相似三角形的综合应用(提高)

相似三角形的应用
【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算．
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．
【知识回顾】
一、相似三角形的性质
（1）对应边的比相等，对应角相等．
（2）相似三角形的周长比等于相似比． （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．．
． （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比．
二、相似三角形的应用:
1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；
2、利用三角形相似，求线段的长等
3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等．
【典型例题】
例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？
【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？
例2：阅读以下文字并解答问题：
在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高
A B
C Q
M D N
P
E
度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．
图1 图2 图3 图4
（1）在横线上直接填写甲树的高度为米．
（2）求出乙树的高度（画出示意图）．
（3）请选择丙树的高度为（）
A、6.5米
B、5.75米
C、6.05米
D、7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．
【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
例3：如图，已知AD 是△ABC 的中线，M 是边AC 上的一动点，=CM nAM ，BM 交AD 于N 点。

⑴ 如图①，若1n =，则
=AN ND 。

如图②，若2n =，则=AN
ND 。

如图③，若3n =，则=AN
ND。

⑵ 猜想，AN
ND
与n 存在怎样的关系？并证明你的结论。

⑶ 当n = 时，恰有AN CM
ND AM
=
【同步练习】如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则S △DMN ∶S 四边形ANME =
例4：如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形
DBCE 重叠部分的面积记为y ．
（1）用x 表示ADE △的面积；
（2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； （3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式； （4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
【同步练习】如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，BC =3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ
B
C A
E
A '
D
B
C
A
于F.
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF 取得最大值?最大值为多少?
例5：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．
【同步练习】如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．
例6：如图，已知抛物线y ＝4
3x 2
＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝
t
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x －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．
（1）填空：点C 的坐标是___________，b ＝_______，c ＝_______； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；
（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．
A C
B
Q P
O
H x
y
巩固练习
1.
ABC △中，CD AB ⊥于D ，
一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ）①1A ∠=∠，②CD DB
AD CD
=，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，⑤CD AC BD AC •=• A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2. 如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形△ADE ，EB ，CE 分别交AD 于点G ，H ．设△CDH ，
△GHE 的面积分别为S 1，S 2，则（ ） A ．212S 3S =． B ．213S 2S = C ．21S 32S =
． D ．21S 2S 3=
3. 如图，在Rt ΔABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式（ ） A ．b=a+c B ．b=ac C ．b 2=a 2+c 2 D ．b=2a=2c
4. 某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在
Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=30cm ，AB=50cm ，依次裁下宽为1cm 的矩形纸条a 1、a 2、a 3…，
若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm ，则每张彩纸能裁成的矩形纸条的总数是（ ） A ．24 B ．25 C ．26 D ．27
5. 如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，
213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和
为 ．
6. 在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在
坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m ，塔影长DE=18m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ）
A ．24m
B ．22m
C ．20m
D ．18m
7. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，
保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．。