七年级数学下册《三角形的三边关系》典型例题(含答案)
9.1.3 三角形的三边关系 华东师大版数学七年级下册同步练习(含解析)
9.1.3 三角形的三边关系基础过关全练知识点1 三角形的三边关系1.【教材变式·P82练习T1变式】(2022湖南邵阳中考)下列长度的三条线段能首尾顺次连结构成三角形的是( ) A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,4 cm,5 cmC.4 cm,5 cm,10 cmD.6 cm,9 cm,2 cm2.(2022河南郑州期末)已知三角形两边长分别为2 cm和3 cm,则第三边长不可能是( )A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm3.(2022江苏徐州期中)四根长度分别为2 cm、3 cm、5 cm、7 cm的木条,以其中三根的长为边长钉成一个三角形框架,那么这个框架的周长可能是( )A.10 cmB.15 cmC.14 cmD.12 cm4.(2022湖南邵阳模拟)已知一个三角形的两边长分别为3和4,第三边的长为整数,则该三角形的周长为( )A.7B.8C.13D.145.(2021陕西西安二十三中月考)如图,为了估计一池塘岸边两点A,B 之间的距离,小颖同学在池塘一侧选取了一点P,测得PA=100 m,PB=90 m,那么点A与点B之间的距离不可能是( )A.90 mB.100 mC.150 mD.190 m6.【主题教育·生命安全与健康】【新独家原创】某电管站需要在变压器旁放置一个防触电安全警示牌,根据其位置需要做一个三角形形状的警示牌,警示牌的两边长分别为25 cm和35 cm,那么第三条边长x(cm)的范围是 .7.(2022吉林长春一模)已知一个三角形的两边长分别为2和5,若第三边的长为整数,则第三边的长可以为 .8.【新独家原创】已知a、b是三角形的两边长(a>b),第三边长为5,则化简|a+b-4|-|a-b-6|的结果为 .9.(2022湖北荆州期中)已知△ABC的三边长分别为4,9,x.(1)求x的取值范围;(2)当△ABC的周长为偶数时,求x的值.10.【学科素养·运算能力】小明和小红在一本数学资料上看到这样一道竞赛题:已知△ABC的三边的长分别为a、b、c(a>b),且满足(b+c-2a)2+|b+c-8|=0,求c的取值范围.(1)小明说:“c的取值范围,我看不出来如何求,但我能求出a的值.”你知道小明是如何计算的吗?请帮他写出求解的过程.(2)小红说:“我也看不出来如何求c的取值范围,但我能用含c的代数式表示b.”同学,你能吗?若能,请帮小红写出过程.(3)小明和小红一起去问数学老师,老师说:“根据你们二人的求解,再结合三角形的三边关系即可求出答案.”你知道答案吗?请写出过程.知识点2 三角形的稳定性11.(2022广东佛山禅城一模)如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性,这样做蕴含的道理是( )A.两点之间线段最短B.三角形具有稳定性C.经过两点有且只有一条直线D.垂线段最短12.(2022四川凉山州期末)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图,要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?( )A.0根B.1根C.2根D.3根能力提升全练13.(2022浙江金华中考,4,)已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm,则第三边的长可以是( )A.2 cmB.3 cmC.6 cmD.13 cm14.(2022四川德阳中考,7,)某学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和3 km,那么杨冲,李锐两家的直线距离不可能是( )A.1 kmB.2 kmC.3 kmD.8 km15.(2022广西贺州平桂二模,9,)老师布置了一份家庭作业:用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架,三根小木棍的长度分别为5 cm、9 cm、10 cm,要求只能对10 cm的小木棍进行裁剪(裁剪后长度为整数).你认为同学们最多能做出几种不同的三角形木架?( )A.1个B.2个C.6个D.10个16.【新考法】(2022江苏南京秦淮期中,5,)如图,用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8,且相邻两根木条的夹角均可以调整,若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两颗螺丝的距离的最大值是( )A.7B.10C.11D.1417.(2022四川成都九中期中,9,)已知a,b,c是△ABC的三边长,b、c 满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|x-4|=2的解,则△ABC的周长为( )A.4B.5C.7或11D.718.(2022广西南宁隆安期中,23,)已知a,b,c是△ABC的三边长.(1)若a,b,c满足(a-b)2+|b-c|=0,试判断△ABC的形状;(2)化简:|b-c-a|+|a-b+c|-|a-b-c|.素养探究全练19.【创新意识】(2022江西赣州期中)若三边均不相等的三角形三边长a、b、c满足a-b>b-c(a为最长边,c为最短边),则称它为“不均衡三角形”.例如:一个三角形三边长分别为7,5,4,因为7-5>5-4,所以这个三角形为“不均衡三角形”.(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的有 (填序号).①4 cm,2 cm,1 cm;②13 cm,18 cm,9 cm;③19 cm,20 cm,19 cm;④9 cm,8 cm,6 cm.(2)已知“不均衡三角形”三边长分别为2x+2,16,2x-6(x为整数),求x的值.答案全解全析基础过关全练1.B 根据三角形的三边关系得,A.1+2=3,不能构成三角形;B.3+4>5,能构成三角形;C.4+5<10,不能构成三角形;D.2+6<9,不能构成三角形.故选B.2.A 设三角形第三边的长为x cm,则3-2<x<3+2,即1<x<5,四个选项中只有A不符合条件.故选A.3.B ∵2+3=5,2+3<7,2+5=7,∴2 cm,3 cm,5 cm和2 cm,3 cm,7 cm以及2 cm,5 cm,7 cm都不能组成三角形,而3 cm,5 cm,7 cm可以组成三角形,其周长为15 cm,故选B.4.C 设三角形第三边的长为x,∵三角形的两边长分别为3和4,∴4-3<x<4+3,即1<x<7,∵第三边的长为整数,∴周长为13符合要求.故选C.5.D 连结AB(图略),设AB的长度为x m.根据三角形的三边关系知,100-90<x<100+90,即10<x<190,所以AB的长度不可能为190 m.6.答案10<x<60解析 根据三角形的三边关系,得35-25<x<25+35,即10<x<60.7.答案4或5或6解析 设三角形的第三边长为x,则5-2<x<5+2,即3<x<7,∵第三边的长为整数,∴x=4或5或6.故答案为4或5或6.8.答案2a-10解析 由三角形的三边关系可得a+b>5,a―b<5,所以a+b-4>0,a-b-6<0,则|a+b-4|-|a-b-6|=(a+b-4)+(a-b-6)=2a-10.9.解析 (1)∵三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边,∴9-4<x<9+4,即5<x<13,∴x的取值范围是5<x<13.(2)∵△ABC的周长=x+4+9=x+13,且周长为偶数,∴x为奇数,∵5<x<13,∴x为7,9,11.10.解析 (1)知道.由题意得b+c―2a=0,b+c―8=0,∴a=4.(2)能.由b+c-8=0,得b=8-c.(3)知道.由三角形的三边关系得a+b>c>a-b,即4+8-c>c>4-(8-c),解得c<6,由a>b得4>8-c,∴c>4,∴6>c>4.11.B 人字梯中间一般会设计一“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性,这样做的道理是三角形具有稳定性,故选B.12.B 要使这个木架不变形,利用三角形的稳定性,他至少还要再钉上1根木条,故选B.能力提升全练13.C 设三角形第三边的长为x cm,∵三角形的两边长分别为5 cm 和8 cm,∴8-5<x<8+5,即3<x<13,∴第三边的长可以是6 cm.故选C.14.A 当杨冲,李锐两家与学校在一条直线上时,杨冲,李锐两家的直线距离为2 km或8 km,当杨冲,李锐两家与学校不在一条直线上时,设杨冲,李锐两家的直线距离为x km,根据三角形的三边关系得5-3<x<5+3,即2<x<8,所以杨冲,李锐两家的直线距离不可能为1 km,故选A.15.C 设从10 cm的小木棍上裁剪的线段长度为x cm,则9-5<x<9+5,即4<x<14,∴整数x的值为5、6、7、8、9、10,∴同学们最多能做出6种不同的三角形木架,故选C.16.B 本题呈现的是四边形,需要将问题转化为三角形,考查学生应变能力.①选3+4、6、8作为三角形的三边长,则三边长为7、6、8,7-6<8<7+6,能构成三角形,此时两颗螺丝间的最大距离为8;②选6+4、3、8作为三角形的三边长,则三边长为10、3、8,8-3<10<8+3,能构成三角形,此时两颗螺丝间的最大距离为10;③选3+8、4、6作为三角形的三边长,则三边长为11、4、6,4+6<11,不能构成三角形,此种情况不成立;④选6+8、3、4作为三角形的三边长,则三边长为14、3、4,3+4<14,不能构成三角形,此种情况不成立.综上所述,任意两颗螺丝的距离的最大值为10,故选B.17.D ∵(b-2)2+|c-3|=0,∴b-2=0且c-3=0,∴b=2,c=3,∵a为方程|x-4|=2的解,∴a=2或a=6,又c-b<a<c+b,即1<a<5,∴a=2,则△ABC的周长为2+2+3=7,故选D.18.解析 (1)∵(a-b)2+|b-c|=0,∴a-b=0且b-c=0,∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形.(2)∵a,b,c是△ABC的三边长,∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0,∴原式=-b+c+a+a-b+c+a-b-c=3a-3b+c.素养探究全练19.解析 (1)①∵1+2<4,∴不能组成“不均衡三角形”;②∵18-13>13-9,∴能组成“不均衡三角形”;③∵19=19,∴不能组成“不均衡三角形”;④∵9-8<8-6,∴不能组成“不均衡三角形”.故答案为②.(2)①16-(2x+2)>2x+2-(2x-6),解得x<3,由2x-6>0,得x>3,矛盾,故不合题意;②2x+2>16>2x-6,解得7<x<11,2x+2-16>16-(2x-6),解得x>9,∴9<x<11,∵x为整数,∴x=10,检验:当x=10时,2x+2=22,2x-6=14,此时22,16,14可组成三角形;③2x-6>16,解得x>11,2x+2-(2x-6)>2x-6-16,解得x<15,∴11<x<15,∵x 为整数,∴x=12或13或14,当x=12或13或14时,都可以组成三角形.综上所述,x的值为10或12或13或14.。
直角三角形三边关系练习题(含答案)
直角三角形三边关系练习题(含答案)
问题一
已知直角三角形的两条直角边分别为3 cm和4 cm，请计算斜
边的长度。
解答一
根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：
$$斜边长度 = \sqrt{直角边1^2 + 直角边2^2}$$
代入已知数值，可得：
$$斜边长度 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
所以斜边的长度为5 cm。
问题二
已知直角三角形的斜边长为10 cm，其中一个直角边长为6 cm，请计算另一个直角边的长度。
解答二
根据勾股定理，直角边的长度可以通过以下公式计算：
$$直角边长度 = \sqrt{斜边^2 - 另一直角边^2}$$
代入已知数值，可得：
$$直角边长度 = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$
所以另一个直角边的长度为8 cm。
问题三
已知直角三角形的一个直角边长为5 cm，另一个直角边长为12 cm，请计算斜边的长度。
解答三
根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：
$$斜边长度 = \sqrt{直角边1^2 + 直角边2^2}$$
代入已知数值，可得：
$$斜边长度 = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$
所以斜边的长度为13 cm。
以上就是直角三角形三边关系的练习题及其答案。
希望对你有帮助！。
七年级数学下册《三角形的三边关系》典型例题(含答案)
《三角形的三边关系》典型例题例1 如图是某个蔬菜大棚的构架图，那么图中共有多少个三角形？例2 选择题：下列各组线段中能组成三角形的是（ ）A ．cm 15,cm 8,cm 6===c b aB ．cm 13,cm 6,cm 7===c b aC ．cm 6,cm 5,cm 4===c b aD ．cm 81,cm 41,cm 21===c b a例3 下列各组数分别表示三条线段的长度，试判断以它们为边是否能构成三角形？（1）5，8，4 （2）7，3，12 （3）2，8，6参考答案例1 分析：数图形个数时，既要不重又要不漏．数三角形个数有两种方法：（1） 按大小顺序数，其中“单个的小三角形”有四个：EFD CFD BCH ABH ∆∆∆∆、、、，含有两个小三角形的较大三角形有两个：FCE HAC ∆∆、，另外还有一个大三角形：GAE ∆．（2） 先固定一个顶点，变换另两个顶点来数．例如以A 为顶点的三有形有3个，分别是：AEG ACH ABH ∆∆∆、、，用该法时注意不要重复．解：图中共有7个三角形．例2 分析：判断三条线段能否组成三角形，就是根据：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．解：应选C ．说明：在应用三角形三边之间的关系时，要注意“……大于……”“……小于……”．如上题中的选项B ，有c b a =+，也构不成三角形．例3 分析：判断三条线段能否构成三角形，可以用简便方法：将较短两边之和与较长边比较，或将最长边与最短边之差与中间线段比较．解：（1）方法一：8945>=+ ∴以5，8，4为边的三条线段能构成三角形．方法二：5448<=- ∴以5，8，4为边的三条线段能构成三角形．（2）121037<=+ ，∴以7，3，12为边的三条线段不能构成三角形．（3）862=+ ≯8，∴以2，8，6为边的三条线段不能构成三角形．。
七年级数学知识点精讲精练——三角形三边关系
多边形三边关系【知识点】三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．【典型例题】1.（2017春•鼓楼区校级期末）一个三角形的三边长分别是x cm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过12cm，则x的取值范围是．【考点】三角形三边关系【解答】解：根据题意，可得{x+x+1＞x+2，x+x+1+x+2≤12解不等式组，得：1＜x≤3．故答案为：1＜x≤3．【练习】1. （2017秋•河西区校级月考）一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边边长是．2. （2017秋•滁州期末）为估计池塘边A，B两点之间的距离，小文在池塘的一侧选取一点C，测得AC=6米，BC=10米，则A，B两点之间的距离可能是（）A．20米 B．16米 C．8米D．3米3.（2015春•秦淮区期末）现有长为57cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每小段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，则n的最大值为．4.（2012春•工业园区期末）小明同学在研究了课本上的一道问题“四根小木棍的长度分别为2cm，3cm，4cm，和5cm，任取其中3根，可以搭成几个不同的三角形？”后，提出下列问题：长度分别为a，b，c（单位：cm）的三根小木棍搭成三角形，已知a，b，c都是整数，且a≤b＜c，如果b=5，用满足上述条件的三根小木棍能够搭出几个不同的三角形？请你参与研究，并写出探究过程．5. （2014春•苏州期末）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．【练习解析】1. 解：设第三边长为x，则8﹣3＜x＜8+3，即5＜x＜11．又∵x为奇数，∴x=7或9，故答案为7或9．2. 解：根据三角形的三边关系定理得：10﹣6＜AB＜6+10，即：4＜AB＜16，则A，B两点之间的距离在4和16之间．故选：C．3解：因为n段之和为定值57cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1cm，且任意3段都不能拼成三角形，因此这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，但1+1+2+3+5+8+13+21=54＜57，1+1+2+3+5+8+13+21+34=88＞57，所以n的最大值为8．4解：若三边能构成三角形则必有两边之和大于第三边，即a+b＞c，又b＜c，则b＜c＜a+b，又c﹣b＜a≤b，故1＜a≤5，从而a=2，3，4，5，当a=2时，5＜c＜7，此时c=6，当a=3时，5＜c＜8，此时c=6，7，当a=4时，5＜c＜9，此时c=6，7，8，当a=5时，5＜c＜10，此时c=6，7，8，9；故一共有1+2+3+4=10个．5 解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短．（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长．（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由：如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C ＜BM+CM＜AB+AC，可得结论．或：作直线P1P2分别交AB、AC于M、N（如图），△BMP1中，BP1＜BM+MP1，△AMN中，MP1+P1P2+P2M ＜AM+AN，△P2NC中，P2C＜P2N+NC，三式相加得：BP1+P1P2+P2C＜AB+AC，可得结论．（4）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：将四边形BP1P2C沿直线BC翻折，使点P1、P2落在△ABC内，转化为（3）情形，即可．（5）比较四边形B1P1P2C1的周长＜△ABC的周长．理由如下：如图，分别作如图所示的延长线交△ABC的边于M、N、K、H，在△BNM中，NB1+B1P1+P1M＜BM+BN，又显然有，B1C1+C1K＜NB1+NC+CK，及C1P2+P2H＜C1K+AK+AH，及P1P2＜P2H+MH+P1M，将以上各式相加，得B1P1+P1P2+P2C+B1C1＜AB+BC+AC，于是得结论．。
初中数学冀教版七年级下册第九章 三角形9.1 三角形的边-章节测试习题(8)
章节测试题1.【答题】三角形两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则这个三角形的周长可能是（）A. 10或12B. 10或14C. 12或14D. 14或16【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行判断．【解答】解：设三角形第三边的长为a，∵三角形的两边长分别为3和5，∴5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，∵a为偶数，∴a=4或a=6，当a=4时，这个三角形的周长=3+4+5=12；当a=6时，这个三角形的周长=3+5+6=14.综上所述，这个三角形的周长可能是12或14.选C.方法总结：本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．2.【答题】已知三角形两边长分别为7、11，那么第三边的长可以是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【分析】根据三角形的三边关系进行判断．【解答】设第三边长为x，由题意得：11﹣7＜x＜11+7，解得：4＜x＜18，选D.3.【答题】以下列各组数据为边长,能构成三角形的是（）A. 4,4,8B. 2,4,7C. 4,8,8D. 2,2,7【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】解：∵4+4=8，故以4，4，8为边长，不能构成三角形；∵2+4＜7，故以2，4，7为边长，不能构成三角形；∵4，8，8中，任意两边之和大于第三边，故以4，8，8为边长，能构成三角形；∵2+2＜7，故以2，2，7为边长，不能构成三角形；选C.方法总结：在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．4.【答题】有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】根据等腰三角形的性质和三边关系可得:3,6,6,和3,12,12,和6,12,12,三组可以构成等腰直角三角形,选C.5.【答题】已知是△ABC的三条边长，化简的结果为（）A.B.C. 0D.【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行判断化简即可．【解答】∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b−c>0，c−a−b<0，∴原式=a+b−c+(c−a−b)=a+b−c+c−a−b=0.选C.6.【答题】已知三角形两边长分别为4和6，则该三角形第三边的长可能是（）A. 2B. 9C. 10D. 12【答案】B【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是4和6，∴6−4<x<6+4，即2<x<10.选B.7.【答题】下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）．A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】根据三角形任意两边的和大于第三边，可知A. 2+3=5>4，能组成三角形；B. 5+7>7，能组成三角形；C. 5+6=11<12，不能够组成三角形；D. 6+8=14>10，能组成三角形.选A.8.【答题】若一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，则这样的三角形共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】D【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：7-3＜a＜3+7，即4＜a＜10，因为a为整数，所以a可取5、6、7、8、9，即符合条件的三角形关于5个，选D.9.【答题】一个等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为8cm，则该等腰三角形的周长是（）A. 16cmB. 20cmC. 16cm或20cmD. 不能确定【答案】B【分析】根据三角形的三边关系进行判断．【解答】解：∵4+4=8，0＜4＜8+8=16，∴腰长不能为4，只能为8，∴等腰三角形的周长=4+8+8=20cm．选B.10.【答题】以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（）A. 2cm，4cm，10cmB. 2cm，2cm，4cmC. 2cm，3cm，4cmD. 1cm，2cm，3cm【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】解： A.∵2+4＜10，故2cm，4cm，10cm不能构成三角形；B.∵2+2=4，故2cm，2cm，4cm不能构成三角形；C.∵2+3＞4，故2cm，3cm，4cm能构成三角形；D.∵1+2=3，故1cm，2cm，3cm不能构成三角形；选C.11.【答题】下列长度的三条线段首尾连接不能组成三角形的是（）A. 2，3，5B. 5，5，5C. 6，6，8D. 7，8，9【答案】A【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】解： A.3+2=5，不能组成三角形；B.5+5＞5，能组成三角形；C.6+6＞8，能够组成三角形；D.7+8＞9，能组成三角形．选A.方法总结：本题考查了能够组成三角形三边的条件．用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．12.【答题】下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A. 1，2，3B. 4，5，10C. 8，15，20D. 5，8，15【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】解：由1，2，3可得，1+2=3，故不能组成三角形；由4，5，10可得，4+5＜10，故不能组成三角形；由8，15，20可得，8+15＞20，故能组成三角形；由5，8，15可得，5+8＜15，故不能组成三角形；选C.方法总结：本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边．13.【答题】长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根首尾顺次相连接组成三角形，选法有（）A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种【答案】B【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】4个数里选出三个不同的数共有4种选法（①10，7，3；②10，7，5；③10，5，3；④7，5，3），其中10、7、3和10、5、3不能构成三角形，所以只有3、5、7和5、7、10两种选法能够构成三角形，选B.14.【答题】下列长度的三条线段能首尾顺次相接构成三角形的是（）A. 4，2，2B. 6，3，2C. 5，3，9D. 3，6，6【答案】D【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】A选项：2+2=4，不能构成三角形；B选项2+3＜6，不能构成三角形；C选项5+3＜9，不能构成三角形；D选项三条边满足三角形三条边之间的关系.选D.方法总结：三角形三条边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.15.【答题】下列四组线段中，能组成三角形的是（）A. 2cm，3 cm，4 cmB. 3 cm，4 cm，7 cmC. 4 cm，6 cm，2 cmD. 5cm，11 cm，5cm【答案】A【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】解： A.2+3＞4，能构成三角形，故本选项正确．B.3+4=7，不能构成三角形，故本选项错误．C.2+4=6，不能构成三角形，故本选项错误．D.5+5＜11，不能构成三角形，故本选项错误．选A.方法总结：本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形．16.【答题】下列长度的各组线段能组成三角形的是（）A. 3、8、5；B. 12、5、6；C. 5、5、10；D. 15、10、7．【答案】D【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知：A.3+5=8=8，不能组成三角形，故本选项错误；B.5+6=11＜12，不能组成三角形，故本选项错误；C.5+5=10=10，不能够组成三角形，故本选项错误；D.10+7＞15，能组成三角形，故本选项正确；选D.方法总结：本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．17.【答题】如图，图中共有三角形的个数是（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】C【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．【解答】图中的三角形有：△ADO、△ADB、△AOB、△ACB、△OCB，一共5个.选C.18.【答题】下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A. 1，4，2B. 3，6，3C. 6，1，6D. 4，10，4【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边，则能组成三角形．【解答】选项A，∵1+2＜4，∴不能构成三角形；选项B，∵3+3=6，∴不能构成三角形；选项C，∵1+6>6，∴能构成三角形；选项D，∵4+4＜10，不能构成三角形.选C.19.【答题】一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（）A. 40B. 50C. 40或50D. 不能确定【答案】B【分析】根据三角形的三边关系进行判断．【解答】当20为底边长时，则另两边长为10、10，由10+10=20，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；当10为底边长时，则另两边长为20、20，符合三角形三边关系，此时周长为10+20+20=50.选B.20.【答题】已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）.A. 16B. 5C. 6D. 11【答案】D【分析】根据三角形的三边关系进行判断．【解答】根据三角形的三边关系，得第三边长a的取值范围为10-4<a<10+4，即6<a<14.选项中只有11符合题意.选D.。
解三角形的必备重点学习的知识及典型例题及练习习题.doc
解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ ABC 中， C ＝ 90°， AB ＝ c ， AC ＝ b ， BC ＝ a 。
（ 1）三边之间的关系： a 2＋ b 2＝ c 2。
（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系： A ＋ B ＝ 90°；（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝ a ， cos A ＝ sin B ＝ b， tan A ＝ a 。
c c b 2．斜三角形中各元素间的关系：在△ 中， 、 、 为其内角， 、 、 c 分别表示 、 、 C 的对边。
ABCA B C a bA B（ 1）三角形内角和： A ＋ B ＋ C ＝ π。
（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等ab c 2R （ R 为外接圆半径） sin A sin B sinC（ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－ 2bc cos A ； b 2＝ c 2＋ a 2－ 2ca cos B ；c 2＝ a 2＋ b 2－ 2ab cos C 。
3 ．三角形的面积公式：（ 1） S ＝ 1 ah a ＝ 1 bh b ＝ 1 ch c （ h a 、 h b 、 h c 分别表示 a 、b 、 c 上的高）；2 2 2 （ 2） S ＝ 1 ab sin C ＝ 1 bc sin A ＝ 1 ac sin B ；2 2 24．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（ 1）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（ 2）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
人教版七年级下数学三角形知识点归纳、典型例题及考点分析
BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（ ）。
A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
华师大版初中数学七年级下册《9.1.3 三角形的三边关系》同步练习卷
华师大新版七年级下学期《9.1.3 三角形的三边关系》2019年同步练习卷一．选择题（共1小题）1．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（）个．A．4B．5C．6D．7二．填空题（共2小题）2．若一个三角形的三边长分别是m+2，10，2m﹣1，则m的取值范围为．3．如果三角形的两边长分别是3和7，那么第三边的长应大于，而小于，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是．三．解答题（共47小题）4．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的2倍长3cm，第三条边等于第一，第二两条边的和．（1）求出表示第四条边长的式子；（2）当a＝3cm时，还能得到四边形吗？请简要说明理由．5．“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有种．（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）6．已知a、b、c分别为△ABC的三边，你能判断（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的符号吗？并说明理由．7．用一条长18cm的铁丝围成一个三角形，其中三边长分别为4cm，xcm，ycm，且有两边相等，求x，y的值．8．一个三角形的两条边相等，周长为18cm，三角形一边长4cm，求其它两边长？9．已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求△ABC三边长．10．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，点E、F、G分别在BC、AB、AC上．（1）若在△BCD中，BC＝5，BD＝4，设CD的长为奇数，则CD的取值是；（2）若EF⊥AB，DG∥BC，请判断CD与AB的位置关系，并说明理由．11．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，（1）若设CD的长为奇数，则CD的取值是；（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．12．a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6．（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为18，求c的值．13．一个三角形的两边长为3和5，（1）求它的第三边a的取值范围；（2）求它的周长L的取值范围；（3）若周长为偶数，求三角形的第三边长．14．已知a，b，c是三角形的三边长．（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；（2）在（1）的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．15．小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米．①用含m的式子表示第三条边长；②第一条边长能否为10米？为什么？③若第一条边长最短，求m的取值范围．16．如图，已知△ABC．（1）若AB＝4，AC＝5，则BC边的取值范围是；（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E＝55°，∠ACD＝125°，求∠B的度数．17．已知，a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．18．已知a、b、c是三角形三边长，化简：|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|﹣|b+c﹣a|．19．已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求∠A 的度数．20．在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分别24和18两部分，求三角形三边的长．21．已知△ABC三边长是a、b、c，试化简代数式|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|．22．将长度为24的一根铝丝折成各边均为正整数的三角形，这个三角形的三边分别记为a、b、c，且a≤b≤c，请尽可能地写出满足题意的a、b、c．23．已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为奇数．（1）若AC＝8，BC＝2，求AB的长；（2）若AC﹣BC＝5，求AB的最小值．24．一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是12，这样的三角形共有多少个？25．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？26．已知三角形的三边长分别是x，x﹣1，x+1．求x的取值范围．27．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|+|b﹣c+a|．28．若三个互不相等的数：5、3、a能作为一个三角形的三边长，求a的取值范围．29．如图所示，已知O是△ABC内的一点，是说明OA+OB+OC与AB+BC+CA之间的大小关系．30．已知a、b、c分别为△ABC的三边长，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a+b|．31．如图所示，P是△ABC内一点，连接PB、PC，试比较PB+PC与AB+AC的大小．32．（1）下面两图是分别用三根、五根火材搭成的三角形，那么用九根火材你能搭成几种不同的三角形，画出示意图，并写出三角形的类型．（2）将一个正方形剖分成d个小正方形称为该正方形的d阶正方形剖分（注意：不要求分出的正方形大小一定要一样），如下面两图是一个正方形的4阶剖分（即d＝4）、8阶剖分（即d＝8），请你在另两个正方形中画出d＝6和d＝7的图形．33．已知△ABC有两边的长分别为3和7，第三边的长是关于x的方程解，求a 的取值范围．34．如图，已知线段AD是△ABC的中线，且AB＝6，AD＝4，AC边长为奇数．求边AC 的长．35．有人说，自己的步子大，一步能走三米多，你相信吗？用你学过的数学知识说明理由．36．如图，D，E是△ABC内两点，求证：AB+AC＞BD+DE+CE．37．如图，点P是△ABC内任意一点，试说明PB+PC＜AB+AC．38．小明家与学校相距2千米，与少年宫相距3千米，那么学校与少年宫相距一定是5千米吗？请说明理由．39．将长度为2n（n为不小于4的自然数）的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形．把三边长分别为α、b、c且满足a≤b≤c的三角形简记为数组（a，b，c）如当n＝4时，有（2，3，3）．（1）就n＝5、6的情况．分别写出所有满足题意的（α，b，c）．（2）根据前面的结果猜想：当铅丝的长度为2n（n为不小于4的自然数）时．对应（a，b，c）的个数是．为了检验这个的猜想是否正确，请分别写出当n＝8、10时所有的（a，b，c），并判断这个猜想（选填“正确”或“不正确”）40．想一想，下面各题的三条线段能组成三角形吗？如果能，会组成什么样的三角形？（1）6cm，9cm，5cm；（2）6cm，8cm，10cm；（3）5cm，7cm，5cm；（4）12cm，3cm，7cm．41．某海军在南海某海域进行实战演习，小岛A的周围方圆12km内的区域为危险区域，有一艘渔船误入离A地7km的B处（如图），为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条射线方向航行？为什么？42．已知：如图，在△ABC中有D、E两点，求证：BD+DE+EC＜AB+AC．43．用长度相等的100根火柴，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形各边所用火柴的根数．44．有四个村庄（点）A、B、C、D，要建一所学校P，使P A+PB+PC+PD最小．画图说明P在哪里．45．①设△ABC的三边分别为a、b、c，试证明：a＜（a+b+c）②设四边形的四边长依次为a、b、c、d，两条对角线分别为e、f，证明：e+f＞（a+b+c+d）46．小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它？47．从1，2，3，…，2004中任选K﹣1个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的K的最小值是多少？48．如图，四个工厂A、B、C、D，试找一个供应站M，使它到四个工厂的距离之和为最小．49．现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1（cm）的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．50．已知三角形的一边是另一边的3倍，求证：三角形的最小边在周长的与之间．华师大新版七年级下学期《9.1.3 三角形的三边关系》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（）个．A．4B．5C．6D．7【分析】依据△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2＜BC＜11，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC＝4，6，8，10．【解答】解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴2＜BC＜22﹣BC，解得2＜BC＜11，又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴AC＝为整数，∴BC边长为偶数，∴BC＝4，6，8，10，故选：A．【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．二．填空题（共2小题）2．若一个三角形的三边长分别是m+2，10，2m﹣1，则m的取值范围为3＜m＜13．【分析】根据在三角形中，“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式组求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得即，解不等式组得，3＜m＜13．【点评】本题利用了三角形中三边的关系求解，同时还要能够熟练解不等式组．3．如果三角形的两边长分别是3和7，那么第三边的长应大于4，而小于10，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是17．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：第三边的取值范围是大于4而小于10；如果三角形中，有两边相等，则分情况讨论：当三边是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，舍去；当三角形的三边是3，7，7时，符合，此时周长是17．【点评】考查了三角形的三边关系．注意等腰三角形的时候，一定要分情况讨论．三．解答题（共47小题）4．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的2倍长3cm，第三条边等于第一，第二两条边的和．（1）求出表示第四条边长的式子；（2）当a＝3cm时，还能得到四边形吗？请简要说明理由．【分析】（1）由四边形的周长是四条边的和，首先表示出第二条边长为（2a+3）cm，第三条边为（a+2a+3）cm，即可得到第四边的长；（2）利用组成四边形的线段的条件，即可得到．【解答】解：（1）∵第一条边长是acm，依题意得：第二条边长为（2a+3）cm，第三条边为（a+2a+3）cm，又四边形的周长是48cm，∴第四条边长为：48﹣a﹣（2a+3）﹣（3a+3），＝48﹣a﹣2a﹣3﹣3a﹣3，＝42﹣6a（cm）；（2）当a＝3时，四条边的边长分别为3，9，12，24，因为3+9+12＝24．不是四边形．是四条在同一条直线上的线段．【点评】本题考查了列代数式，代数式的值，构成四边形的关系，合并同类项法则的运用．5．“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）【分析】（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数．（2）求出各三角形的周长的和，再乘以售价为8元╱分米，可求其所需钱数．【解答】解：（1）三角形的第三边x满足：7﹣3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9＝51（分米），∴51×8＝408（元）．答：至少需要408元购买材料．【点评】本题主要考查三角形三边关系的应用，注意熟练运用在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6．已知a、b、c分别为△ABC的三边，你能判断（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的符号吗？并说明理由．【分析】理由公式法因式分解即可解决问题；【解答】解：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2＝（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab）＝[（a+b）2﹣c2][（a﹣b）2﹣c2]＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）∵a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2＜0【点评】本题考查三角形的三边关系、平方差公式、完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握因式分解，属于中考常考题型．7．用一条长18cm的铁丝围成一个三角形，其中三边长分别为4cm，xcm，ycm，且有两边相等，求x，y的值．【分析】根据三角形的三边关系即可解决问题；【解答】解：①当x＝4时，y＝18﹣8＝10，4+4＜10，不能构成三角形，不符合题意；②当y＝4时，x＝18﹣8＝10，4+4＜10，不能构成三角形，不符合题意；③当x＝y时，x＝y＝14÷2＝7，符合题意，∴x＝y＝7．【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8．一个三角形的两条边相等，周长为18cm，三角形一边长4cm，求其它两边长？【分析】分两种情形讨论求解即可：①若4cm为底边．②若4cm为腰长；【解答】解：①若4cm为底边，则另外两边均为（18﹣4）＝7厘米；②若4cm为腰长，则另一腰为4厘米，底边为18﹣4×2＝10厘米∵4+4＜10，∴此时不能构成三角形，舍去．因此其他两边的长分别为7cm、7cm．【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．9．已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求△ABC 三边长．【分析】首先设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c，则a+b+c＝12；然后根据△ABC三边长都是整数且互不相等，判断出△ABC三边长．【解答】解：根据题意，设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c，则a+b+c＝12；∵BC为最大边，∴a最大，又∵b+c＞a，∴a＜6，∵△ABC三边长都是整数，∴a＝5，又∵△ABC三边长互不相等，∴其他两边分别为3，4，∴三角形的三边长为AB＝4，BC＝5，AC＝3或AB＝3，BC＝5，AC＝4．【点评】此题主要考查了三角形三边的关系，以及勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．10．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，点E、F、G分别在BC、AB、AC上．（1）若在△BCD中，BC＝5，BD＝4，设CD的长为奇数，则CD的取值是3，5，7；（2）若EF⊥AB，DG∥BC，请判断CD与AB的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据三角形三边关系定理求出CD取值范围，再根据CD的长为奇数即可得出CD的取值；（2）由平行线的性质和已知条件可证明CD∥EF，可求得∠CDB＝90°，可判断CD⊥AB．【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC＝5，BD＝4，∴1＜CD＜9，∵CD的长为奇数，∴CD的取值是3，5，7．故答案为3，5，7；（2）CD⊥AB．理由如下：∴DG∥BC，∴∠1＝∠DCB，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCB，∴CD∥EF，∴∠CDB＝∠EFB，∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB．【点评】本题考查了三角形三边关系定理，平行线的性质和判定，掌握定理与性质是解题的关键．11．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，（1）若设CD的长为奇数，则CD的取值是3或5或7；（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴1＜DC＜9；∵CD的长为奇数，∴CD的值为3或5或7；故答案为：3或5或7；（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠AEC＝55°，又∵∠A＝55°，∴∠C＝70°．【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．12．a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6．（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为18，求c的值．【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c﹣2＞c，任意两边之差小于第三边得出|2c﹣6|＜c，列不等式组求解即可；（2）由△ABC的周长为18，a+b＝3c﹣2，4c﹣2＝18，解方程得出答案即可．【解答】解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，∴，解得：2＜c＜6；（2）∵△ABC的周长为18，a+b＝3c﹣2，∴a+b+c＝4c﹣2＝18，解得c＝5．【点评】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．13．一个三角形的两边长为3和5，（1）求它的第三边a的取值范围；（2）求它的周长L的取值范围；（3）若周长为偶数，求三角形的第三边长．【分析】根据三角形的三边关系定理可得第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．再根据范围确定a的值．【解答】解：（1）根据三角形的三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，即：2＜a＜8，（2）∵第三边a的取值范围为2＜a＜8，∴它的周长L的取值范围2+3+5＜L＜5+3+8即10＜L＜16；（3）∵第三边a的取值范围为2＜a＜8，周长为偶数，∴第三边的长为4或6．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．14．已知a，b，c是三角形的三边长．（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；（2）在（1）的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．【分析】（1）根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c，b﹣c﹣a及c﹣a﹣b的符号，再根据绝对值的性质化简；（2）将a＝5，b＝4，c＝3代入计算即可．【解答】解：（1）∵a、b、c是三角形的三边长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c；（2）当a＝5，b＝4，c＝3时，原式＝5+4+3＝12．【点评】本题考查的是三角形的三边关系以及绝对值的性质的运用，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．15．小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米．①用含m的式子表示第三条边长；②第一条边长能否为10米？为什么？③若第一条边长最短，求m的取值范围．【分析】（1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；（2）当m＝10时，三边长分别为10，28，12，根据三角形三边关系即可作出判断；（3）根据第一条边长最短以及三角形的三边关系列出不等式组，即可求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵第二条边长为（3m﹣2）米，∴第三条边长为50﹣m﹣（3m﹣2）＝（52﹣4m）米；（2）当m＝10时，三边长分别为10，28，12，由于10+12＜28，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米；（3）由题意，得，解得＜m＜9．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键．16．如图，已知△ABC．（1）若AB＝4，AC＝5，则BC边的取值范围是1＜BC＜9；（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E＝55°，∠ACD＝125°，求∠B的度数．【分析】（1）利用三角形的三边关系确定第三边的取值范围即可；（2）首先利用平行线的性质确定∠EDB的度数，然后利用三角形内角和定理确定∠B的度数即可．【解答】解：（1）∵AB＝4，AC＝5，∴5﹣4＜BC＜4+5，即1＜BC＜9，故答案为：1＜BC＜9；（2）∵∠ACD＝125°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝55°，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠ACB＝55°．∵∠E＝55°，∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BDE＝180°﹣55°﹣55°＝70°．【点评】本题考查了三角形的三边关系及平行线的性质，解题的关键是能够了解三角形的三边关系及两直线平行同位角相等的知识，难度不大．17．已知，a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【解答】解：|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|＝﹣（a﹣b﹣c）+2（b﹣c﹣a）+（a+b﹣c）＝﹣a+b+c+2b﹣2c﹣2a+a+b﹣c＝﹣2a+4b﹣2c．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．18．已知a、b、c是三角形三边长，化简：|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|﹣|b+c﹣a|．【分析】根据三角形三边关系得到a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，b+c﹣a＞0，再去绝对值，合并同类项即可求解．【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，∴a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，b+c﹣a＞0，∴|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|﹣|b+c﹣a|＝a+b﹣c﹣a+c+b﹣b﹣c+a＝a+b﹣c．【点评】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a+b﹣c＞0，a ﹣c﹣b＜0，b+c﹣a＞0．19．已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求∠A 的度数．【分析】首先设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c，则a+b+c＝12；然后根据△ABC三边长都是整数且互不相等，判断出△ABC三边长分别是5、3、4；最后根据勾股定理，判断出△ABC是直角三角形，即可求出∠A的度数是多少．【解答】解：根据题意，设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c，则a+b+c＝12；∵BC为最大边，∴a最大，又∵b+c＞a，∴a＜6，∵△ABC三边长都是整数，∴a＝5，又∵△ABC三边长互不相等，∴其他两边分别为3，4，∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，∴∠A＝90°，即∠A的度数是90°．【点评】此题主要考查了三角形三边的关系，以及勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．20．在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分别24和18两部分，求三角形三边的长．【分析】结合题意画出图形，利用三角形的中线的定义，以及三角形的周长和三角形的三边关系求三角形三边的长．【解答】解：如图，设AB＝AC＝a，BC＝b，则有a+a＝24且a+b＝18；或a+a＝18且a+b＝24，得到a＝16，b＝10或a＝12，b＝18，这时三角形的三边长分别为16，16，10和12，12，18．它们都能构成三角形．【点评】三角形的中线即三角形一个顶点与对边中点所连接的线段．21．已知△ABC三边长是a、b、c，试化简代数式|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|．【分析】根据三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．【解答】解：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝a+b﹣c﹣（﹣b+c+a）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2b﹣2c．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，以及绝对值的计算，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．22．将长度为24的一根铝丝折成各边均为正整数的三角形，这个三角形的三边分别记为a、b、c，且a≤b≤c，请尽可能地写出满足题意的a、b、c．【分析】三角形的分类标准有2种，一种是按角来分，一种是按边来分，列举出所有符合条件的三角形，即可解答．【解答】解：∵a+b+c＝24，且a+b＞c，a≤b≤c，∴8≤c≤11，即c＝8，9，10，11，故可得（a，b，c）共12组：A（2，11，11），B（3，10，11），C（4，9，11），D（5，8，11），E（6，7，11），F（4，10，10），G（5，9，10），H（6，8，10），I（7，7，10），J（6，9，9），K（7，8，9），L（8，8，8）．【点评】本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数，难度适中．23．已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为奇数．（1）若AC＝8，BC＝2，求AB的长；（2）若AC﹣BC＝5，求AB的最小值．【分析】（1）根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，再由AB为奇数即可得出结论；（2）根据AC﹣BC＝5可知AC、BC中一个奇数、一个偶数，再由△ABC的周长为奇数，可知AB为偶数，再根据AB＞AC﹣BC即可得出AB的最小值．【解答】解：（1）∵由三角形的三边关系知，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：8﹣2＜AB＜8+2，∴6＜AB＜10，又∵△ABC的周长为奇数，而AC、BC为偶数，∴AB为奇数，故AB＝7或9；（2）∵AC﹣BC＝5，∴AC、BC中一个奇数、一个偶数，又∵△ABC的周长为奇数，故AB为偶数，∴AB＞AC﹣BC＝5，得AB的最小值为6．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．24．一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是12，这样的三角形共有多少个？【分析】题设中已知数较少，只知道周长为12，应抓住不等边三角形的边长都是整数这一条件，依据三角形三边关系先确定出最大边的取值范围，则问题迎刃而解．【解答】解：设a＜b＜c，则a+b+c＞2c，即2c＜12，所以c＜6．因为a，b，c都是正整数，所以若c＝3，则其他两边必然为a＝1，b＝2．由于1+2＝3，即a+b＝c，故线段a，b，c不可能组成三角形．当然c更不可能为1或2，因而有4≤c＜6．当c＝4时，a＝2，b＝3，不符合条件；当c＝5时，a＝3，b＝4，符合条件．于是符合条件的三角形共有1个．【点评】点拨：本题考查了三角形的三边关系，关键是根据三角形三边关系确定出最大边的取值范围．25．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；再结合整数这一条件进行分析．【解答】解：设第三根的长是xm．根据三角形的三边关系，则3＜x＜13．因为x是整数，因而第三根的长度是大于3m且小于13m的所有整数，共有9个数．答：小颖有9种选法．第三根木棒的长度可以是4m，5m，6m，7m，8m，9m，10m，11m，12m．【点评】本题就是利用三角形的三边关系定理解决实际问题．26．已知三角形的三边长分别是x，x﹣1，x+1．求x的取值范围．【分析】根据三角形的三边关系列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可；【解答】解：∵三角形的三边长分别是x，x﹣1，x+1，∴x+1﹣（x﹣1）＜x＜x+1+（x﹣1），解得：x＞2，∴x的取值范围是x＞2．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．27．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|+|b﹣c+a|．【分析】首先根据三角形的三边关系可得a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，b﹣c+a＞0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后合并同类项即可．【解答】解：|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|+|b﹣c+a|＝a+b﹣c+（﹣a+c+b）+（b﹣c+a）＝a+b﹣c﹣a+c+b+b﹣c+a＝a+3b﹣c．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，以及绝对值和整式的加减，关键是掌握三角形的三边关系．28．若三个互不相等的数：5、3、a能作为一个三角形的三边长，求a的取值范围．【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出a的取值范围．【解答】解：∵三个互不相等的数：5、3、a能作为一个三角形的三边长，∴5﹣3＜a＜5+3，且a≠3，a≠5，即2＜a＜8且a≠3，a≠5．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．29．如图所示，已知O是△ABC内的一点，是说明OA+OB+OC与AB+BC+CA之间的大小关系．【分析】直接根据三角形的三边关系进行解答即可．【解答】解：∵在△ABO中，OA+OB＞AB；同理可得，OA+OC＞CA；OB+OC＞BC，∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．30．已知a、b、c分别为△ABC的三边长，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a+b|．【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a+b＞0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．【解答】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a+b＞0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a+b|＝a+b﹣c+b﹣c﹣a﹣c+a﹣b＝a+b﹣3c．【点评】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算，熟记性质并去掉绝对值符号是解题的关键．31．如图所示，P是△ABC内一点，连接PB、PC，试比较PB+PC与AB+AC的大小．【分析】首先需要作辅助线（延长BP交AC于点D），根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；在△PCD中，PD+DC ＞PC，即可得：AB+AC＞PB+PC．【解答】解：如图，延长BP交AC于点D，。
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《三角形的三边关系》典型例题
例1 如图是某个蔬菜大棚的构架图，那么图中共有多少个三角形？
例2 选择题：下列各组线段中能组成三角形的是（ ）
A ．cm 15,cm 8,cm 6===c b a
B ．cm 13,cm 6,cm 7===c b a
C ．cm 6,cm 5,cm 4===c b a
D ．cm 8
1,cm 41,cm 21===c b a
例3 下列各组数分别表示三条线段的长度，试判断以它们为边是否能构成三角形？
（1）5，8，4 （2）7，3，12 （3）2，8，6
参考答案
例1 分析：数图形个数时，既要不重又要不漏．数三角形个数有两种方法：
（1） 按大小顺序数，其中“单个的小三角形”有四个：
EFD CFD BCH ABH ∆∆∆∆、、、，含有两个小三角形的较大三角形有
两个：FCE HAC ∆∆、，另外还有一个大三角形：GAE ∆．
（2） 先固定一个顶点，变换另两个顶点来数．例如以A 为顶点的三有形有
3个，分别是：AEG ACH ABH ∆∆∆、、，用该法时注意不要重复．
解：图中共有7个三角形．
例2 分析：判断三条线段能否组成三角形，就是根据：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．
解：应选C ．
说明：在应用三角形三边之间的关系时，要注意“……大于……”“……小于……”．如上题中的选项B ，有c b a =+，也构不成三角形．
例3 分析：判断三条线段能否构成三角形，可以用简便方法：将较短两边之和与较长边比较，或将最长边与最短边之差与中间线段比较．
解：（1）方法一：8945>=+ ∴以5，8，4为边的三条线段能构成三角形．
方法二：5448<=- ∴以5，8，4为边的三条线段能构成三角形．
（2）121037<=+ ，∴以7，3，12为边的三条线段不能构成三角形．
（3）862=+ ≯8，∴以2，8，6为边的三条线段不能构成三角形．。