C ．30°或150°D ．60°或120°【答案】D【解析】由正弦定理求解出sin B 的值，由边角关系、内角范围和特殊角的三角函数值求出B Ð. 【详解】由正弦定理可得，sin 3sin b A B a ==， 又0B π<<，b a >，60B ∴=o 或120B =o . 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及边角关系的应用，解三角形题的时候注意内角的取值范围，属于基础题.4．已知平面向量(2,)a m =-r ，(1,3)b =r，且()a b b -⊥r r r ，则实数m 的值为( )A ．23-B ．23C ．43-D ．43【答案】B【解析】由a r 和b r 求出a b -r r，再由向量垂直的坐标形式，求出m 的值即可.【详解】由(2,)a m =-r ，(1,3)b =r ，得(3,3)a b m -=--r r， ()a b b -⊥r r rQ ，33(3)0m ∴-+-=，23m ∴=.故选：B 【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.5．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB ． a kmC akmD ．2akm【答案】B【解析】先根据题意确定ACB ∠的值，再由余弦定理可直接求得AB 的值． 【详解】在ABC ∆中知∠ACB ＝120°，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCcos120°＝2a 2－2a2×12⎛⎫-⎪⎝⎭＝3a 2，∴AB 故选:B. 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．6．在ABC V 中，cos cos a A b B =，则ABC V 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理将等式两边a 和b 转化成对应角的正弦，利用二倍角正弦公式化简整理，再由正弦值和角的关系即可得到答案. 【详解】cos cos a A b B =，正弦定理可得2sin cos 2sin cos R A A R B B =，即sin 2sin 2A B =，()20,2A π∈，2(0,2)B π∈，22A B ∴=或22A B π+=.∴A B =或2A B π+=，∴ABC V 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角形形状的判断、正弦定理和二倍角的正弦公式的应用，考查学生转化能力，属于基础题.7．在ABC ∆中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足13AN NM =u u u r u u u u r，若(,)AN AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为( )A ．14B ．13C ．1D ．4【答案】A【解析】设BM tBC =u u u u r u u u r，将AN u u u r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示出来，即可找到λ和μ的关系，从而求出λμ+的值． 【详解】解：设(01)BM tBC t =u u u u r u u u r剟，13AN NM =u u u r u u u u r ， 所以11()44AN AM AB BM ==+u u u r u u u u r u u u r u u u u r1144AB tBC =+u u ur u u u r 11()44AB t AC AB =+-u u ur u u u r u u u r 111()444t AB t AC =-+u u ur u u u r ， 又AN AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以1111()4444t t λμ+=-+=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来，属中档题．8．在平行四边形ABCD 中，点M,N 分别在边BC,CD 上，且满足BC 3MC =，DC 4NC = ，若AB 4= ，AD 3=，则AN MN ⋅=u u u r u u u u r( )A ．B ．0CD ．7【答案】B【解析】分析：由题意画出图形，把向量AN u u u r ，MN u u u u r 转化成向量AD u u u r ，AB u u u r求解即可. 详解：如图：BC 3MC =，DC 4NC =，且AB 4= ，AD 3=， 则()()AN MN AD DN MC CN ⋅=++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r311AD AB AD AB 434⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u u ru u u r u u u r u u u r2213AD AB 316u u ur u u u r =-139160316=⨯-⨯=.故答案选B.点睛：本题主要考查向量的几何运算，熟练掌握向量的“三角形运算法则”及“平行四边形运算法则”是解题的关键.意在考查学生的作图能力，运算求解能力，难度一般. 9．平面内ABC ∆及一点O 满足,||||||||AO AB AO AC CO CA CO CBAB AC CA CB ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点O 是ABC ∆的( ) A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心【答案】C【解析】利用表达式，转化推出O 所在的位置，得到结果即可． 【详解】解：平面内ABC ∆及一点O 满足||||AO AB AO ACAB AC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r ， 可得()0||||AB ACAO AB AC -=u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r g ，所以O 在CAB ∠的平分线上， ||||CO CA CO CB CA CB =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r ，可得：()0||||CA CBCO CA CB -=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ， 所以O 在ACB ∠的平分线上， 则点O 是ABC ∆的内心．故选：C ． 【点睛】本题考查向量的综合应用，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30B ∠=︒，ABC ∆的面积为32，且sin sin 2sin A C B +=，则b 的值为( ) A ．4+23 B ．4﹣23C ．3-1D ．3+1【答案】D【解析】先根据三角形面积公式求得ac 的值，利用正弦定理及题设中sin sin 2sin A C B +=，可知a c +的值，代入到余弦定理中求得b ．【详解】解：由已知可得：13sin3022ac ︒=，解得：6ac =，又sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理可得：2a c b +=， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+- 22()2341263a c ac ac b =+--=--，解得：2423b =+， 13b ∴=+．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式，属于基础题．11．如图，在等腰直角三角形ABC 中，2AB AC ==，,D E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅u u u v u u u v 的取值范围是（ ）A ．84[,]93B ．48[,]33C ．88[,]93D ．4[,)3+∞【答案】A【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合向量的坐标运算法则确定数量积的范围即可.【详解】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），设D（x，0），则21,0133 E x x⎛⎫⎛⎫+-≤≤⎪⎪⎝⎭⎝⎭．据此有：(),1AD x=-u u u v，2,13AE x⎛⎫=+-⎪⎝⎭u u u v，则：222181339AD AE x x x⎛⎫⋅=++=++⎪⎝⎭u u u v u u u v.据此可知，当13x=-时，AD AE⋅u u u r u u u r取得最小值89；当1x=-或13x=时，AD AE⋅u u u r u u u r取得最大值43；AD AE⋅u u u v u u u v的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12．在ABC∆中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2b=ABC∆面积为2223)S b a c=--，则ABC∆面积S的最大值为()A ．2B ．4-C ．8-D ．16-【答案】B【解析】由已知利用三角形的面积公式可求tan B ，可得cos B ，sin B 的值，由余弦定理，基本不等式可求8(2ac -„，根据三角形的面积公式即可求解其最大值． 【详解】解：2221)(2cos )sin 2S b a c ac B ac B =--=-=Q ，tan 3B ∴=-，56B π=，cos 2B =-，1sin 2B =，又b =Q 228(2a c ac =++…，8(2ac ∴=„，当且仅当a c =时取等号，111sin 8(24222ABC S ac B ∆∴=⨯⨯=-„∴面积S 的最大值为4-．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．二、填空题13．在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，3AC =，则ABC ∆的面积等于_____.【答案】2【解析】利用三角形面积计算公式即可得出． 【详解】解：ABC ∆的面积：123sin 602ABC S ∆=⨯⨯⨯︒=．【点睛】本题考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知点(1,1)A -，(0,3)B ，(3,4)C ，则AB u u u v 在AC u u u v方向上的投影为__________． 【答案】2【解析】由已知得到()()1,2,4,3,AB AC ==∴u u u v u u u v 向量AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为142310255AB AC AC⋅⨯+⨯===u u u v u u u vu u u v ，故答案为2. 15．已知向量()4,2a =v，(),1b λ=v ，若2a b +v v 与a b -v v 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______．【答案】()(12,1+U【解析】先求出2a b +r r 与a b -r r 的坐标，再根据2a b +r r 与a b -r r 夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数λ的取值范围，． 【详解】Q 向量(4,2)a =r ，(,1)b λ=r ，∴2(42,4)a b λ+=+r r ，(4,1)a b λ-=-r r ，若2a b +r r 与a b -r r 的夹角是锐角，则2a b +r r 与a b -r r 不共线，且它们乘积为正值，即42441λλ+≠-，且()()2(42,4)(4,1)a b a b λλ+⋅-=+⋅-r r r r 220420λλ=+->，求得11λ<<+2λ≠． 【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键． 16．若满足条件3AB C π==的ABC ∆有两个，则边长BC 的取值范围是_____.【答案】2）【解析】由已知条件，根据正弦定理用a 表示出sin A ，由C 的度数及正弦函数的图象可知满足题意ABC ∆有两个A 的范围，然后根据A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sin A 的范围，进而求出BC 的取值范围． 【详解】 解：3C π=Q，AB =BC a =，∴由正弦定理得：sin sin AB BC C A=sin aA =，解得：sin 2a A =， 由题意得：当2(,)33A ππ∈时，满足条件的ABC ∆有两个，12a<<2a <<，故答案为：2) 【点睛】本题考查正弦定理的应用，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，中档题． 17．已知ABC ∆是锐角三角形，若2A B =，则ab的取值范围是_____.【答案】【解析】由正弦定理可得：sin 2sin cos 2cos sin sin a A B BB b B B===，根据题意，确定B 的范围，64B ππ<<，再代入求出即可．【详解】 解：2A B =Q ，∴由正弦定理可得：sin 2sin cos 2cos sin sin a A B BB b B B===， Q 当C 为最大角时2C π<，32A B B π+=>，6B π>，当A 为最大角时2A π<，22B π<，4B π<，∴64B ππ<<，cos B <<，、故ab∈，故答案为：． 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查了三角形求边角的范围，中档题．18．如图，等腰三角形ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒．E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，且满足AE mAB =u u u r u u u r ，AF nAC =u u u r u u u r ，其中m ，(0,1)n ∈，1m n +=，M ，N 分别是EF ，BC 的中点，则||MN 的最小值为_____.【答案】12【解析】根据条件便可得到11(1)(1)22MN m AB n AC =-+-u u u u r u u u r u u u r ，然后两边平方即可得出222(1)(1)(1)(1)MN m n m n =-+----u u u u r ，而由条件1n m =-，代入上式即可得出22331MN m m =-+u u u u r ，从而配方即可求出2MN u u u u r 的最小值，进而得出||MN 的最小值．【详解】解：MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r11()()22AB AC mAB nAC =+-+u u ur u u u r u u u r u u u r 11(1)(1)22m AB n AC =-+-u u u r u u u r ∴22222111(1)(1)(1)(1)442MN m AB n AC m n AB AC =-+-+--u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg22(1)(1)(1)(1)m n m n =-+----；1m n +=Q ，1n m ∴=-，代入上式得：222(1)(1)MN m m m m =-++-u u u u r2331m m =-+ 2113()24m =-+；(0,1)m ∈Q ；∴12m =时，2MN u u u u r 取最小值14； ||MN ∴的最小值为12．故答案为：12．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计算公式，配方求二次函数最值的方法．三、解答题19．设1e u r ，2e u u r 是两个不共线向量，知1228AB e e =-u u u r u r u u r ，123CB e e =+u r u u u r u u r ，122CD e e =-u u u r u r u u r ．（1）证明：A 、B 、D 三点共线（2）若123BF e ke =-u r u u u r u r，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12k =.【解析】（1）先求出BD u u u r ，只要证明存在实数λ，使得AB BD λ=u u u r u u u r即可；（2）利用向量共线定理即可得出． 【详解】解：（1）证明：124BD CD CB e e =-=-u u u r u u u r u u u r u r u u r122(4)2//AB e e BD AB BD ⇒=-=⇒u u u r u r u u r u u u r u u u r，Q AB u u u r 与BD u u u r有公共点，A ∴、B 、D 三点共线（2）解：B Q 、D 、F 三点共线，∴存在实数λ，使BF BD λ=u u u r u u u r， ∴121234e ke e e λλ-=-u ru u ru ru u r，∴12(3)(4)e k e λλ-=-u r u u r又Q 12,e e u r u u r不共线，∴3040k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得3λ=，12k =． 【点睛】本题考查了向量共线定理，属于基础题．20．已知角,,A B C 是ABC ∆的内角，,,a b c 分别是其所对边长，向量2,cos 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，cos ,22A n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭v ，m n ⊥uv v（1）求角A 的大小；（2）若2,cos 3a B ==，求b 的长 .【答案】（1）sin 3B =（2）3b = 【解析】试题分析：（1）根据题意，当两个向量垂直时，其数量积为0，结合三角函数的倍角公式进行运算，又()0,A π∈，再三角函数值进行计算，从而求出角A ；（2）结合（1）的结果，由题意，可根据正弦定理进行运算即可. 试题解析：（1）已知m n v v⊥2cos 2cos 0222A A A m n ∴⋅=-=v vcos 1A A -= 2sin 16A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭1sin 62A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭0A Q π<< 5666A πππ∴-<-<663A A πππ∴-=∴=（2）cos 3B =Q sin B ∴= 由正弦定理sin sin a b A B =得 sin sin B b a A=⋅3b ∴=点睛：此题主要考查了两个向量垂直的数量积的运算，三角函数的恒等变换，以及正弦定理的应用等方面的知识，属于中高档题型，也是高频考题.在解决此类问题的过程中，三角函数的倍角公式、两角和差的正弦公式的应用起到了非常关键的作用，还要注意三角形内角的取值范围.21．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=v v vv v v .(1)求a v 与b v的夹角θ；(2)求||a b +v v .【答案】（1）23πθ=；（2【解析】（1）由(23)(2)61a b a b -⋅+=r r r r 得到6a b ⋅=-r r，又||4,||3a b ==r r 代入夹角公式cos ||||a ba b θ⋅=r rr r ，求出cos θ的值；（2）利用公式||a b +=r r.【详解】（1）因为22(23)(2)6144361a b a b a a b b -⋅+=⇒-⋅-=r r r r r r r r ，所以6a b ⋅=-r r ，因为61 cos432||||a ba bθ⋅-===-⋅r rr r ，因为0θπ≤≤，所以23πθ=.（2）222||()213a b a b a a b b+=+=+⋅+=r r r r r r r r.【点睛】本题考查数量积的运算及其变形运用，特别注意22||a a=r r之间关系的运用与转化，考查基本运算能力.22．ABC∆中，角A,B,C的对边分别为,,a b c，且（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，1129cos72A BD==，，求ABC∆的面积．【答案】（1）（2）103【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简已知表达式，求出B的值即可；（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求b，c的值，再由三角形面积公式可求结果试题解析：（1）,由正弦定理，得,因为，所以，所以,因为，所以. （2）法一：在三角形ABD中，由余弦定理得2221292cos222b bc c A⎛⎛⎫=+-⋅⎪⎝⎭⎝⎭所以221291447bc bc=+-，在三角形ABC中，由正弦定理得sin sinc bC B=，由已知得43sin A=，所以sin sin()C A B=+sin cos cos sinA B A B=+53=，所以57c b=由（1），（2）解得7{5bc==所以1sin1032ABCS bc A==V【考点】余弦定理；正弦定理23．已知函数()πf x sinx sin x 6⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭．()1求()f x 的对称轴所在直线方程及其对称中心；()2在ABC V 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且A f 22⎛⎫=⎪⎝⎭，a 4=，求ABC V 周长的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为5122k x ππ=+，k Z ∈，对称中心为62k ππ⎛+ ⎝⎭，k Z ∈（2）8,4⎛+⎝ 【解析】分析：（1）用两角和的正弦公式展开变形，用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数的形式，再根据正弦函数的性质可得结论；（2）由()22Af =，求得A ，再由余弦定理得,b c 的等量关系，利用基本不等式和三角形中两边之和大于第三边可得b c +的取值范围，从而得周长范围．详解：（1）()21sin cos 2f x x x x =+1cos2111sin2sin2sin 224423x x x x x π-⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭由232x k πππ-=+，∴5122k x ππ=+∴()f x 的对称轴方程为5122k x ππ=+，k Z ∈由23x k ππ-=，∴62k x ππ=+，∴()f x 的对称中心为62k ππ⎛+ ⎝⎭，k Z ∈ （2）∵4a =，∴22222162cos 3b c bc b c bc π=+-=++，∴()216b c bc +-=，∴()()2164b c b c bc ++-=≤，得：()2643b c +≤，,0b c >，∴b c +≤又b c a +>，∴4b c <+≤84a b c <++≤+ 点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：解：∵22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,A π∈，∴2,333A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴33A ππ-=，∴23A π=由正弦定理得：42sin sin sin sin 3b c a B C Aπ===∴b B =，c C =∴)2sin sin sin sin 0333b c B C C C C C πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=+<< ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵2333C πππ<+<，∴4b c <+≤84a b c <++≤∴ABC V的周长范围为8,4⎛+ ⎝。
【优质文档】2019年高一下学期期末数学试卷(解析版)
，∵
，∴
，∴
．
故选： A．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式
所以 A1B NB1 ，故②正确；③：由②知 A1B 面 AMC1 ，又因为 A1B 面 CBA1 ，所以面 AMC 1 面 CBA1 ，故③ 正确综上所述，正确结论的个数为 3，故答案选 D 考点：点线面的位置关系．
6．已知复数
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】 D 【解析】【分析】先计算出 ，然后对 进行化简，得到答案
ti t 0
{
{
2i
a 2t
a2
D． 2
10．复数 z 3 2i （ i 为虚数单位）的共轭复数 z 为（ 1i
）A．
1
5 i B．
1
5
1
i C．
5
1
i D．
5 i
22
22
22
22
【答案】 D【解析】 试题分析： z 3 2i 1i
3 2i 1 i 1i 1i
1 5i ，所以 z 的共轭复数为 z
1
等腰直角 ABC
【 答 案 】 B 【 解 析 】 因 为 AP AB AP AC , 所以 AP ( AB AC ) 0, AP CB 0, AP CB .
又因为 BP PC , 所以 P 为 BC的中点，所以 AP是线段 CB的垂直平分线，所以
19．在
中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，若
、
ABC 的形状为等腰三角形 .
，所以
，
结合向量所成角的范围，可以求得
，故选 D. 点睛：该题考查的是有关向量所成角的问题，在解题的过程
2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）（考试时间为120分钟，满分为150分）一、选择题：本大题共25小题，每小题3分，共75分．1．在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC △的形状是（）．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定【答案】B【解析】由正弦定理：222a b c +<， 故为2220a b c +-<，又∵222cos 2a b c c ab+-=，∴cos 0c <， 又∵0πc <<， ∴ππ2c <<， 故B ．2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为1P ，2P ，3P ，则（）． A ．123P P P =< B ．231P P P =< C ．132P P P =< D ．123P P P ==【答案】D【解析】无论三种中哪一抽法都要求个体被抽概率相同． 选D ．3．若非零实数a ，b ，c 满足a b c >>，则一定成立的不等式是（）．A ．ac bc >B ．ab ac >C ．||||a c b c ->-D ．111a b c<< 【答案】C【解析】A ．a b >，c 不一定为正，错；B ．同A ，a 不一定为正，错；C ．||||a b a c b c >⇒->-正确；D ．反例：1a =，1b =-，2c =-，1111a b=>=-错误， 选C ．4．函数2()f x x =，定义数列{}n a 如下：1()n n a f a +=，*n ∈N ，若给定1a 的值，得到无穷数列{}n a 满足：对任意正整数n ，均有1n n a a +>，则1a 的取值范围是（）．A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【答案】A【解析】由1n n a a +>，2n n a a >，∴(1)0n n a a ->， ∴1n a >或0n a <， 而[1,0]n a ∈-时， 1n n a a +>不对n 恒成立，选A ．5．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“0||1x <”的概率为（）． A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】()(1)050101x s x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩， ∴{}|1,15P x x x =≠-<<， ||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．6．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）．A ．120B ．240C ．280D ．60【答案】A【解析】选从5双中取1双，15C ， 丙从剩下4双任取两双，两双中各取1只， 24C 2224⨯⨯=，∴15C 24120N =⨯=． 选A ．7．设0a >，0b >，则下列不等式中不恒成立的是（）．A ．12a a+≥B ．222(1)a b a b ++-≥CD ．3322a b ab +≥【答案】D【解析】332222()()a b ab a b a ab b +=-+--，当a b <<有3322a b ab +<， 故D 项错误，其余恒成立． 选D ．8．总体由编号为01，02，，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数表选取4个个体．选取的方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）．A ．02B ．1429【答案】D【解析】从表第1行5列，6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号为： 08，02，14，29．∴第四个个体为29． 选D ．9．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）．A ．1B ．5C ．14D ．30【答案】C【解析】S K0 11 25 314 4⇒出14S =．选C ．10．如图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（）．（注：标准差s =x 为1x ，2x ，，n x 的平均数）3272010*******7632组1组A ．12x x <，12s s <B ．12x x <，12s s >C ．12x x >，12s s >D ．12x x >，12s s <【答案】A【解析】第1组7名同学体重为： 53，56，57，58，61，70，72，∴11(535672)61kg 7x =+++=， 222211[(5361)(7261)]43kg 7S =-++-=，第2组7名同学体重为：72，73，61，60，58，56，54，21(545673)62kg 7x =+++=，222221[(5462)(7362)]63kg 7S =-++-=，∴12x x <，2212S S <．故选A ．11．如图给出的是计算111112468100+++++的一个程序框图，则判断框内应填入关于i 的不等式为（）．A ．50i <B ．50i >C ．51i <D ．51i >【答案】B 【解析】11124100+++进行了50次， 第50次结束时，102n =，=51i ， 此时输出，因此50i >． 选B ．12．在()n x y +的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于（）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13【答案】D【解析】()n x y +的展开式第七项系数为6C n ，且最大， 可知此为展开式中间项， 当展开式为奇数项时：62n=，12n =， 当有偶数项时162n +=，11n =， 或172n +=，13n =， 故11n =，12，13． 选D ．13．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球，设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）．A ．25B ．35C ．23D ．910【答案】D【解析】从袋中5球随机摸3个， 有35C 10=，黑白都没有只有1种， 则抽到白或黑概率为1911010-=． 选D ．14．已知数列{}n a 的前n 项的乘积为2n n T c =-，其中c 为常数，*n ∈N ，若43a =，则c =（）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】44433232T ca T c-===-， ∴4c =． 选A ．15．组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司仪、司机思想不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这思想工作，则不同的选派方案共有（）．A ．36种B ．12种C ．18种D ．48种【答案】A【解析】若小张或小赵入选，有选法：113223C C C 24⋅⋅=种，若小张，小赵都入选，有：2323A A 12⋅=种，可知共有241236+=种． 选A ．16．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【答案】A【解析】令1x =，4014(2a a a +++=+，令1x =-，401234(2a a a a a -+-+=-+， 而2202413()()a a a a a ++-+024*******()()a a a a a a a a a a =++++-+-+444(2(2(34)1=-+=-=．选A ．17．有4个人同乘一列有10节车厢的火车，则至少有两人在同一车厢的概率为（）．A ．63125B ．62125C ．63250D ．31125【答案】B【解析】4个人乘10节车厢的火车， 有41010000=种方法，没有两人在一车厢中有410A 10987=⨯⨯⨯种， ∴至少有两人在同一车厢概率为：4104A 49606211010000125p =-==． 选B ．18．某车站，每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某人某天准备在该车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略；先放过第一辆车，如果第二辆车比第一辆车则上第二辆，否则上第三辆车，那么他乘上上等车的概率为（）．A ．14B ．12C ．23D ．13【答案】B【解析】设三车等次为：下、中、上， 它们先后次序为6种： 下 中 上 ×→没乘上上等 下 上 中 √→乘上上等 中 下 上 √ 中 上 下 √ 上 下 中 × 上 中 下 × 情况数为3，12p =． 选B ．19．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A ．151B ．168C ．1306D ．1408【答案】B【解析】共有318C 17163=⨯⨯种事件数， 选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-，11a =，由1、4、7、10、13、16，可得4种， 12a =，由2、5、8、11、14、17，可得4种，3n a =，由3、6、9、12、15、18，可得4种，4311716368p ⨯==⨯⨯．选B ．20．已知数列1:A a ，2a ，，12(0,3)n n a a a a n <<<≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：①数列0，2，4，6具有性质P ． ②若数列A 具有性质P ，则10a =．③数列1a ，2a ，3123(0)a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=， 其中，正确结论的个数是（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】A【解析】①数列0，2，4，6，j i a a +，(13)j i a a j i j -≤≤≤， 两数中都是该数列中项， 432a a -=，①正确，若{}n a 有P 性质，去{}n a 中最大项n a ，n n a a +与n n a a -至少一个为{}n a 中一项，2n a 不是，又由120n a a a ≤≤≤，则0是，0n a =，②正确，③1a ，2a ，3a 有性质P ，1230a a a <<≤， 13a a +，31a a -，至少有一个为{}n a 中一项，1︒．13a a +是{}n a 项，133a a a +=，∴10a =，则23a a +，不是{}n a 中项， ∴322a a a -=⇒∴1322a a a +=．2︒．31a a -为{}n a 中一项，则311a a a -=或2a 或3a ，①若313a a a -=同1︒；②若312a a a -=，则32a a =与23a a <不符； ③311a a a -=，312a a =． 综上1322a a a +=，③正确， 选A ．21．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）．A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-【答案】D 【解析】观察选项有12，1-，1，2． 当2a =时，y ax z =+与22y x =+重合时，纵截距最大，符合， 1a =-时，y ax z =+与y x z =-+重合时，纵截距最大，符合， 12a -<<时，y ax z =+经过(0,2)B 时，纵截距最大，不符合，12，1舍去， 故2a =或1-， 选D ．12x 222．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（）．A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】当12k ≤时，20x k -≥，因此(2)0f x k k --<， 可化为2(2)0x k k --<， 即存在[1,]x ∈+∞，使22()440f x x kx k k =-+-<成立，由于22()44f x x kx k k =-+-的对称轴为 21x k =≤，所以22()44f x x kx k k =-+-，连[1,]x ∈+∞单调递增，因此只要(1)0g <， 即21440k k k -+-<，解得114k <<， 又因12k ≤，所以1142k <≤，当12k >时，2(2)0(2)0f x k k x k k --<⇔---<恒成立，综上，14k >． 选D ．23．设O 为坐标原点，点(4,3)A ，B 是x 正半轴上一点，则OAB △中OBOA的最大值为（）． A ．43B ．53C ．54D ．45【答案】见解析 【解析】(4,3)A ， 3sin 5AOB =∠，sin sin AB OBAOB A=∠，∴sin 5sin sin 3OB A A AB AOB ==∠， 由(0,π)A ∈得sin (0,1]A ∈， ∴当π2A =时55sin 33OB A AB ==， 为最大值：选B ．24．数列{}n a 的通项公式为*||()n a n c n =-∈N ，则“1c ≤”是“{}n a 为递增数列”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】见解析【解析】若{}n a 递增， 1|1|||0n n a a n c n c +-=+--->22(1)()n c n c +->-．∴有12c n <+， ∵1322n +>， ∴1c ≤为{}n a 递增充分不必要条件． 选A ．25．将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m ，则m 的最大值为（）．A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】1︒，5个1分在同列，5m =，2︒，5个1分在两列，则这两列出现最大数至多为3，故2515320m ⨯+⨯=≤，有10m ≤， 3︒，5个1在三列，3515253m ⨯+⨯+⨯≤，∴0m ≤，4︒，若5个1在至少四列中，其中某一列至少有一个数大于3，矛盾，∴1M ≤， 如图可取10． 故选C ．二、填空题：本大题共11小题，每小题3分，共33分．把答案填在题中横线上．26．执行如图所示的程序框图，若1M =，则输出的S =__________；若输出的14S =，则整数M = __________．【答案】见解析 【解析】n S 0 01 2 1M =时，2S =， 2 63 14 当3n =时出来，故3M =．27．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________． 【答案】见解析【解析】7245%74(145%)72.1⨯+⨯-=．28．在一个有三个孩子的家庭中，（1）已知其中一个是女孩，则至少有一个男孩的概率是__________． （2）已知年龄最小的孩子是女孩，则至少有一个男孩的概率是__________． 【答案】见解析【解析】共有2228⨯⨯=种，只有男孩1种除去，只有女孩有1种， ∴161817p =-=-．29．在AOB △的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，加上O 点共12个点，以这12个点为顶点的三角形有__________个． 【答案】见解析【解析】3331267C C C 16S --=，连12个点中任取3个点，除去同一直线上点．30．如图，在23⨯的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有__________个．【答案】见解析【解析】直角边长为1时，2464=⨯个，7214⨯=个， 直角边长为2时，248⨯=个，时，4个， ∴总共有24148450+++=．31．从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a ，从{}2,4,6中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是__________． 【答案】见解析【解析】共有5315⨯=种， b a >有共9种， ∴93155P ==．32．已知正方形ABCD ．（1）在A ，B ，C ，D 四点中任取两点连线，则余下的两点在此直线异侧的概率是__________．（2）向正方形ABCD 内任投一点P ，则PAB △的面积大于正方形ABCD 面积四分之一的概率是__________． 【答案】见解析【解析】（1）共有24C 6=种， 异侧2种， ∴2163P ==．（2）在CDFE 内，14ABC PAB D S S >⋅平行四边形△，【注意有文字】而12CEDF ABCD S S =⋅，∴12P =． OF E CB A D33．已知当实数x ，y 满足12121x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≤时，1ax by +≤恒成立，给出以下命题：①点(,)P x y 所形成的平面区域的面积等于3． ②22x y +的最大值等于2．③以a ，b 为坐标的点(,)Q a b 所形成的平面区域的面积等于4.5． ④a b +的最大值等于2，最小值等于1-． 其中，所有正确命题的序号是__________． 【答案】见解析 【解析】①13322S ==≠，d =②当1x =-，1y =-时， 222x y +=取最大，②对；③1ax by +≤恒成立， 当且仅当111b a a b ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≤≤，③193322S =⨯⨯=，③对；④1a b ==时，2a b +=最大， 12a b ==-时，1a b +=-最小，④对． 综上②③④．34．设M 为不等式组40400x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥，所表示的平面区域，N 为不等式组04t x t y t -⎧⎨-⎩≤≤≤≤所表示的平面区域，其中[0,4]t ∈，在M 内随机取一点A ，记点A 在N 内的概率为P ．（ⅰ）若1t =，则P =__________． （ⅱ）P 的最大值是__________． 【答案】见解析【解析】①不等式组4040x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥0≥平面区域为M ，184162M S =⨯⨯=，不等式组(04)04t x tt y t-⎧⎨-⎩≤≤≤≤≤≤， 表示的面积为2(4)t t - 22(2)8t =--+． 1t =时，283168P -+==． ②2t =时，081162P +==， 且2(4)t t -最大，P 最大．35．若不等式*1111()1232a n n n n n++++>∈+++N 恒成立，则a 的范围__________．【答案】见解析 【解析】设11()12f n n n=+++ 111(1)2212(1)f n n n n +=++++++ 111(1)()212(1)1f n f n n n n +-=+-+++ 1102122n n =->++． ∴()f n 是关于n 递增数列(,2)n n ∈N ≥， ∴7()(2)12f n f =≥， ∴712a <．36．当[1,9]x ∈时，不等式22|3|32x x x kx -++≥恒成立，则k 的取值范围是__________． 【答案】见解析【解析】等价为22|3|32x x x k x -++≥， 设22|3|32()x x x f x x-++=，当13x ≤≤，32()3f x x=+，在[1,3]上单减， min 41(3)3f f ==，当39x <≤，32()2323f x x x =+-≥， 当且仅当322x x=，4x =成立， ∴()f x 最小值为13． ∴13k ≤．三、解答题：（本大题共6小题，每题7分，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）37．已知ABC △为锐角三角形，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 2sin c A =． （1）求角C ．（2）当c =ABC △面积的最大值． 【答案】见解析 【解析】（1）正弦定理：sin sin a cA c=，∵π02c <<，∴π3c =． （2）余弦定理是：2222cos c a b ab c =+-， ∴2212a b ab =+-， 又∵22a b ab ab +-≥， ∴12ab ≤，1sin 2ABC S ab c ==△≤当仅当a b =时取得∴max S =38．已知函数1()(2)a f x a x x a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0a ≠．（Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值． （Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1a =，2()(2)(1)1f x x x x =-=--，()22f x x '=-， ∴∴min (1)1f f ==-， max max[(3),(0)]f f f =，而(3)3(0)f f =>， ∴max 3f =． （Ⅱ）0a >时， 1(2)0a x x a -⎛⎫--> ⎪⎝⎭，∵1120a a a a-+-=>， ∴12a a-<， 此时()0f x >解集为：[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦，0a <时，1(2)0a x x a -⎛⎫--< ⎪⎝⎭．①10a -<<，则12a a-<， ()0f x >解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦．②1a =-，无解．③1a <-，解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦． 综上：0a >，[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦． 10a -<<，1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦1a =-，∅．1a <-，12a x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦．39．在参加某次社会实践的学生中随机选取40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．a（Ⅰ）求a 的值及成绩在区间[80,90)内的学生人数．（Ⅱ）从成绩小于60分的学生中随机选2名学生，求最多有1名学生成绩在区间[50,60)内的概率． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）10.30.150.10.050.05a =----- 0.035=．（Ⅱ）[40,50)有0.00510402⨯⨯=人， [59,60)有0.0110404⨯⨯=人，两名学生都在[50,60)概率为： 2426C 62C 155P ===， ∴23155P =-=求．【注意有文字】40．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，13(2)n n n b b a n -=+≤． （ⅰ）证明：数列13n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）11(31)(31)n n n n n a S S --=-=--- 123n -⋅，2n ≥，∴123(*)n n a n -=⋅∈N ，即11112323233n n n n n n n b b b b -----=+⋅⇔=+， ∴112233n n n n b b ----=， ∴13n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为2的等差数列． （Ⅱ）1nn i c T b ==∑，∴112(1)213nn b n n -=+-=-， ∴1(21)3n n b n -=-⋅， ∴11333(21)3n n T n -=⨯︒+⨯++-⋅ 231333(21)3n n T n =⨯+⨯++-⋅ ∴21212(333)(21)3n n n T n -=--++++-⋅(1)31n n T n =-⋅+，*n ∈N ．41．某大学调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：A 餐厅分数频率分布直方图频率分数B 餐厅分数频数分布表（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A （Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率．（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）(0.0030.0050.012)100.2P =++⨯=， 1000.220N =⨯=人．（Ⅱ）记A 指数比B 高为事件C ，A 评价指数为1为事件1A ，为2为事件2A ，B 评价指数数为0为事件0B ，为1为事件1B ．∴1()(0.020.02)100.4P A =+⨯=，2()0.4P A =，0235()0.1100P B ++==， 14015()0.55100P B +==， 102021()()P C P A B A B A B =++，()0.40.10.40.10.40.550.3P C =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）A ：0.4 1.2⨯=， ()00.10.55120.35 1.25E Y =⨯+⨯+⨯=，EX EY <．选B ．42．设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ． （Ⅰ）若{}|12P x x =-<<，求m 的值． （Ⅱ）当0m >时，求集合P ．（Ⅲ）若{}|32x x P -<<⊆，求m 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵{}|12P x x =-<<，∴1-，2为2(31)2(1)0mx m x m -+++=的两根， 1x =-代入得(31)2(1)0m m m ++++=，∴12m =-．（Ⅱ）(2)[(1)]0x mx m --+>， 当0m >时，112x =，21m x m+=． ①12m m+=时，1m =，2x ≠； ②12m m +>时，01m <<，2x <或1m x m+>；③12m m +<时，1m >，2x >或1m x m+<． 综上01m <<，1|2,m P x x x m +⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭，1m =，{}|72,2P x x x =∈≠， 1m >，1|,2m P x x x m +⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭． （Ⅲ）(3,2)x ∈-时，2(31)2(1)0mx m x m -+++>恒成立， 0m =时，20x -+>，{}|2P x x =<合题， 0m >时，由（I ）得01m <≤合题， 0m <时，1112m m m+=+<， ∴1|2m P x x m +⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 此时13m m +-≤，解得104m -<≤， 综上，1,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．四、附加题43．已知数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅰ）证明：当01q <<时，{}n a 是递减数列．（Ⅱ）若对任意*k ∈N ，都有k a ，2k a +，1k a +成等差数列，求q 的值． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1n n a q -=， 111(1)n n n n n a a q q q q --+-=-=-，当01q <<时：有10n q ->，10q -<， ∴10n n a a +-<， ∴{}n a 为递减数列．（Ⅱ）∵k a ，2k a +，1k a +成等差数列， ∴112()0k k k q q q +--+=， 12(21)0k q q q -⋅--=，∵0q ≠， ∴2210q q --=，解得：1q =或12q =-．44．从某校高一年级随机抽取n 名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：频率（Ⅰ）求n 的值．（Ⅱ）若10a =，补全表中数据，并绘制频率分布直方图．（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，若上述数据的平均值为7.84，求a ，b 的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）2500.04n ==． （Ⅱ）组号 分组 频数 频率1 [5,6) 20.04 2[6,7) 10 0.20 3[7,8) 100.20 4[8,9) 20 0.40 5[9,10)80.16（Ⅲ）112 5.5+10 6.5+7.58.589.578450210950a b a b ⎧⨯⨯⨯+⨯+⨯=-⎪⎨⎪++++=⎩，1515a b =⎧⎨=⎩， ∴158230.465050P +===．频率睡眠时间45．已知关于x 的一元二次方程2220x ax b -+=，其中a ，b ∈R ．（Ⅰ）若a 随机选自集合{}0,1,2,3,4，b 随机选自集合{}0,1,2,3，求方程有实根的概率． （Ⅱ）若a 随机选自区间[0,4]，b 随机选自区间[0,3]，求方程有实根的概率． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）可能发生有4520⨯=个， 有14个符合题意， ∴1472010P ==， 22(2)40a b ∆=-->，∴a b ≥， 此时符合题意．（Ⅱ）[0,4]a ∈，[0,3]b ∈，∴区域{}Ω=()|04,03a b a b ⋅≤≤≤≤， 面积Ω=3412μ⨯=，事件A 为有实根， {}()|04,03,A a b a b a b =⋅≤≤≤≤≥，153433212A μ=⨯-⨯⨯=， ∴1552()Ω128M P A μμ===．46．经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间（单位：分钟）．现从在校学生中随机抽取100人，按上学所学时间分组如下：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得打如图所示的频率分布直方图．(分钟)（Ⅰ）根据图中数据求a 的值．（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分成抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1人被抽中的概率．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）(0.0050.010.030.035)101a ++++⨯=， 0.02a =．（Ⅱ）第3组人数为1000.330⨯=人， 第4组人数为0.210020⨯=人， 第5组人数为0.110010⨯=人， ∴比例为3:2:1，∴第3组，4组，5组各抽3，2，1人． （Ⅲ）记3组人为1A ，2A ，3A ，4组人为1B ，2B ，5组人为1C ，共有28C 15=种， 符合有：11()A B 12()A B 21()A B 22()A B 31()A B 32()A B 12()B B 11(,)B C 21(,)B C 9种，∴93155P ==．47．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率．（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率． （Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列．（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）共有3666=⨯种， 和为6的共5种， ∴536P =． （Ⅱ）1526C 1C 3P ==为抽2个球，有6的概率，∴2232122C (1)3339P P -=⨯⨯=为所求． （Ⅲ）X 可取3，4，5，6， 3336C 1(3)C 20P x ===，2336C 3(4)C 20P x ===，2436C 63(5)C 2010P x ====，2336C 1(6)C 2P x ===．（Ⅳ）11(1)6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，33321331117(2)C C 666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅+⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331121219(3)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331131337(4)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331141461(5)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32221331151591(6)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．48．在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数，现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题，测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20（Ⅰ）根据题中数据，估计这240（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设i P '为第i 题的实测难度，请用i P 和i P '设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）55540.220R P N ===， ∴2400.248N =⨯=人． （Ⅱ）X 可取0，1，2，216220C 12(0)C 19P X ===，11164220C C 32(1)C 95P X ⋅===，24220C 3(2)C 95P X ===．X 0 1 201219959595EX =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）定义2121[()()]i i n n S P P P P n=-++-i P 为第i 题预估难度，且0.05S <，则合理222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=．∵0.0120.05S =<， ∴合理．49．已知数列{}n a 的通项公式为12(1)(1)n n a n n λ+=+-⋅+，其中λ是常数，*n ∈N ． （Ⅰ）当21a =-时，求λ的值．（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？证明你的结论． （Ⅲ）若对于任意*n ∈N ，都有0n a >，求λ的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2n =时2321a λ=-=-， ∴2λ=．（Ⅱ）13a λ=+，232a λ=-，373a λ=+，474a λ=-， 若存在入使{}n a 为等差数列 有：2132a a a =+， 2(32)(3)(73)λλλ-=+++ ∴12λ=-，21332a a λ-=-=，43172a a λ--=-=， 矛盾，∴不存在入使{}n a 为等差数列． （Ⅲ）∵0n a >，∴12(1)(1)0n n n λ++-⋅+>，即1(1)(1)2n nnλ+--⋅<+，n ∈N ．①当n 为正偶数：12nλ<-，随n 增大变大，13222λ<-=．②当n 为正奇数：12nλ<--，随n 变大而变大，2λ-≥． 综上：31,2λ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭．50．设a ∈R ，*n ∈N ，求和：231n a a a a +++++=__________．【答案】见解析【解析】当0a =时，211n a a a ++++=，当1a =时，11n a a n +++=+，当0a ≠，且1a ≠时1111n na a a a+-++=-，∴11,11,11n n a a a a++=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩．51．设数列{}n a 的通项公式为*3()n a n n =∈N ，数列{}n b 定义如下：对任意*m ∈N ，m b 是数列{}n a 中不大于23m 的项的个数，则3b =__________；数列{}m b 的前m 项和m S =__________． 【答案】见解析【解析】633n ≤，∴243n ≤， ∴3243b =， 由233m n ≤， ∴213m n -≤ ∴213m m b -=，3(19)3(91)198m mm S -==--，故243；3(91)8m-．52．已知函数2()(13)4f x mx m x =+--，m ∈R ．当0m <时，若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >，则m 的取值范围为__________． 【答案】见解析【解析】0m <，2(1)(13)4f mx m x =+--开口朝下， 13311222n m x m m-=-=->， 若0(1,)x ∃∈+∞使0()0f x >，则2(13)160m m -+>， 即291010m m ++>， ∴1m <-或109m -<<，综上：1(,1),09⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．53．设不等式组23034057200x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪--⎩≥≥≤，表面的平面区域是W ，则W 中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（）．A ．231B ．230C ．219D ．218【答案】见解析【解析】3405720x y x y -⎧⎨--⎩≥，8060x y =-⎧⎨=-⎩，∴(80,60)A -，23057200x y x y -=⎧⎨--=⎩，6040x y =⎧⎨=⎩， (60,40)B ，分别取80x =-，79-，60，求出y 值， 可知总数有231， 选A ．2x 3。
江苏省苏州市高新区第一中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
17.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B（10，4)，C(2,－4）．
（1）求BC边上的中线所在直线的方程；
(2）求BC边上的高所在直线的方程．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【详解】试题分析:(1）根据中点坐标公式求出 中点 的坐标，根据斜率公式可求得 的斜率，利用点斜式可求 边上的中线所在直线的方程;(2）先根据斜率公式求出 的斜率，从而求出 边上的高所在直线的斜率为 ，利用点斜式可求 边上的高所在直线的方程。
【详解】为使原点 到直线 距离的最大，则 应当最小,于是 应当最小，∴ 应当最大，∴ 应当最小,当且仅当 与直线 垂直时 最小, 的最小值为 到直线 ，即 的距离 ，
设 与 交于点 则 ,
∴
故答案为： .
【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为 最小，同时注意利用三角形相似进行计算.
【详解】以点 为坐标原点, 所在直线为 轴、过点 且平行于 的直线为 轴建立平面直角坐标系，
由题意可知，点 的坐标为 ，设圆拱桥弧所在圆的半径为 ,
,由勾股定理可得 ，即 ，解得 ,
所以，圆心坐标为 ,则圆的方程为 ，
将 代入圆的方程得 ,
，解得 ，
（米）。
故选：A.
【点睛】本题考查圆的方程的应用,求得圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
【详解】由 得 ，
则关于 的方程 解的个数，等价于函数 和 的图象交点个数，
对于函数 ，两边平方得 ，则函数 的图象表示圆 的上半圆，如下图所示：
当直线 与函数 的图象相切于第一象限时， ,则 ，
此时， ， ，解得 ,此时直线 交 轴于点 ；
2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）（考试时间为120分钟，满分为150分）一、选择题：本大题共25小题，每小题3分，共75分．1．在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC △的形状是（）．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定【答案】B【解析】由正弦定理：222a b c +<， 故为2220a b c +-<，又∵222cos 2a b c c ab+-=，∴cos 0c <， 又∵0πc <<， ∴ππ2c <<， 故B ．2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为1P ，2P ，3P ，则（）． A ．123P P P =< B ．231P P P =< C ．132P P P =< D ．123P P P ==【答案】D【解析】无论三种中哪一抽法都要求个体被抽概率相同． 选D ．3．若非零实数a ，b ，c 满足a b c >>，则一定成立的不等式是（）．A ．ac bc >B ．ab ac >C ．||||a c b c ->-D ．111a b c<< 【答案】C【解析】A ．a b >，c 不一定为正，错；B ．同A ，a 不一定为正，错；C ．||||a b a c b c >⇒->-正确；D ．反例：1a =，1b =-，2c =-，1111a b=>=-错误， 选C ．4．函数2()f x x =，定义数列{}n a 如下：1()n n a f a +=，*n ∈N ，若给定1a 的值，得到无穷数列{}n a 满足：对任意正整数n ，均有1n n a a +>，则1a 的取值范围是（）．A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【答案】A【解析】由1n n a a +>，2n n a a >，∴(1)0n n a a ->， ∴1n a >或0n a <， 而[1,0]n a ∈-时， 1n n a a +>不对n 恒成立，选A ．5．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“0||1x <”的概率为（）． A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】()(1)050101x s x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩，∴{}|1,15P x x x =≠-<<， ||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．6．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）．A ．120B ．240C ．280D ．60【答案】A【解析】选从5双中取1双，15C ， 丙从剩下4双任取两双，两双中各取1只， 24C 2224⨯⨯=，∴15C 24120N =⨯=． 选A ．7．设0a >，0b >，则下列不等式中不恒成立的是（）．A ．12a a+≥B ．222(1)a b a b ++-≥CD ．3322a b ab +≥【答案】D【解析】332222()()a b ab a b a ab b +=-+--，a b <<有3322a b ab +<， 故D 项错误，其余恒成立． 选D ．8．总体由编号为01，02，，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数表选取4个个体．选取的方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）．A ．02B ．14 29【答案】D【解析】从表第1行5列，6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号为： 08，02，14，29．∴第四个个体为29． 选D ．9．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）．A ．1B ．5C ．14D ．30【答案】C【解析】S K0 11 25 314 4⇒出14S =．选C ．10．如图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（）．（注：标准差s x 为1x ，2x ，，n x 的平均数）3272010*******7632组1组A ．12x x <，12s s <B ．12x x <，12s s >C ．12x x >，12s s >D ．12x x >，12s s <【答案】A【解析】第1组7名同学体重为： 53，56，57，58，61，70，72，∴11(535672)61kg 7x =+++=，222211[(5361)(7261)]43kg 7S =-++-=，第2组7名同学体重为：72，73，61，60，58，56，54，21(545673)62kg 7x =+++=，222221[(5462)(7362)]63kg 7S =-++-=，∴12x x <，2212S S <．故选A ．11．如图给出的是计算111112468100+++++的一个程序框图，则判断框内应填入关于i 的不等式为（）．A ．50i <B ．50i >C ．51i <D ．51i >【答案】B 【解析】11124100+++进行了50次， 第50次结束时，102n =，=51i ， 此时输出，因此50i >． 选B ．12．在()n x y +的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于（）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13【答案】D【解析】()n x y +的展开式第七项系数为6C n ，且最大， 可知此为展开式中间项， 当展开式为奇数项时：62n=，12n =， 当有偶数项时162n +=，11n =， 或172n +=，13n =， 故11n =，12，13． 选D ．13．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球，设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）．A ．25B ．35C ．23D ．910【答案】D【解析】从袋中5球随机摸3个， 有35C 10=，黑白都没有只有1种， 则抽到白或黑概率为1911010-=． 选D ．14．已知数列{}n a 的前n 项的乘积为2n n T c =-，其中c 为常数，*n ∈N ，若43a =，则c =（）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】44433232T ca T c-===-， ∴4c =． 选A ．15．组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司仪、司机思想不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这思想工作，则不同的选派方案共有（）．A ．36种B ．12种C ．18种D ．48种【答案】A【解析】若小张或小赵入选，有选法：113223C C C 24⋅⋅=种，若小张，小赵都入选，有：2323A A 12⋅=种，可知共有241236+=种． 选A ．16．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【答案】A【解析】令1x =，4014(2a a a +++=+，令1x =-，401234(2a a a a a -+-+=-， 而2202413()()a a a a a ++-+024*******()()a a a a a a a a a a =++++-+-+444(2(2(34)1=-=-=．选A ．17．有4个人同乘一列有10节车厢的火车，则至少有两人在同一车厢的概率为（）．A ．63125B ．62125C ．63250D ．31125【答案】B【解析】4个人乘10节车厢的火车， 有41010000=种方法，没有两人在一车厢中有410A 10987=⨯⨯⨯种， ∴至少有两人在同一车厢概率为：4104A 49606211010000125p =-==． 选B ．18．某车站，每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某人某天准备在该车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略；先放过第一辆车，如果第二辆车比第一辆车则上第二辆，否则上第三辆车，那么他乘上上等车的概率为（）．A ．14B ．12C ．23D ．13【答案】B【解析】设三车等次为：下、中、上， 它们先后次序为6种： 下 中 上 ×→没乘上上等 下 上 中 √→乘上上等 中 下 上 √ 中 上 下 √ 上 下 中 × 上 中 下 × 情况数为3，12p =． 选B ．19．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A ．151B ．168C ．1306D ．1408【答案】B【解析】共有318C 17163=⨯⨯种事件数， 选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-，11a =，由1、4、7、10、13、16，可得4种， 12a =，由2、5、8、11、14、17，可得4种， 3n a =，由3、6、9、12、15、18，可得4种，4311716368p ⨯==⨯⨯．选B ．20．已知数列1:A a ，2a ，，12(0,3)n n a a a a n <<<≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论： ①数列0，2，4，6具有性质P ． ②若数列A 具有性质P ，则10a =．③数列1a ，2a ，3123(0)a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=， 其中，正确结论的个数是（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】A【解析】①数列0，2，4，6，j i a a +，(13)j i a a j i j -≤≤≤， 两数中都是该数列中项， 432a a -=，①正确，若{}n a 有P 性质，去{}n a 中最大项n a ，n n a a +与n n a a -至少一个为{}n a 中一项，2n a 不是，又由120n a a a ≤≤≤，则0是，0n a =，②正确，③1a ，2a ，3a 有性质P ，1230a a a <<≤， 13a a +，31a a -，至少有一个为{}n a 中一项，1︒．13a a +是{}n a 项，133a a a +=，∴10a =，则23a a +，不是{}n a 中项， ∴322a a a -=⇒∴1322a a a +=．2︒．31a a -为{}n a 中一项，则311a a a -=或2a 或3a ，①若313a a a -=同1︒；②若312a a a -=，则32a a =与23a a <不符； ③311a a a -=，312a a =． 综上1322a a a +=，③正确， 选A ．21．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）．A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-【答案】D 【解析】观察选项有12，1-，1，2． 当2a =时，y ax z =+与22y x =+重合时，纵截距最大，符合， 1a =-时，y ax z =+与y x z =-+重合时，纵截距最大，符合， 12a -<<时，y ax z =+经过(0,2)B 时，纵截距最大，不符合，12，1舍去， 故2a =或1-， 选D ．12x 222．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（）．A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】当12k ≤时，20x k -≥，因此(2)0f x k k --<， 可化为2(2)0x k k --<， 即存在[1,]x ∈+∞，使22()440f x x kx k k =-+-<成立，~由于22()44f x x kx k k =-+-的对称轴为 21x k =≤，所以22()44f x x kx k k =-+-，连[1,]x ∈+∞单调递增，因此只要(1)0g <， 即21440k k k -+-<，解得114k <<， 又因12k ≤，所以1142k <≤，当12k >时，2(2)0(2)0f x k k x k k --<⇔---<恒成立，综上，14k >． 选D ．23．设O 为坐标原点，点(4,3)A ，B 是x 正半轴上一点，则OAB △中OBOA的最大值为（）． A ．43B ．53C ．54D ．45【答案】见解析 【解析】(4,3)A ， 3sin 5AOB =∠，sin sin AB OBAOB A=∠，∴sin 5sin sin 3OB A A AB AOB ==∠， 由(0,π)A ∈得sin (0,1]A ∈， ∴当π2A =时55sin 33OB A AB ==， 为最大值：选B ．24．数列{}n a 的通项公式为*||()n a n c n =-∈N ，则“1c ≤”是“{}n a 为递增数列”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】见解析【解析】若{}n a 递增， 1|1|||0n n a a n c n c +-=+--->22(1)()n c n c +->-．∴有12c n <+， ∵1322n +>， ∴1c ≤为{}n a 递增充分不必要条件． 选A ．25．将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m ，则m 的最大值为（）．A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】1︒，5个1分在同列，5m =，2︒，5个1分在两列，则这两列出现最大数至多为3，故2515320m ⨯+⨯=≤，有10m ≤， 3︒，5个1在三列，3515253m ⨯+⨯+⨯≤，∴0m ≤，4︒，若5个1在至少四列中，其中某一列至少有一个数大于3，矛盾，∴1M ≤， 如图可取10． 故选C ．二、填空题：本大题共11小题，每小题3分，共33分．把答案填在题中横线上．26．执行如图所示的程序框图，若1M =，则输出的S =__________；若输出的14S =，则整数M = __________．【答案】见解析 【解析】n S 0 01 2 1M =时，2S =， 2 63 14 当3n =时出来，故3M =．27．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________． 【答案】见解析【解析】7245%74(145%)72.1⨯+⨯-=．28．在一个有三个孩子的家庭中，（1）已知其中一个是女孩，则至少有一个男孩的概率是__________． （2）已知年龄最小的孩子是女孩，则至少有一个男孩的概率是__________． 【答案】见解析【解析】共有2228⨯⨯=种，只有男孩1种除去，只有女孩有1种， ∴161817p =-=-．29．在AOB △的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，加上O 点共12个点，以这12个点为顶点的三角形有__________个． 【答案】见解析【解析】3331267C C C 16S --=，连12个点中任取3个点，除去同一直线上点．30．如图，在23⨯的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有__________个．【答案】见解析【解析】直角边长为1时，2464=⨯个，7214⨯=个， 直角边长为2时，248⨯=个，时，4个， ∴总共有24148450+++=．31．从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a ，从{}2,4,6中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是__________． 【答案】见解析【解析】共有5315⨯=种， b a >有共9种， ∴93155P ==．32．已知正方形ABCD ．（1）在A ，B ，C ，D 四点中任取两点连线，则余下的两点在此直线异侧的概率是__________．（2）向正方形ABCD 内任投一点P ，则PAB △的面积大于正方形ABCD 面积四分之一的概率是__________． 【答案】见解析【解析】（1）共有24C 6=种， 异侧2种， ∴2163P ==．~（2）在CDFE 内，14ABC PAB D S S >⋅平行四边形△，【注意有文字】而12CEDF ABCD S S =⋅，∴12P =． OF E CB A D33．已知当实数x ，y 满足12121x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≤时，1ax by +≤恒成立，给出以下命题：①点(,)P x y 所形成的平面区域的面积等于3． ②22x y +的最大值等于2．③以a ，b 为坐标的点(,)Q a b 所形成的平面区域的面积等于4.5． ④a b +的最大值等于2，最小值等于1-． 其中，所有正确命题的序号是__________． 【答案】见解析 【解析】①13322S ==≠，d =②当1x =-，1y =-时， 222x y +=取最大，②对；③1ax by +≤恒成立， 当且仅当111b a a b ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≤≤，~③193322S =⨯⨯=，③对；④1a b ==时，2a b +=最大， 12a b ==-时，1a b +=-最小，④对． 综上②③④．34．设M 为不等式组40400x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥，所表示的平面区域，N 为不等式组04t x t y t -⎧⎨-⎩≤≤≤≤所表示的平面区域，其中[0,4]t ∈，在M 内随机取一点A ，记点A 在N 内的概率为P ．（ⅰ）若1t =，则P =__________． （ⅱ）P 的最大值是__________． 【答案】见解析【解析】①不等式组4040x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥0≥平面区域为M ，184162M S =⨯⨯=，不等式组(04)04t x tt y t -⎧⎨-⎩≤≤≤≤≤≤， 表示的面积为2(4)t t - 22(2)8t =--+． 1t =时，283168P -+==． ②2t =时，081162P +==， 且2(4)t t -最大，P 最大．35．若不等式*1111()1232a n n n n n++++>∈+++N 恒成立，则a 的范围__________．~【答案】见解析 【解析】设11()12f n n n=+++ 111(1)2212(1)f n n n n +=++++++ 111(1)()212(1)1f n f n n n n +-=+-+++ 1102122n n =->++． ∴()f n 是关于n 递增数列(,2)n n ∈N ≥， ∴7()(2)12f n f =≥， ∴712a <．36．当[1,9]x ∈时，不等式22|3|32x x x kx -++≥恒成立，则k 的取值范围是__________． 【答案】见解析【解析】等价为22|3|32x x x k x -++≥， 设22|3|32()x x x f x x-++=，当13x ≤≤，32()3f x x=+，在[1,3]上单减， min 41(3)3f f ==，当39x <≤，32()2323f x x x =+-≥， 当且仅当322x x=，4x =成立， ∴()f x 最小值为13． ∴13k ≤．三、解答题：（本大题共6小题，每题7分，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）37．已知ABC △为锐角三角形，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 2sin c A =． （1）求角C ．（2）当c =时，求ABC △面积的最大值． 【答案】见解析 【解析】（1）正弦定理：sin sin a cA c=，∵π02c <<，∴π3c =． （2）余弦定理是：2222cos c a b ab c =+-， ∴2212a b ab =+-， 又∵22a b ab ab +-≥， ∴12ab ≤，1sin 2ABC S ab c ==△≤当仅当a b =时取得∴max S =38．已知函数1()(2)a f x a x x a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0a ≠．（Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值． （Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1a =，2()(2)(1)1f x x x x =-=--，()22f x x '=-， ∴∴min (1)1f f ==-， max max[(3),(0)]f f f =，而(3)3(0)f f =>， ∴max 3f =． （Ⅱ）0a >时， 1(2)0a x x a -⎛⎫--> ⎪⎝⎭，∵1120a a a a-+-=>， ∴12a a-<， 此时()0f x >解集为：[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦，0a <时，1(2)0a x x a -⎛⎫--< ⎪⎝⎭．①10a -<<，则12a a-<， ()0f x >解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦．②1a =-，无解．③1a <-，解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦． 综上：0a >，[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦． 10a -<<，1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦1a =-，∅．1a <-，12a x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦．39．在参加某次社会实践的学生中随机选取40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．a（Ⅰ）求a 的值及成绩在区间[80,90)内的学生人数．（Ⅱ）从成绩小于60分的学生中随机选2名学生，求最多有1名学生成绩在区间[50,60)内的概率． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）10.30.150.10.050.05a =----- 0.035=．（Ⅱ）[40,50)有0.00510402⨯⨯=人， [59,60)有0.0110404⨯⨯=人，两名学生都在[50,60)概率为：2426C 62C 155P ===， ∴23155P =-=求．【注意有文字】40．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，13(2)n n n b b a n -=+≤． （ⅰ）证明：数列13n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）11(31)(31)n n n n n a S S --=-=--- 123n -⋅，2n ≥，∴123(*)n n a n -=⋅∈N ，即11112323233n n n n n n n b b b b -----=+⋅⇔=+， ∴112233n n n n b b ----=， ∴13n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为2的等差数列． （Ⅱ）1nn i c T b ==∑，∴112(1)213nn b n n -=+-=-， ∴1(21)3n n b n -=-⋅， ∴11333(21)3n n T n -=⨯︒+⨯++-⋅ 231333(21)3n n T n =⨯+⨯++-⋅ ∴21212(333)(21)3n n n T n -=--++++-⋅(1)31n n T n =-⋅+，*n ∈N ．41．某大学调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：A 餐厅分数频率分布直方图频率分数B 餐厅分数频数分布表（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A （Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率．（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）(0.0030.0050.012)100.2P =++⨯=， 1000.220N =⨯=人．（Ⅱ）记A 指数比B 高为事件C ，A 评价指数为1为事件1A ，为2为事件2A ，B 评价指数数为0为事件0B ，为1为事件1B ．∴1()(0.020.02)100.4P A =+⨯=， 2()0.4P A =，~0235()0.1100P B ++==， 14015()0.55100P B +==， 102021()()P C P A B A B A B =++，()0.40.10.40.10.40.550.3P C =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）A ：0.4 1.2⨯=， ()00.10.55120.35 1.25E Y =⨯+⨯+⨯=，EX EY <．选B ．42．设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ． （Ⅰ）若{}|12P x x =-<<，求m 的值． （Ⅱ）当0m >时，求集合P ．（Ⅲ）若{}|32x x P -<<⊆，求m 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵{}|12P x x =-<<，∴1-，2为2(31)2(1)0mx m x m -+++=的两根， 1x =-代入得(31)2(1)0m m m ++++=，∴12m =-．（Ⅱ）(2)[(1)]0x mx m --+>， 当0m >时，112x =，21m x m+=． ①12m m+=时，1m =，2x ≠； ②12m m +>时，01m <<，2x <或1m x m +>； ③12m m +<时，1m >，2x >或1m x m+<．~综上01m <<，1|2,m P x x x m +⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭，1m =，{}|72,2P x x x =∈≠， 1m >，1|,2m P x x x m +⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭． （Ⅲ）(3,2)x ∈-时，2(31)2(1)0mx m x m -+++>恒成立， 0m =时，20x -+>，{}|2P x x =<合题， 0m >时，由（I ）得01m <≤合题， 0m <时，1112m m m+=+<， ∴1|2m P x x m +⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 此时13m m +-≤，解得104m -<≤， 综上，1,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．四、附加题43．已知数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅰ）证明：当01q <<时，{}n a 是递减数列．（Ⅱ）若对任意*k ∈N ，都有k a ，2k a +，1k a +成等差数列，求q 的值． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1n n a q -=， 111(1)n n n n n a a q q q q --+-=-=-，当01q <<时：有10n q ->，10q -<， ∴10n n a a +-<， ∴{}n a 为递减数列．（Ⅱ）∵k a ，2k a +，1k a +成等差数列， ∴112()0k k k q q q +--+=， 12(21)0k q q q -⋅--=，∵0q ≠， ∴2210q q --=， 解得：1q =或12q =-．44．从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：频率（Ⅰ）求n的值．（Ⅱ）若10a=，补全表中数据，并绘制频率分布直方图．（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2500.04n==．（Ⅱ）组号分组频数频率1[5,6)20.042[6,7)100.203[7,8)100.204[8,9)200.405[9,10)80.16（Ⅲ）112 5.5+10 6.5+7.58.589.5784 50210950a ba b⎧⨯⨯⨯+⨯+⨯=-⎪⎨⎪++++=⎩，1515a b =⎧⎨=⎩， ∴158230.465050P +===．频率睡眠时间45．已知关于x 的一元二次方程2220x ax b -+=，其中a ，b ∈R ．（Ⅰ）若a 随机选自集合{}0,1,2,3,4，b 随机选自集合{}0,1,2,3，求方程有实根的概率． （Ⅱ）若a 随机选自区间[0,4]，b 随机选自区间[0,3]，求方程有实根的概率． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）可能发生有4520⨯=个， 有14个符合题意， ∴1472010P ==， 22(2)40a b ∆=-->，∴a b ≥， 此时符合题意．（Ⅱ）[0,4]a ∈，[0,3]b ∈，∴区域{}Ω=()|04,03a b a b ⋅≤≤≤≤， 面积Ω=3412μ⨯=，事件A 为有实根， {}()|04,03,A a b a b a b =⋅≤≤≤≤≥，153433212A μ=⨯-⨯⨯=， ∴1552()Ω128M P A μμ===．46．经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间（单位：分钟）．现从在校学生中随机抽取100人，按上学所学时间分组如下：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得打如图所示的频率分布直方图．(分钟)（Ⅰ）根据图中数据求a 的值．（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分成抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1人被抽中的概率．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）(0.0050.010.030.035)101a ++++⨯=， 0.02a =．（Ⅱ）第3组人数为1000.330⨯=人， 第4组人数为0.210020⨯=人， 第5组人数为0.110010⨯=人， ∴比例为3:2:1，∴第3组，4组，5组各抽3，2，1人． （Ⅲ）记3组人为1A ，2A ，3A ，4组人为1B ，2B ，5组人为1C ，共有28C 15=种， 符合有：11()A B 12()A B 21()A B 22()A B 31()A B 32()A B 12()B B 11(,)B C 21(,)B C 9种，∴93155P ==．47．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率． （Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率． （Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列．（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列．~【答案】见解析【解析】（Ⅰ）共有3666=⨯种， 和为6的共5种， ∴536P =． （Ⅱ）1526C 1C 3P ==为抽2个球，有6的概率，∴2232122C (1)3339P P -=⨯⨯=为所求． （Ⅲ）X 可取3，4，5，6， 3336C 1(3)C 20P x ===，2336C 3(4)C 20P x ===，2436C 63(5)C 2010P x ====，2336C 1(6)C 2P x ===．（Ⅳ）11(1)6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，33321331117(2)C C 666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅+⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331121219(3)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331131337(4)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331141461(5)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331151591(6)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．48．在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数，现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题，测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20（Ⅰ）根据题中数据，估计这240（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设i P '为第i 题的实测难度，请用i P 和i P '设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）55540.220R P N ===， ∴2400.248N =⨯=人． （Ⅱ）X 可取0，1，2，216220C 12(0)C 19PX ===，11164220C C 32(1)C 95P X ⋅===， 24220C 3(2)C 95P X ===．33801219959595EX =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）定义2121[()()]i i n n S P P P P n=-++-~i P 为第i 题预估难度，且0.05S <，则合理222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=．∵0.0120.05S =<， ∴合理．49．已知数列{}n a 的通项公式为12(1)(1)n n a n n λ+=+-⋅+，其中λ是常数，*n ∈N ． （Ⅰ）当21a =-时，求λ的值．（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？证明你的结论． （Ⅲ）若对于任意*n ∈N ，都有0n a >，求λ的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2n =时2321a λ=-=-， ∴2λ=．（Ⅱ）13a λ=+，232a λ=-，373a λ=+，474a λ=-， 若存在入使{}n a 为等差数列 有：2132a a a =+， 2(32)(3)(73)λλλ-=+++ ∴12λ=-，21332a a λ-=-=，43172a a λ--=-=， 矛盾，∴不存在入使{}n a 为等差数列． （Ⅲ）∵0n a >，∴12(1)(1)0n n n λ++-⋅+>，即1(1)(1)2n nnλ+--⋅<+，n ∈N ．①当n 为正偶数：12nλ<-，随n 增大变大，13222λ<-=．②当n 为正奇数：12nλ<--，随n 变大而变大，2λ-≥． 综上：31,2λ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭．50．设a ∈R ，*n ∈N ，求和：231n a a a a +++++=__________．【答案】见解析【解析】当0a =时，211n a a a ++++=，当1a =时，11n a a n +++=+，当0a ≠，且1a ≠时1111n na a a a+-++=-，∴11,11,11n n a a a a++=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩．51．设数列{}n a 的通项公式为*3()n a n n =∈N ，数列{}n b 定义如下：对任意*m ∈N ，m b 是数列{}n a 中不大于23m 的项的个数，则3b =__________；数列{}m b 的前m 项和m S =__________． 【答案】见解析【解析】633n ≤，∴243n ≤， ∴3243b =， 由233m n ≤， ∴213m n -≤ ∴213m m b -=，3(19)3(91)198m m m S -==--，故243；3(91)8m-．52．已知函数2()(13)4f x mx m x =+--，m ∈R ．当0m <时，若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >，则m 的取值范围为__________． 【答案】见解析【解析】0m <，2(1)(13)4f mx m x =+--开口朝下， 13311222n m x m m-=-=->， 若0(1,)x ∃∈+∞使0()0f x >， 则2(13)160m m -+>， 即291010m m ++>， ∴1m <-或109m -<<，综上：1(,1),09⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．53．设不等式组23034057200x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪--⎩≥≥≤，表面的平面区域是W ，则W 中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（）．A ．231B ．230C ．219D ．218【答案】见解析【解析】3405720x y x y -⎧⎨--⎩≥，8060x y =-⎧⎨=-⎩，∴(80,60)A -，23057200x y x y -=⎧⎨--=⎩，6040x y =⎧⎨=⎩， (60,40)B ，分别取80x =-，79-，60，求出y 值， 可知总数有231， 选A ．2x 3。
2019年高一下学期期末数学试题 含答案
2019年高一下学期期末数学试题 含答案注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 4．第19、20题，请四星级高中学生选做（A ），三星级高中与普通高中学生选做（B ），否则不给分.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合，，若，则= ▲ ． 2．函数的最小正周期为 ▲ . 3．在等比数列中，若，则= ▲ ． 4．直线的倾斜角的大小为 ▲ ． 5．在中，若，则= ▲ ．6．已知直线与 平行，则实数 ▲ ．7．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，则该正四棱锥的侧面积为 ▲ ． 8．如图，在中，，，，则= ▲ ． 9．设，则= ▲ ．10．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面． ①若，，则； ②若， ，，则； ③若，，，则； ④若，，，则．上述命题中为真命题的是 ▲ （填写所有真命题的序号）． 11．若方程的解在区间内，则= ▲ ． 12．若函数的最小值为，则实数的值为 ▲ ．13．已知数列为等差数列，若，则数列的最小项是第 ▲ 项．14．在平面直角坐标系中，若曲线上恰好有三个点到直线的距离为1，则的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在斜三棱柱中，已知侧面底面，，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面.E F A 1 B 1C 1A BC第8题16．（本小题满分14分）在中，角所对的边分别为，设，. （1）当时，求的值；（2）若，当取最大值时，求. 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程；（2）设直线与圆相交于两点，坐标原点到直线的距离为，且的面积为，求直线的方程.18．（本小题满分16分）根据国际公法，外国船只不得进入离我国海岸线12海里以内的区域（此为我国领海，含分界线）. 若外国船只进入我国领海，我方将向其发出警告令其退出. 如图，已知直线为海岸线，是相距12海里的两个观测站，现发现一外国船只航行于点处，此时我方测得，（，）. （1）试问当时，我方是否应向该外国船只发出警告？（2）若，则当在什么范围内时，我方应向该外国船只发出警告？A B P第18题 ·O x yA B ·第17题19．（本小题满分16分） （A ）（四星级高中学生做）已知数列是首项为1，公差为的等差数列；数列是公比为2的等比数列，且的前4项的和为152.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列中满足的所有项的和；（3）设数列满足，若是数列中的最大项，求公差的取值范围.（B ）（三星级高中及普通高中学生做）已知数列是首项为1，公差为的等差数列；数列是公比为2的等比数列，且的前4项的和为152.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列中满足的所有项的和；（3）设数列满足，数列的前项和为，若的最大值为，求公差的取值范围. 20．（本小题满分16分） （A ）（四星级高中学生做）（1）求证：函数在上是单调递增函数； （2）求函数的值域；（3）设函数，若对任意的实数，都有，求实数的取值范围.（B ）（三星级高中及普通高中学生做） （1）求证：函数在上是单调递增函数； （2）求函数的值域；（3）设函数，求的最小值.xx/xx 学年度第二学期期终调研考试高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分.1．1 2． 3． 4．120°() 5． 6． 7．488．16 9．20 10．①④ 11．3 12． －1 13．8 14．二、解答题：本大题共6小题,共计90分.15．证明:（1）在中，因为分别是,的中点，所以， ……4分又面，面，所以平面. …………7分（2）因为，且是的中点，所以，故，又侧面底面，且侧面，所以底面. …………11分又面，所以面面. …………14分 16．解: （1）当时，， …………3分所以. …………6分 （2）因为3(1cos )sin 2sin()3m n A A A π⋅=++=+所以当取最大值时，. …………10分 又，则由余弦定理得，解之得或. …………14分 17．解:（1）因为，，所以，AB 的中点为，故线段AB 的垂直平分线的方程为，即，由，解得圆心坐标为. …………4分 所以半径r 满足. …………6分 故圆的标准方程为. …………7分 （2）因为，所以.①当直线与x 轴垂直时，由坐标原点到直线的距离为知，直线的方程为 或，经验证，此时，不适合题意； …………9分 ②当直线与x 轴不垂直时，设直线的方程为， 由坐标原点到直线的距离为，得 （*）， …………11分 又圆心到直线的距离为，所以， 即 （**）， …………13分 由（*），（**）解得.综上所述，直线的方程为或. …………14分 18．解：（1）如图：过P 作PH 垂直AB 于H ，因为，所以，所以AB=PB=12， …………4分 所以PH=AB ，所以应向该外国船只发出警告. …………7分 （2）在中，由正弦定理得：，所以，所以()()()βαβαβαπβαβπ+=--=-⋅=sin sin sin 12sin sin sin 12sin PB PH ， …………10分令，得，即，所以， …………12分 又因为，所以为锐角，且，所以，即， …………14分 故，即，解得，所以当时，我方应向该外国船只发出警告. …………16分 19．（A ）（四星级高中学生做）解:（1）因为是公比为2的等比数列，且其前4项的和为152，所以，解得， …………2分所以. …………4分 （2）因为数列是首项为1，公差的等差数列，所以， 由，得，解得， …………6分所以满足的所有项为，这是首项为，公差为3的等差数列， 共43－22+1=22项，故其和为. …………9分 （3）由题意，得，因为是的最大项，所以首先有且， 即且，解得. …………12分 ① 当时，在的条件下，， 但时，，所以此时是最大的； …………14分A BPH②当时，由，得18(14),218(14),2(12)8(14)d d d d d ⎧≤+⎪⎪+≤+⎨⎪+≤+⎪⎩，解得1564731314d d d ⎧≥-⎪⎪⎪≥-⎨⎪⎪≥-⎪⎩.综合①②，所求的公差的取值范围是. …………16分（B ）（三星级高中及普通高中学生做） 解：（1）（2）同（A ）（3）因为，若，则，所以，此时无最大项，所以， …………12分 此时单调递减，欲的最大项为，则必有，即，…………14分又，所以，解得. …………16分 20．（A ）（四星级高中学生做） 解：（1）证明：设，且，因为112212121211()()(22)(22)(22)()22xx x x x x x x f x f x ---=+-+=-+- 21121212121222(22)(21)(22)22x x x x x x x x x x x x +++---=-+=， …………3分因为，所以，所以在上是单调递增函数. …………5分 （2）由（1）知，当时，，即， …………7分又因为，所以是偶函数，所以当时，的值域为. …………9分 （3）因为对任意的实数，都有，所以，…………11分由于，令，则， ①当时，，适合题意； …………12分 ②当时，，由，得； …………14分 ③当时，，由，得．综上，实数的取值范围为． …………16分 （B ）（三星级高中及普通高中学生做） 解：（1）（2）同（A ）； （3）因为，令，则， …………11分 因为函数的对称轴方程为，所以 ①当，即时，， …………13分 ②当，即时，， …………15分综上所述，. …………16分.。
2019高一下学期期末数学试卷含解析
2021-2021含解析年高一下学期期末数学试卷12560.每题四个选项中，只有一项正个小题，每题分分，共一、选择题：本大题共.确1ABCa=4b=3C=60ABCS=°〕，，的面积．在△，那么△中，〔DC3B6 A ．．．．a=2b= ABCA=30B=452°°〕，，那么．在△，中，〔DB C2A4 ．．．．c=Ca=4b=3 3ABC 〕，，的度数为〔．在△中，，那么角A30 B45 C60D120 °°°°．．．．x12=2x 4= 〕，假设〕的值为〔，∥〔，那么实数，．向量〔〕，A1 B2 C3 D4．．．．=3=2=5 〕的夹角为〔 || ，，那么向量 || ． ||与，A30B60 C45 D90°°°°．．．．* a= =nN6aa=1a〕〔∈．在数列{ } ，〔〕，，那么5nn+11CAD B．．．．7aa=6a=10S=〕，〔，那么．等差数列{ }，7n35A60 B56 C40 D36．．．． n m S=328an〕×．等比数列{ ，那么其公比是〔} ，前 +项和nn A1 B2 C3 D4．．．． 9 〕．某几何体的三视图以以下图，它的表面积为〔A32 B48 C33 D24 ππππ．．．． 10 βα〕∥ ．以下条件能判断平面的是〔mmmmγγβ②αβ③④ααβγβ①αγ⊥⊥∥∥⊥且∥且且⊥且∥ABCD ③④②④①③①②．．．．11 〕．将一个正方体金属块铸造成一球体，不计耗费，那么其先后表面积之比值为〔 C D1AB ．．．． 12rRh ，假设其侧面积等于两底面面积之和，那么下、，高为．一个圆台上、下底面半径分别为〕列关系正确的选项是〔． D =B= ==AC +．．．++．+..4520 把答案填在答题卡的指定地址个小题，每题分二、填空题：本大题共分，共26x5=0aa_______13aaax．．在等差数列{+}中，假设+和是方程的两根，那么的值是﹣658n3=_______22=12 14= ．〕，，那么〕 +，| 〔 | ．向量，〔 15ABCDABCDBDAC_______．．在正方体中，异面直线﹣所成角的度数为与11111PC=AB=4PA=PB=BC=AC=5PABC16，那么其的外接球的表面积为﹣，中，假设．在三棱锥_______．670 分，解同意写出必要的文字说明，证明过程或演算三、解答题：本大题共个小题，共.步骤17ABCABCabc成等比数列．．△，的三角成等差数列，三边，，，1B的度数．〔〕求角S=b2ABC 的长．，求边〔的面积〕假设△量〔，求实数⊥2x 23=22=3x18〕〔，〔﹣〕，，．向量x 1 的值；〕假设向的值．﹣与〕假设向量〔+共线，求实数19a10aaa 成等比数列．，公差不为，是首项为的等差数列，且．数列{ ， } 4n21 a的通项公式；〔Ⅰ〕求数列{}n=SbnbS1．〔Ⅱ〕假设} 的前＜，项和，求证：是数列{ nnnn* a=2bnN=a1 =3a20aa2 +∈， +，．数列{ ， } 满足nnnn1n+1 1b 为等比数列． } 〕证明数列 { 〔n2aanS ．〕求数列 { 与其前 } 的通项公式项和〔 nnn21PABCDPAABCDEPD的中点；⊥底面的底面是菱形，．如图，四棱锥是﹣，PBACE；∥平面〔Ⅰ〕求证：BDPC．〔Ⅱ〕求证：⊥22ABCABC2DCC的中点．是所有的棱长均为﹣，．正三棱柱面体﹣〔1112CCABD所成角的大小．〔与平面〕求直线13ABDB11111ABDABC的体积．〕求多的余弦值．〔〕﹣〔理科〕求二面角﹣ 1．2021-2021 学年吉林省长春外国语学校高一〔下〕期末数学试卷参照答案与试题解析12560.每题四个选项中，只有一项正一、选择题：本大题共分，共个小题，每题分1ABCa=4b=3C=60ABCS=°〕中，的面积，，〔，那么△．在△D3.确B6 AC ．．．．正弦定理．【考点】利用三角形面积计算公式即可得出．【解析】=3absinC=S=．【解答】解：C．应选：a=2b= ABCA=30B=452°°〕，〔，．在△中，点】由利用正弦定理即可直接计算求值得解．，那么【解析】C2 DA4 B．．．．正弦定理．【考a=2 ABCA=30B=45 °°，中，∵，【解答】解：在△，==4b= ．∴利用正弦定理可得：A．应选：c=Cb=3 3ABCa=4 〕．在△，那么角中，，的度数为〔， B 45 C60 D120A30°°°°．．．．余弦定理．【考点】利用余弦定理即可得出．【解析】°°C0cosC=180= ，∈〔，【解答】解：∵，〕 C=60 °．∴ C ．应选：x x=142=2 〕的值为〔，〕，那么实数，假设．向量〔，〕∥，〔43 2 CDBA1．．．．平面向量共线〔平行〕的坐标表示．【考点】直接利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．【解析】2x=2=1 ，∥ 【解答】解：向量〔，〕，〔，〕， x=4 ．可得．D ．应选：=5=3=2 〕，，那么向量 || ． || 与，的夹角为〔 || B60C45 D90A30 °°°°．．．．数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【考点】【解析】要求向量的夹角，写出向量夹角的公式，需要先求出两个向量的数量积，依照所给的两个向量差的模长两边平方，获取数量积，代入向量夹角的公式，获取结果．= ，|| 【解答】解：∵=7 ，∴=3，∴=cos== θ，∴°°0180θ， ] ∈ [ ，∵° =60θ∴ B ．应选* 6Nnaaa=1a==〕}，〔∈，〔〕，那么{．在数列5n+1n1DCAB．．．．数列递推式．【考点】 1 以为公差的等差数列，为首项，【解析】由数列递推式获取数列求出其{}是以 a 的值．通项公式后可得5a=，解：由，得【解答】n+1a=1，又∵1 1 为公差的等差数列，为首项，以} 是以∴数列 {，那么．∴．∴ A ．应选：7aa=6a=10S= 〕 } ，，，那么〔 { ．等差数列735n A60 B56 C40 D36．．．．n 项和．【考点】等差数列的前利用等差数列的性质与求和公式即可得出．【解析】aaa=aa=610=16 ．+【解答】解：∵等差数列 {+} ，+7n135==78=56 S ．那么×7B．应选：n m2 =38anS〕}，前+项和×，那么其公比是〔．等比数列{ nn A1 B2 C3 D4 ．．．． n项和．等比数列的前【考点】利用递推关系、等比数列的通项公式及其定义即可得出．【解析】 m2 nS=3a ，n项和× } ，前 +解：等比数列【解答】 { nnnn1n1﹣﹣ =3232=3n2a=SS2mm ，×〕×﹣〔∴+≥ +时，×﹣1nnn﹣==2，∴ B．应选：9 〕．某几何体的三视图以以下图，它的表面积为〔A32 B48 C33 D24ππππ．．．．由三视图求面积、体积．【考点】 6．下部为【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为 5 的圆锥，分别求面积，再相加即可．母线长为6．下【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为 5 的圆锥．部为母线长为2=183 2ππ×半球表面积为35=15ππ××圆锥的侧面积为 15=33πππ +所以所求的表面积为 C 应选10 βα〕．以下条件能判断平面的是〔∥mm mmγ③αβαββγβγ①αγ④α②⊥⊥且∥∥且∥且∥⊥且⊥ABCD③④①③②④①②．．．．空间中直线与平面之间的地址关系．【考点】．依照空间线面地址关系的性质与判判断理进行判断或举反例说明．【解析】 lll βαββγ①α①αγαγ可得出∥，于是，那么⊥【解答】解：对于⊥，设，故⊥，，∵∥∥，β；∥ βαβ②②““α；，由，故垂直于同一条直线的两个平面平行对于∥可得可得出∥=nmnmmmm βα∩β③αββαα③不能够判对于，那么，设，显然，∥∥订交，故，， ?，，∥ ?βα ；断∥ βγα④αβ．，当两两垂直时，显然不能够得出对于，∥，C ．应选11 〕．将一个正方体金属块铸造成一球体，不计耗费，那么其先后表面积之比值为〔CBA1D ．．．．球内接多面体．【考点】利用正方体、球的体积、表面积公式，即可得出结论．【解析】Ra，，球的半径为【解答】解：设正方体的棱长为，那么= ，∴=4 6aR22π：．∴先后表面积之比值为 D ．应选：12rRh ，假设其侧面积等于两底面面积之和，那么下、．一个圆台上、下底面半径分别为，高为〕列关系正确的选项是〔CD =A ==B= ++．．．+．+ ．旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕【考点】【解析】依照圆的面积公式分别求出圆台的上、下底面面积，再由侧面面积等于两底面面积之和，利用圆的侧面积公式加以计算，可得出圆台的母线长，即可得出结论． 2r=lSπ，圆台的下底，依照题意可得圆台的上底面面积为【解答】解：设圆台的母线长为上2 RS=π，面面积为下∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，22l= r=rS=RRlππ，解之得∴侧面积 +〔〕〕 +〔侧l= ∵=，∴222 rR=h〕﹣〕∴〔 +〔=． +∴ A ．应选：..4520 把答案填在答题卡的指定地址个小题，每题二、填空题：本大题共分分，共 26x5=0aaaaax6 13． } 中，假设和的两根，那么是方程+的值是﹣ +．在等差数列 { 6n583等差数列的通项公式．【考点】利用等差数列通项公式及韦达定理求解．【解析】 6x5=0x aaa 的两根， +【解答】解：∵在等差2数列 {} 中，是方程和﹣aa=aa=6． ++∴ 6 ．故答案为：8n38563=5 =2142=12 ．，| 〔| ．向量，〔 +，〕〕，那么平面向量的坐标运算．【考点】直接利用向量的坐标运算，求解向量的模即可．【解析】=324=12 =2 ，解：向量〕〔〔，，那么〕〕，〔 +，，【解答】==5 ．|| 那么+5．故答案为：15ABCDABCDBDAC90°．．在正方体中，异面直线﹣与所成角的度数为11111 异面直线及其所成的角．【考点】 BDACOACDDBDB ?⊥面【解析】连接，依照线面垂直的判判断理可知交与点，而 DDBACDBBDAC 所成角的度数．面，从而可求出异面直线，那么与⊥111解：如图【解答】11BDACODDABCDACABCD面与点⊥面交，∵ ?连接，1DDACACBDDDBD=D∩，⊥⊥∴，而11ACDDB⊥面∴ 1DBDDB面又∵ ?ACDBBDAC90°．⊥与，即异面直线∴所成角为90 °．故答案为：1111PC=AB=4PA=PB=BC=AC=5PABC16 ，那么其的外接球的表面﹣中，假设，．在三棱锥41 π．积为球的体积和表面积．【考点】455，那么长方体的对角线长等【解析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为，，PABCPABC外接球的表面积．﹣外接球的直径，即可求出三棱锥﹣于三棱锥．PC=AB=4PA=PB=BC=AC=5 PABC ，【解答】解：∵三棱锥中，﹣，554，，，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为ABCP 外接球的直径．﹣那么长方体的对角线长等于三棱锥222222zz=25xxyzxy=32=25y ，，那么 ++设长方体的棱长分别为，，，， +222=41xzy +∴+ABC P 外接球的直径为∴三棱锥﹣4=41PABC π．﹣∴三棱锥外接球的表面积为 41 π．故答案为：670 分，解同意写出必要的文字说明，证明过程或演算三、解答题：本大题共个小题，共 .步骤17ABCABCabc 成等比数列．成等差数列，三边．△，的三角，，， 1B的度数．〕求角〔S=bABC 2 的长．的面积〕假设△，求边〔正弦定理；余弦定理．【考点】1ABCABC2B=ACABC=180 °，即可得，，又，的三角 +成等差数列，【解析】〔 +〕由△ + 出．2=accb2ab，利用余弦定理可得：〔成等比数列．可得〕由三边，，=cos60a=c °．再利用等边三角形的面积计算公式即可得，可得出．1ABCABC2B=ACABC=180°，成等差数列，∴ +，【解答】解：〔 +〕∵△ +的三角，又，B=60 °．∴2=acb abc 2 ，，成等比数列．∴〕∵三边，〔=cos60=°，，∴由余弦定理可得：a=c．化为 ABC 是等边三角形．∴△2=ABCbS=b=2 ．×∴△的面积，解得=2218 =3x 〕，．向量〕〔，，〔﹣x1 的值；⊥〕假设向量，求实数〔2x 32 的值．〕假设向量共线，求实数〔﹣与 + 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量共线〔平行〕的坐标表示；平面向量数量积的运算．=0x 1 ?即可得出．⊥，可得〕【解析】〔，解得 2 〕利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．〔=612x=0x=3?．〕∵﹣⊥，解得【解答】解：〔，∴ +2=73x22=52x3．〕+﹣〔﹣〔，〔﹣，〕，〕+272x53x32=0，+与∵﹣〕+共线，∴〔﹣〕+〔 x=3 ．﹣解得．19a10aaa 成等比数列． } 是首项为，，公差不为，的等差数列，且．数列 { 4n12a 的通项公式； }〔Ⅰ〕求数列 { n=SbnS1b ．和，求：是数列{ 〔Ⅱ〕假设 } 的前＜，nnnn 数列的求和；数列推式．【考点】=aaaaaIad0，，【解析】〔成等比数列．可得〕等差数列{，由 } 的公差，≠ 4n24112 =113dd1d即可得出．〕×〔即〔，解得 ++〕===IIb 〞“与数列〔，利用〕裂求和n 的性即可得出．Iad0aaa成等比数列．，∵ 【解答】〔≠〕解：等差数列 { ，} 的公差，4n122=113dd=1a1d =a．，∴〔×〔+〕〕+，解得∴ 41a=1n11=n．+〔∴〕×n=b== II ，〔〕明： nb 和∴数列 { 的前 }nn=1S= ⋯ ++n1 ．＜*a=2bN=a1 20aa=3a2n +，．数列 {} 足，，+∈nn1nn+1n 1b 等比数列．〕明数列 {〔 } n2aanS ．{ 与其前 } 的通公式〔和〕求数列nnn数列的求和；等比数列的通公式．【考点】1〕利用构造法将函数行化，合等比数列的定行明．【解析】〔 2b=a1aan 和公式的通公式的关系即可求出数列〔{〕依照，利用等比数列的前+} nnnn以及分法行求解即可．1a=3a2 ，+〕∵【解答】明：〔 nn+11a=3a21=3a1的等比数列．即 } ，数列 { 是公比，〔 ++〕++∴nnn+1a=2b=a1 +∵，n1n b=3b ，∴nn+1=3bq=3 n2bq=3b=a1=21=3，〕∵数列{+}是公比的等比数列，首+〔1n1n1n ﹣=a3b=31=3?， +nnn1 =3a．n21PABCDPAABCDEPD的中点；⊥底面的底面是菱形，n1n 3n==S．〕〔n．如，四棱是，PBACE；∥平面〔Ⅰ〕求：BDPC．〔Ⅱ〕求：⊥直与平面平行的判断；直与平面垂直的性．【考点】 ACBDOEOEOPBD的中位和面与，利用的交点三角形，【解析】〔Ⅰ〕取PBACE；∥平面平行的判判断理即可得BDPACBDPC ．，利用直与平面垂直的性即可得〔Ⅱ〕易⊥⊥平面ABCDACBDOEPD 的中点，是〔Ⅰ〕∵底面【解答】明：是菱形，取与的交点，又EO ，EOPB ，那么 EOACEPBACE ，，平面又 ??平面 PBACE ；∴∥平面 PAABCDBDABCD ，，〔Ⅱ〕 ∵底面⊥底面 ?PABD ①；⊥∴ ABCD 是菱形，又底面 ACBD ②；⊥∴ PAAC=A∩，BDPACPCPAC ，⊥平面 ?，平面∴ BDPC ．∴⊥22ABCABC2DCC 的中点．，．正三棱柱所有的棱长均为﹣是11111ABDABC的体积． ﹣〕 求多面体〔2CCABD 所成角的大小．与平面〔〕求直线13ABDB的余弦值．〔理科〕求二面角111〔〕﹣﹣ 1二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．【考点】 1ABDABC的体积 【解析】〔﹣〕多面体111V= ，由此能求出结果． 2AABCAACxACyAAz 轴，建〔的垂线为〕以轴，为原点，在平面轴，内过为作为1CCABD所成角．与平面立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 13ABDBDBABD﹣〕求出平面的法向量，利用向量法能求出二面角的法向量和平面﹣ 〔 1B 的余弦值． 11ABCABC2DCC 的中点，〕∵正三棱柱所有的棱长均为﹣【解答】解：〔是， 1111=CD=1 ，∴，CABABD 的体积：∴多面体﹣ 111 V= =SAA ?﹣ ABC △1== ． 2AABCAACxACyAAz 轴，的垂线为轴，作〔轴， 〕以为为原点，在平面内过为1建立空间直角坐标系， D0B2122A0000 C020C〕，〕〔，，，，那么〕〔，，，〔〕，〔，，〔，，〕 1=022=1 =00 ，〕，，〕〔〕，〔，，〔， zABD=xy ，，的法向量〕 ，设平面〔=x= ，得那么，取 ，〔〕 CCABD θ，与平面所成角为设直线1===sincos = θ，| ＜ | ＞ =60 °θ，∴ CCABD60 °．与平面∴直线所成角为1=00123 =1 ，〕〔，〔，〕〕，〔﹣，， BDBa=b c 的法向量为，设平面〔，，〕1=a=那么，取，得〔，〕cos=== ＜，﹣＞ABDB 的平面角为钝角，﹣由图知二面角﹣1BBDA ．的余弦值为﹣∴二面角﹣﹣1892021 日月年．。
2019学年高一数学下学期期末考试试题 文(含解析) 人教_新目标版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年高一数学下学期期末考试试题文（含解析）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知,且，则x=( )A. 5B. 4C. -4D. -5【答案】C【解析】【分析】由向量平行，坐标对应成比例可求得x.【详解】由题意可知，因为，所以，所以x=-4,选C.【点睛】本题考查空间向量平行的坐标关系，两向量平行，坐标对应成比例。
2. 已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A等于( )A. 150°B. 90°C. 60°D. 30°【答案】D【解析】【分析】因为己知两边及一对角，所以由正弦定理解三角形可得。
【详解】由正弦定理可知，即，所以，因为，所以，所以,解得。
选D.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果，判定是否符合条件，或有多解情况。
3. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）A. 任意一个有理数，它的平方是有理数B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数C. 存在一个有理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．考点：命题的否定．视频4. 若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )A. a＋c>b－cB. (a－b)c2>0C. a3>b3D. a2>b2【答案】C【解析】【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。