九年级(上)期中数学试卷解析
2024-2025学年辽宁省大连市沙河口区九年级(上)期中数学试卷(含详解)
2024-2025学年辽宁省大连市沙河口区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
）1．（3分）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）A．开口向上B．对称轴是直线x＝﹣1C．有最小值2D．顶点坐标是（1，2）2．（3分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）A．（4，﹣1）B．（﹣，1）C．（﹣4，﹣1）D．（，2）3．（3分）平面内，若⊙O的半径为，OP＝2，则点P在（ ）A．圆内B．圆上C．圆外D．圆内或圆外4．（3分）将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）A．y＝﹣（x+2）2B．y＝﹣（x+2）2+2C．y＝﹣（x﹣2）2+2D．y＝﹣（x﹣2）25．（3分）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）A．图象经过点（1，﹣3）B．图象位于第二、四象限C．图象关于直线y＝x对称D．y随x的增大而增大6．（3分）如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB＝55°，则∠ADC的度数是（ ）A．25°B．55°C．45°D．27.5°7．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣a+1的顶点在x轴上，则a的值是（ ）A．﹣2B．C．﹣1D．18．（3分）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（ ）A．B．6cm C．8cm D．8.4cm9．（3分）如图是嘉淇某次实验中的情形，左侧每个钩码的质量均为2kg，杠杆总长30cm，其余数据如图所示，此时杠杆处于平衡状态，则y与x的函数图象可能是（ ）A．B．C．D．10．（3分）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（ ）A．B．12cm C．D．14cm二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）新学期开始时，有一批课本要从A城市运到B县城已知两地路程为500千米，车速为每小时x千米，若从A城市到B县城所需时间为y小时，则y与x的函数关系式是 ．12．（3分）若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的侧面积为 ．13．（3分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为 cm．（结果保留π）14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y＝2，与二次函数y＝x2和y＝ax2分别交于A、B和C、D四个点，若CD＝2AB，则a的值是 ．15．（3分）如图是二次函数y＝x2+bx﹣1的图象，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解，则t的取值范围是 ．三、解答题（本大题含8道小题，共75分）16．（10分）如图，反比例函数（k为常数，且k≠0）与一次函数y＝x+1的图象相交于点A（2，m）、B两点．（1）求m和k的值；（2）求点B的坐标．17．（8分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点为A，与x轴的一个交点为B，直线y2＝kx+b（k≠0）与抛物线交于A，B两点．（1）写出不等式kx+b＞ax2+bx+c中x的取值范围；（2）若方程ax2+bx+c＝m有两个不相等的实数根，求m的取值范围．18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，BC∥x轴，AB＝1，，AD＝2．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数的图象上，得矩形A'B'C'D'，求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．20．（8分）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF 的长．21．（8分）问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网AB与y 轴的水平距离OA＝3m，击球点P在y轴上．击球方案：扣球羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系C1：y＝﹣0.4x+b，当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m．吊球羽毛球的飞行高度y （m ）与水平距离x （m ）近似满足二次函数关系C 2，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米．高远球羽毛球的飞行高度y （m ）与水平距离x （m ）近似满足二次函数关系C 3：y ＝a （x ﹣n ）2+h ，且飞行的最大高度在4.8m 和5.8m 之间．探究：（1）求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式；（2）①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB 的高度为多少；②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离；（3）通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P 保持不变，接球人站在离球网4m 处，他可前后移动各1m ，接球的高度为2.8m ，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a 的取值范围．22．（12分）【背景素材】预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y （mg ）与释放时间x （min ）成一次函数；释放后，y 与x 成反比例如图所示，且2min 时，室内每立方米空气中的含药量y （mg ）达到最大值．某兴趣小组记录部分y （mg ）与x （min ）的测量数据如表．满足的自变量x （min ）的取值范围为有效消毒时间段．x …0.51 1.52 2.53…y…2.533.543.22.…【解决问题】（1）求y 关于x 的函数表达式．（2）求“药熏消毒”的有效消毒时间．（3）若在实际生活中有效消毒时间段要求满足m ≤x ≤3m ，其中m 为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段．23．（13分）抛物线，直线l的解析式为y2＝（k﹣1）x+2m﹣k+2．（1）若抛物线经过点（0，﹣3），求抛物线的顶点坐标；（2）探究抛物线y1与直线l的交点情况并说明理由；（3）若抛物线经过点（x0，﹣4），且对于任意实数x满足两个条件：①不等式x2+（2m﹣1）x﹣2m≥﹣4都成立；②当k﹣2≤x≤k时，抛物线的最小值为2k+1．求直线l的解析式．2024-2025学年辽宁省大连市沙河口区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
2024年九年级数学上册期中考试试卷分析总结范本(2篇)
2024年九年级数学上册期中考试试卷分析总结范本本次九年级数学上册期中考试试卷的内容涵盖了数与式、代数计算、方程与不等式、平面图形等多个知识点。
试卷总分为100分，满分时间为120分钟。
下面对试卷进行详细的分析总结。
一、数与式部分数与式部分主要考察学生对数的性质、运算和计算能力。
试卷中包括有理数加减乘除、整式的运算、数的开方、无理数的性质等。
试卷中的选择题主要考察学生对数与式的概念和性质的理解。
例如，第一题要求选择下列数中“既是无理数又是实数”的是（A）-1.5，（B）0.09，（C）-√7，（D）-1/3。
这道题考察了学生对无理数和实数的定义的理解，并要求学生能正确判断。
计算题主要考察学生的计算能力和运算规则的应用。
例如，第五题要求计算√(2+√3) - √(2-√3)的值。
这道题需要学生能正确运用无理数的性质和开方的运算法则，进行计算。
总体上，数与式部分的试题难度适中，能够考查学生对数与式的基本概念和性质的理解，以及能否正确运用运算规则进行计算。
二、代数计算部分代数计算部分主要考察学生对代数式的运算和因式分解的能力。
试卷中包括多项式的加减乘除、配方法的运用、公式代入计算等。
选择题主要考察学生对代数式的理解和处理能力。
例如，第六题要求从√(a-b)x^2+x(b-a)中找出一值代入x=-1后等于0的值。
这道题考察了学生对代数式的因式分解和值代入的能力。
计算题主要考察学生的计算和推导能力。
例如，第十题要求将3(x+2)-5(x-1)化简为最简形式。
这道题需要学生能正确运用分配律和合并同类项的规则进行计算。
总体上，代数计算部分的试题难度适中，能够考查学生对代数式的基本概念和运算规则的理解，以及能否运用这些规则进行计算和推导。
三、方程与不等式部分方程与不等式部分主要考察学生解方程和不等式的能力。
试卷中包括一元一次方程的解、方程的实际应用、不等式的解集表示等。
选择题主要考察学生对方程和不等式的理解和处理能力。
九年级(上)期中数学试卷附答案解析
九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=02．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（）A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：25．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形 C．矩形 D．正方形6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（）A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=5127．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处 B．P处C．Q处 D．M处9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为．14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC=cm．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．（只要写出一种）16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（填序号）三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）17．解下列方程：（1）x2﹣2x=0（2）2（x+1）2﹣8=0（3）x2﹣4x+3=0（4）（2x+1）2=3（2x+1）18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD=EC；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB=AO，求的值．21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF ⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；B、不是整式方程，故错误．C、方程二次项系数可能为0，故错误；D、方程含有两个未知数，故错误；故选A．2．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】利用菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，是假命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；C、对角线互相平分且相等、垂直的四边形是正方形，故错误，是假命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，故选B．3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%【考点】频数与频率．【分析】根据频率=频数÷数据总数，分别求出出现正面，反面的频率．【解答】解：∵某人抛硬币抛10次，其中正面朝上4次，反面朝上6次，∴出现正面的频率为=40%；出现反面的频率为60%．故选：D．4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（）A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：2【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比是进行解答即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，（AC＞BC），∴AC=AB，∴AC：AB=（﹣1）：2．故选：C．5．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形 C．矩形 D．正方形【考点】中点四边形．【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH 为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．【解答】解：菱形，理由为：如图所示，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，且EF=HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵EH=BD，AC=BD，∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形，故选B6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（）A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=512【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用800（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为800﹣800x%=800（1﹣x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为800（1﹣x%）﹣800（1﹣x%）x%=800（1﹣x%）2．∴800（1﹣x%）2=512．故选C．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到∴=，则EC=2AE=8，然后计算AE+EC即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴EC=2AE=8，∴AC=AE+EC=4+8=12（cm）．故选D．8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处 B．P处C．Q处 D．M处【考点】动点问题的函数图象．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；到Q点以后，面积y开始减小；故当x=9时，点R应运动到Q处．故选C．9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE ∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC ∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE ∽△ABC，故本选项不符合题意；故选：B．10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，∴≤k＜，且k≠0．故选：D．二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是16．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的对应边的比相等可得．【解答】解：两个相似的六边形，一个最短边长是3，另一个最短边长为6，则相似比是3：6=1：2，根据相似六边形的对应边的比相等，设后一个六边形的最大边长为x，则8：x=1：2，解得：x=16．即后一个六边形的最大边长为16．故答案为16．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是﹣1．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．∴a2﹣1=0，且a≠1．解得a=﹣1．故答案是：﹣1．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为4cm．【考点】比例线段．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad=cb，代入a=3cm，b=2cm，c=6cm，解得：d=4，则d=4cm．故答案为：4cm．14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC=6cm．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD．【解答】解：∵BD是斜边AC上的中线，∴AC=2BD=2×3=6cm．故答案为：6．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB．（只要写出一种）【考点】相似三角形的判定．【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．【解答】解：∵∠DAC=∠CAB∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是①④（填序号）【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【分析】由条件可得∠APE=30°，则∠PEF=∠BEF=60°，可得EF=2BE，PF=PE，EF=2BE=4EQ，从而可判断出正确的结论．【解答】解：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP，∵AE=AB，∴BE=PE=2AE，∴∠APE=30°，∴∠PEF=∠BEF=60°，∴∠EFB=∠EFP=30°，∴EF=2BE，PF=PE，∴①正确，②不正确；又∵EF⊥BP，∴EF=2BE=4EQ，∴③不正确；又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，∴△PBF为等边三角形，∴④正确；所以正确的为①④，故答案为：①④．三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）17．解下列方程：（1）x2﹣2x=0（2）2（x+1）2﹣8=0（3）x2﹣4x+3=0（4）（2x+1）2=3（2x+1）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）移项后分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2；（2）2（x+1）2﹣8=0，2（x+1+2）（x+1﹣2）=0，x+1+2=0，x+1﹣2=0，x1=﹣3，x2=1；（3）x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0，x﹣1=0，x1=3，x2=1；（4）（2x+1）2=3（2x+1），（2x+1）2﹣3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1﹣3）=0，2x+1=0，2x+1﹣3=0，x1=﹣，x2=1．18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．【分析】（1）根据三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，再根据概率公式即可求出答案；（2）根据题意列出图表，再根据概率公式求出和为7和和为10的概率，即可得出游戏的公平性．【解答】解：（1）∵三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，∴从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为：；故答案为：；（2）根据题意列表如下：2 5 52 （2，2）（4）（2，5）（7）（2，5）（7）5 （5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）5 （5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）∵共有9种可能的结果，其中数字和为7的共有4种，数字和为10的共有4种，∴P（数字和为7）=，P（数字和为10）=，∴P（数字和为7）=P（数字和为10），∴游戏对双方公平．20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD=EC；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB=AO，求的值．【考点】四边形综合题；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．【分析】（1）先判定四边形ABDE为平行四边形，再判定四边形ADCE为平行四边形，即可得出AD=EC；（2）根据四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，即可得出平行四边形ADCE为菱形；（3）先判定OD为△ABC的中位线，得出，再根据AB=AO，得出即可．【解答】解：（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE=BD，∵在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，∴AD=CD=BD，∴AE=CD，又∵AE∥CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∴AD=EC；（2）由（1）可知，四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，∴平行四边形ADCE为菱形；（3）∵四边形ADCE为平行四边形，∴AC与ED互相平分，∴点O为AC的中点，∵AD是边BC上的中线，∴点D为BC边中点，∴OD为△ABC的中位线，∴，∵AB=AO，∴，即的值为．21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．【解答】解：设每件童装应降价x元，则（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以x只取20．答：每件童装应降价20元．22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF ⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由AD：AB=1：1可以得出四边形ABCD是正方形，由其性质就可以得出△ABF≌△ADE，从而得出AF=AE，得出△AEF的形状；（2）根据条件可以得出△ABF∽△ADE，由相似三角形的性质就可以得出结论；（3）如图3，当△AEG是等边三角形时，由勾股定理就可以表示出AG、AE、FG，BG的值建立方程求出k值，就可以求出DE的长度．【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形理由：如图1，∵AD：AB=1：1，∴AD=AB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°．∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠BAD，∴∠FAE﹣∠BAE=∠BAD﹣∠BAE，即∠BAF=∠DAE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE，∴△AEF为等腰直角三角形；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠BAD，∴△ABF∽△ADE，∴．∵，∴，即AF=2AE；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∵△AEG是等边三角形，∴AE=AG，∠GAE=∠AEG=60°．∴∠FAG=∠DAE=∠AFE=30°，∴AG=FG．∵AB=3，AD：AB=k，∴AD=3k．在Rt△ADE中由勾股定理，得DE=k，AE=2k，∴AG=FG=2k，∴BG=k．∵AB=3，∴GB=3﹣2k，∴k=3﹣2k，解得：k=，∴DE=1．答：k=，DE=1．。
山东省临沂市兰陵县2024届九年级上学期期中阶段质量调研数学试卷(含部分解析)
2023－2024学年度上学期阶段质量调研九年级数学一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分在每小题所给的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．用配方法解一元二次方程26100x x --=时，下列变形正确的为（）A ．()231x +=B ．()231x -=C ．()2319x +=D ．()2319x -=3．对于二次函数()21234y x =---，下列说法正确的是（）A ．开口向上B ．对称轴为2x =C ．图象的顶点坐标为()2,3--D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大4．若关于x 的方程220x x n --=没有实数根，则n 的值可能是（）A ．1-B ．0C ．1D ．5．如图，AB 是O 的直径，50BAC ∠=︒，则D ∠=（）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒6．在如图44⨯的正方形网格中，MNP △绕某点旋转一定的角度，得到111M N P △，则其旋转中心可能是（）（第6题）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D7．如果二次函数2y ax c =+的图象如图所示，那么一次函数y ax c =+的图象大致是（）（第7题）A ．B ．C ．D ．8．如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ∠=︒，则BPC ∠的度数可能是（）A ．70︒B ．105︒C ．125︒D ．155︒9．抛物线2y x =先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，则新的抛物线式是（）A ．()253y x =-+B ．()253y x =+-C ．()253y x =--D ．()253y x =++10．若()16,A y -，()23,B y -，()31,C y 为二次函数245y x x =+-图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．312y y y <<D ．213y y y <<11．某超市1月份营业额为90万元．1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x ，则下面所列方程正确的是（）A ．()2901144x +=B ．()2901144x -=C．()9012144x +=D ．()()290190114490x x +++=-12．已知0m n >>，若关于x 的方程2230x x m +--=的解为1x ，()212x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3x ，()434x x x <．则下列结论正确的是（）A ．3124x x x x <<<B ．1342x x x x <<<C ．1234x x x x <<<D ．3412x x x x <<<二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）13．一元二次方程240x x +=的两个根是______．14．在直角坐标系中，点()1,2-关于原点对称点的坐标是______．15．半径为3的圆中，一条弦长为3，则这条弦所对的圆周角的度数是______．16．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度/C t ︒4-2-014植物高度增长量/mml 4149494625科学家经过猜想、推测出l 与t 之间是二次函数关系，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为______C ︒．17．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()3,0A -，对称轴为1x =-，给出以下结论：①0abc <②240b ac ->③40b c +<④若13,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、21,2C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭为函数图象上的两点，则12y y >⑤当31x -≤≤时，0y ≥，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）______．三、解答题（共64分）18．解方程（每小题4分，共8分）（1）2560x x --=（2）2410x x +-=19．（7分）ABC △在平面直角坐标系中的位置如图所示（一格代表一个单位长度）．（1）将ABC △向右平移5个单位长度，同时向下平移4个单位长度得到111A B C △，请在方格纸中画出111A B C △；（2）将ABC △绕点A 顺时针旋转90︒得到22AB C △，连接12AC ，直接写出12AC 的长．20．（7分）已知二次函数的解析式为243y x x =+-．（1）直接写出顶点坐标（______）；与x 交点坐标（______）；（______）；与y 轴交点坐标（______）；（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数图象的示意图．21．（8分）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020－2022年买书资金的平均增长率．22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．23．（11分）如图，将等腰ABC △绕顶点B 逆时针方向旋转α度到11A BC △的位置，AB 与11AC 相交于点D ，AC 与11AC 、1BC 分别交于点E 、F ．（1）求证：1BCF BA D ≌△△．（2）当C α∠=度时，判定四边形1A BCE 的形状并说明理由．24．（13分）如图1．对称轴为直线1x =的抛物线经过()3,0B 、()0,4C 两点，抛物线与x 轴的另一交点为A ．图1图2（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线对称轴上的一点，使PA PC +取得最小值，求点P 的坐标：（3）如图2，若M 是线段BC 上方抛物线上一动点，过点M 作MD 垂直于x 轴，交线段BC 于点D ，是否存在点M 使线段MD 的长度最大，如存在求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．九年级数学答案与解折一、选择题：相信你一定能选对!（下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，把你认为符合题意的答案代号填入答题表中，每小题3分，共42分）1．选：B ．2．解析：解：方程移项得：2610x x -=，配方得：26919x x -+=，即()2319x -=，故选：D ．3．解析：解：A 、由104a =-<知抛物线开口向下，此选项错误；B 、抛物线的对称轴为直线2x =，此选项正确；C ．函数图象的顶点坐标为()2,3-，此选项错误：D 、当2x >时，y 随x 的增大而减小，此选项错误；故选：B ．4．D 5．B 6．B 7．C 8．D9．解析：解：将抛物线2y x =先向右平移5个单位，再向上平移3个单位所得抛物线解析式为()253y x =-+．故选：A ．10．解析：解：∵()16,A y -、()23,B y -、()31,C y 为二次函数245y x x =+-图象上的三点，∴17y =，28y =-，30y =，∴231y y y <<．故选：B ．11．解析：解：设平均每月营业额的增长率为x ，则第二个月的营业额为：()901x ⨯+，第三个月的营业额为：()2901x ⨯+，则由题意列方程为：()()290190114490x x +++=-．故选：D ．12．B二、填空悬（共7小题，每小题3分，满分21分）13．解析：解：方程整理得：()40x x +=，解得：10x =，24x =-．故答案为：10x =，24x =-．14．解析：解：在直角坐标系中，点()1,2-关于原点对称点的坐标是()1,2-，故答案为：()1,2-．15．30︒或150︒16．解析：解：设()20l at bt c a =++≠，选()0,49，()1,46，()4,25代入后得方程组494616425c a b c a b c =⎧⎪+==⎨⎪++=⎩，解得：1249a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以l 与t 之间的二次函数解析式为：2249l t t =--+，当12bt a=-=-时，l 有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是1C -︒．另法：由()2,49-，()0,49可知抛物线的对称轴为直线1t =-，故当1t =-时，植物生长的温度最快．故答案为：1-．17．解析：解：由图象可知，0a <，0b <，0c >，∴0abc >，故①错误．∵抛物线与x 轴有2个交点，∴240b ac ∆=->，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为()3,0-，抛物线的对称轴为直线1x =-，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0，∴1x =时，0y =，即0a b c ++=，∴30a c +=，∴3c a =-，∴48350b c a a a +=-=<，所以③正确；∵点13,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线1x =-的距离大于点21,2C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线1x =-的距离，∴12y y =，所以④错误：当31x -≤≤时，0y ≥，所以⑤正确：故答案为：②③⑤三、开动脑筋，你一定能做对!（共63分）18．解析：解：（1）2560x x --=，()()610x x -+=，60x -=，10x +=，16x =，21x =-；（2）2410x x +-=，移项，得241x x +=，配方，得24414x x ++=+，即()225x +=，开方，得2x +=即12x =-+，22x =-．19．（1）解：如图：（2）解：如图：∴22126335AC =+=20．（1）()2,1，()1,0()3,0，()0,3-．（2）图省略21．解：设2020－2022年买书资金的平均增长率为x 由题意得()2500017200x +=解得10.2x =，2 2.2x =-（舍）答：2020－2022年买书资金的平均增长率为20%．22．解析：解：（1）由题意得，销售量()250102510500x x =--=-+，则()()2010500w x x =--+21070010000x x =-+-；（2）()22107001000010352250w x x x =-+-=--+．∵100-<，∴函数图象开口向下，w 有最大值，当35x =时，max 2250w =，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）2030x <≤，对称轴左侧w 随x 的增大而增大，故当30x =时，w 有最大值，此时2000w =．23．解析：（1）证明：∵ABC △是等腰三角形，∴AB BC =，A C ∠=∠，∵将等腰ABC △绕顶点B 逆时针方向旋转α度到11A BC △的位置，∴1A B AB BC ==，1A A C ∠=∠=∠，11A BD CBC ∠=∠，在BCF △与1BA D △中，111A C AB BCA BD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴1BCF BA D ≌△△；（2）解：四边形1A BCE 是菱形，∵将等腰ABC △绕顶点B 逆时针方向旋转α度到11A BC △的位置，∴1A A ∠=∠，∵1ADE A DB ∠=∠，∴1AED A BD α∠=∠=，∴180DEC α∠=︒-，∵C α∠=，∴1A α∠=，∴111360180A BC A C A EC α∠=︒-∠-∠-∠=︒-，∴1A C ∠=∠，11A BC A EC ∠=∠，∴四边形1A BCE 是平行四边形，∵1A B BC =，∴四边形1A BCE 是菱形．24．（1）解：∵对称轴为直线1x =的抛物线经过()3,0B ，与x 轴的另一交点为A∴点A 的坐标为()1,0-设该抛物线的解析式为()()13y a x x =+-把()0,4C 代入，得43a=-解得43a =-故抛物线的解析式为()()2448134333y x x x x =-+-=-++；（2）解：设BC 所在的直线的解析式为()0y kx b k =+≠把B 、C 的坐标分别代入得：304k b b +=⎧⎨=⎩解得434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴BC 的解析式为443y x =+，当1x =时，83y =∴81,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭此时PA PC PB PC BC +=+=取得小小值；（3）解：存在，设248,433M m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，4,43D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2224844434443333332MD m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，03m <<∵403a =-<，∴当32m =时，MD 取得最大值，此时点M 的坐标为3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷(江苏通用,测试范围：苏科版九上第1章-第2章)解析
2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（江苏通用）（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏科版九年级上册第1章-第2章。
5．难度系数：0.75。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若关于x 的一元二次方程23510x x a +++= 有一个根为0，则a 的值为（ ）A ．1±B ．1C ．1-D ．02．直线 l 与半径为 r 的 O e 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 6，则 r 的取值范围是（ ）A ．6r <B ．6r =C ．6r >D ．6r ³【答案】C【详解】解：∵直线 l 与半径为 r 的 O e 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 6，∴6r >．故选：C ．3．关于x 的一元二次方程22310x kx +-=根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．只有一个实数根【答案】A【详解】解：在关于x 的一元二次方程22310x kx +-=中，2a =，3b k =，1c =-，22Δ498b ac k =-=+，因为20k ＞，所以22Δ4980b ac k =-=+＞，所以关于x 的一元二次方程22310x kx +-=根的情况是有两个不相等的实数根．故选A ．4．如图，在 O e 中，A ，B ，D 为 O e 上的点，52AOB Ð=°，则ADB Ð的度数是 （ ）A ．104°B ．52°C ．38°D ．26°5．若12x x ，是一元二次方程20x x +-=的两个实数根，则12124x x x x +-的值为（ ）A ．4B ．3-C ．0D ．7【答案】D【详解】解：∵12x x ，是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，∴121x x +=-，122x x =-，∴()121241427x x x x +-=--´-=，故选：D ．6．如图，等边三角形ABC 和正方形DEFG 均内接于O e ，若2EF =，则BC 的长为（ ）A．B．C D7．把一根长50cm的铁丝围成一个等腰三角形，使其中一边的长比另一边的2倍少5cm，则该三角形的边长不可能为（）A ．12cmB ．19cmC ．22.5cmD ．13cm8．如图，AB 是O e 的直径，4AB =，点C 是上半圆AB 的中点，点D 是下半圆AB 上一点，点E 是BD的中点，连接AE CD 、交于点F ．当点D 从点A 运动到点B 的过程中，点F 运动的路径长是（ ）A 2BC ．πD ．【答案】B【详解】解：连接,,,AC BC BD OE ，∵AB 是O e 的直径，点C 是上半圆 AB 的中点，∴ AC BC=，90ACB Ð=°，∴点F 的轨迹为 AB 的长90=故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
2022-2023学年江苏省常州市九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若关于x的一元二次方程x2−ax+6=0的一个根是2，则a的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 52. 一元二次方程x2−8x−2=0，配方后变形为( )A. (x−4)2=18B. (x−4)2=14C. (x−8)2=64D. (x−4)2=13. 下列一元二次方程中，无实数根的是( )A. x2−2x−3=0B. x2+3x+2=0C. x2−2x+1=0D. x2+2x+3=04. 方程x(x−1)=x的解是( )A. x=1B. x=0C. x=2或x=0D. x=1或x=−15. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为( )A. 45°B. 60°C. 72°D. 36°6. 如图，∠BAC=36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于( )A. 27°B. 29°C. 35°D. 37°7. 若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是( )A. 12π B. π C. 32π D. 2π8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=√2，点D是AB边上一个动点，以点D为圆心r为半径作⊙D，直线BC与⊙D切于点E，若点E关于CD的对称点F恰好落在AB边上，则r的值是( )A. √2−1B. 1C. √2D. √2+1二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9. 方程x2−4x=0的实数解是．10. 已知关于x的方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．11. 关于x的方程x2−3x+2=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为______．12. 已知y1=x2−9，y2=3−x，当x=______ 时，y1=y2．13. 一个直角三角形的两条边长分别是方程x2−7x+12=0的两根，则该直角三角形的面积是______．14. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC=58°，则∠BAC=______ °.15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD=DC，∠DAC=25°，则∠ABC=______°.16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A(8,5)为圆心作⊙A与x轴相切，点P是y轴正半轴上一点，PA=10，则OP=______．17. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F.若BD=4，∠CAB=36°，则图中阴影部分的面积为______ .(结果保留π)18. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°，BC=4，OH⊥AC，垂足为H，连接BH，则BH的最大值是______．三、解答题（本大题共7小题，共64.0分。
2023-2024学年全国初中九年级上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)
20232024学年全国初中九年级上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列选项中，哪个是方程的正确表示形式？A. 2x + 3 = 7B. x + y = 5C. 3x 4yD. 2(x + 1) = 62. 下列哪个选项是二元一次方程组？A. 3x + 4y = 7B. 2x y = 5C. 4x + 3y = 8D. 3x + 2y = 6, 2x y = 43. 下列哪个选项是二次方程？A. x^2 5x + 6 = 0B. 2x + 3 = 7C. x^2 + 3x + 2D. 3x^2 4x4. 下列哪个选项是一次函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = x^3D. y = 1/x5. 下列哪个选项是反比例函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^36. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^37. 下列哪个选项是等差数列的通项公式？A. a_n = a_1 + (n 1)dB. a_n = a_1 + ndC. a_n = a_1 + (n + 1)dD. a_n = a_1 + (n 2)d8. 下列哪个选项是等比数列的通项公式？A. a_n = a_1 r^(n 1)B. a_n = a_1 r^nC. a_n = a_1 r^(n + 1)D. a_n = a_1 r^(n 2)9. 下列哪个选项是概率的基本性质？A. 0 <= P(A) <= 1B. P(A) > 1C. P(A) < 0D. P(A) = 210. 下列哪个选项是勾股定理的表述？A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + c^2 = b^2D. a^2 c^2 = b^2二、填空题（每题2分，共20分）1. 一元一次方程的解是________。
2023-2024学年江苏省常州市九年级(上)期中数学试卷[含答案]
![2023-2024学年江苏省常州市九年级(上)期中数学试卷[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/508f073ddcccda38376baf1ffc4ffe473268fd58.png)
2023-2024学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）把一元二次方程x2＝﹣3x+1化为一般形式后，它的常数项为（ ）A．1B．﹣1C．3D．﹣32．（3分）已知⊙O的半径为2，OA＝4，则点A在（ ）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，则tan B的值为（ ）A．B．2C．D．4．（3分）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）A．36°B．45°C．54°D．72°6．（3分）如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B′的坐标为（ ）A．（3，6）B．（4，2）C．（6，3）D．（2，4）7．（3分）如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝6，CE的最大值为9，则EF的长为（ ）A．1B．2C．3D．48．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠A＝60°，∠C＝120°，则CB+CD的最大值（ ）A．B．4C．5D．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）线段1cm、4cm的比例中项为 cm．10．（2分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是 ．11．（2分）如果在比例尺为1：1000000的地图上，测得两地的距离为1.56厘米，则这两地的实际距离是 千米．12．（2分）一元二次方程（x﹣3）2＝0的根是 ．13．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）14．（2分）小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为 米．15．（2分）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．AN：NC的值为 ．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，D为边BC的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．若tan∠CAD＝，则sin∠BED＝ ．18．（2分）如图，△ABC是等边三角形，，点D是BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH，当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，BD＝ ．三、解答题19．（10分）计算：（1）；（2）cos45°﹣tan260°﹣|sin45°﹣1|．20．（10分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣5＝0；（2）x（x+2）＝3x+6．21．（8分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．22．（8分）如图，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B处有一棵树BA，小彭在坡底O处测得树梢A的仰角为45°，沿坡面OM上行30米到达D处，测得∠ADB＝30°．（1）求DA的长；（2）求树BA的高度（结果保留根号）．23．（10分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出 个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 个台灯．（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．（3）月获利能否达到9600元，说明理由．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，，动点P从点C出发沿CA运动到终点A，速度为每秒5个单位长度，动点Q从点C出发沿CB运动到终点B，速度为每秒个单位长度，连接PQ，过点P作PD⊥DQ，∠PQD＝∠A，点D在PQ的左侧，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．（1）BC＝ ．（2）求DQ的长（用含t的代数式表示）．（3）连接BD，当△BDQ的某一个内角与∠A相等时，求t的值．26．（10分）【概念学习】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，A（3，0），B（4，0），则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．【概念理解】（1）⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为 ．（2）如图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为 ．【拓展应用】（3）如图③，若一次函数y＝kx+4的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k 的取值范围．（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，将⊙O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，则d 的取值范围是 ．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）把一元二次方程x2＝﹣3x+1化为一般形式后，它的常数项为（ ）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【分析】通过移项，将原方程化为一般形式为x2+3x﹣1＝0，然后写出其常数项．【解答】解：原方程化为一般形式为x2+3x﹣1＝0，∴常数项为﹣1，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，解答关键是熟知一元二次方程的一般形式：y＝ax2+bx+c（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c为常数项．2．（3分）已知⊙O的半径为2，OA＝4，则点A在（ ）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，则d＞r；点在圆内，则d＜r（d即点到圆心的距离，r 即圆的半径）进行判断是解决问题的关键．【解答】解：∵OA＝4＞2，∴点A与⊙O的位置关系是点在圆外，故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键．3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，则tan B的值为（ ）A．B．2C．D．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝1，∴BC＝＝＝2，∴tan B＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（3分）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；C、其夹角不相等，所以不能判定相似；D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；C、∵，当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；D、∵，又∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）A．36°B．45°C．54°D．72°【分析】如图，连接BC．求出∠ABC即可解决问题．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，∴∠ADC＝∠ABC＝54°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（3分）如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B′的坐标为（ ）A．（3，6）B．（4，2）C．（6，3）D．（2，4）【分析】根据位似变换的性质解答即可．【解答】解：∵△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点B的坐标为（﹣1，﹣2），∴点B′的坐标为（﹣1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，4），故选：D．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．7．（3分）如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝6，CE的最大值为9，则EF的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】连接OA，根据垂径定理得，设半径为r，根据当C，O，E在同一条直线上时CE最长得到EF＝2r﹣9，在Rt△AOE中，根据勾股定理得[r﹣（2r﹣9）]2＝r2﹣32，解方程即可得到答案．【解答】解：如图，连接OA，∵⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，AB＝6，∴，设半径为r，可知当C，O，E在同一条直线上时CE最长，即CE＝OE+OC，∴r+r﹣EF＝9，∴EF＝2r﹣9，在Rt△AOE中，由勾股定理得OE2＝OA2﹣AE2，∴[r﹣（2r﹣9）]2＝r2﹣32，解得r＝5，∴EF＝2r﹣9＝1，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理，结合当C，O，E在同一条直线上时CE最长得EF＝2r﹣9是解决问题得关键．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠A＝60°，∠C＝120°，则CB+CD的最大值（ ）A．B．4C．5D．【分析】连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM＝DC，根据题意可得A、B、C、D四点共圆，再证明△ADM≌△BDC得到AC＝AM+MC＝BC+CD，故可得到当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，根据解直角三角形的性质得到AC的长，即可求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、解直角三角形的性质．【解答】解：如图，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM＝DC，∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠ABD＝∠ACD＝60°，∵DM＝DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠ADB＝∠MDC＝60°，CM＝DC，∴∠ADM＝∠BDC，∵AD＝BD，∴△ADM≌△BDC，∴AM＝BC，∴AC＝AM+MC＝BC+CD，∴四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，∵AD＝AB＝3，∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，∴当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB+CD最大，此时C点在中点处，∴，∴，∴CB+CD最大值为，故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟记各性质定理是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）线段1cm、4cm的比例中项为 2 cm．【分析】根据比例中项的定义列出方程，解方程即可求解，【解答】解：设它们的比例中项是x，则x2＝1×4，∴x＝±2，∵线段的长度是正数，∴x＝2，∴比例中项为2cm，故答案为：2．【点评】本题考查了比例的性质，理解比例中项的定义是解题的关键．10．（2分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是 ．【分析】直接得出朝上的面数字小于3的个数，再利用概率公式求出答案．【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上点数大于4的有5和6两种情况，∴朝上面的数字大于4的概率为：＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．11．（2分）如果在比例尺为1：1000000的地图上，测得两地的距离为1.56厘米，则这两地的实际距离是 15.6 千米．【分析】根据比例尺＝，得到实际距离＝图上距离：比例尺，代入数据计算，再进行单位换算即可得到答案，可直接得出实际距离，【解答】解：∵比例尺为1：1000000，图上距离为1.56厘米，∴实际距离是1.56÷＝1.56×1000000＝1560000（厘米）＝15.6（千米）．故答案为：15.6．【点评】此题考查了比例尺，能熟记比例尺＝是解此题的关键．12．（2分）一元二次方程（x﹣3）2＝0的根是 x1＝x2＝3 ．【分析】直接开平方法解一元二次方程即可．【解答】解：∵（x﹣3）2＝0，∴x﹣3＝0，∴x1＝x2＝3，故答案为：x1＝x2＝3，【点评】本题考查解一元二次方程，熟练直接开平方法解一元二次方程的方法是解题的关键．13．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 12π cm2．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×4＝12πcm2．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．14．（2分）小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为 米．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：设楼高为x米，根据题意得，，解得：，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2分）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．AN：NC的值为 1：2 ．【分析】过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出△BDH∽△BCN和△DHM∽ANM，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；【解答】解：如图，过点D作AC的平行线交BN于点H．∵DH∥AC．∴△BDH∽△BCN，∴．∵D为BC的中点，∴，∵DH∥AN，∴△DHM∽△ANM，∴，∵M为AD的中点，∴．∴DH＝AN，∴．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，D为边BC的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB，根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式列式计算，得到答案．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB，∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE＝OF，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即×13×OE+×6×OE＝×5×6，解得，OE＝，∴⊙O的半径是，故答案为：．【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理、三角形的面积计算，掌握圆的切线的性质定理是解题的关键．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．若tan∠CAD＝，则sin∠BED＝ ．【分析】先证△CDE∽△ADC，推出CD2＝DE⋅AD，进而得出BD2＝DE⋅AD，证得△BDE∽ADB，推出∠BED＝∠ABC，结合求出sin∠ABC的值即可．【解答】解：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴，∴CD2＝DE⋅AD，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴BD2＝DE⋅AD，∴，又∵∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽ADB，∴∠BED＝∠ABC，∵，∴，∵D是BC的中点，∴CB＝2CD，∴，设AC＝4x，则CB＝3x，∴，∴sin ABC＝＝＝，∴sin∠BED＝．故答案为：．【点评】该题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定及其性质、勾股定理等，熟练掌握“母子相似”模型是解题的关键．18．（2分）如图，△ABC是等边三角形，，点D是BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH，当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，BD＝ ．【分析】延长AD至点E，使得HE＝BH，连接BE、CE，可得△BHE是等边三角形，∠BHA＝120°，结合等边三角形的性质可证得△ABH≌△CBE（SAS），可知∠BEC＝∠BHA＝120°，AH＝CE，得∠HEC＝60°，则∠HCE＝30°，设BH＝x，则HE＝x，CE＝2x，，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，列出方程解得：x＝1，即BH＝1，则，过点B作BG⊥HE于G，则，∠BGD＝∠CHD＝90°，，可证△BDG∽△CDH，得，即可求得．【解答】解：延长AD至点E，使得HE＝BH，连接BE、CE，∵∠BHD＝60°，∴△BHE是等边三角形，∠BHA＝120°，∴BH＝BE＝HE，∠BEH＝60°，∵△ABC是等边三角形，，∴，∠ABC＝60°，∴∠ABH+∠CBH＝∠CBE+∠CBH＝60°，∴∠ABH＝∠CBE，∴△ABH≌△CBE（SAS），∴∠BEC＝∠BHA＝120°，AH＝CE，∴∠HEC＝∠BEC﹣∠BEH＝60°，∵∠AHC＝90°，∴∠CHE＝90°，则∠HCE＝30°，设BH＝x，则HE＝x，CE＝2x，∴，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，即：，解得：x＝1，即：BH＝1，则，过点B作BG⊥HE于G，则，∠BGD＝∠CHD＝90°，在Rt△BGH中，，∵∠BDG＝∠CDH，∴△BDG∽△CDH，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，添加辅助线构造△ABH≌△CBE是解决问题的关键．三、解答题19．（10分）计算：（1）；（2）cos45°﹣tan260°﹣|sin45°﹣1|．【分析】（1）根据幂的运算法则，零指数幂及特殊角三角函数直接计算即可得到答案；（2）根据幂的运算法则，去绝对值及特殊角三角函数直接计算即可得到答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝＝．【点评】本题考查幂的运算法则，零指数幂，特殊角三角函数及去绝对值，解题的关键是熟练掌握a0＝1及特殊角三角函数值．20．（10分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣5＝0；（2）x（x+2）＝3x+6．【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法进行求解一元二次方程即可．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣5＝0，（x﹣2）2＝5，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x（x+2）＝3x+6，x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，∴x+2＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣2，x2＝3．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．21．（8分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．【分析】（1）根据勾股定理得MA＝MB＝．（2）连接AC，取AC中点M，MA＝MB＝MC＝．（3）取△ABC外心M，由圆周角定理得∠AMC＝2∠ABC．【解答】解：如图，【点评】本题考查网格作图问题，解题关键是熟练掌握直角三角形与圆的性质．22．（8分）如图，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B处有一棵树BA，小彭在坡底O处测得树梢A的仰角为45°，沿坡面OM上行30米到达D处，测得∠ADB＝30°．（1）求DA的长；（2）求树BA的高度（结果保留根号）．【分析】（1）由题意得：∠AON＝45°，OD＝30米，从而可得∠AOD＝15°，再利用三角形的外角性质可得∠OAD＝15°，然后利用等角对等边即可解答；（2）过点D作DH∥ON，交AB的延长线于点H，从而利用平行线的性质可得∠BDH＝∠MON＝30°，进而可得∠ADH＝60°，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义求出AH，DH的长，再在Rt△BDH中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠AON＝45°，OD＝30米，∵∠MON＝30°，∴∠AOD＝∠AON﹣∠MON＝45°﹣30°＝15°，∵∠ADB是△AOD的一个外角，∴∠OAD＝∠ADB﹣∠AOD＝15°，∴∠AOD＝∠OAD＝15°，∴OD＝AD＝30米，∴DA的长为30米；（2）过点D作DH∥ON，交AB的延长线于点H，∴∠BDH＝∠MON＝30°，∵∠ADB＝30°，∴∠ADH＝∠ADB+∠BDH＝60°，由题意得：∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，AD＝30米，∴AH＝AD•sin60°＝30×＝15（米），DH＝AD•cos60°＝30×＝15（米），在Rt△BDH中，BH＝DH•tan30°＝15×＝5（米），∴AB＝AH﹣BH＝15﹣5＝10（米），∴树BA的高度为10米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（10分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出 800 个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 （600+200x） 个台灯．（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．（3）月获利能否达到9600元，说明理由．【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个即可求解；（2）根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元一次方程即可求解；（3）根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可说明．【解答】解：（1）若售价下降1元，每月能售出：600+200＝800（个），若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个．故答案为800，（600+200x）（2）（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400整理，得x2﹣7x+12＝0解得x1＝3，x2＝4，因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元，但是实际销量要够卖，需小于等于1210个，当x＝4时，1400＞1210（舍去）当x＝3时，1200＜1210，可取，所以售价为37元答：每个台灯的售价为37元．（3）月获利不能达到9600元，理由如下：（40﹣30﹣x）（600+200x）＝9600整理，得x2﹣7x+18＝0∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0方程无实数根．答：月获利不能达到9600元．【点评】本题考查了用一元一次方程和一元二次方程解决销售问题应用题，解决本题的关键是掌握成本、售价、单个利润、销售量、总利润等之间的关系．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠ODB＝∠CDA，从而得到∠ODC＝90°，然后根据切线的判定方法得到CD为⊙O的切线；（2）连接OE，如图，先利用圆心角、弧、弦的关系，由E为的中点得到∠BOE＝∠DOE，再根据圆周角定理得到∠BOE＝2∠BDE＝60°，接着证明△ODE为等边三角形得到OD＝DE＝2，计算出∠COD＝60°，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD进行计算即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODA+∠ODB＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠B＝∠CDA，∴∠ODB＝∠CDA，∴∠ODA+∠CDA＝90°，即∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∵OD为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：连接OE，如图，∵E为的中点，∴∠BOE＝∠DOE，∵∠BOE＝2∠BDE＝60°，∴∠DOE＝60°，∵OD＝OE，∴△ODE为等边三角形，∴OD＝DE＝2，∵∠COD＝180°﹣∠BOE﹣∠DOE＝60°，∴CD＝OD＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD＝×2×2﹣＝2﹣π．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，，动点P从点C出发沿CA运动到终点A，速度为每秒5个单位长度，动点Q从点C出发沿CB运动到终点B，速度为每秒个单位长度，连接PQ，过点P作PD⊥DQ，∠PQD＝∠A，点D在PQ的左侧，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．（1）BC＝ 2 ．（2）求DQ的长（用含t的代数式表示）．（3）连接BD，当△BDQ的某一个内角与∠A相等时，求t的值．【分析】（1）由勾股定理可求出BM＝6，AM＝8，再利用勾股定理即可求出BC；（2）证明△CPQ∽△CAB，求得PQ＝5t，利用勾股定理即可求出DQ；（3）由△CPQ∽△CAB得到∠CPQ＝∠A，由∠PQD＝∠A推导出DQ∥AC，分两种情况：，分别证明△DBQ∽△ABC和△BDQ∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可解答．【解答】解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，则∠AMB＝∠BMC＝90°，∵，∴，设BM＝3x，AM＝4x，∴（3x）2+（4x）2＝102，解得x＝2，∴BM＝6，AM＝8，∴CM＝10﹣8＝2，∴，故答案为：；（2）解：由题意得，CP＝5t，，∵，∠C＝∠C，∴△CPQ∽△CAB，∴，即，∴PQ＝5t，∵PD⊥DQ，∴∠PDQ＝90°，∵∠PQD＝∠A，∴，∴，设PD＝3a，DQ＝4a，∴（3a）2+（4a）2＝（5t）2，解得a＝t，∴DQ＝4t；（3）解：如图，连接BD，∵△CPQ∽△CAB，∴∠CPQ＝∠A，∵∠PQD＝∠A，∴DQ∥AC，∴∠DQB＝∠C，当∠DBQ＝∠A时，∵∠DQB＝∠C，∴△DBQ∽△ABC，∴，即，解得；当∠BDQ＝∠A时，∵∠DQB＝∠C，∴△BDQ∽△ABC，∴，即，解得；∴或．【点评】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，应用分类讨论证明三角形相似是解题的关键．26．（10分）【概念学习】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，A（3，0），B（4，0），则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．【概念理解】（1）⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为 4 ．（2）如图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为 （0，4）或（﹣，﹣） ．【拓展应用】（3）如图③，若一次函数y＝kx+4的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k 的取值范围．（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，将⊙O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，则d 的取值范围是 3≤d＜3 ．【分析】（1）由题意即可求解；（2）由题意可知，P到圆的最小距离为3，即P到圆心的距离为4，设P（x，2x+4），则OP2＝x2+（2x+4）2＝16，即可求解；（3）考虑临界状态，当OC＝2时，函数图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，利用三角形相似求出；同理，另一个临界状态为，即可求解；（4）由题意可知，DE是一条倾斜角度为45°，长度为的线段，可在圆上找到两条与之平行且等长的弦AB，FG，如果D落在弧AF上，或者E落在弧BG上，进而求解．【解答】解：（1）由题意得，⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为4，故答案为：4；（2）由题意可知，P到圆的最小距离为3，即P到圆心的距离为4，设P（x，2x+4），则OP2＝x2+（2x+4）2＝16，解得，故点P的坐标为（0，4）或（﹣，﹣），故答案为：（0，4）或（﹣，﹣）；（3）如图，考虑临界状态，当OC＝2时，函数图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，∵∠OCD＝∠EOD，∠ODC＝∠EDO，∴△OCD∽△EOD，∴，则，设OE＝x，则DE＝2x，由勾股定理可得：x2+16＝（2x）2，解得（舍），∴，此时．同理，另一个临界状态为，经分析可知，函数相比临界状态更靠近y轴，则存在点C，∴或；（4）由题意可知，DE是一条倾斜角度为45°，长度为的线段，可在圆上找到两条与之平行且等长的弦AB，FG，如果D落在弧AF上，或者E落在弧BG上，则成立，当﹣1≤m＜2时，E到弧BG的最小距离为EO﹣1，此时3≤d＜4，当﹣4＜m＜﹣1时，E到弧BG的最小距离为EB，此时，综上，，故答案为：．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质、圆的基本知识、三角形相似、新定义等，数形结合是本题解题的关键．。
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九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个正确）
1．（3分）如图，是空心圆柱的两种视图，正确的是（）
B
2．（3分）（2011•张家界）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2
+x+1=0的一个根，
3．（3分）（2010•义乌）小明打算暑假里的某天到上海世博会一日游，上午可以先从台湾馆、香港馆、韩国馆中随机选择一个馆，下午再从加拿大馆、法国馆、俄罗斯馆中随机选择一个馆游玩．则小明恰好上午选中台湾馆，下午选中法国馆这两个场馆的概率是（）
B
，故选
=
2
6．（3分）（2012•济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）
，
7．（3分）某商品原价为200元，为了吸引更多顾客，商场连续两次降价后售价为162元，求平均每次降价的百分率是多少？设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为
8．（3分）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=的图象上．下列结
y=
，﹣
（
9．（3分）（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B 点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）
10．（3分）下列命题：
①方程x2=x的解是x=1；
②有两边和一角相等的两个三角形全等；
③顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；
④4的平方根是2．
11．（3分）（2011•鞍山）在同一个直角坐标系中，函数y=kx和的图象的大．B．C．．
12．（3分）（2013•宜城市模拟）如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA 上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（3分）双曲线y=的图象经过点（2，4），则双曲线的表达式是．
中，即可算出
y=
，
．
14．（3分）（2010•萧山区模拟）如图，将正方形纸片ABCD分别沿AE、BF折叠（点E、F 是边CD上两点），使点C与D在形内重合于点P处，则∠EPF=120度．
15．（3分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有6037枚棋子．
16．（3分）（2007•南通）如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线
相交于点D，且OB：OD=5：3，则k=12．
x，
=|x×
三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题8分，第20题7分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）
17．（5分）（2012•安徽）解方程：x2﹣2x=2x+1．
±
=2+﹣
18．（6分）小江计划将鱼在年底打捞出来运往某地出售，为了预订车辆运输，必须知道鱼塘内共有多少千克的鱼，他第一次从鱼塘中打捞出100条鱼，共240kg，作上记号后，又放回鱼塘．过了两天，又捞出200条鱼，共510kg，且发现其中有记号的鱼只有4条．
（1）估计鱼塘中总共有多少条鱼？
（2）若平均每千克鱼可获利润5元，预计小江今年卖鱼总利润约多少钱？
19．（8分）（2008•恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F．试判断AF与CE是否相等，并说明理由．
ADF=∠CBE=
20．（7分）在一次测量旗杆高度的活动中，某小组使用的方案如下：AB表示某同学从眼睛到脚底的距离，CD表示一根标杆，EF表示旗杆，AB、CD、EF都垂直于地面，若AB=1.6m，CD=2m，人与标杆之间的距离BD=1m，标杆与旗杆之间的距离DF=30m，求旗杆EF的高度．
21．（8分）（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
100+
，
22．（9分）（2010•达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
范围．再由图象知
v=
y=
，
的函数关系式为
由图象知
得，
23．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）试求△ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．
=
BC=3
==4
AH=×
．
=，=x
x=，
时，=，
时，=x=
AD=或．。