四川省资阳市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)
四川省资阳市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共12小题）.1．过两点A（﹣2，0），B（0，3）的直线方程为（）A．3x﹣2y﹣6＝0 B．3x+2y﹣6＝0 C．3x﹣2y+6＝0 D．3x+2y+6＝0 2．若a＞b，则（）A．a3＞b3B．a2＞b2C．ln（a﹣b）＞0 D．2a＜2b3．已知等差数列{a n}的公差为d，a2＝4，a4＝10，则d＝（）A．2 B．3 C．6 D．94．已知向量＝（1，2），＝（﹣m，1），且⊥（+），则m＝（）A．﹣5 B．5 C．6 D．75．已知直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：（a+3）x﹣2by+1＝0（a＞0，b＞0）互相垂直，则的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（3，+∞）6．各项为正数的等比数列{a n}，a4•a7＝8，则log2a1+log2a2+…+log2a10＝（）A．5 B．10 C．15 D．207．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝，则＝（）A．﹣B．+C．﹣D．+8．＝（）A．B．1 C．D．9．已知点（m，n）（m＞0，n＞0）在直线3x+y﹣4＝0上，则+最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．1610．已知向量＝（，﹣1），||＝2||，+1＝0，则cos＜，＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，且△ABC的外接圆半径为2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．312．记数列{a n}前n项和为S n，若1，a n，S n成等差数列，且数列{}的前n项和T n对任意的n∈N*都有T n﹣2λ+1≥0恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若过点A（4，a），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则a＝．14．已知sinα＝，cos（α+β）＝﹣，且α，β∈（0，），则sinβ＝．15．若实数x，y满足不等式组，则的取值范围为．16．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠A＝．若＝λ（λ＜0），||＝||，则＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为P．（1）若直线1经过点P且与直线l3：4x﹣3y﹣5＝0平行，求直线l的方程；（2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求△OAB的面积（其中O为坐标原点）．18．已知＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cos（2α﹣）的值．19．已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，且关于x的不等式a1x2﹣qx﹣12＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）．（1）求a n；（2）设b n＝a n+log4a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2（c cos B﹣a）．（1）求C；（2）若a＝4，点E在边AB上，且+＝2，||＝2，求△ABC的周长．21．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+1﹣b．（1）若a＝﹣2，b＝9，求函数y＝（x＜0）的最小值；（2）若b＝﹣1，解关于x的不等式f（x）≥0．22．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，且a3＝2，﹣＝4；数列{b n}满足b1＝，b n+1＝（n∈N*）．（1）求a n；（2）求证：数列{﹣1}为等比数列，并求b n；（3）设c n＝，数列{c n}的前n和为T n，求证：≤T n＜1．四川省资阳市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题（共12小题）.1．过两点A（﹣2，0），B（0，3）的直线方程为（）A．3x﹣2y﹣6＝0 B．3x+2y﹣6＝0 C．3x﹣2y+6＝0 D．3x+2y+6＝0 【分析】由题意利用直线的截距式方程，化简求得结果．解：∵直线经过两点A（﹣2，0），B（0，3），而这2个点恰是直线和坐标轴的交点，∴过两点A（﹣2，0），B（0，3）的直线方程为+＝1，即3x﹣2y+6＝0，故选：C．2．若a＞b，则（）A．a3＞b3B．a2＞b2C．ln（a﹣b）＞0 D．2a＜2b【分析】直接利用不等式的性质，函数的单调性，赋值法的应用求出结果．解：由于a＞b，对于选项A：＞0，故选项A正确．对于选项B：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a2＜b2，故选项B错误．对于选项C：当1＞a﹣b＞0时，ln（a﹣b）＜0，故选项C错误．对于选项D：由于a＞b，由于y＝2x为单调增函数，所以2a＞2b，故选项D错误．故选：A．3．已知等差数列{a n}的公差为d，a2＝4，a4＝10，则d＝（）A．2 B．3 C．6 D．9【分析】由题意利用等比数列的性质，求得d的值．解：等差数列{a n}的公差为d，a2＝4，a4＝10，则2d＝a4﹣a2＝6，∴d＝3，故选：B．4．已知向量＝（1，2），＝（﹣m，1），且⊥（+），则m＝（）A．﹣5 B．5 C．6 D．7【分析】可以求出，然后根据即可得出，进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值．解：，，且，∴，解得m＝7．故选：D．5．已知直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：（a+3）x﹣2by+1＝0（a＞0，b＞0）互相垂直，则的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（3，+∞）【分析】由直线与直线垂直的性质得＝，再上a＞0，b＞0，能求出的取值范围．解：∵直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：（a+3）x﹣2by+1＝0（a＞0，b＞0）互相垂直，∴a（a+3）﹣2b＝0，∴＝，∵a＞0，b＞0，∴∈（0，）．∴的取值范围为（0，）．故选：B．6．各项为正数的等比数列{a n}，a4•a7＝8，则log2a1+log2a2+…+log2a10＝（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由等比数列{a n}的性质可得：a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝…，再利用对数的运算法则即可得出．解：由各项为正数的等比数列{a n}，a4•a7＝8，∴a1a10＝a2a9＝...＝a4a7＝ (8)∴++…+＝log2（a1a2•…•a10）＝＝15．故选：C．7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝，则＝（）A．﹣B．+C．﹣D．+【分析】根据题意，由平面向量的三角形法则列式即可得．解：平行四边形ABCD中，＝，∵＝，∴＝，∴＝+＝+＝+＝+（﹣）＝﹣＝﹣．故选：C．8．＝（）A．B．1 C．D．【分析】把分子提取2，再由两角和的正弦变形，结合诱导公式约分得答案．解：＝＝＝＝．故选：A．9．已知点（m，n）（m＞0，n＞0）在直线3x+y﹣4＝0上，则+最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．16【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解：由题意可得，3m+n＝4，m＞0，n＞0，则+＝（+）（3m+n）×＝（10+）＝4，当且仅当且3m+n＝4即m＝n＝1时取等号，故选：B．10．已知向量＝（，﹣1），||＝2||，+1＝0，则cos＜，＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由已知求出||，||，||，利用cos＜，＞＝即可求解．解：∵向量＝（，﹣1），∴||＝2||＝，∵+1＝0，＝﹣，∴||＝＝＝，＝＝﹣1﹣4＝﹣5，∴cos＜，＞＝＝．故选：A．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，且△ABC的外接圆半径为2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．3【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos A＝，结合范围A∈（0，π），可得A＝，由题意利用正弦定理可求a的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，根据三角形的面积公式即可计算求解．解：∵＝，∴由正弦定理可得＝，可得＝，由于sin B≠0，∴整理可得sin C＝2sin C cos A，由于sin C≠0，∴cos A＝，由A∈（0，π），可得A＝，又△ABC的外接圆半径为2，∴4＝，可得a＝2，∴可得12＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时等号成立，∴S△ABC＝bc sin A≤＝3，即三角形ABC的面积的最大值为3，当且仅当b＝c＝2时等号成立．故选：D．12．记数列{a n}前n项和为S n，若1，a n，S n成等差数列，且数列{}的前n项和T n对任意的n∈N*都有T n﹣2λ+1≥0恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，1] 【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围．解：数列{a n}前n项和为S n，若1，a n，S n成等差数列，所以2a n＝1+S n①，当n＝1时，a1＝1．当n≥2时，2a n﹣1＝1+S n﹣1②，①﹣②得2a n﹣2a n﹣1＝a n，整理得（常数），所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以．所以＝，则＝．由于对任意的n∈N*都有T n﹣2λ+1≥0恒成立，所以T n+1≥2λ恒成立．即（T n+1）min≥2λ，当n＝1时，，所以，解得，所以．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若过点A（4，a），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则a＝﹣5．【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的斜率公式，求得a的值．解：由题意可得tan＝﹣1＝，求得a＝﹣5，故答案为：﹣5．14．已知sinα＝，cos（α+β）＝﹣，且α，β∈（0，），则sinβ＝．【分析】由已知分别求得cosα，sin（α+β），再由sinβ＝sin[（α+β）﹣α]，展开两角差的正弦得答案．解：∵sinα＝，α∈（0，），∴cosα＝，∴α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），又cos（α+β）＝﹣，∴sin（α+β）＝＝．则sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝＝．故答案为：．15．若实数x，y满足不等式组，则的取值范围为[，5]．【分析】作出不等式组对应的平面区域，然后化简目标函数，利用不等式的几何意义，利用线性规划的知识进行求解即可．解：实数x，y满足不等式组，的可行域如图：＝，它的几何意义是可行域内的点与D（0，﹣1）连线的斜率加1，由图象知AD的斜率最小，DB的斜率最大，由解得B（1，3），此时DB的斜率：＝4，由得A（3，1），此时AD的斜率：＝，则的取值范围为是[，5]，故答案为：[，5]．16．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠A＝．若＝λ（λ＜0），||＝||，则＝﹣1．【分析】利用已知可得BE∥AC，，从而求得AE＝BE＝2，即可得，在用，，即可．解：如图，∵＝λ（λ＜0），∴BE∥AC，∵||＝||，∠A＝．∴在ABE中，，∵，∴AE＝BE＝2，∵AC＝5，∴＝﹣，∴＝（•（）＝（﹣）（﹣）＝﹣﹣＝＝﹣1．故答案为：﹣1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为P．（1）若直线1经过点P且与直线l3：4x﹣3y﹣5＝0平行，求直线l的方程；（2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求△OAB的面积（其中O为坐标原点）．【分析】（1）先求出交点P的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．（2）先求出A、B两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得△OAB的面积．解：（1）由，求得，可得直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为P（﹣3，﹣5）．由于直线l3的斜率为，故过点P且与直线l3：4x﹣3y﹣5＝0平行的直线l的方程为y+5＝（x+3），即4x﹣3y﹣3＝0．（2）设直线m的斜率为k，则直线m的方程为y+5＝k（x+3），由于直线m与x轴，y轴分别交于A，B两点，且P（﹣3，﹣5）为线段AB的中点，故A（﹣3，0），B（0，3k﹣5），且点P的坐标满足直线m的方程，∴＝﹣3，且＝﹣5，求得k＝＝﹣．故△OAB的面积为•OA•OB＝•|﹣3|•||＝•||＝＝15．18．已知＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cos（2α﹣）的值．【分析】由已知求得tanα的值．（1）展开二倍角的正切，分类求得tan2α的值；（2）分别求出sin2α与cos2α的值，再由两角差的余弦求解cos（2α﹣）的值．解：由＝﹣，得，即3tan2α﹣5tanα﹣2＝0，解得tanα＝2或tan．（1）当tanα＝2时，tan2α＝；当tanα＝﹣时，tan2α＝＝＝；（2）当tanα＝2时，cos2α＝＝，sin2α＝＝，cos（2α﹣）＝cos2αcos+sin2αsin＝；当tanα＝﹣时，cos2α＝＝，sin2α＝＝，cos（2α﹣）＝cos2αcos+sin2αsin＝．19．已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，且关于x的不等式a1x2﹣qx﹣12＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）．（1）求a n；（2）设b n＝a n+log4a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）首先把不等式转换为方程，进一步求出首项和公比，再利用等比数列的定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和．解：（1）等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，且关于x的不等式a1x2﹣qx﹣12＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）．则﹣2和6为a1x2﹣qx﹣12＝0的两根，所以，，解得a1＝1，q＝4．所以．（2）由（1）得b n＝a n+log4a n＝4n﹣1+n﹣1，所以，＝，＝20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2（c cos B﹣a）．（1）求C；（2）若a＝4，点E在边AB上，且+＝2，||＝2，求△ABC的周长．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，可求cos C＝﹣，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由已知利用平面向量数量积的运算可求b的值，利用余弦定理可求c的值，即可计算求解三角形的周长．解：（1）∵b＝2（c cos B﹣a）＝2（c•﹣a）．整理可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴cos C＝＝＝﹣，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）∵若a＝4，点E在边AB上，且+＝2，||＝2，∴E为AB的中点，可得（+）2＝42，∴可得b2+42+2＝4×22，可得b2+2b•4•（﹣）＝0，解得b＝4，∴c＝＝＝4，∴△ABC的周长a+b+c＝8+4．21．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+1﹣b．（1）若a＝﹣2，b＝9，求函数y＝（x＜0）的最小值；（2）若b＝﹣1，解关于x的不等式f（x）≥0．【分析】（1）把a＝﹣2，b＝9代入f（x）的解析式，整理后利用基本不等式求y＝（x＜0）的最小值；（2）由b＝﹣1，可得f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，当a＝0时，化为一元一次不等式求解，当a≠0时，求出函数f（x）所对应方程的两根，再对a分类比较两个根的大小，即可求得不等式f（x）≥0的解集．解：（1）若a＝﹣2，b＝9，则y＝＝，∵x＜0，∴y＝﹣2x﹣，当且仅当，即x＝﹣2时y取得最小值8；（2）若b＝﹣1，则f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝（x﹣1）（ax﹣2）．若a＝0，f（x）≥0化为﹣2x+2≥0，即x≤1；若a≠0，f（x）＝0的两根为1，．若a＝2，f（x）≥0化为2（x﹣1）2≥0，x∈R；若0＜a＜2，则1＜，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[，+∞）；若a＜0，则＜1，则不等式f（x）≥0的解集为[，1]；若a＞2，则＜1，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，]∪[1，+∞）．综上，当a＜0时，f（x）≥0的解集为[，1]；当a＝0时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]；当0＜a＜2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[，+∞）；当a＝2时，f（x）≥0的解集为R；当a＞2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，]∪[1，+∞）．22．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，且a3＝2，﹣＝4；数列{b n}满足b1＝，b n+1＝（n∈N*）．（1）求a n；（2）求证：数列{﹣1}为等比数列，并求b n；（3）设c n＝，数列{c n}的前n和为T n，求证：≤T n＜1．【分析】（1）直接利用等比数列的定义求出数列的通项公式．（2）利用关系式的变换，整理出数列{}是以为首项，为公比的等比数列．（3）利用（1）、（2）的结论，进一步利用乘公比错位相减法和放缩法的应用求出数列的和．解：（1）等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，所以数列{}也为等差数列，且公差为，由于﹣＝4；所以，解得d＝2．则：a n＝2n﹣4．证明：（2）数列{b n}满足b1＝，b n+1＝（n∈N*）．所以，整理得，所以数列{}是以为首项，为公比的等比数列．所以，整理得．证明：（3）由（1）（2）得：c n＝＝，所以①，②，①﹣②得，整理得，由于，所以数列{T n}为单调递增数列，所以．。
2024届资阳市重点中学数学高一第二学期期末考试试题含解析
2024届资阳市重点中学数学高一第二学期期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为80%”，这是指（ ）A ．明天该地区有80%的地方降水，有20%的地方不降水B ．明天该地区有80%的时间降水，其他时间不降水C ．明天该地区降水的可能性为80%D ．气象台的专家中有80%的人认为会降水，另外有20%的专家认为不降水 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =-B ．3y x =-C ．1y x=-D ．||y x x =3．己知x 与y 之间的几组数据如下表： x 0 1 3 4 y1469则y 与x 的线性回归直线必过点（ ） A ．B ．C ．D ．4．在等差数列中，若，，则（ ）A ．8B ．16C ．20D ．285．已知向量a =(3，4)，b =(2，1)，则向量a 与b 夹角的余弦值为( ) A ．255B ．55-C ．2525D ．115256．函数y=2的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2B ．1，－3C ．1，－1D ．2，－17．设向量a ，b 满足10a b +=，6a b -=，则•a b =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．58．已知m ，n 为直线，α，β为平面，下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊂，n β⊂，则m 与n 为异面直线C ．若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥D ．若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n9．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13 C ．12D ．2310．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =则c =( ) A ．3B ．2C 2D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届四川省资阳市高中高一数学第二学期期末检测试题含解析
2024届四川省资阳市高中高一数学第二学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．直线与圆交于不同的两点，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABB A n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为 A ．32B ．22C ．33D ．133．过点()1,2A 且与原点距离最大的直线方程是（ ） A ．250x y +-= B ．230x y -+= C ．30x y ++=D ．10x y -+=4．在ABC ∆中，若45A =°，60B =°，2a =．则b = A ．B 2C 3D ．65．以下现象是随机现象的是A ．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾B ．长和宽分别为a ，b 的矩形，其面积为a b ⨯C ．走到十字路口，遇到红灯D ．三角形内角和为180°6．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=）A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年7．A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形8．关于x 的方程sin 26x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[0,]π内有相异两实根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．31,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．31,42⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．过点(1,1)A 斜率为－3的直线的一般式方程为（ ） A ．340x y +-= B ．320x y --= C ．340x y +-=D ．320x y -+=10．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ．116B ．18 C ．38D ．316二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年资阳市高一(下)期末数学试卷
2019-2020学年资阳市高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.过点P(0,5)，且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条2.设关于x 的不等式|f(x)|+|g(x)|<a 的解集为A ，关于x 的不等式|f(x)+g(x)|<a 的解集为B ，则集合A ，B 满足( )A. A ⊆BB. B ⊆AC. B ⊊AD. A ⊊B3.若关于x 的方程x 2−3x +a =0和x 2−3x +b =0(a ≠b)的四个根可组成首项为6的等差数列，则a +b 的值是( )A. −18B. 9C. −3D. −34.已知=a ⃗ (1,2)，b ⃗ =(0,1)，c ⃗ =(−2,k)，若(a ⃗ +2b ⃗ )⊥c ⃗ ，则k =( )A. −12B. −2C. 2D. 125.若直线ax +y +1−a =0与直线x +ay =0平行，则a 的值是( )A. a =−1B. a =1C. a =1或a =−1D. a =06.等比数列{a n }中，，是方程3 x 2—11 x +9=0的两个根，则 =( )A. 3B.C. ±D. 以上都不是7.已知△ABC 的外接圆圆心为O ，∠A =π6，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，则x +y 的最大值为( ) A. 4+2√3B. 4−2√3C. √32 D. √648.已知平面向量a ⃗ =(2cos 2x,sin 2x)，b ⃗ =(cos 2x,−2sin 2x)，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，要得到y =√3sin2x +cos2x 的图象，只需要将函数y =f(x)的图象( )A. 向左平移π6个单位 B. 向右平移π6个单位 C. 向左平移π12个单位D. 向右平移π12个单位9.若x +y =1(x,y >0)，则1x +1y 的最小值是( )A. 1B. 2C. 2√2D. 410. 已知向量m⃗⃗⃗ =(t +1,1)，n ⃗ =(t +2,2)，若(m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )⊥(m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )，则t =( )A. 0B. −3C. 3D. −111. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其中a =√5，b =√3，sinB =√22，则角A 的取值范围一定属于( )A. (45°,90°)B. (45°,90°)∪(90°,135°)C. (0°,45°)∪(135°,180°)D. (90°,135°)12. 已知数列{a n }的首项为3，且a n+1−3n =a n +3，则数列{1a n}的前2020项和为( )A. 20206063B. 40406063C. 20196060D. 40386060二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 直线x −√3y +a =0(a 为实常数)的倾斜角的大小是______14. 设a =cos61°⋅cos127°+cos29°⋅cos37°，b =2tan13°1+tan 213°，c =√1−cos50°2，则a ，b ，c 的大小关系(由小到大排列)为______ ．15. 设x ，y 满足约束条件{x −y ⩽64x +5y ⩽65x +4y ⩾3，则z =x +y 的最大值为______．16. 已知向量a ，b 满足| b |=2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (本小题满分8分)已知直线经过点，且垂直于直线，(1)求直线的方程；(2)求直线与两坐标轴围成三角形的面积。
2019-2020学年四川省资阳市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年四川省资阳市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．过两点A（﹣2，0），B（0，3）的直线方程为（）A．3x﹣2y﹣6＝0B．3x+2y﹣6＝0C．3x﹣2y+6＝0D．3x+2y+6＝0 2．若a＞b，则（）A．a3＞b3B．a2＞b2C．ln（a﹣b）＞0D．2a＜2b3．已知等差数列{a n}的公差为d，a2＝4，a4＝10，则d＝（）A．2B．3C．6D．94．已知向量＝（1，2），＝（﹣m，1），且⊥（+），则m＝（）A．﹣5B．5C．6D．75．已知直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：（a+3）x﹣2by+1＝0（a＞0，b＞0）互相垂直，则的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（3，+∞）6．各项为正数的等比数列{a n}，a4•a7＝8，则log2a1+log2a2+…+log2a10＝（）A．5B．10C．15D．207．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝，则＝（）A．﹣B．+C．﹣D．+8．＝（）A．B．1C．D．9．已知点（m，n）（m＞0，n＞0）在直线3x+y﹣4＝0上，则+最小值为（）A．2B．4C．6D．1610．已知向量＝（，﹣1），||＝2||，+1＝0，则cos＜，＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，且△ABC的外接圆半径为2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．312．记数列{a n}前n项和为S n，若1，a n，S n成等差数列，且数列{}的前n项和T n对任意的n∈N*都有T n﹣2λ+1≥0恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若过点A（4，a），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则a＝．14．已知sinα＝，cos（α+β）＝﹣，且α，β∈（0，），则sinβ＝．15．若实数x，y满足不等式组，则的取值范围为．16．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠A＝．若＝λ（λ＜0），||＝||，则＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为P．（1）若直线1经过点P且与直线l3：4x﹣3y﹣5＝0平行，求直线l的方程；（2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求△OAB的面积（其中O为坐标原点）．18．已知＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cos（2α﹣）的值．19．已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，且关于x的不等式a1x2﹣qx﹣12＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）．（1）求a n；（2）设b n＝a n+log4a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2（c cos B﹣a）．（1）求C；（2）若a＝4，点E在边AB上，且+＝2，||＝2，求△ABC的周长．21．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+1﹣b．（1）若a＝﹣2，b＝9，求函数y＝（x＜0）的最小值；（2）若b＝﹣1，解关于x的不等式f（x）≥0．22．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，且a3＝2，﹣＝4；数列{b n}满足b1＝，b n+1＝（n∈N*）．（1）求a n；（2）求证：数列{﹣1}为等比数列，并求b n；（3）设c n＝，数列{c n}的前n和为T n，求证：≤T n＜1．参考答案一、选择题（共12小题）.1．过两点A（﹣2，0），B（0，3）的直线方程为（）A．3x﹣2y﹣6＝0B．3x+2y﹣6＝0C．3x﹣2y+6＝0D．3x+2y+6＝0【分析】由题意利用直线的截距式方程，化简求得结果．解：∵直线经过两点A（﹣2，0），B（0，3），而这2个点恰是直线和坐标轴的交点，∴过两点A（﹣2，0），B（0，3）的直线方程为+＝1，即3x﹣2y+6＝0，故选：C．2．若a＞b，则（）A．a3＞b3B．a2＞b2C．ln（a﹣b）＞0D．2a＜2b【分析】直接利用不等式的性质，函数的单调性，赋值法的应用求出结果．解：由于a＞b，对于选项A：＞0，故选项A正确．对于选项B：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a2＜b2，故选项B错误．对于选项C：当1＞a﹣b＞0时，ln（a﹣b）＜0，故选项C错误．对于选项D：由于a＞b，由于y＝2x为单调增函数，所以2a＞2b，故选项D错误．故选：A．3．已知等差数列{a n}的公差为d，a2＝4，a4＝10，则d＝（）A．2B．3C．6D．9【分析】由题意利用等比数列的性质，求得d的值．解：等差数列{a n}的公差为d，a2＝4，a4＝10，则2d＝a4﹣a2＝6，∴d＝3，故选：B．4．已知向量＝（1，2），＝（﹣m，1），且⊥（+），则m＝（）A．﹣5B．5C．6D．7【分析】可以求出，然后根据即可得出，进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值．解：，，且，∴，解得m＝7．故选：D．5．已知直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：（a+3）x﹣2by+1＝0（a＞0，b＞0）互相垂直，则的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（3，+∞）【分析】由直线与直线垂直的性质得＝，再上a＞0，b＞0，能求出的取值范围．解：∵直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：（a+3）x﹣2by+1＝0（a＞0，b＞0）互相垂直，∴a（a+3）﹣2b＝0，∴＝，∵a＞0，b＞0，∴∈（0，）．∴的取值范围为（0，）．故选：B．6．各项为正数的等比数列{a n}，a4•a7＝8，则log2a1+log2a2+…+log2a10＝（）A．5B．10C．15D．20【分析】由等比数列{a n}的性质可得：a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝…，再利用对数的运算法则即可得出．解：由各项为正数的等比数列{a n}，a4•a7＝8，∴a1a10＝a2a9＝...＝a4a7＝ (8)∴++…+＝log2（a1a2•…•a10）＝＝15．故选：C．7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝，则＝（）A．﹣B．+C．﹣D．+【分析】根据题意，由平面向量的三角形法则列式即可得．解：平行四边形ABCD中，＝，∵＝，∴＝，∴＝+＝+＝+＝+（﹣）＝﹣＝﹣．故选：C．8．＝（）A．B．1C．D．【分析】把分子提取2，再由两角和的正弦变形，结合诱导公式约分得答案．解：＝＝＝＝．故选：A．9．已知点（m，n）（m＞0，n＞0）在直线3x+y﹣4＝0上，则+最小值为（）A．2B．4C．6D．16【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解：由题意可得，3m+n＝4，m＞0，n＞0，则+＝（+）（3m+n）×＝（10+）＝4，当且仅当且3m+n＝4即m＝n＝1时取等号，故选：B．10．已知向量＝（，﹣1），||＝2||，+1＝0，则cos＜，＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由已知求出||，||，||，利用cos＜，＞＝即可求解．解：∵向量＝（，﹣1），∴||＝2||＝，∵+1＝0，＝﹣，∴||＝＝＝，＝＝﹣1﹣4＝﹣5，∴cos＜，＞＝＝．故选：A．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，且△ABC的外接圆半径为2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．3【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos A＝，结合范围A∈（0，π），可得A＝，由题意利用正弦定理可求a的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，根据三角形的面积公式即可计算求解．解：∵＝，∴由正弦定理可得＝，可得＝，由于sin B≠0，∴整理可得sin C＝2sin C cos A，由于sin C≠0，∴cos A＝，由A∈（0，π），可得A＝，又△ABC的外接圆半径为2，∴4＝，可得a＝2，∴可得12＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时等号成立，∴S△ABC＝bc sin A≤＝3，即三角形ABC的面积的最大值为3，当且仅当b＝c＝2时等号成立．故选：D．12．记数列{a n}前n项和为S n，若1，a n，S n成等差数列，且数列{}的前n项和T n对任意的n∈N*都有T n﹣2λ+1≥0恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，1]【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围．解：数列{a n}前n项和为S n，若1，a n，S n成等差数列，所以2a n＝1+S n①，当n＝1时，a1＝1．当n≥2时，2a n﹣1＝1+S n﹣1②，①﹣②得2a n﹣2a n﹣1＝a n，整理得（常数），所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以．所以＝，则＝．由于对任意的n∈N*都有T n﹣2λ+1≥0恒成立，所以T n+1≥2λ恒成立．即（T n+1）min≥2λ，当n＝1时，，所以，解得，所以．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若过点A（4，a），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则a＝﹣5．【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的斜率公式，求得a的值．解：由题意可得tan＝﹣1＝，求得a＝﹣5，故答案为：﹣5．14．已知sinα＝，cos（α+β）＝﹣，且α，β∈（0，），则sinβ＝．【分析】由已知分别求得cosα，sin（α+β），再由sinβ＝sin[（α+β）﹣α]，展开两角差的正弦得答案．解：∵sinα＝，α∈（0，），∴cosα＝，∴α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），又cos（α+β）＝﹣，∴sin（α+β）＝＝．则sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝＝．故答案为：．15．若实数x，y满足不等式组，则的取值范围为[，5]．【分析】作出不等式组对应的平面区域，然后化简目标函数，利用不等式的几何意义，利用线性规划的知识进行求解即可．解：实数x，y满足不等式组，的可行域如图：＝，它的几何意义是可行域内的点与D（0，﹣1）连线的斜率加1，由图象知AD的斜率最小，DB的斜率最大，由解得B（1，3），此时DB的斜率：＝4，由得A（3，1），此时AD的斜率：＝，则的取值范围为是[，5]，故答案为：[，5]．16．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠A＝．若＝λ（λ＜0），||＝||，则＝﹣1．【分析】利用已知可得BE∥AC，，从而求得AE＝BE＝2，即可得，在用，，即可．解：如图，∵＝λ（λ＜0），∴BE∥AC，∵||＝||，∠A＝．∴在ABE中，，∵，∴AE＝BE＝2，∵AC＝5，∴＝﹣，∴＝（•（）＝（﹣）（﹣）＝﹣﹣＝＝﹣1．故答案为：﹣1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为P．（1）若直线1经过点P且与直线l3：4x﹣3y﹣5＝0平行，求直线l的方程；（2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求△OAB的面积（其中O为坐标原点）．【分析】（1）先求出交点P的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．（2）先求出A、B两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得△OAB的面积．解：（1）由，求得，可得直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为P（﹣3，﹣5）．由于直线l3的斜率为，故过点P且与直线l3：4x﹣3y﹣5＝0平行的直线l的方程为y+5＝（x+3），即4x﹣3y﹣3＝0．（2）设直线m的斜率为k，则直线m的方程为y+5＝k（x+3），由于直线m与x轴，y轴分别交于A，B两点，且P（﹣3，﹣5）为线段AB的中点，故A（﹣3，0），B（0，3k﹣5），且点P的坐标满足直线m的方程，∴＝﹣3，且＝﹣5，求得k＝＝﹣．故△OAB的面积为•OA•OB＝•|﹣3|•||＝•||＝＝15．18．已知＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cos（2α﹣）的值．【分析】由已知求得tanα的值．（1）展开二倍角的正切，分类求得tan2α的值；（2）分别求出sin2α与cos2α的值，再由两角差的余弦求解cos（2α﹣）的值．解：由＝﹣，得，即3tan2α﹣5tanα﹣2＝0，解得tanα＝2或tan．（1）当tanα＝2时，tan2α＝；当tanα＝﹣时，tan2α＝＝＝；（2）当tanα＝2时，cos2α＝＝，sin2α＝＝，cos（2α﹣）＝cos2αcos+sin2αsin＝；当tanα＝﹣时，cos2α＝＝，sin2α＝＝，cos（2α﹣）＝cos2αcos+sin2αsin＝．19．已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，且关于x的不等式a1x2﹣qx﹣12＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）．（1）求a n；（2）设b n＝a n+log4a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）首先把不等式转换为方程，进一步求出首项和公比，再利用等比数列的定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和．解：（1）等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，且关于x的不等式a1x2﹣qx﹣12＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）．则﹣2和6为a1x2﹣qx﹣12＝0的两根，所以，，解得a1＝1，q＝4．所以．（2）由（1）得b n＝a n+log4a n＝4n﹣1+n﹣1，所以，＝，＝20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2（c cos B﹣a）．（1）求C；（2）若a＝4，点E在边AB上，且+＝2，||＝2，求△ABC的周长．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，可求cos C＝﹣，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由已知利用平面向量数量积的运算可求b的值，利用余弦定理可求c的值，即可计算求解三角形的周长．解：（1）∵b＝2（c cos B﹣a）＝2（c•﹣a）．整理可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴cos C＝＝＝﹣，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）∵若a＝4，点E在边AB上，且+＝2，||＝2，∴E为AB的中点，可得（+）2＝42，∴可得b2+42+2＝4×22，可得b2+2b•4•（﹣）＝0，解得b＝4，∴c＝＝＝4，∴△ABC的周长a+b+c＝8+4．21．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+1﹣b．（1）若a＝﹣2，b＝9，求函数y＝（x＜0）的最小值；（2）若b＝﹣1，解关于x的不等式f（x）≥0．【分析】（1）把a＝﹣2，b＝9代入f（x）的解析式，整理后利用基本不等式求y＝（x＜0）的最小值；（2）由b＝﹣1，可得f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，当a＝0时，化为一元一次不等式求解，当a≠0时，求出函数f（x）所对应方程的两根，再对a分类比较两个根的大小，即可求得不等式f（x）≥0的解集．解：（1）若a＝﹣2，b＝9，则y＝＝，∵x＜0，∴y＝﹣2x﹣，当且仅当，即x＝﹣2时y取得最小值8；（2）若b＝﹣1，则f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝（x﹣1）（ax﹣2）．若a＝0，f（x）≥0化为﹣2x+2≥0，即x≤1；若a≠0，f（x）＝0的两根为1，．若a＝2，f（x）≥0化为2（x﹣1）2≥0，x∈R；若0＜a＜2，则1＜，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[，+∞）；若a＜0，则＜1，则不等式f（x）≥0的解集为[，1]；若a＞2，则＜1，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，]∪[1，+∞）．综上，当a＜0时，f（x）≥0的解集为[，1]；当a＝0时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]；当0＜a＜2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[，+∞）；当a＝2时，f（x）≥0的解集为R；当a＞2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，]∪[1，+∞）．22．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，且a3＝2，﹣＝4；数列{b n}满足b1＝，b n+1＝（n∈N*）．（1）求a n；（2）求证：数列{﹣1}为等比数列，并求b n；（3）设c n＝，数列{c n}的前n和为T n，求证：≤T n＜1．【分析】（1）直接利用等比数列的定义求出数列的通项公式．（2）利用关系式的变换，整理出数列{}是以为首项，为公比的等比数列．（3）利用（1）、（2）的结论，进一步利用乘公比错位相减法和放缩法的应用求出数列的和．解：（1）等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，所以数列{}也为等差数列，且公差为，由于﹣＝4；所以，解得d＝2．则：a n＝2n﹣4．证明：（2）数列{b n}满足b1＝，b n+1＝（n∈N*）．所以，整理得，所以数列{}是以为首项，为公比的等比数列．所以，整理得．证明：（3）由（1）（2）得：c n＝＝，所以①，②，①﹣②得，整理得，由于，所以数列{T n}为单调递增数列，所以．。
四川省资阳市高一下册第二学期期末考试数学试题-含解析【推荐】
资阳市高中一年级第二学期期末质量检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 的值是A. B. C. D.【答案】B2. 已知等差数列中，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】等差数列中，.，所以.故选C.3. 直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选C．考点：直线的倾斜角．4. 已知直线与直线平行，则的值为A. B.C. 或D. 或【答案】A【解析】直线与直线平行.所以，解得检验时两直线不重合，故选A.5. 已知平面向量，，若，则实数的值为A. B.C. D.【答案】D【解析】若,则若.平面向量，，所以，所以.故选D.6. 已知，则的值分别为A. B.C. D.【答案】D【解析】.所以.故选D.7. 若实数满足，则的最小值为A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以.,即，所以.当且仅当时，的最小值为4.故选B.点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.8. 已知圆的圆心在轴上，点在圆上，圆心到直线的距离为，则圆的方程为A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意设圆的方程为(−a)2+y2=r2(a>0)，........................得，解得a=2，r=3.∴圆C的方程为：.故选D.9. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处测得公路北侧一山顶在西偏北（即）的方向上；行驶后到达处，测得此山顶在西偏北（即）的方向上，且仰角为．则此山的高度＝A. mB. mC. mD. m【答案】A【解析】设此山高h(m),则BC=h，在△ABC中,∠BAC=30∘,∠CBA=105∘,∠BCA=45∘，AB=600.根据正弦定理得=，解得h=(m)故选：A.10. 已知数列满足，且，则A. B.C. D.【答案】A【解析】∵数列是公比为2的等比数列，∴{}是以为公比的等比数列，又，，所以则.故选：A.11. 若平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，则这两平行直线间的距离的最小值为A. B.C. D.【答案】C【解析】作出平面区域如图所示：,∴当直线分别经过A，B时，平行线间的距离相等。
2020-2021学年四川省资阳市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知向量a ⃗ =(−3,2)，b ⃗ =(t,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则t =( )A. −32B. −23C. 23D. 322. 点(1,1)到直线x −y +4=0的距离是( )A. 8B. 4C. 2√2D. 4√23. 对于任意的实数k ，直线y =kx −k +1恒过定点P ，则点P 的坐标为( )A. (−1,−1)B. (−1,1)C. (1,−1)D. (1,1)4. 若a <b <0，则下列不等式中一定成立的是( )A. |a|<|b|B. 1a <1bC. a 4<b 4D. 1a−b <1a5. 已知直线l 1：kx +(k +1)y −2=0与l 2：2kx +4y −1=0平行，则k =( )A. 0或1B. 1或2C. 0D. 16. 已知向量a ⃗ =(−√3,1)，b⃗ =(2√3,2)，则向量b ⃗ 在向量a ⃗ 方向上的投影为( ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 27. 如图，在△ABC 中，D 为线段BC 上一点，CD =2DB ，E 为AD 的中点．若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 238. 道路通行能力表示道路的容量，指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标，通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定．某条道路一小时的通行能力N 满足N =1000V0.4V 2+V+d 0，其中d 0为安全距离，V 为车速(m/s).若安全距离d 0取40m ，则该道路一小时通行能力的最大值约为( )A. 98B. 111C. 145D. 1859. 在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ⃗⃗⃗ =(a 2+b 2−c 2,ab)，n ⃗ =(1,−1)，若m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则C =( ) A. 5π6B. 2π3C. π3D. π610. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4S 2=3，则S6S 4的值是( )A. 2B. 73C. 83D. 311. 已知圆O 内切△ABC 的三边AB ，BC ，AC 分别于D ，E ，F ，且OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +√7OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则角B =( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π612. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 12<S 15<S 13，令b n =a n a n+1a n+2，则数列{b n }的前n 项和T n 取最大值时n 的值为( )A. 12B. 13C. 14D. 15二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π3，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，则|2a ⃗ −b ⃗ |=______．14. 若实数x ，y 满足{x ≥−1y ≤22x −y ≤0，则2x +y 的最小值是______ ．15. 直线l 经过点P(1,2√3)，且分别与直线l 1：√3x −y +1=0和l 2：√3x −y −3=0相交于A ，B 两点，若|AB|=4，则直线l 的方程为______．16. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1>0，公差d ≠0，有以下结论：①若S 7=S 11，则必有S 18=0； ②若a 5=4，d >0，则1a 3+1a 7>12；③若S 6>S 7，则必有S 5>S 6； ④若S 8<S 9，则必有S 7<S 8． 其中所有正确结论的序号为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 解答下面两个小题：(1)直线l 经过点B(−2,−1)，倾斜角为直线y =12x 的倾斜角的2倍，求l 的方程； (2)直线l 经过点B(−2,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求l 的方程．18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=8，S9=11a4．(1)求a n；(2)设数列{1S n }的前n项和为T n，求证：T n<34．19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b+ca +cosCcosA=0．(1)求角A的大小；(2)若a=6，求△ABC面积的最大值．20.设n∈N∗，现给出以下三个条件：①2，a n，S n成等差数列；②a1=2，S n+1=2S n+2；③a1=2，a n>0，(a n+1−4)a n+2a n+1=2a n2．从以上三个条件中任选一个，补充在答题卡和本题下面相应的横线上，再作答(如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分)．已知数列{a n}的前n项和为S n，且_____．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=log2a na n，求数列{b n}的前n项和T n．21.如图，在平面五边形ABCDE中，AE=4√3，CE=4，CD=3，∠ABC=150°，∠AED=120°，sin∠CDE=23．(1)求AC的值；(2)求BC+√3AB的取值范围22.已知数列{a n}中，a1=1，且对任意m，n∈N∗，有a m+n=a m+a n．(1)求{a n}的通项公式；(2)已知p，k∈N∗，且满足a p+a p+1+⋯+a p+k=39，求p，k；(3)若(1+1a1)(1+1a3)⋯(1+1a2n+1)≥k√a2n+1(其中k>0)对任意n∈N∗恒成立，求k的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵向量a⃗=(−3,2)，b⃗ =(t,−1)，且a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−3t−2=0，求得t=−23，故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得t的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：点(1,1)到直线x−y+4=0的距离d=√2=2√2．故选：C．利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：若k∈R，直线y=kx−k+1，即k(x−1)−y+1=0，令x−1=0，−y+1=0，解得x=1，y=1，可得直线恒过定点P(1,1)，故选：D．直线的方程中先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得它经过的定点坐标．本题考查了直线系的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：当a=−2，b=−1时，则|a|>|b|，∴A错误，当a=−2，b=−1时，1a =−12，1b=−1，∴1a>1b，∴B错误，当a =−2，b =−1时，a 4=16，b 4=1，∴a 4>b 4，∴C 错误， ∵a <b <0，∴1a−b −1a =a−(a−b)(a−b)a=b (a−b)a<0，∴1a−b <1a，∴D 正确． 故选：D ．利用举实例判断ABC ，利用作差法判断D ． 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为直线l 1：kx +(k +1)y −2=0与l 2：2kx +4y −1=0平行， 所以{4k −2k(k +1)=0−(k +1)−4×(−2)=0，解得k =0或1．故选：A ．利用两条直线平行的充要条件，列出关于k 的方程，求解即可． 本题考查了两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：向量b ⃗ 在向量a⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ |=(−√3,1)⋅(2√3,2)2=−42=−2， 故选：A ．根据向量投影的定义即可求得答案．本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量坐标的运算性质，向量投影的定义等，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：∵CD =2DB ，E 为AD 的中点，∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=13，μ=16， ∴λ+μ=13+16=12． 故选：C ．由已知可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用平面向量的加法法则进而可以求解． 本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：当d 0=40时， N =1000V0.4V 2+V+40=10000.4V+40V+1⩽2√0.4V⋅40V+1=10009≈111，当且仅当0.4V =40V，即V =10时不等式成立，所以该道路一小时通行能力的最大值约为111． 故选：B ．利用基本不等式求出N 的最大值即可得到答案．本题是一道应用题，考查了基本不等式在最值中的应用，考查数学建模的核心素养，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：根据题意，向量m ⃗⃗⃗ =(a 2+b 2−c 2,ab)，n ⃗ =(1,−1)， 若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，必有a 2+b 2−c 2=−ab ， 则cosC =a 2+b 2−c 22ab=−12，而C 为三角形内角，故C =2π3；故选：B ．根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得a 2+b 2−c 2=−ab ，由余弦定理可得cos C 的值，结合C 的范围分析可得答案．本题考查余弦定理的应用，涉及向量平行的坐标表示，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由题意可得，公比q ≠1，根据S n =a 1(1−q n )1−q，故由S 4S 2=3 可得1−q 41−q 2=3，化简可得q 2=2． ∴S 6S 4=1−q 61−q 4=1−81−4=73，故选B ．由题意可得，公比q ≠1，根据S n =a 1(1−q n )1−q，由S 4S 2=3求得q 2的值，从而求得S6S 4=1−q 61−q 4的值．本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，注意判断q ≠1，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：设圆的半径为r ，∵圆O 内切△ABC 的三边AB ，BC ，AC 分别于D ，E ，F ， ∴|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =r|， 设∠DOE =θ，∵OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +√7OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(−√7OF ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，即5r 2+4r 2cosθ=7r 2， ∵0≤θ≤π， ∴θ=π3， 又∵∠BDO =∠BEO =π2， ∴∠B =2π3．故选：C ．设圆的半径为r ，圆O 内切△ABC 的三边AB ，BC ，AC 分别于D ，E ，F ，|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =r|，设∠DOE =θ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +√7OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(−√7OF ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，将值代入化简，即可求解．本题考查向量数量积的计算，需要学生熟练掌握夹角公式，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 12<S 15<S 13， ∴a 13+a 14+a 15=3a 14>0，且a 14+a 15<0，∴a 14>0，a 15<−a 14<0，即前14项为正数，从第15项开始为负数． ∵b n =a n a n+1a n+2，∴数列{b n }的前n 项和T n 取最大值时n =14， 故选：C ．由题意判断前14项为正数，从第15项开始为负数，从而得出结论． 本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题．13.【答案】√7【解析】解：因为|2a ⃗ −b ⃗ |²=4a ⃗ ²+b ⃗ ²−4a ⃗ ⋅b ⃗ =4|a ⃗ |²+|b ⃗ |²−2|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos 2π3=4+1−2×(−12)=7，所以|2a ⃗ −b ⃗ |=√7． 故答案为：√7．利用向量模的定义，结合平面向量数量积的运算性质即可求出结果． 本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及求向量的模，属于中档题．14.【答案】−4【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =−12x −y =0，得A(−1,−2)，令z =2x +y ，化为y =−2x +z ，由图可知，y =−2x +z 过点A(−1,−2)时， 直线在y 轴上的截距最小，z 取得最小值−4． 故答案为：−4．由约束条件作出可行域，令z =2x +y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】x=1或x−√3y+5=0【解析】解：因为直线l1：√3x−y+1=0和l2：√3x−y−3=0，则直线l1与直线l2之间的距离为d=√(√3)2+1=2，又|AB|=4，所以所求直线l与直线l1所夹的角为30°，因为直线l1与直线l2平行且斜率为√3，则直线l1与直线l2的倾斜角为60°，所以直线l的倾斜角为90°或30°，因为所求直线l经过点P(1,2√3)，则直线l的方程为x=1或x−√3y+5=0．故答案为：x=1或x−√3y+5=0．利用两条平行线间的距离公式求出d=2，然后由|AB|=4，可以得到直线l与直线l1所夹的角为30°，求出直线l1与直线l2的倾斜角，由此可得直线l的倾斜角，从而得到直线l的斜率，由点斜式求解即可．本题考查了直线与直线位置关系的应用，直线的倾斜角与斜率关系的运用，两条平行直线间距离公式的应用，点斜式直线方程的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．16.【答案】①【解析】解：①因为S7=S11，所以a8+a9+a10+a11=0，故2(a9+a10)=0，即a9+a10=0，所以S18=18(a1+a18)2=18(a9+a10)2=0，故①正确；②由a5=4，d>0可得：1a3+1a7=a3+a7a3a7=2a5a3a7=8a3a7=8(a5−2d)(a5+2d)=8a52−4d2=8 16−4d2=24−d2，当d2>4时，1a3+1a7<0，故②错误；③由S6>S7可得：S7−S6<0，当d>0时，S5+a6=S6，因为a7<0，d>0，所以a6<0，S5>S6；当d<0时，S5+a6=S6，此时a6无法判断正负，即S5不一定大于S6；故③错误；④由S8<S9可得：a9>0，当d≥0时，此时a8正负号无法判断，即S 8与S 7大小无法判定，故④错误．故答案为：①．由S 7=S 11可得：a 9+a 10=0，进而得出S 18即可判断①的正误；由a 5=4，d >0可得1a 3+1a 7的表达式，取出反例说明②的正误；分d >0和d <0两类讨论，判断③的正误；由前n 项和的定义可判断④的正误．本题考查等差数列及其前n 项和，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．17.【答案】解：(1)设直线y =12x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α， 因为tanα=12，所以tan2α=2tanα1−tan 2α=43，又直线经过点A(−2,−1)，故所求直线方程为y +1=43(x +2)，即4x −3y +5=0；(2)由题可知，所求直线的斜率为±1，又过点B(−2,4)，由点斜式得y −4=x +2或y −4=−(x +2)，故所求直线的方程为x −y +6=0或x +y −2=0．【解析】(1)设直线y =12x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α，利用正切的二倍角公式求出所求直线的斜率，由点斜式求解直线方程即可；(2)由题意，求出所求直线的斜率，然后利用点斜式方程求解即可．本题考查了直线方程的求解，主要考查了斜率与倾斜角关系的应用，点斜式方程的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)设公差为d ，由S 2=8，S 9=11a 4，得{2a 1+d =89a 1+36d =11a 1+33d， 解得a 1=3，d =2．∴a n =3+2(n −1)=2n +1；证明：(2)由(1)，a n =2n +1，则有S n =n 2(3+2n +1)=n 2+2n ．则1S n =1n(n+2)=12(1n −1n+2)．∴T n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+...+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)<34．【解析】(1)设等差数列的公差为d，由已知可得关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则通项公式可求；(2)由(1)求出S n，再由裂项相消法求数列{1S n }的前n项和为T n，即可证得T n<34．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，训练了裂项相消法求数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题得(2b+c)cosA+acosC=0，根据正弦定理，有(2sinB+ sinC)cosA+sinAcosC=0．所以2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=0，所以2sinBcosA+sin(C+A)=0，即2sinBcosA+sinB=0．因为0<B<π，所以sinB≠0，则cosA=−12，又0<A<π，所以A=2π3．(2)由(1)知A=2π3，又a=6，根据余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，有36=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc，所以bc≤12，当且仅当b=c=2√3取“=”．则△ABC的面积S=12bcsin2π3=√34bc≤3√3．所以，△ABC的面积的最大值为3√3．【解析】(1)由题意利用正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinB≠0，可求cosA=−12，结合范围0<A<π，可求A的值．(2)由(1)及已知利用余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)若选择①：由2，a n，S n成等差数列，得S n+2=2a n，当n=1时，由a1+2=2a1，得a1=2．当n≥2时，由S n+2=2a n，S n−1+2=2a n−1，两式相减得a n=2a n−2a n−1，所以a n=2a n−1，所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n．若选择②，由S n+1=2S n+2，S n=2S n−1+2(n≥2)，两式相减得a n+1=2a n，又因为a1=2，a2=4，所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n．若选择③：由(a n+1−4)a n+2a n+1=2a n2，得a n+1(a n+2)=2a n(a n+2)．因为a n>0，a n+2≠0，则有a n+1a n=2．所以{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n．(2)由(1)知a n=2n，所以b n=log2a na n =n2n．所以T n=12+222+323+424+⋯+n2n，①则12T n=122+223+324+425+⋯+n−12n+n2n+1，②由①②等式两边相减，得12T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−12n−n2n+1，所以T n=2−2+n2n．【解析】(1)选择条件①、②、③，均可得到数列数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则通项公式可求；(2)把(1)中求得的通项公式代入b n=log2a na n，整理后利用错位相减法求数列{b n}的前n 项和T n．本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，训练了利用错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．21.【答案】解：(1)在△CDE中，由正弦定理得CEsin∠CDE =CDsin∠CED，所以sin∠CED=CDsin∠CDECE =3×234=12，因为CD<CE，所以∠CED为锐角，所以∠CED=30°．所以∠AEC=∠AED−∠CED=120°−30°=90°，所以AC=√AE2+CE2=√(4√3)2+42=8．(2)由(1)知AC=8，又∠ABC=150°，则∠BAC+∠BCA=30°，则∠BCA=30°−∠BAC(0<∠BAC<30°)由正弦定理得8sin150∘=BCsin∠BAC=ABsin(30∘−∠BAC)，则有BC=16sin∠BAC，AB=16sin(30°−∠BAC)．所以BC+√3AB=16sin∠BAC+16√3sin(30°−∠BAC) =16sin∠BAC+8√3cos∠BAC−24sin∠BAC=8√3cos∠BAC−8sin∠BAC=16(√32cos∠BAC−12sin∠BAC)=16cos(∠BAC+30°)．因为0<∠BAC<30°，所以12<(cos∠BAC+30°)<√32，所以BC+√3AB的取值范围为(8,8√3)．【解析】(1)在△CDE中，利用正弦定理可求得sin∠CED，从而可求得∠CED，进而可得∠AEC=90°，利用勾股定理即可求解AC的值；(2)利用正弦定理可得BC=16sin∠BAC，AB=16sin(30°−∠BAC).由三角恒等变换可得BC+√3AB=16cos(∠BAC+30°)，由余弦函数的性质可求得BC+√3AB的取值范围．本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22.【答案】(1)由已知，令m=1，则a n+1=a n+a1，即a n+1=a n+1，则数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n=n；(2)由(1)，得a p+a p+1+⋯+a p+k=p+(p+1)+⋯+(p+k)=(2p+k)(k+1)2=39，则(2p+k)(k+1)=3×13×2=6×13=3×26=2×39=1×78．由p，k∈N∗知，2p+k>k+1≥2，则{k +1=62p +k =13或{k +1=32p +k =26或{k +1=22p +k =39， 解得p =4，k =5；或p =12，k =2；或p =19，k =1；(3)不等式(1+1a 1)(1+1a 3)⋯(1+1a 2n−1)≥k √a 2n+1对任意n ∈N ∗恒成立，即为(1+1)(1+13)⋅⋅⋅(1+12n−1)≥k √2n +1恒成立， 即不等式(1+1)(1+13)⋅⋅⋅(1+12n−1)√2n+1≥k 恒成立． 令b n =(1+1)(1+13)⋯(1+12n−1)√2n+1， 则b n+1b n =(1+1)(1+13)⋯(1+12n−1)(1+12n+1)√2n+3(1+1)(1+13)⋯(1+12n−1)√2n+1=√(2n+1)(2n+3)=√(2n+2)2√(2n+1)(2n+3)=√4n 2+8n+4√4n 2+8n+3>1，于是b n+1>b n ， ∴{b n }单调递增，则b n 中，b 1=2√33为最小，故k ≤2√33． ∴k 的最大值为2√33． 【解析】(1)在已知数列递推式中令m =1，可得a n+1=a n +1，可得数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，则通项公式可求；(2)由(1)结合等差数列的求和公式可得(2p +k)(k +1)=3×13×2=6×13=3×26=2×39=1×78.得到关于p 、k 的不等式组，求解可得p ，k 的值；(3)不等式(1+1a 1)(1+1a 3)⋯(1+1a 2n−1)≥k √a 2n+1对任意n ∈N ∗恒成立，转化为(1+1)(1+13)⋅⋅⋅(1+12n−1)√2n+1≥k 恒成立．令b n =(1+1)(1+13)⋯(1+12n−1)√2n+1，利用作商法判断单调性，即可求得b n 的最小值，则k 的最大值可求．本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，训练了等差数列前n 项和的求法，考查运算求解能力与推理论证能力，是中档题．。
四川省资阳市高一下册第二学期期末考试数学试题-含答案【精编】.doc
资阳市高中一年级第二学期期末质量检测数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．ππ2sin cos 1212的值是 A ．1B ．12C ．14D ．182. 已知等差数列{}n a 中，26121a a ==，，则4a = A ．22B ．16C ．11D ．53．直线31y x =-+的倾斜角为 A ．π6B ．π3 C ．2π3D ．5π64. 已知直线260mx y ++=与直线(3)70m x y --+=平行，则m 的值为 A ．1B ．3C ．1-或3D ．1-或15. 已知平面向量a (11)=-，，b (64)=-，，若a ⊥()t +a b ，则实数t 的值为 A ．10B ．5C ．10-D ．5-6．已知22cos sin 2sin()(00π)x x A x b A ωϕϕ+=++><<，，则A b ϕ，，的值分别为 A ．π214A b ϕ===，，B ．π226A b ϕ===，，C ．π216A b ϕ===，，D ．π214A b ϕ===，，7. 若实数a b ，满足14ab a b+ab 的最小值为 A ．8B ．4C ．2D 28. 已知圆C 的圆心在x 轴上，点(05)M ，在圆C 上，圆心到直线20x y -=的距离为45，则圆C 的方程为A ．22(2)3x y -+=B ．22(2)9x y ++=C ．22(2)3x y ±+=D ．22(2)9x y ±+=9. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处测得公路北侧一山顶D 在西偏北30︒（即30BAC ∠=︒）的方向上；行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75︒（即75CBE ∠=︒）的方向上，且仰角为30︒．则此山的高度CD ＝ A ．1006mB ．1003mC ．3006mD ．1503m10．已知数列{}n a 满足12n n a a +=，且3123a a -=，则22212111na a a +++=L A ．114n -B ．1(41)4n -C ．31(1)22n -D ．11(1)164n - 11. 若平面区域30230230x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，，≥≤≥夹在两条斜率为23的平行直线之间，则这两平行直线间的距离的最小值为 A ．2 B ．213C ．513D ．51312．已知点A B C ，，在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为8(2)3，，则||PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的取值范围为A ．[810]，B ．[911]，C ．[811]，D ．[912]，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年资阳市高一数学下期末第一次模拟试题附答案
2020年资阳市高一数学下期末第一次模拟试题附答案一、选择题1．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元2．在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==u u u v u u u v u u v ，则·AE AO u u u v u u u v 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2 D ．323．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．1164．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+5．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=L （ ）A ．50B ．2C ．0D ．50-8．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．349．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或1111．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y 2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.14．设a ＞0，b ＞03a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__．15．函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 16．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 17．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.18．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____． 19．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 20．已知()()2,3,4,3A B -，点P 在直线AB 上，且32AP PB =u u u v u u u v，则点P 的坐标为________三、解答题21．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．22．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC V 外接圆的半径，22243a cb S +-=，其中S 为ABC V 的面积． （1）求sin C ；（2）若23a b -=-，求ABC V 的周长．23．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；24．已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .25．ABC ∆是边长为3的等边三角形，2BE BA λ=u u u r u u u r ,1(1)2BF BC λλ=<<u u ur u u u r ,过点F 作DF BC ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．（1）当23λ=时，设,BA a BC b ==u u u r r u u u r r ，用向量,a b r r 表示EF u u u r ； （2）当λ为何值时，AE FC ⋅u u u r u u u r取得最大值，并求出最大值．26．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =时，求直线的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．2．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+u u u v u u u v u u u v，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v ；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅u u u v u u u v 和AC AO ⋅u u u v u u u v 化为212AB u u uv 和212AC u u u v ，代入可求得结果.【详解】E Q 为BC 中点()12AE AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v ()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v222OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v Q AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，同理可得：212AC AO AC ⋅=u u u v u u u v u u u v22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+=u u u v u u u v u u u v u u u v本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.3．A解析：A 【解析】 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．5．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．B解析：B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 7．C解析：C 【解析】 【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦L 50500=⨯=故选C本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．8．D解析：D 【解析】∵()sin cos (0)4f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭∴令22,242k x k k Z ππππωπ-+≤-≤+∈，即232,44k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 ∴42ππω-≤-且342ππω≥ ∴102ω<≤故选D. 9．C 解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10．A解析：A试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A考点：直线与圆的位置关系．11．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .12．B解析：B 【解析】 【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求AC +的值． 【详解】在ABC ∆中，5a =Q ，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，b c <Q ，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．二、填空题13．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位 解析：{}8,825,825-+【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可 【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即2182d d =-,所以2d =, 所以228221a d -==+,解得825a =±,当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =, 故答案为：{}8,825,825-+ 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想14．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：【解析】由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．15．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答解析：5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：因为,所以只要求函数的减区间即可.解可得,即,所以,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用．【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解. 16．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】 试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．17．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为 解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭.18．2x﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB最小则分析可得圆心C到直线l 的距离最大此时直线l与直线垂直即可算出的斜率求得直线l的方程【详解】由题得当∠ACB最小时直线l与直线垂直此时又故又直线l过点解析：2x﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB最小则分析可得圆心C到直线l的距离最大,此时直线l与直线CM垂直,即可算出CM的斜率求得直线l的方程.【详解】由题得,当∠ACB最小时,直线l与直线CM垂直,此时102 112CMk-==-- ,又1CM lk k⋅=-,故12lk=,又直线l过点1(,1)2M,所以11:1()22l y x-=-,即2430x y-+= .故答案为：2430x y-+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.19．【解析】故答案为解析：75【解析】1tan tan17446tan tan144511tan tan644ππαππααππα⎛⎫-++⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+===⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦---⎪⎝⎭故答案为75.20．【解析】【分析】设点得出向量代入坐标运算即得的坐标得到关于的方程从而可得结果【详解】设点因为点在直线且或即或解得或;即点的坐标是【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题意 解析：(8,-15)， 163,55⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】 设点(),P x y ,得出向量33,22AP BP AP BP ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ,代入坐标运算即得P 的坐标，得到关于,x y 的方程，从而可得结果.【详解】设点(),P x y ,因为点P 在直线,且3||||2AP PB =u u u r u u u r , 33,22AP BP AP BP ∴==-u u u r u u u r u u u r u u u r , 3(2,3)(4,3)2x y x y ∴--=-+或, 3(2,3)(4,3)2x y x y ∴--=--+， 即243122639x x y y -=-⎧⎨-=+⎩或243122639x x y y -=-+⎧⎨-=--⎩, 解得815x y =⎧⎨=-⎩或16535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩; 即点P 的坐标是(8,-15)，163,55⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题. 三、解答题21．（1）a n ＝－2n ＋5.（2）4【解析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，，解出a 1＝3，d ＝－2．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4．22．（12）2+ 【解析】【分析】（1）由正弦可得R 2sin a A=，进而可得sin21A =，从而得A ，结合余弦定理可得B ，再由()sin sin C A B =+即可得解；（2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，从而可得a b ，，结合sin C 由正弦定理可得c ，从而得解.【详解】（1）由正弦定理得cos 2sin a a A A=，sin21A ∴=，又022A π<<， 22A π∴=，则4A π=.由2221csin 2a c b a B +-=⋅，由余弦定理可得2cos sin ac B B =，tan B ∴=0B π<<，=3B π∴，()sin sin sin 434C A B ππ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭. （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，又a b -=a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩又sin C =2c ∴==a b c ∴++=+. 【点睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.23．（1）0.9（2）0.085,0.125a b ==【解析】试题分析：（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由频率/组距求出a 、b 的值试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9 （2）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距， 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距 考点：频率分布直方图 24．（1）2n n a =（*n N ∈）；（2）()16232n n T n +=+-．【解析】【分析】（1）根据等比数列通项的性质求出34,a a 的表达式，利用等差中项列方程求得公比，然后求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列{}n n a b 的前n 项和n T【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为，因为24a =，所以34a q =，244a q =．因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．即()224244q q +=+，化简得220q q -=． 因为公比0q ≠，所以2q =．所以222422n n n n a a q--==⨯=（*n N ∈）． （2）因为2n n a =，所以22log 121n n b a n =-=-．()212n n n a b n =-．则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-.②①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--()()()11141222212623212n n n n n -++-=+⨯--=----，所以()16232n n T n +=+-．【点睛】 本小题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，考查等差中项的性质，考查错位相减求和法求数列的前n 项和，属于中档题.25．（1）4233a b -+r r ；（2）916 【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）由题意可知：23BF b =u u u r r ，且2323BF =⨯=u u u r ， 4BE =u u u r ，故4433BE BA a ==u u u r u u u r r ， 4233EF BF BE a b =-=-+u u u r u u u r u u u r r r （Ⅱ）由题意，3,33BF FC λλ==-u u u r u u u r ，6,63BE AE λλ==-u u u r u u u r ，2279(63)(33)cos60922AE FC λλλλ⋅=--︒=-+-u u u r u u u r 当2732924λ=-=-⨯1(,1)2∈时， AE FC ⋅u u u r u u u r 有最大值916． 、26．（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【解析】【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程.【详解】（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2， 当直线l 与圆C2=，解得34a =-； （2）由题意知，圆心C 到直线l的距离为d ==由点到直线的距离公式可得d ==2870a a ++=，解得1a =-或7-. 因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.。
2020-2021学年四川省资阳市高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知向量a ⃗ =(−3,2)，b ⃗ =(t,−1)，且a ⃗ ⊥b⃗ ，则t =( ) A. −32B. −23C. 23D. 322. 点(1,1)到直线x −y +4=0的距离是( )A. 8B. 4C. 2√2D. 4√23. 对于任意的实数k ，直线y =kx −k +1恒过定点P ，则点P 的坐标为( )A. (−1,−1)B. (−1,1)C. (1,−1)D. (1,1)4. 若a <b <0，则下列不等式中一定成立的是( )A. |a|<|b|B. 1a <1bC. a 4<b 4D. 1a−b <1a5. 已知直线l 1：kx +(k +1)y −2=0与l 2：2kx +4y −1=0平行，则k =( )A. 0或1B. 1或2C. 0D. 16. 已知向量a ⃗ =(−√3,1)，b ⃗ =(2√3,2)，则向量b ⃗ 在向量a⃗ 方向上的投影为( ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 27. 如图，在△ABC 中，D 为线段BC 上一点，CD =2DB ，E 为AD 的中点．若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 238. 道路通行能力表示道路的容量，指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标，通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定．某条道路一小时的通行能力N 满足N =1000V0.4V 2+V+d 0，其中d 0为安全距离，V 为车速(m/s).若安全距离d 0取40m ，则该道路一小时通行能力的最大值约为( )A. 98B. 111C. 145D. 1859. 在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ⃗⃗⃗ =(a 2+b 2−c 2,ab)，n⃗ =(1,−1)，若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则C =( )5π2πππ10. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4S 2=3，则S6S 4的值是( )A. 2B. 73C. 83D. 311. 已知圆O 内切△ABC 的三边AB ，BC ，AC 分别于D ，E ，F ，且OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +√7OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则角B =( ) A. π6B. π3C. 2π3D. 5π612. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 12<S 15<S 13，令b n =a n a n+1a n+2，则数列{b n }的前n项和T n 取最大值时n 的值为( )A. 12B. 13C. 14D. 15二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π3，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，则|2a ⃗ −b ⃗ |=______． 14. 若实数x ，y 满足{x ≥−1y ≤22x −y ≤0，则2x +y 的最小值是______ ．15. 直线l 经过点P(1,2√3)，且分别与直线l 1：√3x −y +1=0和l 2：√3x −y −3=0相交于A ，B 两点，若|AB|=4，则直线l 的方程为______．16. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1>0，公差d ≠0，有以下结论：①若S 7=S 11，则必有S 18=0； ②若a 5=4，d >0，则1a 3+1a 7>12；③若S 6>S 7，则必有S 5>S 6； ④若S 8<S 9，则必有S 7<S 8． 其中所有正确结论的序号为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 解答下面两个小题：(1)直线l 经过点B(−2,−1)，倾斜角为直线y =12x 的倾斜角的2倍，求l 的方程； (2)直线l 经过点B(−2,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求l 的方程．18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=8，S9=11a4．(1)求a n；(2)设数列{1S n }的前n项和为T n，求证：T n<34．19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b+ca +cosCcosA=0．(1)求角A的大小；(2)若a=6，求△ABC面积的最大值．20.设n∈N∗，现给出以下三个条件：①2，a n，S n成等差数列；②a1=2，S n+1=2S n+2；③a1=2，a n>0，(a n+1−4)a n+2a n+1=2a n2．从以上三个条件中任选一个，补充在答题卡和本题下面相应的横线上，再作答(如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分)．已知数列{a n}的前n项和为S n，且_____．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=log2a na n，求数列{b n}的前n项和T n．21.如图，在平面五边形ABCDE中，AE=4√3，CE=4，CD=3，∠ABC=150°，∠AED=120°，sin∠CDE=23．(1)求AC的值；(2)求BC+√3AB的取值范围22.已知数列{a n}中，a1=1，且对任意m，n∈N∗，有a m+n=a m+a n．(1)求{a n}的通项公式；(2)已知p，k∈N∗，且满足a p+a p+1+⋯+a p+k=39，求p，k；(3)若(1+1a1)(1+1a3)⋯(1+1a2n+1)≥k√a2n+1(其中k>0)对任意n∈N∗恒成立，求k的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵向量a⃗=(−3,2)，b⃗ =(t,−1)，且a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−3t−2=0，求得t=−2，3故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得t的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．2.【答案】C=2√2．【解析】解：点(1,1)到直线x−y+4=0的距离d=√2故选：C．利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：若k∈R，直线y=kx−k+1，即k(x−1)−y+1=0，令x−1=0，−y+1=0，解得x=1，y=1，可得直线恒过定点P(1,1)，故选：D．直线的方程中先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得它经过的定点坐标．本题考查了直线系的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：当a=−2，b=−1时，则|a|>|b|，∴A错误，当a =−2，b =−1时，a 4=16，b 4=1，∴a 4>b 4，∴C 错误， ∵a <b <0，∴1a−b −1a =a−(a−b)(a−b)a=b(a−b)a <0，∴1a−b <1a，∴D 正确． 故选：D ．利用举实例判断ABC ，利用作差法判断D ． 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为直线l 1：kx +(k +1)y −2=0与l 2：2kx +4y −1=0平行， 所以{4k −2k(k +1)=0−(k +1)−4×(−2)=0，解得k =0或1．故选：A ．利用两条直线平行的充要条件，列出关于k 的方程，求解即可． 本题考查了两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：向量b ⃗ 在向量a ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ |=(−√3,1)⋅(2√3,2)2=−42=−2， 故选：A ．根据向量投影的定义即可求得答案．本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量坐标的运算性质，向量投影的定义等，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：∵CD =2DB ，E 为AD 的中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=13，μ=16， ∴λ+μ=13+16=12．由已知可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用平面向量的加法法则进而可以求解． 本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：当d 0=40时， N =1000V 0.4V 2+V+40=10000.4V+40V+1⩽2√0.4V⋅V+1=10009≈111，当且仅当0.4V =40V，即V =10时不等式成立，所以该道路一小时通行能力的最大值约为111． 故选：B ．利用基本不等式求出N 的最大值即可得到答案．本题是一道应用题，考查了基本不等式在最值中的应用，考查数学建模的核心素养，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：根据题意，向量m ⃗⃗⃗ =(a 2+b 2−c 2,ab)，n ⃗ =(1,−1)， 若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，必有a 2+b 2−c 2=−ab ， 则cosC =a 2+b 2−c 22ab=−12，而C 为三角形内角，故C =2π3；故选：B ．根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得a 2+b 2−c 2=−ab ，由余弦定理可得cos C 的值，结合C 的范围分析可得答案．本题考查余弦定理的应用，涉及向量平行的坐标表示，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由题意可得，公比q ≠1，根据S n =a 1(1−q n )1−q，故由S 4S 2=3 可得1−q 41−q 2=3，化简可得q 2=2．∴S6S 4=1−q 61−q 4=1−81−4=73，由题意可得，公比q ≠1，根据S n =a 1(1−q n )1−q，由S 4S 2=3求得q 2的值，从而求得S6S 4=1−q 61−q 4的值．本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，注意判断q ≠1，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：设圆的半径为r ，∵圆O 内切△ABC 的三边AB ，BC ，AC 分别于D ，E ，F ， ∴|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =r|， 设∠DOE =θ，∵OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +√7OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(−√7OF ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，即5r 2+4r 2cosθ=7r 2， ∵0≤θ≤π， ∴θ=π3，又∵∠BDO =∠BEO =π2， ∴∠B =2π3．故选：C ．设圆的半径为r ，圆O 内切△ABC 的三边AB ，BC ，AC 分别于D ，E ，F ，|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =r|， 设∠DOE =θ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +√7OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(−√7OF ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，将值代入化简，即可求解． 本题考查向量数量积的计算，需要学生熟练掌握夹角公式，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 12<S 15<S 13， ∴a 13+a 14+a 15=3a 14>0，且a 14+a 15<0，∴a 14>0，a 15<−a 14<0，即前14项为正数，从第15项开始为负数． ∵b n =a n a n+1a n+2，∴数列{b n }的前n 项和T n 取最大值时n =14， 故选：C ．由题意判断前14项为正数，从第15项开始为负数，从而得出结论． 本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题．13.【答案】√7【解析】解：因为|2a ⃗ −b ⃗ |²=4a ⃗ ²+b ⃗ ²−4a ⃗ ⋅b ⃗ =4|a ⃗ |²+|b ⃗ |²−2|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos 2π3=4+1−2×(−12)=7，所以|2a ⃗ −b ⃗ |=√7． 故答案为：√7．利用向量模的定义，结合平面向量数量积的运算性质即可求出结果． 本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及求向量的模，属于中档题．14.【答案】−4【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =−12x −y =0，得A(−1,−2)，令z =2x +y ，化为y =−2x +z ，由图可知，y =−2x +z 过点A(−1,−2)时， 直线在y 轴上的截距最小，z 取得最小值−4． 故答案为：−4．由约束条件作出可行域，令z =2x +y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】x =1或x −√3y +5=0【解析】解：因为直线l1：√3x−y+1=0和l2：√3x−y−3=0，则直线l1与直线l2之间的距离为d=√(√3)2+1=2，又|AB|=4，所以所求直线l与直线l1所夹的角为30°，因为直线l1与直线l2平行且斜率为√3，则直线l1与直线l2的倾斜角为60°，所以直线l的倾斜角为90°或30°，因为所求直线l经过点P(1,2√3)，则直线l的方程为x=1或x−√3y+5=0．故答案为：x=1或x−√3y+5=0．利用两条平行线间的距离公式求出d=2，然后由|AB|=4，可以得到直线l与直线l1所夹的角为30°，求出直线l1与直线l2的倾斜角，由此可得直线l的倾斜角，从而得到直线l的斜率，由点斜式求解即可．本题考查了直线与直线位置关系的应用，直线的倾斜角与斜率关系的运用，两条平行直线间距离公式的应用，点斜式直线方程的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．16.【答案】①【解析】解：①因为S7=S11，所以a8+a9+a10+a11=0，故2(a9+a10)=0，即a9+a10=0，所以S18=18(a1+a18)2=18(a9+a10)2=0，故①正确；②由a5=4，d>0可得：1a3+1a7=a3+a7a3a7=2a5a3a7=8a3a7=8(a5−2d)(a5+2d)=8a52−4d2=816−4d2=24−d2，当d2>4时，1a3+1a7<0，故②错误；③由S6>S7可得：S7−S6<0，当d>0时，S5+a6=S6，因为a7<0，d>0，所以a6<0，S5>S6；当d<0时，S5+a6=S6，此时a6无法判断正负，即S5不一定大于S6；故③错误；④由S8<S9可得：a9>0，当d≥0时，此时a8正负号无法判断，即S8与S7大小无法判定，故④错误．故答案为：①．由S7=S11可得：a9+a10=0，进而得出S18即可判断①的正误；由a5=4，d>0可得1a3+1a7的表达式，取出反例说明②的正误；分d>0和d<0两类讨论，判断③的正误；由前n项和的定义可判断④的正误．本题考查等差数列及其前n 项和，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．17.【答案】解：(1)设直线y =12x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α，因为tanα=12，所以tan2α=2tanα1−tan 2α=43，又直线经过点A(−2,−1)，故所求直线方程为y +1=43(x +2)，即4x −3y +5=0；(2)由题可知，所求直线的斜率为±1，又过点B(−2,4)，由点斜式得y −4=x +2或y −4=−(x +2)，故所求直线的方程为x −y +6=0或x +y −2=0．【解析】(1)设直线y =12x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α，利用正切的二倍角公式求出所求直线的斜率，由点斜式求解直线方程即可；(2)由题意，求出所求直线的斜率，然后利用点斜式方程求解即可．本题考查了直线方程的求解，主要考查了斜率与倾斜角关系的应用，点斜式方程的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)设公差为d ，由S 2=8，S 9=11a 4，得{2a 1+d =89a 1+36d =11a 1+33d， 解得a 1=3，d =2．∴a n =3+2(n −1)=2n +1；证明：(2)由(1)，a n =2n +1，则有S n =n 2(3+2n +1)=n 2+2n ．则1S n =1n(n+2)=12(1n −1n+2)． ∴T n =12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+...+(1n−1−1n+1)+(1n −1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)<34．【解析】(1)设等差数列的公差为d，由已知可得关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则通项公式可求；(2)由(1)求出S n，再由裂项相消法求数列{1S n }的前n项和为T n，即可证得T n<34．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，训练了裂项相消法求数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题得(2b+c)cosA+acosC=0，根据正弦定理，有(2sinB+sinC)cosA+sinAcosC=0．所以2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=0，所以2sinBcosA+sin(C+A)=0，即2sinBcosA+sinB=0．因为0<B<π，所以sinB≠0，则cosA=−12，又0<A<π，所以A=2π3．(2)由(1)知A=2π3，又a=6，根据余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，有36=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc，所以bc≤12，当且仅当b=c=2√3取“=”．则△ABC的面积S=12bcsin2π3=√34bc≤3√3．所以，△ABC的面积的最大值为3√3．【解析】(1)由题意利用正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinB≠0，可求cosA=−12，结合范围0<A<π，可求A的值．(2)由(1)及已知利用余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)若选择①：由2，a n，S n成等差数列，得S n+2=2a n，当n=1时，由a1+2=2a1，得a1=2．当n≥2时，由S n+2=2a n，S n−1+2=2a n−1，两式相减得a n=2a n−2a n−1，所以a n=2a n−1，所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n．若选择②，由S n+1=2S n+2，S n=2S n−1+2(n≥2)，两式相减得a n+1=2a n，又因为a1=2，a2=4，所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n．若选择③：由(a n+1−4)a n+2a n+1=2a n2，得a n+1(a n+2)=2a n(a n+2)．因为a n>0，a n+2≠0，则有a n+1a n=2．所以{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n．(2)由(1)知a n=2n，所以b n=log2a na n =n2n．所以T n=12+222+323+424+⋯+n2n，①则12T n=122+223+324+425+⋯+n−12n+n2n+1，②由①②等式两边相减，得12T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−12n−n2n+1，所以T n=2−2+n2n．【解析】(1)选择条件①、②、③，均可得到数列数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则通项公式可求；(2)把(1)中求得的通项公式代入b n=log2a na n，整理后利用错位相减法求数列{b n}的前n项和T n．本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题．21.【答案】解：(1)在△CDE中，由正弦定理得CEsin∠CDE =CDsin∠CED，所以sin∠CED=CDsin∠CDECE =3×234=12，因为CD<CE，所以∠CED为锐角，所以∠CED=30°．所以∠AEC=∠AED−∠CED=120°−30°=90°，所以AC=√AE2+CE2=√(4√3)2+42=8．(2)由(1)知AC=8，又∠ABC=150°，则∠BAC+∠BCA=30°，则∠BCA=30°−∠BAC(0<∠BAC<30°)由正弦定理得8sin150=BC sin∠BAC =ABsin(30−∠BAC)，则有BC =16sin∠BAC ，AB =16sin(30°−∠BAC)．所以BC +√3AB =16sin∠BAC +16√3sin(30°−∠BAC)=16sin∠BAC +8√3cos∠BAC −24sin∠BAC=8√3cos∠BAC −8sin∠BAC=16(√32cos∠BAC −12sin∠BAC)=16cos(∠BAC +30°)．因为0<∠BAC <30°，所以12<(cos∠BAC +30°)<√32， 所以BC +√3AB 的取值范围为(8,8√3)．【解析】(1)在△CDE 中，利用正弦定理可求得sin∠CED ，从而可求得∠CED ，进而可得∠AEC =90°，利用勾股定理即可求解AC 的值；(2)利用正弦定理可得BC =16sin∠BAC ，AB =16sin(30°−∠BAC).由三角恒等变换可得BC +√3AB =16cos(∠BAC +30°)，由余弦函数的性质可求得BC +√3AB 的取值范围．本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22.【答案】(1)由已知，令m =1，则a n+1=a n +a 1，即a n+1=a n +1，则数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n =n ；(2)由(1)，得a p +a p+1+⋯+a p+k =p +(p +1)+⋯+(p +k)=(2p+k)(k+1)2=39，则(2p +k)(k +1)=3×13×2=6×13=3×26=2×39=1×78．由p ，k ∈N ∗知，2p +k >k +1≥2，则{k +1=62p +k =13或{k +1=32p +k =26或{k +1=22p +k =39， 解得p =4，k =5；或p =12，k =2；或p =19，k =1；(3)不等式(1+1a 1)(1+1a 3)⋯(1+1a 2n−1)≥k √a 2n+1对任意n ∈N ∗恒成立，即为(1+1)(1+13)⋅⋅⋅(1+12n−1)≥k √2n +1恒成立， 即不等式(1+1)(1+13)⋅⋅⋅(1+12n−1)√2n+1≥k 恒成立． 令b n =(1+1)(1+13)⋯(1+12n−1)2n+1，则b n+1b n =(1+1)(1+13)⋯(1+12n−1)(1+12n+1)√2n+3(1+1)(1+13)⋯(1+12n−1)√2n+1==√(2n+2)2(2n+1)(2n+3)=√4n2+8n+4√4n2+8n+3>1，于是b n+1>b n，∴{b n}单调递增，则b n中，b1=2√33为最小，故k≤2√33．∴k的最大值为2√33．【解析】(1)在已知数列递推式中令m=1，可得a n+1=a n+1，可得数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，则通项公式可求；(2)由(1)结合等差数列的求和公式可得(2p+k)(k+1)=3×13×2=6×13=3×26=2×39=1×78.得到关于p、k的不等式组，求解可得p，k的值；(3)不等式(1+1a1)(1+1a3)⋯(1+1a2n−1)≥k√a2n+1对任意n∈N∗恒成立，转化为(1+1)(1+13)⋅⋅⋅(1+12n−1)√2n+1≥k恒成立．令b n=(1+1)(1+13)⋯(1+12n−1)√2n+1，利用作商法判断单调性，即可求得b n的最小值，则k的最大值可求．本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，训练了等差数列前n项和的求法，考查运算求解能力与推理论证能力，是中档题．。
四川省资阳市龙台中学2020年高一数学理期末试卷含解析
四川省资阳市龙台中学2020年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （3分）已知角α的终边经过点P（﹣4，﹣3），则sinα的值为（）A．B．C．D．参考答案：A考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，求解即可．解答：角α的终边经过点P（﹣4，﹣3），x=﹣4，y=﹣3．r=5，则sinα==．故选：A．点评：本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．2. 已知圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，a，b为正实数，则ab 的最大值为（）A．2B．C．D．参考答案：B【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab的最大值．【解答】解：由已知，圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1的圆心为C1（﹣a，2），半径r1=1．圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4的圆心为C2（b，2），半径r2=2．∵圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，∴|C1C2|=r1+r2．即a+b=3．由基本不等式，得ab≤=．故选：B．3. 已知，不等式对一切实数都成立}，那么下列关系中成立的是（）A．B．C． D．参考答案：A4. 在下列四个正方体中，能得出异面直线AB⊥CD的是( )参考答案：A5. 如果是定义在R上的偶函数，它在上是减函数，那么下述式子中正确的是A． B．C． D．以上关系均不确定参考答案：B6. 如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．则下列命题中假命题是（）（A）存在点，使得//平面（B）存在点，使得平面（C）对于任意的点，平面平面（D）对于任意的点，四棱锥的体积均不变参考答案：B7. （3）已知x,y满足约束条件则的最大值是A． B． C．2 D．4参考答案：B略8. 设=, =, =，则下列关系正确的是（）A ＞＞B ＞＞C ＞＞D ＞＞参考答案：A 9. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油参考答案：D【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．10. 要得到函数的图象，只需要将的图象（）.（A）向右平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向左平移个单位参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=．参考答案：【考点】HL ：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f （x ）=sin （ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T=2×（﹣）=2π．所以ω=1，所以f（x）=sin（x+φ），故+φ=+kπ，k∈Z，所以φ=+kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜π，所以φ=，故答案为：12. 已知幂函数的图象关于原点对称且与轴、轴均无交点，则整数的值为．参考答案：-1 13. 设函数f（x）=，则f（f（3））= ．参考答案：【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的定义域先求出f（3），再求出f（f（3）），注意定义域；【解答】解：∵函数，3＞1∴f（3）=，∴f（）=（）2+1=+1=，故答案为；14. 已知△ABC中，∠A=60°，，则= ．参考答案：2试题分析：由正弦定理得==考点：本题考查了正弦定理的运用点评：熟练运用正弦定理及变形是解决此类问题的关键，属基础题15. 若关于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，则实数a的取值范围是．参考答案：{a|a≤﹣6，或a≥2}【考点】3W：二次函数的性质．【分析】不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，即b2﹣4ac≥0即可，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3，∴x2﹣ax﹣a+3≤0；∴a2﹣4（﹣a+3）≥0，即a2+4a﹣12≥0；解得a≤﹣6，或a≥2，此时原不等式的解集不是空集，∴a的取值范围是{a|a≤﹣6，或a≥2}；故答案为：{a|a≤﹣6，或a≥2}．16. 如图所示，已知点，单位圆上半部分上的点B满足，则向量的坐标为________．参考答案：【分析】设点，由和列方程组解出、的值，可得出向量的坐标. 【详解】设点的坐标为，则，由，得，解得，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标运算，解题时要将一些条件转化为与向量坐标相关的等式，利用方程思想进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.17. .已知正数a、b满足，则的最大值为__________．参考答案：5【分析】直接利用均值不等式得到答案.【详解】，当即时等号成立.故答案为：5【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。