美赛：优化建模与LINGO计算----数学软件类
数系数允许变化范围
Objective Coefficient Ranges
(约束条件不变)
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges
x1系数由24 3=72 增加为303=90，
在允许范围内
• A1获利增加到 30元/kg，应否改变生产计划? 不变！
结果解释 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围
Ranges in which the basis is unchanged:
(目标函数不变)
Objective Coefficient Ranges
优化建模与LINGO计算
例1 加工奶制品的生产计划
问 题
1桶 牛奶 或
12h
8h
3kgA1 4kgA2
获利24元/kg 获利16元/kg
每天： 50桶牛奶 时间480h
至多加工100kgA1
制订生产计划，使每天获利最大
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/kg，应否改变生产计划？
基本 1桶
12h
模型 牛奶 或
8h
3kgA1 4kgA2
获利24元/kg 获利16元/kg
每天 50桶牛奶 时间480h
至多加工100kgA1
决策变量 目标函数
约束条件
x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
获利 24×3x1
获利 16×4 x2
每天获利 max z 72 x1 64 x2
原料供应
0.000000
X2 30.00000
0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1单位时“效益”的增 量
影子价格
1 3360.000 MILK 0.000000
1.000000 48.00000 原料增加1单位, 利润增长48
TIME 0.000000 2.000000 时间增加1单位, 利润增长2
x1系数范围(64,96) x2系数范围(48,72)
Row Current Allowable Allowable
MILK TIME CPCT
RHS 50.00000 480.0000 100.0000
Increase Decrease 10.00000 6.666667 53.33333 80.00000 INFINITY 40.00000
源
“资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
Global optimal solution found.
Objective value:
3360.000
结果解释
Total solver iterations:
2 最优解下“资源”增加
Variable Value
Reduced Cost
X1 20.00000
max = 72*x1+64*x2; Objective value:
3360.000
[milk] x1 + x2<50; Total solvariable Value
Reduced Cost
12*x1+8*x2<480;
X1 20.00000
0.000000
CPCT 40.00000
0.000000 加工能力增长不影响利润
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗?
35 <48, 应该买！
• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元！
敏感性分析 (“LINGO|Ranges” )
最优解不变时目标函
Ranges in which the basis is unchanged:
X2 30.00000
0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 3360.000
1.000000
MILK 0.000000
48.00000
TIME 0.000000
2.000000
CPCT 40.00000
0.000000
结果解释
model:
Global optimal solution found.
x1 x2 50
线性 规划
劳动时间
12 x1 8x2 480
模型
加工能力
3x1 100
(LP)
非负约束
x1, x2 0
目标函数 max z 72 x1 64 x2
约束条件
x1 x2 50 12 x1 8x2 480 3x1 100
x1, x2 0
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
线性 规划 模型
(LP)
模型求解
软件实现
LINGO
Global optimal solution found.
Objective value:
3360.000
Total solver iterations:
2
Variable Value
Reduced Cost
X1 20.00000
0.000000
[cpct] 3*x1<100;
X2 30.00000
0.000000
end
Row Slack or Surplus Dual Price
三
原料无剩余
种
时间无剩余
资 加工能力剩余40
1 MILK TIME CPCT
3360.000 0.000000 0.000000 40.00000
1.000000 48.00000 2.000000 0.000000
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 72.00000 24.00000 8.000000
X2 64.00000 8.000000 16.00000
Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
MILK TIME
RHS Increase 50.00000 10.00000 480.0000 53.33333
Decrease 6.666667 80.00000
原料最多增加10 时间最多增加53
CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000
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数学建模中的优秀软件——LINGO
第９卷第３期２００７年６月黄山学院学报ＪＯｕｒｎａｌ０ｆＨｕａｎｇｓｈａｎＵｎｉＶｅｆｓｉｔｙＶｏ】．９．ＮＯ．３Ｊｕｎ．２００７数学建模中的优秀软件——ＬＩＮＧＯ周甄川（黄山学院数学系，安徽黄山２４５０４１）摘要：介绍了数学建模的相关概念、数学建模竞赛概况，探讨了ＬＩＮＧｏ系统的功能与特点，以及它在数学建模中的应用。
关键词：数学模型；数学建模；ＬｌＮＧｏ系统中图分类号：ＴＰ３１９：０１４１．４文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—４４７ｘ（２００７）０３—０１１２—０３在对自然科学与社会科学许多课题的研究中，科学工作者常将事物的变化规律用特定的数学表达式的形式加以描述。
将寻求这种确定事物变化规律的过程称为“数学建模”。
而在数学建模以及全国大学生数学建模竞赛中，最常碰到的是一类决策问题，即在一系列限制条件下，寻求使某个或多个指标达到最大或最小，这种决策问题通常称为最优化问题【１】。
最优化理论是近几十年发展和形成的一门新兴的应用性学科。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最优设计、最优决策、最佳管理等最优化问题。
主要研究方法是定量化、系统化和模型化方法，特别是运用各种数学模型和技术来解决问题。
它主要由决策变量、目标函数、约束条件三个要素组成。
当遇到的实际问题时即使建立了模型，找到了解的方法，对于较大的计算量也是望而却步，ＬＩＮＧｏ系列优化软件包就给我们提供了理想的选择。
１什么是数学建模数学建模（ＭａｔｈｅＩｍｔｉｃａｌＭｏｄｅｌｉｎ曲‘１１顾名思义就是建立数学模型以解决实际问题的过程。
它利用数学和计算机对实际问题进行分析研究，抽象出反映事物内在活动规律的数学关系表达式，通过对这些数学关系表达式的求解和反复验证，最终解决实际问题。
数学是所有自然科学的基础，随着计算机软硬件技术的迅速发展，数学建模和与之相伴的计算已逐渐成为工程设计的关键工具，并在人类社会实践活动中的众多领域内发挥着越来越重要的作用。
那么，什么是数学模型？如何建立数学模型？如何用数学模型解决实际问题呢？模型就是对事物的一种抽象。
优化建模与LINGO
0 ⋅ x1 + 2 ⋅ x2 ≤ 12
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
产品 资源 设备/台时 设备 台时 原料A/吨 原料 吨 原料B/吨 原料 吨 单位赢利/万元 单位赢利 万元
甲 3 1 0 3
乙 2 0 2 5
资源量 18 4 12
ห้องสมุดไป่ตู้
相应的数学模型
max z = 3 x 1 + 5 x 2
3 x 1 + 2 x 2 ≤ x ≤ 1 2 x 2 x 1 ≥ 0 , x 2 18 4 ≤ 12 ≥ 0
表3
单位运价 销 地 产 地 甲 乙 销 量 21 51 1700 25 51 1100 7 37 200 2000 1000
A
B
C
产 量
确定调运方案就是确定从不同产地到各个销地的运输量 运输量。 分析 确定调运方案就是确定从不同产地到各个销地的运输量。 表示这些要找的运量。 设 x ij 表示这些要找的运量。 分别表示从甲地调往A、 、 三地的运量 三地的运量。 即x 11 、 x 12 、 x 13分别表示从甲地调往 、B、C三地的运量。 x 21 、 x 22 、 x 23分别表示从已地调往 、B、C三地的运量。 分别表示从已地调往A、 、 三地的运量 三地的运量。
定价问题的数学模型
max z = 3 x1 + 5 x2
s.t.
3 x 1 + 2 x 2 ≤ 18 x ≤4 1 2 x 2 ≤ 12 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
min W = 18 y1 + 4 y 2 + 12 y3 3 y1 + y 2 ≥ 3 s.t .2 y1 + 2 y3 ≥ 5 y , y , y ≥ 0 1 2 3
数学建模讲座优化建模与LINGO优化软件
x1 x2 50
12x1 8x2 480
约束条件
劳动时间 加工能力 非负约束
3x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
模型求解
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
max =72*x1+64*x2; x1+x2<50;
REDUCED COST 0.000000
Lingo
基 础
计算结果为
Objective value:89.88349
模型的集部分
LINGO 有 两 种 类 型 的 集 ： 原 始 集 ( primitive set) 和 派 生 集 ( derived set)。 一个原始集是由一些最基本的对象组成 的。 一个派生集是用一个或多个其它集来定 义的，也就是说，它的成员来自于其它 已存在的集。
如果在Lingo文件example3_4.lg4 加上以下内容 其他不变 data:
@ole("d:\ 数 学 建 \EXAMPLE3_4.XLS","result")=c; @ole("d:\ 数 学 \EXAMPLE3_4.XLS","x")=x; 建 模 模
@ole("d:\ 数 学 \EXAMPLE3_4.XLS","y")=y;
@OLE 的使用例子 Lingo文件example3_4.lg4 的内容 data: a,b,d,e=@OLE("d:\数学建模 \EXAMPLE3_4.XLS"); enddata init: x,y=@Ole("d:\数学建模 \Example3_4.xls"); endinit
(外校培训课件)优化模型与LINGO软件求解——LINGO学习集全资料文档
NLP: 非线性规划
(2)最优状态 全局全优
(3)最优目标值: 10
约束条件情况最优解： (1)约束总个数X4=100,按方法4 (2)非线性个数X6=50, 按方法6
25
[例1] 下料(截割问题)及求解
❖ [模型-2]的求解结果：
最优目标函 数值：90
x1=40, 按方法1截割 x2=20, 按方法2截割 x6=30. 按方法6截割
26
[例1] 下料(截割问题)及求解
❖ 求解结果分析：
在追求“余料最少”目标时，“≥”约 束把条件放宽了。
修正方法：改为“=”约束
模型(1)的求解结果： 最优目标(余料)=10m
(x4,x6)=(100,50) 耗用原料 = 150根
是否符 合原问 题要求?
不符合。 (1)问题出在哪里? (2)如何修正?
2
一、竞赛题中的优化模型总结
❖ 2.优化类竞赛题小结 ❖ 在全国数模竞赛中，优化问题是出现频率最
高的一类竞赛题。 ❖ 从1992-20××年全国大学生数模竞赛试题
的解题方法统计结果来看，优化模型共出现 了17次以上，占到了50%。 ❖ 即每两道竞赛题中就有一道涉及到利用优化 理论来建模和求解。
3
一、竞赛题中的优化模型总结
题
13
(三) 典型数学规划问题及求解
❖ 例1 下料(截割)问题及求解 ❖ 例2 运输问题及求解 ❖ 例3 非线性规划问题及求解 ❖ 例4 分派(选址)问题及求解 ❖ 例5 动态规划问题及求解
14
[例1] 下料(截割)问题及求解
1. 问题提出 2. 建立数学模型 3. 编写LINGO求解程序 4. 执行程序 5. 获得计算结果并分析 6. 修正模型，重新求解 7.课后作业 8.编程小结
LINGO软件在优化模型中的应用
羊羽lingo是linearinteractivegeneraloptimizer的缩写即交互式的线性和通用优化求解器由美国lindo系统公司推出的可以用于求解非线性规划也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等功能十分强大是求解优化模型的最佳选择
LINGO软件 ——在优化模型中的应用
腾讯微博：羊羽
LINGO软件在优化模型中的应用
LINGO软件在优化模型中的应用
解：设每天用x1 桶牛奶在甲车间生产，用x2 桶牛 奶在乙车间生产，可获利z 元。
则该问题的数学模型为： max z=72x1+64x2 s.t x1+x2≤50 12x1+8x2≤480 3x1≤100 x1,x2≥0
LINGO软件在优化模型中的应用
结果：
这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值 为z=3360，即用20 桶牛奶在甲车间生产，30 桶 牛奶在乙车间生产，可获最大利润3360 元。
优点
3）强大的求解器 LINGO拥有一整套快速的，内建的求 解器用来求解线性、非线性、二次约束和 整数优化问题。
LINGO软件在优化模型中的应用
优点
4）交互式模型 在LINGO内可以直接创建和求解模型， 也可以从自己编写的应用程序中直接调用 LINGO。对于开发交互式模型，LINGO提 供了一整套建模环境，用来求解和分析构 建的模型。
从该问题的求解我们可以看到用LINGO 软件求 解线性规划是非常方便、快捷的，比单纯形法人 工计算效率高很多。
LINGO软ห้องสมุดไป่ตู้在优化模型中的应用
附加问题：
1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临 时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，甲车间奶制品的获利增加 到30元，应否改变生产计划？
LINGO软件 ——在优化模型中的应用
腾讯微博：羊羽
LINGO软件在优化模型中的应用
LINGO软件在优化模型中的应用
解：设每天用x1 桶牛奶在甲车间生产，用x2 桶牛 奶在乙车间生产，可获利z 元。
则该问题的数学模型为： max z=72x1+64x2 s.t x1+x2≤50 12x1+8x2≤480 3x1≤100 x1,x2≥0
LINGO软件在优化模型中的应用
结果：
这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值 为z=3360，即用20 桶牛奶在甲车间生产，30 桶 牛奶在乙车间生产，可获最大利润3360 元。
优点
3）强大的求解器 LINGO拥有一整套快速的，内建的求 解器用来求解线性、非线性、二次约束和 整数优化问题。
LINGO软件在优化模型中的应用
优点
4）交互式模型 在LINGO内可以直接创建和求解模型， 也可以从自己编写的应用程序中直接调用 LINGO。对于开发交互式模型，LINGO提 供了一整套建模环境，用来求解和分析构 建的模型。
从该问题的求解我们可以看到用LINGO 软件求 解线性规划是非常方便、快捷的，比单纯形法人 工计算效率高很多。
LINGO软ห้องสมุดไป่ตู้在优化模型中的应用
附加问题：
1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临 时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，甲车间奶制品的获利增加 到30元，应否改变生产计划？
美赛建模十类算法总结
1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab 进行处理）1、蒙特卡罗方法（MC）（Monte Carlo）：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。
数学建模软件LinDoLinGo的简介(修改版)
优化模型的基本类型
若x的一个或多个分量只取离散数值，则优 化模型称为离散优化，或称为组合优化。 如果x的一个或多个分量只取整数数值，称 为整数规划，并可以进一步明确地分为纯 整数规划（x的所有分量只取整数数值）和 混合整数规划（x的部分分量只取整数数 值）。特别地，若x的分量中取整数数值的 范围还限定为只取0或1，则称0－1规划。 此外，整数规划也可以分成整数线性规划 和整数非线性规划。
LINDO/LINGO软件 使用简介
LinDo/LinGo简介
LINDO（Linear Interactive and Discrete Optimizer），即“交互式的线性和离散优化求解 器”，可以用来求解线性规划（LP）和二次规划 （QP）；
LINGO（Linear Interactive and General Optimizer），即“交互式的线性和通用优化求解 器”，除了用来求解线性规划（LP）、二次规划 （QP）和非线性规划，还可用于线性和非线性方程 组的求解。
最大的特色：允许决策变量是整数（即整数规划，包 括0-1规划）。
优化建模的一般形式
优化模型是一种特殊的数学模型，优化建 模方法是一种特殊的数学建模方法。
优化模型一般有以下三个要素： 1）决策变量 2）目标函数 3）约束条件
优化建模的一般形式
优化模型从数学上可表述成如下一般形式：
opt z f (x)
连续优化
优化
整数规划
线性规划
二次规划
非线性规划
问题求解的难度增加
优化模型的简单分类和求解难度
简单例子
max
z 2x 3y;
s.t.
4x 3y 10; 3x 5y 12; x, y 0.
优化建模与lingo优化软件
Teaching Plan on Optimization in Lingo
• 1992年: (Ａ)作物生长的施肥效果问 题 (B)化学试验室的实验数据分解问题 • 1993年: (Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题 (Ｂ)足球甲级联赛排名问题
（1）1992-2008全国大学生数学建 模竞赛题目如下：
4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值
5、模型中使用的参数数量级要适当 (如小于103)
Teaching Plan on Optimization in Lingo
优化问题1：
min z ( x1 1) 2 ( x1 x 2) 2 ( x 2 x3) 2 ( x3 x 4) 2 ( x 4 x5) 2
Teaching Plan on Optimization in Lingo
• 2009 (A)制动器试验台的控制方法分析 (B)眼科病床的合理安排 (C)卫星和飞船的跟踪测控 (D)会议筹备
Teaching Plan on Optimization in Lingo
(最)优化理论是运筹学的基本内容
3 x1 x2 2 x3 3 2 x2 x3 x4 2 s.t x1 x5 2 5 x 5 i
i 1,2,5
Teaching Plan on Optimization in Lingo
需要掌握的几个重要方面
LINGO：
掌握集合(SETS)的应用；
非 线 性 规 划
整 数 规 划
组 合 优 化
不 确 定 规 划
多 目 标 规 划
目 标 规 划
网 络 优 化
动 态 规 划
Teaching Plan on Optimization in Lingo
优化建模与LINGO第05章
优化建模
§5.1.3 求解模型
3种解法
的采购量x分解为三个量 第1种解法 将原油 的采购量 分解为三个量，即用 1， 种解法 将原油A的采购量 分解为三个量，即用x x2，x3分别表示以价格 、8、6千元 吨采购的原油 的吨 分别表示以价格10、 、 千元 吨采购的原油A的吨 千元/吨采购的原油 总支出为c(x) = 10x1+8x2+6x3，且 数，总支出为 x = x1 + x2 + x3 (9) 这时目标函数（2）变为线性函数： 这时目标函数（ ）变为线性函数：
500 y 2 ≤ x1 ≤ 500 y1
500 y 3 ≤ x 2 ≤ 500 y 2 x3 ≤ 500 y 3
(14) (15) (16) (17)
y1，y2，y3 =0或1 或
优化建模
（3）~（10），（13）~（17）构成混合整数线性 10），（13） ），（13 17） 规划模型，将它输入LINDO软件： LINDO软件 规划模型，将它输入LINDO软件：
优化建模
优化建模与LINDO/LINGO软件 优化建模与LINDO/LINGO软件 LINDO/LINGO
第5 章 生产与服务运作管理中的优化问题
优化建模
内容提要
§5.1 生产与销售计划问题 §5.2 有瓶颈设备的多级生产计划问题 §5.3 下料问题 §5.4 面试顺序与消防车调度问题 §5.5 飞机定位和飞行计划问题
优化建模
第2种解法: 种解法: 引入0 变量将（11） 12） 引入0-1变量将（11）和（12）转化为线性约束 分别表示以10千元 令y1=1，y2=1，y3=1分别表示以 千元 吨、8千元 ， ， 分别表示以 千元/吨 千元 /吨、6千元 吨的价格采购原油 ，则约束（11） 千元/吨的价格采购原油 吨 千元 吨的价格采购原油A，则约束（ ） 和（12）可以替换为 ）
数学建模优化模型与Lingo Lindo软件
型
表二 ：5名队员4中泳姿百米平均成绩
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
例-1 某服务部门一周中每天需要不同数目的
雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五
需要80人，周六和周日需要90人。现规定应
聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周
线
一到周日每天聘用多少人，是5在满足需要的 前况下聘用总人数最少？
性
优化模型
规
决策变量：记周一到周日每天聘用的人数分别为X1，
划
X2，X3，X4，X5，X6 ，X7，这就是问题的决策变量。
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
目标函数：当队员队员 i 入选泳姿 j 的比赛时，
cij xij表示他的成绩，否则cij xij=0。于是接力队的成绩
可以表示为：
45
f
cij xij
j1 i1
约束条件：根据组成接力队的要求， xij 应该满足下面
方案。显然这不是解决问题的最好方法，随着问题
线
规模的变大，穷举法的计算量是无法接受的。
性
可以用0-1变量表示一个队员是否入选接力队， 从而建立这个问题的0-1规划模型.