山东省青岛市西海岸新区(黄岛区)2020年高三3月模拟考试数学试题(含答案)

12.ABD
三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 6 , 135
14. 9 15. 3
16. 114 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。
17.【分析】
解:(1)设数列an 的公差为 d ，
由题意知:
a1
a2
a3
a4
CA (0, 2, 2) ， CS
(1,1, 0) ， CE
333 (2, 2, 4) .
………7 分
333
设平面 SAC 的一个法向量为 m = (x, y, z) ，则
mmCCAS
0 0
，即
y x
z y
0 0
,
不妨令 z 1，得 x 1 ， y 1，于是 m (1, 1,1) .
错的得 0 分。
9.已知向
量
a
(1,2),
b
(2,1),
c
(1,
m)
，若
c
//(2a
b)
，则下列结论正确的是
（）
A． m 3 4
B．
a
b
C．
a
b
10
D．cos a, c 2 5 5
10.已知函数 f (x) 2 cos2 x cos(2x ) 1，则（ ） 2
A. f (x) 的图像可由 y
1
，集合
B
x
|
log
x 1
2 ，，
2
则 (ðU A) B =( )
A． 0,1 3, 4 B． ,1 3, 4 C． 0,13, 4 D． ,1 3, 4
3.设
a
(
1 2
)
3
4，b
(
3 4
)
1 2
,
c
log
3
,
则
a,
b,
c
的大小关系为（
A． a b c
B． c a b
C． b c a
，求
ABC
的面积。
20.(12 分）春节期间爆发的新型冠状病毒(2019-nCoV)，是一种可以借助飞沫和 接触传播的变异病毒。某定点医院为筛查某人是否感染该病毒，需要检验血液是 否为阳性，现有 i 份血液样本，有以下两种检验方式: (1) 逐份检验，则需要检验 n 次;
(2)混合检验，将其中 i ∈ 且
所以二面角 S AC E 的余弦值为 1 . ……………………………………12 分 3
19.【分析】
（1）结合正弦定理，条件选择① 3a sin C 4c cos A ，则 3sinAsinC 4sinCcosA ，再利
用公式 sin2 A cos2 A 1 求 sin A ；
若选择条件②，由正弦定理和诱导公式可得 2sinBcos A 5sinAsinB ，再根据二倍角公 2
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.B 2.A 3.D 4.C
5. A 6.C 7. C 8.A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选
错的得 0 分。
9.ABD
10.BC
11.BC
2 ，1 B. e2 e
2 ，1 C. e2 e
1 ，2 D. e2 e
6.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”
“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数 为（ ）
A. 216
21.
已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率
e
满足 2e2
3
2e 2 0 ，右顶点
为 A，上顶点为 B，点 C(0，－2)，过点 C 作一条与 y 轴不重合的直线 l，直线 l 交椭圆 E 于 P，Q 两点，直线 BP，BQ 分别交 x 轴于点 M，N；当直线 l 经过点
A 时，l 的斜率为 2 ．
(2)现取其中 i ∈ 且
份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要
检验的总次数为 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为
(i)试运用概率统计的知识，若
，试求 P 关于 k 的函数关系式 p= f(k);
(ii) 若
，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望
值比逐份检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值. 参考数据: ln2≈0.6931，ln3≈1.0986， 1n4≈1.3863，ln5≈ 1.6094， 1n6≈1.7918
.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤。
17.已知各项均不相等的等差数列{an}的前 4 项和为10 ，且 a1, a2 , a4 是等比数列
bn 的前 3 项.
(1)求 an ,bn ;
(2)设 cn
bn
an
1
an
1
，求cn 的前 n 项和
Sn
.
18.如图，在四棱锥 S-ABCD 中，ABCD 为直角梯形，AD∥BC,BC⊥CD，平面 SCD 丄 平 面 ABCD. Δ SCD 是 以 CD 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， BC=2AD=2CD=4,E 为 BS 上一点，且 BE=2ES. （1）证明：直线 SD∥平面 ACE； （2）求二面角 S-AC-E 的余弦值。
D.直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若二项式 (3x 1 )n 展开式中各项系数和为 64 ，则 n
x
，常数项为 .
14.已知圆 x 22 y 12 2 关于直线 ax by 1a 0,b 0 对称，则 2 1 的最小
因为 EF 平面 ACE ， SD 平面 ACE ，所以直线 SD // 平面 ACE .
……………………………………4 分
（2）平面 SCD 平面 ABCD ，平面 SCD 平面 ABCD CD ， BC 平面 ABCD ，
BC CD ，所以 BC 平面 SCD .
…………………………………5 分
8．已知点 A 为曲线 y x 4 x 0 上的动点，B 为圆 x 22 y2 1上的动点，则 AB
x
的最小值是（ ）
A．3
B．4
C． 3 2
D． 4 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选
ab
值为__________．
15．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，满足 f 1 x f 1 x ，若 f 1 3 ，则
f 1 f 2 f 3 f 2021
.
16.已知三棱台 ABC A1B1C1 的上下底面均为正三角形，其中 AB 4 ， A1B1 2 ，
AA1 BB1 CC1 2 ，该三棱台外接球的表面积为
b
0)
的两条互相垂直的切线的交点
p
的轨迹是圆
x2
y2
a2
b2
，这个圆被称为蒙日圆。已知椭圆
C:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的长轴长为 4 ，
长轴是短轴的两倍，左右焦点分别为 F1, F2 ,则下述正确的是（ ）
A.椭圆的方程为 x2 y2 1 16 4
B.
椭圆离心率 e
3 2
C.蒙日圆的方程为 x2 y2 5
所以 an n ，....4 分
b1 a1 1， b2 a2 2
， q b2 2 ，....5 分 b1
bn 2n1 .....6 分
(2)因为 cn
2n1
1
n n 1
2n1
1 n
1 n 1
，....7
分
所以
Sn
20
21
...
2n1
1
1 2
1 2
1 3
1 n
1 n 1
1 2n 1 1 12 n1
D.过焦点 F2 做直线 l 与椭圆交于 A, B 两点，则 ABF1 的周长为 16 12.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在线段 B1C 上运动，则 A.直线 BD1 丄平面 A1C1D
B.三棱锥 P-A1C1D 的体积为定值 C.异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是[45°,90°]
4a1 +
4 4 1
d 2
4a1
6d
10
①......... 1 分
又因为 a1, a2 , a4 成等比数列，
所以 a22 a1 a4 ，
a1 d 2 a1 a1 3d ，
d 2 a1d ， 又因为 d 0 ， 所以 a1 d . ②.........2 分
由①②得 a1 1, d 1，....3 分
2n 1 n 1
所以数列cn 的前
n
项和
Sn
2n
1 n 1.
....10 分
18.分析：
解：（1）连接 BD 交 AC 于点 F ,连接 EF .
因为 AD // BC ，所以 AFD 与 BCF 相似.
所以 BF BC 2 . FD AD
………………………………………………1 分
又 BE BF =2 ，所以 EF // SD . ……………………………………2 分 ES FD
） D． c b a
4.已知随机变量 服从正态分布 N 1, 2 ，若 P( 4) 0.9 ，则 P(2 1)
（）
A. 0.2
B. 0.3
C. 0.4
D. 0.6
5.函数 f(x)＝lnx＋a(a∈R)在区间[e－2，＋∞)上有两个零点，则 a 的取值范围是 x
()
2 ，1 A. e2 e
B. 480
C. 504
D. 624
7．设 F1 和 F2 为双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的两个焦点，若点 P 0, 2b ， F1, F2 是等
腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． y 3x
B． y 21 x 7
C． y 3 x 3
D． y 21 x 3
19.在① 3asinC
4ccosA;② 2bsin
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B
C 2
5asinB 这两个条件中任选-一个，补充
在下面问题中，然后解答补充完整的题.
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知
，a3 2 .
(1)求 sinA ;
(2)如图， M
为边
AC
上一点， MC
MB, ABM
2
2 sin 2x 的图像向左平移 4 个单位长度得到
B. x 是 f (x) 的对称轴 8
C. f (x) 在 0， 内有两个零点
D.
f
(x)
在
-
2
，0
上的最大值为
2
11.加斯帕尔﹒蒙日创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，他给出了蒙日
圆的定义：椭圆
C:
x2 a2
y2 b2
1(a
…………………9 分
设平面 EAC 的一个法向量为 n (x, y, z) ，则
nnCCEA
0 0
，即
x
yz y 2z
0
0
,
不妨令 z 1，得 x 1 ， y 1，于是 m (1, 1,1) . …………………11 分
设二面角 S AC E 的平面角的大小为 ，则 cos mn 1 . mn 3
(1)求椭圆 E的方程；
(2) 证明： SBOM SBCN 为定值．
22.已知函数
쳌
ᖸ쳌
,其中 O<a<e.
（1）求函数 f(x)的单调区冋；
（2）讨论函数 f(x)零点的个数；
（3）若 f(x)存在两个不同的零点 x1,x2,求证：x1x2<e2.
高三数学模拟试题答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选
以 C 为坐标原点，CD,CB 所在的方向分别为 y 轴、 z 轴的正方向，与 CD,CB 均垂直
的方向作为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz . ……6 分
则 C(0, 0, 0) ， S (1,1, 0) ， A(0, 2, 2) ， E( 2 , 2 , 4) ，
高三数学模拟试题
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数
Z
m 1
2i i
(
m
R,i
是虚数单位)是纯虚数，则复数
z
的虚部为（
）
A． 2i
B． 2
C． 2i
D． 2
2．已知全集U x | x R
集合 A
x|
x2
份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次 就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对 这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次.假设在接受检验 的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是 阳性结果的概率为 p(0<p<1). (1)假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求 恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.