推迟Green函数与时变电磁场.
电动力学教程 第4章 时变电磁场
A 随时间变化为动态矢量位
A E t 0
也随时间变化称为动态标量位。
A E t
(6)
2. 达朗贝方程 将(5)和(6)式分别代入麦克斯韦方程组得 到A和满足的微分方程 ρ 2 A t ε
因此上式改写为：
1 1 E H H E E J E D H B t 2 t 2 利用矢量恒等式 E H H E H E E H
麦克斯韦方程的复数形式是分别对其实部和虚部进行的并不改变其实部和虚部的性质故在复数运算中对复数的微分和积分运算rererererererere其中l是实线性算子如等因此麦氏方程所有场变量都仅仅是空间的函数反映场的空间分布方程的解剩以时间因子e与含时的麦氏方程比较其复数形式实现了时空分离因此使方程的求解更简单
利用麦氏方程组可以导出Poynting矢量和Poynting定理 的表达式。
D H J t B E t D E H E J E t B H E H t
kE0 B ˆx H dt e cos(t kz ) 0 t 0 1
(2) S (t ) E(t ) H (t )
ˆy E0 cos(t kz ) e ˆx e
ˆz e
kE0 2
0
kE0
cos(t kz )
0
cos2 (t kz )
电荷分布场(标量场)中的电荷流（即电 流）及电荷流密度（即电流密度）
dq i , dt
时变电磁场
时变电磁场时变电磁场亦称交变电磁场。
当电场和磁场都随时间变化时，由变化着的电场激发的磁场和由变化的磁场激发的电场的总称。
时变电磁场遵守麦克斯韦方程。
伴随时变电磁场有电磁波的传播。
根据场随时间变化的频率不同，时变电磁场又可分为似稳电磁场和迅变电磁场两种，前者场变化的频率较小，可以忽略场似辐射效应和推迟效应，可以用处理稳恒电磁场的方法近似处理;后者由于场变化频率较大，不可忽略辐射效应和推迟效应。
[1]时变电磁场是随时间变化着的电磁场。
时变电磁场与静态的电场和磁场有显著的差别，出现一些由于时变而产生的效应。
这些效应有重要的应用，并推动了电工技术的发展。
如果将二根通入同向电流的平行导线，右边的那根导线向右弯曲成平面线圈，该平面线圈就成了最简单的磁石，那么根据平行电流的相互作用产生引斥力的结论，此时右边的通电平面线圈与左边的通电导线之间产生的就是引力。
时变电磁场同理，如果将右边的通电导线向左弯曲成平面线圈，线圈就与左边的通电导线之间产生的就是斥力，若右边的通电线圈可以绕着中心轴旋转，右边的通电线圈就会在斥力的作用下产生绕轴的翻转运动，就会直至翻转到能够与左边的通电导线产生最大引力的位置为止，此时向左弯曲线圈中的电流方向就会因翻转转的运动変成会与向右弯曲线圈中的电流方向一致，不会再产生绕轴的翻转运动了。
据此如果将这根通电导线周围的所有导线都弯曲变成通电线圈，那么不能与中心这根通电导线产生引力的通电线圈，就都会在斥力的作用之下产生绕轴的翻转运动。
如果这些通电线圈，就是摆放在通电导线周围，处在同一平面上的小磁针，此时通电导线周围的所有小磁针，就会在通电导线周围形成一圈NS二极首尾相连的小磁针的圆形分布。
这就是通电导线周围的小磁针能够产生绕轴旋转，在通电导线周围能够形成NS二极首尾相连的小磁针圆圈分布的原因。
关系M.法拉第提出的电磁感应定律表明，磁场的变化要产生电场。
这个电场与来源于库仑定律的电场不同，它可以推动电流在闭合导体回路中流动，即其环路积分可以不为零，成为感应电动势。
第四章 Green函数法(all)
u(r0 ) G( r ,r0 ) f (r)dV G( r ,r0 )(r)dS
T
意义：Poisson方程边值问题的解在 T 内任一 点的值可由Green函数 G(r,r0 ) 和问题的已知函数 f 和 φ 的积分表示.
由以上讨论知, 要求解Poisson方程边值问题, 就要首先求出相应的Green函数。要知区域 T上 的Green函数, 还必须解一个特殊的定解问题。以 第一边值问题为例, 须求解
减T 去①式得:
u[vx cos( n, x) v y
(vu uv)dV
T
co(sv(nun,
y)uvvz
cos(
)dS
n
n, z)]dS
……②
即
第二Green公式
uvdV
T
u
v dS n
(uxvx
T
uyv y
uzvz )dV……①
第一Green公式
2.基本解
定义：设 M ( r ), M0(r0 ) 为n维空间中的点，
ln[1
02
20
cos(
)]
k 1
k 0
cos k(
k
)
有
G1
|
1
4
k 1
0k
k
(cos k
cos k
sin k
sin k
)
通过比较系数可得
a0 0,
ak
k 0
4 k
cos k ,
bk
0k 4 k
sin k
从而得:
G1( , ;0 ,
)
1
4
(0 )k
k1 k
cos k(
)
1
第七章 Green 函数法 - 数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。
分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。
同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。
所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。
Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。
特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。
如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。
这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。
第七章 Green 函数法 - 数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。
分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。
同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。
所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。
Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。
特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。
如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。
这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。
时变电磁场边界条
探索多物理场耦合的边 界条件计算方法，以满 足多场耦合问题的求解
需求。
边界条件在交叉学科中的应用拓展
1
将边界条件理论应用于其他物理领域，如流体动 力学、化学反应动力学等，促进交叉学科的发展。
2
结合工程应用，将边界条件理论应用于实际问题 中，如电磁屏蔽、电磁兼容性分析等，推动相关 领域的技术进步。
电力系统稳定性
时变电磁场边界条件还用于分析电力系统的稳定性问题，研究系统中 的电压波动、电流畸变等现象，保障电力系统的安全稳定运行。
电磁场在航空航天工程中的应用
飞行器设计
在航空航天工程中，时变电磁场边界条件用于研究飞行器 在各种介质中的电磁场分布，优化飞行器的电气性能和设 计。
导航与通信
利用时变电磁场边界条件，研究飞行器导航和通信系统中 的电磁波传播特性，提高导航和通信的准确性和可靠性。
雷达探测与隐身技术
在航空航天工程中，时变电磁场边界条件还用于研究雷达 探测和隐身技术，降低飞行器的雷达散射面积，提高飞行 器的生存能力。
05
时变电磁场边界条件的 未来发展
边界条件理论的完善
01
深入研究时变电磁场的物理机制，进一步明确边界条件的数学 表达和物理意义。
02
探索边界条件在不同电磁现象中的适用性和普适性，为边界条
时变电磁场边界条件
目 录
• 时变电磁场基本理论 • 时变电磁场边界条件 • 时变电磁场边界条件的计算 • 时变电磁场边界条件的工程应用 • 时变电磁场边界条件的未来发展
01
时变电磁场基本理论
时变电磁场定义
总结词
时变电磁场是指电磁场随时间变化的场，其特性由麦克斯韦方程组描述。
详细描述
时变电磁场是指电磁场随时间变化的场，其特性由麦克斯韦方程组描述。麦克 斯韦方程组包括波动方程、散射方程和传输方程等，用于描述时变电磁场的传 播、散射和传输等特性。
数学物理方法12格林函数
G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) | 0
为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点 （或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个 电荷在界面上产生的电势之和为零
这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所 以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．
u ( r )和v ( r ) 在区域 T
及其边界
上具有连续一阶导数,
T
中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理
A dS AdV =
T
T
divAdV(Leabharlann 2.1.1)将对曲面
的积分化为体积分
uv dS (uv )dV uvdV u vdV
G
u G[ u ] G ( rp ) n
格林函数的边值条件的两边同乘以函数
u
得
G u[ G ] 0 n
相减得到
u G [G u ] G n n
代入（14.2.9）得到第三类边值问题的解
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0
T T T
以上用到公式
(uv) u v uv
称上式为第一格林公式．同理有
vu dS (vu )dV vudV v udV
T T T
上述两式相减得到
(uv vu ) dS (uv vu )dV
u (r ) (r r0 )dV G (r , r0 ) f (r )dV
T T
根据 函数性质有：
u(r ) (r r )]dV u(r )
偏微分方程green公式
偏微分方程green公式偏微分方程（PartialDifferentialEquations，简称PDE）在数学和物理学中有着重要的作用，它可以描述多元函数的变化，进而用于解决实际问题。
其中，green公式是一种有用的方法，用于把复杂的PDES（偏微分方程组）转化为更容易求解的形式。
本文将介绍green 公式的定义、推导以及应用，并结合一些实例进行说明。
一、green公式的定义green公式是一种把偏微分方程组转化为更容易求解的形式的方法，由英国数学家George Green在19世纪发现，因此也称为green 公式。
它的形式为：$$ oint_{sp} left[f frac {partial u}{partialn}-frac{partial f}{partial n} Uright]ds=0 $$其中，U代表未知函数，f为边界条件，n为法向量，sp代表边界曲线。
二、green公式的推导green公式的推导可以分为四个步骤：1.先考虑f=0的特殊情况，即特征值方程。
2.令U(x,y)构成 Green数，写出 Green数的偏微分方程；3.给出 Green数 U(x,y)特解，并写出特解的表达式；4.根据Green函数U(x,y)的特解，推导出green公式。
三、green公式的应用Green公式可以用于许多应用领域，如热传导、电磁场、气流模拟等。
1.Green公式在热传导中的应用：热传导是一种物理现象，其中，Green公式可以用来求解温度场的变化问题。
如果将温度场用U(x,y)表示，则可以将热传导问题转化为求解green公式的问题。
2.Green公式在电磁场中的应用：电磁场是一种物理现象，其中，Green公式可以用来求解电和磁场分布的变化问题。
如果将电场用U(x,y)表示，则可以把电磁场变化问题转化为求解green公式的问题。
3.Green公式在气流模拟中的应用：气流模拟是一种应用green公式求解流体力学问题的方法。
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并矢Green函数
频域中的有源Maxwell 方程 式中的源与场分别是时域中的源与场的Fourier变换 消去磁场H(x)后
引入并矢Green函数G(x; x’)，使它满足微分方程 和相应的边界条件。方程(9.5.3)具有下述形式的特解
现在求解方程(9.5.4)。将方程(9.5.4)两边同乘以算符 得 它显然有形式解 而方程(9.5.7)成为
推迟Green函数与时变电磁场
刘觉平 武汉大学
推迟Green函数与推迟势
导出无界空间中的推迟Green函数、 单色推迟Green函数 以及所谓的并矢Green函数， 给出势的波动方程的基本解、
推迟势和相应的电磁场的场强。
引入的Green函数 形式解
为了确定矢势分布， 需要明确 的物理意义。而这要求对Green 函数加上限制条件（或初始条件）
利用无界空间中单色推迟Green函数，可将单色推 迟势的振幅写成写成三维形式
单色电磁场的普遍形式
单色电磁场可完全由三维矢势的振幅表出。由推迟势所满足 的Lorentz规范条件 当频率不等于零时，
相应的电磁场场强为
(9.4.2)
利用Lorentz规范下的单色推迟势可以得到频域中由变化 的电荷、电流分布激发的电磁场场强振幅的表达式。将
满足初始条件(9.1.7)的Green函数称为超前Green函数，这时观 测时刻t处在激发时刻t’之前Green函数才可能不为零，这仅对 于反粒子（如正电子）才是可能的。 而满足初始条件(9.1.8)的Green函数称为推迟Green函数，记为 Gr(x; x’)；它表示x’处t’时刻激发的场只能在稍后的时刻t到达测 量点x，这正好符合辐射问题的实际情形。对于推迟Green函数， 我们有
若采用无界空间中的推迟Green函数的边界条件。与方程(9.3.5) 比较，可知g(x; x’)是无界空间中单色推迟Green函数，即
于是
完成梯度运算得并矢Green函数
谢谢！
(b) 方程(9.4.5)是频域中的振幅方程，其推迟效应是由单色推迟 Green 函数这一伴随因子来体现的。 (c) 单色推迟Green函数这一伴随因子可视为一向四周传播的球 面波，故方程(9.4.5)说明在x点所观测的电磁场场强的振幅是同 时到达观测点的电磁波的场强振幅的叠加。 (d)需要指出的是， 由Jefimenko方程或方程(9.4.5)确定的电磁场 只是Maxwell方程的特解， 与齐次Maxwell方程的通解加在一起 才能构成满足Maxwell方程和边界条件的物理解。
代入(9.4.2)得
(9.4.3)
利用恒等式
(9.4.3)式成为
(9.4.5) 这是在频域中给定电荷分布与电流分布决定电磁场场强的普 遍公式。它与Jefimenko方程是等价的。
讨论： (a) 由于由Jefimenko方程所确定的电磁场满足Maxwell方程， 故由 方程(9.4.5) 确定的电磁场也满足Maxwell方程。
当外势场为零时， 写成三维形式即
Jefimenko方程将(9.1.37)Fra bibliotek入场强定义式 得
利用 有
这便是广义的Biot-Savart定律与Coulomb定律，也称 为Jefimenko方程。它也可直接从Maxwell方程得到。
可以证明，由Jefimenko方程确定的电磁场满足 Maxwell方程。作为计算的实例，我们由Jefimenko 第一方程导出Maxwell第一方程。为此，将Jefimenko 第一方程表为
取散度 已注意到正比于
（9.2.7） 的三项相互抵消.
通过分步积分可得
利用上式与电荷守恒定律可知(9.2.7)右端被积式的第二、三项的 贡献相互抵消，于是有
单色推迟Green函数 与单色推迟势
以某一频率随时间而变化的三维电流分布 所激发的三维矢势为
由此可知，
是而无界空间中决定单色场的矢势的推迟Green函数， 这是频域中的推迟Green函数。