晶体投影含球面投影(特选内容)
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晶体的投影
结晶学与矿物学
乌尔夫网(Wulff net) 乌尔夫网
• 将投影平面标上刻度 • 规定 ϕ 起始于E ρ 起始点于中心
结晶学与矿物学
晶体测角(crystal goniometry) 晶体测角
结晶学与矿物学
乌尔夫网应用举例
例一：晶面M的坐标为ρ =30º和ϕ = 40º，作M的极射赤平投影
(a)
结晶学与矿物学
面角守恒定律
• 面角守恒定律 (law of Steno): 同种晶体之间, 对应晶面间的夹角恒等。
两图中的晶面 a, b, c ? 面角 面角的表达
结晶学与矿物学
晶体的球面投影(spherical projection)
• 以晶体的中心为球心，任意长 为半径，作一球面；然后从球 心出发（注意：不是从每个晶 面本身的中心出发），引每一 晶面的法线，延长后各自交球 面于一点，这些点便是相应晶 面的球面投影点。
Planes now = points But still 3-D！
结晶学与矿物学
球面坐标
• Similar to 地球的经纬 度(计数方法有差异)
• 方位角(经度) ϕ: 0 ~ 360° • 极距角(纬度) ρ: 0 ~ 180°, 从北极开始 • 点M的坐标？
M
结晶学与矿物学
极射赤平投影
• 以赤道平面为投影 平面，以南极(S)为 视点，将球面上的 各个点线进行投影
2. 晶体的投影
• • • • 面角守恒定律 晶体的球面投影及其坐标 极射赤平投影和乌尔夫网(Wulff net) 乌尔夫网应用举例
结晶学与矿物学
晶体投影的目的
• Stereographic Projection want to represent 3-D 3crystal on 2-D paper 2-
高考化学晶体投影知识点
高考化学晶体投影知识点晶体投影是高考化学中的重要知识点之一，理解和掌握晶体投影的相关概念和方法对于解决晶体结构问题具有重要意义。
下面将介绍晶体投影的相关知识点及其应用。
一、晶体投影的定义晶体投影是指将三维晶体结构中的原子、分子或离子的投影投射在一个平面上，用二维图形来表示晶体的结构。
晶体投影可以帮助我们更清晰地观察晶体的结构，便于分析和研究晶体的性质。
二、晶体投影的方法1. 平行投影法平行投影法是一种常用的晶体投影方法，通过将所有原子在一个平面上投影，使得所有原子在投影图上的尺寸和位置与真实晶体结构一致。
可以使用线段或圆点表示原子，根据需要选择合适的比例尺和投影方向进行绘制。
2. 立体投影法立体投影法是另一种常用的晶体投影方法，它可以提供三维晶体结构的立体感。
通常使用矩形或六边形的投影图形表示晶体结构，其中不同的原子用不同的颜色或符号表示。
三、晶体投影的应用1. 晶体结构分析晶体投影可以帮助我们分析和解释晶体的结构。
通过观察晶体投影图，可以确定晶体中的基本单元和各个原子的位置关系，进而推断晶体的晶格类型、空间群和化学组成等信息。
2. 晶体性质研究晶体投影还可以用于研究晶体的物理和化学性质。
通过观察晶体投影图的形状和对称性，可以推断晶体的晶胞参数、晶体的晶系和晶体的晶体学类别，进而预测晶体的性质，如硬度、光学性质等。
3. 材料设计和合成晶体投影在材料科学和工程中有着广泛的应用。
通过研究晶体投影图，可以了解晶体的结构特征和原子排列方式，从而指导新材料的设计和合成。
四、晶体投影的难点和注意事项1. 投影方向的选择选择合适的投影方向是进行晶体投影的关键。
不同的投影方向可以呈现不同的晶体结构信息。
经验上，选择高对称轴或者对称平面作为投影方向，可以简化晶体投影图的绘制，并且更容易把握晶体的对称性。
2. 投影图的分析正确理解和分析晶体投影图对于解决晶体结构问题至关重要。
需要注意的是，晶体投影图只能提供晶体中原子位置在投影面上的信息，需要结合其它实验数据和理论知识进行综合分析。
晶体的测量与投影
晶体的测量与投影
一、面角守恒定律：
实际晶体形态〔歪晶〕：偏离理想
晶体形态。
“歪晶〞导致
同种矿物晶
体形态变化
无常，给形
态研究带来
困难。
尽管形态各不相同, 看似无规, 但对应 的晶面面角相等, 即发现“面角守恒定 律〞：
二、晶体测量： 就是测量晶面之间的夹角。 注意：晶面夹角与面角〔晶面法
线的夹角〕的区别！ 它们之间的关系为互补的关系。
当今，落地式铣镗床开展的最大特 点是向 高速铣 削开展 ，均为 滑枕式 (无镗 轴)结构 ，并配 备各种 不同工 艺性能 的铣头 附件。 该结构 的优点 是滑枕 的截面 大，刚 性好， 行程长 ，移动 速度快 ，便于 安装各 种功能 附件， 主要是 高速镗 、铣头 、两坐 标双摆 角铣头 等，将 落地铣 镗床的
这样就将球面上三维空间的东西投影到二维平面上。 如果A点在下半球，就与北极点N连线。
下面进行晶体的投影。
1、晶面的球面投影： 将晶面转化为球面上
的点：
晶面的方位就可用点的球 面坐标方位角与极距角 来表征。
〔相当于纬度与经度〕
重点要掌握方位角与极 距角的含义!
2、极射赤平投影： 将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
吴氏网是一个平面网， 但要把它看成是一个空间的球体，网 格能够测量球面上任一点的方位角与极距角，所以，只要知 道方位角与极距角，就可以用吴氏网进行投影。
晶体的上述投影过程可借用吴氏网很方便地进行，下面举例说 明。
1、晶面的球面坐标〔方位角与极距角〕，作晶面的投影。
2、两晶面的球面坐标，求这两个晶面的面角。
即：将球面上 的点与南极点 〔或北极点〕 连线，该连线 与赤平面的交 点就是极射赤 平投影点。
一、面角守恒定律：
实际晶体形态〔歪晶〕：偏离理想
晶体形态。
“歪晶〞导致
同种矿物晶
体形态变化
无常，给形
态研究带来
困难。
尽管形态各不相同, 看似无规, 但对应 的晶面面角相等, 即发现“面角守恒定 律〞：
二、晶体测量： 就是测量晶面之间的夹角。 注意：晶面夹角与面角〔晶面法
线的夹角〕的区别！ 它们之间的关系为互补的关系。
当今，落地式铣镗床开展的最大特 点是向 高速铣 削开展 ，均为 滑枕式 (无镗 轴)结构 ，并配 备各种 不同工 艺性能 的铣头 附件。 该结构 的优点 是滑枕 的截面 大，刚 性好， 行程长 ，移动 速度快 ，便于 安装各 种功能 附件， 主要是 高速镗 、铣头 、两坐 标双摆 角铣头 等，将 落地铣 镗床的
这样就将球面上三维空间的东西投影到二维平面上。 如果A点在下半球，就与北极点N连线。
下面进行晶体的投影。
1、晶面的球面投影： 将晶面转化为球面上
的点：
晶面的方位就可用点的球 面坐标方位角与极距角 来表征。
〔相当于纬度与经度〕
重点要掌握方位角与极 距角的含义!
2、极射赤平投影： 将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
吴氏网是一个平面网， 但要把它看成是一个空间的球体，网 格能够测量球面上任一点的方位角与极距角，所以，只要知 道方位角与极距角，就可以用吴氏网进行投影。
晶体的上述投影过程可借用吴氏网很方便地进行，下面举例说 明。
1、晶面的球面坐标〔方位角与极距角〕，作晶面的投影。
2、两晶面的球面坐标，求这两个晶面的面角。
即：将球面上 的点与南极点 〔或北极点〕 连线，该连线 与赤平面的交 点就是极射赤 平投影点。
06-晶体投影(结晶学与矿物学)
3.3.3 极射赤平投影 (stereographic projection)
N
(a)
(b) S
第三章 晶体的测量与投影
3.3.3 极射赤平投影 (stereographic projection)
N B
B
D O CD N C
A
S (a)
A
第三章 晶体的测量与投影
3.3.3 极射赤平投影 (stereographic projection)
3-5. 晶体的对称要素和晶面投影实例
-43m
第三章 晶体的测量与投影
3-5. 晶体的对称要素和晶面投影实例
第三章 晶体的测量与投影
3-5. 晶体的对称要素和晶面投影实例
第六章. 单形与聚形
3-5. 晶体的对称要素和晶面投影实例
2＇
Z
6＇ ＇ 4＇
7＇ ＇
6＇ 7＇ 5 1 7
3
Y
3＇
5＇
X 6＇ ＇ ＇ 5-2
7＇ ＇ ＇4
6 2
L22P
5-3
对称轴和旋转反伸轴的作图符号 P29 表4-1
第六章. 单形与聚形
3-5. 晶体的对称要素和晶面投影实例
m3m
c
第三章 晶体的测量与投影
第三章 晶体的测量与投影
3.3.3 极射赤平投影 (stereographic projection)
投影基圆是投影平面
大圆: 过球心的平面，投影到基圆上是大圆弧，
小圆: 平面半径小于球的半径的平面，投影到基圆上是小 圆或小圆弧。
N A N
O
a C
B
O
S
(a)
2-8
(b)
(c)
第2章 晶体投影
§2.1 面角守恒定律 §2.2 晶体的测量 §2.3 晶体的极射赤平投影
2
§2.1 面角守恒定律
成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件的影响，而 形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪 晶”。
3
4
面角守恒定律（law of constancy of angle），亦称斯丹诺定律（law Steno）:同种矿物的晶体，其对应晶面间的夹角恒等。
双圈反射测角仪
投影
8
§2.4 晶体的极射赤平投影
一、极射赤平投影的原理 二、极射赤平投影的方法和步骤 三、吴氏网
目的：将晶面在三维空间分布的规律性转化为二维平面图
9
一、极射赤平投影的原理
• • 取任一点O为投影中心，以一定的半径做一个球 通过球心作一个水平面，与投影球相交为一大圆，它相当于球的赤 道，称为基圆；基圆面称为赤道平面； 垂直于赤平面的直径NS称为投影轴；投影轴与投影球的两个交点N 和S，即投影球的北极和南极，也分别称为上目测点和下目测点。 子午面：包含投影轴的直立平面。 基本原理： 以赤道平面为投影平面，以南 极S(或北极N)作为目测点，由 S(或N)向球面上的点作直线， 连线与赤道平面的交点即为相 应点的极射赤平投影点。
举
例
立方体
三 方 柱
20
投影图的解读
四方单锥
斜方柱
四方柱 三方单锥
21
1.做立方体6个晶面的极射赤平投影
2.做八面体8个晶面的极射赤平投影
3.做菱形十二面体12个晶面的极射赤平投影
对称面？对称轴
22
在赤平投影图上,方位角() 与极距角() 怎么体现?
= 0 A’
方位角在基圆上度量，
2
§2.1 面角守恒定律
成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件的影响，而 形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪 晶”。
3
4
面角守恒定律（law of constancy of angle），亦称斯丹诺定律（law Steno）:同种矿物的晶体，其对应晶面间的夹角恒等。
双圈反射测角仪
投影
8
§2.4 晶体的极射赤平投影
一、极射赤平投影的原理 二、极射赤平投影的方法和步骤 三、吴氏网
目的：将晶面在三维空间分布的规律性转化为二维平面图
9
一、极射赤平投影的原理
• • 取任一点O为投影中心，以一定的半径做一个球 通过球心作一个水平面，与投影球相交为一大圆，它相当于球的赤 道，称为基圆；基圆面称为赤道平面； 垂直于赤平面的直径NS称为投影轴；投影轴与投影球的两个交点N 和S，即投影球的北极和南极，也分别称为上目测点和下目测点。 子午面：包含投影轴的直立平面。 基本原理： 以赤道平面为投影平面，以南 极S(或北极N)作为目测点，由 S(或N)向球面上的点作直线， 连线与赤道平面的交点即为相 应点的极射赤平投影点。
举
例
立方体
三 方 柱
20
投影图的解读
四方单锥
斜方柱
四方柱 三方单锥
21
1.做立方体6个晶面的极射赤平投影
2.做八面体8个晶面的极射赤平投影
3.做菱形十二面体12个晶面的极射赤平投影
对称面？对称轴
22
在赤平投影图上,方位角() 与极距角() 怎么体现?
= 0 A’
方位角在基圆上度量，
第二章晶体的投影
ρ ϕ= 0 ϕ
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投 影点距圆心的距离（h = r tan ρ /2） 。
极射赤平投影：
是将物体在三维空间的几何要素表述在平面上的一种投影方式。
特点：只反映物体的线和面在三度空间的方位和角距关系，而不涉及它 们的具体位置、长短大小和距离远近。它是一种等角投影。
上述投影平面与球面相截的圆称 为投影基圆。 球面上位于赤道上的点，其极射 赤平投影点将落在基圆上； 北极的投影点即是基圆的中心； 北半球上其他的点，它们的投影 都将落在基圆之内。
第二章 晶体的测量与投影
Ⅰ.面角守恒定律 Ⅱ.晶体的测量 Ⅲ.晶体的球面投影及其坐标 Ⅳ.极射赤平投影和乌尔夫网(吴氏网) Ⅴ.乌尔夫网应用举例
理想晶体与歪晶
p 理想晶体：理想条件下生长的晶体，表现为同一单形的晶面同形等大。 p 歪晶：偏离理想状态的晶体，表现为同一单形的晶面不同形等大，有
些晶面甚至缺失。
˜
˜
˜ ˜
˜˜ ˜
˜
凡是北半球上的点均以南极为视 点；南半球上的点则以北极作为视点。
北半球（包括赤道）上的点的极射 赤平投影点标记为“•”，南半球上者 标记为“○”；
如果南、北半球上的某两个点的投 影位置恰好重合时，则记为“☉”。
也有参考书将北半球（包括赤道）上的点的 极射赤平投影点标记为“⊙”，南半球上者标 记为“×”； 如果南、北半球上的某两个点的投影位置恰 好重合时，则记为“⊕”。
ϕ=350o；ρ=40.5o。
①求作该直线的另一个投影点b 1； ②求b 1的球面坐标值。
例：立方体晶面的球面投影
2. 球面坐标
• 球面坐标（ρ,ϕ):
类似地球的经纬度
• 极距角ρ (纬度) ：投影轴与晶面
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投 影点距圆心的距离（h = r tan ρ /2） 。
极射赤平投影：
是将物体在三维空间的几何要素表述在平面上的一种投影方式。
特点：只反映物体的线和面在三度空间的方位和角距关系，而不涉及它 们的具体位置、长短大小和距离远近。它是一种等角投影。
上述投影平面与球面相截的圆称 为投影基圆。 球面上位于赤道上的点，其极射 赤平投影点将落在基圆上； 北极的投影点即是基圆的中心； 北半球上其他的点，它们的投影 都将落在基圆之内。
第二章 晶体的测量与投影
Ⅰ.面角守恒定律 Ⅱ.晶体的测量 Ⅲ.晶体的球面投影及其坐标 Ⅳ.极射赤平投影和乌尔夫网(吴氏网) Ⅴ.乌尔夫网应用举例
理想晶体与歪晶
p 理想晶体：理想条件下生长的晶体，表现为同一单形的晶面同形等大。 p 歪晶：偏离理想状态的晶体，表现为同一单形的晶面不同形等大，有
些晶面甚至缺失。
˜
˜
˜ ˜
˜˜ ˜
˜
凡是北半球上的点均以南极为视 点；南半球上的点则以北极作为视点。
北半球（包括赤道）上的点的极射 赤平投影点标记为“•”，南半球上者 标记为“○”；
如果南、北半球上的某两个点的投 影位置恰好重合时，则记为“☉”。
也有参考书将北半球（包括赤道）上的点的 极射赤平投影点标记为“⊙”，南半球上者标 记为“×”； 如果南、北半球上的某两个点的投影位置恰 好重合时，则记为“⊕”。
ϕ=350o；ρ=40.5o。
①求作该直线的另一个投影点b 1； ②求b 1的球面坐标值。
例：立方体晶面的球面投影
2. 球面坐标
• 球面坐标（ρ,ϕ):
类似地球的经纬度
• 极距角ρ (纬度) ：投影轴与晶面
晶体学基础-球面投影
22:14
11
晶体投影要解决的问题？ -晶向（面）间关系的表达
1.晶面的夹角
P1与P2面的夹角－－ OP1与OP2夹角φ： 过P1，P2与球心O做一大圆， P1P2的弧度。
Байду номын сангаас
22:14
13
（三）乌氏网（Wulff net)
刻度球的
极射赤平投影面 度量
22:14
15
乌氏网的应用
两极点之间角度测量
22:14
16
♣在投影图上任一个极点对应的密勒指数的确定：
一个晶面在空间的取向可以由它的法线与三个晶轴 [100]、[010]及[001]的夹角确定。
h:k:l=acosρ:bcosσ:ccosτ
注意： 量度两个极点间的角度，
是过两个极点的经线来量度。
计算机绘制任意投影面的标准极图。
22:14
17
晶体结构对称性：
材料科学基础
Fundamentals of Materials Science
晶体学基础-球面投影
22:14
0 绪论
材料科学与工艺 的基础理论
第1章 原子结构与结合键
Atomic Structure and binding bond
第2章 晶体学基础 Basis of Crystallography 第3章 晶体结构 Crystal Structure 第4章 晶体缺陷 Crystal defects 第5章 非晶体与准晶结构 Amorphous and
Quasicrystal Structure
第6章 相图 Phase Diagram 第7章 固体扩散 Solid Diffusion 第8章 凝固与结晶 Solidification and Crystallization 第9章 烧结与聚合 Sintering and Polymerization 第10章 固态 相变 Solid Phase Transformation
晶体投影
投影平面，称为投影基圆。 取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。 若极点在南半球P2点，连线SP2与赤道的交点S2位于赤道大圆（投影基圆） 之外，这种情况对投影作图及角度测量不方便，这时可从北极连线NP2，将NP2 与赤道大圆（投影基圆内）的S2称为此晶面（或晶向）的极射赤面投影。 为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。 或：北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“”表示；将南半球的极点 P2对应的极射赤面投影点S2用“×”表示。
---精品---
图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
（经纬网是以NS为直径的大---圆精品族--和- 平行于赤道平面的小圆族）
小圆弧
大圆弧
O
---精品---
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
---精品---
图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
（经纬网是以NS为直径的大---圆精品族--和- 平行于赤道平面的小圆族）
小圆弧
大圆弧
O
---精品---
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
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若极点在南半球P2点，连线SP2与赤道的交点S2位于赤道大圆（投影基圆） 之外，这种情况对投影作图及角度测量不方便，这时可从北极连线NP2，将NP2 与赤道大圆（投影基圆内）的S2称为此晶面（或晶向）的极射赤面投影。
为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。
线均分成180份。
优选内容
6
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上
两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面，
再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度
差，即为两极点间夹角。图中极点优P选1与内容P2之间的夹角为30°。
7
′
15
小圆弧
大圆弧
O
优选内容
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
8
2. 极射赤面投影
以赤道平面为投影平面，称为投影基圆。
取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。
经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆内的放射状直径族（经线的投
影）和同心圆族（纬线的投影）构成的网，此网称为极式网。 由图可以看出，相应于经线
族的放射状直径族仍将投影基圆等分成360°；相应于纬线族的同心小圆族将投影基圆的直
径等分成180°。
P点的ρ和φ可由其投影点S所在的直径优Q选1Q内2容和小圆S‘SS’‘上的分度测量出。
优选内容
如果球面投影上原有P1、 P2 两个极点 ，要确定晶 体 绕 AB 轴 转 动 某 个 角 度 后 极 点P1、P2的位置。
将球面经纬网与投影球 套在一起，并使晶体的转轴 AB与经纬网的NS轴重合， 找 到 P1、 P2两 极点 各自所 在的纬线，晶体绕AB轴转 动多少度，它们的极点也沿 各自的纬线往同方向转动相 同的度数。达到新的极点位 置P1‘、P2 ‘。
乌里夫网上的AB或CD以O点 为轴转动就相当于极式网上的 放射状直径，乌里夫网上的任 一点（如S点）绕O点转动就 画出了极式网上同心圆族的一 个同心圆，所以，以O点轴转 动的乌里夫网也能起极式网的 作用
17
优选内容
18
优选内容
19
极点沿垂直投影平面的小圆转动
优选内容
20
14
但是，极式网却不能测量出落在不同直径上的两个极射赤面投影点的角度
乌里夫网
在投影球面上，引出以AB为直径的大圆族和平行于CNDS的小圆族 （垂直于赤道平面），这两族曲线在投影一方面上形成 一坐标网，球面上 的点的位置也可用这种坐标网确定下来。
（经纬网是以NS为直径的大优圆选内族容和平行于赤道平面的小圆族）
或：北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“”表示；将南半球的极点 P2对应的极射赤面投影点S2用“×”表示。
优选内容
9
优选内容
10
优选内容
11
优选内容
12ห้องสมุดไป่ตู้
3. 极式网与乌里夫网
优选内容
13
极式网
γ
如果在投影球面上由每隔相等的间隔作出经线族和纬线族交织成经纬线坐标网，就可确
定出球面上某点P的球座标ρ和φ，也可定出它的经度ρ和纬度γ
4
如果晶体绕某一轴(如图中的NS)转动一周，则极点在参考球面上画
出—个圆，这个圆称为小圆。通常优不选过内容球心。
5
为测量球面上极点的位置，可以作一个类似地球仪的球面经纬线网，
它与参考球半径相同。经线是过NS极的大圆，它们把赤道分成360等份，
赤道是与NS轴垂直的大圆，纬线是与赤道平行的一系列小圆，它们将经
极点：某晶面法线与参考球的交点称为此晶面的极点 迹点：晶体中某个方向与参考球的交点称为此晶向的迹点
P
E
S
A
如图：平面A的面痕 为 EFNS ， 极 点 为 P 。 可 以 看 出 P 与 EFNS 成90º
N F
优选内容
3
优选内容
两晶面之间的夹角可 用两面痕或两极点之间的 夹 角 表 示 。 图 中 P1 和 P2 分别为两平面的极点。大 圆 ABCD 和 BEDF 为 面 痕 ， 两平面之间夹角为α。为 测量极点之间的角度需要 先作一个能在球面上自由 转动的大圆，并把此大圆 均分成360份，画上刻度。 测 圆 P1 和 P2 两极 点 之 间 的夹角时，在球面上转动 此带刻度的大圆、让它通 过 极 点 P1 和 P2 ， 如 图 中 的LMNK位置，两极点之 间的刻度数就是这两个极 点之间的角度数。
晶体投影
1. 球面投影 2. 极射赤面投影 3. 极式网与乌里夫网 4. 晶带的极射赤面投影 5. 标准投影
优选内容
1
晶体投影 将晶体多面体和晶体结构这类三维空间中的对象表
示在球面或二维空间平面上的方法。 此球面或平面称为称为投影面。 晶体结构表示在球面或平面上，晶体结构中的晶向
和晶面的对称分布情况能较清楚地显示出来，晶向间或 晶面间夹角也就较容易测量。
16
优选内容
图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
优选内容
2
1. 球面投影
取一个半径极大(相对于晶体大小而言)的球作为参考球，让晶体处在参考球心，再把晶 体中的平面(晶面)或方向之间的角关系表示到参考球的球面上，这称为晶体的球面投影。 晶体中的平面可以用面痕或极点表示。
面痕：晶体的某平面从球心延展开后，与参考球球面相交得到的圆称为此晶面的面痕。 圆心在球心的圆心的圆称为大圆。
为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。
线均分成180份。
优选内容
6
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上
两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面，
再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度
差，即为两极点间夹角。图中极点优P选1与内容P2之间的夹角为30°。
7
′
15
小圆弧
大圆弧
O
优选内容
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
8
2. 极射赤面投影
以赤道平面为投影平面，称为投影基圆。
取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。
经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆内的放射状直径族（经线的投
影）和同心圆族（纬线的投影）构成的网，此网称为极式网。 由图可以看出，相应于经线
族的放射状直径族仍将投影基圆等分成360°；相应于纬线族的同心小圆族将投影基圆的直
径等分成180°。
P点的ρ和φ可由其投影点S所在的直径优Q选1Q内2容和小圆S‘SS’‘上的分度测量出。
优选内容
如果球面投影上原有P1、 P2 两个极点 ，要确定晶 体 绕 AB 轴 转 动 某 个 角 度 后 极 点P1、P2的位置。
将球面经纬网与投影球 套在一起，并使晶体的转轴 AB与经纬网的NS轴重合， 找 到 P1、 P2两 极点 各自所 在的纬线，晶体绕AB轴转 动多少度，它们的极点也沿 各自的纬线往同方向转动相 同的度数。达到新的极点位 置P1‘、P2 ‘。
乌里夫网上的AB或CD以O点 为轴转动就相当于极式网上的 放射状直径，乌里夫网上的任 一点（如S点）绕O点转动就 画出了极式网上同心圆族的一 个同心圆，所以，以O点轴转 动的乌里夫网也能起极式网的 作用
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优选内容
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优选内容
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极点沿垂直投影平面的小圆转动
优选内容
20
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但是，极式网却不能测量出落在不同直径上的两个极射赤面投影点的角度
乌里夫网
在投影球面上，引出以AB为直径的大圆族和平行于CNDS的小圆族 （垂直于赤道平面），这两族曲线在投影一方面上形成 一坐标网，球面上 的点的位置也可用这种坐标网确定下来。
（经纬网是以NS为直径的大优圆选内族容和平行于赤道平面的小圆族）
或：北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“”表示；将南半球的极点 P2对应的极射赤面投影点S2用“×”表示。
优选内容
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优选内容
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优选内容
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优选内容
12ห้องสมุดไป่ตู้
3. 极式网与乌里夫网
优选内容
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极式网
γ
如果在投影球面上由每隔相等的间隔作出经线族和纬线族交织成经纬线坐标网，就可确
定出球面上某点P的球座标ρ和φ，也可定出它的经度ρ和纬度γ
4
如果晶体绕某一轴(如图中的NS)转动一周，则极点在参考球面上画
出—个圆，这个圆称为小圆。通常优不选过内容球心。
5
为测量球面上极点的位置，可以作一个类似地球仪的球面经纬线网，
它与参考球半径相同。经线是过NS极的大圆，它们把赤道分成360等份，
赤道是与NS轴垂直的大圆，纬线是与赤道平行的一系列小圆，它们将经
极点：某晶面法线与参考球的交点称为此晶面的极点 迹点：晶体中某个方向与参考球的交点称为此晶向的迹点
P
E
S
A
如图：平面A的面痕 为 EFNS ， 极 点 为 P 。 可 以 看 出 P 与 EFNS 成90º
N F
优选内容
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优选内容
两晶面之间的夹角可 用两面痕或两极点之间的 夹 角 表 示 。 图 中 P1 和 P2 分别为两平面的极点。大 圆 ABCD 和 BEDF 为 面 痕 ， 两平面之间夹角为α。为 测量极点之间的角度需要 先作一个能在球面上自由 转动的大圆，并把此大圆 均分成360份，画上刻度。 测 圆 P1 和 P2 两极 点 之 间 的夹角时，在球面上转动 此带刻度的大圆、让它通 过 极 点 P1 和 P2 ， 如 图 中 的LMNK位置，两极点之 间的刻度数就是这两个极 点之间的角度数。
晶体投影
1. 球面投影 2. 极射赤面投影 3. 极式网与乌里夫网 4. 晶带的极射赤面投影 5. 标准投影
优选内容
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晶体投影 将晶体多面体和晶体结构这类三维空间中的对象表
示在球面或二维空间平面上的方法。 此球面或平面称为称为投影面。 晶体结构表示在球面或平面上，晶体结构中的晶向
和晶面的对称分布情况能较清楚地显示出来，晶向间或 晶面间夹角也就较容易测量。
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优选内容
图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
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1. 球面投影
取一个半径极大(相对于晶体大小而言)的球作为参考球，让晶体处在参考球心，再把晶 体中的平面(晶面)或方向之间的角关系表示到参考球的球面上，这称为晶体的球面投影。 晶体中的平面可以用面痕或极点表示。
面痕：晶体的某平面从球心延展开后，与参考球球面相交得到的圆称为此晶面的面痕。 圆心在球心的圆心的圆称为大圆。