相似三角形的综合应用(培优提高)
相似三角形的应用
【学习目标】
1、探索相似三角形的性质,能运用性质进行有关计算.
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似,能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题(如何把实际问题抽象为数学问题).
【知识回顾】
一、相似三角形的性质
(1)对应边的比相等,对应角相等.
(2)相似三角形的周长比等于相似比. (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方......
. (4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.
二、相似三角形的应用:
1、利用三角形相似,可证明角相等;线段成比例(或等积式);
2、利用三角形相似,求线段的长等
3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度.如求河的宽度、求建筑物的高度等.
【典型例题】
例1:如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm , 高AD=80mm , 要把它加工成矩形零件,使一边在BC 上,其余两个顶点分别在边AB 、AC 上, (1)若这个矩形是正方形,那么边长是多少? (2)若这个矩形的长是宽的2倍,则边长是多少?
【同步练习】如图,△ABC 是一块三角形余料,AB=AC=13cm ,BC=10cm ,现在要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在△ABC 的边上,其余两个顶点分别在三角形另外两条边上.试求正方形的边长是多少?
例2:阅读以下文字并解答问题:
在“测量物体的高度” 活动中,某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高
A
B
C
Q
M D N
P
E
度.在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作:
小芳:测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,甲树的影长为4.08米(如图1). 小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2),墙壁上的影长为1.2米,落在地面上的影长为2.4米.
小丽:测量的丙树的影子除落在地面上外,还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图3),测得此影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,落在地面上的影长为4.4米.
小明:测得丁树落在地面上的影长为2.4米,落在坡面上影长为3.2米(如图4).身高是1.6m 的小明站在坡面上,影子也都落坡面上,小芳测得他的影长为2m .
(1)在横线上直接填写甲树的高度为
米. (2)求出乙树的高度(画出示意图).
(3)请选择丙树的高度为( )
A 、6.5米
B 、5.75米
C 、6.05米
D 、7.25米
(4)你能计算出丁树的高度吗?试试看.
【同步练习】如图,有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达),在灯光下,小明在点D 处测得自己的影长DF =3m ,沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG =4m ,如果小明得身高为1.6m ,求路灯杆AB 的高度.
图1 图2
图3
图4
例3:如图,已知AD是△ABC的中线,M是边AC上的一动点,=
CM nAM,BM交AD于N点。
⑴如图①,若1
n=
,则=
AN
ND
。如图②,若2
n=,则=
AN
ND
。
如图③,若3
n=,则=
AN
ND
。
⑵猜想,
AN
ND
与n存在怎样的关系?并证明你的结论。
⑶当n=时,恰有
AN CM
ND AM
=
【同步练习】如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则S△DMN∶S四边形ANME =
例4:如图,在ABC
△中,9010
A BC ABC
∠==
°,,△的面积为25,点D为AB边上的任意一点(D不与A、B重合),过点D作DE BC
∥,交AC于点E.设DE x
=,以DE为折线将ADE
△翻折(使ADE
△落在四边形DBCE所在的平面内),所得的A DE
'
△与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.
(1)用x表示ADE
△的面积;
(2)求出05
x
<≤时y与x的函数关系式;
(3)求出510
x
<<时y与x的函数关系式;
(4)当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?
【同步练习】如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D),Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ
B C
A
E
A'
D
B C
A
于F.
(1)求证:△APE∽△ADQ;
(2)设AP的长为x,试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式,并求当P在何处时,S△PEF 取得最大值?最大值为多少?
例5:等腰△ABC,AB=AC=8,∠BAC=120°,P为BC的中点,小慧拿着含30°角的透明三角板,使30°角的顶点落在点P,三角板绕P点旋转.
(1)如图a,当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时.求证:△BPE~△CFP;
(2)操作:将三角板绕点P旋转到图b情形时,三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.
①探究1:△BPE与△CFP还相似吗?(只需写出结论)
②探究2:连结EF,△BPE与△PFE是否相似?请说明理由;
③设EF=m,△EPF的面积为S,试用m的代数式表示S.
【同步练习】如图,M 为线段AB 的中点,AE 与BD 交于点C ,∠DME =∠A =∠B =α,且DM 交AC 于F ,ME 交BC 于G .
(1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对;
(2)连结FG ,如果α=45°,AB =
42,AF =3,求FG 的长.
例6:如图,已知抛物线y =4
3x 2
+bx +c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点,A 点的坐标为(-1,0),过点C 的直线y =
t
43
x -3与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一个动点,过P 作PH ⊥OB 于点H .若PB =5t ,且0<t <1.
(1)填空:点C 的坐标是___________,b =_______,c =_______; (2)求线段QH 的长(用含t 的式子表示);
(3)依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似?若存在,求出所有t 的值;若不存在,说明理由.
A C
B
Q P
O
H x
y
巩固练习
1.
ABC △中,CD AB ⊥于D ,
一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是( )①1A ∠=∠,②CD DB
AD CD
=,③290B ∠+∠=°,④345BC AC AB =∶∶∶∶,⑤CD AC BD AC ?=? A .1 B .2 C .3 D .4 2. 如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边三角形△ADE ,EB ,CE 分别交AD 于点G ,H .设△CDH ,
△GHE 的面积分别为S 1,S 2,则( ) A .212S 3S =. B .213S 2S = C .21S 32S =
. D .21S 2S 3=
3. 如图,在Rt ΔABC 内有边长分别为a ,b ,c 的三个正方形,则a ,b ,c 满足的关系式( ) A .b=a+c B .b=ac C .b 2=a 2+c 2 D .b=2a=2c
4. 某班在布置新年联欢会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条,如图,在
Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=30cm ,AB=50cm ,依次裁下宽为1cm 的矩形纸条a 1、a 2、a 3…,
若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm ,则每张彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( ) A .24 B .25 C .26 D .27
5. 如图,点1234A A A A ,,,在射线OA 上,点123B B B ,,在射线OB 上,且112233A B A B A B ∥∥,
213243A B A B A B ∥∥.若212A B B △,323A B B △的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和
为 .
6. 在斜坡的顶部有一铁塔AB ,B 是CD 的中点,CD 是水平的,在阳光的照射下,塔影DE 留在
坡面上.已知铁塔底座宽CD=12m ,塔影长DE=18m ,小明和小华的身高都是1.6m ,同一时刻,小明站在点E 处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为2m 和1m ,那么塔高AB 为( )
A .24m
B .22m
C .20m
D .18m
7. 正方形ABCD 边长为4,M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点,当M 点在BC 上运动时,
保持AM 和MN 垂直,
(1)证明:Rt Rt ABM MCN △∽△;
(2)设BM x ,梯形ABCN 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式;当M 点运动到什么位置时,四边形ABCN 面积最大,并求出最大面积;
(3)当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△,求x 的值.