小概率事件原理及其应用

本科学生毕业论文（设计）题目（中文）：小概率事件原理及其应用(英文)：Principle of the Little ProbabilityEvents and Its Application姓名 XXX学号 200805002231院（系）数学与计算科学系专业、年级信息与计算科学2008级指导教师 XXX2012年4月28日目录绪论1.小概率事件原理1.1概率论与小概率事件1.2小概率原理及其推断方法1.2.1 小概率原理1.2.2 小概率推断方法1.3小概率事件和不可能事件之间的区别2.小概率事件原理的应用2.1 经典的小概率事件研究2.2 小概率事件原理在商场管理中的应用2.3 小概率事件原理在保险中的应用2.4 小概率事件原理在日常生活中的应用2.5小概率事件原理在贝叶斯统计中的应用2.6 小概率事件原理在假设检验中的应用3.小概率事件原理的更多具体应用3.1有趣的小概率事件的应用3.2近期的小概率事件分析结束语参考文献致谢小概率事件原理及其应用摘要小概率事件原理是概率论与数理统计学中的一个基本原理,而正确理解小概率事件原理及其推断方法,能辩证地分析、处理、应用小概率事件对我们有着非凡的实际意义.论文围绕小概率事件展开讨论.首先,论述概率论起源及小概率事件的定义；其次,对小概率事件原理和小概率事件的推断方法进行详细的介绍,阐述了小概率事件和不可能事件之间的区别与联系.最后,该论文针对生活与生产实践中的小概率事件作了深层次的说明,并结合实例剖析了小概率事件原理及其在实践中的应用,说明小概率事件原理的实用价值.【关键词】小概率事件假设检验原理Principle of the Little Probability Events and Its ApplicationAbstractThe principle of small probability event is a basic principle of probability and mathematical statistics. It is meaningful to understand it and its inference method correctly, and so it is with analyzing, processing and applying the principle dialectically. The paper discusses around the little probability event. First of all, it discusses the origin of probability theory and the definition of the small probabilityevent. Secondly, it introduces the principle of the small probability event and its inference method in detail, and describes the relation and difference between the little probability events and impossible events. Finally, the article makes a deep-level instruction for the small probability event applied in the life and production practices, and gives a couple of interesting examples to interpreter its practical value.【Key words】Little Probability Event Hypothesis testing Principle绪论小概率事件是有可能发生的,只是发生的可能性很小而已,并且没有规律可循.人们的生活中也能看见小概率事件的存在,而且经常应用到小概率事件的实际不可能原理,因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,所以人们对待小概率事件有两种截然相反的态度：一种是不愿意承认小概率事件的发生,对小概率事件听之任之、不闻不问；另一种是更愿意承认小概率事件的发生,整日处于杞人忧天或守株待兔的境界.本文通过实例,用辩证思维方法来阐述小概率事件原理的应用,只要我们能充分的认识和把握它,并加以很好的应用,就会给我们的生活带来意想不到的收获.如我们应该树立一种正确的态度对待小概率事件,不要过于忧患小概率事件从而影响我们的生活,也不要认为小概率事件不可能发生而不去关注它,我们要该避免的避免,该防范的防范,该忽略的忽略,这样才会更有利于我们的生活.目前,国内外对于这个课题的研究颇多,如：张艳艳的《小概率事件原理的应用》[1]、王东梅,王晓丽的《概率在生活中的一些简单应用》[2],都利用小概率事件原理对日常生活中常见的小概率事件进行了分析和探讨,揭示了小概率事件发生现象背后所隐藏的真实背景,并在这一原理分析的基础上通过几个实例介绍了其在其它生活领域的应用.孙荣恒的《应用数理统计》[3]、陈希孺的《概率论与数理统计》[4]、魏文元的《概率论与数理统计》[5]、茆诗松,程依明,濮晓龙的《概率论与数理统计教程》[6]、魏宗舒的《概率论与数理统计教程》[7]分别从概率与统计上说明了小概率事件关系.王梓坤的《马尔科夫过程和今日数学》[8]则具体论述了小概率事件在当今数学中的应用.最后同济大学《工程数学——概率统计简明教程》[9]则更从更直观的介绍概率论和数理统计中的基本概念、基本原理和基本方法,强调直观性.小概率事件原理是概率论中具有实际应用价值的基本理论,以生活中常见问题和典型事例出发,介绍了小概率事件及其相关性质,说明了小概率事件和不可能事件的区别与联系以及小概率事件发生的必然性,在小概率事件原理分析的基础上分析解决此类问题,并通过几个实例介绍了小概率事件原理在日常生活中、假设检验等几个方面的应用.我们从实质上把握小概率事件的原理,了解小概率事件,便能更好的应用于实际生活.本文共分三个大的章节,第一章主要介绍小概率事件原理的基础知识,其中包括什么是小概率事件、小概率原理及其推断方法、小概率事件与不可能事件之间的区别和联系；第二章为小概率事件原理的应用,主要从经典的小概率事件原理研究、小概率事件原理在日常生活中的应用、小概率事件原理在假设检验中的应用三个方面来阐述；第三章则为小概率事件原理的更多应用.1.小概率事件原理1.1概率论与小概率事件概率论的起源最早追溯到赌博问题.在17世纪中叶,由法国数学家帕斯卡（B.Pascal）、费马（P.deFermat）及荷兰数学家惠更斯（C.Huygens）等基于排列组合方法解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”,因此产生了概率论.18世纪到19 世纪,当人们注意到某些社会现象与机会游戏之间有着很大的相似性时,人们人开始概括并总结出一些规律,从而概率论被广泛应用到各个领域中,也极大地推动了概率论体系的发展.瑞士数学家贝努利建立了概率论中的第一个大数定律,随后,大量数学家们通过不断深入的研究,促使概率论的理论逐渐成熟.而概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等各个方面也越来越广泛的被应用,尤其是现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系.概率论是专门研究随机现象统计规律的学科.概率是用来刻画随机事件发生可能性的大小的数量指标.随机事件A 发生的概率我们一般用来表示,并规定.对于概率值很接近于1 的事件,其对立事件的概率必然很接近于0 .而在概率论中,我们把概率很接近于0的事件称为小概率事件.那么多大的概率值算小概率呢？这就要根据具体情况而确定：比如对于某些非常重要的试验,事件的发生会产生很严重的后果（如飞机失事、雷电伤人等）时,那么概率就应选得小一些,如0.0001,甚至更小一些；否则可以相对大一些,一般多采用0.01或0.005 这两个阈值：即事件发生的概率在0.01或0.005以下的事件我们称之为小概率事件.而这两个值称为小概率标准.1.2小概率原理及其推断方法1.2.1小概率原理定理(贝努利大数定律）：在次独立重复试验中,记事件发生的次数为,是事件Ａ发生的概率.则对于任意正数＜ 0 ,有或根据贝努利大数定律可得,事件发生的频率/ 依概率收敛于事件发生的概率,即当的取值为很大时,事件发生的频率与概率相接近的可能性非常大.如某事件发生的概率很小,根据实际推断原理,在实际应用中,当试验次数的取值为很大时,我们便可以用事件发生的频率来代替概率.假设某事件发生的概率很小,则它在大量重复试验中出现的频率也应该很小.例如,若＝0.001,则大概在1000次试验中,事件才能发生1 次.因此,概率很小的事件在一次试验中不太可能发生.而在概率论的应用中,我们称之为实际不可能事件.实际不可能事件在一次试验中实际上是不可能发生的,即小概率原理,也称做小概率的实际不可能性原理.它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据,也是人们在长期实践中总结出的一条实用性很强的原理.但小概率事件终究还是会发生的.小概率事件在一次试验中实际上是不会发生,这并不代表着它永远都不会发生,如果永远都不会发生,那么它就是不可能事件了.小概率事件终究会发生是指无限增多独立试验的次数,那么小概率事件就将会发生.如在随机试验中,设事件出现的概率为, 表示“在第次试验中出现”,则,,在前次相互独立的试验中一次都不出现的概率为：那么在前次相互独立的试验中至少出现一次的概率为：,无论的取值如何小,只要时,那么,这说明小概率事件迟早会发生.1.2.2小概率推断方法推断小概率原理的方法主要是利用概率性质的反证法,其步骤依次为提出假设、根据一次试验的结果进行计算、按照一定的概率标准作出判断三个步骤.若其中有导致不合理现象出现,也就说明小概率事件的发生,则拒绝假设；若未导致不合理现象出现,即小概率事件未发生,则不拒绝假设.小概率原理在概率论中是一个简单、基本并且具有实用意义的原理,同样在我们的日常生活中被广泛的应用.小概率原理常在不经意间指导着我们的实际生活.因为人们坚持这样一个正确的认识：小概率事件在一次试验中是不会发生的.但真发生了,也绝不会认为是必然现象,而是认为一定有着某些偶然因素导致的.这就是人们为什么在明知道有飞机失事的存在,仍然敢于乘飞机旅行、出差的原因.但也有一部分人们更愿意承认小概率事件的发生.如在体育彩票、福利彩票等发行过程中,尽管人们知道中大奖的机会微乎其微,接近于0 ,但人们却依然热衷购买.也许有人们愿意为体育事业、福利事业献出一片爱心,但人们购买彩票更主要的原因是人们期望中大奖的侥幸心理作祟.1.3小概率事件和不可能事件之间的区别概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件. 通常用0来表示不可能事件发生的可能性.不可能事件的概率为0,但概率为0的事件未必一定是不可能事件,也有可能是小概率事件.有些人经常将小概率事件与不可能事件混淆.但两者从本质上来讲,既有区别又有联系.所谓小概率事件是指发生的可能性小,但仍有机会发生的事件,而不可能事件是指完全不可能发生,概率为零的事件.随着社会的进步和发展,人们的素质不断提高,有些看似不可能事件可能会转变成为小概率事件.比如,2012年3月,还在读大四的刘路被聘为中南大学“正教授”,他经过自己的努力,作出了拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究,彻底的解决了英国数理逻辑学家Seetapun于90年代提出“西塔潘猜想”,这一向被人认为是不可能事件,但是刘路通过自己的努力做到了,把一个不可能事件转变成为一个小概率事件.而在人们生活中往往会产生这样一个观点：小概率事件在一次试验中与不可能事件的效果是相同的,即不会发生.如果小概率事件在偶尔的几次试验中奇迹般发生了,人们可能会理解为该事件的前提条件发生了变化,或者怀疑该事件是不是随机发生的,有可能是有人在搞鬼等等,此概率为小概率原理的一个应用.但是,我们知道,不管小概率事件A的概率如何小,如果将实验不断独立的重复下去,那么事件A迟早必然会发生,无限重复该实验,那也必然会出现任意多次.而不可能事件是指无论我们将实验重复做多少次,事件A都不会发生.这就表明了小概率事件与不可能事件之间的区别.2.小概率事件原理的应用2.1 经典的小概率事件研究例1 在街头巷尾常见一类“摸球游戏”.游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同,光滑程度一致的玻璃球.其中8个红色、8个白色.游戏者从中一次摸出8个,8个球中.当红白两种颜色出现以下比数时.摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”：A (8:0)B (7:1)C (6:2)D (5:3)E (4:4)结果（比数）奖金（元）10 1 0.5 0.2 -2表2-1（注：表中“-2”表示受罚2元）解：这个游戏看上去非常有吸引力,5种可能出现的结果中有4种可中奖,而只有一种情况受罚,且最高奖达10元,罚金只是2元,大家认为输赢不是很多,也就几块钱,因此很多人想来试下运气,尤其吸引了许多人好奇的青少年参加,可是玩的人中赢家屈指可数,到底是什么原因呢？其实这是一个概率知识的具体应用：其实就是从16个球中任取8个.所有可能的取法为种,事件总数是一个固定值,并且是随机的抽取,是个可能性的事件,是典型的古典概型问题.由概率计算公式．很容易得到上述5种结果,其对应的概率分别是：假设进行了1000次摸球试验, 5种情况平均出现的次数分别为：0、10、122、487、381次,经营游戏者预期可得：2×381-(10×0＋1×10＋0.5×122＋0.2×487) =593.6（元）这个例子的结果可能会使我们很惊讶,没想到中头奖的概率竟是如此小,他的概率只有0.0001554,明显是一个小概率事件,可以说这是一个陷阱,在我们的生活中,也有很多类似的例子,如彩票,很多人喜欢买彩票,并因此一夜暴富,成为千万富翁.我们都知道买彩票中奖是小概率事件,我们来看一个报道,河南省安阳市一位彩民用172元购买2注44倍投注的“6+1”双色球彩票,竟然一次中88注409.07万（每注一等奖）,共获奖金3.599亿.有人计算过,中双色球一等奖的概率为0.0000000564,二等奖的概率为0.0000008464,三等奖的概率为0.0000091417.可见,中一等奖的概率几乎接近于零,属于典型的小概率事件.既然买彩票中最大奖的概率是如此的小,为什么还会有人中大奖呢？这是因为全国买彩票的总人数是一个相当大的数值,这样就大大增加了中大奖的概率,就必然会产生大奖了.为了发展公益事业,我国发行了多种彩票,有些彩票的最高奖高达数百万元,但是在有限的几次试验中中最高奖这种事件几乎是不可能发生的,买一张彩票就中最高奖的概率近似为零.尽管中最高奖的概率微乎其微,但毕竟是公益事业,我们买彩票的时候一定要怀着造福社会奉献爱心的态度,中奖当然是好事,不中也应该泰然处之.2.2小概率事件原理在商场管理中的应用例2商场某电器部门有12台电器,由于种种原因,每台电器有时需要开,有时需要关,每台电器的开或关是相互独立的.由以往的统计数据,每台电器在一个工作日内关闭的概率为,为了了解该部门的用电情况,需要计算其在一天之内恰有k台电器处于关闭状态的概率是多大?解：这是一个简单的Bernoulli概型问题．每个工作日内处于关闭状态的电器数X 服从参数为n=12,=1/3 的二项分布,容易算出X 的分布列,见2-2.0 0.007707 5 0.190757 10 0.0004971 0.046244 6 0.111275 11 0.0000452 0.127171 7 0.047689 12 0.0000023 0.211952 8 0.0149034 0.238466 9 0.003312表2-2 X的二项分布图由表可以得出关闭的台数不超过1台的概率为:而关闭台数超过7台的概率为:由此可见,若取小概率标准为0.05,则“停车台数不超过1台”和“停车台数超过7 台”均属小概率事件.根据小概率原理,可以认为在一个工作日内处于停车的车床台数在2～7台之间,进而可计算实际用电量.反之,还可以利用小概率原理,通过实际观察来检验原先对一台电器在一个工作日内关闭概率的估计值=1/3是否正确.如果在某个工作日内发现关闭的台数不超过1 台或超过7台,则表明上述两个小概率事件竟然发生了,因此可以认为这是不正常的．如果没有其他原因,就可以认为将关闭概率估计为1/3 是不正确的.这种类型的问题在商场管理中是经常遇到的.如果这时仍是这12台电器,设每台电器出现故障时需要维修的概率为=0.05,假设各台电器间是否出现故障是相互独立的,而每一名维修工人维修能力是有限的,假定每次每名工人只能修一台.那么,为了及时修复设备,商场应配备几名维修工人以保证电器得到及时的修复？同一天内出现故障车的床台数服从二项分布～ (12,0.05).不难算出: 1,至少2台出现故障的概率椐此,可以考虑只配备1名维修工,因为超过1台出现故障的概率是小概率.2.3小概率事件原理在保险中的应用保险是近代一个频率较高的词汇,生活中处处都要和这个行业打交道.我们在购买保险前先要弄清楚的重要问题之一就是我们需要什么样的保险方案.对于我们来说,保险的基本功能是用来保障生活中小概率事件的产生.而在生活里存在着各种各样的风险,我们应对的方法也是不一样的.对于损失小的事件,无论事件发生的概率高还是低,我们一般都采用任之发生的方式,也就是自己承担损失.比如说锁门的锁头坏了,那么我们只要就去商场里从新买把就可以了,没有谁说再到保险公司买一个锁头险.即便你想要买,关键是也没有保险公司卖.这类的事件便是没有保险地意义的事件.如果是发生频率高且损失也高的风险,我们经常采用的办法是有意的避免它.如果买这类的保险,保费会非常昂贵（这里保费昂贵的含义是,保费和保障额度相差不大）,保险公司一般也不承保.如战争,特大传染病,危险运动（蹦极,跳伞,攀岩等等）.我们转移给保险公司的一般来说是低概率,高损失的风险.如财产,人身安全,疾病等等.由于其发生的概率比较低,一旦发生将会给我们带来难以承受的损失.正是由于这些事件极低的概率性,使得其保费相对于保障额度来说比较低.这是什么原因呢？一般的保费的计算方法是保险事故发生的概率和保障额度的乘积再加上保险公司的费用.如我们可以统计出一名35岁男性在一年内死亡的概率是万分之五,不考虑其他因素的话,如果购买100万保额的一年期定期寿险,那么纯保费将是500元；假设保险公司的费用率是纯保费的一半,那么总保费就是750元.750元的保费和100万元意外收益差别巨大,这就使得这类风险具有了保险的意义.我们接下来分析一下这位男士要购买一份一年期的两全险,也就是不管他在一年内死亡与否,保险公司在一年后都要支付给他100万元,那么纯保费就是100%×100万=100万,因为保险事故（生或死）发生的概率是100%.假定保险公司的费用率是纯保费的10%,这位男士最后缴纳的保费是110万元.投保的费用居然超过了保额！必然不会有人会买这种保险,也不会有保险公司设计并出售这类保险,因而这样的高概率险就失去了保险的意义.保险事业是最早使用概率的部门之一,它会有巨大的利润就是成功的运用了小概率事件原理.例3某一保险公司,有2500个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险,在一年内,每个人死亡的概率为0.002.每个参加保险的人在1 月1 日付12 元保险费,而当它在这一年死亡时,家属可从公司领取保险费2000 元.求：此保险公司亏本的概率.解：我们以一年来算,1月1日,公司收入为25001230000 元,假定死亡人,则保险公司一年付出2000元,亏本指：200030000, 15,即.把“参加保险的每人在该年是否死亡”看成一次随机试验,2500人参加试验就相当于2500重贝努利试验,于是 (,2500,0.002).利用泊松定理可得:“保险公司赔钱”显然是一个小概率事件,因此有理由认为此保险公司在该年不会亏本.事实上可以计算该保险公司在本年的获利少于10000 元的概率仅为0.014,也该公司本年度的收益不会少于10000 元.综上所述,保险公司实际上正是应用小概率事件的原理,提前预测出亏本的概率极小,在保险业中最大的赢家其实是保险公司.但人们不能因为意外事件发生的概率小和取得收益的概率小而不去投保,这里我们更要说明小概率事件并不是不可能事件,我们万万不能忽视,应该正视保险业.而对于保险业来说,所谓的小概率,什么情况下才会有意义？那便是对一个足够大的样本、群体才具有意义！2.4小概率事件原理在日常生活中的应用我们在生活中也经常会遇到小概率事件,例如：如一个人成为国家领导人的概率固然非常小,但上亿人中至少还会有几个国家领导人就几乎是必然的了.人的一生有许多机会,聪明的人善于抓住好机会,避免机会流失.从而抓住了好机会就是我们所谓小概率中的“小”.我们研究小概率事件的目的是掌握其发生的条件,为我们所用,目的是使它朝着有利于我们的方向发展,避免具有破坏性不利于我们的小概率事件的发生,接下面我们通过实例来举例说明小概率事件原理在日常生活中的应用.例4 某生产线中袋装盐的质量X服从均值为1000g,标准差为20g的正态分布,即,现对袋装盐的质量进行抽查,发现有一袋盐质量为1080g,问:是否有理由怀疑生产线存在故障?解：根据正态分布的“3—原则”若,则所以：不难看出, 的值几乎以概率1落在,区间内,也就是说,的值以很小的概率落在之外.由正态分布的“3—原则”, 袋装盐质量应以概率1落在（1000-3×20,1000+3×20）即(940,1060)之内,现在被抽取的这袋盐为1080g,落在此区间的外部,即小概率事件竟然在一次试验中发生了,所以我们有理由怀疑该生产线发生了故障,需要检修.例5 个人的生日全不相同的概率为多大？解：把个人看成个球,将一年365天看成是=365个盒子,则“个人的生日全不同”就相当于“恰好有（）个盒子各有一球”,所以个人的生日全部相同的概率为：上式看似很简单,但其具体计算式繁琐的,对此可以用一下方法做近似计算：（a）当较小时,右边中各因式的第二项之间的乘积都可以忽略,于是有近似公式（b）当较大时,因为对小的正数,有,所以由公式得例如当=10时,由公式给出的近似值为0.884,而精确值为；当=30时,近视之为0.3037,精确值为.这个数值结果是令人吃惊的,因为许多人会认为：一年365天,30个人的生日全不同的可能性是较大的,至少会大于1/2.甚至有人认为：100个人的生日全不相同的可能性也是较大的.对一些不同的值,下表列出近似公式计算的值.10 20 30 40 50 600.8840 0.5942 0.3037 0.1180 0.0349 0.00780.1160 0.4058 0.6963 0.8820 0.9651 0.9922表2-3表中最后一行是对立事件“个人中至少有两个人生日相同”的概率.当=60时, =0.9922表明在60个人的群体中至少有两个人生日相同的概率超过。