相似三角形的综合应用-学生版
相似三角形重要模型-手拉手模型(学生版)-初中数学
相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。
而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型(旋转模型)。
手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1)手拉手相似模型(任意三角形)条件:如图，∠BAC =∠DAE =α，AD AB =AE AC=k ；结论：△ADE ∽△ABC ，△ABD ∽△ACE ；EC BD =k .2)手拉手相似模型(直角三角形)条件:如图，∠AOB =∠COD =90°，OC OA =OD OB =k (即△COD ∽△AOB )；结论：△AOC ∽△BOD ；BD AC =k ，AC ⊥BD ，S ABCD =12AB ×CD .3)手拉手相似模型(等边三角形与等腰直角三角形)条件:M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点；结论：△BME ∽△CMF ；BE CF=3.条件:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形；结论：△ABD ∽△ACE .1(2023秋·福建泉州·九年级校考期末)问题背景：(1)如图①，已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；尝试应用：(2)如图②，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，∠ABC =∠ADE =60°，AC 与DE相交于点F ，点D 在BC 边上，DF CF=233，求AD BD 的值；拓展创新：(3)如图③，D 是△ABC 内一点，∠BAD =∠CBD =30°，∠BDC =90°，AB =4，AC =23，求AD 的长．2(2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习)【模型呈现：材料阅读】如图，点B ，C ，E 在同一直线上，点A ，D 在直线CE 的同侧，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，AE ，BD 交于点F ，对于上述问题，存在结论(不用证明)：(1)△BCD ≌△ACE (2)△ACE 可以看作是由△BCD 绕点C 旋转而成；⋯【模型改编：问题解决】点A ，D 在直线CE 的同侧，AB =AC ，ED =EC ，∠BAC =∠DEC =50°，直线AE ，BD 交于F ，如图1：点B 在直线CE 上，①求证：△BCD ∽△ACE ； ②求∠AFB 的度数．如图2：将△ABC 绕点C 顺时针旋转一定角度．③补全图形，则∠AFB 的度数为；④若将“∠BAC =∠DEC =50°”改为“∠BAC =∠DEC =m °”，则∠AFB 的度数为．(直接写结论)【模型拓广：问题延伸】如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB=2，AD=ED=23，DG=6，连接AG，BF，求BFAG的值．图1 图2 图33(2023春·湖北黄冈·九年级专题练习)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．4(2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习)如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=α．点D是△ABC 所在平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接AD、BE．(1)如图1，当α=60°时，求证：BE=AD．(2)当α=120°时，请判断线段BE与AD之间的数量关系是，并仅就图2的情形说明理由．(3)当α=90°时，且BE⊥AB时，若AB=8，BE=2，点E在BC上方，求CD的长．5(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．6(2023·山东济南·九年级统考期中)问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形ABCD和等腰Rt△CEF按如图1所示的位置摆放(点B、C、E在同一条直线上)，其中∠ECF=90°．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：初步探究(1)如图2，将等腰Rt△CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE．请直接写出BF与DE的关系；(2)如图3，将(1)中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成菱形ABCD和等腰△CEF，其中CE=CF，∠BCD=∠FCE，其他条件不变，求证：BF=DE；深入探究：(3)如图4，将(1)中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF=90°且CECF =CDBC=34，其它条件不变．①探索线段BF与DE的关系，说明理由；②连接DF，BE若CE=6，AB=12，直接写出DF2+BE2=．7(2023春·广东·九年级专题练习)已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角)，得到△EOF，连接AE，CF．(1)如图1，当∠BAC=90°且AB=AC时，则AE与CF满足的数量关系是；(2)如图2，当∠BAC=90°且AB≠AC时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图3，延长AO到点D，使OD=OA，连接DE，当AO=CF=5，BC=6时，求DE的长．课后专项训练1(2023秋·北京顺义·九年级校考期中)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°．连接BD，CE．则BDCE的值为()A.12B.22C.2D.22(2023春·浙江金华·九年级校考期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB，AC为边分别向外作正方形ABFG和正方形ACDE，CG交AB于点M，BD交AC于点N．若GMCM=12，则CGBD=()A.12B.34C.255D.130133(2023春·浙江丽水·九年级专题练习)如图，在△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，过点D 分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ．连接EF 交线段CD 于点O ，若CO =22，CD =32，则EO ⋅FO 的值为( )．A.63B.4C.56D.64(2022·广西梧州·统考一模)如图，在△ABC 中，∠C =45°，将△ABC 绕着点B 逆时针方向旋转，使点C 的对应点C ′落在CA 的延长线上，得到△A ′BC ′，连接AA ′，交BC ′于点O ．下列结论：①∠AC ′A ′=90°；②AA ′=BC ′；③∠A ′BC ′=∠A ′AC ′；④△A ′OC ′∽△BOA ．其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.45(2023·广东深圳·校联考模拟预测)如图，已知▱ABCD ，AB =3，AD =8，将▱ABCD 绕点A 顺时针旋转得到▱AEFG ，且点G 落在对角线AC 上，延长AB 交EF 于点H ，则FH 的长为．6(2022·安徽·模拟预测)如图，将边长为3的菱形ABCD绕点A逆时针旋转到菱形AB C D 的位置，使点B 落在BC上，B C 与CD交于点E．若BB =1，则CE的长为．7(2021·湖南益阳·统考中考真题)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°,tan∠ABC=32，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB C ，连接BB ，CC ，则△CAC 与△BAB 的面积之比等于．8(2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习)如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°．(1)求证：△ACD∽△BCE；(2)若AC=3，AE=8，求AD．9(2023·安徽滁州·九年级校考阶段练习)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M．求证：(1)△BAE∽△CAD；(2)MP⋅MD=MA⋅ME．10(2023秋·湖北孝感·九年级校联考阶段练习)问题背景：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，将△CAE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，AD的延长线交BF于点P．问题探究：(1)当点P在线段BF上时，证明EP+FP=2BP．①先将问题特殊化，如图2，当CE⊥AD时，证明：EP+FP=2BP；②再探究一般情形，如图1，当CE不垂直AD时，证明：EP+FP=2BP；拓展探究：(2)如图3，若AD的延长线交BF的延长线于点P时，直接写出一个等式，表示EP，FP，BP之间的数量关系．11(2022·河南·九年级专题练习)规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形．(1)问题联想：如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O，则BM'与DN'的数量关系为，位置关系为；(2)类比探究：如图②，将(1)中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则(1)中的结论还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，将(1)中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α(90°<α<180°)，其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系．12(2023·山东青岛·模拟预测)某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当ED ∥BC 时，则α=；(2)【初步探究】如图3，当点E ，F 重合时，请直接写出AF ，BF ，CF 之间的数量关系：；(3)【深入探究】如图4，当点E ，F 不重合时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在△ABC 与△CDE 中，∠ACB =∠DCE =90°，若BC =mAC ，CD =mCE (m 为常数)．保持△ABC 不动，将△CDE 绕点C 按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，连接AE ，BD ，延长BD 交AE 于点F ，连接CF ，如图6．试探究AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并说明理由．13(2023秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习)问题提出 如图1，在△ABC 中，AB =BC ，点D 是边BC 上一点，△ADE 是等腰三角形，AD =DE ，∠ADE =∠B =α0<α≤90° ，DE 交AC 于点F ，探究∠DCE 与α的数量关系.问题探究 (1)先将问题特殊化，如图2，当α=90°时，直接写出∠DCE 的大小；(2)再探究一般情形，如图1，求∠DCE 与α的数量关系.问题拓展 将图1特殊化，如图3，当α=60°时，若CD BD =12，求CF AF的值.14(2023春·河南·九年级专题练习)由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．(1)【问题发现】如图1所示，两个等腰直角三角形△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AE =AD ，∠BAC =∠DAE =90°，连接BD 、CE ，两线交于点P ，BD 和CE 的数量关系是；BD 和CE 的位置关系是；(2)【类比探究】如图2所示，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边在AB 的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF ，连接DE 分别交线段BC 、PC 于点M 、N ．①求∠DMC 的度数；②连接AC 交DE 于点H ，直接写出DH BC 的值；(3)【拓展延伸】如图3所示，已知点C 为线段AE 上一点，AE =6，△ABC 和△CDE 为AE 同侧的两个等边三角形，连接BE 交CD 于N ，连接AD 交BC 于M ，连接MN ，直接写出线段MN 的最大值．15(2023秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习)类比探究【问题背景】已知D 、E 分别是△ABC 的AB 边和AC 边上的点，且DE ∥BC ，则△ABC ∽△ADE 把△ADE 绕着A 逆时针方向旋转，连接BD 和CE ．①如图2，找出图中的另外一组相似三角形②若AB =4，AC =3，BD =2，则CE =．【迁移应用】在Rt △ACB 中，∠BAC =90°，∠C =60°，D 、E 、M 分别是AB 、AC 、BC 中点，连接DE 和CM ．①如图3，写出CE 和BD 的数量关系；②如图4，把Rt △ADE 绕着点A 逆时针方向旋转，当D 落在AM 上时，连接CD 和CE ，取CD 中点N ，连接MN ，若CE =23，求MN 的长．【创新应用】如图5：AB =AC =AE =25，BC =4，△ADE 是直角三角形，∠DAE =90°，tan ∠ADE =2，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，且BFBE=25，连接CF，请直接写出CF的取值范围．16(2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习)(1)如图1，正方形ABCD和正方形DEFG(其中AB> DE)，连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系是，位置关系是．(2)如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，3AD=2DG，3AB=2DE，DC=DG，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，连接AG，CE交于点H，(1)中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由．17(2023秋·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=8，△AEF 中，∠EAF=90°，AE=AF，连接BE．(1)如图1，当AE平分∠BAC时，EF与AB交于点D，若AE=32，求tan∠DBE的值；(2)如图2，当AE⊥BE时，连接CF，与AE交于点H．猜想AH与BE之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，AN⊥BC于点N，取BE的中点M，连接AM、CM、MN．将△AEF绕点A旋转．若AE= 22，在旋转过程中，当线段CM最大时，请直接写出△AMN的面积．18(2022秋·广东深圳·九年级校联考期中)【模型发现】如图1，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．【深入探究】如图2，等边△ABC中，AB=3，D是AC上的动点，连接BD，将BD绕着点D逆时针旋转60°得到DE，连接CE，当点D从A运动到C时，求点E的运动路径长．【应用拓展】如图3，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上的一点，连接BE，将BE绕着点E逆时针旋转90°得到EF，EF交BC于点G，连接CF，若EG=12FG，则ABCF的值为．。
相似三角形的综合应用
相似三角形的综合应用（相似三角形的模型分析） ◆ 教学目标知识技能目标：1、掌握相似三角形的判定和性质，运用相似三角形的性质定理解决相似中的模 型问题，如“金字塔型”、“沙漏型”、“母子型”.2、通过推理掌握证明比例式、等积式、求线段长及求面积的方法. 过程与方法目标：通过学生体验，小组讨论，使知识口诀花，模型化.情感态度与价值观目标：体验框架式教学，增强模型意识，增强学习数学的信心、兴趣. ◆ 重点：通过模型的学习，掌握相似中的证明，定理性质推论.◆ 难点：性质定理及推论的选择、运用，理清知识间的相互联系.◆ 知识储备：（一）相似三角形的常见模型：1、“金字塔”模型2、“沙漏”模型3、“母子”模型2、相似三角形的判定定理和性质：判定：①两角分别相等的两个三角形相似. ②两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似. ③三边对应成比例的两个三角形相似.④平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似. 性质：①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应边上高的比、对应边上中线的比、对应角平分线的比，周长的比都等 于相似比.③相似三角形的面积比等于相似比的平方.◆ 教学过程第一环节 自主做学,知识链接例1、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，则：⑴_______==CDAE DF EF ； (2)△AEF 的周长：△CDF 的周长= ； (3)若5AEF =△S ，则_______CD F =△S .(4)过点F 作CD FG ⊥于点G ，交AB 于点H ，则______=FG FH . 第二环节 合作探究相似三角形的模型运用：（一）“金字塔”模型例2、如图在△ABC 中，D 为BC 边上一点，连接AD ，分别过点B 、C 作AD 的平行线，分别交CA 、BA 的延长线与点F 、E ，求证：CEBF AD 111+= .口诀：平行线，比例现；中间比，关系连.变式演练：在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 作MN//AD 分别交AB 、CD 于点M 、N,求证：OM=ON.（二）“沙漏”模型例3、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，CD DE 21=. (1)求证：AF=2FD ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积.口诀：要求线段长，比例关系帮；模型在其中，面积自然来变式演练：如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE//AC,若 3:1S CD E BD E =△△：S ，则AOC DOE S △△：S 的值为（ ） 31.A 41.B 91.C 161.D(三)“母子”模型例4、如图，在△ABC 中，AB CD ,90⊥︒=∠BCA 于点D.(1)若AC=5，CD=4，求AD ，BD ，AB ，BC 的长.(2)若AC=6，CD=8，求AD ，BD ，AB ，BC 的长.口诀：双垂直母子型，射影定理要记清；知两段求四段，还有方法帮你算. 变式演练：如图，矩形ABCD 中，AD=a ，DC=b ，在AB 上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE=x ，问：这样的E 点是否存在？若存在，这样的点E 有几个？请说明理由.第三环节 课堂小结一般归纳：模型→思路→方法→答案→...... “记忆通向理解形成直觉”1、运用相似三角形的性质和判定解决相似中的模型问题.2、通过推理掌握证明比例式，等积式，以及求线段长、求角的方法.3、使知识模型化，口诀化，深度化，体验框架教学.。
中考数学专题复习 专题20 相似三角形问题(学生版)
中考专题20 相似三角形问题一、比例1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =(或a ：b=c ：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。
2．黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。
这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。
相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。
2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
3．三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。
(3)两个三角形相似的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
相似三角形的综合运用
相似三角形的综合运用相似1。
定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形。
2。
相似多边形的特性：相似多边的对应边成比例，对应角相等。
3.相似三角形的判定●(1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
●（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.●（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
●（4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
4。
相似三角形的性质●（1）对应边的比相等，对应角相等.●（2）相似三角形的周长比等于相似比。
●（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.●（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5。
三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.6。
梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。
7.相似三角形的应用：１、利用三角形相似,可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
知识考点:会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。
另外,直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。
【精典例题】：【例1】如图，已知，在边长为1的正方形ABCD 的一边上取一点E ，使AE ＝41AD ，从AB 的中点F 作HF ⊥EC 于H 。
(1)求证：FH ＝FA; （2)求EH ∶HC 的值。
证明：（1)连结EF ，FC ，在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠B ＝900∵AE ＝41AD ，F 为AB 的中点，∴BCFBAF AE = ∴△EAF ∽△FBC,∴∠AEF ＝∠BFC,∠EFA ＝∠CFB ∴∠EFC ＝900，21=FC EF 又∵∠EFC ＝∠B ＝900 ∴△EFC ∽△FBC∴∠HEF ＝∠BFC ，∠ECF ＝∠BCF ∴∠AEF ＝∠HEF,∠AFE ＝∠HFE ∴△EAF ≌△HEF ∴FH ＝FA （2）由（1）得21=FC EF ，由（1）易证△EHF ∽△EFC,从而可得EC EH EF ⋅=2，同理CE CH FC ⋅=2，于是EH ∶HC ＝2EF ∶2FC ＝1∶4 变式：如图，在矩形ABCD 中，65=BC AB ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，且EC ＝61BC ，FC ＝53CD,FG ⊥AE 于G ，求证：AG ＝4GE 。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。
一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。
这时候，相似三角形就派上用场了。
我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。
假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。
根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。
例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。
那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。
二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。
我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。
接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。
然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。
假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。
根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。
相似三角形的综合应用
初中数学优秀生特长生培训方案相似三角形的综合应用一，思想、方法解读利用相似三角形解决综合问题的方法与步骤 1、 分析题意2、 找出两个能解决问题的两个相似三角形3、 证明这两个三角形相似4、 写出比例式（要包含已知条件和题中要求的未知量或相关量）5、 由比例式解决问题或由比例式列方程解决问题 二，思想方法分类例析（一）相似三角形与几何综合问题例1、如图1，在矩形A B C D 中，AB=4,AD=10.直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A,D 不重合），一直角边经过点C,另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt △AEP ∽Rt △DPC ”成立．（1）当∠CPD=030时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P ，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．例2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3㎝，BC ＝7㎝，∠B ＝60°AB ＝DC.P 为下底BC 上一点(不与B 、C 重合)，连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE ＝∠B ⑴求证：△ABP ∽△PCE⑵求等腰梯形的腰AB 的长⑶在底边BC 是否存在一点P ，使得DE ∶EO ＝5∶3？如果存在，求BP 的长；如果不存在，请说明理由.ABPC ED例3．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．例4．已知：如图，□ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120°，E为BC上一动点(不与B点重合)，作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF 的面积为S．(1)求证：△BEF∽△CEG；(2)求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；(3)当E点运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?例5．已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．三，练习与测试1、如图所示，正方形ABCD 的边长为2，AE=BE ，MN=1。
九年级数学上册《相似三角形的综合应用》教案、教学设计
2.教学过程：
（1）导入新课：通过生活中的实例，如地图比例尺、照片放大缩小等，引出相似三角形的概念；
（2）新课展开：引导学生复习旧知，如全等三角形的判定，自然过渡到相似三角形的判定方法；
（3）实例讲解：结合实际问题，讲解相似三角形的性质和判定方法，让学生体会数学与生活的联系；
在我们的生活中，相似三角形的应用无处不在。比如，设计师在设计图案时，摄影师在拍摄照片时，都会用到相似变换。现在，让我们一起来看看这张图片（展示一张包含相似三角形的图片，如建筑物的立面图），你们能发现其中的相似三角形吗？它们有什么特别之处？通过这个导入，我希望大家能够感受到相似三角形在现实生活中的重要性，激发起对今天新课的兴趣。
5.完成课后在线练习，包括相似三角形的相关知识点，巩固课堂所学。同学们可以利用学校提供的在线学习平台，进行自主学习，提高自己的数学素养。
在完成作业的过程中，同学们应注意以下几点：
1.认真审题，注意题目中的关键信息，确保解题过程的准确性；
2.规范书写，保持解答过程的简洁、清晰，养成良好的学习习惯；
3.遇到问题，主动与同学、老师交流，积极寻求帮助，提高解决问题的能力；
1.学生在解决相似三角形问题时，可能对判定方法和性质的应用存在困惑，需要教师耐心引导和解答；
2.学生的几何直观能力有待提高，教师应设计丰富的教学活动，帮助学生通过观察、画图等方式，提高几何直观能力；
3.学生在小组合作中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题，教师需引导学生积极参与，提高合作效率；
4.针对不同学生的认知水平，教师应设计有梯度的教学任务，使每个学生都能在课堂上得到锻炼和提升；
（4）巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生在练习中掌握知识，形成技能；
相似三角形判定1-学生版
基本内容相似三角形的判定（一）知识精要1、相似三角形：若一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．即：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边．2、相似比：两个相似三角形对应边的比k，叫做这两个相似三角形的相似比（相似系数）．如：若△DEF与△ABC相似，则AB BC AC DE EF DF==．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础．4、三角形相似的判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两三角形相似．三角形相似的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．热身练习1、在△ABC中，E、F分别在AC、AB上，且AF AB AE AC⋅=⋅，则下列各式中正确的是（）A．EF AFAC BC=；B．AF BCAE AB=；C．EF AEBC AC=；D．BC ABEF AE=．2、BD、CE是△ABC的两条高，BD、CE相交于点O．下列结论中不正确的是（）A．△ADE∽△ABC；B．△DOE∽△COB；C．△BOE∽△COD；D．△BOE∽△BDE．3、下列各组有可能不相似的是（）A ．各有一个角是45︒的两个等腰三角形；B ．各有一个角是60︒的两个等腰三角形；C ．各有一个角是105︒的两个等腰三角形；D ．两个等腰直角三角形．4、在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足D 在斜边AB 上，则下列四个结论中正确的是（ ）①2AC AD AB =⋅； ②2BC BD AB =⋅； ③2CD AD BD =⋅； ④AC BC AB CD ⋅=⋅． A ．①②④； B ．②③④； C ．①③④； D ．①②③④．5、已知点P 是△ABC 的边BC 的中点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似，那么这样的直线最多有（ ）条A ．5；B ．4；C ．3；D ．2．精解名题例1、已知在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE ∥BC ，DE 交AC 于点E ， △ADE 与△ABC 有什么关系？例2、根据下列条件，判断△ABC 与△'''A B C 是否相似，并说明理由：（1）120A ∠=︒，7AB =cm ，14AC =cm ； '120A ∠=︒，''3A B =cm ，''6A C =cm ． （2）4AB =cm ，6BC =cm ，8AC =cm ； ''12A B =cm ，''18B C =cm ，''21A C =cm ．例3、四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，1OA =，1.5OB =，3OC =，2OD =，求证：△OAD 与△OBC 是相似三角形．备选例题GF E DCBA例1、点D 是△ABC 的边AB 上的一点，且2AC AD AB =⋅，求证：△ACD ∽△ABC ．例2、如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起， A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒， 它们的斜边长为2， 若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），设BE m =，CD n =．（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围．（3）以△ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC 上找一点D ，使BD CE =，求出D 点的坐标，并通过计算验证222BD CE DE +=．（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．巩固练习1、下列命题中，不正确的是（ ）Gy xOFE DCBAA ．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等；B ．等腰直角三角形都是相似三角形；C ．有一个角为60︒的两个等腰三角形相似；D ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似． 2、下列结论中，不正确的是（ ）A ．有一个角相等，有两条边对应成比例的两个三角形相似；B ．顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似；C ．如果三角形两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似；D ．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似． 3、△ABC ∽△'''A B C 且相似比为13错误!未找到引用源。
相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案
相似三角形性质与判定的综合运用一、解答题1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．(1)求证：△BC1F∽△AGC1;(2)若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．2.已知：如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．(1)求证：EF=AE−BE．(2)连接BF，如果AFBF =DFAD，求证：EF=EP．3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．(2)求∠1+∠2的度数．4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求AE的长．5.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米，如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高度．6.已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线上的两点，且∠ECF=135°．(1)求证：△ECA∽△CFB；(2)若AE=3，设AB=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．7.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，(1)求证：AC2=AB⋅AD；(2)求证：△AFD∽△CFE．8.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．(1)求证：△ACD∽△BAC；(2)求DC的长；(3)试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC．(2)设AFFC =12，①若BC=12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．10.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？．答案和解析1.【答案】解：(1)证明：由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90∘，∴∠BFC1+∠BC1F=90∘，∠AC1G+∠BC1F=90∘，∴∠BFC1=∠AC1G，∴△BC1F∽△AGC1．(2)∵C1是AB的中点，AB=6，∴AC1=BC1=3，∵CF=C1F，∴C1F=BC−BF=9−BF，∵∠B=90∘，∴BF2+BC12=C1F2，即BF2+32=(9−BF)2，解得BF=4，由(1)得△AGC1∽△BC1F，∴AGBC1=AC1BF，∴AG3=34，解得AG=94．【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长．2.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°．∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．在△ABE和△DAF中，∵{∠BEA=∠AFD,∠1=∠3,AB=DA,∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE−AF=AE−BE．(2)如图，∵AFBF =DFAD，而AF=BE．∴BEBF =DFAD，∴BEDF =BFAD，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3．∵∠1=∠3，∴∠4=∠1．∵∠5=∠1，∴∠4=∠5．即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．(1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；(2)利用AFBF =DFAD和AF=BE得到BEDF=BFAD，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．3.【答案】解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a，AC=√a2+a2=√2a，∵ACCF =√2aa=√2，CGAC=√2a=√2，∴ACCF =CGAC，∵∠ACF=∠ACF，∴△ACF∽△GCA；(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．【解析】(1)设正方形的边长为a，求出AC的长为√2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF 的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF 与△GCA相似；(2)根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．4.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．∴△ADF∽△DEC．(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE =AFCD，∴DE=AD⋅CDAF =√3×84√3=12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=√DE2−AD2=6．【解析】(1)根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；(2)由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．5.【答案】解：∵CD//AB，∴△EAB∽△ECD，∴CDAB =DEBE，即1.7AB=33+BD①，∵FG//AB，∴△HFG∽△HAB，∴FGAB =HGHB，即1.7AB=4BD+5+4②，由①②得33+BD =4BD+5+4，解得BD=15，∴1.7AB =315+3，解得AB=10.2．答：路灯A离地面的高度为10.2m．【解析】根据相似三角形的判定，由CD//AB 得△EAB∽△ECD ，利用相似比有1.7AB =33+BD ，同理可得1.7AB =4BD+5+4，然后解关于AB 和BD 的方程组求出AB 即可．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 6.【答案】(1)证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA =45°，∴∠CAE =180°−45°=135°，同理∠CBF =135°，∴∠CAE =∠CBF ，∵∠ECF =135°，∠ACB =90°，∴∠ECA +∠BCF =45°，∵∠ECA +∠E =∠CAB =45°，∴∠E =∠BCF ，∵∠CAE =∠CBF ，∴△ECA∽△CFB ；(2)解：∵AB =x ，∠CAB =45°，∠ACB =90°，AC =BC ，∴sin45°=CB x ， ∴CB =√22x =AC ，∵由(1)知△ECA∽△CFB ，∴AE CB =AC BF ，∴3√22x =√22x y ，∴y =16x 2，x 的取值范围是x >0，即y 与x 之间的函数关系式是y =16x 2，x 的取值范围是x >0．【解析】(1)根据等腰直角三角形性质求出∠CAE =∠CBF =135°，求出∠ECA +∠BCF =45°，∠E +∠ACE =45°，推出∠E =∠BCF ，即可推出两三角形相似；(2)根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数定义求出AC和BC长，根据两时间相似得出比例式，代入即可求出答案．本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．7.【答案】(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB⋅AD；(2)证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE//AD，∴△AFD∽△CFE．【解析】(1)根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；(2)根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，推出AD//CE即可解决问题；本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8.【答案】(1)证明：∵CD//AB，∴∠BAC=∠DCA又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD∽△BAC；(2)解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=8，由(1)知，△ACD∽△BAC，∴DCAC =ACBA，即 DC 8=810 解得：DC =6.4； (3)能．由运动知，BF =2t ，BE =t ，△EFB 若为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF =BE 时，10−2t =t ，解得t =103秒．②当EF =EB 时，如图，过点E 作AB 的垂线，垂足为G ，则BG =12BF =12(10−2t).此时△BEG∽△BAC∴BEAB =BGBC ，即t 10=12(10−2t)6， 解得：t =258；③当FB =FE 时，如图2，过点F 作AB 的垂线，垂足为H则BH =12BE =12t.此时△BFH∽△BAC∴BFAB =BHBC ，即10−2t 10=12t 6， 解得：t =6017综上所述：当△EFB 为等腰三角形时，t 的值为103秒或258秒或6017秒．【解析】(1)利用平行线判断出∠BAC =∠DCA ，即可得出结论；(2)先根据勾股定理求出AC =8，由(1)知，△ACD∽△BAC ，得出DC AC =ACBA ，即可得出结论；(3)分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键． 9.【答案】(1)证明：∵DE//AC ，∴∠DEB =∠FCE ，∵EF//AB，∴∠DBE=∠FEC，∴△BDE∽△EFC；(2)解：①∵EF//AB，∴BEEC =AFFC=12，∵EC=BC−BE=12−BE，∴BE12−BE =12，解得：BE=4；②∵AFFC =12，∴FCAC =23，∵EF//AB，∴△EFC∽△BAC，∴S△EFCS△ABC =(FCAC)2=(23)2=49，∴S△ABC=94S△EFC=94×20=45．【解析】(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，即可得出结论；(2)①由平行线的性质得出BEEC =AFFC=12，即可得出结果；②先求出FCAC =23，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD =AECE，∴AB1.6=212.5，∴AB=13.44(米)．答：教学大楼的高度AB是13.44米．【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．。
相似三角形中的基本模型-半角模型(学生版)
相似三角形中的基本模型--半角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型(相似模型)【常见模型及结论】1)半角模型(正方形中的半角相似模型)条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF=45°结论：如图1，△AMN∽△AFE且AFAM=AEAN=EFMN=2．(思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE)；图1图2结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且AFAM=ACAB=2；图3图4结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN.2)半角模型(特殊三角形中的半角相似模型)(1)含45°半角模型图1图2条件：如图1，已知∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=∠DAE=45°；结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②ABBE=ADAE=CDAC；③AB⋅AC=BE⋅CD(AB2=BE⋅CD)(2)含60°半角模型条件：如图1，已知∠BAC=120°，∠ADE=∠DAE=60°；结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②ADBD=CEAE=ACAB；③AD⋅AE=BD⋅CE(DE2=BD⋅CE)1(2023·山东济南·九年级期中)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M，N．下列结论：①AB2=BN⋅DM；②AF平分∠DFE；③AM⋅AE=AN⋅AF；④BE+DF=2MN．其中正确的结论是()A.①②③④B.①②③C.①③D.①②2(2023·山东滨州·统考中考模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD 上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为．3(2023·福建龙岩·统考一模)如图，∠ACB=90°,AC=BC,∠DCE=45°，如果AD=3,BE=4，则BC 的长是( )．A.5B.52C.62D.74(2023·广东·九年级专题练习)如图，ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点D为BC边上的点，点E为线段CD上一点，且CE=1，AB=23，∠DAE=60°，则DE的长为．5(2023·辽宁沈阳·统考二模)在菱形ABCD中，∠B=60°．点E，F分别在边BC，CD上，且BE= CF．连接AE，AF．(1)如图1，连接EF，求证：△AEF是等边三角形；(2)AG平分∠EAF交BC于点G．①如图2，AG交EF于点M，点N是BC的中点，当BE=4时，求MN的长．②如图3，O是AC的中点，点H是线段AG上一动点(点H与点A，点G不重合)．当AB=12，BE=4时，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出AHAG的值；若不存在，请说明理由．6(2023山东九年级期中)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点(不与点B，C，D重合)，AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．(1)求证：AFAM =22；(2)求证：AF⊥FM；(3)请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．7(2022·广东深圳·统考二模)【教材呈现】(1)如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，点A为公共顶点，∠BAC=∠G=90°，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF，AG与边BC分别交于点D，E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，则结论BE⋅CD= AB2是否成立(填“成立”或“不成立”)；【类比引申】(2)如图2，在正方形ABCD中，∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别与BD，BC交于点E，F，且满足∠EAF=∠ADB，求证：△ADE∽△ACF；【拓展延伸】(3)如图3，菱形ABCD的边长为12cm，∠BAD=120°，∠EAF的两边分别与BD，BC相交于点E，F，且满足∠EAF=∠ADB，若BF=9cm，则线段DE的长为cm．课后专项训练1(2023·广东深圳·九年级校考阶段练习)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M，N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：①AN=EN，AN⊥EN；②BE +DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④EF2=2BM2+2DN2．其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.12(2022·广东深圳·统考一模)如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，CF=2DF，连接AE，AF与对角线BD交于点M，N，连接MF，EN．给出结论：①∠EAF=45°；②AN⊥EN；③tan∠AMN=3；④DN:MN:BM=2:5:3．其中正确的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④3如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C ，AB 、AC 分别交对角线BD于点E、F，若AE=4，则EF⋅ED的值为()A.4B.6C.8D.164如图，菱形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD边上的动点，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论：①ΔBEC≌ΔAFC；②ΔECF为等边三角形；③∠AGE=∠AFC；④若AF=1，则GFGE=12．其中正确个数为()A.4B.3C.2D.15(2023·浙江绍兴·校联考三模)矩形ABCD中，AB=6，AD=12，连接BD，E，F分别在边BC，CD上，连接AE ，AF 分别交BD 于点M ，N ，若∠EAF =45°，BE =3，则DN 的长为．6(2023·成都市·九年级专题练习)如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ；②AE BE =AD CD ；③△ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积；④BE 2+DC 2=DE 2；⑤BE =EF -DC ；其中正确的选项是(填序号)7(2023·上海宝山·校考一模)如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE =∠B =30°，且AD AE=32，那么DEBC 的值是．8(2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中)通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．(1)思路梳理∵AB =CD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合.∵∠ADC =∠B =90°，∠FDG =180°，∴点F ，D ，G 共线.根据(从“SSS ，ASA ，AAS ，SAS ”中选择填写)，易证△AFG ≌，得EF =BE +DF ．(2)类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°.若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．(3)联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°.猜想BD，DE，EC 应满足的等量关系，并写出推理过程．(4)思维深化如图4，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左边，且∠DAE= 30°，当AB=4，BD=1时，直接写出CE的长．9(2023·陕西西安·九年级校考期中)问题研究，如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E为底边BC 上的两个动点(不与B、C重合)，且∠DAE=∠B．(1)请在图中找出一个与△ABE相似的三角形，这个三角形是；(2)若∠BAC=90°，分别过点D、E作AB、AC的垂线，垂足分别为F、G，且DF、EG的反向延长线交于点M，若AB=1，求四边形AFMG的面积；问题解决(3)如图所示，有一个矩形仓库ABCD，其中AB=40米，AD=30米，现计划在仓库的内部的E、F两处分别安装监控摄像头，其中点E在边BC上，点F在边DC上．设计要求∠EAF=45°且CE=CF，则CE的长应为多少米？10(2023·陕西汉中·九年级统考期末)如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点D为BC边上一点．(1)如图1，若AD=AM，∠DAM=120°．①求证：BD=CM；②若∠CMD=90°，求BDCD的值．(2)如图2，点E为线段CD上一点，且CE=4，AB=63，∠DAE=60°，求DE的长．11(2023·辽宁沈阳·九年级统考期末)【教材呈现】(1)如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠G=90°，BC=6，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF、AG与边BC分别交于点D，E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)①求证：AE2=DE•BE；②求BE•CD的值；【拓展探究】(2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，点D，E在边BC上，∠B=∠DAE=30°，且AD=34 AE，请直接写出DEBC的值．12(2022秋·广东·九年级深圳市福田区北环中学校考期中)如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN=MN．【实践探究】(1)在图①条件下，若CN =6，CM =8，则正方形ABCD 的边长是．(2)如图②，点M 、N 分别在边CD 、AB 上，且BN =DM ．点E 、F 分别在BM 、DN 上，∠EAF =45°，连接EF ，猜想三条线段EF 、BE 、DF 之间满足的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点M 、N 分别在边DC 、BC 上，连接AM ，AN ，已知∠MAN =45°，BN =2，求DM 的长．13(2023春·江苏·八年级专题练习)问题背景：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ．洋洋同学给出了部分证明过程，请你接着完成剩余的证明过程．证明：延长FD 到点P 使DP =BE ，连接AP ，∵正方形ABCD ，∴AB =AD ，∠ADP =∠ABE =90°，在 Rt △ABE 和Rt △ADP 中，AB =AD∠ABE =∠ADPBE =DP∴Rt △ABE ≌Rt △ADP (SAS )迁移应用：如图2，在正方形ABCD 中，QA 、QB 交CD 于点G 、H ，若∠AQB =45°，CH =3，GH =1，求AG的长．联系拓展：如图3，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°，若DF :AD :AB =1:2:4，探究BE 与EC 的数量关系，并给出证明．14(2023·浙江杭州·九年级期中)已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与边BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ．设CE =a ,CF =b ．(1)如图1，当∠EAF 被对角线AC 平分时，求a 、b 的值；(2)当△AEF 是直角三角形时，求a 、b 的值；(3)如图3，探索∠EAF 绕点A 旋转的过程中，△CEF 的面积是否发生变化？请说明理由．15(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD 中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C 重合，绕点C 旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．。
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知识精要1、比例线段及性质 (1)比例线段的概念(2)比例性质：基本性质、更比性质、合比性质、等比性质、比例中项 2、三角形一边的平行线性质定理及其推论3、相似三角形的判定及性质(1) 相似三角形的判定方法：预备定理、AA 、SSS 、ASA 、HL 、传递性 (2)相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。
4、三角形相似的基本模型：(1)平行型：如图，“A”型即公共角对的边平行，“X”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；常见条件：①//DE BC ，②::AD AB AE AC =，③AD AC AE AB ⋅=⋅，④ADE B ∠=∠(2)相交线型：如图，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角(或对顶角)的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.常见条件：①AD AB AE AC ⋅=⋅②::AD AC AE AB =③ ADE C ∠=∠ (3)旋转型：常见条件：已知△BAC ∽△DAE ， 求证：△BAD ∽△CAE. (4)嵌入型：已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠DAE=45°.找出相似的三角形.EA BCDDCB A已知△ABC 是等边三角形，∠DAE=120°.找出相似的三角形.常见条件：① 已知∠B=∠C=∠EDF ，找出相似的三角形.② 已知∠B=∠C=∠EDF ，D 为BC 的中点，找出相似的三角形. (5)一线三等角：常见条件：B C EDF ∠=∠=∠ (6)子母三角形：(相交线型推广)常见条件：①，2AC AD AB =⋅③2BC BD BA =⋅④2CD AD BD =⋅FEBCD(7)双高型推广：左图两对相似三角形：ABD △∽△ACE △OCD ∽△OBE 中图六对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE右图八对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE △ADE ∽△ABC △ODE ∽△OBC (后两个相似写出证明过程)常见条件：①ABD ACE ∠=∠，②ADB AEC ∠=∠，③,CE AB BD AC ⊥⊥. 5、常见的三角形面积比(1)如图一：△ABC 中，若BD ：CD=m ：n ， 则S △ABD ：S △ACD=m ：n(2)如图二：△ABC 和△BCD 同底，则两个三角形面积之比 等于两个三角形BC 边上的高之比.(3)蝴蝶定理：在梯形ABCD 中，若AO ：OC=m ：n ，则： 1) S △AOD ：S △COD=S △AOB ：S △BOC=m ：n 2) S △AOD ：S △AOB=S △COD ：S △BOC=m ：n 3)S △COD=S △AOB 4)S △AOD ：S △BOC=22:m nODCBA例1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，联结AP，过P点做PE交DC于E，使得∠APE=∠B。
(1)求证：△ABP∽△PCE；(2)求等腰梯形的腰AB的长；(3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由。
例2.已知：如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，AD与BE交于点F。
(1)求证：△BDF∽△BEC；(2)如果AB=12，BD=4，求S△BDF：S△BEC例3. 如图，已知在△ABC中，D为AC上一点且CD=2AD，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于点E，联结AE。
(1)写出图中所有相等的线段，并加以证明；(2)图中有无相似三角形？若有，请写出所有的相似三角形并加以证明；若没有，请说明理由；(3)求△BEC与△BEA的面积之比。
例4：如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，AC=12，AD∥BC，点E在AC边上，∠DEA=∠B，DE的延长线交BC于F。
(1)找出图中的相似三角形，并证明；(2)求DF的长；(3)设DE=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域。
例5 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在BD的延长线上，BA﹒BD=BC﹒BE。
(1)求证：AE=AD；(2)如果点F在BD上，CF=CD，求证：BD2=BE﹒BF例6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一动点，且点P不与A和B重合，过点P作PE⊥AB交AC边(或者CB边)于E点，点E不与点C重合，可将△ABC分割成一个小三角形和一个四边形，若AB=5，AC=4，设AP的长为x，分割的四边形周长为y，求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围。
例7. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是射线CD上一动点，将一把三角尺的直角顶点与点P重合，一条直角边始终经过点B，另一条直角边所在直线与射线AD相交于点E。
设CP=x，DE=y.(1)当点P在线段CD上时，求证：△BPC∽△PED；(2)当点P在线段CD的延长线上时，求y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；(3)当DE=1时，求CP的长。
例8. 如图，矩形ABCD中，AD=a，DC=b，在边AB上找一点E，使点E与点C、D的连线将此矩形分割成的三个三角形相似。
问：这样的点E是否存在？如果存在，这样的点E有几个？说明理由；如果不存在，也请说明理由。
例9. 如图，△ABC中，AB=AC。
点B1在边AB上，且△A1B1C∽△ABC，联结AA1.(1)求证：△A1AC∽△B1BC；(2)求证：AA1∥BC；(3)设AB=AC=10，BC=6，BB1=x，AA1=y，求y 关于x的函数关系式，并写出其定义域；(4)在(3)的条件下，四边形ABCA1能否成为平行四边形？如果能，求出BB1的长；如果不能，请说明理由。
例10. 如图，△ABC，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，CD⊥AB，垂足为D。
任意作∠EDF=60°，点E、F分别在边AC、BC上，AE=x，BF=y.(1)求y关于x的函数关系式，并指出它的定义域；(2)当x为何值时，△BDF是等腰三角形？巩固练习 一、选择题1．梯形两底分别为m 、n ，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为( )(A)mn n m + (B)n m mn +2 (C)n m mn + (D)mnnm 2+ 2．如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AC AD ＝31，AE ＝BE ，则有( ) (A)△AED ∽△BED(B)△AED ∽△CBD (C)△AED ∽△ABD(D)△BAD ∽△BCD第2题 第3题 第4题 3．如图，∠ABD ＝∠ACD ，图中相似三角形的对数是( )(A)2(B)3(C)4(D)54．如图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是( )(A)∠APB ＝∠EPC (B)∠APE ＝90° (C)P 是BC 的中点 (D)BP ︰BC ＝2︰3 5．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且有下列条件： (1)∠B ＋∠DAC ＝90°； (2)∠B ＝∠DAC ；(3)AD CD ＝ABAC； (4)AB 2＝BD ·BC ；其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( )(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个第5题第6题6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有( )(A)△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周长 (B)△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积 (C)△ABE ∽△DEC (D)△ABE ∽△EBC7．如图，在□ABCD 中，E 为C D 上一点，DE ︰CE ＝2︰3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ︰S △EBF ︰S △ABF 等于( )(A)4︰10︰25 (B)4︰9︰25 (C)2︰3︰5 (D)2︰5︰25第7题 第8题 第9题8．如图，直线a ∥b ，AF ︰FB ＝3︰5，BC ︰CD ＝3︰1，则AE ︰EC 为( )．(A)5︰12 (B)9︰5 (C)12︰5 (D)3︰29．如图，在△ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝41AB ，连结EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC ︰CD 为( )(A)2︰1 (B)3︰2 (C)3︰1 (D)5︰2二、填空题10. 已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是_____cm ，a ＋b 与a －b 的比例中项是_____cm ．11. 若c b a +＝a c b +＝b c a +＝－m 2，则m ＝______．第12题 第13题 第14题12. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝27，D 在AC 上，且BD ＝BC ＝18，DE ∥BC 交AB 于E ，则DE ＝_______．13．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15，AF ＝4，则DE 的长等于________．14．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝8，BC ＝10，则梯形ABCD 面积是_________．自我测试一、填空题1. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，四边形DECF 是此三角形的内接正方形，已知5AC =，3BC =，则:AE DF =_______.2. 如图，ABC ∆中，EF ∥BC ,AD 交EF 于点G ，若:2:5EG GF =，则:BD DC =_______.3. 如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，F 为垂足，则DF之长为_______.4. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN 是中位线，对角线BD 将梯形分为两部分面积之比:1:3ABD BCD S S ∆∆=，则S 梯形ADMN :S 梯形BCMN =_______.5. 如图，已知G 点是ABC ∆的重心，若过G 点分别作边AB 、AC 的平行线交边BC 于点D 、E 则:GDE ABC S S ∆∆的值是_______.6. 如图，已知，:1:3AE EB =，AD 与CE 相交于F ，且F 是AD 的中点，则:BD DC 的值是 _______.7. 两个相似三角形的面积之比是25:16，周长之差是12cm ，则较小三角形的周长是_______.8. 如图，AD DF FB ==，AE EG GC ==，则ADE S ∆:S 四边形DEFG :S 四边形FBCG =_______.二、选择题1. ABCD 是平行四边形，E 是BC 上一点，AE 交BD 于F ，若:4:5BE EC =，则:BF FD 为( )(A)4:5(B)4:9 (C)5:9 (D)4:102. 如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，在下列比例式中，不能判定DE ∥BC 成立的是( ) (A)AD AE DB EC = (B)DE AE BC AC = (C)AB AC AD AE = (D)DB AB EC AC = 3. 在Rt ABC ∆中，C ∠为直角，CD AB ⊥，D 为垂足，若4AD =，6BD =，则ABC ∆的面积为( )(A)46 (B)66 (C)106 (D)2064. 如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则相似三角形有( )(A)4对 (B)5对 (C)6对 (D)7对5. 在正三角形ABC 中，P 为BC 边上一点，D 为AC 上一点，且60APD ∠=︒，1BP =，23CD =，则ABC ∆的边长为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 6. 如果两个三角形的两条边对应相等，并且第三边上的高也对应相等，那么这两个三角形( )(A)面积相等(B)相似 (C)全等 (D)以上都不对 7. CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，如果1AB =,:4:1AC BC =,则CD =( )(A)117 (B)217 (C)317 (D)417三、解答题1. ABC ∆中，E 为BC 上一点，且BE AB AB BC=，又AD BC ⊥，D 为垂足，EF AB ⊥，F 为垂足。