数论入门

因此d也是（b,a mod b）的公约数
因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
欧几里得算法模板
int gcd(int n,int m)
{
int t,r;
if(n<m)
{
t=n; n=m; m=t;
}
while((r=n%m)>0)
{
n=m;
m=r;
}
return m;
推论1:
对于a=ai (mod ni)的同余方程,有唯一解
下面说说由(a1, a2, ..., ak)求a的方法:
定义mi = n1*n2*...nk / ni; ci = mi(mf mod ni);其中mi*mf mod ni = 1;
则a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck) (mod n) (注:由此等式可求a%n,当n很大时)
这样我们就得到了求解x1,y1的方法：x1，y1的值基于x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为gcd不断的递归求解一定会有个时候b=0，所以递归可以
扩展欧几里得代码
int ext_gcd( int a, int b, int& x, int& y )
{
int t, ret;
if( b==0 )
{
//要求m[i]>0,m[i]与m[j]互质,解的范围1..n,n=m[0]*m[1]*...*m[k-1]
int modular_linear_system( int b[], int m[], int k )
{
int d, x, y, a=0, M, n=1, i;
for( i=0; i<k; i++ )
中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得ax+by=d,就可以想到:
mi*mf mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;
代码
/求解模线性方程组(中国剩余定理)
// x ≡ b[0] (mod m[0])
// x ≡ b[1] (mod m[1])
// ...
// x ≡ b[k-1] (mod m[k-1])
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-[a/b]*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-[a/b]*y2;
}
题目：HDU 1108HDU 1576
扩展负整数a，b，gcd（a，b）表示a，b的最大公约数，必然存在整
数对x，y，使得gcd（a，b）=ax+by。
求解x，y的方法的理解
设a>b。
1，显然当b=0，gcd（a，b）=a。此时x=1，y=0；
2，ab!=0时
设ax1+by1=gcd(a,b);
x = 1, y = 0;
return a;
}
ret = ext_gcd( b, a%b, x, y );
t = x, x = y, y = t-a/b*y;
return ret;
}
中国剩余定理
中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。
简介
数学公式
（中国剩余定理CRT）设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj) =1,i≠j,i,j = 1,2,...,k
n *= m[i];
for( i=0; i<k; i++ )
{
M = n/m[i];
d = ext_gcd( m[i], M, x, y );
a = (a+y*M*b[i])%n;
}
return (a+n)%n;
}
•题目：HDU 3579HDU 1573
则同余方程组：
x≡b1（mod m1）
x≡b2（mod m2）
...
x≡bk（mod mk)
模[m1,m2,...,mk]有唯一解，即在[m1,m2,...,mk]的意义下，存在唯一的x，满足：
x≡bi mod [m1,m2,...,mk],i = 1,2,...,k
结论
设m1,…, mk是两两既约的正整数。那么，对任意整数a1,…, ak，一次同余方程组：
欧几里得算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b且a mod b不为0)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r
的一个整数（即Mj是对模mj的逆）。
中国剩余定理(同余方程组)小结
中国余数定理:
设n=n1*n2...nk,其中因子两两互质.有: a-----(a1,a2,...,ak),其中ai = a mod ni,则a和(a1,a2,...,ak)关系是一一对应的.就是说可以由a求出(a1,a2,...,ak),也可以由(a1,a2,...,ak)求出a
x ≡ aj(mod mj)，1≤j≤k (3)
必有解，且解数为1。事实上，同余方程组(3)的解是：
x ≡ M1M1-1a1 + … + MkMk-1ak(mod m)，(4)
这里，m = m1…mk，m = mjMj(1≤j≤k)，以及Mj-1是满足：
MjMj-1 ≡ 1(mod mj)，1≤j≤k (5)