05章 留数及其应用
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第5章-留数及其应用02-留数
3 留数的计算方法
例1： 解： 因为
z 1, z 2,
f (z)dz
z 3
Re s[
f
( z ), 1]
lim
z1
( ห้องสมุดไป่ตู้
1)
(z
ez 1)( z
2)
lim
z1
ez z
2
e
Re s[
f
( z ),
2]
lim
z2
( z
2)
(z
ez 1)( z
2)
lim
z2
ez z
1
e
2
解:
注： 当极点的级数高（三级或者三级以上），则计算繁杂.
第五章 留数及其应用
第二讲 留数与留数定理
主要内容
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算方法 4. 函数在无穷远点的留数
1 留数的定义
回顾：复变函数的积分 柯西-古萨基本定理： 柯西积分公式： 高阶导数公式： 闭路变形原理：
明星公式：
2 留数定理
如果函数 f(z) 在某区域 D 内除有限个孤立奇点外处处解析， 则利用复合闭路定理可以得到留数的一个基本定理. 定理: 设 f(z) 在区域内 D 除有限个孤立奇点z1, z2,…,zn外处处解 析, C 是 D 内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向曲线, 则
f (z)dz
z 3
f (z)dz
z 2
4 函数在无穷远点处的留数
N 1
Res f (z), zk Res f (z), 0
k 1
第五章留数及其应用资料
结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.
事实上，(z)在z0点解析，则(z)连续，(z0 ) 0， 于 是 ( z )在z0的 某 一 邻 域 内 不 为 零.
所以 f (z) (z - z0 )m(z)在z0的该邻域内仅
在z0 处 为 零.
13
性质5
若z0是f (z)的m级零点，则z0是
例如，
Re
s[sin z z
,0]
c-1
0.
(3) 此处的定义只是对有限孤立奇点来说的，
至于无穷远孤立奇点处的留数以后再讨论.
22
2、 留数定理
定理1 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1, z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
n
性质1 若z0为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价：
(i) f (z)在点z0的主要部分为零；
(ii)
lim
zz0
f
(z)
c0
(c0为 常 数);
(iii) f (z)在点z0的某去心邻域内有界. 8
3.2 若z0为f (z)的m (m 1) 级极点，则
f (z)
c-m (z - z0 )m
可以展开成洛朗级数：
cn (z - z0 )n cn (z - z0 )n c-n (z - z0 )-n . (1)
n-
n0
n1
f (z)在点z0的性质完全体现在级数的主要部分
c-n (z - z0 )-n .据此，将孤立奇点进行分类.
4
n1
2.1 可去奇点：展式中不含z-z0 负幂项，即
第五章 残数定理及其应用
( 5)
推论1
若z0是f ( z )的一级极点 , Re s[ f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
(4)
事实上，由条件 f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) 2 c 1 ( z z 0 ) 1
展开成洛朗级数求系数 c–1 的方法, 但如果能先知道
奇点的类型，对求留数更为有利。
以下就三类孤立奇点进行讨论：
( i )若z z0为可去奇点 c1 0 Re s[ f ( z ), z0 ] 0
( ii )若z z0为本性奇点 f ( z )
展开
cn ( z z0 ) n
若将f ( z )作Laurent级数展开:
z sin z 1 1 3 1 5 6 [ z ( z z z )] 6 z z 3! 5! 1 1 11 3 3! z 5! z
1 z sin z Re s ,0 6 5! z
0
推论2
当m=1时，式(5)即为式(4).
P(z) 设f ( z ) Q( z ) P ( z ), Q( z )在z0 处解析,
P ( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, Q' ( z0 ) 0 P ( z0 ) z0 是f ( z )的一级极点 且 Re s[ f ( z ), z0 ] , ( 6) Q' ( z 0 ) 事实上， Q( z 0 ) 0及Q' ( z 0 ) 0
内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)
留数定理及其应用
式，故 I = 2πi sin 0 = 0．
例3 I=
e1/z dz．
|z|=1
解 本题的被积函数 f (z) = e1/z 在圆周 |z| = 1 的内部有一个本性奇点 z = 0，它在
z = 0 处的 Laurent 展开式为 f (z) = e1/z = 1 + 1/z + . . . + 1/n!zn + . . .，故 Res f (0) =
n=−∞
则
cn
=
1 2πi
Γρ
(z
f (z) − a)n+1
dz.
令 n = −1，得
c−1
=
1 2πi
f (z) dz.
Γρ
与式 (1) 比较，即得
Res f (a) = c−1.
(2)
由此可知，可去奇点处的留数为 0． 注 有些书上直接用式 (2) 作为留数的定义，这与式 (1) 的定义显然是等价的．
数的问题．由上节可以看到，计算极点的留数主要涉及微分运算．对于本性奇点，必须作
Laurent 展开来计算其留数．作 Laurent 展开，通常归结为 Taylor 展开，而计算 Taylor 展
开式的系数也是微分运算问题．所以可以说，留数定理把积分运算转化成了比较容易的微分
运算，因此它为积分的计算提供了一项非常有用的技术．
§3 用留数定理计算围线积分
4
推论一（单极点的留数，第一公式） 若 a 是 f (z) 的单极点，则
Res f (a) = [(z − a)f (z)]|z=a.
(5)
推论二（二阶极点的留数） 若 a 是 f (z) 的二阶极点，则
Res f (a) = [(z − a)2f (z)] |z=a.
复变函数5章：留数
3z + 2 1 3z + 2 = 2 2 z (z + 2) z z + 2
而 3z + 2 在z=0处解析，且不等于0，所以z=0为二级极点 =0处解析 且不等于0 所以z=0为二级极点 处解析，
z+2
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
2. 极 点 【例】求下列函数的奇点，如果是极点，指出级数 求下列函数的奇点，如果是极点，
f (z) = ∑cn (z − z0 )n , ( 0 < z − z0 < δ )
∞ n=0
则称孤立奇点 则称孤立奇点z0为f(z)的可去奇点 孤立奇点z 【注】令f(z0)=c0，则f(z)在z0处解析
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
f (z) =
n=−∞
cn (z − z0 )n , ∑
z→z0
或写作 lim f (z) = ∞.
z→z0
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
2. 极 点 【例】求下列函数的奇点，如果是极点，指出级数 求下列函数的奇点，如果是极点，
3z + 2 (1) f (z) = 2 , z (z + 2)
1 (2) 3 z − z2 − z + 1
解：(1) z=0, -2为函数f(z)的孤立奇点 为函数f 由于
3z + 2 (1) f (z) = 2 , z (z + 2)
1 (2) 3 z − z2 − z + 1
解：(1) z=0, -2为函数f(z)的孤立奇点 为函数f 同理
1 3z + 2 3z + 2 = 2 z (z + 2) z + 2 z 2
而 3z + 2 在z=0处解析，且不等于0，所以z=0为二级极点 =0处解析 且不等于0 所以z=0为二级极点 处解析，
z+2
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
2. 极 点 【例】求下列函数的奇点，如果是极点，指出级数 求下列函数的奇点，如果是极点，
f (z) = ∑cn (z − z0 )n , ( 0 < z − z0 < δ )
∞ n=0
则称孤立奇点 则称孤立奇点z0为f(z)的可去奇点 孤立奇点z 【注】令f(z0)=c0，则f(z)在z0处解析
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
f (z) =
n=−∞
cn (z − z0 )n , ∑
z→z0
或写作 lim f (z) = ∞.
z→z0
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
2. 极 点 【例】求下列函数的奇点，如果是极点，指出级数 求下列函数的奇点，如果是极点，
3z + 2 (1) f (z) = 2 , z (z + 2)
1 (2) 3 z − z2 − z + 1
解：(1) z=0, -2为函数f(z)的孤立奇点 为函数f 由于
3z + 2 (1) f (z) = 2 , z (z + 2)
1 (2) 3 z − z2 − z + 1
解：(1) z=0, -2为函数f(z)的孤立奇点 为函数f 同理
1 3z + 2 3z + 2 = 2 z (z + 2) z + 2 z 2
数学物理方法 留数定理及其应用
1 dx , cosh x 1 dx 3 cosh x
对于条件(1)
奇点 z=/2i, 3/2i,
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
0
O
R
R
eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0
z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数
对于条件(1)
奇点 z=/2i, 3/2i,
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
0
O
R
R
eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0
z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数
复变函数与积分变换第5章 留数及其应用
例5.16 判断z 是否为 f ( z ) e 的孤立奇点？
z
为哪类奇点？
1 例5.17 判断z 是否为 f ( z ) 的孤立奇点？ sin z
例5.18 判断z 是否为 f ( z) tan z的孤立奇点？
2019/1/20 20
§5.2 留数
1.留数的概念及留数定理
z w0
2019/1/20 16
等价于 (w)在w=0的奇点类型。
在无穷远点的去心邻域内,f ( z)可展成洛朗级数
f ( z)
n
Cn z n ( R z )
(1)若对一切n 0, 有Cn 0, 则称为f ( z)的可去奇点 .
(2)若有且仅有有限个n 0, 使Cn 0，则称为f ( z)的极点.
例5.9 求 f ( z) z tan z(tan z sin z)的零点阶数.
2019/1/20 11
定理 5.4 若f ( z )在 z0 解析, 则 z0 为 f ( z ) 的 m 级零点的 充要条件为：
f ( n) ( z0 ) 0,(n 0,1,
m 1), f ( m) ( z0 ) 0.
(1)若对一切n 0, 有Cn 0, 则称 z0 为f ( z)的可去奇点.
这时, f (z)= c0 + c1(zz0) +...+ cn(zz0)n +.... 0<|zz0|< ,
显然 lim f ( z ) c0 , 补充定义 f z0 c0 ，
z z0
则在圆域|zz0|< 内就有 f (z)=c0+c1(zz0)+...+cn(zz0)n +..., 从而函数 f (z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.
第五章 留数 留数在定积分计算中的应用
个有界区域，函数 f(z) 在 D 内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,..., zn外处处解析. C是D内包围各 奇点的一条正向简单闭曲线,那么我们有：
n
C
f ( z )dz 2i Res[ f理的基本思想
D
zn C3 Cn z1 z2
z3
C1
显然，函数在z0处的留数C1就是积分 1 f ( z )dz 2 i C 的值.
其中，C为函数f ( z )的去心邻域0 z - z0 R 内绕z0的闭曲线，方向为逆时针方向.
注：留数Res[f(z), z0] 与圆C的半径r无关.
二、留数定理
定理 5.1 （留数定理）设 D 是复平面上的一
C
f ( z )dz 0
如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不 一定等于零。
定义5.1 设z0是解析函数f ( z )的孤立奇点， 我们把f ( z )在z0处的洛朗展开式中负一次 幂项的系数C1称为f ( z )在z0处的留数.记作 Re s[ f ( z ), z0 ]，即 Re s[ f ( z ), z0 ] C-1
求沿闭曲线C积分 求C内各孤立奇点处的留数.
三、留数的计算
求函数在孤立奇点处的留数的一般方法 ——将函数在以z0为中心的圆环内展开为 洛朗级数，求出级数中C-1(z-z0)-1项的系数C-1
如果z0是可去奇点，则Res[f(z), z0]=0;
如果z0是本性奇点，则往往只能用展开成洛朗
级数的方法来求C-1.
Res[f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
P( z ) lim( z z0 ) z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) P( z0 ) / Q '( z0 ).
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复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.11
求
f
(
z)
1
eiz z
2
在孤立奇点处的留数。
Re s( f (z),i) 1 Re s( f (z), i) e
2ie
2i
例
5.12
求
f
(z)
sec z z3
在z=0处的留数。
Re s( f (z), 0) 1
2
例 5.13 下列留数。
zez (1) Re s( z2 1,1)
解法一：z→1时，f(z)的极限不存在，且不为∞，
解法二：sin
1
1
z
1 1
z
1 3!(1
z)3
1 5!(1
z)5
...
所以，z=1本性奇点。
1
例 5.7 证明z=0是函数 f (z) zne z 的本性奇点。
1
1
lim znez lim xnex
z x 0
z x0
1
1
lim znez lim xne x 0
闭曲线，则
L
n
C2
i f (z) d z 2πi L
Res f (zk )
k 1
D
C1
Ck
图 5.1
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.14 计算积分 5z 2
i (1) |z|2 z(z 1)2 d z
(2) tan zdz 4i z 1
解：1)z=0是被积函数的一阶极点， z=1是二阶极点.
z p
p)
f
( z )]
1 p4 2ip2 (1 p2 )
I 2πp2 1 p2
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
利用留数定理计算实积分的步骤：
➢ 将实积分化成闭合回路的复积分 ➢ 利用留数定理 ➢ 计算留数 课堂练习：习题5.3(1)
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
（二） P(x) d x 型积分
2i[Re
sf
( ) Re
2
sf
( )]
2i
(2 )
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
课堂练习
cos z
计算积分
C
z3
dz
(C : z 1.逆时针)
解： z 0 是三阶极点，并且被包围于C中
Re
sf
(0)
1 lim
2! z0
d2 dz2
[z3
f
( z )]
1 lim
2! z0
d2 dz2
I
2 i
2πi
Res
f
( z ),2Biblioteka 3 4πlim
z 2
3
z
(2
3)
z2
1 4z
1
2π 3
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.24
求 I 2π cos 2 d
0 1 2 p cos p2
( p 1) 的值。
【解】 令
z ei 由于 cos 2 1 (e2i e2i ) 1 (z2 z2 )
,
z
z 1 )
iz 2 2i
zk (k 1, 2,, n) 为单位圆内部的n个孤立奇点．
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.23 求 I 2π d 的值。
0 2 cos
【解】 令 z ei 则
i i I
|z|1
2
1 z2
1
dz iz
2 i
1
|z|1
z2
4z
dz 1
2z
被积函数在 z 1内只有单极点 z 2 3，故
Res[ f (z), 0] lim z z0
5z 2 z(z 1)2
lim
z0
5z 2 (z 1)2
2
Res[
f
(z),1]
lim d z1 dz
(z
1)2
5z 2 z(z 1)2
lim
z1
2 z2
2
i 5z 2 d z 2πi(2 2) 0
|z|2 z(z 1)2
复变函数与积分变换
解：
z1
2
,
z2
皆为一阶极点，并且都被包围于C中
Re
sf
(
2
)
lim
z 2
(z
2
)
(2z
sin z
)(z
)2
2
2
Re
sf
(
)
lim
z
( z
)
(2z
sin z
)(z
)2
lim
z
(2z
sin z
)(z
)
c os z
1
lim
z 2(z ) (2z )
C
sin zdz
(2z )( z )2
sin z 1 0
z 2k
2
(sin z 1) z 2k 0 2
皆为2阶零点。
(sin z 1) z 2k 1 0 2 复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
定理 5.3 (极点的判定定理)
（1）f (z) 在奇点z0的去心邻域内的罗朗级数的主要部分为
有限多项；
（2）f (z) 在z0点的去心邻域 0 | z z0 | R 内能表示为
成都第理5章工留大数学及专其业应基用 础课
复变函数
第5章 留数及其应用
主讲教师： 陈小凤
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
本章目录
§5.1 解析函数的孤立奇点 §5.2 留数的定义及计算 §5.3 留数在实变量积分计算中的应用 *§5.4 对数留数与幅角原理
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
第5章 留数及其应用
5.2 留数的定义及计算
（一）留数的定义
若函数 f (z) 在z0的去心邻域 0 z z0 R 内解析，
则在此邻域内，可展开成洛朗级数
f (z) L cn (z z0 )n L c2 (z z0 )2 c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 ) L cn (z z0 )n L
(cos
z)
1 2
C
cos z3
z
dz
2i
Re
sf
(0)
i
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
5.3 留数定理在实积分 计算中的应用
（一） 2 R(cos ,sin ) d 0
型积分
2
n
R(cos ,sin ) d 2πi
0
Res[ f (z), zk ]
k 1
其中
f
(z)
1
R( z
z 1
第5章 留数及其应用
3、本性奇点
定理 5.5 (本性奇点的判定定理)
（1）f (z) 在奇点z0的去心邻域内的罗朗级数的主要部分为
无限多项。
（2）lim f (z) 不存在。 z z0
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.6 判断函数 f (z) sin 1 的孤立奇点的类型. 1 z
极限不存在， 为本性奇点。
z x 0
z x 0
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
定理 5.6
若z=z0为函数f(z)的本性奇点，且f(z)在z0的去 心邻域内不取0，则z=z0必为1/f(z)的本性奇点。
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
（三）孤立奇点∞的定义及分类
本节不要求。
复变函数与积分变换
2
2
因此
i i I
|z|1
z2
z2 2
1 2 p
1 z
z 1
p2
dz iz
|z|1
z4 1 2iz2 (1 pz)(z
dz p)
2
z=0为被积函数二阶极点， z=p 为一阶极点，故
Res[
f
(
z
),
0]
lim
z0
d dz
[
z
2
f
(
z)]
1 p2 2ip2
Res[
f
( z ),
p]
lim[( z
1
1
蜒 解： Res[ f (z),1] 1
2 i
ez
1
C z2 z dz 2 i
ez / z dz
C z 1
1
1 2 i e z e 2 i z
z 1
复变函数与积分变换
i 第5章 留数及其应用
（二）留数的计算
Res
f
(z0 )
1 2πi
C f (z) d z c1
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数
2、m阶极点
定义5.3 设函数f(z)在z0点的某领域解析，若 f(z0)=0，则称z0为解析函数f(z)的零点。
定理5.2 (零点判定定理)
如果f(z)在z0解析,那么z0为f(z)的m级零点的充要条件是
f (z) (z z0 )m(z)
其中φ(z)在点z0的邻域解析并且φ(z0)≠0 ,(m为正整数) 推论 z0为f(z)的m级零点的充要条件是 f (n) (z0 ) 0, n 1, 2,...m 1, f (m) (z0 ) 0
e 2
1
(2) Re s(
,i)
(z2 1)3
z sin z (3) Re s( z6 , 0)
3i 16
1 5!