利用相似三角形和解直角三角形解决影子问题
解直角三角形及相似三角形运用难题及答案
解直角三角形及相似三角形运用难题及答案1．（2009•西城区一模）已知：，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD ≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB=180°﹣∠APP'=135°．【解答】解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，∵△APE中，∠APE=45°，PA=，∴AE=PE=×=1，∵PB=4，∴BE=PB﹣PE=3，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴AB==．②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A．∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°∴PP′=PA=2，∴PD=P′B===；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的延长线交PB于G．在Rt△AEG中，可得AG===，EG=，PG=PE﹣EG=．在Rt△PFG中，可得PF=PG•cos∠FPG=PG•cos∠ABE=，FG=．在Rt△PDF中，可得，PD===．（2）如图所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=PA=2，PB=4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）此时P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值为6．此时∠APB=180°﹣∠APP'=135度．【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中要求学生充分发挥想象空间，确定P′B取得最大值时点P′的位置．2．（2012•渝北区一模）如图1，在平面直角坐标系中有一个Rt△OAC，点A（3，4），点C（3，0）将其沿直线AC翻折，翻折后图形为△BAC．动点P从点O出发，沿折线0⇒A ⇒B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，同时动点Q从点B出发，在线段BO上以每秒1个单位的速度向点O运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）如图2，固定△OAC，将△ACB绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△A′CB′设A′B′与AC交于点D当∠BCB′=∠CAB时，求线段CD的长；（3）如图3，在△ACB绕点C逆时针旋转的过程中，若设A′C所在直线与OA所在直线的交点为E，是否存在点E使△ACE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据勾股定理和折叠的性质易求得OA=AB=5，OB=6，可用t表示出OP、OQ的长，分两种情况讨论：①点P在线段OA上运动，即0≤t≤2.5，以OQ为底，OP•sin∠AOC为高，即可得S、t的函数关系式；②点P在线段AB上运动，即2.5＜t≤5，以OQ为底，BP•sin∠ABC为高，即可得S、t的函数关系式．（2）若∠BCB′=∠CAB，那么∠DCB′、∠ABC为等角的余角，而根据旋转的性质知：∠ABC=∠B′，通过等量代换后可发现此时D点是斜边A′B′的中点，即CD=A′B′，由此得解．（3）首先根据A点坐标，求出直线OP的解析式，然后设出点E的坐标；再根据A、C的坐标，分别表示出AE2、CE2的长，然后分三种情况讨论：①AE=CE，②AE=AC，③CE=AC；根据上述三种情况所得不同等量关系，即可求得符合条件的E点坐标．【解答】解：（1）由题意知：OA=AB=5，OC=BC=3，OB=6；P从O→A→B，所用的总时间为：（5+5）÷2=5s；Q从B→O所用的总时间为：6÷1=6；因此t的取值范围为：0≤t≤5；①当0≤t≤2.5时，点P在线段OA上；OP=2t，OQ=OB﹣BQ=6﹣t；∴S=×2t××（6﹣t）=﹣t2+t；②当2.5≤t≤5时，点P在线段AB上；OP=2t，BP=10﹣2t，OQ=6﹣t；∴S=×（10﹣2t）××（6﹣t）=t2﹣t+24；综上可知：S=．（2）∵∠BCB′=∠CAB，∴∠DCB′=∠ABC=90°﹣∠CAB=90°﹣∠BCB′，由旋转的性质知：∠ABC=∠B′，即∠DCB′=∠B′；∴∠A′=∠A′CD=90°﹣∠DCB′=90°﹣∠B′，∴A′D=DB′=CD，即CD=A′B′=AB=2.5．（3）由A（3，4），可得直线OA：y=x；设点E（x，x），已知A（3，4），C（3，0）；∴AE2=（x﹣3）2+（x﹣4）2，CE2=（x﹣3）2+（x）2，AC=4；①当AE=CE时，AE2=CE2，则有：（x﹣3）2+（x﹣4）2=（x﹣3）2+（x）2，解得x=，∴E1（，2）；②当AE=AC时，AE2=AC2=16，则有：（x﹣3）2+（x﹣4）2=16，整理得：25x2﹣150x+81=0，解得：x=，x=；∴E2（，），E3（，）；③当CE=AC时，CE2=AC2=16，则有：（x﹣3）2+（x）2=16，整理得：25x2﹣54x﹣63=0，解得：x=﹣，x=3（舍去）；∴E4（﹣，﹣）；综上可知：存在符合条件的E点：E1（，2），E2（，），E3（，），E4（﹣，﹣）．【点评】此题是一次函数的综合题，涉及到图形的旋转、图形面积的求法、等腰三角形的构成情况等知识，难度较大．3．如图，在直角坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，1），E、F是线段AB 上的两个动点，且∠EOF=45°，过点E、F分别作x轴和y轴的垂线CE、DF相交于点P，垂足分别为C、D、设P点的坐标为（x，y），令xy=k，（1）求证：△AOF∽△BEO；（2）当OC=OD时，求k的值；（3）在点E、F运动过程中，点P也随之运动，探索：k是否为定值？请证明你的结论．【分析】（1）要证明△AOF∽△BEO，由题意可知OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAF=∠OBE=45°，看边角关系，只要证∠AOF=∠BEO即可∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∵∠EOF=45°，∴∠AOF=∠BEO．问题得证．（2）当OC=OD时，作OM⊥AB于M，，由OC=OD，OA=OB=1，可以得到CE=DF，又∠OCE=∠ODF，∴△OCE≌△ODF，故有OF=OE，，而∠COE=∠AOM﹣∠EOM=45°﹣22.5°=22.5°=∠EOM，∴，k值可求．（3）假设k的值为定值，即PC•PD=定值，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，由△AOF∽△BEO得，∴AF×BE=OA×OB=1，，于是FK=1，即HE×FK=，，问题可求．【解答】（1）证明：由题意得OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAF=∠OBE=45°；又∵∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∠EOF=45°，∴∠AOF=∠BEO，∴△AOF∽△BEO．（2）解：作OM⊥AB于M，则∵OC=OD，OA=OB=1，∴CE=DF，又∵∠OCE=∠ODF，∴△OCE≌△ODF，∴OF=OE，∵，又∠COE=∠AOM﹣∠EOM=45°﹣22.5°=22.5°=∠EOM∴，∴．（3）解：如图，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，∵△AOF∽△BEO，∴，∴AF×BE=OA×OB=1，∵，∴FK=1，即HE×FK=，∴，∴k的值为定值．【点评】本题综合运用了全等、相似三角形的判定和性质，及三角形的内外角关系等，来解题，综合性强，属能力拔高题．4．（2015•抚顺）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE•tanα．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出△EBD∽△AGD是解题关键．5．（2013•常德）已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．【分析】（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME= AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．【解答】（1）证法一：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴点B为线段AD的中点，又∵点M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线，∴BM∥CF．证法二：如答图1b，延长BM交EF于D，∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a，∴BM=ME=×a=a．解法二：如答图1b．∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．在△ACG与△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF=AG，∴BM=ME．证法二：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．6．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．【解答】（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．7．（2012•成都）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴，∵BP=a，CQ=a，BE=CE，∴，∴BE=CE=a，∴BC=3a，∴AB=AC=BC•sin45°=3a，∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，在Rt△APQ中，PQ==a．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．8．（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案．【解答】（1）证明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴=，同理在△ACQ和△APE中，=，∴=．（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE边上的高为，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案为：．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴=，∴DG•EF=CF•BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，由（1）得==，∴×=•，∴（）2=•，∵GF2=CF•BG，∴MN2=DM•EN．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．9．（2009•绵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．（1）若m=n时，如图，求证：EF=AE；（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF=（t+1）AE成立？并求出点E的坐标．【分析】（1）根据m=n，我们可得出四边形AOBC应该是个正方形．要证EF=AE，可通过构建全等三角形来实现，在OA上取点C，使AG=BE，则OG=OE．那么我们的目的就是证三角形ABE和EBF全等，这两个三角形中已知的条件只有AG=BE，我们发现∠AGE和∠EBF都是90+45=135°，而∠GAE和∠FEB都是∠AEO的余角，那么这两组对应角就相等，构成了三角形全等的条件，于是EF=AE了．（2）可用反证法来求解，方法同（1）类似，也是通过构建全等三角形来求解．作FH⊥x 轴于H，假设题目给出的条件成立，通过证明三角形AOE和EHF全等来得出线段相等，即AO=EH，OE=FH，根据FBH=45°，设E（a，0）．那么FH=BH=OE=a，那么不难得出EH=EB+BH=OE+EB=m，又根据AO=EH，m=n，因此不存在点E．（3）可根据相似三角形来得出线段之间的比例关系来求得．辅助线作法同（2），我们不难证得三角形AOE和FEH相似（根据同角的余角相等和一组直角即可得出相似），那么就能将EF=（t+1）AE转换为FH=（t+1）OE，根据相似我们还可得出关于AO、EH、OE、FH 的比例关系，那么就能得出一个关于OE、FH、m、n的关系式，将这式子进行化简，即可得出OE与m、n的关系，便能求出E的坐标了．【解答】解：（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形．如图，在OA上取点G，使AG=BE，∵正方形OACB，OA=OB，∴OG=OE．∴∠EGO=∠GEO=（180°﹣90°）=45°，从而∠AGE=90°+45°=135°．由BF是外角平分线，得∠EBF=135°，∴∠AGE=∠EBF．∵∠AEF=90°，∴∠FEB+∠AEO=90°．在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90°，∴∠EAO=∠FEB，在△AGE和△EBF中∵∴△AGE≌△EBF，EF=AE．（2）假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．∴FH=OE，EH=OA．∴点F的纵坐标为a，即FH=a．由BF是外角平分线，知∠FBH=45°，∴BH=FH=a．又由C（m，n）有OB=m，∴BE=OB﹣OE=m﹣a，∴EH=m﹣a+a=m．又EH=OA=n，∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．（3）如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH﹣OE=h+m﹣a．由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，且，即，整理得nh=ah+am﹣a2，∴h=．把h=（t+1）a代入得=（t+1）a，即m﹣a=（t+1）（n﹣a）．而m=tn，因此tn﹣a=（t+1）（n﹣a）．化简得ta=n，解得a=．∵t＞1，∴＜n＜m，故E在OB边上．∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．【点评】本题解题的关键是根据全等三角形的判定或相似三角形得出线段相等或成比例．相似三角形经典大题解析1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△ 68h x ∴= 34x h ∴=（2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN ∴∥△∽△11AMN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=△ 22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所以 291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-， 取163x =，8y =最大 86>∴当163x =时，y 最大，8y =最大M NCBEFAA 12．如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·． （2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，． ∴D 点坐标为()88，．又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．． ∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++．当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-,∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t t t t s3．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．（图3）（图1）（图2）【答案】解： （1）34PM =，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==，，(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+，3t ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66a t a=+代入，解之得a =±a = 所以，存在a ，当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．N4．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ； (3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt,所以t=56, 所以当t=56时, △APR ～△PRQ5．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠CO A＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2E B，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图7-2AD O BC 21MN图7-1AD BMN 12图7-3A D OBC21MNO.6．在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD的值． 【答案】 解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ，∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．∵∠2 = 45°，∴BE = BD ，∠EBD = 90°．∴AC = BD ． 延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ．（3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠BEO = ∠ACO ． 又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC ．∴AOBO AC BE =． 又∵OB = kAO ，由（2）的方法易得 BE = BD ．∴k ACBD=．10．如图，已知过A （2，4）分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，若点P 从O 点出发，沿OM 作匀速运动，1分钟可到达M 点，点Q 从M 点出发，沿MA 作匀速运动，1图4A DO B C21 MNE FAO BC1D 2图5 M NE分钟可到达A点。
相似三角形的应用 影子问题
由相似三角形的性质得:
AG:CG=1:0.9
G
C
∴AG=2.7÷0.9=3 m AB=AG+BG=4.2m
1.2m
答:这棵树的高为4.2米.
B
2.7m
D
C
由CD:AB=DG:BG 得 AB=4.2米.
B
2.7m
DG
(2)小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时 小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地 面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影 长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请 计算小王测量的这棵树的高.
A
C 1.2m B 2.7m D
(2)小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时 小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地 面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影 长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请 计算小王测量的这棵树的高.
A
解:过C点作CG⊥AB于G
则CG=BD=2.7m，
BG=CD=1.2 m，
A
解：如图，过点D作DE∥AC
交AB于E点，由平行四边形
E
ACDE得AE=CD=1.2m
由相似三角形的性质得:
BE 1
C
2.7 0.9
1.2m
∴BE=3m
AB=BE+AE=4.2m
B
2.7m
D
答:这棵树高有4.2米.
(2)小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时 小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地 面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影 长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请 计算小王测量的这棵树的高.
(2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部 分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面 上的影长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2 米.请计算小王测量的这棵树的高.
【中考冲刺】2021年上海市奉贤区中考数学模拟试卷(附答案)
【分析】
垂直于墙的一段篱筐长为 米，共有三段垂直于墙的篱笆，所以垂直于墙的篱笆总长度为 ，又因为篱笆总长为 米(恰好用完)，所以大长方形花圃的长为 米，最后根据长方形的面积公式即可求解．
【详解】
解：由题意可得： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意大长方形花圃的宽有三段都是篱笆．
又∵
∴AB=4
故选：B．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．D
【分析】
根据题意得 ，结合 ，通过求解不等式，即可得到答案．
【详解】
根据题意得： ，
∵
∴
∴ 或
∴ 或
∴ 的半径 的取值范围是： 或
故选： ．
【点睛】
本题考查圆与圆内含、绝对值、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆内含、绝对值、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
17．当两条曲线关于某直线 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线 的对称曲线，如果抛物线 与抛物线 关于直线 的对称曲线，那么抛物线 的表达式为_______________________．
18．如图，在 中， 是 的角平分线，将 绕点 旋转，如果点 落在射线 上，点 落在点 处，连接ED，那么 的正切值为_______________________．
【详解】
∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，
∴DG= AG= ×6=3，
∴AD=AG+GD=6+3=9．
即 边上的中线长为9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查的是三角形重心的性质，熟知三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍是解决问题的关键．
2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形
知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。
说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。
比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。
11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。
13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
影子上墙、影子落在斜坡上问题的求解方法
解决影子上墙、影子落在斜坡上的问题，需要运用相似三角形的性质。
首先，我们需要明确光源（如太阳）的位置，并据此确定影子的方向。
然后，我们可以通过作辅助线，将问题转化为求解相似三角形的问题。
具体来说，我们可以作一个与斜坡平行并与斜坡和影子交于一点的线段，将问题分为两部分：一部分是求解该线段与斜坡之间的角度，另一部分是求解该线段与影子之间的长度比例。
通过相似三角形的性质，我们可以得到以下关系：
斜坡与线段的夹角等于太阳光与地平线的夹角；
线段与影子的长度之比等于斜坡与影子的长度之比；
线段的长度可以通过三角函数或勾股定理计算得出。
最后，我们可以通过上述关系，求出影子的长度，进而求出影子的方向。
需要注意的是，由于太阳的位置和时间会影响影子的方向和长度，因此在实际应用中需要考虑到这些因素。
2019-2020江苏省常州市天宁区正衡中学九年级试题相似的应用8(一)
2019-2020常州市天宁区正衡中学九年级数学相似的应用（一）一、选择题（每题2分，共20分）1.下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）【A】【B】【C】【D】【答案】A【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．【A】影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；【B】影子的方向不相同，错误；【C】影子的方向不相同，错误；【D】相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误．2.某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（）【A】1.25【B】10【C】20【D】8【答案】C【分析】本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等．设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4＝x：5，然后解方程即可．解答：解：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4＝x：5，解得x＝20（m）．即该旗杆的高度是20m3.（2012春•涟水县校级期中）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米，这棵水杉树高为（）米。
【A 】7.5【B 】8【C 】14.7【D 】15.75【答案】A【分析】本题考察了把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通解方程求出树的高度，体现了方程的思想．解答：根据题意，标杆、光线、影长组成的三角形与水杉、水杉影长、光线所组成的三角形相似，故可利用相似三角形的性质解答． 解答：解：根据水杉影长水杉树高标杆影长标杆高= 列方程可得到结论，设水杉的高是x 米．则 即5.71.25.1x = 解得：x ＝7.5则这棵水杉树高为7.5米．4.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2米，BP ＝1.8米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度是（ ）【A 】6米【B 】8米【C 】18米【D 】24米【答案】B【分析】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．解答：由已知得△ABP ∽△CDP ，则根据相似形的性质可得PDCD CD AB =解答即可． 解答：解：由题意知：光线AP 与光线PC ，∠APB ＝∠CPD ，∴Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴PDBP CD AB = ，∴CD ＝88.12.12.1=⨯（米）5.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB 的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD ＝9.6米，留在墙上的影长CD ＝2米，则旗杆的高度（ ）【A 】9米【B 】9.6米【C 】10米【D 】10.2米【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．解：作CE ⊥AB 于E 点，如图，则四边形BDCE 为矩形，BD ＝CE ＝9.6，BE ＝CD ＝2，根据题意得2.11=EC AE ，即2.116.9=AE 解得AE ＝8，所以AB ＝AE ＋BE ＝8＋2＝10（m ）．答：旗杆的高度为10m ．6.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD ＝12 m ，塔影长DE ＝18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ）【A 】24米【B 】22米【C 】20米【D 】18米【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题），过点D 构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD ，斜坡上的DE ．然后根据影长的比分别求得AG ，GB 长，把它们相加即可．解：解：过D 作DF ⊥CD ，交AE 于点F ，过F 作FG ⊥AB ，垂足为G ．菁优网 由题意得：26.1=DE DF ∴DF ＝DE ×1.6÷2＝14.4（m ）∴GF ＝BD ＝CD 21＝6m ． 又∵16.1=GF AG ∴AG ＝1.6×6＝9.6（m ）．∴AB ＝14.4＋9.6＝24（m ）．答：铁塔的高度为24m ．7.如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度．若标杆BE 的高为1.2m ，测得AB ＝1.6m ，BC ＝12.4m ，则楼高CD 为____m【分析】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．【答案】10.5解答：解答：解：∵EB ∥CD ，∴△ABE ∽△ACD ， ∴CD BE AC AB =,即CD2.14.126.16.1=+ ∴CD ＝10.5（米）．故答案为10.5．8.小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为_____ m ．【答案】0.5【分析】本题考查的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x ，即可列方程解出x 的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．解答：解：设手臂竖直举起时总高度xm ，列方程得：1.185.07.1x =， 解得x ＝2.2，2.2−1.7＝0.5m ，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m ．9.雨过天晴，小明在操场上散步从正前方2米的水影中看到对面的国旗迎风飘扬，测得国旗离小明42米，小明眼睛里地面1.5米，则国旗高_____米【答案】30【分析】本题主要考察了相似三角形的相关性质 解答，解：22405.1-=国旗的高， 解得，国旗的高=30米10.如图，某测量工作人员与标杆顶端F 、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC ＝1米，CD ＝5米，则电视塔的高ED ＝ ___米．【答案】11.2【分析】此题考查了相似三角形的应用，通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例解答即可.本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求解即可．解：过A 点作AH ⊥ED ，交FC 于G ，交ED 于H ．由题意可得：△AFG ∽△AEH ，∴EHFG AH AG = 即EH6.12.3511-=+， 解得：EH ＝9.6．∴ED ＝9.6＋1.6＝11.2（米）．故答案为：11.2． 11.如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF 影长GE 为1.2米，此时，小红测得一棵被风吹斜的杨树与地面成30°角，树顶端B 在地面上的影子点D 与B 到垂直地面的落点C 的距离是3.6米，则树长AB 等于_____ 米【答案】12【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．解答：解：如图，CD ＝3.6m ，∵△BDC ∽△FGE ， ∴GE EF CD BC =，即2.126.3=BC ， ∴BC ＝6，在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12，即树长AB 是12米．故答案为12．12. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为___米【答案】11.8【分析】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中光的传播原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目。
用解直角三角形测量房子高度操作步骤
用解直角三角形测量房子高度操作步骤方法一：利用相似三角形的知识求解。
可以找一个已知长度的杆立在那里，测量其影子的长度，而后测量房子影子长度。
因为杆和地面本身是直角，太阳的照射角在同一时间同一地点也是相同的，两个三角形两个角相等是相似三角形。
利用相似的性质，对应边成比例求解。
已知杆的高度：其影子的长度=房子高度：房子影子长度。
进行求解。
方法二：测量房子影子的长度。
在影子的顶点处（远离旗杆那端）用角度测量仪测量房子顶部与该点连线与地面的夹角A，利用房子的长度：影子的长度=tanA。
也可以通过其他方法测出太阳的照射角也可。
方法三：在建筑物外点一点（离建筑物距离最好接近建筑物的高度）,测量点到建筑物的距离L,测量点与建筑物顶的夹角a（方法很多种,如果有仪器测角最好）,H=L*sina; 测角是放在仪器上面再加仪器高就可以了。
相似三角形在实际生活中的应用
标准对数视力表 0.14.00.12 4.1 0.15 4.2相似三角形在实际生活中的应用【知识点击】1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过，那么这样的两个图形就称为位似图形。
此时的这个点叫做，相似比又称为．注：位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且___________________，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为_____________．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小．2、相似多边形的性质_____________________________________________________【重点演练】知识点一、位似图形例1、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点. （1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1︰2； （2）连接（1）中的AA ′,求四边形AA ′C ′C 的周长.（结果保留根号）ABC例2、如图3，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A ′B ′C ′D ′E ′，已知OA =10cm ，OA ′=20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长的比值是．变式训练：1.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E ”之间的变换是（ ）A ．平移B ．旋转C ．对称D ．位似2. 如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是． 图3A BC D EB ′′E ′y C DA图2 B′A′-1 x1 O-11y BA C3、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（）A ．12a -B ．1(1)2a -+C ．1(1)2a --D ．1(3)2a -+4.如图，已知△OAB 与△''B OA 是相似比为1：2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 一点p （x ，y ）与△''B OA 一点'p 是一对对应点，则点'p 的坐标是．知识点二、测量物体高度方法一、利用光的反射定律求物体的高度 例3、（市）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图1所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.4米，观察者目高CD ＝1.6米，则树（AB ）的高度约为________米（精确到0.1米）.方法二、利用影子计算建筑物的高度例4（市）如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和1.5米.已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为米.例5（市）如图4，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（ ）图1 B E DA.4.5米B.6米C.7.2米D.8米跟踪练习1、如图６，小明在一次晚自修放学回家的路上，他从一盏路灯Ａ走向相邻的路灯Ｂ．当他走到点Ｐ时，发现自己身后的影子的顶部恰好接触到路灯Ａ的底部，再走１６米到达点Ｑ时，发现身前的影子的顶部恰好接触到路灯Ｂ的底部．已知路灯的高是９米，小明的身高为１.5米．（１）求相邻两盏路灯之间的距离； （２）如果学校大门口恰好有一盏路灯，小明家门口也恰好有一盏路灯，小明回家共经过了２６盏路灯，问：小明家距离学校多少米？（3）求小明走到两盏路灯Ａ、Ｂ的中点时，在Ａ、Ｂ两盏路灯下的影长及走到路灯Ｂ下时在路灯Ａ下的影长．方法三、利用相似三角形的性质测量物体的高度或宽度例6、如图1，学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上的C 处直立3cm 高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处，恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得3CE =m ，乙的眼睛到地面的距离1.5FE =m ，丙在1C 处也直立3m 高的竹竿11C D ，乙从E 处后退6m 到1E 处，恰好看到竹竿顶端1D 与旗杆顶端B 也重合，量得114C E m =，求旗杆AB 的高.跟踪练习如图2，为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸边点P 处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A 和B ，使得B ，A ，P 在一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C ，D ，使CA ⊥BP ，BD ⊥BP.由观测可以确定CP 与BD 的交点为D ，他们测得AB=45m ，BD=90m ，AC=60m ，从而确定河宽PA=90m ，你认为他们的结图６论对吗？图2例7、如图５是学校的旗杆，小明带着一条卷尺和一面镜子，他想借助这两样工具测量旗杆的高，请你为他设计测量的方法．练习：给你一条可以用来测量长度的皮尺和一根高２米的标杆，在没有太的时候你能测量出操场上旗杆的高度吗？说说你的做法．知识点三、相似多边形性质的应用 例8、 一块直角三角形余料，直角边ＢＣ＝８０ｃｍ，ＡＣ＝６０ｃｍ，现要最大限度地利用这个余料把它加工为一个正方形，求这个正方形的边长．跟踪练习1、已知△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝６，ＣＡ＝７，ＡＢ＝８，其三个接正方形（四个顶点都在三角形三边上）中，记两个顶点在ＢＣ上的正方形面积为ａ，两个顶点在ＣＡ上的正方形的面积记为ｂ，两个顶点在ＡＢ上的正方形的面积记为ｃ，试探索ａ、ｂ、ｃ的大小关系．Ａ 图５ Ｅ Ｄ Ｃ Ｂ ＢＥ Ｄ 图(1)2、有一块直角三角形木板，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm，根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长．例9、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形；（2）求四边形QAPC面积，并提出一个与计算结果．有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？课外作业(满分50分)1、（15分）（1）选择：如图1，点O 是等边三角形PQR 的中心，P ′、Q ′、R ′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P ′Q ′R ′是位似三角形，此时△P ′Q ′R ′与△PQR 的位似比和位似中心分别是（ ）．A 、2，点P,B 、21,点P C 、2,点O D 、21，点O （2）、如图2， 用下面的方法可以画△AOB 的接等腰三角形，阅读后证明相应的问题．画法：①在△AOB 画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上,点D 在OB 上；②连结OE 并延长，交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C ′∥EC ，交OA 于点C ′,作E ′D ′∥ED ，交OB 于点 D ′；③连结C ′D ′,则△C ′D ′E ′是△AOB 的接三角形 求证：△C ′D ′E ′是等边三角形．2、（15分）请在如图所示的方格纸中，将ΔABC 向上平移3格，再向右平移6个，得ΔA 1B 1C 1，再将ΔA 1B 1C 1绕点B 1按顺时针方向旋转90°，得ΔA 2B 1C 2，最后将ΔA 2B 1C 2以点C 2为位似中心放大到2倍，得ΔA 3B 3C 2；（1） 请在方格纸的适当位置画上坐标轴（一个小正方形的边长为一个单位长度），在你所建立的直角坐标系中，点的坐标分别为：点C （）、点C 1（）点C 2（）．3.（20分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？。
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利用相似三角形和解直角三角形解决影子问题
备课人：审阅：初三数学组班级：姓名：________
教师寄语：成功属于每天都努力学习的人！
【学习目标】利用相似三角形、直角三角形的知识解决生活实际问题。
【重难点】将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再利用相似三角形和解直角三角形的知识使问题解决。
类型1、影子照在墙上
数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的不全落在地面，有一部分落在教学楼的墙壁（如图），其影长为2米，落在地面的影长为11.2米，则树高为多少米？
导练：小青同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度．某一时刻他测得长1米的标杆的影长为1.4米，与此同时他发现旗杆AB的一部分BD落在地面，另一部分CD落在楼房的墙壁，分别测得其长度为11.2米和2米，如图所示．请你帮他求出旗杆AB的高度．
类型2、影子照在台阶上
数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的是0.9米，但当他们马测量树高时，发现树的不落在地面，有一部分落在教学楼的台阶，且的末端刚好落在最后一级台阶的端C处．同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同）．请你和他们一起算一下，树高为多少．（假设两次测量时太阳光线是平行的）
导练：某校初三年级数学兴趣小组的同学准备在课余时间测量校园内一棵树的高度．一天，在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.6米，同一时刻另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在实验楼的第一级台阶上，此时测得落在地面上的影长为4.6米，落在台阶上的影长为0.2米，若一级台阶高为0.3米（如图），求树的高度？
类型3、影子照在斜坡上
1、如图，小鹏准备测量学校旗杆的高度．他发现当正对着太阳时，旗杆AB的恰好落在水平
地面BC和坡面CD，测得旗杆在水平地面的影长BC=20米，在坡面的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与坡面CD互相垂直．请你帮小鹏求出旗杆AB的高度（精确到1米）
2、如图，一的倾斜角为30°，坡有一棵树AB，当太阳光线与水平线成70°沿下时，在的树影BC长为4米，求树高AB．（精确到0.1米）（参考数据：sin70°≈0.9397，cos70°≈0.3420，tan70°≈2.7475）
【思路归纳】。