复变函数与积分变换第5章留数
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.1 留数定理及留数的求法
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
1n
，0
z 1
1
故 z 1只能是二级极点，且 Res f z,1 1 .
留数定理
定理1 设函数 f z在区域D内除有限个
孤立奇点 z1, z2,L ，zn 外处处解析，c为D内 包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末
的二级极点，于是
Re s
f
z,1
lim z
z1
1
z
z
1 z
12
1 4
；
Re s
f
z , 1
lim z
z1
12
z
z
1 z
12
lim
z1
z
1
12
1 4
例1.6 求函数 f z tan z 在 z k （k
2
为整数）处的留数。
解因为 tan z sin z
cos z
sin
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证 把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来 （如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
式中负一次幂项 z z0 1 的系数 C1 是在逐
项积分过程中唯一留下的系数。
定义1 设 f (z)在孤立奇点z0的去心邻域 0 z z0 R
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
复变函数与积分变换5.2留数
f ( z )} ( m - 1)! c - 1 a ( z - z 0 )
令两端 zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)! 就是Res[f (z), z0], 即得规则2, 当 m=1时就是规则1。
规则 3
设 f ( z ) P z Q z , P (z)及 Q (z)在 z 0 都 解 析 ,
Res[ f ( z ), 0 ] lim z
z 0
e
z 2
z ( z - 1)
lim
e
z 2
z 0
( z - 1)
1.
z d e 2 R es[ f ( z ),1] lim ( z - 1) 2 ( 2 - 1)! z 1 d z z ( z - 1)
1 Q (z)
1 z - z0
( z ),
其 中 (z)在 z 0 解 析 , 且 (z 0 ) 0 . 故 z 0 为 f (z )的 一 级 极 点 .
根 据 规 则 1 , R es[ f ( z ), z 0 ] lim ( z - z 0 ) f ( z ) ,而 Q (z 0 )= 0 .
z
-1
d z 2 π i(
e 2
) 2 π i ch 1
2
我们也可以用规则3来求留数:
Res[ f ( z ),1] ze
z
2z
|
z 1
e 2
; e
-1
Res[ f ( z ), - 1]
ze
z
2z
|
z -1
2
.
这比用规则1要简单些.
例 2
《复变函数与积分变换》课程简介及教学大纲
《复变函数与积分变换》课程简介及教学大纲课程代码：112000531课程名称：复变函数与积分变换/Function of a Complex Variable and interal transformation课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯等内容。
一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。
本课程主要讲授复变函数与积分变换的基本理论和方法。
通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数与积分变换的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。
二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯共七章。
第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。
2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。
3 复变函数的概念及其复变函数的极限与连续性。
基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。
2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。
3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。
4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。
重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数的概念。
难点：用复数方法表示平面区域、曲线。
第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。
2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。
复变函数与积分变换第五章留数测验题与答案
第五章 留 数一、选择题： 1．函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点3．设0=z 为函数zz e xsin 142-的m 级极点，那么=m ( )（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323z z z ++的( )(A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点 6．设∑∞==)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re k zz f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）（A ） 21)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1sin )(-=（C ）z z z z f cos sin )(+=(D) ze zf z111)(--= 9．下列命题中，正确的是( ) （A ） 设)()()(0z z z z f mϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ） 若0)(=⎰c dz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos[Re 3ziz s ( ) （A ）32-（B ）32 （C ）i 32（D ）i 32-11．=-],[Re 12i e z s iz ( )（A ）i +-61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +65 12．下列命题中，不正确的是( )（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s （B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(zf 的一级极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( ) (A)0 （B ）i π2 （C ）niπ2 （D ）i n π2 14．积分=-⎰=231091z dz z z ( ) （A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）5i π 15．积分=⎰=121sin z dz z z ( ) （A ）0 （B ）61- （C ）3i π- （D ）i π-二、填空题1．设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点，那么=m ．2．函数zz f 1cos1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21ΛΛ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s ．3．设函数}1exp{)(22z z z f +=，则=]0),([Re z f s 4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s ． 5．双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设212)(z zz f +=，则=∞]),([Re z f s ． 7．设5cos 1)(zzz f -=，则=]0),([Re z f s ． 8．积分=⎰=113z zdz e z．9．积分=⎰=1sin 1z dz z ． 10．积分=+⎰∞+∞-dx x xe ix21 ． 三、计算积分⎰=--412)1(sin z z dz z e zz ．四、利用留数计算积分)0(sin 022>+⎰a a d πθθ五、利用留数计算积分⎰∞+∞-+++-dx x x x x 9102242六、利用留数计算下列积分： １．⎰∞++0212cos sin dx x xx x ２．⎰∞+∞-+-dx x x 1)1cos(2七、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m az =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数．八、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=． 九、设)(z f 以a 为简单极点，且在a 处的留数为A ，证明Az f z f az 1)(1)(lim2=+'→. 十、若函数)(z Φ在1≤z 上解析，当z 为实数时，)(z Φ取实数而且0)0(=Φ，),(y x f 表示)(iy x +Φ的虚部，试证明)()sin ,(cos cos 21sin 202t d f tt t Φ=+-⎰πθθθθθπ)11(<<-t答案第五章 留 数一、1．（D ） 2．（B ） 3．（C ） 4．（D ） ５．（B ）６．（C ） ７．（A ） ８．（D ） ９．（C ） 10．（A ） 11．（B ） 12．（D ） 13．（A ） 14．（B ） 15．（C ）二、1．9 2．2)2()1(π+π-k k 3．0 4．m - 5．16．2- 7．241-8．12i π 9．i π2 10．e i π 三、i π-316. 四、12+πa a .五、π125.六、１．)(443e e e -π ２．e1cos π。
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.2 用留数定理计算实积分
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
《复变函数与积分变换》 用留数定理计算实积分
在上半平面的所有奇点 .
Re s [ f ( z ) , ai ] = lim ( z − ai ) R ( z ) =
z → ai
∫
R
−R
R( x ) dx + ∫ R( z ) dz = 2π i
CR
∑
Res R( z ) , z k
Re s [ f ( z ) , bi ] = lim ( z − bi ) R ( z ) =
Im zk > 0
∑
iaz Res R( z ) e , zk
解：首先计算 I 1 = ∫−∞
=∫
x ei x dx x2 + a2
+∞ x cos x x sin x dx + i ∫ dx −∞ x2 + a2 x2 + a2
其中 R ( x ) = 注：
x + a1 x + L + a n , m−n≥1, x m + b1 x m −1 + L + bm R ( x ) e i a x dx
×
O a
z1
× znbx Nhomakorabea故 I =Ñ ∫ z =1
1+ z4 dθ 2iz 2 ( z − p )(1 − pz )
奇点为 0 , p , ,
1 p
若要计算
f (z)
∫
b
a
f ( x ) dx , 在复平面上增加若干条辅助线 Γ ,
使得 C = [a, b] + Γ 是一条简单闭曲线 , 设其内部为 D , 在 D 内只有有限个孤立奇点 , 则
z → ai
两边对 R 取极限：
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Pz Qz
eikz
在上半
由前式可导出以下两个公式
若点
a 为函数
fHale Waihona Puke zz hz
点 a 0,ha 0,
的一级极
( z 与hz 均在点a 解析,且
),则
Re
s
f
,
a
a ha
ha 0
方法五:若点 a 为函数 f z 的m 级极点,则
Re s
f
,a
m
1
1!lzima
e, 2
因此
Re s f z,1
ze z z2 1
z 1
ze z 2z z 1
e1 . 2
c
ze z dz z2 1
2i
e 2
e 1 2
2ich1
例3求
f
z
z
sin z6
z
在
z0
处的留数.
解:
Re
s
5.3 留数在计算某些定积分上的应用
第5章 留数及其应用
复变函数是一门工程数学，在工程技术上有 许多应用,复变函数在稳定平面流场和静电场 以及在工程技术上都有许多用,由于涉及到许 多专业知识,因此我们在此只简述一点留数在 定积分计算上的应用.
在数学以及实际问题中往往要求出一些定积分 的值,而这些定积分中,被积函数的原函数不能 用初等函数的有限形式表示出来;有时即便可 求出原函数,计算也往往比较复杂.
第5章 留数
本章学习目标 1、了解孤立奇点的概念; 2、会求可去奇点, 本性奇点; 3、熟练掌握极点的求法; 4、会求留数; 5、熟练掌握留数定理; 6、会用留数定理计算积分; 7、了解留数的一些应用。
5.1 留数的概念与计算
第5章 留数及其应用
5.1.1 关于有限点的留数的概念
设 a 为函数f z 的孤立奇点,C 为圆
n
c f zdz 2i Re s f z, zk k 1
定理5.2 若函数f z 在扩充复平面上除有限
个奇点 a1, a2,, an , 外是解析的，则f z 在点 a1, a2,, an , 处的留数之和为零，即
n
Re s f , Re s f ,a j 0 j 1
Re
s
f
,
1
2i
C
f
z
dz
方法二:
Re s f , C1
方法三:
Re
s
f
,
Re
s
f
1 z
1 z2
,0
5.2 留数定理
第5章 留数及其应用
定理5.1(留数定理) 设函数f z 在区域D 内除
有限个孤立奇点 z1, z2 ,, zk 处处解析C. 是 D 内包含诸奇点的任意一条正向简单闭曲线,则
周: z a ,若f z 在 0 z a 解
析,则称
1
2i
C
f
z dz
为 f z 在点 a 的留数,记作 Re s f ,a
或 Re sa ,即
Re s
f
,a
1
2i
C
f
z dz
5.1.2 关于留数的计算
方法一:利用定义式子计算,即
z ,若f z 在R z
内解R析
(的留数R21ei,sC)f,f则,z 称dz
f z 为函z 数
Re s
在点
记作
Re
s
f
,
或1 2i
C
f
z
dz
.即
C
C
其中 表示积分是沿围线 的负方向进行.
无穷远点处留数的计算
方法一:利用定义式子,即
z 1
z2 1
lim ze z z1 z 1
e 1 , 2
因此
c
ze z dz
z2 1
2i
e 2
e 1 2
2ich1
例2 我们也可用另外的方法来求留数:
Re s f z,1
ze z
z 2 1
z
1
ze z 2z z 1
式，且有 m n 1 ；Px 与 Qx 无公因式；Qx
在实轴上无零点， k 0 。
解法
Px
Qx
eikxdx
2i
n j 1
Re
s
Pz Qz
eikz
,
z
j
其中 z j , j 1,2,, n 平面的全部奇点
为
f
z
d m1 dz m1
z
am
f
z
例1计算积分
c
ze z dz,C z2 1
为正向圆周:
z
2
解:
Re
s
f
z ,1
lim z
z 1
1
ze z z2 1
lim ze z z1 z 1
e, 2
同理
Re s f z,1 lim z 1 ze z
z
sin z6
z
,0
6
1
1!
lim
z0
d5 dz 5
z
6
z sin z z 6
1 lim z sin z 5
5! z0
1 lim cos z
5! z0
1. 5!
5.1.3 关于无穷远点的留数
设 z 为函数f z 的孤立奇点C, 为圆周
Re
s
f
,
a
1
2i
C
f
z dz
方法二: Re s f , a C1
其中 C1 为函数f z 在点z a 的去心邻域内
所
1
za
展成的罗朗级数a 中 的f 系z数.
方法三:若R点e s
f
为,a函 数lim za
z
a的 f 一z级极点,则
方法四:
利用留数定理,来计算这些类型的定积分,只需 计算这些解析函数在孤立奇点处的留数;这样 一来就把问题大大简化了.
5.3.1 积分类型
Ⅰ：Px
Qx
dx
这里的Px 与Qx 分别为x 的n 次和m 次多
项式，且有m n 2 P；x Q与x 无公因式；
Qx 在实轴上无零点。
解法
Px
Qx
dx
2i
n j 1
Re
s
QPzz,
z
j
其中 z j , j 1,2,, n 平面的全部奇点
为
f
z
Pz Qz
在上半
5.3.2 积分类型
Ⅱ：Px Qx
eikxdx
这里的 Px 与Qx 分别为 x的n 次和m 次多项