三角形典型题(三边关系)
人教版小学四年级数学下册第5单元第2课时 三角形三边关系典中点习题
(3)能和15 cm长的小棒围成三角形的另两根小棒的长 分别是( C )。 A．7 cm和8 cm B．9 cm和5 cm C．10 cm和10 cm
(4)已知三角形的一条边的长是6 cm，另一条边的长是 10 cm，第三条边的长一定( B )16 cm。 A．大于 B．小于 C．等于
3．下面的数据，正确的画“ √ ”，错误的画“× ”。 22 cm 33 cm 16 cm 40 cm
5 三角形
第3课时 三角形三边的关系
教材习题
1．选择合适的方法画出下面的角，并说说它们分别 是哪一种角。 （选题源于教材P46第12题）
画角略。10°、45°、60°的角是锐角，90°的角是 直角，105°、120°的角是钝角，180°的角是平角。
提示：点击 进入习题
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5
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7
知识点 1 两点之间的距离
易错辨析
4．笑笑说：“用长7 cm，7 cm和14 cm的三根小棒可以 围成一个等腰三角形。”她说得对吗？为什么？ 不对，因为7＋7＝14(cm)，三角形两边 之和不能等于第三边。
辨析：忽视了三角形任意两边之和大于第三边。
提升点 1 根据三角形三边的关系摆三角形
5．任取下面长度的三根小棒，能摆出几种不同的三角形？ 写一写。 3 cm，4 cm，4 cm，4 cm，7 cm，8 cm，8 cm
7．把一根14 cm长的吸管剪成长度为整厘米数的三段， 用线串成一个三角形，如下图。还可以怎样剪？
还可以剪成长度分别是5 cm，5 cm，4 cm的三段。(答案不唯一)
1．明明从家去学校走(中间)的路最近(填“上面”“中间 ”或“下面”)，因为两点之间，( 线段 )最短。
三角形三边关系考点汇总
三角形三边关系考点汇总一，四根木棍组合形式（先穷尽后挑选）例：已知有4根木棍，长度分别为（单位：cm）3，5，6，8.请问可以组成几个不同的三角形。
此类问题首先找到4根木棍在不考虑三角形三边关系的情况下，有几种选择方式。
分别是3，5，6；3，5，8；3，6，8；5，6，8.然后再根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，进行排除。
最后发现有三种情况。
二，直接给出三个线段长度判断此类问题一般是选择题，四个选项给出四中不同的情况让去逐一判断。
例：以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A，1，2，4 B，8，6，10 C，12，5，6 D，2，5，7碰到此类问题，仍然是考察三角形三边关系。
任意两边之和大于第三边。
任意两边之差小于第三边。
但是如果没有合适的方法，部分选项我们可能最多需要判断六次，大大的增加的该题的复杂度。
最好的办法就是把每一个选项从小打到排序。
只要两个最小的线段的和大于最长的那个线段，便一定满足任意两边之和大于第三边。
也可以看最长线段长减去最短线段长的差是否小于第三条线段的长。
若是则可以组成。
三，化简或者判断三角形的形状此类问题的核心是根据三边关系进行化简判断例3：若△ABC的三条边长度分别为a,b,c，①化简：|a-b-c|+|a+b-c|-|a+c-b|②已知三边关系满足|a-b|+(b-c)2=0，判断三角形的形状分析：该题要谨记三角形的三边关系四，已知两边（一）已知两边求第三边的取值范围例：已知三角形两边长分别为1，7，求第三边的取值范围解：设第三边长为x则： 7-1 <X<7+1解的 6<x<8（二）已知两边长，第三边范围增加限制条件例：已知三角形两边长分别为1，7，第三边边长为奇数，求第三边的取值范围分析：该题是最爱出填空题。
作为直接使用三角形三边关系，求出第三边范围之后，添加限制性条件，锁定第三边的取值范围。
要注意区分奇数与偶数。
本体答案就是7 （三）一直两边长和周长的范围，求第三边长例：已知三角形两边长分别为1，7，该三角形周长不大于16.求第三边的取值范围（四）已知两边长，周长取值范围，第三边长的限制条件。
直角三角形三边关系练习题(含答案)
直角三角形三边关系练习题(含答案)
问题一
已知直角三角形的两条直角边分别为3 cm和4 cm，请计算斜
边的长度。
解答一
根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：
$$斜边长度 = \sqrt{直角边1^2 + 直角边2^2}$$
代入已知数值，可得：
$$斜边长度 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
所以斜边的长度为5 cm。
问题二
已知直角三角形的斜边长为10 cm，其中一个直角边长为6 cm，请计算另一个直角边的长度。
解答二
根据勾股定理，直角边的长度可以通过以下公式计算：
$$直角边长度 = \sqrt{斜边^2 - 另一直角边^2}$$
代入已知数值，可得：
$$直角边长度 = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$
所以另一个直角边的长度为8 cm。
问题三
已知直角三角形的一个直角边长为5 cm，另一个直角边长为12 cm，请计算斜边的长度。
解答三
根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：
$$斜边长度 = \sqrt{直角边1^2 + 直角边2^2}$$
代入已知数值，可得：
$$斜边长度 = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$
所以斜边的长度为13 cm。
以上就是直角三角形三边关系的练习题及其答案。
希望对你有帮助！。
三角形典型题(三边关系)
一、已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．考点：三角形的外角性质．专题：计算题．分析：（1）由∠BDC=∠2+∠CED，∠CED=∠A+∠1，可以得出∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）由∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，∠A+∠ABC+°，可以得出∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．∠ACB=180°，∠D+∠DBC+DCB=180（3）根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠AED=∠1+∠A，∠AED=∠D+∠2，所以可知∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．解答：解：（1）证明：延长BD交AC于点E．∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠2+∠CED，∵∠CED是△ABE的外角，∴∠CED=∠A+∠1．∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．即∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+DCB=180∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．（3）证明：令BD、AC交于点E，∵∠AED是△ABE的外角，∴∠AED=∠1+∠A，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED=∠D+∠2．∴∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．二、观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．。
三角形三边关系（带答案）word版本
三⾓形三边关系（带答案）word版本三⾓形三边关系(带答案)【考点训练】三⾓形三边关系-2⼀、选择题（共10⼩题）1．（2011?青海）某同学⼿⾥拿着长为3和2的两个⽊棍，想要找⼀个⽊棍，⽤它们围成⼀个三⾓形，那么他所找的这根⽊棍长满⾜条件的整数解是（）A．1，3，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．3，4，52．（2012?郴州）以下列各组线段为边，能组成三⾓形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm3．（2012?海南）⼀个三⾓形的两边长分别为3cm和7cm，则此三⾓形的第三边的长可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm4．（2012?长沙）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根⽊棒，任取其中三根组成⼀个三⾓形，那么可以组成的三⾓形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2011?梧州）下列长度的三条线段能组成三⾓形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，1，1 D．3，4，76．（2012?常州）已知等腰三⾓形三边中有两边的长分别为4、9，则这个等腰三⾓形的周长为（）A．13 B．17 C．22 D．17或227．（2011?徐州）若三⾓形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（）A．2cm B．3cm C．7cm D．16cm8．（2011?南通）下列长度的三条线段，不能组成三⾓形的是（）A．3，8，4 B．4，9，6 C．15，20，8 D．9，15，89．（2012?东莞）已知三⾓形两边的长分别是4和10，则此三⾓形第三边的长可能是（）A．5B．6C．11 D．16 10．（2011?莆⽥）等腰三⾓形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（）A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定⼆、填空题（共10⼩题）（除⾮特别说明，请填准确值）11．（2007?安顺）如果等腰三⾓形的两边长分别为4和7，则三⾓形的周长为_________．12．（2004?云南）已知三⾓形其中两边a=3，b=5，则第三边c的取值范围为_________．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除13．（2007?柳州）如果三⾓形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与其中⼀边的长相等，那么第三边的长为_________cm．14．（2006?连云港）如图，∠BAC=30°，AB=10．现请你给定线段BC的长，使构成△ABC能惟⼀确定．你认为BC的长可以是_________．15．（2005?泸州）⼀个等腰三⾓形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为_________cm．16．（2007?贵阳）在△ABC中，若AB=8，BC=6，则第三边AC的长度m的取值范围是_________．17．（2006?梧州）△ABC的边长均为整数，且最⼤边的边长为7，那么这样的三⾓形共有_________个．18．（2004?芜湖）已知等腰三⾓形的⼀边等于5，另⼀边等于6，则它的周长等于_________．19．（2004?⽟溪）已知⼀个梯形的两底长分别是4和8，⼀腰长为5，若另⼀腰长为x，则x的取值范围是_________．20．（2004?嘉兴）⼩华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根⼩⽊棒中选出三根摆成⼀个三⾓形，那么他选的三根⽊棒的长度分别是：_________，_________，_________（单位：cm）．三、解答题（共10⼩题）（选答题，不⾃动判卷）21．已知三⾓形的三边互不相等，且有两边长分别为5和7，第三边长为正整数．（1）请写出⼀个三⾓形符合上述条件的第三边长．（2）若符合上述条件的三⾓形共有n个，求n的值．（3）试求出（2）中这n个三⾓形的周长为偶数的三⾓形所占的⽐例．22．如果⼀个三⾓形的各边长均为整数，周长⼤于4且不⼤于10，请写出所有满⾜条件的三⾓形的三边长．23．⼀个三⾓形的边长分别为x，x，24﹣2x，（1）求x可能的取值范围；（2）如果x是整数，那么x可取哪些值？24．已知三⾓形的三边长分别为2，x﹣3，4，求x的取值范围．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除25．三⾓形的三边长分别为（11﹣2x）m、（2x2﹣3x）cm、（﹣x2+6x﹣2）cm①求这个⾓形的周长；②x是否可以取2和3？如果可以，求出相应的三⾓形的周长；如果不可以，请说明理由．26．⼀个四边形的周长是48cm，已知第⼀条边长是acm，第⼆条⽐第⼀条边的2倍长3cm，第三条边等于第⼀、第⼆两条边的和．（1）⽤含a的代数式表⽰第四条边．（2）当a=7时，还能得到四边形吗？说说理由．28．如图，在四边形ABCD内找⼀点O，使OA+OB+OC+OD之和最⼩，并说出你的理由．29．若三⾓形三边长分别为2x，3x，10，其中x为正整数，且周长不超过30，求x的取值范围．写出这个三⾓形的三边长．30．已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满⾜|a﹣4|+（b﹣1）2=0，求△ABC中c边的长．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除【考点训练】三⾓形三边关系-2参考答案与试题解析⼀、选择题（共10⼩题）1．（2011?青海）某同学⼿⾥拿着长为3和2的两个⽊棍，想要找⼀个⽊棍，⽤它们围成⼀个三⾓形，那么他所找的这根⽊棍长满⾜条件的整数解是（）A．1，3，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．3，4，5考点：三⾓形三边关系．分析：⾸先根据三⾓形三边关系定理：①三⾓形两边之和⼤于第三边②三⾓形的两边差⼩于第三边求出第三边的取值范围，再找出范围内的整数即可．解答：解：设他所找的这根⽊棍长为x，由题意得：3﹣2＜x＜3+2，∴1＜x＜5，∵x为整数，∴x=2，3，4，故选：C．点评：此题主要考查了三⾓形三边关系，掌握三⾓形三边关系定理是解题的关键．2．（2012?郴州）以下列各组线段为边，能组成三⾓形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm考点：三⾓形三边关系．分析：根据三⾓形的三边关系“任意两边之和⼤于第三边，任意两边之差⼩于第三边”，进⾏分析．解答：解：根据三⾓形的三边关系，知A、1+2＜4，不能组成三⾓形；B、4+6＞8，能够组成三⾓形；C、5+6＜12，不能组成三⾓形；D、2+3=5，不能组成三⾓形．故选B．点评：此题考查了三⾓形的三边关系．判断能否组成三⾓形的简便⽅法是看较⼩的两个数的和是否⼤于第三个数．3．（2012?海南）⼀个三⾓形的两边长分别为3cm和7cm，则此三⾓形的第三边的长可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm考点：三⾓形三边关系．分析：已知三⾓形的两边长分别为3cm和7cm，根据在三⾓形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．解答：解：设第三边长为x，则由三⾓形三边关系定理得7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10．因此，本题的第三边应满⾜4＜x＜10，把各项代⼊不等式符合的即为答案．3，4，11都不符合不等式4＜x＜10，只有7符合不等式，故答案为7cm．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除故选C．点评：此类求三⾓形第三边的范围的题，实际上就是根据三⾓形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．4．（2012?长沙）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根⽊棒，任取其中三根组成⼀个三⾓形，那么可以组成的三⾓形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：三⾓形三边关系．专题：压轴题．分析：从4条线段⾥任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三⾓形三边关系，舍去即可．解答：解：四条⽊棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7，9能组成三⾓形．故选B．点评：考查了三⾓形三边关系，三⾓形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．5．（2011?梧州）下列长度的三条线段能组成三⾓形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，1，1 D．3，4，7考点：三⾓形三边关系．专题：应⽤题．分析：根据三⾓形的三边关系“任意两边之和⼤于第三边，任意两边之差⼩于第三边”进⾏分析．解答：解：根据三⾓形的三边关系，知A、1+2=3，不能组成三⾓形，故A错误；B、3+4＞5，能够组成三⾓形；故B正确；C、1+1＜3，不能组成三⾓形；故C错误；D、3+4=7，不能组成三⾓形，故D错误．故选：B．点评：本题考查了三⾓形的三边关系，判断能否组成三⾓形的简便⽅法是看较⼩的两个数的和是否⼤于第三个数，难度适中．6．（2012?常州）已知等腰三⾓形三边中有两边的长分别为4、9，则这个等腰三⾓形的周长为（）A．13 B．17 C．22 D．17或22考点：等腰三⾓形的性质；三⾓形三边关系．专题：分类讨论．分析：由于等腰三⾓形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进⾏讨论．解答：解：当4为底时，其它两边都为9，∵9、9、4可以构成三⾓形，∴三⾓形的周长为22；当4为腰时，其它两边为9和4，∵4+4=8＜9，∴不能构成三⾓形，故舍去．故选C．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除点评：本题考查了等腰三⾓形的性质和三⾓形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题⽬⼀定要想到两种情况，分类进⾏讨论，还应验证各种情况是否能构成三⾓形进⾏解答，这点⾮常重要，也是解题的关键．7．（2011?徐州）若三⾓形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（）A．2cm B．3cm C．7cm D．16cm考点：三⾓形三边关系．专题：应⽤题．分析：已知三⾓形的两边长分别为6cm和9cm，根据在三⾓形中任意两边之和＞第三边，或者任意两边之差＜第三边，即可求出第三边长的范围．解答：解：设第三边长为xcm．由三⾓形三边关系定理得9﹣6＜x＜9+6，解得3＜x＜15．故选C．点评：本题考查了三⾓形三边关系定理的应⽤．关键是根据三⾓形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．8．（2011?南通）下列长度的三条线段，不能组成三⾓形的是（）A．3，8，4 B．4，9，6 C．15，20，8 D．9，15，8考点：三⾓形三边关系．专题：计算题．分析：根据三⾓形三边关系定理：三⾓形两边之和⼤于第三边，进⾏判定即可．解答：解：A，∵3+4＜8∴不能构成三⾓形；B，∵4+6＞9∴能构成三⾓形；C，∵8+15＞20∴能构成三⾓形；D，∵8+9＞15∴能构成三⾓形．故选A．点评：此题主要考查学⽣对运⽤三⾓形三边关系判定三条线段能否构成三⾓形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和⼤于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成⼀个三⾓形．9．（2012?东莞）已知三⾓形两边的长分别是4和10，则此三⾓形第三边的长可能是（）A．5B．6C．11 D．16考点：三⾓形三边关系．专题：压轴题；探究型．分析：设此三⾓形第三边的长为x，根据三⾓形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．解答：解：设此三⾓形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．故选C．点评：本题考查的是三⾓形的三边关系，即任意两边之和⼤于第三边，任意两边之差⼩于第三边．10．（2011?莆⽥）等腰三⾓形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（）A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除。
七年级数学下册 3.1.1 三边关系试题(基础巩固提优+课外拓展提优+开放探究提优,pdf) (新版)北师大版
第三章㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀三 角 形１㊀认识三角形第１课时㊀三边关系㊀㊀１．认识三角形的概念及基本要素．２．掌握三角形三边之间的关系．１．若三角形两条边分别是２c m和７c m,则第三边c的范围是㊀㊀㊀㊀,当周长为偶数时,第三边长为㊀㊀㊀㊀,若周长为５的倍数时,第三边长为㊀㊀㊀㊀．２．若等腰三角形的腰长为６,则它的底边长a的取值范围是㊀㊀㊀㊀;若等腰三角形的底边长为４,则它的腰长b的取值范围是㊀㊀㊀㊀．３．一个木工师傅现有两根木条,它们的长分别为３０c m和５０c m,他要选择第三根木条,将它们钉成一个三角形木架,设第三根木条为x c m,则x的取值范围是㊀㊀㊀㊀,若第三根木条是整十数,则第三根木条可以有㊀㊀㊀㊀种选择．４．认识三角形后,勤于探索的贝贝和晶晶又用玩游戏的方式探索起来．贝贝:给出下列四组线段,请你找出能构成三角形的一组．晶晶略一思考,就正确地找了出来是(㊀㊀)．A．２c m,４c m,６c mB．３c m,８c m,４c mC．７c m,７c m,３c mD．９c m,５c m,３c m５．若三角形的两边长分别为３和５,则其周长l的取值范围是(㊀㊀)．A．６＜l＜１５B．６＜l＜１６C．１０＜l＜１６D．１１＜l＜１３６．以长度为５,７,９,１３中的三条线段为边,能组成一个三角形的情况有(㊀㊀)．A．１种B．２种C．３种D．４种７．在下列各题中给出的三条线段不一定能组成三角形的是(㊀㊀)．A．a＋１,a＋２,a＋３(a＞０)B．三条线段的比是４ʒ６ʒ８C．３c m,８c m,１０c mD．３a,５a,２a－１(a＞０)８．在周长为p的三角形中,最长边m的取值范围是(㊀㊀)．A．p３ɤm＜p２B．p３＜m＜p２C．p３＜mɤp２D．p３ɤmɤp２９．已知әA B C的周长为４８c m,最大边与最小边之差为１４c m,另一边与最小边之和为２５c m,求әA B C各边的长．１０．已知在әA B C中,A B＝A C,点D在A C的延长线上．求证:B D－B C＜A D－A B．(第１０题)１１．若三角形的三边长都是正整数,一边长为４,但它不是最短边,写出８种满足所有条件的三角形的三边长．１２．如图,A C㊁B D相交于点O,试说明:A C＋B D＞１２(A B＋B C＋C D＋D A)．(第１２题)惟有真才能血性,须从本色见英雄. 黄㊀兴受人者,常畏人;与人者,常骄人.皇甫谧１３．әA B C 的三边a ,b ,c 都是正整数,且满足a ɤb ɤc ,如果b ＝４,那么这样的三角形共有(㊀㊀)．A．４个B ．６个C ．８个D．１０个１４．各边长均为整数且各边均不相等的三角形的周长小于１３,这样的三角形有(㊀㊀)．A．１个B ．２个C ．３个D．４个１５．如果三角形的两边长分别为２和４,且第三边的长为奇数,试讨论三角形的第三边应为多少?若第三边为偶数,求这个三角形的周长．１６．已知a ,b ,c 是三角形三条边的长,试判断代数式a ２－２a b－c ２＋b２值的正负．１７．已知a ,b ,c 是әA B C 的三边,化简:|a －b －c |＋|a ＋b －c |－|b －c －a |＋|c －a －b |．１８．如图,草原上有４口油井,位于四边形A B C D 的４个顶点处,现在要建立一个维修站H ,试问维修站H 建在何处,才能使它到４口油井的距离之和HA ＋H B ＋H C ＋HD 为最小?说明理由．(第１８题)１９．(２０１２ 广东)已知三角形两边的长分别是４和１０,则此三角形第三边的长可能是(㊀㊀)．A．５B ．６C ．１１D．１６２０．(２０１２ 湖南长沙)现有３c m ,４c m ,７c m ,９c m 长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是(㊀㊀)．A．１B ．２C ．３D．４２１．(２０１２ 湖南郴州)以下列各组线段为边,能组成三角形的是(㊀㊀)．A．１c m ,２c m ,４c m B ．４c m ,６c m ,８c m C ．５c m ,６c m ,１２c m D．２c m ,３c m ,５c m２２．(２０１２ 浙江义乌)如果三角形的两边长分别为３和５,第三边长是偶数,则第三边长可以是(㊀㊀)．A．２B ．３C ．４D．８２３．(２０１２ 广东茂名)如图所示,建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部都是三角形结构,这是应用了三角形的哪个性质?答:㊀．(第２３题)４８,则a ＝２３c m ,b ＝１６c m ,c ＝９c m ．１０．ȵ㊀A D －A B ＝A C ＋C D －A C ＝C D ,又㊀B D －B C ＜C D ,ʑ㊀B D －B C ＜A D －A B ．１１．如:１,４,４;２,４,４;２,３,４;２,４,５;３,３,４;３,４,４;３,４,５;３,４,６等１２．在әA O D 中,A O ＋D O ＞A D ;在әA O B 中,A O ＋B O ＞A B ;在әB O C 中,B O ＋C O ＞B C ;在әC O D 中,C O ＋D O ＞C D ．四个不等式两边分别相加,并化简,得２A C ＋２B D ＞A B ＋B C ＋C D ＋D A ,所以A C ＋B D ＞１２(A B ＋B C ＋C D ＋D A )．１３．D ㊀１４．C１５．设第三边为x ,根据三边关系,得４－２＜x ＜４＋２,所以２＜x ＜６．所以第三边若为奇数,第三边长为３或５;若第三步为偶数,则第三边长为４,此时三角形的周长＝２＋４＋４＝１０．１６．㊀a ２－２a b －c ２＋b２＝(a －b )２－c２＝(a －b －c )(a ＋c －b )．ȵ㊀a －b －c ＜０,a ＋c －b ＞０,ʑ㊀a ２－２a b －c ２＋b ２＜０．１７．因为a ,b ,c 是әA B C 的三边,所以a －b －c ＜０,a ＋b －c ＞０,b －c －a ＜０,c －a －b ＜０,所以原式＝－(a －b －c )＋(a ＋b －c )＋(b－c －a )－(c －a －b )＝－a ＋b ＋c ＋a ＋b －c ＋b －c －a －c ＋a ＋b＝４b －２c ．１８．维修站H 建在两条对角线A C ㊁B D 的交点处便符合要求,现不妨任取异于H 的一点H ᶄ,连接AH ᶄ㊁B H ᶄ㊁C H ᶄ㊁DH ᶄ,则AH ᶄ＋C H ᶄ＞A C ＝AH ＋C H ,①B H ᶄ＋DH ᶄ＞B D ＝B H ＋DH ,②①＋②,得A H ᶄ＋C H ᶄ＋B H ᶄ＋D H ᶄ＞A H ＋C H ＋B H ＋D H ．ʑ㊀对角线A C ㊁B D 的交点H 处到４口油井的距离之和为最小．(第１８题)１９．C ㊀２０．A㊀２１．B ㊀２２．C ㊀２３．稳定性第三章㊀三角形１㊀认识三角形第１课时㊀三边关系１．５c m＜c ＜９c m㊀７c m㊀６c m ２．０＜a ＜１２㊀b ＞２３．２０＜x ＜８０㊀５４．C ㊀５．C ㊀６．C ㊀７．D㊀８．B９．设三角形的三边长为a ,b ,c ,且a ＞b ＞c ．由已知,可得a －c ＝１４,b ＋c ＝２５,a ＋b ＋c ＝。
八年级三角形三边关系的试题
八年级三角形三边关系的试题1．下列说法中正确的是（）A．三角形的内角中至少有两个锐角B．三角形的内角中至少有两个钝角C．三角形的内角中至少有一个直角D．三角形的内角中至少有一个钝角选A2．图中三角形的个数是（）A．8个B．9个C．10个D．11个【考点】三角形．【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形即可．【解答】解：∵图中的三角形有：△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB，∴共9个三角形．故选B．【点评】此题考查了三角形，注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．3．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．1【考点】三角形三边关系．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．4．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（）A．1B．6C．7D．10【考点】三角形三边关系【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，分别求出x的最小值、最大值，进而判断出x的值可能是哪个即可．【解答】解：∵4﹣3=1，4+3=7，∴1＜x＜7，∴x的值可能是6．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）三角形的两边差小于第三边．5．在同一平面内，线段AB=7，BC=3，则AC长为（）A．AC=10B．AC=10或4C．4＜AC＜10D．4≤AC≤10【考点】三角形三边关系；两点间的距离．【分析】此题要分三点共线和不共线两种情况．三点共线时，根据线段的和、差进行计算；三点不共线时，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行计算．【解答】解：若点A，B，C三点共线，则AC=4或10；若三点不共线，则根据三角形的三边关系，应满足大于4而小于10．所以4≤AC≤10．故选：D．【点评】此题主要考查了线段的和与差以及三角形的三边关系，关键是要考虑全面，此题有两种情况，不要漏解．6．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10B．5，6，11C．3，4，8D．4a，4a，8a（a＞0）【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；B、∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D、∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．7．已知△ABC的三边a，b，c的长度都是整数，且a≤b＜c，如果b=5，则这样的三角形共有（）A．8个B．9个C．10个D．11个【考点】三角形三边关系．【分析】由三角形的三边关系与a≤b＜c，即可得a+b＞c，继而可得b＜c＜a+b，又由c﹣b＜a≤b，三角形的三边a，b，c的长都是整数，即可得1＜a≤5，然后分别从a=2，3，4，5去分析求解即可求得答案．【解答】解：若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即a+b＞c．∵b＜c，∴b＜c＜a+b，又∵c﹣b＜a≤b，三角形的三边a，b，c的长都是整数，∴1＜a≤5，∴a=2，3，4，5．当a=2时，5＜c＜7，此时，c=6；当a=3时，5＜c＜8，此时，c=6，7；当a=4时，5＜c＜9，此时，c=6，7，8；当a=5时，5＜c＜10，此时，c=6，7，8，9；∴一共有1+2+3+4=10个．故选：C．【点评】此题考查了三角形的三边关系．此题难度较大，解题的关键是根据三角形的三边关系与a，b，c的长都是整数，且a≤b＜c，b=5去分析求解，得到a=2，3，4，5．二．填空题（共7小题）8．三角形按边分类可分为：三边都不相等的三角形和等腰三角形两类．【考点】三角形．【分析】三角形按边分，可分为两类：不等边三角形和等腰三角形；进而解答即可．【解答】解：三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形；故答案为：等腰．【点评】此题考查了三角形的分类．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．9．平面上有四个点A、B、C、D，其中任意三个点都不在一条直线上，用它们作顶点可以组成三角形的个数是4个．【考点】三角形．【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）填空．【解答】解：∵平面上有四个点A、B、C、D，其中任意三个点都不在一条直线上，∴用它们作顶点可以组成三角形有：△ABC、△ABD、△ACD和△BCD，共4个．故填：4．【点评】本题考查了三角形的定义．注意，是不在同一直线上的三个点才可以连接成为三角形．10．已知三角形的三边的长分别是5、x、9，则x的取值范围是4＜x＜14．【考点】三角形三边关系．【分析】由三角形的两边的长分别为9和5，根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：9﹣5＜x＜9+5，即：4＜x＜14．故答案为：4＜x＜14．【点评】此题考查了三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和．11．一个三角形的两边长分别为2cm和9cm，若三角形的周长为奇数，则第三边长为8或10cm．【考点】三角形三边关系．【点评】考查了三角形的三边关系，关键是结合已知的两边和周长，分析出第三边应满足的条件．12．若一个三角形的两条边相等，一边长为4cm，另一边长为7cm，则这个三角形的周长为15cm或18cm．【考点】三角形三边关系．【分析】分情况考虑：当相等的两边是4cm时或当相等的两边是7cm时，然后求出三角形的周长．【解答】解：当相等的两边是4cm时，另一边长为7cm，则三角形的周长是4×2+7=15cm，当相等的两边是7cm时，则三角形的周长是4+7×2=18cm．故答案为：15cm或18cm．【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．2·1·c·n·j·y13．小明和小丽是同班同学，小明家距学校2千米，小丽家距学校5千米，设小明家距小丽家x千米，则x的值应满足3≤x≤7．【考点】三角形三边关系．【分析】小明家、小丽家和学校可能三点共线，也可能构成一个三角形，由此可列出不等式5﹣2≤x≤5+2，化简即可得出答案．【解答】解：依题意得：5﹣2≤x≤5+2，即3≤x≤7．故答案为：3≤x≤7；【点评】本题考查的是三角形三边关系定理的应用，解此类题目时要注意三个地点的位置关系．。
三角形三边关系例题20道
三角形三边关系例题20道已知三角形的两边长分别为5和8，则第三边的取值范围是？答案：第三边大于3且小于13。
若三角形的两边长分别为2和6，则第三边的最大整数值是？答案：8（因为第三边小于两边之和8+2=10，且大于两边之差6-2=4，所以最大整数值为8）。
一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边为偶数，则第三边的长为？答案：8或6（因为第三边小于10且大于4，且为偶数，所以只能是8或6）。
已知三角形的两边长分别为4和9，则第三边的取值范围在数轴上表示出来为？答案：在数轴上，第三边的取值范围是从5到13（不包括端点）。
若三角形的两边长分别为m和n，且m < n，m + n = 12，则m的取值范围是？答案：0 < m < 6（因为m + n = 12，所以n = 12 - m，又因为m < n，所以m < 12 - m，解得m < 6；又因为m > 0，所以0 < m < 6）。
一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，则此三角形的周长不可能是？答案：20cm（因为第三边小于13cm且大于3cm，所以周长不可能为20cm）。
已知三角形的两边长分别为a和b，且a2 = 25，ab = 12，则此三角形的第三边的最大值是？答案：根据余弦定理，cosC = (a2 - c2 + b2) / 24。
由于-1 ≤ cosC ≤ 1，所以可以得到c的取值范围，进而求出第三边的最大值。
但此处更直接的方法是利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，结合a2 = 25和ab = 12求出a和b的具体值（或范围），然后求出第三边的最大值。
由于计算较复杂，此处不给出具体答案，但方法是这样的。
实际上，由于a和b的具体值可以通过解二次方程得到（注意a 和b都是正数），然后可以求出第三边的最大值。
8-20题（由于篇幅限制，只给出简要描述和答案）：已知两边长，求第三边可能的最小整数值。
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已知△ABC ,
(1)如图1，若D点是A ABC内任一点、求证：/ D= / A+ / ABD+ / ACD .
(2)若D点是△ABC外一点，位置如图2所示.猜想/ D、/ A、/ ABD、/ ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式.(不需要证明)
(3 )若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想/ D、/ A、/ ABD、/ ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论.
考点：三角形的外角性质
专题：计算题.
分析：(1)由/ BDC= / 2+ / CED , / CED= / A+ / 1,可以得出/ D= / A+ / ABD+ / ACD .
(2) 由/ D+ / A+ / ABD+ / ACD= / A+ / ABC+ / ACB+ / D+ / DBC+DCB，/ A+ / ABC+
/ ACB=180 ，/ D+ / DBC+DCB=180 ，可以得出/ D+ / A+ / ABD+ / ACD=360
(3) 根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可
知/ AED= / 1+ / A，/ AED= / D+ / 2，所以可知/ A+ / 1= / D+ / 2 即/D+ / ACD= / A+
解答：解：(1)证明：延长BD交AC于点E .
•••/ BDC 是A CDE 的外角，•••/ BDC= / 2+ / CED ,
•••/ CED 是△ABE 的外角，•/ CED= / A+ / 1 .
•••/ BDC= / A+ / 1+ / 2 .即/ D= / A+ / ABD+ / ACD .
(2 )•••/ D+ / A+ / ABD+ / ACD= / A+ / ABC+ / ACB+ / D+ / DBC+DCB ,
/ A+ / ABC+ / ACB=180 ，/ D+ / DBC+DCB=180 , •••/ D+ / A+ / ABD+ / ACD=360
(3)证明：令BD、AC交于点E,
•••/ AED是△ABE的外角，
•••/ AED= / 1+ / A ,
•••/ AED 是ACDE 的外角，
•••/ AED= / D+ / 2 .
•••/ A+ / 1 = / D+ / 2 即/ D+ / ACD= / A+ / ABD .
形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由.
(1)如图，A ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由. 厶
(2)将(1)中点P移至A ABC内，得图②，试观察比较A BPC的周长与A ABC的周长的
(3)将(2)中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与A ABC 的周长的大小，并说明理由.
(4)将(3)中的点P2移至△ABC夕卜，并使点P j、P2与点A在边BC的异侧，且/ P1BC v/ ABC , / P2CB v/ ACB ,得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与A ABC的周长的大小，并说明理由.
（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1,如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与A ABC的周长的大小，并说明理由.
考点：三角形三边关系分析：（1 ）、（2）、（3）通过作辅助线，利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边
之差进行解答；
（4）通过将四边形BP1P2C沿直线BC翻折，使点P i、P2落在MBC内，转化为（3）情形，从而问题得解；
（5）延长B i P i、C1P2分别与AB相交，再利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边之差进行解答.
解答：解：（1）BP+PC v AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段
最短.
（2）ABPC的周长v A ABC的周长.理由:
如图，延长BP 交AC 于M，在A ABM 中，BP+PM v AB+AM ,在APMC 中，PC v PM+MC , 两式相加得BP+PC v AB+AC，于是得：ABPC的周长v A ABC的周长.
（3）四边形BP1P2C的周长v A ABC的周长.理由:
如图，分别延长 BP. CP 2交于M ，由(
2)知，BM+CM V AB+AC ，又卩汨2< P 1M+P 2M , 可得，BP 1+P 1P 2+P 2C V BM+CM V AB+AC ，可得结论.
或：作直线 P 1P 2 分别交 AB 、AC 于 M 、N (如图)， ABMP 1 中，BP 1V BM+MP 1, △AMN 中，MP 1+P 1P 2+P 2M V AM+AN ，AP2NC 中，P 2C V P 2N+NC ，三式相加得：BP 1+P 1P 2+P 2C
(4) 四边形BP 1P 2C 的周长V △ABC 的周长.理由如下：将四边形 折，
使点P i 、P 2落在MBC 内，转化为(3)情形，即可.
(5) 比较四边形 B 1P 1P 2C 1的周长V A ABC 的周长.理由如下： 如图，分别作如图所示的延长线交 △ABC 的边于M 、N 、K 、H ,在^NM 中，NB J +B J PI+P J M V BM+BN ，又显然有，B i C i +C i K v NB i +NC+CK ，及 C 1P 2+P 2H V C i K+AK+AH ，及 P 1P 2 V P 2H+MH+P i M ，将以上各式相加，得 B 1P 1+P 1P 2+P 2C+B i C i V AB+BC+AC ，于是得结论.
点评：比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，
通过作辅助线进行解
答. 如图，已知直线\J 12, 13、14和12分别交于点A 、B 、C 、D ，点P 在直线13或14上且不 与点 A 、
B 、
C 、
D 重合.记/ AEP= / 1，/ PFB= / 2，/ EPF= / 3.
(1) 若点P 在图(1 )位置时，求证：/ 3= / 1+ / 2 ;
(2) 若点P 在图(2)位置时，请直接写出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系；
(3) 若点P 在图(3)位置时，写出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系并给予证明；
(4)
若点P 在C 、D 两点外侧运动时，请直接写出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系. BP 1P 2C 沿直线BC 翻
V AB+AC ，可得结论.
考点：平行线的性质；三角形的外角性质•
专题：证明题；探究型.
分析：此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l l、I2的平行线，利用平行线的性质得到和/ 1、/ 2相等的角，然后结合这些等角和/ 3的位置关系，来得出/ 1、/ 2、/ 3的数量关系.
解答：解：（1 ）证明：过P作PQ //h //I2,
由两直线平行，内错角相等，可得：
/ 1= / QPE、/ 2= / QPF;
•••/ 3= / QPE+ / QPF ,
•••/ 3= / 1+ / 2.
(2)/ 3= / 2- / 1 ;
证明：过P作直线PQ // l1// 12,
则：/ 1= / QPE、/ 2= / QPF ;
•••/ 3= / 2- / 1.
(3)/ 3=360° -Z 1-/2.
证明：过P 作PQ // l i // I2；
同(1)可证得：/ 3= / CEP+ / DFP ;
•••/ CEP+ / 仁180°，/ DFP+ / 2=180°,
•••/ CEP+ / DFP+ / 1+ / 2=360°, 即/ 3=360° - / 1-/ 2 .
(4)过P 作PQ // l1// l2;
①当P在C点上方时，
同(2 )可证：/ 3= / DFP- / CEP ;
•••/ CEP+ / 仁180°，/ DFP+ / 2=180°,
•••/ DFP- / CEP+ / 2- / 仁0,
②当P 在 D 点下方时，
/ 3= / 2- Z 1，解法同上.
综上可知：当P在C点上方时，/ 3= / 1-Z 2,当P在D点下方时，/ 3= / 2- Z 1 . 点评：此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键.。