等差数列及其前n项和课件(高考一轮复习)
1 d 2
(7)关于等差数列奇数项与偶数项的性质：
n S奇 nd ①若项数为 2n ，则 S 偶－S 奇＝ __________， ＝______. an 1 S偶
a
n 1 an，S 奇＝____an ， ②若项数为 2n －1，则 S 偶＝__________
n S奇 S 奇－S 偶＝________ n ，S ＝______. n 1 偶
第七章
数
列
第2讲
1．考查利用等差数列的概念、性质、通项公式 与前n项和公式解决等差数列的问题． 2．在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数 列，并能用有关知识解决相应的问题．
等差数列及其前n项和
【2015年高考会这样考】
等差数列的定义
抓住4个考点
等差数列的通项公式 等差数列的前n项和公式
助学微博 考点自测
考点自测
1．(2014 新课标 卷)设等差数列{an}的公差为 2。若 a2，a4，a8 成等比数列， 则数列{an }的前 n 项和 S n （ A ）. A． n n1 B． n n1 2．(2014·天津)设{an}是首项为 a1，公差为－１的等差数列，S n 为其前 n 项和，
∴S20＝
2
(a1＋a20) ＝ (a4＋a17)＝ ×20＝200. 2 2
【方法指导 】
(2) 依题意知：a1＋a2＋a3＋a4＝21，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝67.
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
∴4(a1＋an)＝88，∴a1＋an＝22.
na1＋an 即 286＝n×22，∴n＝26. 又 Sn＝ ， 2 2
1
．
5． (2014·北京)等差数列{an}满足 a7＋a8+ a9>0, a7＋a10<0， 则当 n= 的前 n 项和最大。
8
， {an}
【例 1】►设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的 第(1)问建立首项 a1 与公 差 d 的方程组求解； 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6＋15＝0. 第(2)问建立首项a1与公差d (1)若 S5＝5，求 S6 及 a1；(2)求 d 的取值范围． －15 的方程，利用完全平方公 解(1) 由题意知 S6＝ ＝－3， 式求范围． S5
2 所以 d ≥8. 故(4a1＋9d) ＝d －8， 故d的取值范围为 (－∞，－2 2]∪[2 2，＋∞).
2 2
(1) 等差数列的通项公式及 前 n 项和公式， 共涉及五个 量 a1，an ，d，n ，S n，知其 中三个就能求另外两个， 体 现了用方程的思想解决问 题． (2) 数列的通项公 式和前 n 项和公式在解题中起到变 量代换作用，而 a1 和 d 是 等差数列的两个基本量， 用 它们表示已知和未知是常 用方法．
公差的等差数列．
1 1 (2)由(1)知S ＝ ＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n， S1 n 1 ∴Sn＝ . 2n 1 当 n≥2 时，有 an＝－2Sn×Sn－1＝－ ， 2nn－1
1，n＝1， 2 1 又∵a1＝ ，不适合上式，∴an＝ 2 1 － ，n≥2. 2 n n － 1
一般地，运用数列性质， 可以化繁为简、优化解 题过程．但要注意性质 运用的条件， 如 m ＋n ＝p＋q， 则 am ＋an ＝ap＋aq (m，n ，p，q∈N*)， 只要当序号之和相等、 项数相同时才成立．
n
a
(8)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和 S n，T n 之间的关系为
2 n 1 an ＝ ____________博
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，① Sn＝an＋an－1＋…＋a1，② na1＋an ①＋②得：Sn＝ . 2
常数)．但如果要证明 一个数列是等差数 列，则必须用定义法 或等差中项法．
当 n＝3 时，an 取得最小值－1；当 n＝4 时，an 取得最大值 3.
考点三 等差数列及前n项和性质的应用 【审题视点 】
【例 3】►在等差数列{an}中:(1)若 a4＋a17＝20,求 S20； 利用前n项和公式 (2)若共有 n 项，且前四项之和为 21，后四项之和为 Sn＝ na1＋an及等差数 2 67，前 n 项和 Sn＝286，求 n. 列的性质：若m＋n＝p 解析(1) 由等差数列的性质知 a1＋a20＝a4＋a17， ＋q，则am＋an＝ap＋ aq解题． 20 20 20
考点一 等差数列基本量的计算
【审题视点 】
【训练 1】 (2011· 福建)在等差数列{an}中，a1＝1， 第 (2)问注意 k 的取值 a3＝－3. 范围，必须为正整数。 (1)求数列{an}的通项公式； 【方法指导 】 (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值． (1)等差数列的通项公式 解(1) 设等差数列{an}的公差为d， 及前n项和公式，共涉及 则an＝a1＋(n－1)d. 五个量a1，an，d，n， 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3. Sn，知其中三个就能求 解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. 另外两个，体现了用方 程的思想解决问题． 由 (1) 可知 a ＝ 3 － 2 n . (2) n (2)数列的通项公式和前n n [1＋ 3－2n ] 所以 S n＝ ＝2n －n 2. 项和公式在解题中起到 2 变量代换作用，而a1和d 进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35. 是等差数列的两个基本 2 即k －2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 量，用它们表示已知和 未知是常用方法． 又k∈N*，故k＝7为所求．
3 1 方法指导 【训练 1】►已知数列{an}中，a1＝ ，an＝2－ (n≥2，n∈N*)， 5 an－1 等差数列的判定方法 1 * 数列{bn}满足 bn＝ (n∈N )． an－1 有以下四种： (1)求证：数列{bn}是等差数列； (1) 定义法： an ＋ 1 － an (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． ＝d(常数)(n ∈N*)； 1 1 * 证明(1) ∵an＝2－ (n≥2，n∈N )，b .1 (2)等差中项法：2an＋1 y n＝ 单击 an－1 an－1 x 1 1 ＝an ＋an＋2(n ∈N*)； ∴n≥2 时，bn－bn－1＝ － 1 an－1 an－1－1 (3)通项公式法：an ＝ y 1 1 an－1 7 1 单击 ＝ － an ＋b(a，b 是常数， ＝ － ＝1. x 1 an－1－1 2 a － 1 a － 1 － － n 1 n 1 * 2－ －1 n ∈ N )； 1 7 a n－1 y 1 1 5 7 (4)前 n 项和公式法： 单击 5 又 b1＝ ＝－ .∴数列{2 x bn}是以－ 为首项，1 为公差的等差数列． 2 a1－1 2 2 S n ＝ an 2 ＋bn (a ， b 为
两种思想
(1)等差数列的通项公式， 前 n 项和公式涉及“五个量”， “知三求 二”，需运用方程思想求解，特别是求 a1 和 d.
(2)等差数列{an}中，an ＝an ＋b(a，b 为常数)，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，均是关于“ n ” 的函数，充分运用函数思想，借助函数的图 像、性质简化解题过程．
5a1＋10d＝5， 所以 a6＝S6－S5＝－8， a1＋5d＝－8.
考点一 等差数列基本量的计算
【审题视点 】
【方法指导 】
解得 a1＝7，所以 S6＝－3，a1＝7
（2） 因为 S5S6＋15＝0，
所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
2 即 2a2 1＋9da1＋10d ＋1＝0，
若等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an＝_________ a1＋(n－1).d.
2．等差数列的通项公式 3．等差数列的前 n 项和公式
n a1＋an Sn＝ 若已知首项 a1 和末项 an，则_______________ ，或等差数列{an}的 2
nn－1 Sn＝ na1＋ d. 2 首项是 a1，公 差是 d，则其前 n 项和公式为___________________
等差数列及前n项和的性质
考点一 等差数列基本量的计算
【例1】【训练1】 【例2】【训练2】 【例3】【训练3】
突破3个考点
考点二 等差数列的判定与证明 考点三 等差数列及前n项和性质
的应用
揭秘3年高考
整体思想在等差数列解题中的应用
考点梳理
1．等差数列的定义
2项 起 ， 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 差 等 于 如 果 一 个 数 列 从 第 __ 同一个常数 ________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 的____ 公差 ，通常用字母__ d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)．
考点梳理
4．等差数列的常用性质
a ＋b (1)若 a， A， b 成等差数列， 则 A 叫做 a， b 的等差中项， 且_________. A＝ 2
(n－m)d (2)通项公式的推广：an ＝am＋____________ (n ，m ∈N*)．
(3)若{an }为等差数列，且 m ＋n ＝p＋q， am＋an＝ap＋aq (m ，n ，p，q∈N*)． 则____________________ (4)若{an }是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m ，ak＋2m ，„ md 的等差数列． (k ，m ∈N*)是公差为_______ (5)数列 S m，S 2m－S m，S 3m－S 2m，„也是等差数列． (6)等差数列的最值 大 值；若 在等差数列 {an} 中，若 a1 ＞0 ， d ＜ 0 ，则 S n 存在最 ______ 小 a1＜0，d＞0，则 Sn 存在最__________ 值．
(7)关于等差数列奇数项与偶数项的性质：
n S奇 nd ①若项数为 2n ，则 S 偶－S 奇＝ __________， ＝______. an 1 S偶
a
n 1 an，S 奇＝____an ， ②若项数为 2n －1，则 S 偶＝__________
n S奇 S 奇－S 偶＝________ n ，S ＝______. n 1 偶
第七章
数
列
第2讲
1．考查利用等差数列的概念、性质、通项公式 与前n项和公式解决等差数列的问题． 2．在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数 列，并能用有关知识解决相应的问题．
等差数列及其前n项和
【2015年高考会这样考】
等差数列的定义
抓住4个考点
等差数列的通项公式 等差数列的前n项和公式
助学微博 考点自测
考点自测
1．(2014 新课标 卷)设等差数列{an}的公差为 2。若 a2，a4，a8 成等比数列， 则数列{an }的前 n 项和 S n （ A ）. A． n n1 B． n n1 2．(2014·天津)设{an}是首项为 a1，公差为－１的等差数列，S n 为其前 n 项和，
∴S20＝
2
(a1＋a20) ＝ (a4＋a17)＝ ×20＝200. 2 2
【方法指导 】
(2) 依题意知：a1＋a2＋a3＋a4＝21，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝67.
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
∴4(a1＋an)＝88，∴a1＋an＝22.
na1＋an 即 286＝n×22，∴n＝26. 又 Sn＝ ， 2 2
1
．
5． (2014·北京)等差数列{an}满足 a7＋a8+ a9>0, a7＋a10<0， 则当 n= 的前 n 项和最大。
8
， {an}
【例 1】►设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的 第(1)问建立首项 a1 与公 差 d 的方程组求解； 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6＋15＝0. 第(2)问建立首项a1与公差d (1)若 S5＝5，求 S6 及 a1；(2)求 d 的取值范围． －15 的方程，利用完全平方公 解(1) 由题意知 S6＝ ＝－3， 式求范围． S5
2 所以 d ≥8. 故(4a1＋9d) ＝d －8， 故d的取值范围为 (－∞，－2 2]∪[2 2，＋∞).
2 2
(1) 等差数列的通项公式及 前 n 项和公式， 共涉及五个 量 a1，an ，d，n ，S n，知其 中三个就能求另外两个， 体 现了用方程的思想解决问 题． (2) 数列的通项公 式和前 n 项和公式在解题中起到变 量代换作用，而 a1 和 d 是 等差数列的两个基本量， 用 它们表示已知和未知是常 用方法．
公差的等差数列．
1 1 (2)由(1)知S ＝ ＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n， S1 n 1 ∴Sn＝ . 2n 1 当 n≥2 时，有 an＝－2Sn×Sn－1＝－ ， 2nn－1
1，n＝1， 2 1 又∵a1＝ ，不适合上式，∴an＝ 2 1 － ，n≥2. 2 n n － 1
一般地，运用数列性质， 可以化繁为简、优化解 题过程．但要注意性质 运用的条件， 如 m ＋n ＝p＋q， 则 am ＋an ＝ap＋aq (m，n ，p，q∈N*)， 只要当序号之和相等、 项数相同时才成立．
n
a
(8)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和 S n，T n 之间的关系为
2 n 1 an ＝ ____________博
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，① Sn＝an＋an－1＋…＋a1，② na1＋an ①＋②得：Sn＝ . 2
常数)．但如果要证明 一个数列是等差数 列，则必须用定义法 或等差中项法．
当 n＝3 时，an 取得最小值－1；当 n＝4 时，an 取得最大值 3.
考点三 等差数列及前n项和性质的应用 【审题视点 】
【例 3】►在等差数列{an}中:(1)若 a4＋a17＝20,求 S20； 利用前n项和公式 (2)若共有 n 项，且前四项之和为 21，后四项之和为 Sn＝ na1＋an及等差数 2 67，前 n 项和 Sn＝286，求 n. 列的性质：若m＋n＝p 解析(1) 由等差数列的性质知 a1＋a20＝a4＋a17， ＋q，则am＋an＝ap＋ aq解题． 20 20 20
考点一 等差数列基本量的计算
【审题视点 】
【训练 1】 (2011· 福建)在等差数列{an}中，a1＝1， 第 (2)问注意 k 的取值 a3＝－3. 范围，必须为正整数。 (1)求数列{an}的通项公式； 【方法指导 】 (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值． (1)等差数列的通项公式 解(1) 设等差数列{an}的公差为d， 及前n项和公式，共涉及 则an＝a1＋(n－1)d. 五个量a1，an，d，n， 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3. Sn，知其中三个就能求 解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. 另外两个，体现了用方 程的思想解决问题． 由 (1) 可知 a ＝ 3 － 2 n . (2) n (2)数列的通项公式和前n n [1＋ 3－2n ] 所以 S n＝ ＝2n －n 2. 项和公式在解题中起到 2 变量代换作用，而a1和d 进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35. 是等差数列的两个基本 2 即k －2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 量，用它们表示已知和 未知是常用方法． 又k∈N*，故k＝7为所求．
3 1 方法指导 【训练 1】►已知数列{an}中，a1＝ ，an＝2－ (n≥2，n∈N*)， 5 an－1 等差数列的判定方法 1 * 数列{bn}满足 bn＝ (n∈N )． an－1 有以下四种： (1)求证：数列{bn}是等差数列； (1) 定义法： an ＋ 1 － an (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． ＝d(常数)(n ∈N*)； 1 1 * 证明(1) ∵an＝2－ (n≥2，n∈N )，b .1 (2)等差中项法：2an＋1 y n＝ 单击 an－1 an－1 x 1 1 ＝an ＋an＋2(n ∈N*)； ∴n≥2 时，bn－bn－1＝ － 1 an－1 an－1－1 (3)通项公式法：an ＝ y 1 1 an－1 7 1 单击 ＝ － an ＋b(a，b 是常数， ＝ － ＝1. x 1 an－1－1 2 a － 1 a － 1 － － n 1 n 1 * 2－ －1 n ∈ N )； 1 7 a n－1 y 1 1 5 7 (4)前 n 项和公式法： 单击 5 又 b1＝ ＝－ .∴数列{2 x bn}是以－ 为首项，1 为公差的等差数列． 2 a1－1 2 2 S n ＝ an 2 ＋bn (a ， b 为
两种思想
(1)等差数列的通项公式， 前 n 项和公式涉及“五个量”， “知三求 二”，需运用方程思想求解，特别是求 a1 和 d.
(2)等差数列{an}中，an ＝an ＋b(a，b 为常数)，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，均是关于“ n ” 的函数，充分运用函数思想，借助函数的图 像、性质简化解题过程．
5a1＋10d＝5， 所以 a6＝S6－S5＝－8， a1＋5d＝－8.
考点一 等差数列基本量的计算
【审题视点 】
【方法指导 】
解得 a1＝7，所以 S6＝－3，a1＝7
（2） 因为 S5S6＋15＝0，
所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
2 即 2a2 1＋9da1＋10d ＋1＝0，
若等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an＝_________ a1＋(n－1).d.
2．等差数列的通项公式 3．等差数列的前 n 项和公式
n a1＋an Sn＝ 若已知首项 a1 和末项 an，则_______________ ，或等差数列{an}的 2
nn－1 Sn＝ na1＋ d. 2 首项是 a1，公 差是 d，则其前 n 项和公式为___________________
等差数列及前n项和的性质
考点一 等差数列基本量的计算
【例1】【训练1】 【例2】【训练2】 【例3】【训练3】
突破3个考点
考点二 等差数列的判定与证明 考点三 等差数列及前n项和性质
的应用
揭秘3年高考
整体思想在等差数列解题中的应用
考点梳理
1．等差数列的定义
2项 起 ， 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 差 等 于 如 果 一 个 数 列 从 第 __ 同一个常数 ________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 的____ 公差 ，通常用字母__ d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)．
考点梳理
4．等差数列的常用性质
a ＋b (1)若 a， A， b 成等差数列， 则 A 叫做 a， b 的等差中项， 且_________. A＝ 2
(n－m)d (2)通项公式的推广：an ＝am＋____________ (n ，m ∈N*)．
(3)若{an }为等差数列，且 m ＋n ＝p＋q， am＋an＝ap＋aq (m ，n ，p，q∈N*)． 则____________________ (4)若{an }是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m ，ak＋2m ，„ md 的等差数列． (k ，m ∈N*)是公差为_______ (5)数列 S m，S 2m－S m，S 3m－S 2m，„也是等差数列． (6)等差数列的最值 大 值；若 在等差数列 {an} 中，若 a1 ＞0 ， d ＜ 0 ，则 S n 存在最 ______ 小 a1＜0，d＞0，则 Sn 存在最__________ 值．
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高考数学第一轮知识点 第2课时 等差数列及其前n项和课时复习课件 理
∴n－n 1＝43.∴n＝4，an＝11.
∴数列的中间项为 11，项数为 7.
【变式训练】 3.在等差数列{an}中，Sn 表示其 前 n 项和． (1)若 a3＋a17＝10，求 S19 的值； (2)若 S4＝124，Sn－4＝54，Sn＝210，求项数 n； (3)若 S4＝1，S8＝4，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
解析： (1)S19＝a1＋a219×19＝a3＋a217×19
＝95.
(2)SS4n＝－aS1n＋－4＝a2＋an＋a3＋ana－41＝＋1a2n－42，＋an－3＝156，
由两式相加得 a1＋an＝70. ∴Sn＝a1＋a2n×n＝70×2 n＝210. ∴n＝6. (3)S4＝1，S8－S4＝3，S12－S8，S16－S12，S20 －S16 成等差数列，首项为 1，公差为 2，
解得ad1＝＝21. 2，
所以 an＝2n＋10.
(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d，Sn＝242， 得 12n＋nn2－1×2＝242.解得 n＝11 或 n＝ －22(舍去)．
等差数列的性质
1．等差数列的单调性 等差数列公差为 d，若 d＞0，则数列递增； 若 d＜0，则数列递减；若 d＝0，则数列为常数 列． 2．等差数列的最值 若{an}是等差数列，求前 n 项和的最值时， (1)若 a1＞0，d＜0，且满足aann≥ ＋1≤0，0， 前 n 项和 Sn 最大；
等差数列的判断与证明
判断或证明数列{an}为等差数列，常见的方法 有以下几种： (1)利用定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)； (2)利用等差中项：2an＋1＝an＋an＋2；
(3)利用通项公式：an＝dn＋c(d、c 为常数)，d 为公差．当 d≠0 时，通项公式 an 是关于 n 的 一次函数；d＝0 时为常函数，也是等差数列； (4)利用前 n 项和公式：Sn＝an2＋bn(a、b 为常 数)．若一个数列的前 n 项和为关于 n 的二次
∴数列的中间项为 11，项数为 7.
【变式训练】 3.在等差数列{an}中，Sn 表示其 前 n 项和． (1)若 a3＋a17＝10，求 S19 的值； (2)若 S4＝124，Sn－4＝54，Sn＝210，求项数 n； (3)若 S4＝1，S8＝4，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
解析： (1)S19＝a1＋a219×19＝a3＋a217×19
＝95.
(2)SS4n＝－aS1n＋－4＝a2＋an＋a3＋ana－41＝＋1a2n－42，＋an－3＝156，
由两式相加得 a1＋an＝70. ∴Sn＝a1＋a2n×n＝70×2 n＝210. ∴n＝6. (3)S4＝1，S8－S4＝3，S12－S8，S16－S12，S20 －S16 成等差数列，首项为 1，公差为 2，
解得ad1＝＝21. 2，
所以 an＝2n＋10.
(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d，Sn＝242， 得 12n＋nn2－1×2＝242.解得 n＝11 或 n＝ －22(舍去)．
等差数列的性质
1．等差数列的单调性 等差数列公差为 d，若 d＞0，则数列递增； 若 d＜0，则数列递减；若 d＝0，则数列为常数 列． 2．等差数列的最值 若{an}是等差数列，求前 n 项和的最值时， (1)若 a1＞0，d＜0，且满足aann≥ ＋1≤0，0， 前 n 项和 Sn 最大；
等差数列的判断与证明
判断或证明数列{an}为等差数列，常见的方法 有以下几种： (1)利用定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)； (2)利用等差中项：2an＋1＝an＋an＋2；
(3)利用通项公式：an＝dn＋c(d、c 为常数)，d 为公差．当 d≠0 时，通项公式 an 是关于 n 的 一次函数；d＝0 时为常函数，也是等差数列； (4)利用前 n 项和公式：Sn＝an2＋bn(a、b 为常 数)．若一个数列的前 n 项和为关于 n 的二次
高考数学一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课件文
n≤10 ， 即 共 有
10
个数．所以
S10
＝
10（1＋19） 2
＝
100或S10＝10×1＋1பைடு நூலகம்× 2 9×2＝100，故选 C.
12/13/2021
第七页，共四十二页。
(必修 5 P46B 组 T2 改编)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝20，S20＝50，则 S30＝________． 解析：根据等差数列性质 S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列， 所以 2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，所以 S30＝3(S20－S10)＝3(50 －20)＝90. 答案：90
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第二十七页，共四十二页。
考点四 等差数列的单调性与最值
(1)下面是关于公差 d＞0 的等差数列{an}的四个命题：p1： 数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann 是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中真命题为
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第十六页，共四十二页。
当 n≥2 时，由22SSnn＝－1＝a2na＋n2－a1n＋，an－1， 得 2an＝a2n＋an－a2n－1－an－1. 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 因为 an＋an－1>0， 所以 an－an－1＝1(n≥2)， 所以数列{an}是等差数列．
ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差 为__2_d_．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
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5．等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝n（a12＋an）或 Sn＝____n_a_1＋ __n__（__n_2－__1_）__d________．
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《数列求和》课件ppt
跟踪训练2 (2023·重庆模拟)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，② 2a1 ＋ 2a2 ＋…＋2an ＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 问题：在数列{an}中，已知________. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝
2an 1 3an
，求数列{bn}的前n项和Sn.
由(1)可知 bn＝2n3－n 1，
则 Sn＝311＋332＋…＋2n3－n 1，
①
13Sn＝312＋333＋…＋2n3－n 3＋23nn－＋11.
②
两式相减得23Sn＝13＋322＋323＋…＋32n－23nn－＋11＝13＋2911－－313n1－1－23nn－＋11
教材改编题
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝nn1＋1，则 S5 等于
A.1
√B.56
C.16
D.310
因为 an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
教材改编题
3.Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于
2n－n－1 A. 2n
第六章 数 列
§6.5 数列求和
考试要求
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
数列求和的几种常用方法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
2015届高考数学(理科)一轮复习：6.2《等差数列及其前n项和》ppt课件
.
关闭
因为数列{an}是等差数列, 所以由等差数列的性质得 a3+a8=a5+a6=a4+a7=10.所以 3 a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20. 20
解析
关闭
答案
第六章
6.2
等差数列及其前n项和 -12-
考点一 等差数列的判定与证明
【例 1】 已知数列{an}的通项公式 an=pn2+qn(p,q∈R,且 p,q 为常数). (1)当 p 和 q 满足什么条件时,数列{an}是等差数列? (2)求证:对任意实数 p 和 q,数列{an+1-an}是等差数列.
d
想一想从函数的角度来认识等差数列的前 n 项和,你有何发现? 答案:Sn=na1+ (n-1)d 可变形为 Sn= dn + ������1 ������ 2 1 2
2������ 2来自n,令2d=A,a1-2=B,
1
������
则 Sn=An2+Bn(A 为常数),并且有如下结论:数列{an}是等差数列 ⇔Sn=An2+Bn(A,B 为常数).
(3)通项公式:如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么通项公式为 an=
a1+(n-1)d .
第六章
6.2
等差数列及其前n项和 -4-
2.等差数列的前 n 项和
已知条件 选用公式 首项 a1,末项 an Sn=
n(a1 +an ) 2
首项 a1 和公差 d Sn=na1+
n(n-1) 2
������ ������2
B.
一轮复习课件：_等差数列及其前n项和
，∴an＝2n－1.
1 (2)由(1)得 bn＝2an＋2n＝ ×4n＋2n， 2 1 ∴Tn＝b1＋b2＋„＋bn＝ (4＋42＋„＋4n) 2 2 2 ＋2(1＋2＋„＋n)＝ ×4n＋n2＋n－ . 3 3
等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50， (1)求通项an； (2)若Sn＝242，求n.
∴数列{an}是首项为1，公差为5的等差数列．
(3)证明： 由(2)知， an＝5n－4(n∈N*)． 考虑 5amn＝5(5mn－4)＝25mn －20. ( aman＋ 1)2 ＝ aman＋ 2 aman＋ 1 ＜ aman＋ am ＋ an＋ 1 ＝ 25mn － 15(m ＋n)＋9. ∴5amn－( aman＋1)2＞15(m＋n)－29＞15×2－29＝1＞0， 即 5amn＞( aman＋1)2，∴ 5amn＞ aman＋1. 因此 5amn－ aman＞1.
a 1．一个等差数列的前 4 项是 a，x，b,2x，则b等于 1 A. 4 1 C. 3 1 B. 2 2 D. 3
(
)
解析：∵a，x，b,2x 成等差数列 1 a＝2x， a＋b＝2x， ∴ 即 x＋2x＝2b， b＝3x. 2 a 1 ∴b＝ . 3
答案：C
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，an＝28，
解：(1)设等差数列{an}的首项为 a1， 公差为 d，由题意， a1＋2d＝5 得 15×14 15a1＋ d＝225 2
a1＝1 解得 d＝2
，
若将条件“a3＝7， a5＋a7＝26”改换为 “a3＝5，S15＝225”． (1)求数列{an}的通项an； (2)设bn＝2an＋2n，求 数列{bn}的前n项和Tn.
高考数学一轮复习第7章数列第2讲等差数列及其前n项和课件(1)
设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7
第七页，编辑于星期六：四点 九分。
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－ S2m，…也是等差数列．
(5)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则数列Snn也为等差数列．
第八页，编辑于星期六：四点 九分。
【特别提醒】 用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个 关 键 词 ： “ 从 第 2 项 起 ”“ 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 差 ”“ 同 一 个 常 数”．
＝
()
A．－ 3
B． 3
C．± 3
D．－
3 3
【答案】A
第三十五页，编辑于星期六：四点 九分。
【解析】因为数列{an}为等差数列，a1＋a7＋a13＝2π，所以 3a7＝2π， 即 a7＝23π.则 tan a7＝tan23π＝－tanπ3＝－ 3.
第三十六页，编辑于星期六：四点 九分。
考向 2 等差数列和的性质
个数列是等差数列．
()
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an
＋an＋2.
()
第十九页，编辑于星期六：四点 九分。
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．
()
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．
()
(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．
第十七页，编辑于星期六：四点 九分。
(4)若等差数列{an}的项数为奇数 2n＋1，则 ①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； ②SS奇 偶＝n＋n 1； ③S 奇－S 偶＝an＋1．
高考数学一轮复习第四章第二讲等差数列及其前n项和课件
考向 2 等差数列前 n 项和的性质
[例 3](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，
则 S15 等于( )
A.35
B.42
C.49
D.63
解析：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10 成等差数列，即 7， 14，S15－21 成等差数列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42.故选 B.
答案：C
2.(2023 年全国甲卷文科)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若
a2＋a6＝10，a4a8＝45，则 S5＝( )
A.25
B.22
C.20
D.15
解析：等差数列{an}中，a2＋a6＝2a4＝10， 所以 a4＝5.所以 a4a8＝5a8＝45，故 a8＝9，则 d＝a88－－4a4＝1， 所以 a1＝a4－3d＝5－3＝2，则 S5＝5a1＋5×2 4d＝10＋10＝20. 故选 C.
2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式 是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*). 3.等差中项
如果 A＝a＋2 b，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
4.等差数列的前 n 项和公式
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝n(a12＋an)或 Sn＝na1＋n(n2－1)d(n∈N*).
适合题型
解答题中 证明问题
选择、填 空题中的 判定问题
【变式训练】 (2022 年全国甲卷文科)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知2nSn＋
n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若 a4，a7，a9 成等比数列，求 Sn 的最小值.
(1)证明：由已知得2Sn＋n2＝2nan＋n，①
2025届高中数学一轮复习课件《等差数列》ppt
第12页
高考一轮总复习•数学
第13页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
第14页
题型
等差数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷，文)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a2＋a6＝10，a4a8＝
45，则 S5＝( )
本例可以用 a1，d 来表示这两个条件方程，由方程组求解．
B．8
C．7
D．6
高考一轮总复习•数学
第24页
(2)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0 的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－
n|＝( )
A．1
3 B.4
13 C.2 D.8
高考一轮总复习•数学
第25页
解析：(1)因为 S9＝9a5，所以 9a5＝3(a3＋a5＋am)，所以 a3＋a5＋am＝3a5，即 a3＋am＝ 2a5，所以 m＝7.故选 C.
解析：由等差数列的求和公式可得ab77＝TS1133＝73××1133＋＋38＝9447＝2.
高考一轮总复习•数学
4．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝2n－11，则数列{|an|}的前 n 项和 10n－n2，n≤5，
Tn＝_____n2_－__1_0_n_＋__5_0_，__n_≥__6______. 解析：设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Tn＝－Sn－Sn，2Sn5，≤n5≥，6， 即 Tn＝n120－n－10nn2＋，5n0≤，5n，≥6.
②若{bn}是等差数列，则 b1＋b3＝2b2， 即a21＋1a23＝2×a62，所以 a2a3＋6a1a2＝6a1a3， 所以(a1＋d)(a1＋2d)＋6a1(a1＋d)＝6a1(a1＋2d)，
2025版高考数学一轮总复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和pptx课件
[解析] 因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简 得3d＝6，得d＝2.
7．(2019·北京，10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3， S5＝－10，则a5＝___0___，Sn的最小值为___－__1_0____.
[解析] 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵a2＝－3，S5＝－10，
知识点二 等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和. 1．若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝ an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝___a_p＋__a_q___. 2．am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为____kd____. 3．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
4．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d ＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.若公差d>0，则为递增 数列，若公差d<0，则为递减数列.
(2)前 n 项和：当公差 d≠0 时，Sn＝d2n2＋a1－d2n 是关于 n 的二次函 数且常数项为 0.显然当 d<0 时，Sn 有最大值，d>0 时，Sn 有最小值.
如{an}为等差数列，Sn为前n项和，d>0，若S5＝S13，则当n＝9时， Sn最小，S18＝0.
5．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数 成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a ＋2d.
双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an ＋an＋2.( √ )
7．(2019·北京，10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3， S5＝－10，则a5＝___0___，Sn的最小值为___－__1_0____.
[解析] 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵a2＝－3，S5＝－10，
知识点二 等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和. 1．若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝ an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝___a_p＋__a_q___. 2．am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为____kd____. 3．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
4．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d ＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.若公差d>0，则为递增 数列，若公差d<0，则为递减数列.
(2)前 n 项和：当公差 d≠0 时，Sn＝d2n2＋a1－d2n 是关于 n 的二次函 数且常数项为 0.显然当 d<0 时，Sn 有最大值，d>0 时，Sn 有最小值.
如{an}为等差数列，Sn为前n项和，d>0，若S5＝S13，则当n＝9时， Sn最小，S18＝0.
5．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数 成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a ＋2d.
双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an ＋an＋2.( √ )
高三数学一轮复习优质课件2：6.2 等差数列及其前n项和
1 (n∈N*),
an 1
所以
bn1
bn
1 an1 1
1 an 1
(2
1 1
) 1
1 an 1
an 1 1.
an
an 1 an 1
15
又
b1
a1
1
, 2
所以数列{bn}是以 5 为首项,以1为公差的等差数列.
2
②由①知bn=n-
7 2
,
则an=
1
1 bn
1
2. 2n 7
设f(x)= 1 2 ,
{a2n-1+2a2n}是 (
)
A.公差为3的等差数列
B.公差为4的等差数列
C.公差为6的等差数列
D.公差为9的等差数列
(2)(2015·太原模拟)已知数列{an}中,
a1
3 5
,an
2 1 a n1
数列{bn}满足bn=
1 an 1
(n∈N*).
①求证:数列{bn}是等差数列;
(n≥2,n∈N*),
2.等差数列设项技巧 若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶 数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再 依据等差数列的定义进行对称设元.
考点2 等差数列的判定与证明
【典例2】(1)(2015·防城港模拟)若{an}是公差为1的等差数列,则
②若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(n∈N*)是等差数列. ③Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm, S_3_m_-_S_2_m成等差数列.
④两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为