2018届中考数学一轮复习：5.2-矩形菱形讲解本课件(含答案)
最新-2018年中考数学复习 第23讲 矩形、菱形、正方形课件 精品
1．下列命题中，真命题是( D ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线 AC 等于( D )
A．20
B．15
C．10
考点三 正方形的定义、性质和判定 1．定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形． 2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等； (2)正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．
(2)由(1)知，∠EAF＝90°. 由 F 为 AB 的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA. 在等边三角形 ABC 中，CF＝AD. 在等边三角形 ADE 中，AD＝EA，∴CF＝EA. ∴四边形 AFCE 为平行四边形． 又∵∠CFA＝90°，∴四边形 AFCE 为矩形．
(2010·安徽)如图，AD∥FE，点 B、C 在 AD 上，∠1＝∠2，BF＝BC.
第 23 讲 矩形、菱形、正方形
考点一 矩形的定义、性质和判定 1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分且相等；(3)矩形既是轴 对称图形，又是中心对称图形，它有两个对称轴，它的对称中心是对角线的交点． 3．判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形； (3)对角线相等的平行四边形是矩形．
【解析】∵在矩形 ABCD 中，∠ABE＝20°，∴∠AEB＝70°，∵点 D 与点 B 重合，∴∠BEF ＝∠DEF＝180°－2 70°＝55°.∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝55°，∴∠EFC＝180°－55°＝ 125°.∵点 C 的对应点是 C′，∴∠EFC′＝125°.
2018年济南市中考一轮复习《5.2矩形、菱形、正方形》课件+测试含真题分类汇编解析
2021/6/1
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知识点一 矩形的性质与判定 1．矩形：有一个角是_______的平行四边形叫做矩形．
直角
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2．矩形的性质
(1)矩形的对边 ___________；
(2)矩形的四个角都平是行_且__相_等___；
(3)矩形的对角线_______； (4)矩形既是中心对称图形直，角也是轴对称图形，有____条对称
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5．如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点， 且∠BAC＝90°. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若∠B＝30°，BC＝10，求菱形AECF面积．
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(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，点E是BC边的中点，
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2．(2014·济南)如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的 中点．求证：EB＝EC.
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证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC. ∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE， ∴△ABE≌△DCE， ∴EB＝EC.
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考点二 菱形的性质与判定 (5年3考) 例2(2016·济南)如图，在菱形ABCD中，CE＝CF.求证：AE ＝AF.
轴．
相等
2
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3
3．矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2)对角线_______的平行四边形是矩形； (3)有三个角是_______的四边形是矩形．
相等
直角
2018年浙江省中考数学《第21讲：矩形、菱形与正方形》总复习讲解(含答案)
第21讲矩形、菱形与正方形1．矩形2.菱形3.正方形4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为____________________．2．(2016·衢州)如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线．(1)用直尺和圆规作线段BD 的垂直平分线，分别交AD 、BC 于E 、F (保留作图痕迹，不写作法和证明)．(2)连结BE ，DF ，问四边形BEDF 是什么四边形？请说明理由．【问题】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题，回答下列问题：(1)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系图中：(2)要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的________相等；或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一角是________．(3)如图菱形ABCD ，某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a 的正方形面积是S ＝12a 2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例来说明．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，以及性质与判定．类型一矩形的性质与判定例1(1)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD(2)如图，在矩形ABCD中，有以下结论：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形；⑥AC所在直线为对称轴；⑦矩形ABCD的周长是28，点E 是CD的中点，AC＝10时，△DOE的周长是12.则正确结论的序号是________．【解后感悟】(1)结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定；(2)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键．1．(1)(2015·南昌)如图，小贤为了检验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是()A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变(2)(2015·临沂)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()A．AB＝BE B．DE⊥DC C．∠ADB＝90°D．CE⊥DE2．(2017·南京模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.(1)求证：∠PNM＝2∠CBN；(2)求线段AP的长．类型二菱形的性质与判定例2(1)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连结OE，①若菱形的边长是10，一条对角线长是12，则此菱形的另一条对角线长是______． ②若OE ＝3，则菱形的周长是________．③若∠ABC ＝60°，周长是16，则菱形的面积是________．(2)已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选一个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是菱形，现有下列四种选法，其中都正确的是( )A ．①或②B ．②或③C ．③或④D ．①或④ 【解后感悟】(1)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键；(2)结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定．3．(1)(2015·黔东南州)如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH ＝( )A .245B .125 C ．12 D ．24 (2)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF .给出下列条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC ；从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是____________________(只填写序号)．(3) (2016·梅州)如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于12BF 长为半径画弧，两弧交于一点P ，连结AP并延长交BC 于点E ，连结EF .①四边形ABEF 是____________________；(选“矩形”、“菱形”、“正方形”或“无法确定”)(直接填写结果)②AE ，BF 相交于点O ，若四边形ABEF 的周长为40，BF ＝10，则AE 的长为____________________，∠ABC ＝____________________°.(直接填写结果)4．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE ＝2DE ，延长DE 到点F ，使得EF ＝BE ，连结CF .(1)求证：四边形BCFE 是菱形；(2)若CE ＝4，∠BCF ＝120°，求菱形BCFE 的面积．类型三 正方形的性质与判定例3 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别在OD 、OC 上，且DE ＝CF ，连结DF 、AE ，AE 的延长线交DF 于点M .求证：AM ⊥DF .【解后感悟】正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质．正方形的判定方法有两条道路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．5．(1)(2015·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是()A．①②B．②③C．①③D．②④(2)如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝()A．2 B．3 C．2 2 D．2 3(3)(2015·黄冈)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于____________________度．6．(2017·绍兴模拟)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连结BF、DF.(1)求证：BF＝DF；(2)连结CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程)．类型四特殊平行四边形的综合运用例4(2016·临沂)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连结DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连结FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；(2)如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【解后感悟】本题是三角形与四边形综合问题，涉及全等三角形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质．解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从而求证出平行四边形．7．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC.其中正确结论的序号是____________________．8．(2016·荆州)如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连结EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE 的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．【课本改变题】教材母题－－浙教版八下第147页，作业题第5题(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF ＝90°.求证：BE＝CF；(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的长；(3)已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接写出下列两题的答案：①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(用n的代数式表示)．【方法与对策】这题是从特殊到一般的规律探究题．从课本题出发逐步提出问题，解决问题，然后根据这些解题体验，领悟解题方法，再来解决一般性问题，这是中考命题热点之一，平时学习要重视一些典型的基本图形．【由于思维定势，对问题考虑不全】若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为________．参考答案第21讲 矩形、菱形与正方形【考点概要】1．直角 直角 相等 对角线的交点 对角线相等 2.邻边相等 相等 垂直平分 对角线的交点 一半 相等 互相垂直 3.相等 直角 相等 直角 垂直平分 相等四 矩形 菱形 互相垂直平分且相等 4.两组对边分别平行 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角【考题体验】1．105°或45°2．(1)如图，EF 为所求直线； (2)四边形BEDF 为菱形，理由为：证明：∵EF 垂直平分BD ，∴BE ＝DE ，∠DEF ＝∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF ，∵BF ＝DF ，∴BE ＝ED ＝DF ＝BF ，∴四边形BEDF 为菱形．【知识引擎】【解析】(1)根据在平行四边形中，邻边相等的是菱形，邻边垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，可根据此关系来画图．如图(2)根据正方形的判定方法进行解答即可．即两种常见的方法：①一组邻边相等的矩形是正方形．②一个角是直角的菱形是正方形．∴填：一组邻边，直角．(3)本题的证明方法有多种，可根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，将正方形分成四个直角三角形的面积和来求证，也可通过对角线求出正方形的边长来求证．∴结论正确．证明：S 正方形ABCD ＝S △AOB＋S △AOD ＋S △COD ＋S △BOC ＝4×12×12a ×12a ＝12a 2. 【例题精析】例1 (1)B ；(2)①②③⑤⑦ 例2 (1)①16 ②24 ③83 (2)D例3 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OD ＝OC .又∵DE ＝CF ，∴OD －DE ＝OC －CF ，即OF ＝OE ，在Rt △AOE 和Rt △DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝DO ，∠AOD ＝∠DOF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△DOF ，∴∠OAE ＝∠ODF .∵∠OAE ＋∠AEO ＝90°，∠AEO ＝∠DEM ，∴∠ODF ＋∠DEM ＝90°，即可得AM ⊥DF .例4 (1)FG ＝CE ，FG ∥CE ；(2)过点G 作GH ⊥CB 的延长线于点H ，∵EG ⊥DE ，∴∠GEH ＋∠DEC ＝90°，∵∠GEH ＋∠HGE ＝90°，∴∠DEC ＝∠HGE ，在△HGE 与△CED中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GHE ＝∠DCE ，∠HGE ＝∠DEC EG ＝DE ，，∴△HGE ≌△CED (AAS )，∴GH ＝CE ，HE ＝CD ，∵CE ＝BF ，∴GH ＝BF ，∵GH ∥BF ，∴四边形GHBF 是矩形，∴GF ＝BH ，FG ∥CH ，∴FG ∥CE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ＝BC ，∴HE ＝BC ，∴HE ＋EB ＝BC ＋EB ，∴BH ＝EC ，∴FG ＝EC . (3)成立．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠FBC ＝∠ECD ＝90°，在△CBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，∠FBC ＝∠ECD BC ＝DC ，，∴△CBF ≌△DCE (SAS )，∴∠BCF ＝∠CDE ，CF ＝DE ，∵EG＝DE ，∴CF ＝EG ，∵DE ⊥EG ，∴∠DEC ＋∠CEG ＝90°，∵∠CDE ＋∠DEC ＝90°，∴∠CDE ＝∠CEG ，∴∠BCF ＝∠CEG ，∴CF ∥EG ，∴四边形CEGF 是平行四边形，∴FG ∥CE ，FG ＝CE .【变式拓展】1．(1)C (2)B2.(1)∵四边形ABCD 是矩形，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，∴MN ∥BC ，∴∠CBN ＝∠MNB ，∵∠PNB ＝3∠CBN ，∴∠PNM ＝2∠CBN ； (2)连结AN ，根据矩形的轴对称性，可知∠P AN ＝∠CBN ，∵MN ∥AD ，∴∠P AN ＝∠ANM ，由(1)知∠PNM ＝2∠CBN ，∴∠P AN ＝∠PNA ，∴AP ＝PN ，∵AB ＝CD ＝4，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，∴DN ＝2，设AP ＝x ，则PD ＝6－x ，在Rt △PDN 中，PD 2＋DN 2＝PN 2，∴(6－x )2＋22＝x 2，解得：x ＝103，所以AP ＝103.3.(1)A (2)③ (3)①菱形 ②103 1204. (1)略； (2)∵∠BCF ＝120°，∴∠EBC ＝60°，∴△EBC 是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为23，∴菱形的面积为4×23＝8 3.5. (1)B (2)C (3)656. (1)只要证明△BEF ≌△DGF (SAS )，∴BF ＝DF ； (2)∵BF ＝DF ，∴点F 在对角线AC 上，∵AD ∥EF ∥BC ，∴BE ∶CF ＝AE ∶AF ＝AE ∶2AE ＝22，∴BE ∶CF ＝22. 7.①②④⑤8.当四边形EDD ′F 为菱形时，△A ′DE 是等腰三角形，△A ′DE ≌△EFC ′.理由：∵△BCA 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ＝DB ，∴CD ＝DA ＝DB ，∴∠DAC ＝∠DCA ，∵A ′C ′∥AC ，∴∠DA ′E ＝∠A ，∠DEA ′＝∠DCA ，∴∠DA ′E ＝∠DEA ′，∴DA ′＝DE ，∴△A ′DE 是等腰三角形，∵四边形DEFD ′是菱形，∴EF ＝DE ＝DA ′，EF ∥DD ′，∴∠C ′EF ＝∠DA ′E ，∠EFC ′＝∠C ′D ′A ′，∵CD ∥C ′D ′，∴∠A ′DE ＝∠A ′D ′C ′＝∠EFC ′，在△A ′DE 和△EFC ′中⎩⎪⎨⎪⎧∠EA′D ＝∠C′EF ，A′D ＝EF ，∠A′DE ＝∠EFC′，∴△A ′DE ≌△EFC ′.【热点题型】【分析与解】(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，∴∠EAB ＋∠AEB ＝90°.∵∠EOB ＝∠AOF ＝90°，∴∠FBC ＋∠AEB ＝90°，∴∠EAB ＝∠FBC ，∴△ABE ≌△BCF ，∴BE ＝CF . (2)如图，过点A 作AM ∥GH 交BC 于M ，过点B 作BN ∥EF 交CD 于N ，AM 与BN 交于点O ′，则四边形AMHG 和四边形BNFE 均为平行四边形，∴EF ＝BN ，GH ＝AM ，∵∠FOH ＝90°，AM ∥GH ，EF ∥BN ，∴∠NO ′A ＝90°，故由(1)得，△ABM ≌△BCN ，∴AM ＝BN ，∴GH ＝EF ＝4. (3)①8 ②4n .【错误警示】由题中射线BM 交正方形的一边于点F 知有如下两种情形：∴BM ＝52或125。
最新重庆市2018年中考数学一轮复习第五章四边形第2节矩形菱形正方形课件_79
四边形
第2节 矩形、菱形、
正方形
矩形、 菱形、 正方形
矩形 菱形
考点特训 营 性质
判定思路 面积 性质 判定思路 面积 性质
正方形 判定思路 面积 四边
CD，AB=CD AB∥ ① AD∥ ，AD=BC =∠ADC= BC 2.角：四个角都是直角：∠ABC=∠BCD ∠BAD=90° 3.对角线：对角线互相平分且相等： OA=OB=OC=OD，AC＝② ________ 4.对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 ③ 条对称轴
45° 45° 返回
判定 思路
已知条 先证 再证 件 明 明
最后证明 一组邻边相等
面积：S＝⑱
互相垂直 矩形 对角线⑯ 平行 __________ 四边形 四边 形 一个角是直角 相等 菱形 对角线⑰ ______ a2 (a表示正方形边长)
温馨提示有关正方形的计算可以转化为等腰直角三角形进行
练习1 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，将△ABE沿 AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，点C恰 好落在EB′与AD的交点C′处，则BC∶AB的值为________．
3
【解析】如解图，连接CC′，∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处， 又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处，∴EC＝EC′， ∴∠ECC′＝∠EC′C，∵在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DC′C＝∠ECC′， ∴∠DC′C＝∠EC′C，∴C′C是∠EC′D的角平分线，∵∠CB′C′＝∠D＝90°， CC′＝CC′，∴△CC′B′≌△CC′D，∴CB′＝CD，又∵AB′＝AB，∴AB′＝CB′， ∴B′是对角线AC中点，即AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°， ∴tan∠BAC＝tan60°＝ ， BC∶AB的值为 .
陕西省2018年中考数学复习课件：第一编第17课时矩形、菱形、正方形.pptx
例4（2016年，巴中市）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，
使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=
15
度．
【解答】解：连接AC，AC与BD交点为O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC=BD，且AC与BD互相平分， ∴OA=OD=OB=OC， ∴∠ACB=∠CAD=∠ADB=30°， 又∵BD=CE，BD=AC ∴AC=CE，∴∠E=∠CAE， ∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°， 故答案为：15． 【点评】本题考查矩形的对角线的性质、等腰三角形的判定和性质 等知识，正确作出辅助线AC并掌握AC与BD的关系是解题的关键．
《中考内参（数学）2018》配套课件
第17课时：矩形、菱形、正方形
例2（2016年，大连市）如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则
菱形的面积是 ．
【点评】此题主要考查菱形的性质、菱形的面积计算以及勾股定理， 正确作出辅助线BD，并知道AC与BD互相垂直平分是解题关键．
《中考内参（数学）2018》配套课件
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C
）
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，A正确，不符合题意； B.对角线相等的平行四边形是矩形，B正确，不符合题意； C.一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形（如图），C错误，符合题意； D.对角线互相垂直的矩形是正方形，D正确，不符合题意，故选C． 【点评】本题考查平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理，解题 的关键是掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的各种判定方法．
∵BD=DE，∴四边形DBEF是菱形． 【点评】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、 其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，故选D． 角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的
2018年云南中考数学一轮复习课件-第5章第2节 矩形、菱形、正方形
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2018中考数学复习课件
(2)解：连接 EF.由(1)知：四边形 AEDF 是菱形． ∵AE＋ED＋ DF＋ AF＝ 12， ∴AE＝ED＝ DF＝ AF＝ 3. ∵对角线 AD 与 EF 互相垂直平分， AD EF 2 2 ∴ 2 ＋ 2 ＝ 32， 2 2 ∴AD ＋EF ＝ 36. ∵AD＋EF＝ 7，∴AD2＋EF2＋ 2AD· EF＝49， ∴2AD· EF＋ 36＝ 49， 13 ∴AD·EF＝ . 2 1 1 13 13 ∴菱形 AEDF 的面积 S＝ AD· EF＝ × ＝ .,⇨ 2 2 2 4
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2018中考数学复习课件
6．(人教八下 P68 第 8 题改编)如图，在正方形 ABCD 中 ，E，F 分别是 AB，BC 上 的点， 且 AE＝BF.求证：CE＝ DF.
证明：在正方形 ABCD 中， AB＝ BC＝CD， ∠B＝∠ BCD＝90°.∵AE＝BF， ∴AB－AE＝ BC－ BF， 即 BE＝CF. 易证△ BCE≌△CDF(SAS)， ∴CE＝DF.
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2018中考数学复习课件
重难点 2：与菱形有关的证明及计算 4．(2017·云南)如图，△ABC 是以 BC 为底的等腰三角形，AD 是边 BC 上的高， 点 E，F 分别是 AB，AC 的中点． (1)求证：四边形 AEDF 是菱形； (2)如果四边形 AEDF 的周长为 12，两条对角线的和等于 7，求四边形 AEDF 的面积 S.
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2018中考数学复习课件
2．★如图 ，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，E 是 BC 的 中点 ，AE⊥BD 于点 F， 则 CF 的长是( B ) A． 1 B. 2 C. 3 D．2
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(完整word版)2018届中考数学一轮复习讲义第21讲菱形
2018届中考数学一轮复习讲义第21讲菱形【知识巩固】1。
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.性质:边菱形的对边互相平行菱形的四条边都相等角菱形的对角相等菱形的邻角互补对角线菱形的两条对角线互相平分且互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角3。
判定：边有一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形对角线对角线互相垂直的平行四边形是菱形4。
菱形是轴对称图形，两条对角线为它的对称轴。
【典例解析】典例一、菱形下列四边形中不一定为菱形的是（）A。
对角线相等的平行四边形 B.每条对角线平分一组对角的四边形C。
对角线互相垂直的平行四边形 D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形答案:A【变式训练】如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了)，连EF．（1)求证:四边形ABEF为菱形；（2）AE,BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．【解答】（1）证明:由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF,∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE,∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形,∵AB=AF,∴四边形ABEF为菱形;（2)解：∵四边形ABEF为菱形,∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO=4,∴AE=2AO=8．典例二、菱形的性质（2017广东）如图所示,已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证:AD⊥BF；（2)若BF=BC，求∠ADC的度数．【考点】L8:菱形的性质．【分析】（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF,那么D在线段BF的垂直平分线上,又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF；(2)设AD⊥BF于H,作DG⊥BC于G，证明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°,再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．【解答】(1)证明：如图，连结DB、DF．∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．在△BAD与△FAD中，，∴△BAD≌△FAD,∴DB=DF,∴D在线段BF的垂直平分线上，∵AB=AF,∴A在线段BF的垂直平分线上,∴AD是线段BF的垂直平分线,∴AD⊥BF；(2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G,则四边形BGDH是矩形，∴DG=BH=BF．∵BF=BC，BC=CD，∴DG=CD．在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD,∴∠C=30°，∵BC∥AD，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．【变式训练】（ 2017湖南怀化）如图，在菱形ABCD中,∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P,A两点不重合）两点间的最短距离为10﹣10 cm．【考点】L8：菱形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PB为底．③若以边PC为底．分别求出PD的最小值，即可判断．【解答】解:连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时,PA最小，最小值PA=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点，则弧BD（除点B 外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时,AP最小，最小值为10﹣10；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时,PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为10﹣10（cm）；故答案为：10﹣1．典例三、菱形判定(2017山东聊城）如图，△ABC中,DE∥BC，EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是（)A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC【考点】L9：菱形的判定．【分析】当BE平分∠ABE时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【解答】解：当BE平分∠ABE时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB,∴BD=DE，∵DE∥BC,EF∥AB，∴四边形DBEF是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBEF是菱形．其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，故选D．【变式训练】（2017宁夏）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处,当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．【分析】只要证明AB=BM=MD=DA，即可解决问题．【解答】证明:∵AB∥DM,∴∠BAM=∠AMD，∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM,∴∠DAM=∠AMD，∴DA=DM=AB=BM，∴四边形ABMD是菱形．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是证明△ADM是等腰三角形．典例四、菱形的综合应用(2017湖北襄阳)如图，AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C，BD平分∠ABF,且交AE于点D,连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2)若∠ADB=30°,BD=6，求AD的长．【考点】LA：菱形的判定与性质．【分析】（1)由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论;（2）由菱形的性质得出AC⊥BD,OD=OB=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠CBD，又∵BD平分∠ABF,∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，同理:AB=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6,∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3，∵∠ADB=30°，∴cos∠ADB==，∴AD==2．【变式训练】【能力检测】1. (2016·青海西宁·2分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD,BD的中点，若EF=2,则菱形ABCD的周长是16 ．【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．【分析】先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长．【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点,∴EF为△ABD的中位线，∴AB=2EF=4,∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=4,∴菱形ABCD的周长=4×4=16．故答案为16．2.(2016河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（0,0），B（2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为（）A．（1，﹣1） B．（﹣1,﹣1） C．(,0） D．（0,﹣）【考点】坐标与图形变化—旋转；菱形的性质．【专题】规律型．【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标,根据旋转的性质,可得D点的坐标．【解答】解：菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2），得D点坐标为（1,1）．每秒旋转45°,则第60秒时，得45°×60=2700°,2700°÷360=7。
2018届中考北师大版数学一轮复习第26讲：矩形、菱形、正方形课件 (共27张PPT)
知识梳理
定义法 判定 四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 菱形的面积＝底×高 拓展 菱形的面积等于______________ 两条对角线 乘积的一半
难点突破
3、下列性质中菱形不一定具有的性质是( C A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形 )
角较多，可利用“三个角为直角的四边形是矩形”来证．
本课小结 判定一个四边形是菱形时： 一是证明四条边相等； 二是先证明它是平行四边形，进而再证明它是菱形． 运用菱形的性质时： 要注意菱形的对角线互相垂直这个条件；此外，菱形的对角线所在的直线是菱 形的对称轴，运用这一性质可以求出线段和的最小值．
本课小结
性质
2 矩形是一个轴对称图形，它(非正方形)有________ 条对称轴
对角线的交点 矩形是中心对称图形，它的对称中心是____________________
知识梳理
定义法 判定
三 有________ 个角是直角的四边形是矩形 相等 的平行四边形是矩形 对角线________
矩形的面积等于两邻边的积
证明一个四边形是正方形：
可以先判定四边形为矩形，再证邻边相等或者对角线互相垂直；或先判定四边形
为菱形，再证有一个角是直角或者对角线相等． 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它们的所有性质．
本课小结 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形是特殊的菱形，还是特殊 的矩形，它们之间的关系如下：
答案不唯一，如∠ABC＝90°或AC＝BD (只填一个)． ___________________________________________
知识梳理 考点2 菱形
定义 有一组________ 邻边 相等的平行四边形是菱形 菱形的四条边都________ 相等