概率论与数理统计 3 .2 边 缘 分 布
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3.2 边际分布与条件分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
§3.2
边际分布与条件分布
一、二维离散型随机变量的边际分布 二、二维连续型随机变量的边际分布 三、条件分布*
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
对于二维随机变量 ( , ) ,我们可以对其中的任何
一个变量 或 进行个别研究,而不管另一个变量取 什么值,这样得到的分布,称为 ( , ) 的边际概率分布.
x 0; 其它 .
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
( 2) 当 y 0 时, fY ( x) 0;
y
y
yx
当 y 0 时，
fY ( y) f ( x, y)d x
y y
0
y y e . e dx
O
y
x
从而
y e y , y 0 ; fY ( y ) 其它 . 0,
解：(1) 当 x 0 或 x 1 时，
0 x 1,0 y x； 其它.
y
x
O
yx
当 0 x 1 时， x f X ( x) f ( x, y)d y f ( x, y )d y
f X ( x) f ( x, y)d y 0;
x
p ( y j )
0
5 /12
1
7 / 12
将它们写在联合分布表上，即得下表：
0
1/ 12
1
1/ 6
5 /12
7 / 12
p ( xi )
0
1/ 4
1
p ( y j )
§3.2
边际分布与条件分布
一、二维离散型随机变量的边际分布 二、二维连续型随机变量的边际分布 三、条件分布*
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
对于二维随机变量 ( , ) ,我们可以对其中的任何
一个变量 或 进行个别研究,而不管另一个变量取 什么值,这样得到的分布,称为 ( , ) 的边际概率分布.
x 0; 其它 .
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
( 2) 当 y 0 时, fY ( x) 0;
y
y
yx
当 y 0 时，
fY ( y) f ( x, y)d x
y y
0
y y e . e dx
O
y
x
从而
y e y , y 0 ; fY ( y ) 其它 . 0,
解：(1) 当 x 0 或 x 1 时，
0 x 1,0 y x； 其它.
y
x
O
yx
当 0 x 1 时， x f X ( x) f ( x, y)d y f ( x, y )d y
f X ( x) f ( x, y)d y 0;
x
p ( y j )
0
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1
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将它们写在联合分布表上，即得下表：
0
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1
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p ( xi )
0
1/ 4
1
p ( y j )
概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布
边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。
边缘分布律怎么求
边缘分布律怎么求在概率论与数理统计中，边缘分布律（marginal distribution）是指在多维随机变量中，将其中几个变量固定，得到的某一个变量的概率分布。
对于一个具有两个或多个随机变量的概率分布，我们通常关注某一个或几个变量的概率分布情况。
而边缘分布律可以帮助我们实现这一点。
边缘分布律的求解方法取决于问题的具体情况。
下面我们将介绍两种常见的方法：离散型变量和连续型变量的求解方法。
1. 离散型变量的边缘分布律的求解方法：假设有两个离散型随机变量X和Y，它们的联合概率分布律为P(X=x, Y=y)。
要求X的边缘分布律，我们需要将Y变量固定，然后对所有可能取值求和，即：P(X=x) = Σ P(X=x, Y=y)其中Σ 表示对Y的所有可能取值求和。
2. 连续型变量的边缘分布律的求解方法：假设有两个连续型随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为f(x, y)。
要求X的边缘分布律，我们需要将Y变量固定，然后对X进行积分，即：fX(x) = ∫ f(x, y) dy其中∫ 表示对Y的所有取值进行积分。
需要注意的是，在求解边缘分布律时，我们需要考虑变量的范围。
如果X和Y的范围是有限的，那么在将变量固定时，需要限定积分或求和的范围。
此外，边缘分布律还可以通过累积分布函数（CDF）求得。
对于离散型变量，边缘分布律可以通过对联合分布函数求偏导得到。
对于连续型变量，边缘分布律可以通过对联合概率密度函数求偏导得到。
总之，边缘分布律是概率论与数理统计中的一个重要概念，可以帮助我们研究多维随机变量的概率分布。
根据变量的类型（离散型或连续型），我们可以选择不同的方法来求解边缘分布律。
无论是离散型还是连续型变量，求解边缘分布律都需要将其他变量固定，然后对概率分布进行求和或积分。
掌握求解边缘分布律的方法，对于我们研究随机变量的概率分布具有重要的意义。
概率论与数理统计32边缘分布解析
y)
lim [
y
1
2
(arctan
x
2
)(arctan
y )]
2
1
2
(arctan
x
)
2
1
arctan
x
1, 2
- x
FY
(
y)
1
arctan
y
1 2
,
- y
设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,).
则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义：
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x, FY y, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x,
把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
布。
解： （I）有放回摸球
X1
X2 0 1
0
33 55
32 55
1
23 22
5 55 5
PX2 ( y)
3 5
2 5
PX1 ( x)
概率论与数理统计14 3.2 边缘分布3.3独立性
• 设联合概率分布
pij P{ X xi , Y y j } i , j 1,2,
{ X xi } { X xi , Y y j }
P{ X xi } P{ X xi , Y y j } pij i 1,2,
j 1
• 同理:
2 1 2 2
[
( x 1 ) 2
2
( x 1 )( y 2 )
( y 2 )2
]}
• 例 某码头只能容纳一只船.现预知某日 将来到甲乙两只船,且在24小时内来到的 可能性相等.如果两船需要停靠的时间均 为3小时,试求甲船在江中等待的概率. • 解 设X,Y表示甲乙两船到达码头的时间, • 则(1)
• 所求概率为
P{0 X Y 3}
0 x y 3
f ( x, y)dxdy
P { 0 X Y 3} 1 2 dxdy 24 D 1 24 2 212 2( ) 24 2 2 0.11
• 问X,Y是否相互独立? •解 2 1 x2
1 x 1 f X ( x) 0 其它 2 1 y2 1 y 1 fY ( y ) 0 其它 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) X , Y不相互独立
1 0 x 24 f X ( x ) 24 其它 0 1 0 y 24 fY ( y ) 24 其它 0
• (2)X,Y相互独立
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 1 2 0 x 24, 0 y 24 24 其它 0 • A=“甲船在江中等待”={0 X Y 3}
北邮概率论与数理统计3.2边际分布
§3.2 边缘分布二维随机向量),(Y X 的联合分布（联合分布函数或联合分布列或联合概率密度）完整地刻画了随机变量X 和Y 作为一个整体的概率分布规律。
为应用方便，我们还需要从这个完整的信息中挖掘出某些方面的信息。
这个完整的信息中包含如下信息：（1）每个分量（或部分分量）的概率分布，即边缘分布。
（2）各分量之间的统计联系。
本章将要介绍的随机变量的独立性，及条件分布以及下一章介绍的相关系数就是用来反映和描述他们的统计联系.一．边缘分布 1.边缘分布函数设二维随机向量),(Y X 具有联合分布函数为),(y x F ，而X 和Y 都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为)(x F X 和)(y F Y ,依次称为为),(Y X 关于X 和关于X 的边缘分布函数. 由概率的性质可得),(),(lim },{}{+∞==∞<≤=≤∆+∞→x F y x F Y x X P x X P y可见由),(Y X 的联合分布函数),(y x F 可以X 的边缘分布函数: ),()(+∞=x F x F X (1) 类似地可得),(Y X 关于Y 的边缘分布函数为),()(y F y F Y +∞= (2) 例3.2.1 设二维随机向量),(Y X 的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=λ-----其他,00,0,1),(y x e e e y x F xy y x y x这个分布称为二维指数分布，其中参数0≥λ，求边缘分布函数。
解：易得X ，Y 的边缘分布函数分别为⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0,00,1),()(x x e x F x F x X⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0,00,1),()(y y e y F y F y Y这两个边缘分布同为指数分布，且与参数λ无关。
这说明边缘分布确定不了联合分布。
也说明联合分布中不仅含有每个分量的信息，还含有各分量之间统计联系方面的信息。
2．边缘分布律如果),(Y X 为二维离散型随机向量，那么它的每个分量都是离散随机变量。
边缘分布函数与边缘分布密度
边缘分布函数与边缘分布密度概率密度与分布函数密度函数和分布函数概率密度分布函数概率密度求分布函数密度函数求分布函数由概率密度求分布函数分布函数密度函数概率密度和分布函数边缘分布函数
山东农业大学
概率论与数理统计
§3.2 边 缘 分 布
主讲人：程述汉 苏本堂
3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度 3.2.2 随机变量的独立性 3.2.3 条件分布
3
1 1 3 18
1 18
联立以上两式求得 2 ， 1
9
9
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例5 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数=2
和=1的指数分布，求 PX Y 1
解 据题意，X的密度函数为 fX (x)
Y的密度函数为
e y， y 0
fY
(
y)
0
，y 0
4x(1 x)2， 0 x 1
f X (x) 0，
其它
同理可得
4 y 3， 0 y 1 fY ( y) 0， 其它
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例3 设(X，Y)服从N(μ1， σ12； μ2，σ22；ρ)， 求边缘密度。
解
令
u
x 1 ,v 1
y 2 ,则有 2
山东农业大学
3.2.3 条件分布
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
条件概率公式：P(B | A)=P(AB)/P(A)，P(A)＞0
一、离散型随机向量(X, Y)的条件分布
类似地，当P{X=xi}＞0时,在X=xi的条件下，Y的条 件分布为
P{Y
yj
|
X
xi}
山东农业大学
概率论与数理统计
§3.2 边 缘 分 布
主讲人：程述汉 苏本堂
3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度 3.2.2 随机变量的独立性 3.2.3 条件分布
3
1 1 3 18
1 18
联立以上两式求得 2 ， 1
9
9
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概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例5 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数=2
和=1的指数分布，求 PX Y 1
解 据题意，X的密度函数为 fX (x)
Y的密度函数为
e y， y 0
fY
(
y)
0
，y 0
4x(1 x)2， 0 x 1
f X (x) 0，
其它
同理可得
4 y 3， 0 y 1 fY ( y) 0， 其它
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例3 设(X，Y)服从N(μ1， σ12； μ2，σ22；ρ)， 求边缘密度。
解
令
u
x 1 ,v 1
y 2 ,则有 2
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3.2.3 条件分布
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
条件概率公式：P(B | A)=P(AB)/P(A)，P(A)＞0
一、离散型随机向量(X, Y)的条件分布
类似地，当P{X=xi}＞0时,在X=xi的条件下，Y的条 件分布为
P{Y
yj
|
X
xi}
概率论与数理统计：边缘分布
记为：( X ,Y )
N
(1，2;12，
2 2
;Leabharlann )；试求二维正态随机变量的边缘概率密度。
二维正态分布的图形：
解：fX (x)
f (x, y)dy
1
21 2 1 2
exp
1
2(1
2
)
(
x
1
2 1
)2
2
(x 1)( y 2 ) 1 2
(y 2)2
2 2
dy
1
21 2 1 2
f (x, y)
1
21 2 1 2
exp
1
2(1
2
)
(
x
1
2 1
)2
2
(x 1)( y 2 ) 1 2
(y 2)2
2 2
x ， y
其中 1，2，1， 2，都是常数，且1 0， 2 0，1 1；
我们称 X ,Y 为服从参数为1，2，1， 2，的二维正态分布，
e e dy
(
x1 )2 212
1 2(1 2
)
y2 2
x1 1
2
1
e
(
x1 )2 212
21
1
e dy
1
2
2 2
(1
2
)
y
2
2 1
(
x1
)
2
2 2 1 2
1
( x1 )2
e 212
2 1
x
即二维正态分布的 两个边缘分布都是
同理 fY ( y)
1
e ,
(
x2 )2
2
2 2
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例3 区域D是由抛物线y=x2及直线y=x所围，随机变量 (X,Y)服从区域D上的均匀分布。试求随机变量X,Y 的联合密度函数和X,Y的边缘密度函数. y 解: 区域D的面积
A dx dy
0 x2
1
x
1 1 2 1 3 x x 3 0 6 2
1
y=x
D
于是随机变量(X,Y)的联合密度函数
§3 .2
边缘分布
边缘分布函数
边缘分布律
边缘概率密度
1பைடு நூலகம்
边缘分布
一、边缘分布函数
1. 定义
称二维随机变量(X,Y)关于分量X(Y)的分布为二元
随机变量(X,Y)关于X（关于Y）的边缘分布 边缘分布也称为边沿分布或边际分布．
2
边缘分布
2.已知联合分布函数求边缘分布函数
设二维随机变量X,Y的联合分布函数为F(x,y),则 分量X的分布函数为 FX(x)= P{X≤x} = P{X≤x,Y<+∞} = F(x,+∞)
Y X x1
y1 p11
p21
y2
p12 p22
… … … … …
yj
p1 j
x2
p2 j
… … … … …
pi
p1
p2
xi
pi1
pi 2
pij
pi
p j
p1
p2
p j
8
边缘分布
例2
从1,2,3,4这四个数中随机取出一个，记为X，
再从1到X中随机地取出一个数，记为Y，试求(X,Y）
所以，X 的边缘密度函数为
0 f X x x xe x0 x0
x
16
边缘分布
(3) 当y>0 时，
fY y f x， y dx
xe y f x, y 0
y
0 x y , 其它.
yx
1 2 y xe dx y e 2 0
6 f x， y 0
y=x2 o 1 随机变量(X,Y) 服从区域D上的 均匀分布
x， y D x， y D
12
边缘分布
(2)随机变量X的边缘密度函数为 当 0<x<1 时,
f X x f x， y dy
6 f x， y 0
同理,分量Y的分布函数为
FY(y)= P{Y≤y} = P{X <+∞ ,Y≤y} = F(+∞,y)
3
边缘分布
例1 设二维随机变量X,Y的联合分布函数为
x y F x， y A B arctan C arctan 2 3 x ， y
x
f ( x, y )dxdy 1
15
边缘分布
(2) 当x>0 时，
f X x f x， y dy
x
xe y f x, y 0
y
0 x y , 其它.
yx
xe y dy xe x
1 y arctan 2 3
y ,
5
边缘分布
二、已知联合分布律求边缘分布律
设离散型随机变量X, Y的联合分布律为
P{Xi=xi,Yj=yj}= pij
j 1 i 1
(i,j=1,2,…) 二维随机变量(X,Y)
则 称 pij ( i 1,2,) ( pij ( j 1,2,) )
x， y D x， y D
y y=x y=x2 o
1 x
6dy 6 x 6 x 2
x
2
x
所以,
6 x x 2 f X x 0
0 x 1, 其它.
13
边缘分布
同理,随机变量Y的边缘密度函数为 当 0<y<1 时,
fY y f x， y dx
6 f x， y 0
x， y D x， y D
6dx 6 y 6 y
y
y
y
所以,
6 f X x
yy 0
xy
o
0 y 1, 其它.
x y
1 x
参见P66 例题2
14
边缘分布
例4 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
e
2 2 1
x
y
2 2
fY y
1 2 2
y 2 2
e
2 2 2
这表明，X ~ N 1，
2 1
,
Y ~ N 2，
18
边缘分布
结论1 二维正态分布的边缘分布是一维正态分布. 结论2 上述两个边缘分布中的参数与二维正态分布 即:若(X,Y)~N(μ 1, μ 2, σ12,σ 22,ρ) ,则有
y
y
所以，Y 的边缘密度函数为
0 f X x 1 2 y 2 y e y0 y0
x
17
边缘分布
说明
设二维连续型随机变量(X,Y)服从参数为
μ 1, μ 2, σ12,σ 22,ρ的二维正态分布。 以证明 可
X与Y的边缘密度函数为
fX x
1 2 1
x 1 2
说明：边缘分布可由联合分布唯一确定，反之不然， 即：不能由边缘分布确定联合分布。
19
边缘分布
作业 P85 5，9，10（1）
20
cxe y f x, y 0 0 x y , 其它.
y
试求: (1)常数c ; (2)X与Y的边缘密度函数. 解: (1)由密度函数的性质,得
yx
1
c 2 y 0 y e dy c 2
所以, c=1. 略讲
y y cxe dxdy 0 0
pi
1 4 1 4 1 4 1 4
参见P65 例题1
10
边缘分布
三、已知联合密度函数求边缘密度函数
二维连续型随机变量X,Y的联合密度函数为f(x,y), 求随机变量X的边缘密度函数为fX(x). 由 FX(x)= P{X≤x} =F (x,+∞)
f X x f x， y dy
的参数ρ无关. 2 ) , 2 X ~ N ( 1 , 1 Y ~ N ( 2 , 2 ) . 结论3 若(X1,Y1)~N(μ 1, μ 2, σ12,σ 22,ρ1) ,
(X2,Y2)~N(μ 1, μ 2, σ12,σ 22,ρ2) ,(其中ρ1≠ ρ2)
则(X1,Y1)与(X2,Y2) 不同分布,但X1与 X2的分布相同, Y1与 Y2的分布相同.
f u， y dy du
x
同理,由 FY(y)= P{Y≤y} =F (+∞,
ff x， y dx du udx y) y fY x，
y
11
边缘分布
X(Y)的边缘分布律.
j 1
记为: pi
( p j )
i 1
既有: pi pij ( i 1,2,) ( p j pij ( j 1,2,) )
6
边缘分布
离散型随机变量的边缘分布函数
设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
P{Xi=xi,Yj=yj}=pij (i,j=1,2,…) 利用几何图形进行解释
A 1
试求 (1)常数A,B,C;
,B 2
,C 2 2
4
边缘分布
1 x y F ( x , y ) 2 arctan arctan 2 2 3 2 x ， y
(2) X的边缘分布函数FX(x)= F(x,+∞)
其边缘分布函数记为:FX(x) 和 FY(y) ，则有
FX x P X x , Y pij
x i x j 1
FY y P X ,Y y pij
y j y i 1
7
边缘分布
X 以及Y 的边缘分布律也可以由 下表表示
1 x y lim 2 arctan 同理,Y的边缘分布函数FY(y)= F(+∞,y)arctan y 2 2 3 1 x 2 y 1 2 xarctan arctan lim x arctan x , 2 2 2 3 2 2
(2)X和Y的边缘分布函数。 F(+∞,+∞)=1; 解:(1)由分布函数的性质有, F(x,-∞)=0; F(-∞, y)=0; 1 A B C
2 2 x 0 A B arctan C 2 2 y 0 A C arctan B 3 2
的联合分布律与X和Y的边缘分布律. 解: X和Y的可能取值是1,2,3,4;且X≥Y 当i<j时, pij=P{X=xi,Y=yj}=0; 由乘法公式有 当i≥j时, pij = P{X=xi,Y=yj}
P X i PY j X i
1 1 1 4 i 4i
9
边缘分布
再由 pi pij 和p j pij