浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第四讲 因式分解》课件
浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届中考数学总复习《第四讲 因式分解》基础演练 新人教版
《第四讲因式分解》基础演练【基础演练】1．(2012·温州)把多项式a3－4a分解因式，下列结果正确的是( ) A．a3－4a B．(a－2)(a＋2)C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4解析因为a3－4a＝a(a2－4)＝a(a＋2)(a－2)，所以选C.答案 C2．(2012·恩施自治州)分解因式a4b－6a3b＋9a2b的正确结果是( ) A．a2b(a2－6a＋9) B．a2b(a＋3)(a－3)C．b(a2－3)2D．a2b(a－3)2解析因为a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)＝a2b(a－3)2，所以选D.答案 D3．下列等式不成立的是 ( ) A．m2－16＝(m－4)(m＋4)B．m2＋4m＝m(m＋4)C．m2－8m＋16＝(m－4)2D．m2＋3m＋9＝(m＋3)2答案 D4．把代数式3x3－6x2y＋3xy2分解因式，结果正确的是( ) A．x(3x＋y)(x－3y)B．3x(x2－2xy＋y2)C．x(3x－y)2D．3x(x－y)2解析先利用提公因式法，再利用公式法分解即可，所以3x3－6x2y＋3xy2＝3x(x－y)2.答案D5．(2012·无锡)分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( ) A．(x－1)(x－2) B．x2C．(x＋1)2D．(x－2)2解析因为(x－1)2－2(x－1)＋1＝(x－1－1)2＝(x－2)2，所以选D.答案 D6．(2012·广东广州)分解因式：a3－8a＝________．解析a3－8a＝a(a2－8)．答案a(a2－8)7．分解因式：x2＋3x＝________．解析利用提公因式法分解即可．答案x(x＋3)8．(2012·义乌)分解因式：x2－9＝________．答案(x＋3)(x－3)9．(2012·宜宾)分解因式：3m2－6mn＋3n2＝________．答案3(m－n)210．(2012·绍兴)分解因式：a3－a.解析a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)答案(x2＋2)(x＋2)(x－2)11．(2012·苏州)已知a＝2，a＋b＝3，求a2＋ab的值．答案a2＋ab＝a(a＋b)＝2×3＝6【能力提升】12．(2011·杭州)在实数范围内分解因式：x4－4＝________．解析x4－4＝(x2＋2)(x2－2)＝(x2＋2)(x＋2)(x－2)答案(x2＋2)(x＋2)(x－2)13．分解因式：16－8(x－y)＋(x－y)2＝________．解析实质考查完全平方公式因式分解，把(x－y)看成一个整体．答案(x－y－4)214．分解因式：a4－2a2＋1＝________．解析先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式．a 4－2a 2＋1＝(a 2－1)2＝[(a ＋1)(a －1)]2＝(a ＋1)2(a －1)2.答案 (a ＋1)2(a －1)2 15.7或－5 15．(2012·天门)若多项式a 2＋(k －1)ab ＋9b 2能运用完全平方公式进行分解因式，则实数k ＝________．解析 因原式可用完全平方公式分解，所以k －1＝±6，∴k ＝1±6，即k ＝7或－5. 答案 7或－516．分解因式：8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy .解 原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy＝x 2－16y 2＝(x ＋4y )(x －4y ) 17．(2012·宁波)已知：x ＝3＋1，y ＝3－1，求x 2－2xy ＋y 2x 2－y 2的值． 解 x 2－2xy ＋y 2x 2－y 2＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －y x ＋y又∵x ＋y ＝23，x －y ＝2 ∴原式＝223＝3318．先化简，再求值⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0. 解 原式＝（x －1）（x ＋1）－x （x －2）x （x ＋1）×x 2＋2x ＋12x 2－x＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x2 又当x 2－x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝x ＋1x ＋1＝1. 19．先化简、再求值⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1÷x x 2－1，其中x ＝2＋1. 解 原式＝x ＋1－1x ＋1×x 2－1x ＝xx ＋1·（x ＋1）（x －1）x ＝x －1∴当x ＝2＋1时， 原式＝2＋1－1＝ 2.20．(2012·广东珠海)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x x －1－1x 2－x ÷(x ＋1)其中x ＝ 2. 解 原式＝x 2－1x （x －1）×1x ＋1＝（x －1）（x ＋1）x （x －1）·1x ＋1＝1x∴当x ＝2时，原式＝12＝22. 21．(2012·广东广州)已知1a ＋1b ＝5(a ≠b )，求a b （a －b ）－b a （a －b ）的值． 解 ∵1a ＋1b＝5， ∴a ＋b ab ＝5， ∴a b （a －b ）－b a （a －b ）＝a 2ab （a －b ）－b 2ab （a －b ）＝a 2－b 2ab （a －b ）＝（a ＋b ）（a －b ）ab （a －b ） ＝a ＋b ab＝ 5. 22．(2012·潍坊)阅读下列材料，你能得到什么结论？并利用(1)的结论分解因式．(1)形如x 2＋(p ＋q )x ＋pq 型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和，把这个二次三项式进行分解因式，可以这样来解： x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝x 2＋px ＋qx ＋pq＝(x 2＋px )＋(qx ＋pq )＝x (x ＋p )＋q (x ＋p )＝(x ＋p )(x ＋q )．因此，可以得x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝________．利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．(2)利用(1)的结论分解因式：①m2＋7m－18；②x2－2x－15.(1)解析x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q) 答案(x＋p)(x＋q)(2)解①m2＋7m－18＝m2＋(9－2)m＋(－2)×9＝(m＋9)(m－2)②x2－2x－15＝x2＋(－5＋3)x＋(－5)×3＝(x－5)(x＋3)。
初中九年级(初三)数学课件因式分解15页PPT
பைடு நூலகம்
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
初中九年级（初三）数学课件因式分 解
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
END
浙教版初中数学中考复习-因式分解 (共36张PPT)
•
①＋③得：2x2＋4x－4＋2x2－4x＝4x2－4＝4(x＋1)(x－1)；
•
②＋③得：2x2＋12x＋4＋2x2－4x＝4x2＋8x＋4＝4(x2＋2x＋1)＝4(x＋1)2.
• 【思维提升 】本题考查了提取公因式法、公式法分解因式．注意因式分解的步骤， 先提取公因式，再利用公式法进行分解．注意分解要彻底．
• 【答案】(1)B
(2)D
14
考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 【练】(1) [2018·杭州] 因式分解:(a-b)2-(b-a)=
．
•
(2)分解因式：4a2－4a＋1＝
. (3)分解因式：xy2－9x＝
．
•
(4)分解因式：2a2＋4a＋2＝
＝
.
. (5)分解因式：(2a＋1)2－a2
.
• (4)(2015·盐城)若2m－n2＝4，则代数式10＋4m－2n2的值为________．
• 【解析】 (3)∵m－n＝2，
•
∴2m2－4mn＋2n2－1＝2(m－n)2－1＝2×22－1＝7.
•
(4)∵2m－n2＝4，∴10＋4m－2n2＝10＋2(2m－n2)＝10＋2×4＝18.
• 【答案】(3)7 (4)18
•
A.a(m+n)=am+an
B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
•
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
• (2)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝
，n＝
.
• 【解析】∵(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n，
人教版九年级中考数学总复习课件第4课时 因式分解(共23张PPT)
【考点4】多步因式分解 ①如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提取这个
公因式； ②如果多项式各项没有公因式,那么第一步考虑用公式
分解因式； ③第一步分解因式以后,所含的多项式若还可以继续分
解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式因式都不 能分解为止.
12.[教材原题]分解因式:
(1) (a b)2 4ab a b)2
(6) p(a2 b2 ) q(a2 b2 ) ( p q)(a2 b2 ).
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 4:31:16 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/142021/9/142021/9/14Sep-2114-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/142021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021
解:原式 (102 92)(102 92)
194 10
1 940 ；
(2) 39.82 2 39.8 49.8 49.82 .
解:原式 (39.8 49.8)2
(10)2
100 .
点悟: 运用公式法分解因式的关键是要弄清两个公式的形式 和特点,两个公式中的字母可以表示任何数、单项式 或多项式.
【考点 3】公式法因式分解
因式分解总复习课件
题目3
请将$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ 进行因式分解。
综合练习题
题目1
请将多项式$x^3 - 9x$进行因式 分解，并说明其与平方差公式的
关系。
题目2
将多项式$x^4 - 4x^2 + 4x - 1$ 进行因式分解，并说明其与完全平 方公式的关系。
题目3
请将多项式$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2 + 4b^2$进行因式分 解，并说明其与平方差公式和完全 平方公式的综合运用。
详细描述
在完成因式分解后，应进一步观察和简化结果，去除所有公因式。这样可以确保最终的表达式更加简 洁明了，易于理解和应用。
符号问题要处理好
总结词
在因式分解过程中，应特别注意符号的 处理，确保结果的正确性。
VS
详细描述
在进行因式分解时，符号的处理是一个关 键环节。要特别注意符号的变化和影响， 确保在分解过程中符号的处理是正确的。 这样可以避免后续运算中出现错误或混淆 。
02
因式分解的基本形式
提公因式法
步骤
首先找出多项式中的公因子，然后将公因子提取出来，最后将原多项式中的每 一项除以公因子。
例子
$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$。
公式法
步骤
首先观察多项式是否符合平方差 公式或完全平方公式，然后代入 公式进行因式分解。
例子
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$， $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
THANKS
感谢观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$。03因式分解的应用
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；&(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.;（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《专题六 运动问题》课件
专 题 突 破
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步步高中考简易通
S△CRQ CG 2 4－2x 2 ∴ ＝CH ＝ ， S△CDB 1
4－2x 2 2 ∴S△CRQ＝2× ＝ 8(2 － x ) ， 1
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2
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专 题 解 读
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1 3 ∴m 是x的二次函数，当 ≤x≤2 时， 2 1 1 2 即当 ≤ ≤ 时， 2 x 3 1 m 随x的增大而增大， 3 ∴当 x＝ 时，m 最大，最大值为 4， 2 当 x＝2 时，m 最小，最小值为 3， ∴m 的变化范围为：3≤m≤4.
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三、图形的运动问题
专 题 解 读
图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形 在运动过程中，对应线段，对应角不变．以三角 形、四边形的运动是常见的一种题型．
由四边形 ABCD 是等腰梯形， 可得 AC＝CK， 又由 CE ＝ 2 2且 CE 是高，可证∴∠K＝∠KCE＝∠ACE＝∠CAE ＝45°，继而求得∠AHB＝∠ACK＝90°和 AC＝4；
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步步高中考简易通
(2)直线移动有两种情况： 3 3 3 0＜x＜ 及 ≤x≤2.①当 0＜x＜ 时，易得 S2＝4S1 2 2 2 3 ≠3S1；当 ≤x≤2 时，根据相似三角形的性质与直 2 角三角形的面积的求解方法， 可得△CDB 和△CRQ 的面积，继而可求得 S2 和 S1，由 S2＝3S1，即可求 得 x 的值． 3 (3)由(2)得：当 0＜x＜ 时，m＝4， 2 1 22 3 当 ≤x≤2 时，m＝－36x－3 ＋4， 2 然后利用二次函数的性质求得 m 的变化范围．
浙教版初中数学第四章 因式分解复习课件(共22张PPT)
应用3 应用因式分解解几何问题
6．已知三角形ABC的三边长a，b，c满足a2 － b2＝ac－bc，试判断三角形ABC的形状．
解：因为a2－b2＝ac－bc，所以(a－b)(a＋b)＝c(a －b)．所以(a－b)(a＋b)－c(a－b)＝0.所以(a－ b)(a＋b－c)＝0.因为a，b，c是三角形ABC的三 边长，所以a＋b－c≠0.所以a－b＝0.所以a＝b.所 以三角形ABC为等腰三角形．
知识点
(3)a2b＋2a2b2 ＋ ab2 ＝ ab(a ＋ 2ab ＋ b) ＝ ab[(a ＋ b) ＋ 2ab]． 把 a＋b＝23，ab＝－2 代入上式， 原式＝(－2)×23＋2×（－2）＝230.
方法2 公式法
应用2 应用因式分解判断整除问题
5．对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否
能被24整除？
解：(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋ 7)－(n－5)]＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)＝ (2n＋2)×12＝24(n＋1)． 因为n是自然数， 所以(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．
全章热门考点整合
考点1：一个概念——因式分解 考点2：两个方法 考点3：三个应用 考点4：三个技巧 考点5： 一种思想——整体思想
分类训练
1
2
3
4
5
知识考点点 1 一个概念——因式分解
1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是
(C ) A．(a＋5)(a－5)＝a2－25
B．mx＋my＋2＝m(x＋y)＋2 C．x2－9＝(x＋3)(x－3)
技巧3 换元法
10．因式分解：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4. 解：令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋ 4＝y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2. 将y＝m2－2m代入上式，则 原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.
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因式分解的定义
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乘积的形 定义：把一个多项式化成几个整式的①_____ 式，叫做把这个多项式因式分解． 因式分解 ． 如：x2＋x＝x(x＋1)就是②_________ 因式分解 ． 而x2＋x－2＝x(x＋1)－2就不是③_________ 名师助学 1．因式分解的结果必须是整式积的形式； 2．因式分解与整式的乘法是互逆的．
近三 年浙 2010年 江省 中考 情况 2011年
选择题
容易 中等 容易
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因式分解的方法及 应用(3分)
填空题 解答题
选择题 填空题
因式分解的概念和 2012年 方法(3分)
学.科.网
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解析
A．右边不是积的形式，所以A错；B.因(x－
2)(x－3)＝x2－3x－2x＋6＝x2－5x＋6，与左边相 等，并且右边是积的形式，所以B对； C．从左到右进行的是多项式的乘法，不是因式分
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以A错；因为2a－4b＋2＝2(a－2b＋1)，所以B错；
因为a2－4＝(a＋2)(a－2)，所以C错；因为a2－2a＋ 1＝(a－1)2，所以D对，选D.
答案
D
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网 络一提二公式 分解要彻底
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【预测1】 下列因式分解正确的是
(
)
A．－a＋a3＝－a(1＋a2)
B．2a－4b＋2＝2(a－2b) C．a2－4＝(a－2)2 D．a2－2a＋1＝(a－1)2 解析 因为－a＋a3＝a(a2－1)＝a(a＋1)(a－1)．所
【预测2】 下列运算正确的是 A．－3(x－1)＝－3x－1 B．－3(x－1)＝－3x＋1 C．－3(x－1)＝－3x－3
(
)
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D．－3(x－1)＝－3x＋3
答案 D
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名师助学
分解必须要彻底，要注意以下三个方面： 1．每一个多项式都不能再分解；
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2．重因式的乘积写成幂的形式；
3．不能含有双重括号．
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因式分解的基本方法
m(a＋b＋c)． 1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝④___________ 2．运用公式法 (a－b)(a＋b) (1)平方差公式：a2－b2＝⑤____________ (a±b)2 ． (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝⑥________
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解，所以C错；
D．因(x＋2)(x＋3)＝x2＋3x＋2x＋6＝x2＋5x＋6， 与左边不相等，所以D错． 答案 B
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1. 牢记因式分解的结果是整式积的形式； 2．因式分解和整式的乘法是互逆的．
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对接点一：因式分解的概念
常考角度 1．什么是因式分解？ 2．因式分解与整式乘法的关系． 【例题1】 下列式子变形是因式分解的是 A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3) C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3) ( )
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考纲要求
1. 了解因式分解的概念，会判断给定的等式变形是 否是因式分解；
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2. 会用提公因式法进行因式分解(指数是正整数)；
3. 会用公式法进行因式分解(直接用公式不超过两 次 )； 4. 能有意识地运用因式分解解决计算问题和实际问 题.
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考情分析
年份 考查点 因式分解的概念(3 分) 题型 难易度
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分解因式的基本步骤
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1．提取公因式．如果多项式的各项有公因式，那么
公因式； 先提⑦_______ 2．运用乘法公式．如果各项没有公因式，那么可以 公式法 来分解； 尝试运用⑧_______ 3．因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再 分解 为止．简记为：一“提”、二“套”、 ⑨_____ 三“检查”．