第1讲二次根式的概念与性质-提高
八年级秋季班-第1讲：二次根式的概念及性质-教师版
二次根式是以实数中所学内容为基础，对开平方、开立方等运算进行扩展，基本要求是知道二次根式的取值范围、掌握二次根式的求值，二次根式中题目类型多变，方法多种多样．重点是掌握二次根式的概念、性质，难点是通过性质进行化简和求值．1、二次根式的概念（1）代数式a（0a ）叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的概念及性质知识结构模块一：二次根式的概念知识精讲内容分析【例1】下列各式中，二次根式的个数有 （ ）1.2；2xy ；22m n +；x；21030x x -+；6x ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【难度】★ 【答案】B ．【解析】 1.2、22m n +、21030x x -+是二次根式，2xy 、x、6x 不一定是二次 根式，当0x <时就不是．【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．【例2】添加什么条件时，下列式子是二次根式？（1）4x -；（2）11||x -； （3）23x y ； （4）1||4x -． 【难度】★【答案】（1）4x ≥；（2）11x -<<；（3）0y ≥；（4）14x ≥或14x ≤-．【解析】（1）由40x -≥，得4x ≥； （2）由10x ->，得11x -<<； （3）由230x y ≥，得0y ≥；（4）由104x -≥，得14x ≥或14x ≤-． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【例3】对于a 下列说法中正确的是（）A ． 对于任意实数a ，它表示的是a 的算术平方根B ． 对于任意的正实数a ，它表示的是a 的算术平方根C ． 对于任意的正实数a ，它表示的是a 的平方根D ． 对于任意的非负实数a ，它表示的是a 的算术平方根 【难度】★ 【答案】D ．【解析】(0)a a ≥表示a 的算术平方根． 【总结】本题考查算术平方根的概念．例题解析【例4成立的条件是（）A ．02xx ≥- B ．0x ≥ C ．2x ≠ D ．2x > 【难度】★ 【答案】D ．【解析】由0x ≥，20x ->，得0x ≥，2x >，∴2x >．【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．【例5】求使下列二次根式有意义的实数x 的取值范围．（1（2 【难度】★★【答案】（1）1x ≥或0x <；（2）12x ≥-且1x ≠． 【解析】（1）由110x -+≥，得1x ≥或0x <； （2）由21010x x +≥⎧⎨-≠⎩，得12x ≥-且1x ≠． 【总结】二次根式有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．【例6】实数x 、y满足，xy y=，求的值．【难度】★★ 【答案】3．【解析】由0x ≥0x≥，得x =y =；∴3x y =．【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．【例72|313|0x y --=，求2016()x y +的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】由题意得：2203130x x y -=⎧⎨--=⎩，解得：23x y =⎧⎨=-⎩，∴20162016()(1)1x y +=-=．【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零．【例8】如果代数式有意义，那么在平面直角坐标系中()P m n ，的位置在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【难度】★★ 【答案】C ．【解析】Q 0mn ≠，∴0m ≠且0n ≠，0m ∴->，0m ∴<． 0mn >Q 又， 0n ∴<．故点P 在第三象限． 【总结】二次根式的被开方数为非负数．【例9】如果2y =xy 的值． 【难度】★★ 【答案】6．【解析】33x x ≥≤∵，， 3x ∴=，2y ∴=， 6xy ∴=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零．【例10】 已1()2x y z x y z ++，求、、的值．【难度】★★★【答案】1x =， 2y =，3z =．【解析】由题意得：x y z =++，∴0x y z ---， 即)))2221110++=，∴1x =， 2y =，3z =．【总结】本题主要考查利用配方将原式化为几个非负数和为零的形式．【例11】 若22223232()a b b c a b c ab bc ac -=+-=-++---，，求的值． 【难度】★★★ 【答案】30．【解析】Q 23a b -=+，23b c -=-，∴4a c -=． ∴ =原式222222222a b c ab bc ac ++--- =()()()222a b b c a c -+-+- =()()22223234++-+=74374316++-+ =30．【总结】本题主要考查三项完全平方式的运用以及二次根式的计算．【例12】 若z 适合352325320162016x y z x y z x y x y +--++-=-++--，求z 的值． 【难度】★★★【答案】3358．【解析】 Q 20160x y -+≥， ∴2016x y +≥．又 Q 20160x y --≥， ∴2016x y +≤， ∴2016x y +=． ∴35232530x y z x y z +--++-=．即35230125302x y z x y z +--=⎧⎨+-=⎩L L （）（）， 解得：220143358x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【总结】本题先根据二次根式有意义的条件，得出2016x y +=，又考查当两个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零．1、 二次根式有意义的条件是什么？师生总结1、二次根式的性质 （1）二次根式的性质：性质1：2(0)a a a =≥；性质2：2()(0)a a a =≥；性质3：ab a b =⨯（0a ≥，0b ≥）；性质4：aa bb=（0a ≥，0b >）．（2）2a 与a 的关系：2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩．【例13】 计算下列各式的值：（1）23； （2）2(3)-；（3）2(3)--； （4）2(3)-；（5）21()5-； （6）221(0)x x x -+<．【难度】★【答案】（1） 3； （2） 3； （3） -3； （4）3； （5）15-；（6）1x -+．【解析】根据二次根式性质2即可得出结果． 【总结】考查二次根式性质2的运用．知识精讲模块二：二次根式的性质例题解析（10)a >； （2（30)a <；（400a b ><，）．【难度】★【答案】（1）22）23）2ab c -4）a ． 【解析】（1）原式2=；（2）原式2=；（3）原式2ab c =-（4）Q 00a b >>，，∴0a b ->，∴原式=()a bb a ---=．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例15】 化简：（1；（2（3）20a a <()；（45)x <<．【难度】★★【答案】（1）21a +；（2）()()00(0)0a b a b a b a b ab ++>⎧⎪+=⎨⎪--+<⎩；（3）3a -；（4）3．【解析】（121a =+； （2()()00(0)0a b a b a b a b a ba b ++>⎧⎪+=+=⎨⎪--+<⎩；（3）()223a a a a =--=-； （4253x x -=+-=．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．（10)x >；（22+．． 【难度】★★【答案】（1）()()10111x x x x -<<⎧⎪⎨-≥⎪⎩； （2）1x -．【解析】（1()()101111x x x x x -<<⎧⎪-=⎨-≥⎪⎩； （2）Q 20x -≥，∴2x ≥．∴原式=122x x x ---+-=1221x x x x --++-=-．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例17】 把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．（1（2）（3）2-（4）(1)x - 【难度】★★【答案】（1 （23）4）【解析】（1（2）=（3）2-（4）(1)x -== 【总结】把式子移入根号中，要保持式子的正负值不变化，同时注意题目中的隐含条件的发掘．（100)ab bc ><，；（20)a b << 【难度】★★【答案】（1）-；（2）22a b -．【解析】（1）原式=a c ac ⋅==- （2）原式=2222a b a b -=-．【总结】考查二次根式的化简，注意被开方出来的结果一定非负．【例19】 已0，求()x x y +的值． 【难度】★★ 【答案】9．【解析】由题意得：203280x y x y -=⎧⎨+-=⎩， ∴21x y =⎧⎨=⎩．∴()()2219x x y +=+=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零．【例20】 已知x y 、是实数，且1|1|21y y y -<-，求的值． 【难度】★★ 【答案】1-．【解析】由题意得：1x =，12y <；∴|1|1111y y y y --==---．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，再利用去绝对值的知识就可以解决．【例21】 已知125x x -=-，求x 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】14x ≤≤．【解析】由题意得：1425x x x ---=-；零点分段法分类讨论即可．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例22】 如7x y --成立，求xy 的值． 【难度】★★ 【答案】30．【解析】由题意得：3x =，10y =，∴30xy =．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，再利用去绝对值的知识就可以解决．【例23】 已知2x =+的值．【难度】★★．【解析】=又∵2x =，∴42420x -=+=<．∴原式=()()41411x x x x -=-==---【总结】考查二次根式的化简求值，注意被开方出来的结果一定非负．【例24】 已知2441310x x x x --+=+，求的个位数字． 【难度】★★ 【答案】7． 【解析】∵1130x x-+=， ∴113x x+=． ∴2222112132167x x x x ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭，∴()2422421121672x x x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，∴个位数字为7．【总结】本题考查了完全平方公式的变形及计算．【例25】 （1）在△ABC 中，a b c 、、0，求最大边c 的取值范围；（2）已知实数x y 、，满足2()x y +22x y +的平方根． 【难度】★★【答案】（1）814c ≤<；（2）±【解析】（1）根据题意，即为60a -，由此60a -=，80b -=，解得：6a =， 8b =，根据三角形三边关系，且c 为最大边，可知b c a b ≤<+，即814c ≤<．（2）由题意得：2()0x y +=，∴053160x y x y +=⎧⎨--=⎩，解得：22x y =⎧⎨=-⎩，∴=±【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零，然后根据三角形三边关系即可确定取值范围．【例26】 已知：1141r a b c r r ≥=-==+，，，试比较a 、b 、c 的大小． 【难度】★★★ 【答案】a b c <<． 【解析】由题意得：22a =-=，∵4r ≥， 1≤<，∴a b <；又∵11b r c ===， ∴b c <，∴a b c <<．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【例27】 已b 的式子表示）． 【难度】★★★ 【答案】21b b -．21-=∴()211b y b-+=，∴原式=21bb-． 【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【例28】 化简：2222222222(20)a b a a b a b a b a b -+---->>． 【难度】★★★ 【答案】a b +． 【解析】原式=()()222222222ab a a b a a b b-+-+---=()()222222a b aa b b-+---=2222a b a a b b -+---，又∵20a b >>，∴原式=2222a b a a b b -+--+=a b +．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【例29】 已知：m =1465-，求43224882467m m m m m m --++-+的值．【难度】★★★ 【答案】8．【解析】由题意得：35m =-；∴35m -=，∴2(3)5m -=，∴264m m =-， 把264m m =-代入原式，合并同类项得：原式=8．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．师生总结1、 二次根式具有哪些性质？【习题1】 下列计算中正确的是（ ）．A ．2(2)2=B ．22(2)2=C ．22(2)2-=-D ．211()42-=-【难度】★ 【答案】A ．【解析】根据二次根式性质1即可得出结果． 【总结】考查二次根式的性质1．【习题2】 判断下列哪些二次根式是二次根式？ （1）4； （2）1a +；（3）2a ；（4）211a +；（5）223x x -+；（6）22(0)x x x -<．【难度】★【答案】（1）是； （2）不是 ； （3）是； （4）是； （5）是；（6）是． 【解析】二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【习题3】 当添加什么条件时，下列二次根式有意义？（1）43x -； （2）121a --；（3）2a ；（4）143x--；（5）22x x -+-；（6）x． 【难度】★ 【答案】（1）43x ≤；（2）12a <； （3）a 为任意实数；（4）43x >；（5）2x =； （6）0x ≥．【解析】（1）由430x -≥得：43x ≤； （2）由1021a -≥-得：12a <；（3）a 为任意实数； （4）由1043x -≥-得：43x >； （5）2x =； （6）0x ≥．【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．随堂检测【习题4】 化简：（1）24()9-；（2）22((2))a -；（32441x x -+12x ≥（；（42(3)a -【难度】★★【答案】（1）49； （2）24a ； （3）21x -； （4）()()()3330333a a a a a a ->⎧⎪-==⎨⎪-<⎩．【解析】（12444()=999--=； （2）222((2))4a a -=；（324412121x x x x -+-=-； （4()()()233(3)30333a a a a a a a ->⎧⎪-=-==⎨⎪-<⎩．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【习题5】 化简下列二次根式：（13275(00)x y x y ≥≥，；（22(3.14)-π（32(0)a a a <．【难度】★★【答案】（1）53x （2） 3.14π-； （3）2a -． 【解析】（132227525353x y x y x xy x == （22(3.14) 3.14 3.14π-=-=-ππ； （322a a a a a =--=-．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【习题6】 已知2+的整数部分是a ，小数部分是b ，那么(2b a ++的值是多少? 【难度】★★ 【答案】5．23<，∴425<<，∴4a =，242b ==，∴()224(52b a =++=．【总结】对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．【习题7】 已知3x = 【难度】★★ 【答案】1．代入3x =， 原式．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【习题8】 222(2)023y x xy y +=-+，求的值． 【难度】★★ 【答案】40．【解析】∵3020x y -=⎧⎨+=⎩， ∴32x y =⎧⎨=-⎩．∴代入得：2223x xy y -+=()()2223332240⨯-⨯⨯-+-=．【总结】本题主要考查当两个非负数的和为零时，则说明这两个非负数均为零．【习题9】 已知非零实数x 、y 满足条件24224x y x -++=-，求x y +的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】∵()230x y -≥，∴30x -≥，即3x ≥，∴240x ->， ∴24224x y x -++-，即20y +=，∴2030y x +=⎧⎨-=⎩， 解得：32x y =⎧⎨=-⎩．∴3(2)1xy +=+-=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．【习题10】 =a x y 、、是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+值等于 __________．【难度】★★★【答案】13．【解析】由题意知： ()()()()()()01020304a x a a y a x a a y -≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩L L L L L L L L ， 解得：0a x y =⎧⎨=-⎩．∴22222222223313x xy y y y y x xy y y y y +---==-+++． 【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【习题11】 求满足26a x y -=-的自然数a x y 、、的值． 【难度】★★★【答案】617x y a ===，，或325x y a ===，，． 【解析】由题意得：262(1)a x y xy -=+-L∵26a -是无理数，假设xy 是有理数，则2x y xy +-是有理数，这与（1）式矛盾， ∴xy 为无理数，∴6x y a xy +=⎧⎨=⎩，又∵26a x y -=-，∴x y >．∴617x y a ===，，或325x y a ===，，．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【作业1】 判断下列式子哪些是二次根式？（1）x； （2）2； （3）1(1)x x -<； （4）244b b -+； （5）321a +； （6）222a +．【难度】★【答案】（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是； （5）不是； （6）是． 【解析】根据二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数，即可判断出来．【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．课后作业【作业2】 将x 移到根号内，不改变原来的式子的值：（11)x >；（2）(2)x x ->． 【难度】★【答案】（12）1．【解析】（1==（2）(1x -==．【总结】把式子移入根号中，要保持式子的正负值不变化，同时注意题目中的隐含条件的发掘．【作业3】 若11)-有意义，则x 的取值范围是______． 【难度】★【答案】10x x ≥≠且．【解析】∵11)-=∴101010x x x +≥⎧≥⎧⎪⎨≠≠⎩，解得：． 【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零；③零没有零次幂．【作业4】 计算：201520162)2)． 【难度】★★2．【解析】))2015201520162)2)222⎡⎤=⎣⎦2．【总结】当碰到次数较大的时候，想到去用公式，本题运用平方差公式和二次根式的计算即可．【作业5】 化简：（10)y <；（2）【难度】★★【答案】（1）（2【解析】（1）原式=(136y ⨯-=（2）原式()()00xx =>⎪<⎪⎩L L ，∴=． 【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质3、性质4，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【作业6】 已知x 为非零实数，且112221x x x a x-++=，则=________．【难度】★★ 【答案】22a -． 【解析】∵1122x xa -+=， a =， ∴212x a x++=， ∴212x a x +=-，∴22112x x a x x+=+=-．【总结】本题考查完全平方公式的变形和二次根式的综合．【作业7】 若代数式3|2|0a ab --，求的立方根． 【难度】★★【解析】由题意得：2,4a b ==，∴3a b -=【总结】本题主要考查当几个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零的基本模型，还考查了去绝对值的知识．【作业8】 m 2 【难度】★★【答案】2．【解析】由题意得：1m =12m m-=． 【总结】考查根号中套根号类型的式子，注意观查，部分可转化为一个数字的平方，同时对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．【作业9】 已知a b c 、、为有理数，且等式a +29991001a b c ++求的值．【难度】★★★【答案】2000．a +∴011a b c ===，，， ∴2999100199910012000a b c ++=+=．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【作业10】 已知14(01)a aa +=<<的值． 【难度】★★★【答案】【解析】212422aa=+-=-=，∵01a <<0<= 【总结】本题考查完全公式的变形和无理数、二次根式的综合．【作业11】 已知2|8|(41)0x y y -+-【难度】★★★【答案】1．【解析】由题意得：80410830x y y z x -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得：21434x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩132122+-=． 【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，还考查了去绝对值的知识．【作业12】 化简：（1（2．【难度】★★★【答案】（12；（2． 【解析】（12；（2． 【总结】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，部分可转化为一个数字的平方，即=，由此可进行化简计算，注意观察根号中数字的因数，分解即可得到相关计算结果，同时根据二次根式性质进行相关变形计算．。
专题01 二次根式的概念及性质(知识精讲+综合训练)(原卷版)
章节复习知识精讲与综合训练专题01 二次根式的概念及性质知识点01 二次根式的概念1（10a ³）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．即两个特性（双重非负性）⎩⎨⎧³³00a a 【典例分析】1．下列式子一定是二次根式的是（）ABCD2是整数，则a 能取的最小整数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33a 的取值范围为（ ）A ．1a ³-B ．2a ¹C ．1a ³-且2a ¹D ．1a >-4．若2m =+，则m n -=（ ）A ．425B ．254C ．254-D ．425-5=-a 的取值范围是（ ）A ．20a -££B ．0a £C ．a<0D ．2a ³-知识点02 二次根式的性质1、二次根式的性质（1性质1(0)a a³；性质22；性质3=0a ³，0b ³）；知识精讲性质4（0a ³，0b >）．（2与a的关系：(0)0(0)(0)a a a a a >=-<⎩．【典例分析】6．观察下列式子：====…．请你按照规律写出第n （1n ³）个式子是( )A(n =-B=C(n =+D=7．实数a 、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简b ）A ．2a b -+B ．2b a -C ．a D ．B 8．已知xy ＞0，化简二次根式- ）ABC．D．9．实数a 、b的结果是（ ）A ．- 2a B ．2（a +b ）C ．2b D ．- 2b 10．实数a，b）A ．2b -B ．2a -C ．22ba -D ．0123x =+，则x 取值范围为（ ）A ．2233x -££B ．203x -££C ．203x ££D ．23x £-或23x ³2．当1a <- ）A ．1-B ．1C ．21a +D ．12a--3．已知0xy <）．AB．CD ．4．实数a，b ||a b ++化简的结果为（ ）A ．a B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b-+5．在下列各式中，计算正确的是（ ）A9=-B ．3=C ．(22=-D1=-6，3，…，3，；L ；若()14，，()23， ）A ．()64，B ．()53，C ．()52，D ．()65，7．若实数a 、b 、cA ．a c -B ．2a b c --+C ．a c --D ．a c -+8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）综合训练A B C D9．x ）A ．0B ．1-C ．2-D ．3-10．下列各式中，正确的是（）A 5=±B 142=C =D 210-=-二、填空题11．对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种运算※如下：a b =※，例如23==※62=※____________．12．实数a ，b 化简的值是___________．13)12x <<=___________．14a 的取值范围是_____________________．15．已知等腰三角形ABC 0BC =，则此三角形的周长为___________.16．如果2、5、m _____．17＝_____．18．若22m n x y --与423m n x y +是同类项，则3m n -的平方根是____________．19a =，则a =_____________．20．若3y =，则xy =________．三、解答题21．求代数式a 的值，其中2022a =-．如图，小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．(1)___________的解法是错误的；(2)求代数式a+的值，其中4a=22．已知关于x、y的二元一次方程组325342x y ax y a+=⎧⎨+=-⎩①②的解互为相反数．(1)求a的值；(2)若b为3c23．当2022a=时，求a的值．如图是小亮和小芳的解答过程：(1)__________的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：____________________；(3)当3a>|1|a-的值．。
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。
本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。
通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。
一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。
普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。
二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。
当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。
二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。
例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。
例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。
例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。
2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。
3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。
例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。
例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。
第1课时：《二次根式》知识点总结复习(学生版)
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
1.已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。
2.若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
3.若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
二次根式的概念、性质(第1、2课时 教案)
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念【知识与技能】是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.a≥0）形式的式子称.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】2a=a（a≥0）2a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索2a=a（a≥02a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2=a（a≥0）.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1））2；（2）（2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（22a进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。
提高版5.二次根式性质和运算复习专题(教师版)
课题：二次根式的性质和运算专题个性化教学辅导教案 组长签名：________学生姓名年 级 初二 学 科 数学 上课时间 年 月 日教师姓名课 题二次根式的性质和运算专题教学目标1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.3、了解最简二次根式的概念和性质，能运用二次根式的有关性质进行化简.4、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；5、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.教学过程 教师活动学生活动1.把多项式x 2﹣8x +16分解因式，结果正确的是（ ） A ．（x ﹣4）2B ．（x ﹣8）2C ．（x +4）（x ﹣4）D ．（x +8）（x ﹣8）【考点】54：因式分解﹣运用公式法． 【解答】解：x 2﹣8x +16=（x ﹣4）2． 故选：A ．2.某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ） A ．240x−20﹣120x=4 B ．240x+20﹣120x=4 C ．120x﹣240x−20=4D ．120x﹣240x+20=4【考点】B 6：由实际问题抽象出分式方程．【解答】解：设他上月买了x 本笔记本，则这次买了（x +20）本， 根据题意得：120x﹣240x+20=4．故选D ．3.约分：①5ab20a 2b = ，②x 2−9x 2−6x+9= ． 【考点】66：约分．【解答】解：①5ab20a 2b = 14a ； ②x 2−9x 2−6x+9 = (x+3)(x−3)(x−3)2=x+3x−3．4.已知x ﹣y =﹣1，xy =3，求x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3的值．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【解答】解：原式=xy （x 2﹣2xy +y 2） =xy （x ﹣y ）2，把x ﹣y =﹣1，xy =3代入得：原式=3．5.先化简，再求值：x 2+2x+1x 3−x÷（1+1x），其中x =3．【考点】6D ：分式的化简求值． 【解答】解：原式=(x+1)2x(x+1)(x−1)•xx+1 =1x−1 当x =3时， 原式=216.解方程：1x−2+3=1−x2−x ．【考点】B 3：解分式方程．【解答】解：两边乘x ﹣2得到，1+3（x ﹣2）=x ﹣1， 1+3x ﹣6=x ﹣1， x =2，∵x =2时，x ﹣2=0，∴x =2是分式方程的增根，原方程无解．问题1二次根式的性质1．若√2x −1+√1−2x +1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．x ≥12 B ．x ≤12 C ．x =12 D ．x ≠12 【考点】72：二次根式有意义的条件． 【解答】解：由题意可知：{2x −1≥01−2x ≥0解得：x =12 ，故选（C ）【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．问题2二次根式的运算法则2.已知（4+√7）•a =b ，若b 是整数，则a 的值可能是（ ） A ．√7 B ．4+√7C ．8﹣2√7D ．2﹣√7【考点】76：分母有理化．【解答】解：因为（4+√7）•a =b ，b 是整数， 可得：a =8﹣2√7， 故选C【点评】此题考查分母有理化问题，关键是根据分母有理化的法则进行解答．3.计算：√8÷√2+（2﹣√2014）0﹣（﹣1）2014+|√2﹣2|+（﹣12）﹣2．【考点】79：二次根式的混合运算；6E ：零指数幂；6F ：负整数指数幂． 【解答】解：原式=√8÷2+1﹣1+2﹣√2+4 =2+1﹣1+2﹣√2+4 =8﹣√2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．问题1 二次根式的性质对应知识点：（1）二次根式的概念；（2）二次根式的性质问题2 二次根式的运算对应知识点： （1）分母有理化；（2）二次根式的混合运算；【基础知识重温】（一）二次根式概念和性质（1）概念：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（2）二次根式的性质① 非负性：a a ()≥0是一个非负数． ②()()a aa 20=≥．③ a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()（二）二次根式的乘除法运算法则 （1）乘法法则：（a ≥0，b ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. （2）除法法则：b a ba =（a≥0，b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.（3）最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.（4）同类二次根式的概念几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.（5）二次根式的加减法二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.【精准突破1】二次根式的性质【例题精讲】【例题1-1】要使二次根式√2x +6在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．【考点】72：二次根式有意义的条件；C 4：在数轴上表示不等式的解集． 【解答】解：由题意得，2x +6≥0， 解得，x ≥﹣3， 故选：C ．【例题1-2】己知x ，y 为实数，且y =12+√6x −1+√1−6x ，则x •y 的值为（ ）A ．3B ．13C ．16D ．112【考点】72：二次根式有意义的条件． 【解答】解：∵y =12+√6x −1+√1−6x ，∴6x ﹣1=0，解得：x =16，则y =12， 故xy =16×12=112．故选：D ．【例题1-3】实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+√(a −b)2的结果是（ ）A ．﹣2a +bB ．2a ﹣bC ．﹣bD ．b【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴． 【解答】解：由图可知：a ＜0，a ﹣b ＜0，则|a |+√(a −b)2 =﹣a ﹣（a ﹣b ） =﹣2a +b ． 故选：A ．【精准突破2】二次根式的运算法则【例题精讲】【例题2-1】下列化简错误的是（ ） A ．√1625=45B ．√1916=134C ．√2764=38√3D ．﹣√715=﹣65√5【考点】73：二次根式的性质与化简． 【解答】解：A 、√1625=45，故原题计算正确； B 、√1916=√2516=54，故原题计算错误； C 、√2764=3√38，故原题计算正确； D 、﹣√715=﹣√365=﹣65√5，故原题计算正确； 故选：B ．【例题2-2】下列二次根式中，与√2之积为有理数的是（ ） A ．√18 B ．√34 C ．√12 D ．﹣√27【考点】76：分母有理化．【解答】解：A 、√18=3√2，3√2×√2=6，符合题意； B 、原式=√32，√32×√2=√62，不符合题意； C 、原式=2√3，2√3×√2=2√6，不符合题意； D 、原式=﹣3√3，﹣3√3×√2=﹣3√6，不符合题意， 故选A【例题2-3】若最简二次根式√a +23b−1与√4b −a 是同类二次根式，则（a ﹣2b ）2017= ．【考点】77：同类二次根式；74：最简二次根式．【解答】解：由题意可知：{3b −1=2a +2=4b −a，解得：{a =1b =1，∴（a﹣2b）2017=（﹣1）2017=﹣1，故答案为：﹣1．+√48）÷2√3．【例题2-4】化简：（3√12﹣2√13【考点】79：二次根式的混合运算．+4√3）÷2√3【解答】解：原式=（6√3﹣2√33=28√3÷2√33．=143【巩固一】二次根式的性质1.下列各式中一定是二次根式的是（）A．√x+2B．√x C．√x2+2D．√a2b【考点】71：二次根式的定义．【解答】解：（A）当x+2＜0时，原式无意义，故A不一定是二次根式；（B）当x＜0时，原式无意义，故B不一定是二次根式；（C）∵x2≥0，∴x2+1≥1，故C一定是二次根式；＜0时，原式无意义，故D不一定是二次根式，（D）当a2b故选（C）2.若代数式√x+1有意义，则实数x的取值范围是（）(x−2)2A．x＞1B．x≠2C．x≥1且x≠2D．x≥﹣1且x≠2【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：由题意得，x+1≥0且（x﹣2）2≠0，解得x≥﹣1且x≠2．故选D．3.若√(2a+4)2=2a+4，则a的取值范围为（）A ．a ≥2B ．a ≤2C ．a ≥﹣2D ．a ≤﹣2 【考点】73：二次根式的性质与化简． 【解答】解：∵√(2a +4)2=|2a +4|=2a +4， ∴2a +4≥0， ∴a ≥﹣2 故选（C ）4.当1＜P ＜2时，代数式√(1−p)2+（√2−p ）2的值为 ． 【考点】73：二次根式的性质与化简． 【解答】解：∵1＜P ＜2， ∴1﹣p ＜0，2﹣p ＞0，∴√(1−p)2+（√2−p ）2=p ﹣1+2﹣p =1， 故答案为：1．【巩固二】二次根式的运算法则1. 计算√24﹣9√23的结果是（ ） A ．√6 B ．﹣√6C ．﹣43√6 D ．43√6【考点】78：二次根式的加减法．【解答】解：√24﹣9√23=2√6﹣9×√63=2√6﹣3√6=﹣√6．故选：B ．2.等式√x +1•√x −1=√x 2−1成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥﹣1C ．﹣1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≥﹣1 【考点】75：二次根式的乘除法．【解答】解：∵√x +1•√x −1=√x 2−1成立， ∴x +1≥0，x ﹣1≥0． 解得：x ≥1． 故选：A ．3.下列二次根式，不能与√12合并的是 （填写序号即可）．①√48； ②−√125； ③√113； ④√32； ⑤√18．【考点】77：同类二次根式．【解答】解：√12=2√3，①√48=4√3，②﹣√125=﹣5√5；③√113=2√33，④√32，⑤√18=3√2． 不能与√12合并的是﹣√125和√18．故答案为：②⑤．4.计算：（1）3√223×(−18√15)÷12√25． （2）√12+√27+14√48−15√13．（3）（2√5﹣√2）0+|2﹣√5|+（﹣1）2017﹣13×√45．【考点】75：二次根式的乘除法；78：二次根式的加减法．79：二次根式的混合运算；6E ：零指数幂．【解答】（1）解：原式=3√83×（﹣18√15）×2√52=﹣3×18×2×√83×15×52 =﹣34√100=﹣34×10 =﹣152．（2）解：原式=2√3+3√3+14×4√3﹣15×√33 =2√3+3√3+√3﹣5√3=√3．（3）解：原式=1+√5﹣2﹣1﹣√5【查漏补缺】1.使代数式1√x+3+√4−3x 有意义的整数x 有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：由题意，得x +3＞0且4﹣3x ≥0，解得﹣3＜x ≤43，整数有﹣2，﹣1，0，1，故选：B．2.若3，m，5为三角形三边，化简：√(2−m)2﹣√(m−8)2得（）A．﹣10B．﹣2m+6C．﹣2m﹣6D．2m﹣10【考点】73：二次根式的性质与化简；K6：三角形三边关系．【解答】解：由三角形三边关系可知：2＜m＜8∴2﹣m＜0，m﹣8＜0∴原式=﹣（2﹣m）+（m﹣8）=﹣2+m+m﹣8=2m﹣10故选（D）【举一反三】1．若最简二次根式√2x+y−53x−10和√x−3y+11是同类二次根式．（1）求x、y的值．（2）求√x2+y2的值．【考点】77：同类二次根式．【解答】解：（1）由题意得，3x﹣10=2，2x+y﹣5=x﹣3y+11，解得x=4，y=3；（2）当x=4，y=3时，√x2+y2=√42+32=5．2.计算：2y √xy5﹙﹣32√x3y﹚÷（13√yx）．【考点】75：二次根式的乘除法．（2）2y √xy5﹙﹣32√x3y﹚÷（13√yx）=﹣2y ×32×3√xy5×x3y×xy=﹣9y√x5y5=﹣9x2y√xy．【方法总结】1.二次乘法法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）.2.在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意， a ≥0，b >0，因为b 在分母上，故b 不能为0.3.运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.1．下列式子为最简二次根式的是（ ）A ．√x5 B ．√8 C ．√3x 2y D ．√x 2−9 【考点】74：最简二次根式．【解答】解：A 、被开方数含分母，故A 不符合题意；B 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B 不符合题意；C 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C 不符合题意；D 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D 符合题意； 故选：D ．2.已知y =√4−x +√x −4+3，则yx 的值为（ ） A ．43 B ．﹣43 C ．34 D ．﹣34 【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：由题意得，4﹣x ≥0，x ﹣4≥0，解得x =4，则y =3，则y x =34，故选：C ．3.下列变形正确的是（ ）A ．√(−4)(−9)=√−4×√−9B ．√1614=√16×√14=4×12=2 C ．√(a +b)2=|a +b | D ．√252−242=25﹣24=1【考点】75：二次根式的乘除法；73：二次根式的性质与化简．【解答】解：A 、√(−4)(−9)=√4×√9，故A 选项错误；B 、√1614=√65×√14=√65×12=√652，故B 选项错误；C 、√(a +b)2=|a +b |，故C 选项正确；D 、√252−242=√(25+24)(25−24)=7，故D 选项错误．故选：C ．4.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简√(a −1)2﹣√(a −b)2+b 的结果是（ ）A ．1B ．b +1C ．2aD ．1﹣2a【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴．【解答】解：由数轴可得：a ﹣1＜0，a ﹣b ＜0，则原式=1﹣a +a ﹣b +b =1．故选：A ．5.计算：（1）4√12÷（﹣√6）×13√12． （2）√48﹣2×√274+（12）﹣1+（π﹣2017）0．【考点】75：二次根式的乘除法．79：二次根式的混合运算；6E ：零指数幂；6F ：负整数指数幂．（1）解：原式=﹣2√2÷√6×2√33 =﹣2√3×2√33 =﹣43． （2）解：原式=4√3﹣2×3√32+2+1=√3+3．【第1，2天】当周完成一.选择题1．下列各式中①√3；②√−5； ③√a 2； ④√x −1（x ≥1）； ⑤√83； ⑥√x 2+2x +1一定是二次根式的有（ ）个．A ．3B ．4C ．5D ．6 【考点】71：二次根式的定义．【解答】解：①√3符合二次根式的定义，故正确．②√−5无意义，故错误．③√a 2中的a 2≥0，符合二次根式的定义，故正确．④√x −1（x ≥1）中的x ﹣1≥0，符合二次根式的定义，故正确．⑤√83是开3次方，故错误．⑥√x 2+2x +1中的x 2+2x +1=（x +1）2≥0，符合二次根式的定义，故正确． 故选：B ．2.实数a 、b 在数轴上的对应点如图，化简√a 2﹣√b 2+√(a −b)2的结果是（ ）A ．2a ﹣2bB ．0C ．﹣2aD ．2b【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴．【解答】解：由数轴可得：∵﹣1＜a ＜0，0＜b ＜1，∴a ﹣b ＜0，∴√a 2﹣√b 2+√(a −b)2=﹣a ﹣b ﹣（a ﹣b ）=﹣2a ．故选：C ．3.计算2√12×√34÷√3的结果是（ ） A ．√32 B ．√34 C ．√3 D ．2√3【考点】75：二次根式的乘除法．【解答】解：原式=12√36÷√3 =3÷√3 =√3 故选（C ）4.下列各式中计算正确的是（ ）A ．3√2﹣√2=2√2B ．2+√2=2√2C ．√12−√102=√6−√5 D ．√2+√3=√5 【考点】78：二次根式的加减法．【解答】解：3√2﹣√2=2√2，A 正确；2与√2不能合并，B 错误；√12−√102=2√3−√102=√3−√102，C 错误；√2与√3不是同类二次根式，不能合并，D 错误，故选：A ．5.若y =√x −12+√12−x ﹣6，则xy = ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：由题意可知：{x −12≥012−x ≥0，解得：x =12，∴y=0+0﹣6=﹣6，∴xy=﹣3，故答案为：﹣36.计算：（2√3﹣√6）2+（√54+2√6）÷√3．【考点】79：二次根式的混合运算．【解答】解：原式=12﹣12√2+6+√54÷3+2√6÷3=18﹣12√2+3√2+2√2=18﹣7√2．7.一个直角三角形的两边m、n恰好满足等式m﹣√2n−12+√12−2n=8，求第三条边上的高的长度．【考点】7B：二次根式的应用．【解答】解：∵m﹣√2n−12+√12−2n=8，∴2n﹣12=0，∴n=6，m=8，则①当m、n为直角三角形时，第三条边长为√62+82=10，所以第三条边上的高的长度为：6×8=4.8；10②当m为斜边、n为直角边时，所以第三条边上的高的长度为：6．答：第三条边上的高的长度为4.8或6．【第7天】（同时放在下一讲的复习检查）1.式子√a+1有意义，则实数a的取值范围是（）a−2A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞2【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：式子√a+1有意义，a−2则a+1≥0，且a﹣2≠0，解得：a≥﹣1且a≠2．故选：C．2.计算：（5√48﹣6√27+4√15）÷√3﹣4√5．【考点】79：二次根式的混合运算．【解答】解：原式=5√48÷3﹣6√27÷3+4√15÷3﹣4√5=20﹣18+4√5﹣4√5=2．【第15天】（同时放在下下讲的复习检查）1.计算3√45÷√15×23√223．【考点】75：二次根式的乘除法．【解答】解：原式=3×3√5÷√55×23×√83 =9√5÷√55×23×2√63=45×4√69 =20√6．2.计算：√48﹣6√13+（√3+2）（√3﹣2） 【考点】79：二次根式的混合运算．【解答】解：原式=4√3﹣2√3+3﹣4 =2√3﹣1．【第28天】（同时放在下下下一讲的复习检查）1.下列各等式成立的是（ ）A ．4√5×2√5=8√5B ．5√3×4√2=20√5C ．4√3×3√2=7√5D ．5√3×4√2=20√6【考点】75：二次根式的乘除法．【解答】解：A 、4√5×2√5=8×5=40，故选项错误；B 、5√3×4√2=20√3×2=20√6，故选项错误；C 、4√3×3√2=12√3×2=12√6，故选项错误；D 、5√3×4√2=20√3×2=20√6，故选项正确．故选D ．2.计算：（2√32﹣√12）×（12√8+√23）﹣（√3﹣2）2．【考点】79：二次根式的混合运算．【解答】解：原式=（√6﹣√22）（√2+√63）﹣（3﹣4√3+4）=2√3+2﹣1﹣√3﹣7+4√33﹣6．=17√33教学反思。
二次根式的有关概念和性质
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】◎考点1：二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B【解析】【分析】把0x =解题即可【详解】◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
解：把0x =2=故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】【分析】0)a >的代数进行分析得出答案．【详解】共4个．故选：B ．【点睛】0)a >的代数式，正确把握定义是解题关键．练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【解析】【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.【详解】解：∵12a <<，212132a a a a a a -=---=-+-=-.故选：C.【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.◎考点2：求二次根式中的参数例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】=，则6n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为6．【详解】解：=∴6n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D ．-1【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵0x +=，∴x +2=0，y －2=0，∴x =﹣2，y =2，∴220190192=12x y -æöæöç÷è=-ç÷èøø．故选：D ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B ．1C ．7D ．±1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入求解即可．解：由题意可得：24020x x -+¹＝，，解得：2x ＝，故3y ＝，则21x y -＝，故2x y -的平方根是：±1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】D【解析】【分析】首先化简二次根式进而得出n 的最小值．【详解】=∴最小正整数n 的值是5．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】C 【解析】◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
专题01 二次根式及其性质
专题01 二次根式及其性质【考点剖析】1、二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫二次根式.2、二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数.（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．3、二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①；②；③（2）与要注意区别与联系：①a的取值范围不同，中a≥0，中为任意值；②a≥0时，；a＜0时，无意义，二次根式的定义【典例】例1．下列式子：，，，，，，中，一定是二次根式的是（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解析】解：在所列式子中，一定是二次根式的是，，，这4个，故选：B．【点睛】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断．本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．【巩固练习】1．、、、、中二次根式有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】C【解析】解：、、是二次根式，、的被开方数不一定为非负数，故不一定是二次根式．故选：C．2．下列各式中①；②；③；④；⑤；是二次根式的有（ ）个．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】解：①、②的被开方数是负数，不是二次根式；③；④符合二次根式的定义；⑤当﹣1＜x＜1时，被开方数是负数，不是二次根式．综上所述，二次根式的个数是2．故选：A．3．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】解：①；②；③；④．二次根式的只有①，故选：A．二次根式有意义的条件【典例】例1．式子中x的取值范围是（ ）A．x≥1且x≠2B．x＞1且x≠2C．x≠2D．x＞1【答案】A【解析】解：由题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故选：A．【点睛】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解出x的值．此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．例2．若已知a、b为实数，且2b+4，则a+b＝______．【答案】1【解析】解：由题意得，a﹣5≥0，5﹣a≥0，解得，a＝5，则b＝﹣4，则a+b＝1，故答案为：1．【点睛】根据二次根式中的被开方数必须是非负数解答即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．【巩固练习】1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x B．x C．x D．x≤5【答案】B【解析】解：由题意得，5x﹣1≥0，解得，x，故选：B．2．代数式有意义，则x应满足的条件是（ ）A．x≠3B．x C．x且x≠3D．x且x≠3【答案】C【解析】解：由题意得，1+3x≥0，x﹣3≠0，解得，x且x≠3，故选：C．3．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）A．x≥0B．x≠1C．x＞1D．x≥0且x≠1【答案】C【解析】解：由题意得，x≥0，x﹣1＞0，解得，x＞1，故选：C．4．如果y3，那么y x的算术平方根是（ ）A．2B．3C．9D．±3【答案】B【解析】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得，x＝2，∴y＝3，则y x＝9，9的算术平方根是3．故选：B．5．若|2017﹣m|m，则m﹣20172＝____________．【答案】2018【解析】解：∵|2017﹣m|m，∴m﹣2018≥0，m≥2018，由题意，得m﹣2017m．化简，得2017，平方，得m﹣2018＝20172，m﹣20172＝2018．故答案为：20186．已知a满足|2017﹣a|a，则a﹣20172的值是____________．【答案】2018【解析】解：∵|2017﹣a|a，∴a﹣2018≥0，故a≥2018，则原式可变为：a﹣2017a，故a﹣2018＝20172，则a﹣20172＝2018．故答案为：2018．二次根式的性质【典例】例1．下列各式中，一定能成立的是（ ）A．B．（）2C．x﹣1D．•【答案】A【解析】解：A、，所以A选项正确；B、（）2当a为负数是不成立，所以B选项错误；C、x﹣1当x＜1时不成立，所以C选项错误；D、•当x＜3时不成立，所以D选项错误．故选：A．例2．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简|a﹣b|的结果为（ ）A．2a B．﹣2a C．2b D．﹣2b 【答案】B【解析】解：由题意得：a＞b，|a|＜|b|，a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a﹣b|＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a，故选：B．例3．阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．已知m为实数，化简：解：原式．【答案】见解析【解析】解：不正确，根据题意，m成立，则m为负数，＝m＝m＝（m+1）．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质的灵活运用，关键是根据成立，则m为负数，要求熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．【巩固练习】1．下列各式成立的是（ ）A．2B．（）2＝2C．a D．3【答案】D【解析】解：A、2，故此选项错误；B、（）2＝4，故此选项错误；C、|a|，故此选项错误；D、3，正确．故选：D．2．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）A．8B．﹣8C．2a﹣18D．无法确定【答案】A【解析】解：由题意可知6＜a＜12，∴a﹣5＞0、a﹣13＜0．∴|a﹣5|+|a﹣13|＝a﹣5+13﹣a＝8．故选：A．3．如图所示，实数a、b在数轴上的位置化简的结果是（ ）A．﹣2a B．﹣2b C．0D．2a﹣2b 【答案】A【解析】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a﹣b＜0，∴原式＝﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a故选：A．4．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）A．B．C．D．【答案】C。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相同的有
；
与 3 的被开方数相同的有
；
与 5 的被开方数相同的有
．
【例 2】 （1）计算： 12 75
7 12 5 48
Page 6 of 10
（2）计算： 2 8 1 18 1 32
2
4
12 4 1 3 48 27
6 3 0.12 48
ab 1 8a3b 1 18ab3
2a
b
（3）计算： (3 2 4 3)2
(2 3 5)(2 3 5)
(2 3 5)2 (2 3 5)2
(3 8)2011(3 8)2012
【例 3】 （1）若最简二次根式 3a 5 与 a 3 是可以合并的二次根式，则 a ____ ．
Page 7 of 10
（2）若最简二次根式 2 3
b) b)
(
a
b
0
)
（2）计算：
x4 x 3 1
x7 x3
2
_______．
模块四 同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根 式． 合并同类二次根式： a x b x (a b) x ．同类二次根式才可加减合并.
【例 1】把下列二次根式 32, 27, 125, 4 45, 2 8, 18, 12, 15 化简后，与 2 的被开方数
3
4
Page 2 of 10
【例 3】已知 a、b 为实数，且 5 a 2 2a 10 b 5 ，求 a、b 的值．
【巩固】如果 y 2x
【例 4】如果 9xy 3 x y 成立，那么 x，y 必须满足条件
【巩固】如果 x x 3 x(x 3) ，那么（
式，说这两个代数式互为有理化因式． a b 与 a b 互为有理化因式，原理是平
方差公式 (a b)(a b) a 2 b2 ；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为 0．
【例 1】（1）下列各式中是最简二次根式的是（ ）．
A． 8a
B． b2 3
C． x y 2
（2）把下列各式化成最简二次根式：
A． 11
B． 11
C． 44
D． 44
【巩固】（1）计算 ( x 2)2(x 0)
( a2 )2
( a2 2a 1)2
( 4x2 12x 9)2
（2）把 - 2 3 根号外的因式移进根号内，结果等于 4
Page 4 of 10
模块三 最简二次根式
1、最简二次根式： 二次根式 a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最
A． x 0
B． x 3
）． C． 0 x 3
【例 5】若-3≤x≤2 时，试化简 x 2 (x 3)2 x 2 10x 25 ．
． D． x 为任意实数
【巩固】（1）当 x
2 时，化简
2x2 ． 1 2x x2
（2）已知 a 0 ，求 4 (a 1)2 4 (a 1)2 的值．
a
a
Page 3 of 10
（3）已知正数 a ， b ，且满足 a 1 b2 b 1 a2 1 ，求证： a2 b2 1．
【例 6】（1）计算 ( 3 )2 4
(3 4)2
( 5)2
( 3)2 2
（2）已知三角形一边长为 2cm ，这条边上的高为 12cm ，求该三角形的面积．
（3）把 4 2 3 根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）． 4
2、二次根式的除法法则： a a （ a 0 ， b 0 ） bb
Page 1 of 10
【例 1】（1）当 x 是多少时， 3x 1 在实数范围内有意义？
（2）当 x 是多少时，
2x
3
x
1 1
在实数范围内有意义？
（3）使式子 (x 6)2 有意义的未知数 x 有（ ）个 ．
A．0
B．1
C．2
（1） 2 3
（2） 5 1 2
（3） a3b5
D． 3x2 y
（4） 1 1 23
（3） 2 3 的有理化因式是
； x y 的有理化因式是
x 1 x 1 的有理化因式是
．
【例 2】化简（1） 18 24 60 ；
2 3a 4 6ab ；
．
48 2 1 ；
1
2
32 2
Page 5 of 10
D．无数
【例 2】（1）若 a 1 b 1 0 ，求 a2011 b2011 的值．
（2）若 a2 b2 4a 2b 5 0 ，求
2a b 的值． 2a b
【巩固】（1）若 x 1 ( y 2011)2 z 1 0 ，则 (xz) y 的值等于
．
（2）已知实数 x ， y ， z 满足 4x 4 y 1 1 2 y z z 2 z 1 0 ，求 (x z) y2 的值
（2）观察规律：
1 2 1
2 1,
1 3
2
3
2, 1 2 2 3
3 ，……，求值．
1
1
1
①
2 2
＝______；② 7
11
＝______；③ 10
n 1
＝______． n
【例 3】（1）把下列各式分母有理化：
2(a 1)
xy y2
2a 4
x y
ab a 1 b
(a b)
5(a 8(a
简二次根式． （1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 （3）分母中不含二次根式
注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 2、分母有理化：
把分母中的根号化去叫做分母有理化． 互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根
二次根式的概念与性质
模块一 二次根式的概念
二次根式的概念：形如 a （ a 0 ）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
【例 1】 （1）判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
2、
4
、
3
3
、
1 x
、
x(x 0) 、
1 0、42、xy 、
x y （x≥0，y≥0）．
（2）下列式子中，是二次根式的是（ ）．
A． 7
B． 3 8
C． x
D．x
模块二 二次根式的性质
二次根式的基本性质：（1） a 0 （ a 0 ）双重非负性；
（2） ( a )2 a （ a 0 ）；
（3）
a2
a
a a
(a 0) (a 0) ．
二次根式的乘除运算
1、二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ）