《当代中学生报》2014年高考泄露天机(数学文)

《当代中学生报》2014年高考泄露天机数学（文科）一、选择题1.已知集合{}{}22,0,1(2)xM y y x N x y g x x ==>==-，则M N 为( ).（A ）（1，2） （B ）),1(+∞ （C ）),2[+∞ （D ）),1[+∞1.Ａ {}{}2,01xM y y x y y ==>=>，{}{}21(2)02N x y g x x x x ==-=<<，则{}{}{}10212MN y y x x x x =><<=<<．2.设i 是虚数单位，若复数z 满足32zi i =-，则z =( ).（A ）32z i =+ （B ）23z i =- （C ）23z i =-- （D ）23z i =-+ 2.C 232(32)3232231i i i i zi i z i i i --+=-⇒====---. 3.命题“对任意x R ∈，均有2250x x ≤－＋”的否定为( ).（A ）对任意x R ∈，均有2250x x ≥－＋ （B ）对任意x R ∉，均有2250x x ≤－＋ （C ）存在x R ∈，使得2250x x >－＋ （D ）存在x R ∉，使得2250x x >－＋ 3.C 因为全称命题的否定为特称命题，所以“对任意x R ∈，均有2250x x ≤－＋”的否定为“存在x R ∈，使得2250x x >－＋”.4.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生( ).（A ）30人，30人，30人 （B ）30人，50人，10人 （C ）20人，30人，40人 （D ）30人，45人，15人4. D 因为三所学校共10800180054003600=++名学生，从中抽取一个容量为90人的样本，则抽取的比例为：12011080090=，所以在甲校抽取学生数为3012013600=⨯名，在乙校抽取学生数为4512015400=⨯名，在丙校抽取学生为1512011800=⨯名. 5.函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫=⎪+⎝⎭的图象大致是( )5.A 因为()()sin()sin sin ln ln ln sin()sin sin x x x x x x f x f x x x x x x x ⎛⎫----+-⎛⎫⎛⎫-====⎪ ⎪ ⎪-+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =是偶函数,其图象关y 于轴对称应排除B 、D ； 又因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0sin x x << ,sin 01sin x x x x -<<+,sin ln 0sin x xx x-<+ ，所以选A.6.设函数()3sin(2)cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图象关于直线0x =对称，则( ).（A ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 （B ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数（C ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 （D ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数6.B ()3sin(2)cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数的图象关于直线0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.7. 已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )(A)36 (B)312 (C) 318 (D) 3247.C 此三棱柱为正三棱柱，体积为43π的球体的半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，底面正三角形中心到三角形各边的距离均为1，故可得到三角形的高是3，三角形边长是23，所以三棱柱的表面积为()2322332321834⨯⨯+⨯⨯=.8.已知直线⊥l 平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题,其中正确的是( ).①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l（A ）①③ （B ） ②③④ （C ） ②④ （D ） ①②③8.A 因为//αβ，直线⊥l 平面α，所以直线⊥l 平面β，又因为直线m ⊂平面β，所以l m ⊥，所以①式正确，所以可以排除选项B 、C . 若αβ⊥，直线⊥l 平面α，直线m ⊂平面β，则l 与m 可以有平行、异面、相交三种位置关系，所以②不正确. 9.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a aa a +=+( ). （A ）2 （B ）322- （C ） 322+ （D ）3 9.C 因为1321,,22a a a 成等差数列，所以3122a a a =+，即21112a q a a q =+，解得12q =+，()229107812322a a q a a +==+=++．10.已知向量()()3sin ,cos 2,12sin ,1,,22ππαααα⎛⎫==--∈⎪⎝⎭，a b 若85⋅=-，a b 则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为( ).（A ）17 （B ）27 （C ）17- （D ） 27- 10.C ∵2228sin 2sin cos 2sin 2sin (12sin )sin 15ααααααα⋅=--=---=-=-，a b3sin 5α∴=-,又因为3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故3tan 4α=,所以tan 11tan 41tan 7πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭. 11. 如图，已知(,)P x y 为△ABC 内部（包括边界）的动点，若目标函数y kx z +=仅在点B 处取得最大值，则实数k 的取值范围是（ ）xyO)1,1(C )5,3(B )4,5(A（A ）)43,2(- （B ）)21,2(-（C ）),21()2,(+∞--∞ （D ）),43()2,(+∞--∞11.B 由z kx y =+可得y kx z =-+，z 表示这条直线的纵截距，直线y kx z =-+的纵截距越大，z 就越大，依题意有，51231BC k -==-，541352AB k -==--，要使目标函数z kx y =+仅在点B 处取得最大值，则需直线y kx z =-+的斜率处在1(,2)2-内，即122k -<-<，从而解得122k -<<.12.设△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA的取值范围是（ ）（A ）(0,)+∞ （B ） 510,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭（C ） 5151,22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ） 51,2⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭12. C 根据,,a b c 成等比数列,有ac b =2,则bca b A B ==sin sin , 根据三角形三边关系a c b a c +>>-,有222()()a c b a c +>>-,所以2222a c ac b +-<,即22230a c b +-<,消掉a 得2222()30b c b c+-<,化简得：422430c b c b -+<，两边同时除以4b ，可得22222()310c c b b-+<，解得22353522c b -+<<.则515122c b -+<<. 13. 如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上．若双曲线以A B 、为焦点，且过C D 、两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为( ).（A ）3＋1 （B ）23＋2 （C ）3－1 （D ）23－213.D 分别过点,C D 作AB 的垂线，垂足分别为,F E ，连结OD ,设AOD θ∠=,则222cos ,2cos 44222cos OE OF AD BC OA OD OA OD θθθ====+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯ ＝221cos θ⋅-,等腰梯形ABCD 的周长44cos 421cos l θθ=++⋅-,令1cos ,t θ-=则2cos 1t θ=-，所以()222441424102l t t t ⎛⎫=+-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以当2,2t =即60θ=时，max 10l =, 此时，222,22222cos12023AD BD ==+-⨯⨯=,因为,A B 为双曲线的焦点，D 点在双曲线上，所以实轴长2232a DB DA =-=-.14.若在区间[]1,5和[]2,6内各取一个数，分别记为a 和b ，则方程()22221x y a b a b-=<表示离心率小于5的双曲线的概率为( ).（A ）12（B ）1523 （C ）1732 （D ）313214.B 由题意知横轴为a ，纵轴为b ，建立直角坐标系，先作出满足题意的a 、b 的可行域15,26,,a b a b ⎧⎪⎨⎪<⎩剟剟并求出其面积为232，又由双曲线的离心率小于5得15c a <<，则02ba<<，即()20,0b a a b <>>，再作出虚线2b a =，并求出其在可行域内的端点坐标分别为()1,2A 、()3,6B ，由此可求出可行域范围内满足2b a <的面积为152，所以所求概5126Ob aB(3,6)A(1,2)率为1515223232p ==.15.函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的图象如图所示,则AB ·BD =( ).（A ）8 （B ） －8 （C ）288π- （D ）288π-+15.Ｃ 由图可知，43124Tπππ=-=，所以T π=，故2ω=，又由23πϕπ⋅+=，得3πϕ=，从而,06A π⎛⎫-⎪⎝⎭，,212B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,212D π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以,2,,442AB BD ππ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,2,48428AB BD πππ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16..△ABC 中，角,,A B C 成等差数列是sin (3cos sin )cos C A A B =+成立的( ). （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16.A 若,,A B C 成等差数列，则+=2A C B ，∴=60B ︒.若sin (3cos sin )cos C A A B =+，则sin()3cos cos sin cos A B A B A B +=+，即sin cos cos sin 3cos cos sin cos A B A B A B A B +=+， ∴cos sin 3cos cos A B A B =，∴cosA 0=或tanB 3=，即=90A ︒或=60B ︒.故角,,A B C 成等差数列是sin (3cos sin )cos C A A B =+成立的充分不必要条件. 17.对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足20'()xf x -≤，则必有( ). （A ）)2(2)3()1(f f f <+ （B ）)2(2)3()1(f f f ≤+ （C ）)2(2)3()1(f f f >+ （D ）)2(2)3()1(f f f ≥+17.C ∵0)(2,≤-x f x，∴当2x <时，'()0f x <，则函数)(x f 在(),2-∞上单调递减，当2x >时，'()0f x >，则函数)(x f 在()2,+∞上单调递增，即函数)(x f 在2x =处取得最小值(2)f ，∴(1)(2)f f >，(3)(2)f f >，则将两式相加得)2(2)3()1(f f f >+．18.已知点A B C 、、三点不共线，且有332BC CACA AB AB BC ⋅⋅⋅==-，则有( ).(A)AB CA BC << (B)BC CA AB << (C)CA BC AB << (D)BC AB CA <<18.B 设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，由332BC CACA AB AB BC ⋅⋅⋅==-，得3c o s c o s (23)c o s 3a c B ab C bc A ==-+，又由正弦定理得，3ta nta n ,t a n (23)t a n 3C B A B ==-+,所以在△ABC 中，有ta nt anB C A >><，所以A B C >>，所以BC CA AB <<. 19.将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算某行或某列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时,数表的所有可能的“特征值”的最大值为( ).（A ）32 （B ）43（C ） 2 （D ） 3 19.A 当2n =时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当12，同行或同列时，这个数表的“特征值”为43；当13，同行或同列时，这个数表的特征值分别为43或32；当14，同行或同列时，这个数表的“特征值”为43或32，故这些可能的“特征值”的最大值为32. 20.若定义在区间[]2015,2015-上的函数)(x f 满足：对于任意的[]12,2015,2015x x ∈-，都有1212()()()2014f x x f x f x +=+-，且0>x 时，有()2014f x >，)(x f 的最大值、最小值分别为N M ,，则N M +的值为( ).（A ）2014 （B ）2015 （C ）4028 （D ）403020.C 令120x x ==，得(0)2014f =，再令120x x +=，将(0)2014f =代入可得()()4028f x f x +-=.设12x x <，[]12,2015,2015x x ∈-，则2121210,()()()2014x x f x x f x f x ->-=+--，所以21()()20142014f x f x +-->.又因为11()4028()f x f x -=-，所以可得21()()f x f x >，所以函数()f x 是递增的，所以max min ()(2015),()(2015)f x f f x f ==-.又因为(2015)(2015)4028f f +-=，所以N M +的值为4028. 二、填空题21. 曲线21x y xe x =++在点()0,1处的切线方程为 . 21.310x y -+=21x y xe x =++，()12x y x e '∴=++，当0x =时，()00123y e '=+⋅+=，因此曲线21x y xe x =++在点()0,1处的切线方程为13y x -=，即310x y -+=.22..设集合{,1},{,1,2},,{1,2,3,4,5,6,7}P x Q y x y ==∈，且P Q ⊆，在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(,)x y 所表示的点中任取一个，若该点落在圆2222()x y R R Z +=∈内的概率为25，则满足要求的2R 的最小值为 ．22..30 当2x =时，3,4,5,6,7y =，有5种取法；当3x =时，3y =，有1种取法；当4x =时，4y =，有1种取法；当5x =时，5y =，有1种取法；当6x =时，6y =，有1种取法；当7x =时，7y =，有1种取法，所以共有51510+⨯=个基本事件．因为该点落在圆2222()x y R R Z +=∈内的概率为25，所以满足“该点落在圆内”的基本事件共有4个.由小到大依次为2222222223,33,24,2529++++=，又2R Z ∈，所以满足要求的2R的最小值为30.23.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD DC ==，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,(1)DQ DC CP CB λλ==-，则AP AQ ⋅的取值范围是 ．23.[]0,2 建立平面直角坐标系如图所示，则()()()()0,0,2,0,1,1,0,1A B C D ．因为,(1)DQ DC CP CB λλ==-，所以()()2,,,1P Q λλλ-， 所以()()2,,,1AP AQ λλλ=-=，()()2239,12,324AP AQ λλλλλλ⎛⎫⋅=⋅-=-+=--+ ⎪⎝⎭()01λ≤≤,所以02AP AQ ≤⋅≤.24.已知直线x t =交抛物线24y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ，使得AC BC ⊥，则t 的取值范围为_________.24.[4,)+∞ 由题意知(,2),(,2)A t t B t t -,设(,2)(0)C m m m ≥,由AC BC ⊥得2220,()(22)(22)(42)40AC BC m t m t m t m t m t t ⋅=∴-+-+=+-+-=，解得m t =(舍)或4m t =-,由40m t =-≥得t 的取值范围为[4,)+∞.25.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足bc a c b=-+222，0AB BC ⋅>,32a =, 则22b c +的取值范围是 . 25.35(,)44∵0AB BC ⋅>,∴||||cos()>0AB BC B π⋅⋅-，∴cos 0B <，∴B 为钝角，∵bc a c b =-+222，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∴3A π=，∵321sin sin sin 32a b c A B C ====，∴sin b B =，sin c C =，∴2222sin sin b c B C +=+，∵223B ππ<<，06C π<<，∴3sin 12B <<，10sin 2C <<，∴2235sin sin 44B C <+<，∴223544b c <+<.26.在数列{}n a 中，113a =，n S 为数列{}n a 的前项和且(21)n n S n n a =-，则 ________.n S =26.21nn + 当1n >时，11(21)(1)(23)n n n n n a S S n n a n n a --=-=----， 即1(1)(21)(1)(23)n n n n a n n a --+=--，所以12321n n n a a n --=+， 所以121232325232531212121212175n n n n n n n n a a a a n n n n n -------==⨯==⨯⨯⨯⨯++-+- 1(21)(21)n n =+-，所以1(21)(21)(21)(21)21n n nS n n a n n n n n =-=-⨯=+-+.27.一个多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、11B C 的中点.下列结论中正确的是_________.（填上所有正确项的序号） ① 线MN 与1A C 相交；②MN BC ⊥；③MN //平面11ACC A ； ④三棱锥1N A BC -的体积为1316N A BC V a -=. 27.②③④ 取11A B 的中点D ，连结DM 、DN .由于M 、N 分别是所在棱的中点，所以可得11//,DN AC DN ⊄平面11A AC C ,11AC ⊂平面11A AC C ,所以//DN 平面11A AC C .同理可证//DM 平面11A AC C .又DMDN D =,所以平面DMN //平面11A AC C ,所以直线MN 与1A C 相交不成立，①错误；由三视图可得11AC ⊥平面11BCC B .所以DN ⊥平面11BCC B ，所以DN BC ⊥，又易知DM BC ⊥，所以BC ⊥平面DMN ，所以BC ⊥MN ，②正确； ③正确；因为11N A BC A NBC V V --=23111()326a a a ==，所以④正确.综上，②③④正确.28.若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是 .28.2[,)3e +∞ 由3ln 1mx x -≥得3ln 1mx x -≥或3ln 1mx x -≤-，即3ln 1mx x ≥+或3ln 1mx x ≤-.又(]0,1x ∈，所以3ln 1x m x +≥或3ln 1x m x-≤.因为不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立，所以3max ln 1x m x ⎛⎫+≥⎪⎝⎭或3minln 1x m x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭.ABC 1A 1B 1MNaa主视图aa左视图aa俯视图C(1)令3ln 1()x f x x+=，则3261(ln 1)3()x x x x f x x ⋅-+⋅'=2632(1ln )2x x x -+=. 令()0f x '=得231x e -=<，当230x e -<<时，()0f x '>；当231ex -<≤时，()0f x '<，所以()f x 在23(0,)e-上是增函数，在23(,1]e -是减函数，所以2233max2232321l ()()(n 133)e f x e e ee f -----++====，所以23e m ≥. (2)令3ln 1()x g x x-=，则3261(ln 1)3g ()x x x x x x ⋅--⋅'=22643ln x x x x -=，因为(]0,1x ∈，所以l n 0x ≤，所以g ()0x '>，所以g()x 在(]0,1上是增函数.易知当0x →时，g ()x →-∞，故g()x 在(]0,1上无最小值，所以3ln 1x m x-≤在(]0,1上不能恒成立.综上所述，23e m ≥，即实数m 的取值范围是2[,)3e +∞.29.设函数()f x 的定义域为D ，如果x D ∀∈，存在唯一的y D ∈，使()()2f x f y C +=（C为常数）成立。