河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测(一) 数学理科试卷 Word版含答案
河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）数学（理科）试卷（满分：150分，测试时间：120分钟）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}0232<+-=x x x A ，{}822<<=x x B ，则 （ ） A.B A = B.B A ⊆ C.B A ⊇ D.∅=⋂B A 2．已知复数i z 2321+-=，则 =+||z z （ ） A. i 2321--B. i 2321+-C. i 2321+D.i 2321- 3．已知113::<+≥x q k x p ，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 （ ）A. ),2[+∞B. ),2(+∞C. ),1[+∞D. ]1,(--∞4．在等差数列{}n a 中，9a =12162a +,则数列{}n a 的前11项和11S = （ ） A ．24B ．48C ．66D ．1325．在154)212(+x 的展开式中，系数是有理数的项共有 （ ） A.4项 B.5项 C.6项 D.7项6．b a ,2,1=b 且a b a ⊥+)(，则a 与b 的夹角为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 1507．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 （ ）A.36种B. 30种C. 24种D. 6种8．如图给出的是计算1111352013+++的值的一个 程序框图，则判断框内应填人的条件是 （ ）A ．1006≤iB ．1006>iC ．1007≤iD ．1007>i9．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x 2+y2的取值范围是（ ）A.B.C. ( 1 , 16 )D.10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示， 则该几何体的外接球半径为 （ ） A.B.C. D.11．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是 （ ） A. 2 B. 4 C. 3 D.612．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则=+)()(65a f a f ( )．A ．3-B ．2-C ．3D ．2第II 卷（非选择题，共90分）俯视图侧视图本卷包括必考题和选考题两部分 。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．直线x y 31=与抛物线2x x y -=所围图形的面积等于_____________ 14．已知函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线x y 21=垂直的切线，则实数m 的取值范围是_____________15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 _______ ．16．已知函数()sin 2x f x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列命题: ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数； ③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称；④ 函数()()y f x g x =⋅. 其中真命题为____________ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。
17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知3,2π==C c .（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积. 18．（本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（I ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，11AA =，3AB k =， 456(0)AD k BC k DC k k ===>，，．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k的值.20．（12分）已知椭圆C 1：1422=+y x 和动圆C 2：)0(222>=+r r y x ，直线mkx y l +=:与C 1和C 2分别有唯一的公共点A 和B ． （I ）求r 的取值范围；（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C 2的方程．21.（本小题满分12分）已知函数x ax x x f 221ln )(2--=（0<a ）. （Ⅰ）若函数)(x f 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若21-=a ，且关于x 的方程b x x f +-=21)(在[]4,1上恰有两个不等的实根， 求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足11=a ，2ln 1++=+n n n a a a （*∈N n ）， 求证：12-≤n n a .选考题：共10分，请考生从给出的3道题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号方框涂黑。
注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡指定位置答题。
如果不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答的第一题评分。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于⊙O ,BD 是⊙O 的直径，CD AE ⊥于点E ,DA 平分BDE ∠. （Ⅰ）证明：AE 是⊙O 的切线（Ⅱ）如果24==AE AB ，,求CD .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的直角坐标方程为1422=+y x ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.P 是曲线1C 上一点，)0(παα≤≤=∠xOP ，将点P 绕点O 逆时针旋转角α后得到点Q ,OQ OM 2=,点M 的轨迹是曲线2C .（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程. （Ⅱ）求OM 的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设不等式0212<+--<-x x 的解集为M ,M b a ∈,.（Ⅰ）证明：416131<+b a ； （Ⅱ）比较ab 41-与b a -2的大小，并说明理由.河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）理科数学参考答案一、选择题：BDBDA CBCBC BC 二、填空题：13．814 14.2>m 15.216.③三、解答题：17.解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得422=-+ab b a又3sin 21=C ab，得4=ab……3分 联立⎩⎨⎧==-+4422ab ab b a 解得2,2==b a ……5分（Ⅱ）由题意得，A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++ 即A A A B cos sin 2cos sin =. ……7分332,334,6,2,0cos =====b a B A A ππ时当 ABC ∆的面积33221==bc S ……9分当A B A sin 2sin ,0cos =≠得时，由正弦定理得a b 2=，联立方程⎩⎨⎧==-+ab ab b a 2422 解得334,332==b a 所以ABC ∆的面积332sin 21==C ab S ，综上，ABC ∆的面积为332.……12分18.解：（1）ξ的可能取值为0，1，2，31111(0)43224P ξ==⨯⨯=;3111211111(1)4324324324P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=; 32112131111(2)43243243224P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=;3211(3)4324P ξ==⨯⨯=……4分 ξ∴的分布列为1111123()012324424412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……6分 (2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件Bξ123P12414112414则32132123331211211211()()4324334333P A C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;……8分 11231211()()43318P AB C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭……10分 ∴1()118()1()63P AB P B A P A ===……12分 19.解：（Ⅰ）取CD 的中点E ，连结BE .∵AB ∥DE ，AB =DE =3k ，∴四边形ABED 为平行四边形， ……2分 ∴BE ∥AD 且BE =AD =4k .在△BCE 中，∵BE =4k ，CE =3k ，BC =5k ，∴BE 2＋CE 2=BC 2， ∴∠BEC =90°，即BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ． ……4分∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD =A ，平面⊥∴CD ADD 1A 1. ……6分 （Ⅱ）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()11400(060)431401A k C k B k k A k ，，，，，，，，，，，， 所以AC(460)k k =-，，，1AB ()031k =，，，1AA ()001=，，． 设平面AB 1C 的法向量n =(x ，y ，z )，则由100AC AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y =2，得(326)(0)k k =->，，n ． ……9分 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则 sin θ=|cos 〈1AA，n 〉|=11||||AA AA ⋅⋅nn=67=， 解得k =1，故所求k 的值为1. ……12分20.解：（Ⅰ）由，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣1）=0．由于l 与C 1有唯一的公共点A ，故△1=64k 2m 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）=0，……2分从而m 2=1+4k 2 ① 由，得（1+k 2）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0．由于l 与C 2有唯一的公共点B ，故△2=4k 2m 2﹣4（1+k 2）（m 2﹣r 2）=0，……4分从而m 2=r 2（1+k 2） ② 由①、②得k 2=．由k 2≥0，得1≤r 2＜4，所以r 的取值范围是[1，2）．……6分 （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由（Ⅰ）的解答可知 x 1=﹣=﹣，x 2=﹣=﹣．|AB|2=（1+k 2）（x 2﹣x 1）2=（1+k 2）•=•k 2•（4﹣r 2）2=•（4﹣r 2）2=，……9分所以|AB|2=5﹣（r 2+）（1≤r ＜2）．因为r 2+≥2×2=4，当且仅当r=时取等号，所以当r=时，|AB|取最大值1，此时C 2的方程为x 2+y 2=2．……12分21.解：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0，)0(12)(2>-+-='x xx ax x f ，依题意0)(≥'x f 在0>x 时恒成立，则1)11(2122--=-≤x x x a 在0>x 时恒成立，即[])0(1)11(min 2>--≤x xa ， 当1=x 时，1)11(2--x 取最小值-1，所以a 的取值范围是(]1,-∞-……4分（Ⅱ）21-=a ，由b x x f +-=21)(得0ln 23412=-+-b x x x 在[]4,1上有两个不同的实根，设[]4,1,ln 2341)(2∈+-=x x x x x gxx x x g 2)1)(2()(--='，[)2,1∈x 时，0)(<'x g ，(]4,2∈x 时，0)(>'x g 22ln )2()(min -==g x g ，22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ，0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g <则⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈45,22ln b ……8分（Ⅲ）易证当0>x 且1≠x 时，1ln -<x x .由已知条件12212ln ,01+=++-≤++=>+n n n n n n n a a a a a a a ， 故),1(211+≤++n n a a 所以当2≥n 时，,21101≤++<-n n a a ,211021≤++<--n n a a ⋅⋅⋅，,211012≤++<a a 相乘得,211011-≤++<n n a a 又,11=a 故n n a 21≤+，即12-≤n n a ……12分22.解：（Ⅰ）连结OA ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ，又∠ODA ＝∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，所以OA ∥即CE ． 因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥AE ． 所以AE 是⊙O 的切线．……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE ∽△BDA ，所以AE AD ＝AB BD ，即2AD ＝4BD ，则BD ＝2AD ， 所以∠ABD ＝30︒，从而∠DAE ＝30︒，所以DE ＝AE tan 30︒＝233．由切割线定理，得AE 2＝ED ·EC ，所以4＝233 (233＋CD )，所以CD ＝433． ……10分23.解：（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即cos 2θ4＋sin 2θ＝1ρ2．在极坐标系中，设M (ρ，θ)，P (ρ1，α)，则题设可知，ρ1＝ ρ 2，α＝ θ2． ①因为点P 在曲线C 1上，所以cos 2α4＋sin 2α＝1ρ21． ②由①②得曲线C 2的极坐标方程为1ρ2＝cos 2 θ 216＋sin 2 θ 24． ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1|OM |2＝116(1＋3sin 2 θ 2)． 因为1|OM |2的取值范围是[116， 14]，所以|OM |的取值范围是[2，4]． ……10分 24.解：（Ⅰ）记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－1，－2x －1，－1＜x ＜1，－3，x ≥1．由－2＜－2x －1＜0解得－ 1 2＜x ＜ 1 2，则M ＝(－ 1 2， 12)． ……3分所以| 1 3a ＋ 1 6b |≤ 1 3|a |＋ 1 6|b |＜ 1 3× 1 2＋ 1 6× 1 2＝ 1 4． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得a 2＜ 1 4，b 2＜ 14．因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， ……9分所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |． ……10分。
河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测
河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）AAn incredible dog has mastered more than just the doggy paddle (狗刨式游泳) — the golden brown pet helps disabled children learn how to surf. Ricochet’s owner Judy Fridono said, “I was work ing with her at balance and coordination (协作). Her balance is so good that she can help to stabilize the board for the kids. And it makes them feel good to know that Ricochet is there with them, keeping them company.”After becoming an expert, two-year-old Ricochet helps the disabled children build up the confidence to get on the board themselves. Dressed in a yellow jacket, Ricochet helps to counter-balance the board and acts as a reassuring presence.Ms. Fridono knows what an impact her beloved dog can have. She herself was severely disabled since her teens. Having Ricochet around lifts her spirits, and inspires her to conquer her pain to get on the board. “Ricochet has taught me to focus on what I can do, rather than what I can’t,” she said.One of those who have benefited from Ricochet’s skills is six-year-old Ian McFarland. In 2008 a car crash left him with brain damage. Although he had loved surfing before the accident, he was too nervous to go back into the water. His fear turned to excitement, when he was told he could try a tandem (双人) surf session with Ricochet. Their session was a success and by the end of it, Ian was smiling from ear to ear. As well as helping with treatments, Ricochet also raised £5,000 to help continue Ian’s recovery.Over the last 10 months, Ricochet’s excellen t performances on the sea have raised more than £30,000 for a number of charity causes.21. According to the passage, Ricochet is .A. a doctorB. a dogC. a dog ownerD. a disabled boy22. What role does Ricochet play according to the passage?A. She acts as a pet to please its owner.B. She accompanies the disabled children at home.C. She helps the disabled children learn to surf.D. She works as a guide dog for the blind.23. Ian McFarland considers Ricochet’s work to be.A. challengingB. doubtfulC. attractiveD. satisfying24. Which statement can best describe Ricochet?A. The two-year-old dog is severely disabled.B. Ricochet helps youngsters build up their confidence.C. Ricochet helps youngsters in their daily life.D. Ricochet is a lifesaver on the sea.BNever before in Chinese history has a documentary film aroused so much public enthusiasm. Everybody is talking about a new 7-part documentary called A Bite of China which was recently broadcast late at night on CCTV I. The documentary describes various gourmet items across the vast Chinese culinary (烹饪) landscape.According to Taobao, China’s biggest online retail website, just five days after the series began to air, nearly 6 million people went to the site in search of various local specialties, particularly those mentioned in the documentary. More than 7.2 million deals were concluded. A ham producer from Yunnan Province saw his sales grow 17-fold in five days.However, one can’t help but believe that the documentary’s popularity is probably linked to the endless stream of terrible food security issues that have emerged in recent years. In one well-received article, a netizen wrote, “I wonder how many felt soempty-hearted and sighed after watching the film. Blue-vitriol watered chive, formaldehyde(甲醛) sprayed cabbage, Sudan Red colored salty eggs, restaurants using gutter oil. The list is long…”A varied and ancient food culture that is famous world-wide and which should have made the Chinese proud ends like this: one can only sigh. Food is the most vital thing in people’s lives. Yet China’s food industry is a typical description of “bad money driving out the good”.The market is huge while the cost of faking and cheating is so low for unscrupulous (不道德的) businessmen; and the punishment is too light. Take the milk industry as an example. Although Sanlu, the company that sold the melamine-adulterated milk powder, was punished, thousands of other dairies didn’t work hard to improve the quality. In order to allow national brands to survive, Chinese authorities are happy to loosen their regulations.As the documentary shows, people are attracted not to gourmet items like matsutake, a species of rare mushroom grown naturally in remote forests, but to common Chinese dishes like barley, lotus root or tofu. They are what meet our basic needs. This explains why people are so excited about A Bite of China---it is a reminder that there is still a world out there where food is excellent and people have dignity.25. The underlined word “gourmet items” probably means________.A. beautiful clothesB. latest technologyC. delicious foodD. great inventions26. The second paragraph mainly talks about______.A. the producer of the documentB. the content of the documentC. the history of Chinese gourmetD. The popularity of the document27. We can infer from what a netizen wrote in one well –received article that ______.A. none of the television viewers have a knowledge of the Chinese food cultureB. there is a huge contrast between the ancient food culture and the realityC. the price of food is too high for many common peopleD. the documentary was made by a world-famous Chinese director28. According to the passage, China’s food industry is full of faking and cheatingbecause_____.A. there are still so many poor people at the present timeB. the punishment for unscrupulous businessmen isn’t serious enoughC. the Chinese government encourages it to do soD. the food technology is not so advanced as in developed countriesCSuperstorm Sandy’s march of destruction claimed at least 43 lives and left more than eight million people without electricity by late Tuesday, in one of the largest storms ever to strike the East Coast.Less violent but still dangerous, the storm swept across Pennsylvania on Tuesday and the northeastern US began its slow process of recovery. As dawn broke Tuesday on the storm’s trail of destruction, it began exposing stories of heroism and tragedy, bad decisions and lucky breaks.In Broad Channel in New York City, a 29-year-old mother was forced to dive and swim out of her house’s front window with her 8-year-old daughter. And in Freeport, N.Y., Nicole Smith returned home --- to find a boat on her lawn. She asked passers-by for $5 to take a snapshot. A 13-year-old girl was found dead, in her pajamas, a block from her washed-out Staten Island home. On Monday night, Sandy’s waves ripped out the entire deck of Jeffrey Ratner’s home, along with the back wall. Still, Mr. Ratner said, he remains optimistic about the future. “We are going to rebuild it,” he said.The official warnings to evacuate(疏散)were clear, a couple said. But staying home just seemed easier. “It’s not their fault; it’s ours,” said Mary Norton, 88, head in her hands. “We did not leave.”New York’s extensive transit system, a lifeline for millions of commuters(上下班往返的人), suffered the greatest damage as floodwaters drowned all seven subway tunnels connecting Manhattan and Brooklyn. Jseph Lhota, Chairman of the Metropolitan Transportation Authority, described it as the most destroying in the 108-year history of the New York subway.Forecaster said Sandy, which had maximum continuing winds of 45 miles an hour Tuesday afternoon, would cross western Pennsylvania on Tuesday night before moving into Canada on Wednesday as it meets cold air fronts. Another inch of rain was expected from the eastern Great Lakes across the mid-Atlantic and into southern New England.29. The passage mainly talks about________.A. New York’s extensive transit systemB. when and why superstorm formedC. the latest information about SandyD. superstorm Sandy’s destruction in America30. Mary Norton and her husband didn’t leave their home because________.A. they didn’t know a superstorm was on the wayB. they didn’t believe the government’s warningsC. they didn’t want to take the trouble to moveD. they had no chance of leaving before Sandy hit the area31. The transit system mentioned in the last paragraph but one refers to_________.A. the bus routeB. the ship routeC. the flight courseD. the subway route32. Which of the following statements about Sandy is WRONG?A. It had killed at least 43 lives when the news was released.B. It would move into Canada on Tuesday night.C. It would bring another rain to the eastern Great LakesD. It led to power failure in many areas in America.DHave you got a Facebook account? Are you thinking of getting one? Jamie SimmondsAs from June 2012, Facebook had over 955 million active users. The average Facebook user has 130 friends. Facebook is translated into more than 70 different languages. The world spends 700 billion minutes a month on Facebook. Facebook creator Mark Zuckerberg’s Facebook page says he’s a Harvard graduate, even though he actually dropped out to focus on Facebook. The site is valued at between $7.9 and $11 billion.33. Which of the following is conveyed in this passage?A. Visiting Facebook website took up a large part of Jamie’s time and energy.B. Jamie is enthusiastic about her present job.C. Facebbook was created by a Harvard graduate, Mark Zuckerberg.D. Compared with Facebook, Twitter is a better choice for Jamie.34. Why did Jamie’s boyfriend ask her whether she had broken up with him?A. He had seen photos of Jamie dancing on the table.B. She showed in her Facebook that she was still not dating anyone.C. Her boyfriend was angry that she refused to add him as her friend.D. He saw the name of her ex-boy friend on his news feed.35. What does the word “un-friend” mean in the underlined sentence “Someone’sun-friended me!”?A. Be unfriendly to othersB. Remove a name from friend listC. Have a quarrel with somebodyD. End friendship with somebody第二节任务型阅读（共5小题；每小题2分，满分10分）根据短文内容，从短文后的选项中选出最佳选项，并将其答案标号涂在答题卡上对应题目的选项处。
2015年高考新课标全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年新课标全国Ⅰ，理1】设复数z 满足1i 1zz+=-，则（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】A【解析】由1i 1z z +=-得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z -+--+===++-，故1z =，故选A ． （2）【2015年新课标全国Ⅰ，理2】sin20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ）（A ）32- （B ）32 （C ）12- （D ）12-【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=︒︒+︒︒=︒=，故选D ．（3）【2015年新课标全国Ⅰ，理3】设命题P ：n N ∀∈，22n n >，则P ⌝为（ ）（A ）n N ∀∈，22n n > （B ）n N ∃∈，22n n ≤ （C ）n N ∀∈，22n n ≤ （D ）n N ∃∈，22n n = 【答案】C【解析】P ⌝：n N ∀∈，22n n ≤，故选C ． （4）【2015年新课标全国Ⅰ，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.60.648C ⨯+=，故选A ．（5）【2015年新课标全国Ⅰ，理5】已知()00,M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F 、2F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ＜，则0y 的取值范围是（ ） （A ）33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）33,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）2222,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）2323,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题知()13,0F -，()23,0F 且220012x y -=，所以()()1200003,3,MF MF x y x y •=---•-- 2220003310x y y =+-=-<，解得03333y -<<，故选A ． （6）【2015年新课标全国Ⅰ，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，得163r =．所以米堆的体积为21116320354339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故堆放的米约为3201.62229÷≈，故选B ． （7）【2015年新课标全国Ⅰ，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =-【答案】A【解析】由题知()11143333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+，故选A ．（8）【2015年新课标全国Ⅰ，理8】函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知1425342πωϕπωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，取得ωπ=，所以()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得1322,44k x k k Z -<<+∈，故单调减区间为132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，故选D ．（9）【2015年新课标全国Ⅰ，理9】执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】C【解析】执行第1次，0.01,1,0,0.5,0.5,t S n m S S m =====-=20.25,1,m m n ===0.50.01S t =>=，是，循环；执行第2次，0.25,20.125,2,S S m m m n =-==== 0.250.01S t =>=，是，循环；执行第3次，0.125,20.0625,3,S S m m m n =-==== 0.1250.01S t =>=，是，循环；执行第4次，0.0625,20.03125,4,S S m m m n =-====0.06250.01S t =>=，是，循环； 执行第5次，0.03125,20.015625,5,S S m m m n =-====0.031250.01S t =>=，是，循环； 执行第6次，0.015625,20.0078125,6,S S m m m n =-====0.0156250.01S t =>=，是，循环；执行第7次，0.0078125,20.00390625,7,S S m m m n =-====0.00781250.01S t =>=，否，输出7n =，故选C ．（10）【2015年新课标全国Ⅰ，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ） （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在()52x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为21253230C C C =，故选C ． （11）【2015年新课标全国Ⅰ，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 1620π+，则r =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2222142225416202r r r r r r r r πππππ⨯+⨯++⨯=+=+，解得2r =故选B ．（12）【2015年新课标全国Ⅰ，理12】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）（A ）3[,1)2e - （B ）33[,)24e - （C ）33[,)24e （D ）3[,1)2e【答案】D【解析】设()(21)x g x e x =-，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()0g x '<，当12x >-时，()0g x '>；当12x =-时，[]12max ()2g x e -=-．当0x =时，(0)1g =-，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过点()1,0且斜率为a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得312a e≤<，故选D ． 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2015年新课标全国Ⅰ，理13】若函数2()ln()f x x x a x =++为偶函数，则a = ． 【答案】1【解析】由题知()2ln y x a x =++是奇函数，所以()()()222ln ln ln x a x x a x a x x +++-++=+-ln 0a ==，解得1a =．（14）【2015年新课标全国Ⅰ，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 ． 【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭ 【解析】设圆心为(),0a ，则半径为4a -，则()22242a a -=+，解得32a =±，故圆的方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭．（15）【2015年新课标全国Ⅰ，理15】若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则y x 的最大值为 ． 【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连 线的斜率，由图可知，点()1,3A 与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3．（16）【2015年新课标全国Ⅰ，理16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是 ．【答案】()62,62-+【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则可知在ADE ∆中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30E ∠=︒，所以设12AD =，22AE x =，624DE x +=，CD m =，因为2BC =，所以62sin1514x m ⎛⎫++⋅︒=⇒ ⎪⎪⎝⎭62624x m ++=+， 所以04x <<，而62262424AB x m x x m +-=+-=+2622x =+-， 所以AB 的取值范围是()62,62-+．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2015年新课标全国Ⅰ，理17】（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，243n n n a a S +=+（Ⅰ）求{}n a 的通项公式， （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和． 解：（Ⅰ）由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+，可得()2211124n n n n n a a a a a +++-+-=，即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=-=+- 由于0n a >，可得12n n a a +-=．又2111243a a a +=+，解得11a =-（舍去），13a = 所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+． ……6分（Ⅱ）由21n a n =+可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭． 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则1211111112355721233(23)n n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ……12分（18）【2015年新课标全国Ⅰ，理18】（本小题满分12分）如图， 四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥． （Ⅰ）证明：平面ACE ⊥平面AFC ．（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值． 解：（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG ，FG ，EF ．在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由120ABC ∠=︒，可得3AG GC ==．由BE ABCD ⊥平面，AB BC =，可知AE EC =． 又AE EC ⊥，所以3EG =，且EG AC ⊥．在Rt EBG ∆中，可得2BE =，故22DF =．在Rt FDG ∆中，可得62FG =．在直角梯形BDFE 中，由2BD =，2BE =，22DF =，可得322EF =． 从而222EG FG EF +=，所以EG FG ⊥，又AC FG G =，可得EG AFC ⊥平面． 因为EG AEC ⊂平面，所以AEC AFC ⊥平面平面． ……6分（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ， GC 方向为x 轴，y 轴正方向，GB 为单位长，建立空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）可得()0,3,0A -，()1,0,2E ， 21,0,2F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0C ． 所以()1,3,2AE =，21,3,2CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭． ……10分故()3cos ,3AE CF AE CF AE CF•==-，所以直线AE 与直线CF 所成角余弦值为33-． ……12分 （19）【2015年新课标全国Ⅰ，理19】（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费1x 和年销售量()11,2,,8y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xy w()1211x xx +-∑()1211x w w +-∑()()111x xx y y +--∑ ()()111x w w y y +--∑46．6 56．3 6．8 289．8 1．6 1469108．8表中11w x =，11118x w w +=∑． （Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ……．． (),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆnii i nii uu v vuuβ==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c d x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．……2分 （Ⅱ）令w x =，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于()()()81821108.8681.6iii i i w w yyd w w==--===-∑∑， 56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+，因此y 关于w 的线性回归方程为100.668y x =+． ……6分 （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y 的预报值100.66849576.6y =+=，年利润z 的预报值0.2576.64966.32z =⨯-=．……9分（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值()0.2100.66813.620.12z x x x x =⨯+-=-++． 所以当13.66.82x ==，即46.24x =时，z 取得最大值． 故年宣传费为46．24千元时，年利润的预报值最大．……12分（20）【2015年新课标全国Ⅰ，理20】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线()0y kx a a =+>交与M ，N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 解：（Ⅰ）由题设可得()2,M a a ，()2,N a a -，或()2,M a a -，()2,N a a ．又2x y '=，故24x y =在2x a =处的导数值为a ．C 在点()2,a a -处的切线方程为()2y a a x a -=-，即0ax y a ++=．故所求切线方程为0ax y a ++=和0ax y a --=． ……5分（Ⅱ）存在符合题意的点．证明如下：设()0,P b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．将y kx a =+代入C 的方程得2440x kx a --=．故124x x k +=， 124x x a =-．从而()()()1212121212122kx x a b x x k a b y b y b k k x x x x a+-++--+=+==．当b a =-时，有120k k +=， 则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,P a -符合题意．……12分（21）【2015年新课标全国Ⅰ，理21】（本小题满分12分）已知函数()31,()ln 4f x x axg x x =++=-．（Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数． 解：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则0()0f x =，0()0f x '=，代入可解得012x =，34a =-． 因此，当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线． ……5分（Ⅱ）当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而{}()min (),()()0h x f x g x g x =≤<，故()h x 在()1,+∞无零点．当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，{}(1)min (1),(1)(1)0h fg g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<．{}(1)min (1),(1)(1)0h fg f ==<，故1x =不是()h x 的零点．当()0,1x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在()0,1的零点个数．（i ）若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+/在()0,1无零点，故()f x 在()0,1单调．而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在()0,1有一个零点；当0a ≥时，()f x 在()0,1无零点．（ii ）若30a -<<，则()f x 在0,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，故在()0,1中，当3a x =- 时，()f x 取得最小值，最小值为213334a a a f ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭．①若03a f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，即304a -<<，()f x 在()0,1无零点．②若03a f ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即34a =-，()f x 在()0,1有唯一零点．③03a f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在()0,1有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在()0,1有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当34a >-或54a <-时，()h x 有三个零点． ……12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）【2015年新课标全国Ⅰ，理22】（本题满分10分）（选修4-1：几何证明选讲）如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（Ⅱ）若3OA CE =，求ACB ∠的大小．解：（Ⅰ）连接AE ，由已知得AE BC ⊥，AC AB ⊥．在Rt AEC ∆中由已知得DE DC =，故DEC DCE ∠=∠． 连接OE ，则OEB OBE ∠=∠．又90ACB ABC ∠+∠=︒，所以90DEC OEB ∠+∠=︒，故90OED ∠=︒，DE 是O 的切线 ……5分 （Ⅱ）设1CE =，AE x =，由已知得AB =BE =由射影定理，2AE CE BE =，所以2x =x =60ACB ∠=︒． ……10分（23）【2015年新课标全国Ⅰ，理23】（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）直角坐标系xOy 中．直线1:2C x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=． ……5分（Ⅱ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ=故12ρρ-=，即MN =2C 半径为1，所以2C MN ∆的面积为12． ……10分（24）【2015年新课标全国Ⅰ，理24】（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()12f x x x a =+--，0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->．当1x ≤-，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<．所以()1f x >解集为2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． ……5分（Ⅱ）由题设可得12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ∆的面积为()2213a +．由题设得()22163a +>，故2a >．所以a 的取值范围为()2,+∞．……10分。
2015年高考全国新课标1卷理科数学试题(含答案)
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（7）设 D 为 ABC 所在平面内一点 =3 ，则
（ A）
=
+
(B)
=
（C）
=
+
(D)
=
【解析】本题考查平面向量，画出图形，
1 1 1 4 AD AC CD AC BC AC ( AC AB) AB AC 3 3 3 3
y y 可以看做是与原点连线的斜率，因此如果 最大值，也就是求斜率的最大值，通过图形观察可知在(1,3) x x
处有最大值是 3，因此
x 的最大值是 3. y
（16）在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值范围是
【解析】如下图所示，延长 BA，CD 交于点 E，则可知
1 1 1 1 1 Tn ( 2 3 5 5 7
（18）如图， ，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平 面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面 AEC⊥平面 AFC （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值
（3）设命题 P： n N， n 2 > 2 n ，则 P 为 （A） n N, n 2 > 2 n （C） n N, n 2 ≤ 2 n （B） n N, n 2 ≤ 2 n （D） n N, n 2 = 2 n
【解析】本题考查命题的否定，条件和结论都需要否定，因此选择 C.
在 RtEBG 中，可得 BE = 2 故 DF =
2 2
在 RtFDG 中，可得 FG =
6 2 3 2 2
石家庄市2015届高三复习教学质量检测(一)理科数学
2页3第4页 5第石家庄市2015届高三第一次质量检测数学理科答案一、选择题：1-5CBCDA 6-10DADBC 11-12BA二、填空题：13．24y x =+ 14．1- 15． 16.3602 三、解答题 17.因为c=2,不合题意舍去，所以52c =.....................................10分 18．解(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得2(33)3(312)d d +=+，得2d =或0d =(舍)，……………………2分所以{}n a 的通项公式为3(1)221n a n n =+-=+……………………4分 （2）2(21)2nnn n b a n ==+123325272(21)2n n S n =+++++………………①…………②……………………6分①－②得123132222222(21)2n n n S n +-=++++-+…………………8分1+12(12)22(21)2122(21)2n n n n n +-=+-+-=---……………………10分∴1(21)22n n S n +=-+……………………12分 19. 解：（1）解：a=6 b=10……………………………2分222222,............2sin sin sin 3cos .............62sin 2494cos 2629100 (85)2c= (92)==∴===+-+-==-+==a bA B A BA aB B b a c b c B ac cc c c 解：分sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分分分解得或分23412325272(21)2n n S n +=+++++6……….5分（2）P （Y=0）=632228=C P （Y=1）=282112128=C C P （Y=2）=112212=C …………………11分 5E（P ）=.…………………………12分 20(1)分别取PA 和AB 中点M 、N ，连接MN 、ME 、NF ，则=NF ∥12AD ,=ME ∥12AD ,所以=NF ∥ME , ∴四边形MEFN 为平行四边形. -------------2∴EF ,∴EF ∥PAB 平面.(2) 棱PA ⊥底面ABCD ,所以A P ，轴轴，轴，z y x 的正方向，建立以(001),(000),B (1,0P A C D ，，，，，，，，，,1(0222E ，，所以,1(0)22EF =-，，, (0),(100)22AE AB ==，，，，,- ------------6设平面ABE 法向量(,,)n a b c =,0,0,n AE n AB ==所以11022b c a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1,0,1b a c ===-则 所以(0,1,1)n =-为平面ABE 的一个法向量 -------------8页7第设直线EF 与平面ABE 所成角为α, 于是1sin cos ,2EF n EF n EF nα=<>==.-------------10所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------12 解法2在平面PAD 内作EH ∥PA H 于, 因为侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以EH ⊥底面ABCD . -------------6E 为PD 的中点,12EH =,1111224ABFS =⨯⨯= 11111334224E ABF ABF V S EH -==⨯⨯=-------------8设点F 到平面ABE 的距离为h,E ABF F ABE V V --=11122ABES AB AE =⨯⨯=⨯=1133ABFABES EH Sh =,h =-------------10设直线EF 与平面ABE 所成角为α,1sin 2h EF α==,所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------1221.解：（1）设A （0x ，0），B （0，0y ），P （,x y ），由2BP PA =得，00(,)2(,)x y y x x y -=--，即000032()223x x x x xy y y y y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩，————————————————————2分 又因为22009x y +=，所以223()(3)92x y +=，化简得：2214x y +=，这就是点P 的轨迹方程。
2015年高考理科数学全国卷1(含答案解析)
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2 2．sin20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2n n n ∀∈N 2，＞B ．2n n n ∃∈N 2，≤C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212x C y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A ．33()33-， B ．33()66-， C ．2222()33-， D ．2323()33-， 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________A ．3[)21,e-B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数2()=()ln f x x a x x +＋为偶函数，则a =________. 14．一个圆经过椭圆22=1164x y+的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】由1=i 1z z+-，得1i (1i)(1i)=i 1i (1i)(1i)z -+-+-===++-，故1z =，故选C ． 【提示】先化简复数，再求模即可． 【考点】复数的运算． 2.【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=+==，故选D ． 【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【考点】三角函数的运算． 3.【答案】C【解析】命题的否定是：22n n n ∀∈≤N ，．【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【考点】命题． 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6=0.648.⨯+【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【考点】概率． 5.【答案】A【解析】由题知12(F F ，，220012x y -=，所以222120000000(3,)(3,)331MF MF x y xy x y y =-----=+-=-<，解得0y <<，故选A ． 【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定0y 的取值范围． 【考点】双曲线． 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则116238,43r r ⨯⨯=⇒=所以米堆的体积为 2111632035,4339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故堆放的米约为320 1.6222,9÷≈故选B ． 【考点】圆锥体积．【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 7.【答案】A【解析】由题知1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+【提示】将向量AD 利用向量的三角形法则首先表示为AC CD +，然后结合已知表示为AC AC ，的形式．【考点】向量运算． 8.【答案】D【解析】由五点作图知，1π42,53π42ωϕωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得ππ,4ωϕ==，所以π()cos π,4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2ππ2ππ,,4k x k k π<+<+∈Z 解得1322,,44k x k k -<<+∈Z故()f x 的单调递减区间为132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选D ．【提示】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间． 【考点】三角函数运算． 9.【答案】C【解析】执行第1次，0.01,1,t S ==10,0.5,2n m === 0.5,0.25,2mS S m m =-===1,0.50.01n S t ==>=，是，循环，执行第2次， 0.25,0.125,2mS S m m =-===2,0.250.01n S t ==>=，是，循环，执行第3次，0.125,0.0625,2mS S m m =-===3,0.1250.01n S t ==>=，是，循环，执行第4次，0.0625,0.03125,2mS S m m =-===4,0.06250.01n S t ==>=，是，循环，执行第5次，0.03125,0.015625,2mS S m m =-===5,0.031250.01n S t ==>=，是，循环，执行第6次，0.015625,0.0078125,2mS S m m =-===6,0.0156250.01n S t ==>=，是，循环，执行第7次，0.0078125,S S m =-=2mm =0.00390625=， 7,0.00781250.01n S t ==>=，否，输出7,n =故选C ．【提示】由题意依次计算，当7,0.00781250.01,n S t ==>=停止由此可得结论． 【考点】程序框图． 10.【答案】C【解析】在25()x x y ++的五个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为212532C C C 30,=故选C ．【提示】利用展开式的通项进行分析，即可得出结论． 【考点】二项式展开式． 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是r ，圆柱的高为2r ，其表面积为222214ππ2π225π41620π2r r r r r r r r ⨯+⨯++⨯=+=+，解得r=2，故选B ．【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【考点】空间几何体的表面积． 12.【答案】D【解析】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()e (21)xg'x x =+，所以当12x <-时，'()0g x <，当12x >-，()0,g'x >所以当12x =-时，12min [()]2e g x -=-．当0x =时(0)1g =-，(1)e 0g =>，直线y ax a =-恒过(1,0)且斜率a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3e g a a --=-≥--，解得312ea ≤<，故选D ．【提示】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，由导数可得函数的极值，数形结合可得(0)1a g ->=-且1(1)3e g a a --=-≥--，解关于a 的不等式组可得．【考点】带参函数．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以22ln(ln(ln()ln 0x x a x x a +-=+-==，解得 1.a =【提示】由题意可得，()()f x f x -=，代入根据对数的运算性质即可求解 【考点】函数奇偶性．14.【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭【解析】设圆心为(,0)a ，则半径为4a -，则222(4)2,a a -=+解得32a =±， 故圆的标准方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭．【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【考点】圆的标准方程． 15.【答案】3【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值3.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定y x的最大值．【考点】线性规划问题．16.【答案】【解析】如下图所示：延长BACD ，交于点E ，则可知在△ADE 中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30,E ∠=︒∴设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =，2BC =，sin151m ⎫∴+︒=⎪⎪⎝⎭⇒m +=∴04x <<，而2AB m x +-,2x∴AB的取值范围是．【提示】如图所示，延长BACD ，交于点，设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =m +=AB 的取值范围． 【考点】平面几何问题． 三．解答题17.【答案】（Ⅰ）21n + （Ⅱ）11646n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（1）知，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以数列{}n b 前n 项和为121111111=235572123n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11646n -+． 【提示】（Ⅰ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和．【考点】数列前n 项和与第n 项的关系，等差数列定义与通项公式． 18.【答案】（Ⅰ）答案见解析 【解析】（Ⅰ）连接BD ，设,BDAC G =连接EG FG EF ，，，在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由∠ABC=120°，可得AG GC ==由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =， 又∵AE EC ⊥，∴EG EG AC =⊥，在Rt EBG △中，可得BE，故DF =在Rt FDG △中，可得FG =在直角梯形BDEF 中，由2BD =，BE，2DF =，可得2EF =， ∴222EG FG EF +=， ∴EG FG ⊥， ∵ACFG G =，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂平面AEC ， ∴平面AFC ⊥平面AEC ．（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得0,A （，(E，2F ⎛- ⎝⎭，C ，∴AE =，1,CF ⎛=- ⎝⎭．故cos ,3||||AE CFAE CF AE CF <>==-，所以直线AE 与CF ．【提示】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG EF FG ，，，运用线面垂直的判定定理得到EG ⊥平面AFC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到.（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB GC ，为x 轴，y 轴，GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，求得AE F C ，，，的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【考点】空间垂直判定与性质，异面直线所成角的计算．19.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）答案见解析 （Ⅲ）(i )66.32 (ii )46.24【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型．(Ⅱ)令w =先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8=68,16()iii ii w w yy d w w ==--==-∑∑ ∴56368 6.8100.6.==c y d w -⨯=-∴y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68y w ，y ∴关于x 的回归方程为y （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销量y的预报值576.6y =， 年利润z 的预报值=576.60.249=66.32z ⨯-（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值20.12z x =x +--，∴13.66.8,2=即46.24x =，z 取得最大值，故宣传费用为46.24千元时，年利润的预保值最大．【提示】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出．（Ⅱ）先建立中间量w =y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以解决．（Ⅲ）（Ⅰ）年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可． （ii ）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【考点】线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测． 20.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）由题设可得)Ma ，()N a -，或()M a-，)N a ．∵12yx '=，故24x y =在x =C在)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=，故24x y =在x =-处的导数值为，C 在()a -处的切线方程为y a x -=+，0y a ++=0y a --=0y a ++=． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)P b 为符合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，．将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=．∴12124,4x x k x x a +==-．∴1212121212122()()()=y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+． 当b a =-时，有12k k + =0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以(0,)P a -符合题意．【提示】（Ⅰ）求出C在)a 处的切线方程，故24x y =在x =-即可求出方程．（Ⅱ）存在符合条件的点(0,)P b ，11(,)M x y，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，直线方程与抛物线方程联立化为2440x kx a --=，利用根与系数的关系，斜率计算公式可得12()=k a b k k a++=即可证明． 【考点】抛物线的切线，直线与抛物线位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）34a =- （Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-，因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在(1,)+∞无零点． 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数．(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点．(ⅱ)若30a -<<，则()f x在⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故当x =()f x取的最小值，最小值为14f =．①若0f >，即304x -<<，()f x 在(0,1)无零点．②若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时， ()f x 在(0,1)有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．【提示】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=解出即可． （Ⅱ）对x 分类讨论：当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，可得函数(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，即可得出零点的个数．当1x =时，对a 分类讨论利用导数研究其单调性极值即可得出．【考点】利用导数研究曲线的切线，分段函数的零点． 22.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）60ACB ∠=【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，AE BC AC AB ⊥⊥，，在Rt AEC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠，连接OE ，OBE OEB ∠=∠， ∵90ACB ABC ∠+∠=， ∴90DEC OEB ∠+∠=，∴90OED ∠=，∴DE 是圆O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由已知得AB =，BE =，由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =x = ∴60ACB ∠=．【提示】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=，可得DE 是O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由射影定理可得关于x的方程2x =，解方程可得x 值，可得所求角度．【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理． 23.【答案】(Ⅰ)22cos 4sin 40ρρθρθ--+= (Ⅱ)12【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（Ⅱ）将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ12=MN ρρ-，因为2C 的半径为1，则2C MN △的面积111sin 45=22⨯．【提示】（Ⅰ）由条件根据cos sin x y ρθρθ==，求得12C C ，的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，求得12ρρ，的值，从而求出2C MN △的面积．【考点】直角坐标方程与极坐标互化，直线与圆的位置关系．24.【答案】（Ⅰ）22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）(2)+∞，【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，∴不等式()1f x >的解集为22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以ABC △的面积为22(1)3a +， 由题设得22(1)63a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为(2)+∞，． 【提示】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。
河北省“五个一名校联盟”高三监测(二)——数学(理)数学(理)
河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（二）数学(理)试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上． 1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则（ ） A ． B ． C ． D ．2． 已知是虚数单位，和都是实数，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，则的值为 A ． B ． C ． D ．4．设为两个非零向量，则“”是“与共线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分， 为该题的最终得分，当时，等于 A ． B ． C ． D ． 6．已知，且，则A ．B ．C ．D ． 7．已知,点在内，且，设，则等于（ ）A ．B ．3C ．D ． 8．等差数列的前项和为，且，，则过点和()的直线的一个方向向量是( )A ．B ．C ．D ．9．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为( )A ．B ．4C ．D ．10．在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位）A ．B ．C ．D ．12．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为 A ． B ． C ． D ．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．13．的展开式中的系数为 ＊ ＊ ．14．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为 ＊ ＊ ．15．设点满足条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥≤2200x y y x ，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是＊ ＊ ．16．在中，若，则的最大值 ＊ ＊ ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列的各项均为正数，前项和为，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求． 18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，． （Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程； （Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若有两个极值点，证明：．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 已知外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至,延长交的延长线于． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅． 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知，对，14|21||1|x x a b+≥--+恒成立，求的取值范围．参考答案第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：BDADC CBADB AC 二、填空题：13． -200 ．14． ．15． ．16． ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列的各项均为正数，前项和为，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= （Ⅰ）求证数列是等差数列； （Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求 解：（Ⅰ）)(2)1(*N n a a S n n n ∈+=① )2(2)1(111≥+=---n a a S n n n ②①-②得：21212----+=n n n n n a a a a a 整理得：()111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a数列的各项均为正数，时，数列是首项为公差为的等差数列 6分 （Ⅱ）由第一问得 222112(1)1n b n n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+++⎝⎭ 1111111122(1)()2122334111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12分18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于分钟的概率） 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=． 所以． 3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：，因为，所以1200名新生中有名学生可以申请住宿． 6分 （Ⅲ）的可能取值为由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 10分 所以的分布列为：0123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或） 所以的数学期望为． 12分19．已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，． （Ⅰ）求证：PBD PAC ⊥平面平面；（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值． 19．解：（Ⅰ） 因为PA ⊥平面ABCD，所以PA ⊥BD………………2分 又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC………………4分 从而平面PBD ⊥平面PAC ． ……………6分（Ⅱ）方法1． 过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥PM,所以∠OHD 为O-PM-D 的平面角………………8分 又3,,44a a OD OM AM ===，且………………10分 频率/组距x0.0030.00650.025O从而·4a OH ==分tan ODOHD OH ∠===所以，即． ………………………12分法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则, , …………8分 从而333(0,,),(,,)88PD a b PM a a b =-=-………………9分 因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为．……10分设平面PMD 的法向量为,由得3330,088PD nay bz PM n ax ay bz ⋅=-=⋅=+-= 取,,x y b z a ===，即……………11分设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得531cos 5||||ab abOD n OD n a θ-+⋅===⋅从而，即． ……………12分 20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点． （Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程； （Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．解：（Ⅰ）联立2124y x by x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消并化简整理得． 依题意应有，解得． 设，则，设圆心，则应有121200,422x x y y x y ++===-． 因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又||AB =． 所以||28AB r ===， 解得．所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为． 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=． （Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以， 又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以， 直线：整理得，点到直线的距离，所以1||42AOB S AB d ∆==-= 令，， 24()343()g b b b b b '=+=+，由上表可得的最大值为．所以当时，的面积取得最大值． 21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若有两个极值点，证明：．解：（Ⅰ）时，2(),()2,x x f x x e f x x e '=-=-易知max ()(ln 2)2ln 220,f x f ''==-<从而为单调减函数．………………４分 （Ⅱ）有两个极值点， 即有两个实根，所以，得．(ln 2)2ln 220f a a a a '=->，得．………………6分又，所以………………8分111()20x f x ax e '=-=，得111121111()122x x x x x e f x ax e x e e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭………………10分1111()02x x f x e ⎛⎫-'=< ⎪⎝⎭，1(1)()(0)12ef f x f -=<<=-………………12分 另解：由两个实根，，当时，所以单调递减且，不能满足条件． 当时，所以单调递减且 当时，所以单调递增且， 故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即即，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．有两个实根，不是根，所以由两个实根，， 当时，所以单调递减且，不能满足条件． 当时，所以单调递减且 当时，所以单调递增且， 故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即即，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．解：(Ⅰ)证明：、、、四点共圆 ．………………2分且,EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,……………4分 ．………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,所以与相似, ，…………7分又, ， AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得，……………9分AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值． 解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为……………………………………………2分 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，[ 所以曲线的直角坐标方程为…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得… ………6分 令，得，即点的坐标为(2，0)．又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则… ……8分所以1MN MC r +=≤………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知，对，14|21||1|x x a b+≥--+恒成立，求的取值范围．解：∵ a ＞0，b ＞0 且a+b=1 ∴+=(a+b)( +)=5++≥9 ，故+的最小值为9，……5分因为对a ，b ∈(0，+∞)，使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立， 所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9， ∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x ＜时，-3x≤9，∴ -1＜x ＜，当 x≥时，x-2≤9， ∴≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分。
河北省“五个一名校联盟”2015届高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年河北省“五个一名校联盟”高考二模试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．1．设集合M ={x |x 2+2x ﹣15＜0}，N ={x |x 2+6x ﹣7≥0}，则M ∩N =（ ） A ．（﹣5，1] B ．[1，3） C ．[﹣7，3） D ．（﹣5，3）2．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1+i )=5+ni ，则=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣13．设若f (x )=，f (f (1))=8，则a 的值是（ ）A ．﹣1B ．2C ．1D ．﹣24．设为两个非零向量，则“•=|•|”是“与共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条5．如图中，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分．当x 1=6，x 2=9，p =8.5时，x 3等于（ ） A ．11 B ．10 C ．8D ．76．已知θ为锐角，且sin(θ﹣)=，则tan2θ=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．7．||=1，||=，•=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设=m+n(m 、n ∈R )，则等于（ ）A ．B ．3C ．D ．8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=10，S 4=36，则过点P (n ，a n )和Q (n +2，a n +2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．C ．D ．9．函数y =log a (x +3)﹣1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +2=0上，其中m ＞0，n ＞0，则的最小值为（ ）A．2B ．4C ．D ．10．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）A．B．C．D．11．多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(单位：cm)（）A．28+4B．30+4C．30+4D．28+412．若曲线C1：y=ax2(a＞0)与曲线C2：y=e x存在公共切线，则a的取值范围为（）A．B．C．[，+∞）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．13．(x2﹣x+2)5的展开式中x3的系数为．14．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为．15．设点P(x，y)满足条件，点Q(a，b)(a≤0，b≥0)满足•≤1恒成立，其中O是坐标原点，则Q点的轨迹所围成图形的面积是．16．在△ABC中，tan=2sinC，若AB=1，则AC+BC的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求T n．18．（12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）19．已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为，求a：b的值．20．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△A O B面积的最大值．21．已知函数f（x）=ax2﹣e x（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：﹣＜f（x1）＜﹣1．请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．选修4-1几何证明选讲22．选修4﹣1几何证明选讲已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．（I）求证．∠CDF=∠EDF（II）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．选修4-4：极坐标与参数方程选讲23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5《不等式选讲》．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），使+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．2015年河北省“五个一名校联盟”高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．1．设集合M={x|x2+2x﹣15＜0}，N={x|x2+6x﹣7≥0}，则M∩N=（）A．（﹣5，1]B．[1，3）C．[﹣7，3）D．（﹣5，3）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】分别求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+5）＜0，解得：﹣5＜x＜3，即M=（﹣5，3），由N中不等式变形得：（x﹣1）（x+7）≥0，解得：x≤﹣7或x≥1，即N=（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞），则M∩N=[1，3），故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=5+ni，则=（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】利用复数相等的条件求出m和n的值，代入后直接利用复数的除法运算进行化简．【解答】解：由m（1+i）=5+ni，得，所以m=n=5．则=．故选A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3．设若f（x）=，f（f（1））=8，则a的值是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，以及方程求解即可．【解答】解：f（x）=，f（f（1））=8，f（1）=lg1=0，f（f（1））=f（0）=0=t3=a3=8，解得a=2．故选：B．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点以及定积分的运算，考查计算能力．4．设为两个非零向量，则“•=|•|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论．【解答】解：若•=|•|，则||•||cos＜，＞=|||||cos＜，＞|，即cos＜，＞=|cos＜，＞|，则cos＜，＞≥0，则与共线不成立，即充分性不成立．若与共线，当＜，＞=π，cos＜，＞=﹣1，此时•=|•|不成立，即必要性不成立，故“•=|•|”是“与共线”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量共线的等价条件是解决本题的关键．5．如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．7【考点】选择结构．【专题】创新题型．【分析】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．【解答】解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据x1=6，x2=9，不满足|x1﹣x2|≤2，故进入循环体，输入x3，判断x3与x1，x2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由8.5=，解出x3=8．故选C．【点评】本题考查学生对算法基本逻辑结构中的循环结构和条结构的认识，考查学生对赋值语句的理解和认识，考查学生对程序框图表示算法的理解和认识能力，考查学生的算法思想和简单的计算问题．6．已知θ为锐角，且sin（θ﹣）=，则tan2θ=（）A．B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正切．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（θ﹣），可得tan（θ﹣），解方程求得tanθ，可得tan2θ=的值．【解答】解：∵θ为锐角，且sin（θ﹣）=，∴cos（θ﹣）=，∴tan（θ﹣）==，∴tanθ=，∴tan2θ==﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式、二倍角公式的应用，属于中档题．7．||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于（）A．B．3 C．D．【考点】向量的共线定理；向量的模．【专题】计算题；压轴题．【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．【解答】解：法一：如图所示：=+，设=x，则=．=∴==3．法二：如图所示，建立直角坐标系．则=（1，0），=（0，），∴=m+n=（m，n），∴tan30°==，∴=3．故选B【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．8．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=10，S4=36，则过点P（n，a n）和Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A．（﹣1，﹣1） B．C．D．【考点】直线的斜率．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由题意求出等差数列的通项公式，得到P，Q的坐标，写出向量的坐标，找到与向量共线的坐标即可．【解答】解：等差数列{a n}中，设首项为a1，公差为d，由S2=10，S4=36，得，解得a1=3，d=4．∴a n=a1+（n﹣1）d=3+4（n﹣1）=4n﹣1．则P（n，4n﹣1），Q（n+2，4n+7）．∴过点P和Q的直线的一个方向向量的坐标可以是（2，8）=﹣4（）．即为．故选B．【点评】本题考查了直线的斜率，考查了等差数列的通项公式，训练了向量的坐标表示，是中档题．9．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．2B．4 C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得点A（﹣2，﹣1）；故﹣2m﹣n+2=0；从而得=+=++2+；利用基本不等式求解．【解答】解：由题意，点A（﹣2，﹣1）；故﹣2m﹣n+2=0；故2m+n=2；=+=++2+≥4+=；当且仅当m=n=时，等号成立；故选D．【点评】本题考查了函数的性质应用及基本不等式的应用，属于基础题．10．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==1﹣=，故选B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．11．多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（单位：cm）（）A．28+4B．30+4C．30+4 D．28+4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．其中平面PAB⊥平面ABC，PB⊥AB，PB=AB=4，D为AB的中点，CD⊥AB，CD=4．即可得出．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．其中平面PAB⊥平面ABC，PB⊥AB，PB=AB=4，D为AB的中点，CD⊥AB，CD=4．∴该多面体的表面积S=+++=28+4．故选：A．【点评】本题考查了三棱锥的三视图的表面积、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，则a的取值范围为（）A．B．C．[，+∞）D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，∵曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，则设公切线与曲线C1切于点（），与曲线C2切于点（），则，将代入，可得2x2=x1+2，∴a=，记，则，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0．∴当x=2时，．∴a的范围是[）．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．13．（x2﹣x+2）5的展开式中x3的系数为﹣200．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r′的值，即可求得x3项的系数．【解答】解：式子（x2﹣x+2）5 =[（x2﹣x）+2]5的展开式的通项公式为T r+1=•（x2﹣x）5﹣r•2r，对于（x2﹣x）5﹣r，它的通项公式为T r′+1=（﹣1）r′••x10﹣2r﹣r′，其中，0≤r′≤5﹣r，0≤r≤5，r、r′都是自然数．令10﹣2r﹣r′=3，可得，或，故x3项的系数为•22•（﹣）+•23•（﹣）=﹣200，故答案为：﹣200．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出双曲线的一个焦点和一条渐近线，运用点到直线的距离公式，即可得到c=2b，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可计算得到．【解答】解：设双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线为y=x，则===b=×2c，即有c=2b，即有c=2，即有3c2=4a2，即有e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．15．设点P（x，y）满足条件，点Q（a，b）（a≤0，b≥0）满足•≤1恒成立，其中O是坐标原点，则Q点的轨迹所围成图形的面积是．【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【分析】由已知中在平面直角坐标系中，点P（x，y），则满足•≤1的点Q的坐标满足，画出满足条件的图形，即可得到点Q的轨迹围成的图形的面积．【解答】解：∵•≤1，∴ax+by≤1，∵作出点P（x，y）满足条件的区域如图，且点Q（a，b）满足•≤1恒成立，只须点P（x，y）在可行域内的角点处：A（﹣1，0），B（0，2），ax+by≤1成立即可，∴，即，它表示一个长为1宽为的矩形，其面积为：．故答案为：．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．在△ABC中，tan=2sinC，若AB=1，则AC+BC的最大值为．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【专题】解三角形．【分析】由已知式子化简变形讨论可得C=，再由正弦定理可得AC+BC=sin（﹣A）+sinA=cosA+sinA，由三角函数的最值可得．【解答】解：∵在△ABC中，tan=2sinC，∴tan（﹣）=2sinC，∴=2sinC，∴=4sin cos，即cos（4sin2﹣1）=0，解得cos=0或4sin2﹣1=0，∴C=π（舍去），或C=（舍去），或C=，又∵AB=1，∴==，∴AC=sinB，BC=sinA，又B=﹣A，∴AC+BC=sin（﹣A）+sinA=cosA+sinA，∴AC+BC的最大值为=故答案为：【点评】本题考查解三角形，涉及正弦定理和同角三角函数的基本关系，以及三角函数的化简求最值，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设，求T n ．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由，知，，所以（a n +a n﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）=0，由此能求出a n =n ．（Ⅱ）由，知，由此能求出T n ．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，①，②由①﹣②得：，（2分）（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）=0，∵a n ＞0，∴，又∵，∴a 1=1，∴，（5分）当n=1时，a 1=1，符合题意． 故a n =n ．（6分） （Ⅱ）∵，∴，（10分）故．（12分）【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和裂项求和法的合理运用．18．（12分）（2015•雅安模拟）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]． （Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（I）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值．（II）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．（Ⅲ）求出随机变量X可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．所以x=0.0125．（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12，因为600×0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，，，，，．0 1 2 3 4．（或）所以X的数学期望为1．【点评】本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望等，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，考查了识图的能力．19．已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为，求a：b的值．【考点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】综合题；空间向量及应用．【分析】（I）根据线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD⊥平面PAC．（II）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值为，即可求a：b的值．【解答】解：（I）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．（II）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，所以∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角又，且从而∴所以9a2=16b2，即．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．20．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圆心为（，﹣4）．故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，∴g（b）的最大值为g（﹣）=．∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．【点评】本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．21．已知函数f（x）=ax2﹣e x（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：﹣＜f（x1）＜﹣1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2﹣e x，f′（x）=2x﹣e x，f″（x）=2﹣e x，利用导数研究其单调性可得当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，即可得出．（II）f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），可得f′（x）=2ax﹣e x=0有两个实根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣e x=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e ＞0，可得0＜x1＜1＜ln2a，进而得出．【解答】（Ⅰ）解：a=1时，f（x）=x2﹣e x，f′（x）=2x﹣e x，f″（x）=2﹣e x，令f″（x）＞0，解得x＜ln2，此时函数f′（x）单调递增；令f″（x）＜0，解得x＞ln2，此时函数f′（x）单调递减．∴当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，∴函数f（x）在R上单调递减．（Ⅱ）证明：f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴f′（x）=2ax﹣e x=0有两个实根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣e x=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，∴0＜x1＜1＜ln2a，由f′（x1）==0，可得，f（x1）===（0＜x1＜1）．∴可知：x1是f（x）的极小值点，∴f（x1）＜f（0）=﹣1．f（x1）＞=﹣2ax1＞．【点评】本题考查了利用导数（两次求导）研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．选修4-1几何证明选讲22．选修4﹣1几何证明选讲已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．（I）求证．∠CDF=∠EDF（II）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【考点】与圆有关的比例线段；圆周角定理．【专题】综合题．【分析】（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．【解答】证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF∵∠BAD=∠FAB∴△BAD∽△FAB∴∴AB2=AD•AF∵AB=AC∴AB•AC=AD•AF∴AB•AC•DF=AD•AF•DF根据割线定理DF•AF=FC•FB∴AB•AC•DF=AD•FC•FB【点评】本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查三角形的相似，属于基础题．选修4-4：极坐标与参数方程选讲23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．【考点】直线和圆的方程的应用；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【专题】转化思想．【分析】（1）极坐标直接化为直角坐标，可求结果．（2）直线的参数方程化为直角坐标方程，求出M，转化为两点的距离来求最值．【解答】解：（1）曲C的极坐标方程可化为：ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．所以，曲C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0．（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：．令y=0得x=2即M点的坐标为（2，0）又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1）半径，∴．【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线的参数方程化为直角坐标方程，转化的数学思想的应用，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5《不等式选讲》．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），使+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式求得+的最小值等于9，由题意可得|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，分x≤﹣1时，﹣1＜x＜时，x≥时三种情况分别求出不等式的解集，再取并集，即得结果．【解答】解：∵a+b=1，且a＞0，b＞0，∴+=（a+b）（+）=5++≥5+2=9，故+的最小值等于9．要使+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，所以，|2x﹣1|﹣|x+1|≤9．当x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1．当﹣1＜x＜时，﹣3x≤9，∴﹣1＜x＜．当x≥时，x﹣2≤9，∴≤x≤11．综上，﹣7≤x≤11．【点评】本题考查基本不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题．。
2015年河北省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅰ)
2015年河北省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．22．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3125．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．6011．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．812．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i﹣）（w i ﹣）（y i ﹣）46.6563 6.8289.8 1.61469108.8表中w i =1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年河北省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2015•新课标Ⅰ）设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）（2015•新课标Ⅰ）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．3．（5分）（2015•新课标Ⅰ）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）（2015•新课标Ⅰ）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5．（5分）（2015•新课标Ⅰ）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）（2015•新课标Ⅰ）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7．（5分）（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．8．（5分）（2015•新课标Ⅰ）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos （πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9．（5分）（2015•新课标Ⅰ）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）（2015•新课标Ⅰ）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．=，【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．11．（5分）（2015•新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（5分）（2015•新课标Ⅰ）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g （x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）（2015•新课标Ⅰ）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a= 1．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），若x=0，显然成立；若x≠0则﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴，∴lna=0，∴a=1．另解：函数f（x）=xln（x+）为偶函数，可得g（x）=ln（x+）为R上奇函数，即g（0）=0，即有a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．14．（5分）（2015•新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．15．（5分）（2015•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．（5分）（2015•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．【分析】如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m﹣x=+﹣x，∴AB的取值范围是（﹣，+）．故答案为：（﹣，+）．方法二：如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为﹣；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；故答案为：（﹣，+）．【点评】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：17．（12分）（2015•新课标Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：（Ⅱ）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）=4a n+1，即2（a n+1+a n）=a n+12﹣a n2=（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．18．（12分）（2015•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE 丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AE⊥EC，所以EG=，且EG⊥AC，在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，在直角三角形FDG中，可得FG=，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF=，从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），F（﹣1，0，），C（0，，0），即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），故cos＜，＞===﹣．则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）（2015•新课标Ⅰ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i﹣）（w i ﹣）（y i ﹣）46.6563 6.8289.8 1.61469108.8表中w i =1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，=﹣=563﹣68×6.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，当==6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20．（12分）（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y′=，∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM=∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【分析】（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：当或a＜时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）（2015•新课标Ⅰ）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC 交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．选修4一5：不等式选讲24．（10分）（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f （x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；qiss；maths；changq；caoqz；豫汝王世崇；cst；lincy；吕静；双曲线；whgcn；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。
河北省石家庄市2015届高三下学期一模考试数学(理)试题 (Word版含答案)
2015届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)A 卷（时间120分钟，满分150分）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第1卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则复数131ii-+= A.2+i B.2-i C.-l-2i D.-1+2i2．已知集合 {}{}0,1,2,|3xP Q y y ===，则 错误！未定义书签。
A. {}0,1B.{}1,2C. {}0,1,2D. ∅ 3.已知 cos ,,(,)2a k k R a ππ=∈∈，则 sin()a π+=A ．B ．C ．D ． k - 4．下列说法中，不正确的是A ．已知 ,,a b m R ∈，命题“若 22am bm <，则a<b ”为真命题； B ．命题“ 2000,0x R x x ∃∈->”的否定是：“ 2,0x R x x ∃∈-≤”； C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 命题均为真命题； D ．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件．5．已知偶函数f(x)，当 [)0,2x ∈时， ()sin f x x =，当 [)2,x ∈+∞时， 2()log f x x =则 ()(4)3f f π-+=A ．2 B.1 C ．3 D ． 26．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为A ．2B ．C ．4D ．67．如图，在三棱柱 111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2的正三角形，侧棱长为3，则 1BB 与平面 11ABC 所成的角的大 小为 A ．6π B ． 4π C ． 3π D ．2π8．已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在D 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确．则该测绘队员能够得到准确数据的概率是A ．12 B ． 2 c ． 12- D ． 12- 9．已知抛物线 22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为A ．B ．C 1+D 1+10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.64B.72C.80D.11211.已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形 一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4， CD=5．DA =3，则四边形ABCD 面积．s 的最大值为A ．B ．C ．D ． 12．已知函数 ln x>0()241,0x f x x x x ⎧⎪=⎨++≤⎪⎩，若关于戈的方程 2()()0f x bf x c -+=(,b c R ∈）有8个不同的实数根，则由点(b ，c)确定的平面区域的面积为 A ．16 B ． 13 C ． 12 D ． 23第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知平面向量a ，b 的夹角为22,13a b π==，，则 a b +=__________． 14.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为_________（用数字作答）． 15.设过曲线 ()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 1l ，总存在过曲线 ()2cos g x ax x =+上一点处的切线 2l ，使得 12l l ⊥，则实数a 的取值范围为______．16.已知椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为 12,F F ，设P 为椭圆上一点，12F PF ∠的外角平分线所在的直线为 l ，过 1,F F 分别作 l 的垂线，垂足分别为R ，S ，当P 在椭圆上运动时，R ，S 所形成的图形的面积为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项和为 11,1,1(,1)n n n S a a S n N λλ*+==+∈≠-，且12323a a a +、、为等差数列 {}n b 的前三项．(I)求数列 {}n a 、 {}n b 的通项公式； (II)求数列 {}n n a b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为112,,223，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元． (I)求集成电路E 需要维修的概率；(II)若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠BAC=∠BAD=90，∠PAB=∠PAD=α(I)当 t =试在棱PA 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时 AEEP的值； (II)当α=60 时，若平面PAB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长．20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点 1(,0)2且与直线 12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(I)求曲线E 的方程；(II)设P 是曲线E 上的动点，点B 、C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为 22(1)1x y -+= 求△PBC 面积的最小值． 21.（本小题满分12分） 已知函数 22()ln f x x a x x=++ (I)若以 ()f x 在区间[2，3]上单调递增，求实数a 的取值范围；(II)设 ()f x 的导函数 '()f x 的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点 1111(,)(,)A x y B x y 、所在直线的斜率为k ，求证：当 4a ≤时 1k >.请考生在第22—24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，已知O 和 M 相交于A 、B 两点，AD 为 M 的直径，延长DB 交 O 于C ，点G 为弧BD 中点，连结AG 分别交 O 、BD 于点E 、F ，连结CE. (I)求证： AG EF CD GD ⋅=⋅(II)求证： 22GF EF AG CE =23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线 1C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为ρ=2. (I)分别写出 1C 的普通方程， 2C 的直角坐标方程．(n)已知M ，N 分别为曲线 1C 的上、下顶点，点P 为曲线 2C 上任意一点，求 PM PN +的最大值．24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数()f x =R ．(I)求实数m 的取值范围．(II)若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足 2132n a b a b+=++时，求7a+4b 的最小值．2015年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试高三数学(理科答案)一、 选择题（A 卷）1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA 一、选择题（B 卷）1-5 DBADC 6-10 BACDB 11-12BA 二、 填空题1314 815 []1,2- 16 2aπ三、 解答题（阅卷时发现的正确解答，请教师参阅此评分标准酌情给分）17解：（1）解法1∵11(),n n a S n N λ*+=+∈∴11n n a S λ-=+(2)n ≥∴1n n n a a a λ+-=，即1(1)n n a a λ+=+(2),10n λ≥+≠， 又1211,11,a a S λλ==+=+∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………………………………2分 ∴23(1)a λ=+，∴24(1)1(1)3λλ+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=……………………4分∴12n n a -=，13(1)32n b n n =+-=-………………………………………………6分解法2：∵111,1(),n n a a S n N λ*+==+∈∴2111,a S λλ=+=+2321(11)121,a S λλλλλ=+=+++=++∴24(1)1213λλλ+=++++，整理得2210λλ-+=，得1λ=………………………2分∴11(),n n a S n N *+=+∈ ∴11n n a S -=+(2)n ≥∴1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， 又121,2a a ==∴数列{}n a 为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分 ∴12n n a -=，13(1)32n b n n =+-=- (6)分（2）1(32)2n n n a b n -=-∴121114272(32)2n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅………………………①∴12312124272(35)2(32)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅………②…………8分 ① —②得12111323232(32)2n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅12(12)13(32)212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………………………………10分整理得：(35)25nn T n =-⋅+…………………………………………………………12分18解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件,,A B C ，则112(),(),()223p A p B p C ===. 依题意，集成电路E 需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为11111()()()()22312p p ABC p A p B p C ===⨯⨯=； …………2分②3个元件中的2个不能正常工作，概率为2()()()()p p ABC ABC AB C p ABC p ABC p AB C =++=++11111111241223223223123=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯== ……………5分 所以,集成电路E 需要维修的概率为1211512312p p +=+=． ……………6分 （Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则5(2,)12B ξ，而100X ξ=，2257(100)()()(),0,1,2.1212k k kP X k P k C k ξ-===== (9)分X 的分布列为：………………10分4935252500100200144721443EX ∴=⨯+⨯+⨯= 或52501001002123EX E ξ==⨯⨯=. …………12分19解：X 0100200p49144 3572 25144AD 因为∥,BC 1,3A F A D F CBC ==所以因为EF ∥PC ,1=.3AE AF EP FC =所以-------------4证明二在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =,------------2 连接AC BD ，交于点F ,AD 因为∥,BC 1,2,AF AD FC BC AE AF EP FC ===所以所以 所以，EF ∥PC 因为PC ⊄平面BDE ，EF⊂平面BDE所以PC ∥平面BDE -------------4(2)取BC 上一点G 使得BG =连结DG ,则ABGD 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O . 连结,,,OA OB OD OG .0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，所以PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，因此PA PB PD ==, 所以OA OB OD ==,即点O 为正方形ABGD 对角线的交点,---------------7（或取BC 的中点G ,连结DG ,则ABGD 为正方形. 连接,AG BD 交于点O ，连接PO ，0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，00,,,90,90.PAB PAD PA PB PD OD OB POB POD POB POD POA POB POA PO ABCD ∆∆===∆≅∆∠=∠=∆≅∆∠=⊥所以和都是等边三角形，因此又因为所以得到，同理得，所以平面-----------7）,,OG OB OP 因为两两垂直，以O 坐标原点，分别以,,OG OB OP 的方向为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.000001100010010100O P A B D G --则（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）（，，）设棱BC 的长为t ，则,1,0)C ,22(1,0,1),(0,1,1),(,1,1),(0,1,1)t tPA PB PC PD =--=-=--=-- --------------9 ,111(,,),00,001,(1,1,1)PABx y z PA x z yz PB x PAB =⎧=--=⎧⎪⎨⎨-==⎩⎪⎩=-=-设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.m m m m -----------10222(,,),0(1)0,001,(11)PCD x y z PC y z PD y z y PCD =⎧=+-=⎪⎨=⎪⎪⎩--=⎩==-设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.n n n n-----------110,=m n 解得t=BC 即棱的长为20解：（1）由题意可知圆心到1(,0)2的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x =.………………………4分 （2）设00(,)P x y ，(0,),(0,)B b C c ，直线PB 的方程为：000()0y b x x y x b --+=， 又圆心（1，0）到PB 的距离为1，1=，整理得：2000(2)20x b y b x -+-=， …………………………6分同理可得：2000(2)20x c y c x -+-=，所以，可知,b c 是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两根， 所以：00002,,22y x b c bc x x --+==--……………………8分 依题意0bc <，即02x >，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-，因为2002y x =，所以： 0022x b c x -=-，………………10分所以00014(2)482(2)S b c x x x =-=-++≥-，当04x =时上式取得等号，所以PBC ∆面积最小值为8.………………………12分 解二：（2）设00(,)P x y ，直线PB ：00()y y k x x -=-与圆D 相切，则1=，整理得：22200000(2)2(1)10x x k x y k y -+-+-=，……………………6分20001212220002(1)1,22x y y k k k k x x x x--+=-=--,………………………8分 依题意02x >那么010020120()()B C y y y k x y k x k k x -=---=-， 由韦达定理得：12022k k x -=-，则0022B Cx y y x -=-，…………………10分所以00014()(2)482(2)B C S y y x x x =-=-++≥-当04x =时上式取得等号，所以PBC ∆面积最小值为8.…………………12分 21. 解：（1）由()22ln f x x a x x =++，得()'222af x x x x =-+．因为()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()'2220a f x x x x=-+≥在[]2,3上恒成立，………………2分即222a x x ≥-在[]2,3上恒成立，设22()2g x x x =-，则22()40g x x x'=--<，所以()g x 在[]2,3上单调递减，故max ()(2)7g x g ==-，所以7a ≥-．……………4分 （2）解法一：12121212()()11()()f x f x k f x f x x x x x ''-''>⇔>⇔->--而()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-故欲证()()''1212f x f x x x ->- ，只需证()12221212221x x ax x x x ++->…………………6分 即证()1212122x x a x x x x +<+成立∵()121212122x x x x x x x x ++>…………………8分设t =()()240u t t t t =+>，则()242u t t t'=-令()0u t '=得t =()4u t a ≥=>≥ ………………………10分∴()1212122x x x x a x x ++> ∴()()''1212f x f x x x ->-， 即1212()()1f x f x x x ''->- t()+∞()'u t_0 +()u t极小值∴当4a ≤时，1k >…………………12分 解法二：对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有()1212122x x x x x x ++>12x x＝12x x +3≥3 4.5a >> …………………8分 ∴ ()12221212221x x a x x x x ++-> 而()'222a f x x x x =-+ ∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-12x x >-…………………10分 故：()()''1212fx f x x x ->- ，即1212()()1f x f x x x ''->- ∴当4a ≤时，1k >………12分22. 证明：（1）连结AB ，AC ，∵AD 为M 的直径，∴090ABD ∠=，∴AC 为O 的直径, ∴0=90CEF AGD ∠=∠,∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠， ∴DAG ECF ∠=∠,ADG CFE ∠=∠ ∴CEF ∆∽AGD ∆，……………3分∴CE AGEF GD=， ∴GD CE EF AG ⋅=⋅。
河北省石家庄市2015届高三毕业班教学质量检测(一)数学(理)试题
石家庄市2015届高三复习教学质量检测（一）高三数学（理科）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题5分，共60分） 1．复数21i i =- A ．1i + B ．1i - C ．1i - D ．12i -2．已知集合2{|230}A x x x =--≤，{0,1,2,3,4}B =，则AB =A ．{1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{1,0,1,2,3}-D ．{0,1,2}3．已知向量(2,6)=--a ，||=b ，10⋅=-a b ，则向量a 与b 的夹角为 A ．150︒ B ．30-︒ C ．120︒ D ．60-︒4．已知双曲线2221()4x y a R a -=∈的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率为A ．35 B C D 5．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[2,1)x ∈-时，242,20(),,01x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则5()2f =A ．1-B ．1C ．12D ．0 6．设a 、b 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若a α⊥且a b ⊥，则//b α B ．若γα⊥且γβ⊥，则//αβ C ．若//a α且//a β，则//αβ D ．若//γα且//γβ，则//αβ7．已知函数3()sin 34(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，'()f x 为()f x 的导函数，则(2014)(2014)'(2015)'(2015)f f f f +-+--=A ．8B ．2014C ．2015D ．08．为了得到函数3cos 2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点A ．向右平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动6π个单位长度 C ．向左平行移动3π个单位长度 D ．向左平行移动6π个单位长度9．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为A ．7B ．9C ．10D ．11 10．二项式71(2)x x+的展开式中31x的系数是 A ．42 B ．168 C ．84 D ．2111．某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为A ．4πB ．283π C ．443π D ．20π侧视图俯视图正视图12．设函数()2(,x f x e x a a R e =+-∈为自然对数的底数)，若曲线sin y x =上存在点00(,)x y ，使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是A ．1[1,1]e e --++B ．[1,1]e +C ．[,1]e e +D ．[1,]e二、填空题（每题5分，共20分） 13．曲线23(xy ee =+为自然对数的底数)在0x =处的切线方程为_____.14．实数,x y 满足402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则x y -的最小值为_____.15．已知圆22:1C x y +=，过第一象限内一点(,)P a b 作圆C 的两条切线，切点分别为A B 、，若60APB ∠=︒，则a b +的最大值为_____.16．观察右图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数是_____.... ... ... ...11 27 40 40 27 119 18 22 18 97 11 11 75 6 53 31三、解答题（本大题共6个小题，共７０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3a =，2b =，2A B =，求c o s B 和c 的值．18．（本小题满分12分）已知{}n a 为公差不为0的等差数列，13a =，且1a 、4a 、13a 成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．19.（本小题满分12分）某学校为了解学生身体发育情况，随机从高一年级中抽取40人作样本，测量出他们的身高（单位：cm ），身高分组区间及人数见下表：2148ba[175,180][170,175)[165,170)[160,165)[155,160)人数分组（I ）求a 、b 的值并根据题目补全频率分布直方图；（II ）在所抽取的40人中任意选取两人，设Y 为身高不低于170cm 的人数，求Y 的分布列及期望．20.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1PA AD ==，E 、F 分别为PD 、AC 的中点．（I ）求证：//EF 平面PAB ；（II ）求直线EF 与平面ABE 所成角的大小．21．（本小题满分12分）定长为3的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，动点P 满足2BP PA =． （I ）求点P 的的轨迹曲线C 的的方程；（II ）若过点(1,0)的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求OM ON ⋅的最大值．22．(本小题满分12分)已知函数2()ln ,f x x x ax a R =+-∈． （I ）若3a =，求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 有两个极值点1x 、2x ，记过点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 的直线的斜率为k ，问是否存在a ，使22ak a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 石家庄市2015届高三第一次质量检测数学理科答案一、选择题：1-5CBCDA 6-10DADBC 11-12BA 二、填空题：13．24y x =+ 14．1- 15．3602 三、解答题 17.因为c=2,不合题意舍去，所以52c =.....................................10分 18．解(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得2(33)3(312)d d +=+，得2d =或0d =(舍)，……………………2分所以{}n a 的通项公式为3(1)221n a n n =+-=+……………………4分 （2）2(21)2n n n n b a n ==+123325272(21)2n n S n =+++++………………①…………②……………………6分222222,............2sin sin sin 3cos .............62sin 2494cos 2629100 (85)2c= (92)==∴===+-+-==-+==a bA B A BA aB B b a c b c B ac cc c c 解：分sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分分分解得或分23412325272(21)2n n S n +=+++++①－②得123132222222(21)2n n n S n +-=++++-+…………………8分1+12(12)22(21)2122(21)2n n n n n +-=+-+-=---……………………10分 ∴1(21)22n n S n +=-+……………………12分19. 解：（1）解：a=6 b=10……………………………2分……….5分（2）P （Y=0）=13063240228=C CP （Y=1）=6528240112128=C C C P （Y=2）=13011240212=C C35E （P ）=.…………………………12分20(1)分别取PA 和AB 中点M 、N ，连接MN 、ME 、NF ，则=NF ∥12AD ,=ME ∥12AD ,所以=NF ∥ME ,∴四边形M E F N为平行四边形.-------------2∴EF MN ∥,又,EF PAB ⊄平面,MN PAB ⊂平面∴EF ∥PAB 平面.- ------------4(2) 由已知得，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以AP AB AD ，，两两垂直．如图所示，以A 为坐标原点,分别以AP AD AB ,,为轴轴，轴，z y x 的正方向，建立空间直角坐标系xyz A -，所以(001),(000),B (1P A C D ，，，，，，，，，,1111(0),(0)2222E F ，，，，,所以,11(0)22EF =-，，, 11(0),(100)22AE AB ==，，，，,- ------------6设平面ABE 法向量(,,)n a b c =,0,0,n AE n AB ==所以11022b c a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1,0,1b a c ===-则 所以(0,1,1)n =-为平面ABE 的一个法向量 -------------8 设直线EF 与平面ABE 所成角为α, 于是1sin cos ,2EF n EF n EF nα=<>==.-------------10所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------12 解法2:在平面PAD 内作EH ∥PA H 于, 因为侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以EH ⊥底面ABCD . -------------6E 为PD 的中点,12EH =,1111224ABFS =⨯⨯= 11111334224E ABF ABF V S EH -==⨯⨯=-------------8 设点F 到平面ABE 的距离为h,E ABF F ABE V V --=11122ABESAB AE =⨯⨯=⨯= 1133ABFABESEH Sh =,4h =. -------------10设直线EF 与平面ABE 所成角为α,1sin 2h EF α==,所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------1221.解：（1）设A （0x ，0），B （0，0y ），P （,x y ），由2BP PA =得，00(,)2(,)x y y x x y -=--，即000032()223x x x x x y y y y y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩，————————————————————2分 又因为22009x y +=，所以223()(3)92x y +=，化简得：2214x y +=，这就是点P 的轨迹方程。