信赖域方法精讲
无约束最优化的信赖域BB法_刘亚君
目
标 函 数 的 二阶 信 息 本 文 将
ｓｅ
，
法 与 信 赖 域方法 相 结 合 利 用
，
ＢＢ
步
，
长 的 倒 数去 近 似 目 标 函 数 的 Ｈｅ ｓ
矩 阵 同 时 利 用 信 赖 域子 问 题 更 加 灵 活 地 选 取 梯 度 法 的 步 长
ＢＢ
给 出 求 解无 约 束 最优 化 问 题 的 单 调 和 非 单 调 信 赖域
８
［
，
９
］
分 别 应用 公 式
后 步长 的 思 考
，
．
（
１
．
１
〇）
求 解 无 约 束优 化 问 题 和 界 约 束 优 化 问 题 对
． １ ，
ＢＢ
步长 的 研究 引 发 了 对滞
一
在梯 度 法 中 更 多滞 后 的 ＢＢ 步长被 研 究 气 并 得 出 与 Ｂ Ｂ 法 研 究发 现 更 多 的 滞 后 步 增 强 了 Ｂ Ｂ 法 的 非 单 调 性 因 此 可 能 加快 收 敛速 度 Ｐ
，
Ｈ ｅｓ ｓ ｅ
矩阵
Ｖ２／
（
：
ｒ ｆ ｃ
）
或其近
．
应 用 最广 的 修 正 公 式 是 Ｂ Ｆ ＧＳ 修 正 公 式 其 数值稳 定 性 比 其他 修 正 公 式 要好 心 被 称 为 信 赖域 半 径 被 称 为 信赖域 子 问 题 对 于 当 前 迭 代 点 ％ 通 过 求 解模 型
２０１ ６
年
２
月
计 算 数 学第
３８
卷第
．
１
期
．
Ｆ ｅｂ
．
带线搜索的信赖域方法
带线搜索的信赖域方法什么是线搜素的信赖域方法？线搜索的信赖域（LRD）是一种算法，用于从带有阻力的现有连接中搜索解决方案的方法。
它的基本思想是从一系列系统或网络中搜索目标解决方案，考虑在每个阶段向先前信任域中添加一位新成员，直至找到目标解决方案。
按照这种方式，它通过网络分析系统检测阻塞障碍，并识别有前景的线索来提高搜索解决方案的效率。
LRD方法的优点1. 提高搜索效能：LRD方法通过分析网络结构和障碍力，有效地帮助搜索解决方案，以提高搜索效能。
2. 节省时间：LRD方法将目标解决方案的搜索时间缩短到最小，因此，它大大提高了搜索效率。
3. 增强网络安全：LRD方法有助于检测和屏蔽网络中的攻击，从而增强网络的安全性。
4. 信息完整性：LRD方法可以帮助确保网络中的信息完整性，从而防止网络中的恶意行为。
LRD方法的应用1. 网络安全：LRD方法用于安全检查，可以快速识别在网络中可能出现的恶意行为，以及有效地确定恶意行为的来源和目标。
2. 网络管理：LRD方法可以用于进行网络管理，即可以有效地进行路由规划、网络资源发现、服务授权、网络优化等。
3. 业务建模：LRD方法可以应用于业务建模和分析，即可以发现有用的关系和依赖，有助于管理者实施有效的解决方案。
4. 数据分析：LRD方法也可以应用于数据分析，以有效地从大量数据中提取有用的信息，以便实现良好的决策。
总结线搜索的信任域方法是一种有效的搜索解决方案的算法，用于从带有阻力的现有连接中搜索解决方案。
它的优点是可以提高搜索效能，节省时间，增强网络安全，保证信息完整性等。
LRD方法可以用于网络安全，网络管理，业务建模，数据分析等多种应用中。
界约束非线性方程组的信赖域法
信赖域法是一种迭代方法，用于求解非线性方程组。
它是以特定初值作为起点，沿着一个信赖域（trust-region）内的迭代，最终达到收敛的解或最小值的近似值的方法。
信赖域法的基本思想是，每次迭代都会得到一个新的解，然后检查该解是否与上一次迭代的解在某个信赖域内，如果超出信赖域，则修正步长；如果在信赖域内，则更新解，并改变信赖域的大小，使得信赖域大小逐渐增加，以达到收敛的效果。
信赖域法可以用于求解非线性方程组。
它可以确保每次迭代都能得到更优的解，并且可以在可控范围内调整步长，从而控制收敛的速率。
同时，它也可以确保迭代解处于可靠的区域，从而避免计算结果出现大的误差。
因此，信赖域法可以很好地应用于求解具有边界约束的非线性方程组。
它可以有效地控制迭代的步长，确保方程组的解处于可靠的范围，从而保证迭代的准确性。
第8讲信赖域方法
对于二次模型函数 ，定义其柯西点: 对于二次模型函数(2)，定义其柯西点 二次模型函数
s c = −τ k k ∆k gk , gk
其中, 其中
T 1, if g k Bk g k ≤ 0; gk 3 τk = min ∆ g T B g ,1 , or. k k k k
7
5．信赖域算法 ．信赖域算法 Step1. 给 出 初 始 点 x0 ， 信 赖 域 半 径 的 上 界 ∆ , ∆ 0 ∈ ( 0, ∆ ) , 0 ≤ ε ,
0 < η1 ≤ η 2 < 1, 0 < γ 1 ≤ 1 < γ 2 , k := 0 .
Step2. 如果 g k ≤ ε ,停止 停止. 停止 Step3. (近似 求解子问题 得到 sk . 近似)求解子问题 近似 求解子问题(2),得到 Step4. 计算 f ( xk + sk ) 和 rk .令 令
xk + sk , if rk ≥ η1 . xk +1 = or. xk ,
Step5.校正信赖域半径 令 校正信赖域半径.令 校正信赖域半径
∆ k +1 ∈ ∆ k , min {γ 2 ∆ k , ∆}
∆ k +1 ∈ ( 0, γ 1∆ k ] ∆ k +1 ∈ [γ 1∆ k , ∆ k ]
if rk < η1; if rk ∈ [η1 ,η2 ) ;
if rk ≥ η 2 .
8
5．信赖域算法 ．信赖域算法 Step6. 产生 Bk +1 ，校正 q( k ) ，令 k := k + 1, 转 Step 2. 很成功迭代: 很成功迭代 成功迭代: 成功迭代 不成功迭代: 不成功迭代 算法参数选择建议: 算法参数选择建议
最优化方法信赖域方法
最优化方法信赖域方法Trusted Domain Method of Optimization Methods一、概述信赖域（Trusted Domain）法是一种针对多目标最优化问题的优化方法，属于启发式优化技术，又被称为受信域法（Credible Domain）法或者受信域增强法（Credible Domain Enhancement）。
它由A.K.Chentsov在1980年提出，目前已经在工业优化、控制优化、混合模糊优化等领域有广泛的应用。
信赖域法使多目标最优化问题中的搜索变得更加有效和快捷，可以很好地处理多目标最优化问题中的非凸性和高维问题，使最优解更容易被获取。
二、原理信赖域方法优化的原理是：在解空间中划分子空间，在每个子空间中进行最优优化，同时进行领域大小的优化，以找到最优解。
（1）划分的子空间划分的子空间由一组不可分割的解空间，即称为“信赖域（Trusted Domain）”确定，有一种收敛性的在同一信赖域上的解空间集合，该信赖域中必须包含一个或多个最优解点。
（2）之分的子空间有效性在信赖域中，有一种收敛性的解空间，该解空间必须包含一个或多个最优解点，且此处解的收敛性可以满足要求。
由此可以看出，划分的子空间有效的充分利用解空间，能够使对最优解的搜索效率更高，更快地找到最优解。
（3）领域大小的优化在划分解空间时，信赖域方法重点考虑领域大小的优化，以缩小搜索空间大小，并引导搜索过程朝最优解的方向发展。
三、应用1.工业优化信赖域方法已经在工业优化领域得到应用，使多目标工业优化问题中的搜索更加有效和快捷，可以很好地处理多目标最优化问题中的非凸性和高维问题，使最优解更容易被获取。
2.控制优化由于信赖域方法能够有效地处理多目标非凸性和高维问题，因此已经在控制优化中得到应用，用于设计准确性好的控制系统。
3.混合模糊优化信赖域方法在混合模糊优化领域也有应用，可以用来解决特殊类型的模糊控制优化问题，来有效地提高优化中的效率和准确性。
信赖域方法实验报告
信赖域方法实验报告引言信赖域方法是一种用于数值优化问题的数值方法，其主要应用于非线性优化问题。
本实验旨在探究信赖域方法在解决优化问题中的适用性和效果，并通过实验结果分析其优缺点。
实验内容本实验使用Python编程语言实现了一个简单的信赖域方法算法，并使用一组标准测试问题来验证该算法的正确性和性能。
这些测试问题包括标准的最小化和最大化问题，涵盖了不同类型的非线性函数。
实验步骤1. 信赖域方法概述首先，我们先对信赖域方法进行了概述。
信赖域方法是一种迭代算法，其基本思想是在每一步迭代中，通过在局部区域内逼近目标函数的二次模型来求解更新方向，并在每次迭代中更新信赖域半径以控制步长。
2. 算法实现接下来，我们实现了信赖域方法的算法。
该算法的输入包括目标函数、初始点、信赖域半径等参数，输出为最优解。
具体实现过程中，我们使用了Python中的数值计算库来进行优化计算。
算法的核心步骤包括计算目标函数的一阶导数和二阶导数，以及利用这些导数计算二次模型的系数。
3. 标准测试问题的求解我们选择了一组标准测试问题来验证算法的正确性和性能。
这些测试问题包括无约束的最小化和最大化问题，以及带有约束的优化问题。
通过将这些问题输入我们实现的信赖域方法算法，我们得到了最优解，并计算了相应的函数值。
4. 实验结果分析最后，我们对实验结果进行了分析。
从结果可以看出，在大多数情况下，我们的信赖域方法算法能够得到最优解，且在较短的时间内收敛。
然而，对于某些问题，算法可能会陷入局部最优解，无法达到全局最优解。
此外，算法的收敛速度也可能受到信赖域半径的选择影响。
结论本实验通过实现信赖域方法算法，并使用一组标准测试问题进行了验证和分析。
实验结果表明，信赖域方法是一种有效的数值优化方法，能够在较短的时间内得到最优解。
然而，算法的表现仍受到问题的特性和信赖域半径的选择的影响。
因此，在实际应用中，需要根据问题的特点和要求合理选择信赖域半径以获得更好的优化结果。
教你如何验证两个域之间信任
简介
信任是两个域之间沟通的桥梁，只要两个域之间相互信任，双方的用户即可访问对方域内的资源或者用对方域的计算机登录。
当建立了信任关系之后，如何来验证信任呢?
方法/步骤
操作步骤如下：
执行【开始】丨【程序】丨【管理工具】丨【Active Directory域和倍任关系】命令，打开【Active Directory域和信任关系】窗口，如图1所示。
图1 【Active Directory域和信任关系】窗口
在控制台树中，右击要验证的信任关系所涉及到的域，执行【属性】命令，弹出【属性】对话框，如图2所示。
图2 【属性】对话框
在【属性】对话框中选择【信任】选项卡，在【受此域信任的域】或【值任此域的域】列表框中选择要验证的信任关系，然后单击【属性】按钮，在弹出的对话框中单击【验证】按钮，如图3所示。
图3 验证信任
本文源自大优网。
信赖域算法.ppt
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机械最优化设计课程
THU DAE
数值实验
2 2 2 min f ( x ) 100 ( x x ) ( 1 x ) 2 1 1
选（ 1 .2 , 1 ）为初始点，与其他方 法做对比：
方法
信赖域 共轭方向 变尺度
迭代次数
8 16 32
函数值误差 最优点误差
1.2*e^(-13) 9.4*e^(-9) 9.4*e^(-9) 7.8*e^(-7) 1.5*e^(-5) 1.5*e^(-5)
THU DAE
信赖域半径的选择
（1）r k 越接近于1，表明接近程度越好，这时可以增大 k 以扩大信赖域； （2）r k >0但是不接近于1，保持 k 不变； （3）如果 r k 接近于0，减小 k ，缩小信赖域。 或者其他 k 的选择方法（后面介绍）。
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THU DAE
信赖域算法
Step1. 给出初始点 x 0 ，信赖域半径的上界 ， 0 （ 0 ， ）， 0 ， 0 1 , 0 1 , k 0 . 1 2 1 2 Step2. 计算 g k ，如果 gk ，停止；否则，计算B k 1 。 Step3. （近似）求解子问题（2），得到s k 。 Step4. 计算 f( ，令 x s 和 r k k) k
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对步长接收准则的讨论
单调 非单调
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基本思想
在每次迭代中给出一个信赖域，这个信赖域一般是当 前迭代点 的一个小邻域。然后在这个邻域内求解一个子问 题，得到试探步长（trial step） ，接着用某一评价函数来决 定是否接受该试探步长以及决定下一次迭代的信赖域。 如果试探步长被接受，则： x x s k 1 k k， 否则， xk1 xk 。 新的信赖域的大小取决于试探步长的好坏，粗略地说，如 果试探步长较好，在下一步信赖域扩大或保持不变，否则 下一步减小信赖域。
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（ 10.5.3）
求解信赖域子问题显然 是关键的
（k） ˆ ，使得 若d 是（ 10.5.3 ）的最优解，则存在乘 子 ˆ 2 （k） （k） （k） （k） f（x ）d f（x ） d 0 1 （k） （k） 2 （d d ） （k） （ || d || -rk） 0 T
（k） （k） （k） x 后，先确定一个搜索方 向d ，然后沿着这个搜索方 向d
选择选择适当的步长 k，产生新的迭代点
（k 1） （k） （k） x x k d
先确定方向，再确定步长
1.信赖域方法与常规方法的区别
信赖域方法
（k） k {x R n | || x - x || rk }
信赖域方法
15721546 马广庆
前言
上一节，学习了牛顿法 ，传统的牛顿法属于局 部收敛算法 （收敛性与初始点的选 取有关），为了得到全 局收敛算法，
（k） （k） 对它做了改进，即当 f（x ） 0， 2 f（x ）正定时， （k） - f（x ） 沿着搜索方向 d 2 作一维搜索， （k） f（x ） 从而得到一个缩短的步 长，这个就是阻尼牛顿 法， （k）
3.信赖域算法
（k） （k） （k） 求出信赖子问题 d 后，点x d 能否作为原问题的近似 解，
还要根据用（ k d）逼近f（x）是否成功来确定。 如果函数值实际下降量 与预测下降量之比，即
（k） （k） f（x ( k )） - f (x d ) k （k） （k） f（x ） - （ d ） k （k） 太小，就认为逼近不成 功，后继点仍取 x ，且信赖域半径 rk 1 （k 1） （k） （k） 若 k比较大，则逼近成功， 后继点x x d ，
3.信赖域算法
考虑无约束问题： min：f（x），x n
（k ） 将f（x）在给定点x 处展开，取二次近似
1 T （k ） （ k） T （k) f（x） f ( x ( k ) ) f ( x ( k ) ) （ x-x ） （x - x ） 2 f(x )(x - x (k) ) 2 （k） 取d （x - x ），得到二次模型
定义当前点的邻域 这里rk 是第k步的信赖半径 在这个信赖域内，优化 目标函数的二次逼近式
（k） （二次模型函数）得到 模型函数近似解 d （k 1） （k） （k） （k 1） （k） 产生新的迭代点 x x d ，或x x
相当于直接确定了位移
2.信赖域算法的基本思想
对于问题：min：f（x） 首先给出初始点，在初 始点附近构造一个近似 于原目标函数的 近似模型，信赖域子问 题就是在当前迭代点的 某个邻域内
该方法具有整体收敛性 。 但它没有进一步的使用 二次模型函数。 这一节，将介绍另一种 全局收敛算法- 信赖域算法
信赖域方法
1.信赖域方法与常规方法区别 2.信赖域基本思想 3.信赖域方法
4.算法步骤
5.例题分析 6.收敛性分析
1.信赖域方法与常规方法的区别
常规方法
前面介绍的无约束最优 化方法，一般策略是在 给定点
（1） 求逼近模型的最优点。 对于给定的初始点 x ，在其附近建立 （1） 目标函数的模型，并且 假定在x 的某个邻域内这个模型 大致
代表目标函数，接下来 为了得到要求的点，我 们选择一个
（2） （2） 适当的位移，移动到下 一个点x ，然后在x 附近建立目标
函数的新模型。继续以 上过程，用这种方法我 们可以找到 f（x）的最小值点。信赖域 半径的大小通过迭代逐 步调节， 如果在一次迭代中近似 模型比较好的逼近于原 问题， 则信赖域半径可适当扩 大，反之，信赖域半径 就减小。
3.信赖域方法
要从上海火车站去人民广场，有两种方法： ①可以先定一个方向，比如先向西走，走着走着发现方向 有点不对（人民广场应该是时尚地标啊，怎么越走感觉越 郊区了呢），就调整一下方向，变成向东南方向走，诸如 此类。 ②用信赖域算法，就比如，我先划一个圈，然后在这个圈 里面找离人民广场可能最接近的点，之后在这个点为中心 再画一个圈，在这个圈内找离人民 广场可能最近的点， 以此类推。
1 rk； 2
且rk 1 rk 或rk 1 2rk
3.信赖域算法
特点： 不要求目标函数的Hesse矩阵正定，在非正定的情况下也 能处理。 既有牛顿法的快速局部收敛性，也有理想的全局收敛性。 算法利用二次模型来修正步长，使得目标函数的下降比线 搜索方法更有效。
由于位移长度受到Taylor展开式有效的信赖域的限制，此 方法又称为有限步长法
（ f ( x ) f ( x k d）
(k )
(k ) T
1 T 2 （k) ) d d f(x )d 2
3.信赖域算法
（k） （k） 为了在x 附近用（ d ）近似 f （ x d）， k
限定d的取值，令|| d || rk , 即 || x - x (k) || rk rk 就是前面提到的第 k步的信赖域半径 （由此可以看出，限定 d的取值实质是在当前迭 代点的某个邻域 内建立一个简单模型， 这个简单模型近似于原 问题并求极值） 这样，求函数 f（x）的极小点问题就归结 为解 一系列子问题 1 T 2 （k) (k ) (k ) T min：（ d ） f ( x ) f ( x ) d d f(x )d k 2 s.t . || d || rk （可以看出信赖域算法 是将复杂的最优问题转 化为 一些列相对简单的局部 寻优问题）
记：
ˆ
1 T （k） （k） 2
（d d ） （k） 得到d 为最优解的必要条件
（k） （k） （k） （k） 2 f（x ）d d -f（x ） （k） （ || d || -rk） 0 0 （k） || d || r k （k） （k） （k） -1 （k） 设 2 f（x ） I可逆，有（ 10.5.5 ）得到 || d |||| （ 2 f（x ） I） f（x ||