高二数学期中试题含答案
四川省雅安市芦山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
四川省芦山中学2024-2025学年高二上期期中考试数学试题一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1．圆C1:x2+y2−2x=0与圆C2:(x+2)2+(y+4)2=a有且仅有一条公切线,则a=( )A．16B．25C．36D．16或362．若直线l1:y=kx+1与l2:x−y−1=0的交点在第一象限内,则k的取值范围是( )A．(1,+∞)B．(−1,1)C．(−∞,−1)∪(1,+∞)D．(−∞,−1)3．若方程(m2−3m+2)x+(m2−m)y−m+4=0表示一条直线,则实数m满足( )A．m≠0B．m≠2C．m≠1,m≠2,m≠0D．m≠14．平面直角坐标系xOy中,直线2xcosα+ysinα=1(α∈R)与圆O:x2+y2=1( )A．相切B．相交C．相离D．相交或相切5．直线l:(k+1)x+2ky+3k−1=0经过定点A,则A的纵坐标为( )A．−2B．−1C．1D．26．如图,正方形与正方形互相垂直,G是的中点,则( )A．与异面但不互相垂直B．与异面且互相垂直C．与相交但不互相垂直D．与相交且互相垂直7．已知圆(x−a)2+y2=a2平分圆的周长,则a的值是( )A．0B．C．D．8．如图,棱长为2的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的坐标轴Ox,Oy,Oz上,则定点D 的坐标为( )A．(1,1,1)B．(2,2,2)C．(3,3,3)D．(2,2,2)二、多选题（每小题5分，共3小题15分）9．已知直线l1,l2的方向向量分别为a,b,若向量a=(−2,2,1),b=(0,x,−1),且sin<a,b>=255,则实数x的值为( )A．2B．−2C．−211D．31310．下列说法错误的是( )A ．若直线a 2x−y +1=0与直线x−ay−2=0互相垂直,则a =−1B ．直线xsinα+y +2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)C ．过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的所有直线的方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y−2=011．直线过点P(4,2),且与以A(3,1),B(5,8)为端点的线段有公共点,则直线斜率可能是( )A ．1B ．2C ．8D ．6三、填空题（每小题5分，共3小题15分）12．若不同的四点A(5,0),B(−1,0),C(−3,3),D(a,3)共圆,则a 的值为__________.13．已知点关于直线对称，则直线的方程为__________．14．棱长为1的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是线段BB 1,B 1C 1的中点,则直线MN 到平面ACD 1的距离为__________.四、解答题（每小题12分，共5小题60分）15．已知圆心为M 的圆经过A(−2,6),B(6,0),C(−8,−2)这三个点.(1)求圆M 的标准方程;(2)直线l 过点P(4,6),若直线l 被圆M 截得的弦长为10,求直线l 的方程.16．（1）已知，，在轴上求一点使；（2）已知，，在平面上求一点使为等边三角形.17．如图,在四棱锥P−ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,其中AD//BC ,AB ⊥AD ,AB =AD =12BC =2,PA =4,E 为棱BC 上的点,且BE =14BC .(1)求证:DE ⊥平面PAC ;(2)求二面角A−PC−D 的余弦值;(3)设Q 为棱CP 上的点(不与C ,P 重合),且直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为55,求CQ CP的值.18．求证：设P 1(x 1 ,y 1 ,z 1)和P 2(x 2 ,y 2 ,z 2)是不同的两点，若P 1P =λPP 2 （λ∈R 且λ≠−1），则点P 的坐标为(x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ,z 1+λz 21+λ)空间的定比分点公式.19．已知坐标平面上点M (x,y )与两个定点M 1(26,1),M 2(2,1)的距离之比等于5.(1)求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中的轨迹为C ,线段AB ,点A 为C 上一点,点B (11,13),求AB 的中点P 的轨迹方程.四川省芦山中学2023-2024学年高二上期期中考试数学试题答案第1题：C 第2题：B 第3题：D 第4题：D 第5题：A 第6题：A 第7题：B 第8题：A 第9题：A,C 第10题：A,C,D 第11题：A,C,D 第12题：7第13题：第14题：第15题：(1)设圆M 的标准方程为(x−a)2+(y−b )2=r 2(r >0), 因为过A(−2,6),B(6,0),C(−8,−2),所以{(−2−a)2+(6−b )2=r 2 (6−a)2+(0−b )2=r 2 (−8−a)2+(−2−b)2=r 2,解得{a =−1b =−1 r 2=50 ,所以圆M 的标准方程为(x +1)2+(y +1)2=50;(2)当直线l 的斜率不存在时,其方程为x =4,由{x =4 (x +1)2+(y +1 )2=50 ,解得{x =4 y =4 或{x =4y =−6 ,所以直线l 被圆M 截得的弦长为4−(−6)=10,符合题意;当直线l 的斜率存在时,设其方程为y−6=k(x−4),即kx−y−4k +6=0,圆心M(−1,−1)到直线l 的距离为d =|−k +1−4k +6|k 2+1=|7−5k|k 2+1,因为直线l 被圆M 截得的弦长为10,所以r 2=d 2+(102)2,即50=(|7−5k|k 2+1)2+25,解得k =1235,直线l 的方程为12x−35y +162=0.综上所述,直线l 的方程为12x−35y +162=0或x =4.第16题：（1）（2）或第17题：(1)因为PA ⊥平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD 所以PA ⊥AB ,PA ⊥AD ,因为AB ⊥AD ,则以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得A(0,0,0),B (2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P(0,0,4),E(2,1,0).所以DE =(2,−1,0),AC =(2,4,0),AP =(0,0,4).因为DE ∙AC =2×2−1×4+0=0,DE ∙AP =0.所以DE ⊥AC ,DE ⊥AP 又AP ∩AC =A ,AP ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,所以DE ⊥平面PAC .(2)设平面PAC 的法向量m ,由(1)可知,m =DE =(2,−1,0)设平面PCD 的法向量n =(x,y,z),因为PD =(0,2,−4),PC =(2,4,−4).所以{n ∙PD =0n ∙PC =0 ,即{2y−4z =02x +4y−4z =0 ,不妨设z =1,得n =(−2,2,1).cos <m ,n >=m ∙n|m |∙|n |=2×(−2)+(−1)×2+022+(−1)2×(−2)2+22+1=−255所以二面角A−PC−D 的余弦值为255.(3)设CQ CP=λ(0<λ<1),即CQ =λCP =(−2λ,−4λ,4λ).所以Q =(2−2λ,4−4λ,4λ),即QE =(2λ,4λ−3,−4λ).因为直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为55所以cos⟨QE ,m⟩∣=m =|2×2λ−(4λ−3)+0|22+(−1)2×(2λ)2+(4λ−3)2+(−4λ)2=55即36λ2−24λ+9=3解得λ=23,即CQ CP =23.第18题：设P 点坐标为P(x,y,z)，则P 1P =(x−x 1 ,y−y 1 ,z−z 1)，PP 2 =(x 2 −x,y 2 −y,z 2−z)，因为P 1P =λPP 2 ，所以有{x−x 1=λ(x 2−x),y−y 1=λ(y 2−y),z−z 1=λ(z 2−z),由此得{x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ,z =z 1+λz 21+λ,故P 点的坐标为(x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ,z 1+λz 21+λ).第19题：(1)由題意可得:|MM 1||MM 2|=5⇒(x−26)2+(y−1)2(x−2)2+(y−1)2=5即x 2+y 2−2x−2y−23=0⇒ (x−1)2+ (y−1)2=25.即所求轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.(2)设P (x,y ),A ( x 0,y 0 )∵B (11,13)且AB 的中点为P ,∴{ 2x =x 0+112y =y 0+13 ⇒{x 0=2x−11y 0=2y−13 因为点A 为C 上一点,∴ ( x 0−1)2+ ( y 0−1)2=25即 (2x−12)2+ (2y−14)2=25即 (x−6)2+ (y−7)2=254.。
2023-2024学年(上)期中学业质量联合调研抽测高二数学试题[含答案]
![2023-2024学年(上)期中学业质量联合调研抽测高二数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/3590ed6fbb1aa8114431b90d6c85ec3a87c28bf8.png)
故选：A． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线中的定值，方法是设而不求法，在直线与圆锥曲线 相交问题常常采用此法，注意体会．
6.
C:
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b 0
的上顶点为 A，离心率为 e，若在 C 上存在点 P，使得
PA
6b
，
则 e2 的最小值是（ ）
52 6 A. 36
得到直线方程，根据方程特点可得答案.
【详解】当直线 AB 的斜率为 0 时，直线 AB 与抛物线只有 1 个交点，不符合题意，
所以直线 AB 的斜率不为 0，设其方程为 x ky m ，因为点 A, B 在抛物线 y2 x 上，
A
所以设
y
2 A
,
yA
,B
yB2 , yB
，所以 OAOB
b, c, z
x, y, a b c
；③
；④
，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】以
A
为顶点作
AB
a
，
AD
b
，
AA1
c
，作出平行六面体
ABCD
A1B1C1D1
，根据空间向
量的加法法则作出， x, y, z, a b c ，然后判断各组向量是否共面可得结论．
由于直线与圆恒有公共点，所以点 (1,1) 在圆内或圆上，
所以 (1 2)2 (1 2)2 m2 ，解得 m 10 或 m 10 ，
故选:D
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，涉及直线系方程属于基础题.
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.72。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。
高二期中考试(数学)试卷含答案
高二期中考试（数学）（考试总分：100 分）一、 单选题 （本题共计10小题，总分40分）1.（4分）1．已知集合{}34,5A =，，{}4,5,6B =，则AB =A ．{}3B ．{}4,5C ．{}34,5，D ．{}34,5,6，2.（4分）2．圆22240x y x y +-+=的圆心坐标是A ．(1，2)B ．(1-，2)C ．(1，2-)D ．(1-，2-)3.（4分）3．已知向量(,1)a x =-，(4,2)b =，且a b ，则x 的值是A ．2B ．12 C ．12- D ． 2- 4.（4分）4．若运行右图的程序，则输出的结果是A ．15B ．4C ．11D ．75.（4分）5．函数()(1)x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是A ．a >1B ．0<a <1C ．1<a <2D ．·a >26.（4分）6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200．400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是A ．6．4．8B ．6，6，6C ．5，6，7 D·4，6，87.（4分）7．如图4所示，正方形的面积为1.在正方形内随机撒1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（ ） A 、54 B 、53 C 、21 D 、528.（4分）8．不等式(1)(2)x x --≥0的解集是A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x <<C ．{}12x x x ≤≥或D ．{}12x x x <>或9.（4分）9．如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是A ．正方体B ．正三棱柱C ．圆柱D ．圆锥10.（4分）10．已知实数x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．3D ．5二、 填空题 （本题共计5小题，总分20分） 11.（4分）11．已知cos (0,)2παα=∈，则sin(2)______πα+=· 12.（4分）12．直线l 过点(0，2)且与直线1x =垂直，则l 的方程为____________。
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
2024年下学期期中检测试题高二数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 满足6786a a a ++=，则7a 等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质进行求解.【详解】 6787736,2a a a a a ++==∴=故选：B2.若圆224820x y x y m +-++=的半径为2，则实数m 的值为（）A.-9B.-8C.9D.8【答案】D 【解析】【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.【详解】由224820x y x y m +-++=，得22(2)(4)202x y m -++=-，所以2r ==，解得8m =.故选：D.3.若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A.1x =-B.1x =C.2x =D.2x =-【答案】D 【解析】【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =-，故选：D.4.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[)0,50、[)50,100、[)100,150、[)150,200、[)200,300和[]300,500六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A.这14天中有5天空气质量为“中度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量指数的中位数是214D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】B 【解析】【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A 选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A 选项错误；B 选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B 选项正确；C 选项：这14天中空气质量指数的中位数是179214196.52+=，C 选项错误；D 选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D 选项错误；故选：B.5.已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A.220x -25y =1B.25x -220y =1C.280x -220y =1D.220x -280y =1【答案】A 【解析】【详解】由题意得，双曲线的焦距为10，即22225a b c +==，又双曲线的渐近线方程为by x a=0bx ay ⇒-=，点1(2)P ，在C 的渐近线上，所以2a b =，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205x y -．考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．6.定义22⨯行列式12142334a a a a a a a a =-，若函数22cos sin ()πcos 22x xf x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则下列表述正确的是（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π2x =对称C.()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 是最小正周期为π的奇函数【答案】C 【解析】【分析】由行列式运算的定义，结合三角恒等变换，求出()f x 解析式，AB 选项关于函数图象的对称性，代入检验即可判断；整体代入验证单调性判断选项C ；公式法求最小正周期，检验函数奇偶性判断选项D.【详解】由题中所给定义可知，22ππ()cos sin 2cos 222cos 223f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π(π)2cos103f ==≠，点(π,0)不是()f x 图象的对称中心，故A 错误；ππ2cos 1223f ⎛⎫=-=-≠± ⎪⎝⎭，直线π2x =不是()f x 图象的对称轴，故B 错误；π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤⎢⎥-⎣-∈⎦-，2ππ,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是余弦函数的单调递增区间，所以()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；()f x 的最小正周期2ππ2T ==，但(0)0f ≠，所以函数不是奇函数，故D 错误.故选：C7.已知ABC V 中，6AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，则AD =（）A.25B.19C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意可得：1()2AD AB AC =+，结合向量的数量积运算求模长.【详解】由题意可得：16,4,64122AB AC AB AC ==⋅=⨯⨯=uu u r uuu r uu u r uuu r ，因为D 为BC 的中点，则1()2AD AB AC =+，两边平方得，()22212194AD AB AC AB AC =++⋅=，即AD =uuu r .故选：C.8.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF F Q =，则椭圆C 的离心率为（）A.255B.2C.155D.217【答案】D 【解析】【分析】由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，解得0x 、0y ，代入椭圆方程化简即可求解．【详解】解：由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，得032c x =-，204b y a =-，代入椭圆方程得：222291416c b a a+=，结合222a b c =+，化简上式可得：2237c a =，所以椭圆的离心率为7c e a ==，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设i 为虚数单位，下列关于复数z 的命题正确的有（）A.2025i 1=-B.若1z ，2z 互为共轭复数，则12=z z C.若1z =，则z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆D.若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则1m =-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，利用复数的乘方运算得到A 正确；B 选项，设1i z a b =+，2i z a b =-，则12=z z ；C 选项，由复数的几何意义得到C 正确；D 选项，根据纯虚数的定义得到方程，求出1m =-.【详解】对于A ：()()1012101220252i i i 1i i =⋅=-⋅=，A 错；对于B ：令1i z a b =+，2i,,R z a b a b =-∈，1z =，2z =所以12=z z ，故B 正确；对于C ：1z =，故z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，C 正确；对于D ：若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则10,10m m +=-≠，即1m =-，故D 正确.故选：BCD10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱CD 上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（）A.三棱锥11A B D E -的体积为定值B.11EB AD ⊥C.存在某个点E ，使直线1A E 与平面ABCD 所成角为60o D.二面角11E A B A --的平面角的大小为π4【答案】BD 【解析】【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；B.结合正方体的性质，由垂影必垂斜即可判断；C.结合正方体的性质即可判断；D.根据二面角的平面角定义即可判断.【详解】对于选项A ：三棱锥11E AB D -的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A 不正确；对于选项B ：1,B E 两点在平面11ADD A 上的射影分别为1,A D ,即直线1B E 在平面11ADD A 上的射影为1A D ，而11A D AD ⊥,根据三垂线定理可得11EB AD ⊥.故选项B 正确；对于选项C ：因为1A A ⊥平面ABCD ,直线1A E 与平面ABCD 所成角为1AEA ∠,当点E 和点D 重合时，1A E 在平面ABCD 射影最小，这时直线1A E 与平面ABCD 所成角θ最大值为π4，故选项C 不正确；对于选项D ：二面角11E A B A --即二面角11D A B A --，因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11E AB ，1AA ⊂平面11AA B ，所以1DA A ∠即为二面角11E A B A --的平面角，在正方形11ADD A 中，1π4DA A ∠=，所以二面角11E A B A --的大小为π4，故选项D 正确.故选：BD.11.数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线()32222:16C x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）A.方程()()32222160x y x y xy +=<，表示的曲线在第二和第四象限；B.曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；C.曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；D.曲线C 上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点）.【答案】AB 【解析】【分析】本题首先可以根据0xy <判断出A 正确，然后根据基本不等式将()3222216x y x y +=转化为224x y +≤，即可判断出B 正确，再然后根据曲线C 构成的面积小于以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积判断出C 错误，最后根据曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2以及曲线C 的对称性即可判断出D 错误.【详解】A 项：因为0xy <，所以x 、y 异号，在第二和第四象限，故A 正确；B 项：因为222x y xy +≥，当且仅当x y =时等号成立，所以222x yxy ≤+，()()22232222222161642x y x y x y x y ⎛⎫++=≤=+ ⎪⎝⎭，即224x y +≤2£，故B 正确；C 项：以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 构成的四叶玫瑰线面积小于圆O 的面积，故C 错误；D 项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，因为曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2，所以可将()0,0、()2,0、()1,0、()1,1、()0,1、()0,2代入曲线C 的方程中，通过验证可知，仅有点()0,0在曲线C 上，故结合曲线C 的对称性可知，曲线C 仅经过整点()0,0，故D 错误，故选：AB.【点睛】本题是创新题，考查学生从题目中获取信息的能力，考查基本不等式的应用，考查数形结合思想，体现了综合性，是中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A ，B ，则公共弦AB 所在的直线的方程是________.【答案】4410x y -+=【解析】【分析】两圆相减得到公共弦所在的直线的方程.【详解】由题意可知圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=相交，两圆方程相减得，2222244441025x x y x y x x y y ++=--+--+--=-，故公共弦AB 所在的直线的方程是4410x y -+=.故答案为：4410x y -+=13.若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n ∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12202220220b b b +++= ，则12022b b 的最大值是________.【答案】100【解析】【分析】根据题设易知正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，应用等差数列前n 项和公式得1202220b b +=，应用基本不等式求12022b b 最大值.【详解】由题意，正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，则1n n d b b +=-（d 为常数），所以正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，则()120221220222022202202b b b b b +++==⨯+ ，则1202220b b +=，则2212022120222010022b b b b +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当0122110b b ==时等号成立），所以12022b b 的最大值是100.故答案为：10014.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN ＋取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________．【答案】643π.【解析】【分析】根据题意有=B AN MN N MN BM ≥＋＋,动点M 恰为PD 的中点即4BP BD ==,及可求出PO =，则可求出外接球的半径，方可求出其表面积．【详解】由题意知=B AN MN N MN BM ≥＋＋当BM PD ⊥时BM 最小，因为M 为PD 的中点，故而为PD 的中点，即=4BP BD =，2BO =PO ∴=，设外接球的半径为r ，则22)4r r =+．解得433r =.故外接球的表面积为26443r ππ=.【点睛】本题考查锥体的外接球表面积，求出其外接球的半径，即可得出答案，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，84a =，1122S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值.【答案】（1）320n a n =-（2）-57【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组求出117,3,a d =-⎧⎨=⎩即可得，（2）由通项公式可求得当6n ≤时，0n a <，从而可得当6n =时，n S 取到最小值，进而可求出其最小值【小问1详解】设数列 的公差为d ，则8111174115522a a d S a d =+=⎧⎨=+=-⎩，解得1173a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)320n a a n d n =+-=-.【小问2详解】令3200n a n =->，解得203n >，所以当6n ≤时，0n a <.故当6n =时，n S 取到最小值，为6161557S a d =+=-.16.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n=（2）199(1)8n n n +-++【解析】【分析】（1）设出公差，利用题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）29nn b n =+，利用分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案.【小问1详解】根据{}n a 为等差数列，设公差为0d ≠.10110S =，即11101045a d =+①，1a ，2a ，4a 成等比数列∴2214a a a =⋅，()()21113∴+=+a d a a d ②，由①②解得：122a d =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.【小问2详解】由232329n a n n n n b a n n =+=+=+，数列{}n b 的前n 项和()()122212999nn n T b b b n =++⋯+=⨯+++++++ ()1919(1)992(1)2198n n n n n n +-+-=⨯+=++-.17.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，122PA PB AD BC ====，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点，（1）证明：//DE 平面PAB ；（2）若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取PB 中点M ，连接AM ，EM ，通过证明四边形ADEM 为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，可得,,,,GF PG AG BG AB ，建立以G 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】取PB 中点M ，连接AM ，EM ，E 为PC 的中点，//ME BC ∴，12ME BC =，又AD //BC ，12AD BC =，//ME AD ∴，ME AD =，∴四边形ADEM 为平行四边形，//DE AM ∴，DE ⊄ 平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，//DE ∴平面PAB ；【小问2详解】平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面ABCD ，,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ，取AB 中点G ，连接FG ，则//,FG BC FG ∴⊥平面PAB ，()160,32GPF GF AD BC ∴∠=︒=+=，3tan60,PG PG∴︒=∴=2,1,2PA PB AG GB AB ==∴===，如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z轴建立空间直角坐标系，(()(),1,4,0,1,2,0P C D ∴-，(()1,4,,2,2,0PC CD ∴==-- ，设平面PCD 的一个法向量，()1,,n x y z = ，则1140220n PC x y n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1y =，则(1n =- ，平面PAB 的一个法向量可取()20,1,0n = ，设平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角为θ，1212cos5n nn nθ⋅∴==，所以平面PAB与平面PCD 所成锐二面角的余弦值55.18.已知抛物线2:2(0)C x py p=>上一点(,6)P m到焦点F的距离为9.（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且倾斜角为5π6的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且MA MB⊥，求MAB△的面积.（3）过点(2,0)Q的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得TC TD⋅为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由.【答案】（1）212x y=（2）（3）存在定点191,93T⎛⎫⎪⎝⎭，TC TD⋅为常数37081.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义得02pPF y=+，计算出p得抛物线方程；（2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出,A B两点坐标，利用0MA MB⋅=求出M点坐标，求出M 点到直线l的距离和弦长AB，可求MAB△的面积；（3）设()00,T x y，()33,C x y，()44,D x y，过点Q的直线为(2)y k x=-，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出TC TD⋅，求出算式的值与k无关的条件，可得TC TD⋅为定值的常数.【小问1详解】由拋物线的定义得02pPF y=+，解得692p+=，6p=.∴抛物线的方程为212x y=.【小问2详解】设()11,A x y，()22,B x y，由（1）知点(0,3)F，∴直线l的方程为0x +-=.由20,12,x x y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩可得21090y y -+=，则1210y y +=，129y y =，12121061622p p AB AF BF y y y y p ⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不妨取11y =，29y =，则点A ，B的坐标分别为，(-.设点M 的坐标为(,3)t -，则,4)MA t =-uuu r，(,12)MB t =--uuu r ，则)()4120MA MB t t ⋅=--+⨯= ，解得t =-.即(3)M --，又点M 到直线l的距离d =d =，故MAB △的面积12S d AB =⋅=；【小问3详解】设()00,T x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，过点Q 的直线为(2)y k x =-，2(2)12y k x x y =-⎧⎨=⎩联立消去y 得：212240x kx k -+=，0∆>时，3412x x k +=，3424x x k =，联立消去x 得：()22241240y k k y k +-+=，234124y y k k +=-，2344y y k =，()()()()30403040TC TD x x x x y y y y ⋅=--+-- ()()22340343403400x x x x x y y y y y x y =-++-+++()2222000024124124k x k k y k k x y =-⋅+--++()()2220000024124412x y k y k x y =-++-++要使()()2220000024124412x y k y k x y -++-++与k 无关，则00241240x y -+=且04120y -=，0199x ∴=，013y =，存在191,93T ⎛⎫ ⎪⎝⎭此时TC TD ⋅ 为定值37081.19.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A ，并在圆外取一定点B ；步骤2：把纸片折叠，使得点B 折叠后与圆A 上某一点重合；步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A ，并在圆外取一定点,4B AB =，按照上述方法折纸，点B 折叠后与圆A 上的点T 重合，折痕与直线TA 交于点,P P 的轨迹为曲线C .（1）以AB 所在直线为x 轴建立适当的坐标系，求C 的方程；（2）设AB 的中点为O ，若存在一个定圆O ，使得当C 的弦PQ 与圆O 相切时，C 上存在异于,P Q 的点,M N 使得//PM QN ，且直线,PM QN 均与圆O 相切.（i ）求证：OP OQ ⊥；（ii ）求四边形PQNM 面积的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）[)6,+∞.【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据双曲线定义可得双曲线方程；（2）假设存在符合条件的圆，依据条件，可得四边形PQNM 为菱形，设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k -，将直线,OP OQ 分别与双曲线方程联立求得||,||OP OQ ，通过计算O 到直线PQ 的距离可得定圆的方程.【小问1详解】以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A B -.由折纸方法可知：PB PT =，所以2PB PA PT PA TA AB -=-==<.根据双曲线的定义，C 是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程为()222210,0,x y a b a b-=>>则1,2a c ===，所以221,3a b ==.故C 的方程为2213y x -=.【小问2详解】（i ）假设存在符合条件的圆O ，如图所示：由//PM QN 可得180MPQ NQP ∠+∠=︒，根据切线的性质可知，,MPO OPQ NQO OQP ∠=∠∠=∠,所以90OPQ OQP ∠+∠=︒，即OP OQ ⊥.（ii ）分别作,P Q 关于原点O 的对称点,N M ''，则,N M ''均在C 上，且四边形PQN M ''为菱形，所以,PM QN ''均与O 相切，所以M '与M 重合，N '与N 重合，所以四边形PQNM 为菱形.显然，直线,OP OQ 的斜率均存在且不为0.设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k-，则直线OP 的方程为y kx =，直线OQ 的方程为1=-y x k .设()()1122,,,P x y Q x y ，则由22,13y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2233k x -=，所以230k ->，且21233x k =-，所以203k <<，且1||OP ==.同理可得：213k >，且||OQ =所以四边形PQNM 的面积2||||S OP OQ =⋅=.设241,43t k t =+<<，故S ==.设1=u t ，则1344u <<，所以S =因为216163y u u =-+-在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以(]0,1y ∈.所以[)6,S ∈+∞.所以四边形PQNM 的面积的取值范围是[)6,+∞.。
高二期中考试(数学)试卷含答案
高二期中考试（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.（5分）1．化简 ()i 23i +=（ ）A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2.（5分）2．曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的斜率为 （ ）A ．1B ．1-C ．2-D ．23.（5分）3．有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为 （ ） A ．35 B ．53 C ．35CD ．35A4.（5分）4．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55.（5分）5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.（5分）6．已知曲线3()=2f x x x +-在点P 处的切线平行与直线41y x =-，则点P的坐标为（ ）． A ．(1,0)B ．(1,4)--C ．(1,4)-D ．(1,0)或(1,4)--7.（5分）7．已知函数()21ln 2f x x x =-，则()f x 的单调减区间是（ ） A ．[)1,+∞B ．(],1-∞-C ．(]0,1D ．[]1,1-8.（5分）8.设函数)('x f 是偶函数)(x f 的导函数，满足0)2(=f ，且0>x 时，满足0)()('<-x f x xf ，则使得0)(<xx f 时，x 的取值范围是（ ） A.)2,2-（ B ．），（）（∞+-20,2 C ．)1,1-（ D ．），（）（200,2 - 二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．2z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限10.（5分）10.将4个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子，则不同的放法种数是（ ） A ．11114323C C C CB ．2343C AC ．3143A CD ．21342322C C A A ⋅ 11.（5分）11．已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =（ )A ．在1-=x 处取极小值B ．在3=x 处取极小值C ．在)2,1-（上为增函数 D ．在)2,1(上为减函数 12.（5分）12．下列关于函数ln ()xf x x=的说法，正确的有（ ）A ．x e =为函数()f x 的极大值点B ．x e =为函数()f x 的极小值点C ．函数()f x 在(0,)e 上单调递增D ．函数()f x 在(,)e +∞上单调递增三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为_____________． 14.（5分）14．曲线321y x x =+-在点(1,(1))f 处的切线方程为______________. 15.（5分）15．为了更好地进行新冠肺炎的疫情防控，某社区安排6名工作人员到A ，B ，C 三个小区讲解疫情防控的注意事项，若每个小区安排两名工作人员，则不同的安排方式的种数为_________(.数字作答）.16.（5分）16．已知函数x a e x f x ln )(-=在[]41，上单调递增，则a 的取值范围为_________.四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17、（10分）若复数()()2262z m m m m i =+-+--，当实数m 为何值时?（1）z 是实数；（2）z 是纯虚数.18.（12分）18、（12分）在广外佛山外校某次颁奖典礼上，需要合影留念，现有3名女生和4名男生排成一排，问：(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻，有多少种排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种排法？19.（12分）19、（12分）已知函数13)(3+-=x x x f .（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数的极值；(要列表).20.（12分）20、（12分）为了参加广外佛山外校第一届“辩论赛”，现在要从报名的5名男生和4名女生中再选出4人去参加比赛，问： （1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？ （2）如果4人中既要有男生，也有女生，有多少种选法？（2）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？21.（12分）21、（12分）已知函数()ln ),(f x x x ax b a b R =++∈在点()()1,1f 处的切线为320x y --=． （1）求函数()f x 的解析式：（2）若对于∀x 1,14⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有xx f m m )(12>--恒成立，求m 的取值范围． 22.（12分）22、（12分）某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为)50(2152≤≤-=x x x R ，其中x 是产品生产并售出的数量（单位：百台）． （1）把利润表示为年产量的函数．（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（不需求出利润最大值）答案一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.（5分） D 2.（5分） A 3.（5分）B 4.（5分）D 5.（5分）C 6.（5分）D 7.（5分）A 8.（5分）B二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分） 9.（5分）BCD 10.（5分） CD 11.（5分） AC 12.（5分） AC三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．i -14.（5分） 14. 035=--y x 15.（5分） 15．9016.（5分） 16．],e ∞-（四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17.（1）当z 是实数时，220m m --=，解得2m =或1m =-，所以，所求的m 值为2或1-........5分.（2）当z 是纯虚数时，222060m m m m ⎧--≠⎨+-=⎩，解得3m =-，所以，所求的m 值为3-............................10分18.（12分）18.解：（1）(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有5个元素，排成一排有55A 种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有33A 种排法，因此共有55A ·33A ＝720(种)不同排法．............................................................................4分（2）(插空法)先排4个男生，有44A 种排法，这4个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有35A 种排法，因此共有44A ·35A ＝1440(种)不同排法....................................8分（3）因为两端不排女生，只能从4个男生中选2人排列，有24A 种排法，剩余的位置没有特殊要求，有55A 种排法，因此共有24A ·55A ＝1440(种)不同排法．..........................................12分19.（12分）19.解：（1）3()31=-+f x x x ，/2()333(1)(1)∴=-=-+f x x x x ...............................................2分由'()0f x =可得1x =或1x =-..................................................................................................................4分①当/()0f x >时，1x >或1x <-；②当/()0f x <时，11x -<<，所以()f x 的单调增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调减区间为：()1,1-....................................................6分（2）由（1）可得，当x 变化时，/()f x ，()f x 的变化情况如下表：...........................................10分当1x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -= 当1x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =-..............................................................................12分20.（12分）20.解：（1）根据题意，从5名男生中选出2人，有2510C =种选法，从4名女生中选出2人，有246C =种选法，则4人中男生和女生各选2人的选法有10660⨯=种；............................................................4分（2）先在9人中任选4人，共有49126C =种选法，4人都是男生的有545=C 种选法，4人都是女生的有144=C 种选法，则4人中既要有男生，也有女生，有12015126=--种选法..................................8分（3）先在9人中任选4人，有49126C =种选法，其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有4735C =种，则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有1263591-=种；...........................12分21.（12分）21.（1）由题意知：()f x 的定义域为(0,)+∞...........................................................................................1分∵()ln 1'=++f x x a ∴(1)13(1)1f a f a b =+=⎧⎨=+='⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩......................................................................5分 故()ln 21f x x x x =+-．...........................................................................................................................6分 （2）令()1()ln 2f x h x x x x==-+，则22'111)(xxx x x h +=+=...........................................................8分 0)(1,41'>∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈x h x ， ，即函数)(x h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 上单调递增.所以要使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀>--1,41)(12x x x f m m ，恒成立...............................................................................10分 只要1)1()(1max 2==>--f xx f m m ）（即可，解得：2,1>-<m m 或．..........................................12分22.（12分）22.（1）设利润为y 万元，得⎪⎩⎪⎨⎧>--⨯-⨯≤≤---=)5(25.05.05215550(25.05.021522x x x x x x y ）即⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-=)5(25.01250(5.04.75212x x x x x y ）...........................6分（2）显然当05x ≤≤时，企业会获得最大利润，此时，21( 4.75)10.781252y x =--+， 4.75x ∴=，即年产量为475台时，企业所得利润最.....12分．。
山西省太原市2024-2025学年高二上学期11月期中学业诊断数学试题(含答案)
2024~2025学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试卷（考试时间：上午7：30-9：00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.题号一二三四总分得分一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.2.圆的圆心坐标为（ ）A. B. C. D.3.过点和的椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D.4.已知，，且，则（ ）A. B. C. D.5.已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ）A. B. C. D.6.已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（ ）A.1B.2D.7.已知椭圆的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围为（ ）y x =30︒60︒120︒150︒22620x y x y ++-=()3,1-()3,1-()6,2-()6,2-()3,0()0,222132x y +=22194x y +=22123x y +=22149x y +=()1,1,a m =- ()2,,6b n =-a b ∥(),m n =()3,2-()2,3-()3,2-()2,3-l ()1,021y x =-+l 220x y +-=220x y --=210x y +-=210x y --=()():10l x m y m m +-+=∈R 22:4C x y +=A B AB ()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F C M12120F MF ∠=︒C eA. B. C. D.8.在如图所示的试验装置中，正方形框ABEF 的边长是2，矩形框ABCD 中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段AC 和BF 上移动，则MN 的长的最小值为（ ）A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知椭圆，则下列说法正确的是（ ）A.是椭圆的一个顶点 B.是椭圆的一个焦点C.椭圆的离心率 D.椭圆的短轴长为10.已知正四棱锥中，，是PB 的中点，是底面ABCD 的中心，则下列说法正确的是（ ）A.B.直线DE 与APC.直线DE 与平面ABCDD.点到直线DE11.已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭2AB AD =M N 2322:134x y C +=()2,0C ()0,1C C 12e =C P ABCD -PA AB ==E O DE AC⊥O (),P x y ()22:21M x y -+=A.的最小值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）12.直线在轴上的截距为______.13.已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为______.14.已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是______.四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分8分）已知的三个顶点，，.（1）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程；（2）求边AB 上的高所在直线的斜截式方程.16.（本小题满分8分）如图，四面体OABC 各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，.（1）用向量，，表示向量；（2）求OE 的长.17.（本小题满分10分）已知圆与圆.（1）若圆与圆相内切，求的值；yx2226x y x y ++-9-x y -1+2x y +410x y +-=y C 1y x =-221x y +=()1,1C F 22:143x y C +=P C ()0,1A PA PF +ABC △()1,2A -()3,0B ()0,2C -1D AB E CD2DE EC = OA a = OB b = OC c = a b c OE221:1C x y +=222:40C x y y F +-+=1C 2C F（2）在（1）的条件下，直线被圆截得的弦长为的值.18.（本小题满分10分）如图、四棱锥的底面ABCD 是菱形，，.（1）求证：平面平面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值.19.（本小题满分13分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，为旋杆上的一点且在，两点之间.当滑标在滑槽内作往复运动时，滑标在滑槽GH 内随之运动，放置于处的笔尖便可画出椭圆，即动点的轨迹为椭圆.如图2所示.设EF 与GH 交于点，以EF 所在的直线为轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，记，.（1）若，，求椭圆的方程；（2）证明：动点的轨迹为椭圆；（3）若，过作两条互相垂直的射线分别交椭圆于点、，求证：点到直线PQ 距离为定值.y kx =2C k P ABCD -PA PD ==2PB AB BD ===PAD ⊥M N D M N ()ND DM ≠M EF N D D C O x ND a =DM b =()0,0a b >>4MN =3ND DM =C D C a b >O C P Q O2024～2025学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试题参考答案及评分建议一.单项选择题：DA B C A D B C 二.多项选择题：9.B CD10.ACD11.ABD三.填空题：12.113.14.四.解答题：15.解：（1）设是边AB 的中点，则，…2分边AB 上的中线CD 的一般式方程为；……4分（2），，，边AB 上的高所在直线的斜率，…6分边AB 上的高所在直线的斜截式方程为.……8分16.（1）解：连接OD ，则；……4分（2）由（1）得，，.……8分17.解：（1），，，……2分，，，，……4分圆与圆相内切，，，；……5分（2）由（1）得，圆的方程为，，，……7分故圆心到直线的距离，……10分18.（1）证明：设是AD 的中点，连结OP ，OB ，四边形ABCD 是菱形，，，2220x y x y ++--=4(),D x y 131,2201,2x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-+===⎩=+()1,1D ∴∴320x y --=()1,2A - ()3,0B 12AB k ∴=-∴2k =∴22y x =-()221333OE OD DE OD DC OD OC OD OD =+=+=+-=+()212112363663OC OA OB OC a b c =++=++()146OE a b c =++()()22222114162883636OE a b c a b c a b b c c a∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 111131116288362224⎛⎫=+++⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭OE ∴= 221x y += ()10,0C ∴11r =2240x y y F +-+= ()2224x y F ∴+-=-()20,2C ∴2r = 1C 2C 1221C C r r ∴=-21∴=-5F ∴=-5F =-2C ()2229x y +-=()20,2C 23r =2C y kx =1d ===k ∴=O 2AB BD ==OB AD ∴⊥OB =，，，平面ABCD ，平面平面ABCD ；（2）由（1）得，，，以为原点，OA ，OB ，OP 所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，设是平面PAB 的一个法向量，则令，……6分设是平面PCD 的一个法向量，则令，则，……8分，平面PAB 与平面PCD的夹角的余弦值为.……10分19.解：（1）由题意可设椭圆的方程，则，，椭圆的方程为；…3分（2）解法一：设，，，PA PD == OP AD ∴⊥1OP =2224PB OP OB ∴=+=,OP OB OP ∴⊥∴⊥∴PAD ⊥OB AD ⊥OP OA ⊥OP OB ⊥O x y z ()1,0,0A ()B ()C -()1,0,0D -()0,0,1P ()111,,m x y z =11110,,0,,x z m PA x m AB ⎧-=⎧⊥⎪⎪∴⎨⎨-+=⊥⎪⎪⎩⎩1x =m = ()222,,n x y z =2222220,,,0,x z n PC n CD x ⎧⎧+=⊥⎪⎪∴⎨⎨⊥=⎪⎪⎩⎩ 21y =n = 1cos ,7m n m n m n ⋅∴==⋅∴17C ()222210x y a b a b+=>>334a ND MN ===114b DM MN ===∴C 2219x y +=(),D x y (),0M m ()0,N n由题意得，，，，，整理得，当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.……8分解法二：设，，由题意得，，则，即，当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.……8分（3）由题意可得椭圆的方程，当直线PQ 的斜率不存在时，设其方程为，则点到直线PQ9分当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为，，，由得，x x m NDaa b==+y y n DMba b==+()a b x m a+∴=()a b yn b+=()()()22222a b x a b y m n a b a b ⎡⎤⎡⎤++∴+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22221x y a b+=a b >D C ND DM a b <D C DM ND (),D x y OMN θ∠=cos x NDθ=sin y DMθ=2222cos sin 1x y ND DM θθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221x y a b +=a b >D C ND DM a b <D C DM ND C ()222210x y a b a b+=>>()00x x a x a =-<<0x =∴O y kx m =+()11,P x y ()22,Q x y 2222,1y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()2222222220a k b x a kmx a m b +++-=()212222222122222,,a kmx x a k b a m b x x a k b ⎧+=-⎪+⎪∴⎨-⎪=⎪+⎩，，，即，……12分点到直线PQ 距离为，综上所述，点到直线PQ.……13分OP OQ ⊥ ()()221212121210OP OQ x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++=()()2222221a b k m a b ∴+=+()2222221a b k m a b +=+∴O d ==O。
安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案
2024～2025学年第一学期高二期中检测数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章～第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()1,2,4a =，()1,0,2b =-r，则a b ⋅的值为（）A.()1,0,8- B.9C.－7D.7【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量数量积坐标运算法则进行计算.【详解】()()1,1,2,00874,21a b ⋅⋅=-=-++=.故选：D2.直线+1=0x 的倾斜角为（）A.34π B.4π C.2π D.不存在【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角的定义可得结果【详解】因为直线+1=0x 即直线1x =-垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为2π，故选:C.3.与直线20x y +=垂直，且在x 轴上的截距为-2的直线方程为（）．A.220x y -+=B.220x y --= C.220x y -+= D.220x y --=【答案】A 【解析】【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.【详解】由题得所求直线的斜率为12，∴所求直线方程为10(2)2y x -=+，整理为220x y -+=．故选：A【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）.4.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BE AA x AB y AD =++，则（）A.11,22x y =-=B.11,22x y ==-C.11,22x y =-=-D.11,22x y ==【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】根据题意，得；11()2BE BB BA BC =++11122AA BA BC=++111,22AA AB AD =-+ 1BE AA xAB y AD =++ 又11,,22x y =-=∴故选：A5.已知向量()0,0,2a = ，()1,1,1b =- ，向量a b + 在向量a上的投影向量为（）．A.()0,0,3 B.()0,0,6C.()3,3,9- D.()3,3,9--【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.【详解】由题意可知()1,13a b +=-，，()6,2a b a a +⋅== ，所以向量a b + 在向量a上的投影向量为()()()60,0,20,0,322a b a a a a +⋅⋅=⨯=⋅ .故选：A6.若圆()()2213425O x y -+-=:和圆()()()222228510O x y r r +++=<<:相切，则r 等于A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得r 的值并验证510r <<即可得结果.【详解】圆()()2213425O x y -+-=:的圆心()13,4O ，半径为5；圆()()2222:28O x y r +++=的圆心()22,8O --，半径为r.＝|r－5|，求得r＝18或－8，不满足5<r<10.＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故选C．【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题.两圆半径为,R r ，两圆心间的距离为d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()2,1,0D ，向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，则点O 到平面DEF 的距离为（）A.21B.7C.21D.21【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算点O 到平面DEF 的距离.【详解】因为()2,1,0D ，所以()2,1,0OD = ，又向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，所以()4,1,2m =是平面DEF 的一个法向量所以点O 到平面DEF的距离为7OD m d m ⋅===.故答案为：7.8.已知直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ），点P 在圆221x y +=上，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解.【详解】解：直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ）即为()()340x y m -+-=，所以直线过定点()3,4Q ，所以点P 到直线l的距离的最大值为16OQ r +=+=，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线2y x =与0x y a ++=交于点()1,P b ，则（）A.3a =-B.2b =C.点P 到直线30ax by ++=的距离为13D.点P 到直线30ax by ++=的距离为13【答案】ABD 【解析】【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a 、b ，进而应用点线距离公式求P 到直线30ax by ++=的距离即可.【详解】由题意，得：210b b a =⎧⎨++=⎩，解得3a =-，2b =，故A 、B 正确，∴()1,2到直线3230x y -++=的距离13d ==，故C 错误，D 正确.故选：ABD.10.已知空间向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，则下列说法正确的是（）A.()32//a b a+B.()57a a b⊥+C.a =D.b =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解.【详解】因为向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，可得214,10a a b =⋅=-，对于A 中，由()323,3,8a b +=-，设32a b a λ+= ，即()3,3,8(3,1,2)λ-=--，可得33382λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，此时方程组无解，所以32a b + 与a 不平行，所以A 错误；对于B 中，由()257575147(10)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯-=，所以()57a a b ⊥+，所以B 正确；对于C中，由a ==，所以C 正确；对于D中，由b == D 正确.故选：BCD.11.直线2y x m =+与曲线y =恰有两个交点，则实数m 的值可能是（）A.4B.5C.3D.4110【答案】AD 【解析】【分析】做出函数图象，数形结合，求出m 的取值范围，再进行选择.【详解】做出函数2y x m =+与y =的草图.设2y x m =+与圆224x y +=2=⇒m =m =-（舍去）.因为函数2y x m =+与y =有两个交点，所以4m ≤<.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在空间直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2,)3-，点B 的坐标为(0,1,4)--，点A 与点C 关于x 轴对称，则||BC =___________.【答案】【解析】【分析】首先根据对称求出点C 的坐标，然后根据两点间的距离公式求||BC 的值即可.【详解】因为点A 与点C 关于x 轴对称，所以点C 的坐标为()1,2,3-，又因为点B 的坐标为(0,1,4)--，所以BC ==．13.过点()2,4作圆224x y +=的切线，则切线方程为___________．【答案】2x =或34100x y -+=【解析】【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.【详解】①直线的斜率不存在时2x =满足，②直线斜率存在时，设切线方程为()42y k x -=-，则324d k ==⇒=，所以切线方程为4y -=()324x -，即34100x y -+=．故答案为：2x =或34100x y -+=.14.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．【答案】【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D，则cos∠AOB＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD＝=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知直线l 过点()2,1P -．（1）若直线l 与直线230x y ++=垂直，求直线l 的方程（2）若直线l 在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l 的方程．【答案】（1）240x y --=；（2）20x y +=或30x y --=．【解析】【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.【小问1详解】因为直线l 与直线230x y ++=垂直，所以可设直线l 的方程为20x y m -+=，因为直线l 过点()2,1P -，所以()2210m -⨯-+=，解得4m =-，所以直线l 的方程为240x y --=【小问2详解】当直线l 过原点时，直线l 的方程是2xy =-，即20x y +=．当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a -=，把点()2,1P -代入方程得3a =，所以直线l 的方程是30x y --=．综上，所求直线l 的方程为20x y +=或30x y --=16.已知向量()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=.（1）若a b ⊥ ，求t 的值；（2）求b a -的最小值.【答案】（1）2（2）5【解析】【分析】（1）由空间向量垂直得到方程，求出答案；（2）计算出()1,21,0b a t t -=+-，利用模长公式得到b a -= ，求出最小值.【小问1详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=，即()()22110t t t t -+-+=，解得2t=；【小问2详解】()1,21,0 b a t t-=+-所以b a-=.所以当15t=时，b a-取得最小值为5.17.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，//AD BC，AB BC⊥，AP⊥平面ABCD，Q为线段PD上的点，2DQ PQ=，1AB BC PA===，2AD=．（1）证明：//BP平面ACQ；（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用三角形相似得2MD MB=，结合2DQ PQ=，则有//MQ BP，利用线面平行的判定即可证明；（2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案.【小问1详解】如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，∵//BC AD，2AD BC=，则AMD CMB，∴2MD ADMB CB==，2MD MB=，∵2DQ PQ=，∴//MQ BP，BP ⊄ 平面ACQ ，MQ Ì平面ACQ ，∴//BP 平面ACQ ；【小问2详解】AP ⊥ 平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ,,AP AB AP AD ∴⊥⊥，因为底面AB BC ⊥,则AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如下：()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，220,,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =，由()1,1,0AC = ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，有02233AC m x y AQ m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，1y =-，1z =，可得()1,1,1m =- ，由()1,1,1CP =-- ，有1CP m ⋅=，CP m ==，则1cos ,3CP m == ．故直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13．18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,F G 分别是棱1,CC AD 的中点，E 为棱AB 上一点，且异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为25.（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）4242【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨令正方体的棱长为2，设()2,,0E a ，利用111cos ,B E BG B E BG B E BG⋅= ，解得1a =，即可证得；（2）分别求得平面1B EF 与平面11ABC D 的法向量m n ，，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅ 求解即可.【小问1详解】证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.不妨令正方体的棱长为2，则()0,0,0D ，()1,0,0G ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，()0,2,1F ，设()2,,0E a ，则()10,2,2B E a =-- ，()1,2,0BG =-- ，所以()1121422cos ,5524B E BG a B E BG B E BG a ⋅-===-+ ，所以2430a a -+=，解得1a =（3a =舍去），即E 为AB 的中点.【小问2详解】由（1）可得()10,1,2B E =-- ，()2,1,1EF =- ，设(),,m x y z = 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ .令2z =，得()1,4,2m =-- .易得平面11ABC D 的一个法向量为()12,0,2n DA == ，所以cos ,42m n m n m n ⋅===⋅ .所以所求锐二面角的余弦值为42.19.已知圆C 过点(1,0)M -且与直线20x +-=相切于点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线:30l kx y k --+=与圆C 交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与x 轴的正半轴交于点P ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +是定值．【答案】（1）221x y +=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）确定圆心和半径，可得圆C 的方程.（2）把直线方程与圆C 方程联立，得到12x x +，21x x ，再表示出12k k +，运算整理即可.【小问1详解】过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与直线20x +-=垂直的直线为：1022x y ⎛⎫⎫---= ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭0y -=.又线段MN，其中1,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的垂直平分线为：()222213122x y x y ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y +=.由00y y -=+=，得圆心()0,0C ，又221r CM ==.故圆C 的方程为：221x y +=.【小问2详解】将()3y kx k =+-代入221x y +=得：()2231x kx k ⎡⎤++-=⎣⎦，整理得：()()()222123310k x k k x k ++-+--=.由0∆>⇒()()()22224341310k k k k ⎡⎤--+-->⎣⎦⇒43k >.设1,1，2,2，则()122231k k x x k -+=+，()2122311k x x k --=+.又()1,0P ，所以()111111133111k x y k k x x x -+===+---，同理：2231k k x =+-.所以121233211k k k x x +=++--()()()121236211x x k x x +-=+--()()1212123621x x k x x x x +-=+-++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++18629k k --=+23=-.所以1223k k +=-为定值.。
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高二年级文科数学试题一、选择题（本题共12个小题）1．下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应， 其中正确的命题个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．13()i i --的虚部为 ( ) A ．8i B ．8i - C ．8 D ．8-3．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数D ．z z -+为实数4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++⋅⋅⋅⋅则12,z z 的关系是（ )A ．12z z =B ．12z z =-C ．121z z =+D ．无法确定 5． 2020(1)(1)i i +--的值是 ( )A ． 1024-B ． 1024C ． 0D ．10246．已知2()(1,)nnf n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 无数个7．正三棱锥的侧棱与底面的对边 （ ） A. 平行 B. 垂直 C.相交 D.以上皆错8．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于 （ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．279．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①++；②+2；③+；④-2中，与等价的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内 （ ）A ．只有最大值B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值11．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a = 12．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 二、填空题（本题共4个小题）13．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。
14. 复数11z i=-的共轭复数是_________。
15. 计算=++-i i i 1)21)(1(__________。
16. 复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在第________象限。
三、解答题17．实数x 取何值时，复数(x 2+x - 2)+(x 2+3x+2)i 是实数？是虚数？是纯虚数？18．设复数z 满足1z =,且(3+4i)z 是纯虚数,求z -.19)n 是正整数20．已知复数z 满足: 13,z i z =+-求22(1)(34)2i i z++的值.21．用反证法证明：3是无理数 22.分析法证明：2325-<-参考答案：一、选择题1．A (1) 0比i -大，实数与虚数不能比较大小； （2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数； （3）1x yi i +=+的充要条件为1x y ==是错误的，因为没有表明,x y 是否是实数；（4）当0a =时，没有纯虚数和它对应2．D 2133333112()()()()(2)8i i i i i i i i i----=-====-，虚部为8- 3．B z z z R -=⇔∈；z z z R =⇒∈，反之不行，例如2z =-；2z 为实数不能推出 z R ∈，例如z i =；对于任何z ，z z -+都是实数4．A 49444567...127212(1)(1)1,111i i i i z i z i i i i+++++--=======-- 5．C202021021010101010(1)(1)[(1)][(1)](2)(2)(2)(2)0i i i i i i i i +--=+--=--=-=6．B00122331(0)0,(1)2,(2)0,(3)2f i i f i i i i f i i f i i ii---=-==-=-==-==-=-7.B8.B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x -== 9．D ①BC CD EC BD EC AE EC AC ++=+=+=； ②2BC DC AD DC AC +=+= ③FE ED FD AC +==；④2ED FA FC FA AC -=-=，都是对的 10．D 242T ππ==，[0,]2π已经历一个完整的周期，所以有最大、小值11．B 由1845a a a a +=+知道C 不对，举例1845,1,8,4,5n a n a a a a =====12．D 13''22(4)11,216y x y x y --===-===- 二、填空题13.5 14.1–i 15.2-i 16.二三、解答题17.略 18．解：设,(,)z a bi a b R =+∈，由1z =1=；(34)(34)()34(43)i z i a bi a b a b i +=++=-++是纯虚数，则340a b -=44155,3334055a a a b b b ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨-=⎪⎪⎪⎩==-⎪⎪⎩⎩或，4343,5555zi i -=--+或 19.=20．解：设,(,)z a bi a b R =+∈，而13,z i z =+-即130i a bi -++=则410,43330a a z ib b =-⎧-=⇒=-+⎨=-=⎩⎪⎩ 21．22.（略）济南世纪英华实验学校2008—2009年度第二学期高二年级理科数学试题一、选择题（本题共12个小题）1．下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应， 其中正确的命题个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．13()i i --的虚部为 ( ) A ．8i B ．8i - C ．8 D ．8-3．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数D ．z z -+为实数4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++⋅⋅⋅⋅则12,z z 的关系是（ )A ．12z z =B ．12z z =-C ．121z z =+D ．无法确定 5． 2020(1)(1)i i +--的值是 ( )A ． 1024-B ． 1024C ． 0D ．10246．已知2()(1,)nnf n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 无数个7．正三棱锥的侧棱与底面的对边 （ ） A. 平行 B. 垂直 C.相交 D.以上皆错8．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于 （ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．279．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①++；②+2；③+；④-2中，与等价的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内 （ ）A ．只有最大值B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值11．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a = 12．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 二、填空题（本题共4个小题）13．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。
14. 复数11z i=-的共轭复数是_________。
15. 计算=++-i i i 1)21)(1(__________。
16. 复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在第________象限。
三、解答题17．实数x 取何值时，复数(x 2+x - 2)+(x 2+3x+2)i 是实数？是虚数？是纯虚数？18．设复数z 满足1z =,且(3+4i)z 是纯虚数,求z -. 19．用数学归纳法证明6)12)(1(3212222++=++++n n n n ，)(•∈N n20．已知复数z 满足: 13,z i z =+-求22(1)(34)2i i z++的值.21．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 中，c b a ,,均为整数，且)1(),0(f f 均为奇数。
求证：0)(=x f 无整数根。
22．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值(1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。
参考答案： 一、选择题1．A (1) 0比i -大，实数与虚数不能比较大小； （2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；（3）1x yi i +=+的充要条件为1x y ==是错误的，因为没有表明,x y 是否是实数；（4）当0a =时，没有纯虚数和它对应2．D 2133333112()()()()(2)8i i i i i i i i i----=-====-，虚部为8- 3．B z z z R -=⇔∈；z z z R =⇒∈，反之不行，例如2z =-；2z 为实数不能推出 z R ∈，例如z i =；对于任何z ，z z -+都是实数4．A 49444567...127212(1)(1)1,111i i i i z i z i i i i+++++--=======-- 5．C202021021010101010(1)(1)[(1)][(1)](2)(2)(2)(2)0i i i i i i i i +--=+--=--=-=6．B00122331(0)0,(1)2,(2)0,(3)2f i i f i i i i f i i f i i ii---=-==-=-==-==-=-7.B8.B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x -== 9．D ①BC CD EC BD EC AE EC AC ++=+=+=； ②2BC DC AD DC AC +=+= ③FE ED FD AC +==； ④2ED FA FC FA AC -=-=，都是对的 10．D 242T ππ==，[0,]2π已经历一个完整的周期，所以有最大、小值11．B 由1845a a a a +=+知道C 不对，举例1845,1,8,4,5n a n a a a a =====12．D 13''22(4)11,216y x y x y --===-===- 二、填空题13.5 14.1–i 15.2-i 16.二三、解答题17.略 18．解：设,(,)z a bi a b R =+∈，由1z =1=；(34)(34)()34(43)i z i a bi a b a b i +=++=-++是纯虚数，则340a b -=44155,3334055a a a b b b ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨-=⎪⎪⎪⎩==-⎪⎪⎩⎩或，4343,5555zi i -=--+或 19.（略）20．解：设,(,)z a bi a b R =+∈，而13,z i z =+-即130i a bi -++=则410,43330a a z ib b =-⎧-=⇒=-+⎨=-=⎩⎪⎩21．证明：假设0)(=x f 有整数根n ，则20,()an bn c n Z ++=∈ 而)1(),0(f f 均为奇数，即c 为奇数，a b +为偶数，则,,a b c 同时为奇数 或,a b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，2an bn +为偶数；当n 为偶数时，2an bn +也为偶数，即2an bn c ++为奇数，与20an bn c ++=矛盾。