中考数学专题-阅读理解型问题 含答案
中考数学复习专题9：阅读理解型问题(含详细参考答案)
中考数学复习专题九：阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.三、中考考点精讲 考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题例1 （•十堰）阅读材料：例：说明代数式221(3)4x x ++-+的几何意义，并求它的最小值．解：221(3)4x x ++-+=222(0)1(3)2x x -++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则2(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离， 22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB ，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式22(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）（2）代数式22491237x x x ++-+的最小值为 ．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：探究型．解析：（1）先把原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；（2）先把原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．解答：解：（1）∵原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式， ∴代数式222(1)1(2)3x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B （2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2）∵原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和， 如图所示：设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=P A′，∴PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度，∵A （0，7），B （6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴A′B=222268A C BC '+=+=10，故答案为：10．点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法例2 （•赤峰）阅读材料：（1）对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当a-b ＞0时，一定有a ＞b ；当a-b=0时，一定有a=b ；当a-b ＜0时，一定有a ＜b ．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a 、b 的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a 2-b 2=（a+b ）（a-b ），a+b ＞0∴（a 2-b 2）与（a-b ）的符号相同当a 2-b 2＞0时，a-b ＞0，得a ＞b当a 2-b 2=0时，a-b=0，得a=b当a 2-b 2＜0时，a-b ＜0，得a ＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y ，且x ＞y ，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1= （用x、y的式子表示）W2= （用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．考点：轴对称-最短路线问题；整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可；（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．解答：（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y，故答案为：3x+7y，2x+8y．②解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，∵x＞y，∴x-y＞0，∴W1-W2＞0，得W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大．（2）①解：a1=AB+AP=x+3，故答案为：x+3．②解：过B 作BM ⊥AC 于M ，则AM=4-3=1，在△ABM 中，由勾股定理得：BM 2=AB 2-12=x 2-1，在△A′MB 中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=22248A M BM x '+=+，故答案为：248x +．③解：a 12-a 22=（x+3）2-（248x +）2=x 2+6x+9-（x 2+48）=6x-39，当a 12-a 22＞0（即a 1-a 2＞0，a 1＞a 2）时，6x-39＞0，解得x ＞6.5，当a 12-a 22=0（即a 1-a 2=0，a 1=a 2）时，6x-39=0，解得x=6.5，当a 12-a 22＜0（即a 1-a 2＜0，a 1＜a 2）时，6x-39＜0，解得x ＜6.5，综上所述当x ＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x=6.5时，两种方案一样，当0＜x ＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论例3 （•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l 上找一点P ，使AP 与BP 的和最小．他的做法是这样的：①作点B 关于直线l 的对称点B′．②连接AB′交直线l 于点P ，则点P 为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使△PDE 得周长最小．（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE 周长的最小值： ．考点：轴对称-最短路线问题．分析：（1）根据提供材料DE 不变，只要求出DP+PE 的最小值即可，作D 点关于BC 的对称点D′，连接D′E ，与BC 交于点P ，P 点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E 的值，即可得出答案．解答：解：（1）如图，作D 点关于BC 的对称点D′，连接D′E ，与BC 交于点P ，P 点即为所求；（2）∵点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，∴DE 为△ABC 中位线，∵BC=6，BC 边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，∴D′E=222234DE DD '+=+=5，∴△PDE 周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，故答案为：8．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE 周长的最小值，求出DP+PE 的最小值即可是解题关键．考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题例4 （•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形．专题：代数几何综合题．分析：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤43时，当43＜t≤2时，当2＜t≤103时，当103＜t≤4时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB-BG=3-x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴AG GF AB BC=，即336x x -=，解得：x=2，即BE=2；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=83，∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-83=43，∵ME=2-12t，∴FM=12t，当0≤t≤43时，S=S△FMN=12×t×12t=14t2，②如图④，当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•DHCH=34（4-t）=3-34t，∴FK=2-EK=34t-1，∵NL=23AD=43，∴FL=t-43，∴当43＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=14t2-12（t-43）（34t-1）=-18t2+t-23；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=83，∴EC=4-t=B′C-2=23，∴t=103，∵B′N=12B′C=12（6-t）=3-12t，∵GN=GB′-B′N=12t-1，∴当2＜t≤103时，S=S梯形GNMF-S△FKL=12×2×（12t-1+12t）-12（t-43）（34t-1）=-38t2+2t-53，④如图⑥，当103＜t≤4时，∵B′L=34B′C=34（6-t），EK=34EC=34（4-t），B′N=12B′C=12（6-t）EM=12EC=12（4-t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-12t+52．综上所述：当0≤t≤43时，S=14t2，当43＜t≤2时，S=-18t2+t-23；当2＜t≤103时，S=-38t2+2t-53，当103＜t≤4时，S=-12t+52．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．四、中考真题演练1．（•宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．考点：图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的性质；作图—应用与设计作图．分析：（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD是几阶准菱形．解答：解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2；②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形；（2）①如图所示：，②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；如图所示：故▱ABCD是10阶准菱形．点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．2．（•淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题；规律型．分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．解答：解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C；故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C 重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．3．（•南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m 的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A′B′，AD ∥A′D′，且AD ：AB=2：1，设AB 与A′B′、BC 与B′C′、CD 与C′D′、DA 与D′A′之间的距离分别为a 、b 、c 、d ，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，a 、b 、c 、d 应满足什么条件？请说明理由．考点：相似多边形的性质；一元二次方程的应用．分析：（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm ，则长为2xm ，然后由题意得方程23124112y y y y ---=--- =2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，利用相似多边形的性质，可得A D ADA B AB''=''，即 ()2()1AD a c AB b d -+=-+，然后利用比例的性质，即可求得答案．解答：解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm ，则长为2xm ．”前补充以下过程： 设温室的宽为ym ，则长为2ym ．则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m ，长为（2y-3-1）m ． ∵23124112y y y y ---=--- =2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ， 就要A D ADA B AB''=''，即()2()1AD a c AB b d -+=-+， 即2()2()1AB a c AB b d -+=-+，即a cb d++=2． 点评：此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．4．（•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）解一元二次方程，求出OA、OB的长度，从而得到A、B点的坐标；（2）△APQ与△AOB相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图（2）所示；（3）本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图（3）所示．在求M1，M2坐标时，注意到M1，M2与Q点坐标的对应关系，则容易求解；在求M3坐标时，可以利用全等三角形，得到线段之间关系．解答：解：（1）解方程x2-7x+12=0，得x1=3，x2=4，∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4．∴A（0，3），B（4，0）．（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：（I）△APQ∽△AOB，如图（2）a所示．则有AP AQAO AB=，即5235t t-=，解得t=1511．此时OP=OA-AP=1811，PQ=AP•tanA=2011，∴Q（2011，1811）；（II）△APQ∽△ABO，如图（2）b所示．则有AP AQAB AO=，即5253t t-=，解得t=2513．此时AQ=2513，AH=AQ•cosA=913，HQ=AQ•sinA=1213，OH=OA-AH=3013，∴Q（1213，3013）．综上所述，当t=1511秒或t=2513秒时，△APQ与△AOB相似，所对应的Q点坐标分别为（2011，1811）或（1213，3013）．（3）结论：存在．如图（3）所示．∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ•sin∠QAP=45，AE=AQ•cos∠QAP=35，∴OE=OA-AE=125，∴Q（45，125）．∵▱APQM1，∴QM1⊥x轴，且QM1=AP=2，∴M1（45，25）；∵▱APQM2，∴QM2⊥x轴，且QM2=AP=2，∴M2（45，225）；如图（3），过M3点作M3F⊥y轴于点F，∵▱AQPM3，∴M3P=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE；在△M3PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ，∠PM3F=∠AQE，∴△M3PF≌△QAE，∴M3F=QE=45，PF=AE=35，∴OF=OP+PF=85，∴M3（-45，85）．∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：M1（45，25），M2（45，225），M3（-45，85）．点评：本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行四边形等知识点．本题难点在于分类讨论思想的应用，第（2）（3）问中，均涉及到多种情况，需要逐一分析不能遗漏；另外注意解答中求动点时刻t和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握．5．（•长春）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=4cm ．D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连接DE ．点P 从点A 出发，沿折线AD-DE-EB 运动，到点B 停止．点P 在线段AD 上以5cm/s 的速度运动，在折线DE-EB 上以1cm/s 的速度运动．当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 在线段AQ 上．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为 cm （用含t 的代数式表示）． （2）当点N 落在AB 边上时，求t 的值．（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式．（4）连接CD ，当点N 与点D 重合时，有一点H 从点M 出发，在线段MN 上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M 连续做往返运动，直至点P 与点E 重合时，点H 停止往返运动；当点P 在线段EB 上运动时，点H 始终在线段MN 的中点处，直接写出在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值范围．考点：相似形综合题．分析：（1）点P 在AD 段的运动时间为2s ，则DP 的长度为（t-2）cm ；（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如图（2）所示．利用运动线段之间的数量关系求出时间t 的值；（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示．分别用时间t 表示各相关运动线段的长度，然后利用“S=S 梯形AQPD -S △AMF =12（PG+AC ）•PC -12AM•FM”求出面积S 的表达式；（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H 、点P 的运动过程：当4＜t ＜6时，此时点P 在线段DE 上运动，如图（4）a 所示．此时点H 将两次落在线段CD 上；当6≤t≤8时，此时点P 在线段EB 上运动，如图（4）b 所示．此时MN 与CD 的交点始终是线段MN 的中点，即点H ．解答：解：（1）∵在Rt △ABC 中，AC=8cm ，BC=4cm ， ∴AB=22228445AC BC +=+=，D 为AB 中点，∴AD=25，∴点P 在AD 段的运动时间为255=2s ． 当点P 在线段DE 上运动时，DP 段的运动时间为（t-2）s ， ∵DE 段运动速度为1cm/s ，∴DP=（t-2）cm ．（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如下图所示：①如图（2）a，此时点D与点N重合，P位于线段DE上．由三角形中位线定理可知，DM=12BC=2，∴DP=DM=2．由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4；②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．∵DE=12AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t．由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=203．所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=203．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：①当2＜t＜4时，如图（3）a所示．DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．∵MN∥BC，∴FM：AM=BC：AC=1：2，∴FM=12AM=12t．S=S梯形AQPD-S△AMF=12（DP+AQ）•PQ-12AM•FM=12[（t-2）+（2+t）]×2-12t•12t=-14t2+2t；②当203＜t＜8时，如图（3）b所示．PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，∴FM=12AM=6-12t，PG=2PB=16-2t，S=S梯形AQPD-S△AMF=12（PG+AC）•PC-12AM•FM=12[（16-2t）+8]×（t-4）-12（12-t）•（6-12t）=-54t2+22t-84．综上所述，S与t的关系式为：S=2212(24)45202284(8)43t t tt t t⎧-+<<⎪⎪⎨⎪-+-<<⎪⎩。
中考数学阅读理解型问题试题(附答案)
以下是查字典数学网为您推荐的中考数学阅读理解型问题试题(附答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。
中考数学阅读理解型问题试题(附答案)21.(2016四川达州，21，8分)(8分)?问题背景若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为，面积为，则与的函数关系式为：﹥0)，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.提出新问题若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有，最大(小)值是多少?分析问题若设该矩形的一边长为，周长为，则与的函数关系式为：( ﹥0)，问题就转化为研究该函数的最大(小)值了.解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数( ﹥0)的最大(小)值.(1)实践操作：填写下表，并用描点法?画出函数 ( ﹥0)的图象：(2)观察猜想：观察该函数的图象，猜想当= 时，函数 ( ﹥0)有最值(填大或小)，是 .(3)推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数﹥0)的最大值，请你尝试通过配方求函数( ﹥0)的最大(小)值，以证明你的猜想. 〔提示：当 0时，〕解析：对于(1)按照画函数图象的列表、描点、连线三步骤进行即可;对于(2)，由结合图表可知有最小值为4;对于(3)，可按照提示，用配方法来求出。
答案：(1)..(1分).(3分)(2)1、小、4..(5分)?(3)证明：(7分)28.(2016江苏省淮安市，28，12分)阅读理解如题28-1图，△ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分;将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分;将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合.无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC是△ABC的好角.小丽展示了确定BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一：如题28-2图，沿等腰三角形ABC顶角BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合;情形二：如题28-3图，沿△ABC的BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分;将余下的部分沿B1A1C的平分线 A1B2折叠，此时点B1与点C重合.探究发现(1)△ABC中，B=2C，经过两次折叠，BAC 是不是△ABC的好角? .(填：是或不是).(2)小丽经过三次折叠发现了BAC是△ABC的好角，请探究B与C(不妨设C)之间的等量关系.根据以上内容猜想：若经过n次折叠BAC是△ABC 的好角，则B与C(不妨设C)之问的等量关系为 .应用提升(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15，60，l05，发现60和l05的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.【解析】(1)利用三角形外角的性质和折叠对称性即可解决;(2)根据第(1)问的结论继续探索;(3)利用好角的定义和三角形内角和列出方程解之.具体过程见以下解答.【答案】解： (1) 由折叠的性质知，AA1B1.因为AA1B1=A1B1C+C，而B=2C，所以A1B1C=C，就是说第二次折叠后A1B1C与C重合，因此BAC是△ABC的好角.(2)因为经过三次折叠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的A2B2C=C.如图12-4所示.图12-4因为ABB1=AA1B1，AA1B1=A1B1C+C，又A1B1C=A1A2B2，A1A2B2=A2B2C+C，所以ABB1=A1B1C+A2B2C+C=3C.由上面的探索发现，若BAC 是△ABC的好角，折叠一次重合，有C;折叠二次重合，有B=2折叠三次重合，有B=3由此可猜想若经过n次折叠BAC是△ABC的好角，则B=nC.(3)因为最小角是4是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为4m，4mn(其中m、n都是正整数).由题意，得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44.因为m、n都是正整数，所以m与n+1是44的整数因子，因此有：m=1，n+1=44;m=2，n+1=22;m=4，n+1=11;m=11，n+1=4;m=22，n+1=2.所以m=1，n=43;m=2，n=21;m=4，n=10;m=11，n=3;m=22，n=1.所以4m=4，4mn=172;4m=8，4mn=168;4m=16，4mn=160;4m=44，4mn=132;4m=88，4mn=88.所以该三角形的另外两个角的度数分别为：4，1728，16816，16044，13288，88.【点评】本题主要考查轴对称图形、等腰三角形、三角形形的内角和定理及因式分解等知识点的理解和掌握，本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度.23.(2016湖北咸宁，23，10分)如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且， .理解与作图：(1)在图2、图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH.计算与猜想：(2)求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值?启发与证明：(3)如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明(2)中的猜想.【解析】(1)根据网格结构，作出相等的角得到反射四边形;(2)图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后可得周长;图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，得知四边形EFGH的周长是定值;(3)证法一：延长GH交CB的延长线于点N，再利用角边角证明Rt△FCE≌Rt△FCM，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GKBC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出MK= MN=8，再利用勾股定理求出GM的长度，然后可求出四边形EFGH的周长;证法二：利用角边角证明Rt△FCE≌Rt△FCM，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，再根据角的关系推出HEB，根据同位角相等，两直线平行可得HE∥GF，同理可证GH∥EF，所以四边形EFGH是平行四边形，过点G作GKBC于K，根据边的关系推出MK=BC，再利用勾股定理列式求出GM的长度，然后可求出四边形EFGH的周长.【答案】(1)作图如下： 2分(2)解：在图2中，，四边形EFGH的周长为 . 3分在图3中，， .四边形EFGH的周长为 . 4分猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值. 5分(3)如图4，证法一：延长GH交CB的延长线于点N.∵，，.而，Rt△FCE≌Rt△FCM.， . 6分同理：， .. 7分∵，，. . 8分过点G作GKBC于K，则 . 9分.四边形EFGH的周长为 . 10分证法二：∵，， .而， Rt△FCE≌Rt△FCM.， . 6分∵，，而， .HE∥GF. 同理：GH∥EF.四边形EFGH是平行四边形.. 而，Rt△FDG≌Rt△HBE. .过点G作GKBC于K，则.四边形EFGH 的周长为 .【点评】本题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，读懂题意理解反射四边形EFGH特征是解题的关键.25.(2016贵州黔西南州，25，14分)问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y2.把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2-1=0.化简，得：y2+2y-4=0.故所求方程为y2+2y-4=0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为换根法.请用阅读材料提供的换根法求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)：(1)已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数.(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.【解析】按照题目给出的范例，对于(1)的根相反，用y=-x作替换;对于(2)的根是倒数，用y=1x作替换，并且注意有不等于零的实数根的限制，要进行讨论.【答案】(1)设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y.(2分)把x=-y 代入已知方程x2+x-2=0，得(-y)2+(-y)-2=0.(4分)化简，得：y2-y-2=0.(6分)(2)设所求方程的根为y，则y=1x，所以x=1y.(8分)把x=1y 代如方程ax2+bx+c=0得.a(1y)2+b1y+c=0，(10分)去分母，得，a+by+cy2=0.(12分)若c=0，有ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意.c0，故所求方程为cy2+by+a=0(c0).(14分)【点评】本题属于阅读理解题，读懂题意，理解题目讲述的方法的基础;在实际解题时，还要灵活运用题目提供的方法进行解题，实际上是数学中转化思想的运用.八、(本大题16分)26.(2016贵州黔西南州，26，16分)如图11，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴.(2)设点P为抛物线(x5)上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数.请你直接写出点P的坐标.(3)连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大?若存在，请你求出N的坐标;若不存在，请说明理由.【解析】(1)已知抛物线上三点，用待定系数法确定解析式;(2)四边形AOMP中，AO=4，OM=3，过A作x轴的平行线交抛物线于P点，这个P点符合要求四条边的长度为四个连续的正整数(3)使△NAC的面积最大，AC确定，需要N点离AC的距离最大，一种方法可以作平行于AC的直线，计算这条直线与抛物线只有一个交点时，这个交点即为N;另一种方法，过AC上任意一点作y轴的平行线交抛物线于N点，这样△NAC被分成两个三角形，建立函数解析式求最大值.【答案】(1)根据已知条件可设抛物线对应的函数解析式为y=a(x―1)(x―5)，(1分)把点A(0，4)代入上式，得a=45.(2分)y=45(x―1)(x―5)=45x2―245x+4=―45(x―3)2―165.(3分)抛物线的对称轴是x=3.(4分)(2)点P的坐标为(6，4).(8分)(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大，由题意可设点N的坐标为(t，45t2―245t+4)(0如图，过点N作NG∥y 轴交AC于点G，连接AN、CN.由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为：y=―45x+4.(10分)把x=t代入y=―45x+4得y=―45t+4，则G(t，―45t+4).(11分)此时NG=―45t+4―(45t2―245t+4)=―45t2+205t.(12分)S△NAC=12NGOC=12(-45t2+205t)5=―2t2+10t=―2(t-52)2+252.(13分)又∵0当t=52时，△CAN的面积最大，最大值为252 .(14分)t=52时，45 t2-245t+4=-3.(15分)点N的坐标为(52，-3).(16分)【点评】本题是一道二次函数、一次函数、三角形的综合题，其中第(3)问也是一道具有难度的存在性探究问题.本题主要考查二次函数、一次函数的图象与性质的应用.专项十阅读理解题19. (2016山东省临沂市，19，3分)读一读：式子1+2+3+4++100表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里是求和符号，通过以上材料的阅读，计算 = .【解析】式子1+2+3+4++100的结果是，即 = ;又∵，，，= + ++ =1- ，= = + ++ =1- = .【答案】【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.此题重点除首位两项外，其余各项相互抵消的规律.23. (2016浙江省嘉兴市，23，12分)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB C ,即如图①,BAB =, ,我们将这种变换记为.(1)如图①,对△ABC作变换得△AB C ,则 : =_______;直线BC与直线BC所夹的锐角为_______度;(2)如图② ,△ABC 中,BAC=30ACB=90 ,对△ABC作变换得△AB C ,使点B、C、在同一直线上,且四边形ABBC为矩形,求和n的值;(3)如图③ ,△ABC中,AB=AC,BAC=36 ,BC=1,对△ABC作变换得△ABC ,使点B、C、B在同一直线上,且四边形ABBC为平行四边形,求和n的值.【解析】(1) 由题意知, 为旋转角, n为位似比.由变换和相似三角形的面积比等于相似比的平方,得 : = 3, 直线BC与直线BC所夹的锐角为60(2)由已知条件得=CAC=BAC-BAC=60.由直角三角形中, 30锐角所对的直角边等于斜边的一半得n= =2.(3) 由已知条件得=CAC=ACB=72.再由两角对应相等,证得△ABC∽△BBA,由相似三角形的性质求得n= = .【答案】(1) 3;60.(2) ∵四边形ABBC是矩形,BAC=90.=CAC=BAC-BAC=90-30=60.在Rt△ABB中，ABB=90BAB=60,n= =2.(3) ∵四边形ABBC 是平行四边形,AC∥BB,又∵BAC=36=CAC=ACB=72CAB=ABB=BAC=36,而B,△ABC∽△BBA,AB2=CBBB=CB(BC+CB),而CB=AC=AB=BC, BC=1, AB2=1(1+AB)AB= ,∵AB0,n= = .【点评】本题是一道阅读理解题.命题者首先定义了一种变换,要求考生根据这种定义解决相关的问题. 读懂定义是解题的关键所在.本题所涉及的知识点有相似三角形的面积比等于相似比的平方,黄金比等.27.(2015江苏省无锡市，27，8)对于平面直角坐标系中的任意两点 ,我们把叫做两点间的直角距离，记作 .(1)已知O为坐标原点，动点满足 =1，请写出之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中出所有符合条件的点P所组成的图形;(2)设是一定点，是直线上的动点，我们把的最小值叫做到直线的直角距离，试求点M(2,1)到直线的直角距离。
中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题(含答案)
中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题（含答案）题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A . x ＝4 B . x ＝5 C . x ＝6 D . x ＝72.对于实数a 、b ，我们定义符号max {a ，b}的意义为：当a≥b 时，max {a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b}＝b ；如max {4，－2}＝4，max {3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max {x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )A . 0B . 2C . 3D . 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( ) ①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大． 其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算． 现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)， 例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________． 8.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2计算． 例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离． 解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y ＝－2x ＋4与y ＝－2x －6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”． 【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形； (2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′. 【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________； (4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n 的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．1. B 【解析】根据题意a ⊗b ＝1a －b 2，则 x ⊗(－2)＝1x －（－2）2＝1x －4，又∵x ⊗(－2)＝2x －4－1，∴1x －4＝2x －4－1，解得x ＝5，经检验x ＝5是原方程的根，∴原方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是x ＝5. 2. B 【解析】当x ＋3≥－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝x ＋3，此时x ≥－1，∴y ≥2；当x ＋3＜－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝－x ＋1，此时x ＜－1，∴y ＞2.综上y 的最小值为2.3. B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确． 4. C 【解析】∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，若a @b ＝0，则(a ＋b )2－(a －b )2＝0，∴(a ＋b )2＝(a －b )2, ∴a ＋b ＝±(a －b )，∴a ＝0或b ＝0，∴①正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，∴a @(b ＋c )＝[a ＋(b ＋c )]2－[a －(b ＋c )]2＝[a ＋(b ＋c )＋a －(b ＋c )][a ＋(b ＋c )－(a －b －c )]＝4ab ＋4ac ，∵a @b ＋a @c ＝(a ＋b )2－(a －b )2＋(a ＋c )2－(a －c )2＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＋a 2＋2ac ＋c 2－ a 2＋2ac －c 2＝4ab ＋4ac ，∴a @(b ＋c )＝a @b ＋a @c ，∴②正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝ a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＝4ab ，当a ＝b ＝0时，满足a @b ＝a 2＋5b 2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c ，则2c ＝2a ＋2b ，b ＝c －a ，a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ＝4a (c －a )＝－4(a －12c )2＋c 2，∴当a ＝12c 时，4ab 有最大值是c 2，即a ＝b 时，a @b 的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5. －1 【解析】根据新定义，当a<b 时，a*b ＝a －b 列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6. 32 【解析】根据新运算法则，得log 1001000＝log 101000log 10100＝log 10103log 10102＝32. 7. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知：AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y)2＝2(2－x －y)，解得x ＋y ＝5－1(取正)，又BN 2＝AN·AB ，∴(2－y)2＝2y ，解得y ＝3－5(y ＜2)，∴m －n ＝MN ＝x ＝5－1－(3－5)＝25－4，故填25－4.8. 解：(1)又∵∠A ＝∠C ，CG ＝AB. ∴△MBA ≌△MGC(SAS )，∴MB ＝MG . 又∵MD ⊥BC ， ∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD. (2)2＋2 2.【解法提示】折线BDC 为⊙O 的一条折弦，由题意知A 为BDC ︵中点，由材料中折弦定理易得BE ＝DE ＋CD ，在Rt △ABE 中可得BE ＝2，所以△BCD 周长为BC ＋CD ＋DE ＋BE ＝2＋2 2.9. 解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD、OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵BECF＝53，∴BEBG＝53，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，∴BEBG＝AEAF＝53.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴AF＋EF＋AE3＝3k＋4k＋5k3＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．10. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝pq＝pp＝1.(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝157，F(68)＝417，F(79)＝179，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝57.11. 解：(1)∵直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， ∴点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为： d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1－（－1）－1|1＋12＝12＝22.(2)相切．理由如下：∵直线y ＝3x ＋9，其中k ＝3，b ＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×0－5＋9|1＋（3）2＝42＝2，又∵⊙Q 的半径r 为2，∴⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系为相切．(3)在直线y ＝－2x ＋4上任意取一点P ， 当x ＝0时，y ＝4， ∴P(0，4)，∵直线y ＝－2x －6，其中k ＝－2，b ＝－6，∴点P(0，4)到直线y ＝－2x －6的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|－2×0－4－6|1＋（－2）2＝105＝25，∴这两条直线之间的距离为2 5.12. (1)选择图①.证明：依题意得∠DAD′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠DAP ＝∠DAD′－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∠D ′AO ＝∠PAO －∠PAD ′＝60°－∠PAD′， ∴∠DAP ＝∠D′AO.∵∠D ＝∠D′，AD ＝AD′， ∴△DAP ≌△D ′AO(ASA )， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°，∴△AOP 是等边三角形． 选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠EAP ＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∠E ′AO ＝∠PAO －∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∴∠EAP ＝∠E′AO(ASA )． ∵∠E ＝∠E′，AE ＝AE′， ∴△EAP ≌△E ′AO ， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°， ∴△AOP 是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC ，AD ′，CD ′. ∵AE ′＝AB ，∠E′＝∠B ＝180°×（5－2）5＝108°，E ′D ′＝BC ，∴△AE ′D ′≌△ABC(SAS )，∴AD ′＝AC ，∠AD ′E ′＝∠ACB ， ∴∠AD ′C ＝∠ACD′， ∴∠OD ′C ＝∠OCD′， ∴OC ＝OD′，∴BC －OC ＝E′D′－OD′，即BO ＝E′O. ∵AB ＝AE′，∠B ＝∠E′， ∴△ABO ≌△AE ′O(SAS )， ∴∠OAB ＝∠OAE′. (3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP 是等边三角形， ∴∠DAP ＋∠OAB ＝90°－60°＝30°， 在△OAB 和△OAD′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OABA ＝D′A， ∴△ABO ≌△AD ′O(HL )， ∴∠OAB ＝∠D′AO ， 由(1)知∠D′AO ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝12×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO 为等边三角形， ∴∠PAE ＋∠BAO ＝∠EAB －∠PAO ，∵∠EAB＝15×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE＋∠BAO＝48°，同理可证得∠OAB＝∠PAE，∴∠OAB＝12×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，AO＝AP，且∠PAO ＝60°，故△AOP是等边三角形．(5)60°－180°n(n≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB＝180°（n－2）n－60°2，化简得∠OAB＝60°－180°n(n≥3)．13. 解：(1)由题意得n＝1，∴抛物线y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0)代入y＝mx＋1，得m＝－1，∴m＝－1，n＝1.(2)由题意设“路线”L的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点Q的坐标在y＝6x和y＝2x－4上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝6hk＝2h－4，解得h＝－1或3，∴顶点Q的坐标为(－1，－6)或(3，2)，∴y＝a(x＋1)2－6或y＝a(x－3)2＋2，又∵“路线”L过P(0，－4)，代入解得a＝2(顶点为(－1，－6))，a＝－23(顶点为(3，2))，∴y＝2(x＋1)2－6或y＝－23(x－3)2＋2，即y＝2x2＋4x－4或y＝－23x2＋4x－4.(3)由题可知抛物线顶点坐标为(－3k2－2k＋12a，4ak－（3k2－2k＋1）24a)，设带线l：y＝px＋k，代入顶点坐标得p＝3k2－2k＋12，11 ∴y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k ， 令y ＝0，则带线l 交x 轴于点(－2k 3k 2－2k ＋1，0)，令x ＝0，则带线l 交y 轴于点(0，k)， ∵k ≥12＞0， ∴3k 2－2k ＋1＝3(k －13)2＋23＞0， ∴带线l 与坐标轴围成三角形面积为S ＝12·2k 3k 2－2k ＋1·k ＝k 23k 2－2k ＋1＝11k 2－2·1k ＋3， 令t ＝1k ，∵12≤k ≤2，∴12≤t ≤2，∴S ＝1t 2－2t ＋3，∴1S ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2，故当t ＝2时，(1S )max ＝3；当t ＝1时，(1S )min ＝2.∴13≤S ≤12.。
2022中考数学专题突破—阅读理解含答案
阅读理解1．在平面直角坐标系中，对于点(),P x y 和(),'Q x y ，给出如下定义：如果()()0'0y x y y x ⎧≤⎪=⎨-<⎪⎩，那么称点Q 为点P 的“伴随点”．例如：点()5,6的“伴随点”为点()5,6；点()5,6-的“伴随点”为点()5,6--． （1）直接写出点()2,1A 的“伴随点”'A 的坐标．（2）点(),1B m m +在函数3y kx =+的图象上，若其“伴随点”'B 的纵坐标为2，求函数3y kx =+的解析式．（3）点C D 、在函数24y x =-+的图象上，且点C D 、关于y 轴对称，点D 的“伴随点”为'D ．若点C 在第一象限，且'CD DD =，求此时“伴随点”'D 的横坐标．（4）点E 在函数()212y x n x =-+-≤≤的图象上，若其“伴随点”'E 的纵坐标'y 的最大值为()13m x ≤≤，直接写出实数n 的取值范围．【解析】解：（1）点A ＇的坐标为（2，1）． （2）①当m ≥0时，m +1=2，m =1;∴B （1，2）,∵点B 在一次函数y=kx+3图象上， ∴k +3=2， 解得：k =-1;∴一次函数解析式为y=-x+3;②当m ＜0时，m +1=-2，m =-3;∴B （-3，-2）．∵点B 在一次函数y=kx+3图象上， ∴-3k +3=-2，解得：k =53， ∴一次函数解析式为y=53x+3; （3）设点C 的横坐标为n ，点C 在函数y=－x 2+4的图象上， ∴点C 的坐标为（n ，-n 2+4），∴点D 的坐标为（-n ，-n 2+4），D ＇（-n ，n 2-4）; ∵CD =DD ＇， ∴2n =2（-n 2+4），解得：n ; ∵点C 在第一象限，∴取112n -=，212n -=（舍）;∴D ． （4）－2≤n ≤0、1≤n ≤3． 解析如下：当左边的抛物线在上方时，如图①、图②．－2≤n≤0,当右边的抛物线在上方时，如图③、图④．1≤n≤3;2．阅读下列材料，然后解答问题:在进行二次根式的化筒与计算时我们有时会遇到如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简2==；)()22212111⨯⨯===-以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化．请参照以上方法化简:（1（2（3+++⋅⋅⋅+【解析】解：(1==(2211===-；(3+⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+12222=+++⋅⋅⋅+=3．设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数”．如函数4y x =-+，当1x =时，3y =；当3x =时，1y =，即当13x ≤≤时，有13y ≤≤，所以说函数4y x =-+是闭区间[]1,3上的“闭函数”（1）反比例函数2019y x=是闭区间[]1,2019上的“闭函数”吗?请判断并说明理由； （2）若二次函数26y x x k =-+是闭区间[]3,4上的“闭函数”，求k 的值；（3）若一次函数(0)y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“闭函数”，求此函数的表达式(可用含,m n 的代数式表示)．【解析】(1)反比例函数2019y x=是闭区间[1,2019]上的“闭函数” 理由如下反比例函数2019y x=在第一象限，y 随x 的增大而减小， 当1x =时，2019y = 当2019x =时，1y =, 即图象过点(1,2019)和(2019,1)当12019x ≤≤时，有12019y ≤≤，符合闭函数的定义，反比例函数2019y x=是闭区间[1，2019]上的“闭函数” (2)由于二次函数26y x x k =-+的图象开口向上,对称轴为3x =, 二次函数26y x x k =-+在闭区间[3,4]内，y 随x 的增大而增大 当3x =时，3y =,12k ∴=当4x =时，4y =, 即图象过点(3,3)和(4,4)当34x ≤≤时，有34y ≤≤，符合闭函数的定义，12k ∴=(3)因为一次函数(0)y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“闭函数”，根据一次函数的图象与性质，有①当0k >时，即图象过点(),m m 和(),n nm k b m nk b n +=⎧⎨+=⎩，解得10k b =⎧⎨=⎩.y x ∴=②当k 0<时，即图象过点(),m n 和(),n m ,mk b nnk b m +=⎧⎨+=⎩解得1 k b m n =-⎧⎨=+⎩∴直线解析式为y x m n =-++综上所述，当k ＞0时，直线的解析式为y ＝x ，当k ＜0，直线的解析式为y ＝−x ＋m ＋n ． 4．阅读理解，解答下列问题：在平面直角坐标系中，对于点(),A x y 若点B 的坐标为(),kx y x ky +-，则称点B 为点A 的“k 级牵挂点”，如点()2,5A的“2级牵挂点”为(225,225)B ⨯+-⨯，即()9,8B -．（1）已知点()5,1P -的“3-级牵挂点”为1P 求点1P 的坐标，并求出点1P 到x 轴的距离；（2）已知点Q 的“4级牵挂点”为()15,3Q ，求Q 点的坐标及所在象限； （3）如果点(),1M m m +的“2级牵挂点”1M 在x 轴上，求点1M 的坐标；（4）如果点()1,1C c -+的“2级牵挂点”1C 在第二象限， ①求c 的取值范围；②在①中，当c 取最大整数时，过点1C 作11C D x ⊥轴于点1D ，连接1OC ，将11OC D ∆平移得到1OQD ∆，其中O 、1C 、1D 的对应点分别为1O 、Q 、D ，连接1C Q ，直接写出四边形111C D O Q 的面积为______．【解析】解：（1）点()5,1P -的“3-级牵挂点”为1P ，5(3)116∴-⨯-+=，5(3)12---⨯=-即()116,2P -且1P 到x 轴的距离为2（2）点Q 的“4级牵挂点”为()15,3Q设Q 点的坐标为(),x y4543x y x y +=⎧∴⎨-=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩Q ∴点的坐标为()1,1，在第一象限．（3）点(),1M m m +的“2级牵挂点”1M2131m m m ∴++=+，2(1)2m m m -+=--即1(31,2)M m m +-- 点1M 在x 轴上20m ∴--= 2m =-则315m +=- 1M ∴的坐标为()5,0-（4）①点()1,1C c -+的“2级牵挂点”1C1211c c ∴-⨯++=-，12(1)23c c --+=--即1(1,23)C c c ---点1C 在第二象限10230c c -<⎧∴⎨-->⎩ 解得32c <-c ∴的取值范围为32c <-②由题意可以得到下图：所以四边形111C D O Q 的面积=1111111314122C D OC OO QSS+=⨯⨯+⨯=．故答案为112． 5．定义：若两条抛物线在x 轴上经过两个相同点，那么我们称这两条抛物线是“同交点抛物线”，在x 轴上经过的两个相同点称为“同交点”，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过(﹣2，0)、( ﹣4，0)，且一条与它是“同交点抛物线”的抛物线y=ax 2 +ex+f 经过点( ﹣3，3)． （1）求b 、c 及a 的值；（2）已知抛物线y =﹣x 2+2x +3与抛物线y n =3n x 2﹣23n x ﹣n （n 为正整数） ①抛物线y 和抛物线y n 是不是“同交点抛物线”？若是，请求出它们的“同交点”，并写出它们一条相同的图像性质；若不是，请说明理由．②当直线y =12x+ m 与抛物线y 、y n ，相交共有4个交点时，求m 的取值范围． ③若直线y =k （k <0）与抛物线y =﹣x 2+2x +3与抛物线y n =3n x 2﹣23nx ﹣n （n 为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A 、点B 、点C 、点D ，当AB =BC=CD 时，求出k 、n 之间的关系式【解析】(1) ∵抛物线2y x bx c =++经过(–2，0)、( –4，0)，则代入得：4201640b c b c -+=⎧⎨-+=⎩，解得：6b =，8c =，设“同交点抛物线”的解析式为()()24y a x x =++， 将(–3，3)代入得：()()33234a =-+-+， 解得：3a =-，故答案为：6b =，8c =，3a =-； (2)①令0y =，则2230x x -++=，解得：1213x x =-=，，∴抛物线223y x x =-++与x 轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)，令0n y =，则3n 2x -23n0x n -=， 解得：1213x x =-=，， ∴抛物线2233n n n y x x n =--与x 轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)， ∴抛物线y 和抛物线n y 是“同交点抛物线”， 它们图形共同性质：对称轴同为直线1x =； ②当直线12y x m =+与抛物线y 相交只有1个交点时， 由21223y x m y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，得：23302x x m -+-=， 由()223441302b ac m ⎛⎫=-=--⨯⨯-= ⎪⎝⎭⊿，解得：5716m =， 抛物线2233n n n y x x n =--的顶点坐标为(1，43n -)，其中n 为正整数， 因为随着n 的增大，n y 的顶点纵坐标减小，所以当直线12y x m =+与抛物线n y 中1n =时的抛物线相交只有1个交点时，由21212133y x m y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得：()227660x x m --+=， 由()()224742660b ac m =-=--⨯⨯--=⊿，解得：9748m =-， 如图所示：当直线12y x m =+经过“同交点”时与两抛物线只有三个交点， 把“同交点”(–1，0)代入12y x m =+得：12m =， 把“同交点” (3，0)代入12y x m =+得：32m =-， ∴当直线12y x m =+与抛物线y 、n y 有4个交点时，m 的取值范围为： 97574816m -<<，且12m ≠，32m ≠-； ③设直线y k =分别与抛物线223y x x =-++和抛物线2233n n y x x n =--相交于A 、D 、B 、C ，如图：由223y k y x x =⎧⎨=-++⎩，得：2230x x k -+-=，∵122b x x a +=-=，123c x x k a==-， ∴()()()22221212124243164AD x x x x x x k k =-=+-=--=-， 由2233y k n n y x x n =⎧⎪⎨=--⎪⎩，得：()22330nx nx n k --+=， ∵342b x x a +=-=，()3433n k c x x a n-+==， ， ∵AB BC CD ==，∴229AD BC =， ∴12164916k k n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， 整理得：32270n k nk ++=．6．回答下列问题：（1）已知一列数：2，6，18，54，162，…．，若将这列数的第一个数记为1a ，第二个数记为2a …，第n 个数记为n a ，则67________;____a a ==（2）观察下列运算过程：231222...2n S =+++++①①2⨯得2312222...2n S +=++++②②-①得()()nk n k n x x x x x x BC 1216334242432432422+=+⨯+=-+=-=∴121n S +=-参考上面方法，求（1）中数列的前n 个数的和S ．【解析】通过观察可发现其规律为：13n n a a -=，故653486a a =⨯=，7631458a a =⨯=；（2）根据题中已给的推导过程可得（1）中12121232323n S -=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯①①3⨯得：123323232323n S =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯②②-①得：2232n S =⨯-31n S =-7．如图，平面内的两条直线1l 、2l ，点A ，B 在直线1l 上，点C 、D 在直线2l 上，过A 、B 两点分别作直线2l 的垂线，垂足分別为1A ，1B ，我们把线段11A B 叫做线段AB 在直线2l 上的正投影，其长度可记作(,)AB AD T 或2(),AB l T ，特别地线段AC 在直线2l 上的正投影就是线段1AC ．请依据上述定义解决如下问题：(1)如图1，在锐角ABC ∆中，5AB =，(,)3AC AB T =，则,()BC AB T = ；(2)如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，(),4AC AB T =，(,)9BC AB T ==，求ABC ∆的面积；(3)如图3，在钝角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D 在AB 边上，90ACD ∠=︒，(),2AD AC T =，(),6BC AB T =，求(),BC CD T【答案】（1）2；（2）39；（3 【解析】解：（1）如图1中，作CH AB ⊥．(,)3AC AB T =，3AH ∴=，5AB =，532BH ∴=-=，(,)2BC AB T BH ∴==，故答案为2．（2）如图2中，作CH AB ⊥于H ．(,)4AC AB T =，(,)9BC AB T ==，4AH ∴=，9BH =，90ACB CHA CHB ∠=∠=∠=︒，90A ACH ∴∠+∠=︒，90ACH BCH ∠+∠=︒，A BCH ∴∠=∠，ACH CBH ∴∆∆∽， ∴CH AH BH CH =， ∴49CH CH=， 6CH ∴=，111363922ABC S AB CH ∆∴==⨯⨯=． （3）如图3中，作CH AD ⊥于H ，BK CD ⊥于K ．90ACD ∠=︒，(),2AD AC T =，2AC ∴=，60A ∠=︒，=30ADC BDK ACH ∴∠=∠∠=︒，CD ∴==24AD AC ==，112AH AC ==，3DH AD AH =-=， (,)6BC AB T =，CH AB ⊥，6BH ∴=，3DB BH DH ∴=-=，在Rt BDK ∆中，90K ∠=︒，3BD =，30BDK ∠=︒，cos30DK BD ∴=︒=，22CK CD DK ∴=+==(,)BC CD T CK ∴== 8．阅读下列一段文字，然后回答下列问题：材料 1：已知平面内两点1111,,()()M x y N x y 、，则这两点间的距离可用下列公式计算：MN =例如：已知()()3,1,1,2P Q -，则这两点的距离PQ ==材料2：在平面直角坐标系中，以任意两点()()1122,,,P x y Q x y 为端点的线段中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭例如：点()1,2P 、点()3,6Q ，则线段PQ 的中点M 的坐标为1326,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2,4M ()1如图，已知()()1,4,6,1A B ，求线段AB 的长度和中点C 的坐标；()2若M 为x 轴上一动点，求MA MB +的最小值；()3已知ABC ∆的顶点坐标分别为()()()0,4,1,2,4,2A B C -，你能判定ABC ∆的形状吗？请说明理由．【解析】()1解：AB ===75,22C ⎛⎫⎪⎝⎭()2解：设(),0M a()()1,4,B 6,1A作点()1,4A 关于x 轴对称点'A()'1,4A -连接'A B'MA MB MA MB +=+()min 'MA MB A B ∴+===()3解：AB =AC =5BC ==2252025AB AC +=+=225BC =222AB AC BC +=ABC ∆∴为直角三角形9．一个三位正整数M ，其各位数字均不为零且互不相等.若将M 的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M 的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”：若从M 的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M 的“团结数”，如：123的“团结数”为121321233132132+++++=(1)若M 的其百位数字为a ，十位数字为b 、个位数字为c ，试说明M 与其“友谊数”的差能被15整除；(2)若一个三位正整数N ，其百位数字为2，十位数字为a 、个位数字为b ，且各位数字互不相等(0,0)a b ≠≠，求N 的“团结数”【解析】（1）由题意得：M 为10010a b c ++，则M 的友谊数为10010b a c ++，因此有()1001010010a b c b a c ++-++，1001010010a b c b a c =++---，9090a b =-，()90901566a b a b -=-，9090a b ∴-能被15整除，即M 与其“友谊数”的差能被15整除；（2）()()()()()()1021021021021010a a b b a b b a ⨯++++⨯+++++++，20102201021010a a b b a b b a =+++++++++++，222244a b =++，则N 的“团结数”是222244a b ++．10．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：31122=+，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像x 1x 1+-，2x x 2-，……这样的分式是假分式；像4x 2-，221x x +，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：()x 12x 1x 1221x 1x 1x 1x 1x 1-++-==+=+-----；()()22x 2x 24x x 444x 2x 2x 2x 2x 2+-+-+===++----； （1）分式2x是 分式（填“真”或“假”） （2）将分式x 1x 2-+化为整式与真分式的和的形式 （3）如果分式22x 1x 1--的值为整数，求x 的整数值 【解析】解：（1）因为分子次数小于分母次数，我们称之为真分数，分式2x 分子零次，分母1次，所以分式2x是真分式； 故答案为：真；（2）x1x2-+=2323312222 x xx x x x+-+=-=-++++；（3）22x1x1--=()()()22111221121111x xxxx x x+-+-+==++---；∵分式的值为整数，且x为整数，∴x-1=±1，∴x=2或x=0∴x的整数值为2或0．11．阅读理解：己知：对于实数a≥0，b≥0，满足 a = b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值．根据以上结论，解决以下问题：(1)拓展：若a>0，当且仅当a=___时，a+1a有最小值，最小值为____；(2)应用：①如图1，已知点P为双曲线y=4x(x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值：②如图2，已知点Q是双曲线y=8x(x>0)上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标．【解析】（1）根据题意知a=1a 时最小，又∵a>0，∴a=1，则a+1a=2． （2）①设点P(x ，4x )，（x>0）；则四边形OAPB 周长为2（x+4x）， 当x=4x 时，x=2，此时2（x+4x）有最小值8，即周长最小为8，此时点P(2，2)．②设点P(x ，4x )，（x>0）；OP== OP 最小，即x+4x 最小，所以x=4x，即x=2，∴点P （2，2）； 由点P （2，2），即可知Q 点纵坐标是2，带入y=8x (x>0)得点Q （4，2）； 所以由O ，P ，Q 三点坐标，要使OPQC 四点能构成平行四边形，则点C 坐标为：（-2，0）、（2，0）或（6，4）．12．数学小组遇到这样一个问题：若a ，b 均不为零，求||||a b x a b=+的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a ，b 的正负作出讨论，又注意到a ，b 在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．解：①当两个字母a ，b 中有2个正，0个负时，②当两个字母a ，b 中有1个正，1个负时，③当两个字母a ，b 中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求||||a b x a b=+的值． （2）若a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，求代数式||||||a b b c c a c a b +++++的值． 【解析】（1）①当a b ，中有2个正，0个负时， 原式||||112a b x a b=+=+=；②当,a b 中有1个正，1个负时， 原式||||110a b x a b=+=-=； ③当,a b 中有0个正，2个负时， 原式||||112a b x a b=+=--=-； 综上所述，x 的值为2-或0或2．（2）∵0a b c ++=，∴a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，a b c ，，不可能都为正或都为负， ∴||||||||||||a b b c c a c a b c a b c a b +++---++=++． ①当a b c ，，中有两正一负时， 原式||||||1111c a b c a b---=++=+-=， ②当a b c ，，中有一正两负时， 原式||||||1111c a b c a b---=++=--+=-． 综上所述||||||a b b c c a c a b +++++的值为1或1-．。
中考数学复习攻略 专题2 阅读理解与类比推理(含答案)
专题二 阅读理解与类比推理两类事物具有相同的结构、特征，当我们了解其中一类事物的某些属性后，往往可去认识、猜测另一类事物是否也有类似的属性，这种思考问题的方法，称作类比．类比和归纳一样，也是科学研究中常用的方法．阅读理解型问题一般篇幅比较长，由“阅读”和“问题”两部分构成，其阅读部分往往为考生提供一段自学材料，其内容多以“定义一个新概念(法则)，或展示一个解题过程，或给出一种新颖的解题方法”为主．阅读理解型问题按解题方法不同在百色中考考查的题型可能有：(1)新定义概念或法则；(2)新知模仿；(3)迁移探究与应用.解答阅读理解型问题的基本模式：阅读→理解→应用，即重点是阅读，难点是理解，关键是应用．一般有以下几个步骤：(1)阅读给定材料，提取有用信息；(2)分析、归纳信息，建立数学模型；(3)解决数学模型，回顾检查．在解题过程中要避免以下几个问题：(1)缺乏仔细审题意识，审题片面；(2)受思维定式影响，用“想当然”代替现实的片面意识；(3)忽略题中关键词语、条件，理解题意有偏差；(4)缺乏回顾反思意识．中考重难点突破新定义概念或法则新定义概念或法则类以纯文字、符号或图形的形式定义一种全新的概念、公式或法则等，解答时要在阅读理解的基础上解答问题．解答这类问题时，要善于挖掘定义的内涵和本质，要能够用已学的知识对新定义进行合理解释，进而将陌生的定义转化为熟悉的已学知识去理解和解答．【例1】对于两个非零实数x ，y ，定义一种新的运算：x *y ＝a x ＋by.若1*(－1)＝2，则(－2)*2的值是__－1__．【解析】所给新定义的运算中，有a ，b 两个字母，而题中只给了1*(－1)＝2一个条件，就不能把a ，b 两个值都求出来，但能求得a 与b 的数量关系，将a 与b 的数量等式代入到(－2)*2中即可得出结果．【例2】对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b }的意义为：当a ≥b 时，max{a ，b }＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b }＝b .例如，max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max{x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( B )A ．0B ．2C ．3D ．4【解析】可分x ≥－1和x ＜－1两种情况进行讨论．①当x ＋3≥－x ＋1，即x ≥－1时，y ＝x ＋3，此时y 最小值＝2；②当x ＋3＜－x ＋1，即x ＜－1时，y ＝－x ＋1，此时y >2.∴y 最小值＝2.也可以通过图象很直观地求出最小值(如图，该函数图象为实线部分)，即为直线y ＝x ＋3与直线y ＝－x ＋1的交点的纵坐标．1．(2021·包头中考)定义新运算“⊗”，规定：a ⊗b ＝a －2b .若关于x 的不等式x ⊗m >3的解集为x >－1，则m 的值是( B )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 2．(2018·百色中考)对任意实数a ，b 定义运算“∅”：a ∅b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >b ），b （a ≤b ）， 则函数y ＝x 2∅(2－x )的最小值是( C )A ．－1B ．0C ．1D ．4新知模仿新知模仿类以范例的形式给出，并在求解的过程中暗示解决问题的思路和技巧，再以此为载体设置类似的问题．解决这类问题的常用方法是类比、模仿和转化，主要是通过对数学公式、法则、方法和数学思想的准确掌握，运用其进行解答问题．【例3】(2017·百色中考)阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2－x －3的方法． (1)二次项系数2＝1×2；(2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，验算：“交叉相乘之和”；(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(－3)＋2×1＝－1，等于一次项系数－1. 即(x ＋1)(2x －3)＝2x 2－3x ＋2x －3＝2x 2－x －3，则2x 2－x －3＝(x ＋1)(2x －3).像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2＋5x －12＝__(x ＋3)(3x －4)__．【解析】如图，验算：1×(－4)＋3×3＝5，根据“十字相乘法”分解因式得出3x 2＋5x －12＝(x ＋3)(3x －4)即可．3．(2019·百色中考)阅读理解：已知两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则线段MN 的中点K (x ，y )的坐标公式为：x ＝x 1＋x 22 ，y ＝y 1＋y 22.如图，已知点O 为坐标原点，点A (－3，0)，⊙O 经过点A ，点B 为弦P A 的中点．若点P (a ，b )，则有a ，b 满足等式：a 2＋b 2＝9.设B (m ，n )，则m ，n 满足的等式是( D )A ．m 2＋n 2＝9B ．⎝⎛⎭⎫m －32 2＋⎝⎛⎭⎫n 2 2＝9 C ．(2m ＋3)2＋(2n )2＝3 D ．(2m ＋3)2＋4n 2＝9 迁移探究与应用迁移探究与应用类，即阅读新问题并运用新知识探究问题或解决问题．解答这类题的关键是认真阅读其内容，理解其实质，把握其方法、规律，然后加以解决．【例4】(2018·百色一模)材料：对于式子2＋31＋x 2，利用换元法，令t ＝1＋x2，y ＝3t .则由于t ＝1＋x 2≥1，所以反比例函数y ＝3t 有最大值，且为3.因此分式2＋31＋x 2的最大值为5.根据上述材料，解决下列问题：当x 的值变化时，分式x 2－2x ＋6x 2－2x ＋3的最大(或最小)值为__2.5__．【解析】根据题意将分式变形，即可确定出最大值或最小值．4．在Rt △ABC 中，以下是小亮探究a sin A 与bsin B之间关系的方法(如图①)：∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴c ＝a sin A ，c ＝bsin B .∴a sin A ＝b sin B. 根据你掌握的三角函数知识，在图②的锐角△ABC 中，探究 a sin A ，b sin B ，c sin C 之间的大小关系是__a sin A＝b sin B ＝csin C __(用“>”“<”或“＝”连起来). 5．(2021·广东中考)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记p ＝a ＋b ＋c2，则其面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ） .这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若p ＝5，c ＝4，则此三角形面积的最大值为( C )A ．5B ．4C ．25D ．5中考专题过关1.(2021·张家界中考)对于实数a ，b 定义运算“☆”如下：a ☆b ＝ab 2－ab ，例如3☆2＝3×22－3×2＝6，则方程1☆x ＝2的根的情况为(D)A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根2．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例．指数运算 21＝2 22＝4 23＝8 … 新运算 log 22＝1 log 24＝2 log 28＝3 … 指数运算 31＝3 32＝9 33＝27 … 新运算 log 33＝1 log 39＝2 log 327＝3 …①log 216＝4；②log 525＝5；③log 212＝－1.其中正确的是( B )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．(2021·甘肃中考)对于任意的有理数a ，b ，如果满足a 2 ＋b 3 ＝a ＋b2＋3，那么我们称这一对数a ，b 为“相随数对”，记为(a ，b ).若(m ，n )是“相随数对”，则3m ＋2[3m ＋(2n －1)]等于( A )A ．－2B ．－1C ．2D ．3 4．(2020·百色二模)阅读材料：在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例如，求点P (1，3)到直线4x ＋3y －3＝0的距离．解：由直线4x ＋3y －3＝0知，A ＝4，B ＝3，C ＝－3，∴点P (1，3)到直线4x ＋3y －3＝0的距离为d ＝|4×1＋3×3－3|42＋32＝2.根据以上材料，求点P 1(0，2)到直线y ＝512 x －16的距离为____2__． 5．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：解一元二次不等式：x 2－4＞0.解：不等式x 2－4＞0可化为 (x ＋2)(x －2)＞0.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －2>0 或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，x －2<0.解不等式组①，得x ＞2；解不等式组②，得x ＜－2.∴(x ＋2)(x －2)＞0的解集为x ＞2或x ＜－2，即x 2－4＞0的解集为x ＞2或x ＜－2. (1)一元二次不等式x 2－16＞0的解集为__x ＞4或x ＜－4__；(2)分式不等式x －1x －3>0的解集为__x ＞3或x ＜1__．6．阅读下列运算过程： 13 ＝33×3 ＝33 ， 25 ＝255×5 ＝255 ，12＋1 ＝1×（2－1）（2＋1）（2－1）＝2－12－1 ＝2 －1，13－2 ＝1×（3＋2）（3－2）（3＋2）＝3＋23－2 ＝3 ＋2 .数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可以把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题：(1)化简：26 ＝__63 __，25－3 ＝，1n ＋1＋n＝；(2)计算：11＋3 ＋13＋5 ＋15＋7 ＋…＋12 021＋ 2 023＝___ 2 023－12 ___．。
中考数学备考专题复习： 阅读理解问题(含解析)
中考数学备考专题复习：阅读理解问题（含解析）中考备考专题复习：阅读理解问题一、单选题1、对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b，如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（）A、0B、2C、3D、42、对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=．则方程x⊗（﹣2）= ﹣1的解是（）A、x=4B、x=5C、x=6D、x=73、设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A、②③④B、①③④C、①②④D、①②③4、定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（）A、0≤m≤1B、﹣3≤m≤1C、﹣3≤m≤3D、﹣1≤m≤0二、填空题5、州）阅读材料并解决问题：求1+2+22+23+…+22014的值，令S=1+2+22+23+…+22014等式两边同时乘以2，则2S=2+22+23+…+22014+22015两式相减：得2S﹣S=22015﹣1所以，S=22015﹣1依据以上计算方法，计算1+3+32+33+…+32015=________．三、解答题6、自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．反之：（1）若＞0，则或（2）＜0，则____________ ．根据上述规律，求不等式＞0的解集．7、阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用[()n﹣()n]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．8、先阅读下列材料，然后解答问题：材料1 从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32＝3×2＝6.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列数记作A n m，A n m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m≤n)．例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A53＝5×4×3＝60.材料2 从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C32＝＝3.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作C n m，C n m＝(m≤n)．例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：C63＝＝20.问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？9、定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．四、综合题10、阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，==，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵=∴b====3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明(2)求乙船每小时航行多少海里？11、阅读下列材料：2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，2013 年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9 万人次．根据以上材料解答下列问题：(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为________ 万人次(2)选择统计表或统计图，将2013﹣2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．12、阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：(1)计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；(2)解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．13、）阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．(1)等比数列3，6，12，…的公比q为________ ，第4项是________(2)如果一个数列a1， a2， a3， a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…=q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2， a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：an =________（用a1和q的代数式表示）．(3)若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．14、阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组;(2)已知x，y满足方程组（i）求x2+4y2的值；（ii）求+的值．15、）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC∵E、F是AB、CD的中点∴EF∥AD∥BCEF=（AD+BC）材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）：在△ABC中：∵E是AB的中点，EF∥BC∴F是AC的中点如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．(1)求证：EF=AC；(2)若OD=，OC=5，求MN的长．16、我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）17、已知点P（x0， y）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．18、定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．(1)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；(2)如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．(3)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．19、我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．20、阅读下列材料：北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．根据以上材料解答下列问题：(1)用折线图将2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；(2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约________亿元，你的预估理由________．21、）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβtan（α±β）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan75°=tan（45°+30°）= = =2+根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题(1)计算：sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．22、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．(1)根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：(2)如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；(3)如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】分段函数【解析】【解答】解：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，y min=2，当x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴y min=2，故选B【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．2、【答案】B【考点】分式方程的解，定义新运算【解析】【解答】解：根据题意，得= ﹣1，去分母得：1=2﹣（x﹣4），解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解．故选B．【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．3、【答案】C【考点】整式的混合运算，因式分解的应用，二次函数的最值【解析】【解答】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，解得：a=0或b=0，正确；②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4aca@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；③a@b=a2+5b2， a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，解得，a=0，b=0，故错误；④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，∴a2+b2+2ab≥4ab，∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，解得，a=b，∴a@b最大时，a=b，故④正确，故选C．【分析】根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4、【答案】 B【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【解答】解：∵x=y，∴x=2x+m，即x=﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故选B．【分析】根据x=y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．二、填空题5、【答案】【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：令s=1+3+32+33+ (32015)等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+ (32016)两式相减得：2s=32016﹣1．所以S= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32015，然后再等式的两边同时乘以2，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．本题主要考查的是数字的变化规律，依据材料找出解决问题的方法和步骤是解题的关键．三、解答题6、【答案】解：（2）若＜0，则或；故答案为：或；由上述规律可知，不等式转化为或，所以，x＞2或x＜﹣1．【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【分析】根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．7、【答案】【解答】解：第1个数，当n=1时，[()n﹣()n]=（﹣）=×=1．第2个数，当n=2时，[()n﹣()n]=[（）2﹣（）2]=×（+）（﹣）=×1×=1．【考点】二次根式的应用【解析】【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．8、【答案】解：(1)A74＝7×6×5×4＝840(种)．(2)C83＝＝56(种)【考点】探索数与式的规律【解析】【分析】探索数与式的规律。
数学阅读理解型问题(专题4)
阅读理解型问题（专题4）——合情推理【考点透视】阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．在阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理， 【典型例题】例1．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）a ＋b ＝2，ab ≤1； （2）a ＋b ＝3，ab ≤23； （3）a ＋b ＝6，ab ≤3．根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，ab ≤ ．（2000年北京市东城区中考试题）分析：观察（1）、（2）、（3）中的数字规律：不等号右边的数都是等号右边的数的21，由此可以作出猜想．解：ab ≤29． 说明：本题要求直接通过不完全归纳，总结规律，猜想结论． 例2．例2．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”．①322322=+（ ）；②833833=+（ ）； ③15441544=+（ ）； ④24552455=+（ ）． （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并注明n 的取值范围： ．图4—1AD nB CD 1 D 2D 3E 1 E 2 E 3 E n 图4—2（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．（2000年江苏省常州市中考试题）分析：判断式子①、②、③、④内在的规律时可以发现：①中3＝2 2－1；②中8＝3 2－1；③中15＝4 2－1；④中24＝5 2－1．这样就可以统一用含n 的式子表示出来．解：（1）①√；②√；③√；④√．（2）12-+n n n ＝n 12-n n．其中n 为大于1的自然数． （3）12-+n n n ＝123-n n ＝122-⋅n n n ＝n 12-n n ． 说明：本题虽然需要说明所写式子的正确性，但本题主要考查学生的合情推理能力，即用含有n 的式子将规律表示出来．例3．下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n (n ＞1)盆花，每个图案花盆的总数是S ．按此规律推断，S 和n 的关系式是 ．（2000年山西省中考试题）分析：由正三角形每条边的花盆数n 与花盆的总数S 之间的关系，可以看出S 总是比n 的3倍少3． 解：S ＝3n －3．说明：本题的答案不唯一，其它形式也可以． 例4． 如图4—2所示，在△ABC 中，BC ＝a ，若D 1、E 1分别是AB 、AC 的中点，则D 1E 1＝a 21； 若D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则D 2E 2＝a a a 43)2(21=+； 若D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点，则D 3E 3＝a a a 87)43(21=+；…………若D n 、E n 分别是D 1-n B 、E 1-n C 的中点，则D n E n ＝ （n ≥1，且n 为整数）．（2001年山东省济南市中考试题）分析：因为12121=；2221243-=；3321287-=；……，所以D n E n 也可以用含数字2的式子来表示．解：D n E n ＝11212---n n （n ≥1，且n 为整数）．说明：寻找数字规律，应把已给的数写成有规律的一组数．n ＝2，S ＝3 n ＝3，S ＝6 n ＝4，S ＝9例5．问题：你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方．任意一个个位数为5的自然数可写成10•n＋5，即求（10•n＋5）2的值（n为自然数）．你试分析n＝1，n＝2，n＝3，…，这些简单情况，从中探索规律，并归纳、猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）．（1）通过计算，探索规律：152＝225可写成100×1（1＋1）＋25，252＝625可写成100×2（2＋1）＋25，352＝1225可写成100×3（3＋1）＋25，452＝2025可写成100×4（4＋1）＋25，……752＝5625可写成，852＝7225可写成，……（2）从第（1）的结果，归纳、猜想得：（10n＋5）2＝．（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952＝．（1999年福建省三明市中考试题）分析：在对这些式子进行规律探索的时候，要找出哪些数是不变的，哪些数是随式子的序号变化而逐步变化的．然后就可以用n来表示这些逐步变化的数．解：（1）100×7（7＋1）＋25；100×8（8＋1）＋25．(2)100n2＋100n＋25100n（n＋1）＋25．(3) 100×199（199＋1）＋25＝3980025．说明：本题不仅要求归纳猜想和探索规律，而且要运用归纳猜想得出的结论解决问题．例6．如图4—3，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P＇，使得OP·OP＇＝r 2 ，这种把点P变为点P＇的变换叫做反演变换，点P与点P＇叫做互为反演点．图4—3 图4—4（1） 如图4—4，⊙O 内外各一点A 和B ，它们的反演点分别为A ＇和B ＇．求证：∠A ＇＝∠B ； （2） 如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线l 与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是（ ）． (A)一个圆 (B)一条直线 (C)一条线段 (D)两条射线 ②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系是 ．（2001年江苏省南京市中考试题）分析：求解本题首先要理解“反演变换”的意义，并理解圆内的点的反演点在圆外，圆上的点的反演点在圆上，圆外的点的反演点在圆内；其次，第（2）题的第①小题，由于直线与圆的交点的反演点是它本身，因此只要在该直线的圆内、圆外部分各取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．另外，第（2）题的第②小题，由于直线与圆的切点的反演点是它本身，因此只要在该直线上取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．（1）证明：∵A 、B 的反演点分别是A’、B’，∴OA ·OA’＝r 2，OB ·OB’＝r 2． ∴OA ·OA’＝OB ·OB’，即''OA OBOB OA ． ∵∠O ＝∠O ，∴△ABO ∽△B’A’O ． ∴∠A’＝∠B ．． （2）解：①A ．②圆；内切．说明：本题主要考查学生通过观察、分析，从特殊的点的研究归纳、推测图形形状的合情推理能力．另外，还可以研究下列问题：如果直线⊙O’与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是什么？该图形与圆O 的位置关系是是什么？例7．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图4—5中的三角形被一个圆所覆盖，图4—6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （2）边长为1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （3）长为2cm ，宽为1cm 的矩形被两个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ， 这两个圆的圆心距是 cm.（2003年江苏省南京市中考试题）图4—5图4—6分析：本题首先要理解图形被圆所覆盖的定义，其次，可以推测正方形、等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 取最小值时，显然这个圆就是正方形、等边三角形的外接圆．而第（3）题可把长为2cm ，宽为1cm 的矩形分割成两个边长为1 cm 的正方形，根据第（1）题，不难得到结论．解：（1）22； （2）33； （3）22，1． 说明：本题的合情推理是建立在空间想象的基础上，并把问题转化为多边形的外接圆问题．另外，还可以研究下列问题：1．如果边长为1cm ，有一个锐角是60°的菱形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？2．如果上低和腰长都是1cm ，下低长是2cm 的梯形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？【习题4】1．观察下列各式，你会发现什么规律？3×5＝15，而15＝42－1； 5×7＝35，而35＝62－1；11×13＝143，而143＝122－1； ……请你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来： ．（2000年山东省济南市中考试题）2．观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1， 9×1＋2＝11， 9×2＋3＝21， 9×3＋4＝31， 9×4＋5＝41， ……猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为 ．（2003年北京市中考试题）3．观察下列各式： 1×3＝12＋2×1， 2×4＝22＋2×2， 3×5＝32＋2×3，……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： ．（2003年福建省福州市中考试题）4．观察以下等式：1×2＝31×1×2×3；1×2＋2×3＝31×2×3×4；1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5；1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝31×4×5×6；……根据以上规律，请你猜测：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝ ．（2001年山东省威海市中考试题）5．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26根据上面的排列规律，则2000应在（ ）．A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列（2001年湖北省荆州市中考试题）6．细心观察图形4—7，认真分析各式，然后解答问题． 21,21)1(12==+S ； 22,31)2(22==+S ； 23,41)3(32==+S ； ……（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；（3）求出S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2的值．（2003年山东省烟台市中考试题）7．(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点， 如图4—8，|AB |＝|OB |＝|b |＝|a －b |； 当A 、B 两点都不在原点时，①如图4—9，当点A 、B 都在原点右边时，则 |AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |； ②如图4—10，当点A 、B 都在原点左边时，则O (A ) B图4—8O B A图4—9O A B 图4—10O A 2 A 4A 1 …1 A 5S 3 S 5 S 2S 1 S 41 1 1A 6 A 3…图4—7|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －(－a )＝|a －b |；③如图4—11，当点A 、B 在原点的两边时，则 |AB |＝|OA |+|OB |＝|a |+|b |＝a +(－b )＝|a －b |. 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |.(2)回答相应问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果|AB |=2，那么x 为 ． ③当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最小值时，x 相应的取值范围是 .（2002年江苏省南京市中考试题）8．如图4—12，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是 BA 延长线上一点， AF =21AB ． （1）求证：△ABE ≌△ADF ． （2）阅读下面材料：如图4—13，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置； 如图4—14，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置； 如图4—15，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置．象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换． （3）回答下列问题：①在图4—12中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 变到 △ADF 的位置？答： ． ②指出图4—12中线段BE 与DF 之间的关系．答： ．（2000年江苏省南京市中考试题）9．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生研究这一问题时，发现了如下事实．EDCBADCBAEDCA图4—13 图4—14 图4—15FABC D E图4—12OA B a 图4—11图4—16E A B C O D图4—17 B C A D EOB C A 图4—18 D E O C A 图4—19 D F EO①当11121+==AC AE 时，有21232+==AD AO （如图4－16）； ②当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO （如图4－17）； ③当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO （如图4－18）． 在图4－19中，当n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）．（2001年河北省中考试题）10．某厂要制造能装250毫升(1毫升＝1厘米3 )饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部的厚度都是0.02厘米，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“呯”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来．设一个底面半径是x 厘米的易拉罐的用铝量是y 厘米3． （1）利用用铝量＝底圆面积×底部厚度＋顶圆面积×顶部厚度＋侧面积×侧壁厚度)求y 与x 之间的函数关系式；（2②根据上表推测：要使用铝量y （厘米）的值尽可能小，底面半径x （厘米）的值所在范围是( )．A ．1.6≤x ≤2.4B ．2.4＜x ＜3.2C ．3.2≤x ≤4（2002年江苏省南京市中考试题）11．如图20，正方形ABCD 和正方形EFGH 对角线BD 、FH 都在直线l 上．O 1、O 2 分别是正方形的中心，O 1D ＝2，O 2F ＝1，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距．．．．当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变．（1）当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2 ＝ ． （2）随着中心O 2在直线l 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程 ）．（2003年江苏省徐州市中考试题）图4—20【习题4】1．解：（2n －1）（2n ＋1）＝（2n ）2－1． 2．解：9（n －1）＋n ＝10（n －1）＋1． 3．解： n （n ＋2）＝n 2 ＋2n ．4．解：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝31×n ×（n ＋1）×（n ＋2）．5．解：选C ．6．解：（1）2,11)(2nS n n n =+=+． （2）∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…， ∴OA 10＝10．（3）S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2＝2)21(＋2)22(＋2)23(＋…＋2)210(＝41（1＋2＋3＋…＋10） ＝455． 7．解：（1）3，3，4；（2）∣x ＋1∣，－3或1； （3）－1≤x ≤2． 8．解：（1）证明：在正方形ABCD 中， ∵ AB=AD ，AD ⊥AB ， ∴∠BAE =∠DAF =90°．∵AE =21AD ，AF =21AB ， ∴AE =AF ．∴△ABE ≌△ADF ．（3）①答：△ABE 绕点A 逆时针旋转90度到△ADF 的位置． ②答：BE =DF ，且BE ⊥DF ．9．解：根据题意，可以猜想：当n AC AE +=11时，有n AD AO +=22成立． 证明：过D 作DF ∥BE 交AC 于点F ．∵D 是BC 的中点， ∴F 是EC 的中点． ∵n AC AE +=11， ∴n EC AE 1=． ∴nEF AE 2=．∴nAF AE +=22． ∵DF ∥BE ， ∴nAF AE AD AO +==22． 10．解：（1）解：222250202.0302.0xx x x y ππππ⋅+⋅⋅+⋅=·0.02 =xx 102522+π． （2）B ．11．解：．（1）2，1． （2）3．（3）①当1＜O 1O 2＜3时，两个正方形有2个公共点；②当O 1O 2＝1时，两个正方形有无数个公共点；③当O 1O 2 ＜1，或O 1O 2＞3时，两个正方形没有公共点．。
阅读理解及定义型问题(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
阅读理解及定义型问题--中考数学重难点题型专题汇总1．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数,a b ，如果满足2323a b a b ++=+，那么我们称这一对数,a b 为“相随数对”，记为(),a b ．若(),m n 是“相随数对”，则()323[]21m m n ++-=（）A．2-B．1-C．2D．3【答案】A 【分析】先根据新定义，可得9m+4n=0，将整式()21]2[33m m n ++-去括号合并同类项化简得942m n +-，然后整体代入计算即可．【详解】解：∵(),m n 是“相随数对”，∴2323m n m n ++=+，整理得9m+4n=0，()323213642942[]2m m n m m n m n ++-=++-=+-=-．故选择A．【点睛】本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键．2．（山东省菏泽市2021年中考数学真题）定义：[],,a b c 为二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的特征数，下面给出特征数为[],1,2m m m --的二次函数的一些结论：①当1m =时，函数图象的对称轴是y 轴；②当2m =时，函数图象过原点；③当0m >时，函数有最小值；④如果0m <，当12x >时，y 随x 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②③．【分析】利用二次函数的性质根据特征数[],1,2m m m --，以及m 的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．【详解】解：当1m =时，把1m =代入[],1,2m m m --，可得特征数为[]1,0,1∴1a =，0b =，1c =，∴函数解析式为21y x =+，函数图象的对称轴是y 轴，故①正确；当2m =时，把2m =代入[],1,2m m m --，可得特征数为[]2,1,0-∴2a =，1b =-，0c =，∴函数解析式为22y x x =-，当0x =时，0y =，函数图象过原点，故②正确；函数()()212y mx m x m =+-+-当0m >时，函数()()212y mx m x m =+-+-图像开口向上，有最小值，故③正确；当0m <时，函数()()212y mx m x m =+-+-图像开口向下，对称轴为：1121112222m m m x m m --=-==->∴12x >时，x 可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故答案是：①②③．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．3．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：{}()min ,()a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（）A．0B．2C．3D．4【答案】C 【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．【详解】令(),y min a b =,当2123x x x +≤-++时，即220x x --≤时，1y x =+，令22w x x =--，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当0w ≤时，12x -≤≤，∴1y x =+（12x -≤≤），∵y 随x 的增大而增大，∴当x=2时，3y =最大；当2123x x x +>-++时，即220x x -->时，2y x 2x 3=-++，令22w x x =--，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当0w >时，2x >或1x <-，∴2y x 2x 3=-++（2x >或1x -），∵2y x 2x 3=-++的对称轴为x=1，∴当2x >时，y 随x 的增大而减小，∵当x=2时，2y x 2x 3=-++=3，∴当2x >时，y<3；当1x <-，y 随x 的增大而增大，∴当x=-1时，2y x 2x 3=-++=0；∴当1x <-时，y<0；综上，()2min 123y x x x =+-++，的最大值为3．故选C．【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．4．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数y ax b =+的特征数为[],a b ，若一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=-的图象交于A，B 两点，且点A，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =-+的特征数是（）A．[]2,3B．[]2,3-C．[]2,3-D．[]2,3--【答案】D 【分析】先求出平移后的直线解析式为23y x m =-++，根据与反比例函数3y x=-的图象交于A，B 两点，且点A，B 关于原点对称，得到直线23y x m =-++经过原点，从而求出m，根据特征数的定义即可求解．【详解】解：由题意得一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后解析式为23y x m =-++，∵直线23y x m =-++与反比例函数3y x=-的图象交于A，B 两点，且点A，B 关于原点对称，∴点A，B，O 在同一直线上，∴直线23y x m =-++经过原点，∴m+3=0，∴m=-3，∴一次函数2y x m =-+的解析式为23y x =--，∴一次函数2y x m =-+的特征数是[]2,3--．故选：D 【点睛】本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A，B 关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：,,a a b a b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，则不等式(21)(2)3x x +*->的解集是（）A．1x >或13x <B．113x -<<C．1x >或1x <-D．13x >或1x <-【答案】C 【分析】根据新定义运算规则，分别从212x x +≥-和212x x +<-两种情况列出关于x 的不等式，求解后即可得出结论．【详解】解：由题意得，当212x x +≥-时，即13x ≥时，(21)(2)21x x x +*-=+，则213x +>，解得1x >，∴此时原不等式的解集为1x >；当212x x +<-时，即13x <时，(21)(2)2x x x +*-=-，则23x ->，解得1x <-，∴此时原不等式的解集为1x <-；综上所述，不等式(21)(2)3x x +*->的解集是1x >或1x <-．故选：C．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x 的不等式．6．（2021·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q ，有[][],,m p q n mn pq =+※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[][]2,34,5253422=⨯+⨯=※．若关于x 的方程[]21,52,0x x k k ⎡⎤⎣⎦+-=※有两个实数根，则k 的取值范围是（）A．54k <且0k ≠B．54k ≤C．54k ≤且0k ≠D．54k ≥【答案】C 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x 的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．【详解】解：∵[x 2+1，x]※[5−2k，k]=0，∴()()21520k x k x ++-=．整理得，()2520kx k x k +-+=．∵方程有两个实数根，∴判别式0≥ 且0k ≠．由0≥ 得，()225240k k --≥，解得，54k ≤．∴k 的取值范围是54k ≤且0k ≠．故选：C 【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．7．（广西贵港市2021年中考数学真题）我们规定：若()()1122,,,a x y b x y →→==，则1212a b x x y y →→⋅=+．例如(1,3),(2,4)a b →→==，则123421214a b →→⋅=⨯+⨯=+=．已知(1,1),(3,4)a x x b x →→=+-=-，且23x -，则a b →→⋅的最大值是________．【答案】8【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x 的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．【详解】解：根据题意知：2(1)(3)4(1)(1)8a b x x x x ⋅=+-+-=+-．因为23x -≤≤，所以当3x =时，2(31)88a b ⋅=+-=．即a b ⋅的最大值是8．故答案是：8．【点睛】本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值．8．（2021·湖北中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：22a b a b ab ⊗=+-，若()13x x ⊗-=，则x 的值为________．【答案】1-或2【分析】根据新定义的运算得到()()()221113x x x x x x ⊗-=+---=，整理并求解一元二次方程即可．【详解】解：根据新定义内容可得：()()()221113x x x x x x ⊗-=+---=，整理可得220x x --=，解得11x =-，22x =，故答案为：1-或2．【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．9．（2019·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数y＝14x 2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y＝－1于点Q，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是．（填序号）【答案】①④【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ 满足MN∥PQ，设P(m，0)（m＞0），∵PM＝＝214m ＋1，PQ＝214m －(－1)＝214m ＋1，∴PM＝PQ，故四边形PMNQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④．10．（2019·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．【答案】85或14．【解析】当∠A 是顶角时，底角是50°，则k=808505= ；当∠A 是底角时，则底角是20°，k=201804= ，故答案为：85或14．11．（2019•济宁）阅读下面的材料：如果函数y=f（x）满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2，（1）若x 1<x 2，都有f（x 1）<f（x 2），则称f（x）是增函数；（2）若x 1<x 2，都有f（x 12f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）=6x（x＞0）是减函数．证明：设0<x 1<x 2，f（x 1）–f（x 2）=()212112121266666x x x x x x x x x x ---==．∵0<x 1<x 2，∴x 2–x 1＞0，x 1x 2＞0．∴()21126x x x x -＞0．即f（x 1）–f（x 2）＞0．∴f（x 1）＞f（x 2），∴函数f（x）═6x（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）=21x+x（x<0），f（–1）=21(1)-+（–1）=0，f（–2）=21(2)-+（–2）=–74．（1）计算：f（–3）=__________，f（–4）=__________；（2）猜想：函数f（x）=21x +x（x<0）是__________函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【答案】（1）–269，–6316；（2）增；（3）见解析．【解析】（1）∵f（x）=21x+x（x<0），∴f（–3）=21(3)-–3=–269，f（–4）=21(4)-–4=–6316，故答案为：–269，–6316；（2）∵–4<–3，f（–4）＞f（–3），∴函数f（x）=21x +x（x<0）是增函数，故答案为：增；（3）设x 1<x 2<0，∵f（x 1）–f（x 2）=12221211x x x x +--=（x 1–x 2）（1–122212x x x x +）∵x 1<x 2<0，∴x 1–x 2<0，x 1+x 2<0，∴f（x 1）–f（x 2）<0，∴f（x 1）<f（x 2），∴函数f（x）=21x+x（x<0）是增函数．【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．12．（2022·四川凉山）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a-，x 1x 2＝c a材料2：已知一元二次方程x 2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m 2n＋mn 2的值．解：∵一元二次方程x 2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m 2n＋mn 2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x 2－3x－1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝；x 1x 2＝．(2)类比应用：已知一元二次方程2x 2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求n mm n+的值．(3)思维拓展：已知实数s、t 满足2s 2－3s－1＝0，2t 2－3t－1＝0，且s≠t，求11s t-的值．【答案】(1)32；12-(2)132-或【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出32m n +=，12mn =-，然后将n mm n +进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出32s t +=，12st =-，然后求出s-t 的值，然后将11s t -进行变形求解即可．【解析】(1)解：∵一元二次方程2x 2-3x-1＝0的两个根为x 1，x 2，∴123322b x x a -+=-=-=，1212c x x a ⋅==-．故答案为：32；12-．(2)∵一元二次方程2x 2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴3322b m n a -+=-=-=，12c mn a ==-，∴22n m m n m n mn ++=()22m n mn mn +-=23122212⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-132=-(3)∵实数s、t 满足2s 2-3s-1＝0，2t 2-3t-1＝0，∴s、t 可以看作方程2x 2-3x-1＝0的两个根，∴3322b s t a -+=-=-=，12c st a ==-，∵()()224t s t s st -=+-231422⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭924=+174=∴2t s -=或2t s -=-，当2t s -=时，11212t s s t st --===-当2t s -=时，11212t s s t st --===-11s t -或【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出2t s -=或2t s -=-，是解答本题的关键．13.（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn ，易知mn =10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc =100a+10b+c．【基础训练】（1）解方程填空：①若2x +3x =45，则x=__________；②若7y –8y =26，则y=__________；③若93t +58t =131t ，则t=__________；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm ，则mn +nm 一定能被__________整除，mn –nm 一定能被__________整除，mn •nm –mn 一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；②设任选的三位数为abc （不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．【答案】（1）①2．②4．③7．（2）11；9；10．【解析】（1）①∵mn =10m+n，∴若2x +3x =45，则10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为：2．②若7y–8y=26，则10×7+y–（10y+8）=26，解得y=4，故答案为：4．③由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若93t+58t=131t，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案为：7．（2）∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），∴则mn+nm一定能被11整除，∵mn–nm=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），∴mn–nm一定能被9整除．∵mn•nm–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）∴mn•nm–mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，972–279=693，963–369=594，954–459=495，954–459=495，…故答案为：495．②当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，∴a–c≤9，∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，故都可以得到该黑洞数495．【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．14．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．【答案】（1）22B C ；（2）t =min 1OA =时，此时BC =；当max 2OA =时，此时2BC =．【分析】（1）以点A 为圆心，分别以112233,,,,,AB AC AB AC AB AC 为半径画圆，进而观察是否与O 有交点即可；（2）由旋转的性质可得AB C ''△是等边三角形，且B C ''是O 的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，则可知,B C ''都在O 上，且1,2AB AB AC AC ''====，然后由题意可根据图象来进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段22B C 能绕点A 旋转90°得到O 的“关联线段”，1133,B C B C 都不能绕点A 进行旋转得到；故答案为22B C ；（2）由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C ''△是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C ''与y 轴的交点为D，连接OB '，易得B C y ''⊥轴，∴12B D DC ''==，∴2OD ==，2AD ==，∴OA =∴t =；当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的OA =∴t =；（3）由BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，则可知,B C ''都在O 上，且1,2AB AB AC AC ''====，则有当以B '为圆心，1为半径作圆，然后以点A 为圆心，2为半径作圆，即可得到点A 的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A 也在O 上时为最小，最小值为1，此时AC '为O 的直径，∴90AB C ''∠=︒，∴30AC B ''∠=︒，∴cos30BC B C AC '''==⋅︒=；由以上情况可知当点,,A B O '三点共线时，OA 的值为最大，最大值为2，如图所示：连接,OC B C '''，过点C '作C P OA '⊥于点P，∴1,2OC AC OA ''===，设OP x =，则有2AP x =-，∴由勾股定理可得：22222C P AC AP OC OP '''=-=-，即()222221x x --=-，解得：14x =，∴4C P '=，∴34B P OB OP ''=-=，在Rt B PC '' 中，2B C ''==，∴2BC =；综上所述：当min 1OA =时，此时BC =；当max 2OA =时，此时2BC =．【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．15．（江苏省南通市2021年中考数学试题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数22,y x y x x =+=-的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数3(0),y x y x b x=>=-+的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C．当ABC 的面积为3时，求b 的值；（3）若函数22()y x x m =-≥的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当12,W W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”；函数2y x x =-的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）b =-；（3）98m <-或12m -<<．．【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；（2）根据定义分别求)，B(2b ，2b )，利用三角形面积公式列出方程求解即可；（3）由记函数y=x 2-2（x≥m）的图象为W 1，将W 1沿x=m 翻折后得到的函数图象记为W 2，可得W 1与W 2的图象关于x=m 对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，∴函数y=x+2没有“等值点”；∵函数2y x x =-，令y=x，则2x x x -=，即()20x x -=，解得：1220x x ==，，∴函数2y x x =-的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）∵函数3y x=，令y=x，则23x =，解得：x =(负值已舍)，∴函数3y x =的“等值点”为)；∵函数y x b =-+，令y=x，则x x b =-+，解得：2b x =，∴函数y x b =-+的“等值点”为B(2b ，2b )；ABC 的面积为11•••32222B A b b BC x x -=，即2240b --=，解得：b =-；（3）将W 1沿x=m 翻折后得到的函数图象记为W 2．∴W 1与W 2两部分组成的函数W 的图象关于x m =对称，∴函数W 的解析式为()()22222()y x x m y m x x m ⎧=-≥⎪⎨=--<⎪⎩，令y=x，则22x x -=，即220x x --=，解得：1221x x ==-，，∴函数22y x =-的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；令y=x，则2(2)2m x x --=，即()2241420x m x m -++-=，当2m ≥时，函数W 的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；当12m -<<时，观察图象，恰有2个“等值点”；当1m <-时，∵W 1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，∴函数W 2没有“等值点”，∴()()224141420m m ⎡⎤=-+-⨯⨯-<⎣⎦ ，整理得：890m +<，解得：98m <-．综上，m 的取值范围为98m <-或12m -<<．【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．16.（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满是x=3a c +，y=3b d +，那么称点T是点A，B的融合点。
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一、选择题1．（2010广东广州，10，3分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10 除以26 后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s 对应密文c字母a b c d e f g h i j k l m序号012345678910 11 12字母n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc【答案】A2．（2010湖北荆州）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E（x，x 2 - 2x + 1 ）可以由E（x，x 2 ）怎样平移得到？A．向上平移１个单位B．向下平移１个单位C．向左平移１个单位D．向右平移１个单位【答案】D二、填空题1．（2010山东临沂）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a, b, c, d 对应密文a + 2b, 2b +c, 2c + 3d , 4d .例如，明文1, 2, 3, 4 对应密文5, 7,18,16 .当接收方收到密文14, 9, 23, 28 时，则解密得到的明文为.【答案】6，4，1，72．（2010广东珠海）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101),2换算成十进制数应为：(1011)2(101)= 1⨯ 22 + 0 ⨯ 21 + 1⨯ 20 = 4 + 0 + 1 = 52= 1⨯ 23 + 0 ⨯ 22 + 1⨯ 21 + 1⨯ 20 = 11(1011)2按此方式，将二进制(1001)换算成十进制数的结果是.2【答案】93．（2010山东荷泽）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a,b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a2＋b－1,例如把（3，－2）放入其中，就会得到32＋（－2）－1＝6．现将实数对（－2，－3）放入其中，得到实数是．【答案】04．（2010贵州铜仁）定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy－1，则(2@3)@4＝．3n5 n n 【答案】195．（2010 广东湛江）因为 cos 302，cos 210°=2，所以 cos 210°=cos （180°+30°）＝﹣cos 30°2 ，因为 cos 452 ，cos 225°2，所以 cos 225°＝cos（180°+45°2，猜想：一般地，当α为锐角时，有 cos （180°+α）＝﹣cosα，由此可知 cos 240°的值等于.【答案】：﹣126．（2010 湖南娄底）阅读材料：若一元二次方程 ax 2+b x +c=0(a ≠0)的两个实根为 x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2= －b a 根据上述材料填空：，x 1x 2= ca 已知 x 1 x 2 是方程 x 2+4x +2=0 的两个实数根，则 1 + 1=.、【答案】－2 x 1 x 27．（2010 湖北黄石）若自然数 n 使得作竖式加法 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)均不产生进位现象，则称 n 为“可连数”，例如 32 是“可连数”，因为 32＋33＋34 不产生进位现象；23 不是“可连数”， 因为 23＋24＋25 产生了进位现象，那么小于 200 的“可连数”的个数为 . 【答案】24 三、解答题1．2．（2010 四川凉山）先阅读下列材料，然后解答问题：材料 1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有 6 种不同的排法，抽象成数学问题就是从 3 个不同的元素中选取 2 个元素的排列，排列数记为 A 2= 3 ⨯ 2 = 6 。
一般地，从 n 个不同的元素中选取 m 个元素的排列数记作 A m。
m = n( n - 1)( n - 2 )( n - 3) ⋅ ⋅ ⋅ ( n - m + 1) （ m ≤ n ）例：从 5 个不同的元素中选取 3 个元素排成一列的排列数为： A 3= 5 ⨯ 4 ⨯ 3 = 60 。
材料 2：从三张不同的卡片中选取两张，有 3 种不同的选法，抽象成数学问题就是从 3 个元素中选取 2 个元素的组合，组合数为 C 2=3⨯ 2= 3 。
3 2 ⨯1n mA m一般地，从 个不同的元素中选取 个元素的排列数记作n。
m = n( n - 1)( n - 2 )( n - 3) ⋅ ⋅ ⋅ ( n - m + 1) （m ≤ n ） A A例：从6 个不同的元素选3 个元素的组合数为：C3 =6 ⨯ 5⨯ 4= 20 。
6 3⨯ 2 ⨯1问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？（2）从7 个人中选取4 人，排成一列，有多少种不同的排法？【答案】3．（2010嵊州市提前招生）(09年河北省中考试题)（12分）如图13－1至图13－4，⊙O均作无滑动滚动，⊙ O1 、⊙O2 均表示⊙ O 与线段AB、BC 或弧AB 相切于端点时刻的位置，⊙ O 的周长为c ，请阅读下列材料：①如图13－1，⊙O 从⊙O1 的位置出发，沿AB 滚动到⊙ O2 的位置，当AB＝c 时，⊙O 恰好自转1 周。
②如图13－2，∠ABC 相邻的补角是 n°, ⊙ O 在∠ABC 外部沿A－B－C 滚动，在点B 处，必须由⊙ O1 的位置转到⊙ O2 的位置，⊙ O 绕点B 旋转的角∠ O1 BO2 = n°, ⊙ O 在n点B 处自转周。
360解答以下问题：⑴在阅读材料的①中，若AB＝2 c ，则⊙O 自转周；若AB＝l ，则⊙O 自转周。
在阅读材料的②中，若∠ABC＝120°，则⊙O 在点B 处自转周；若∠ABC＝60°，则⊙O 在点B 处自转周。
⑵如图13－3，△ABC 的周长为l ，⊙ O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙ O 自转多少周？⑶如图 13－4，半径为 2 的⊙ O 从半径为 18，圆心角为 120°的弧的一个端点 A （切点） 开始先在外侧滚动到另一个端点B （切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置， ⊙ O 自转多少周？ 【答案】（1） 2, lc , 1 , 16 3（2） ⊙ O 共自转了(l1)周c（3） ⊙ O 一共自转了 7 圈4．（2010 江苏常州）小明在研究苏教版《有趣的坐标系》后，得到启发，针对正六边形 OABCDE ，自己设计了一个坐标系如图，该坐标系以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，直线 OE 为 y 轴，以正六边形 OABCDE 的边长为一个单位长。
坐标系中的任意一点 P 用一有序实数对（ a , b ）来表示，我们称这个有序实数对（ a , b ）为点 P 的坐标。
坐标系中点的坐标的确定方法如下：（ⅰ） x 轴上点 M 的坐标为（ m , 0 ），其中 m 为 M 点在 x 轴上表示的实数；（ⅱ） y 轴上点 N 的坐标为（ 0, n ），其中 n 为 N 点在） y 轴上表示的实数；（ⅲ）不在 x 、 y 轴上的点 Q 的坐标为（ a , b ），其中 a 为过点 Q 且与 y 轴平行的直线与 x 轴的交点在 x 轴上表示的实数， b 为过点 Q 且与 x 轴平行的直线与 y 轴的交点在 y 轴上表示的实数。
则：（1）分别写出点 A 、B 、C 的坐标 （2） 标出点 M （2，3）的位置；（3） 若点 K (x , y ) 为射线 OD 上任一点，求 x 与 y 所满足的关系式。
【答案】yBP 2OCxP 15．（2010 四川内江）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中,任意两点 P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)的对称中心的坐标为（x 1＋x 2y 1＋y 2）. ，2 2 观察应用：（1） 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 1(0，－1)、P 2(2，3)的对称中心是点 A ，则点A 的坐标为 ；（2） 另取两点 B (－1.6，2.1)、C (－1，0).有一电子青蛙从点 P 1 处开始依次关于点 A 、B 、C 作循环对称跳动，即第一次跳到点 P 1 关于点 A 的对称点 P 2 处，接着跳到点 P 2 关于点 B 的对称点 P 3 处，第三次再跳到点 P 3 关于点 C 的对称点 P 4 处，第四次再跳到点 P 4 关于点 A 的对称点 P 5 处，…．则 P 3、P 8 的坐标分别为 ， ;拓展延伸：（3） 求出点 P 2012 的坐标，并直接写出在 x 轴上与点 P 2012、点 C 构成等腰三角形的点的坐标.【答案】解：设 A 、P 3、P 4、…、P n 点的坐标依次为(x ，y )、(x 3，y 3)、(x 4，y 4)、…、(x n ， y n )(n ≥3，且为正整数).（1）P 1(0，－1)、P 2(2，3)，∴x 0＋2 －1＋3 ＝ ＝1，y ＝ 2 ＝1，2∴A （1，1） ································ 2 分。