信赖域方法
信赖域算法非线性优化问题课件
非ห้องสมุดไป่ตู้性优化问题的求解方法
总结词
非线性优化问题的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、 拟牛顿法、共轭梯度法等。此外，还有一些启发式算 法如模拟退火、遗传算法等也被广泛应用于求解非线 性优化问题。
详细描述
梯度法是最早用于求解非线性优化问题的方法之一， 其基本思想是沿着目标函数的负梯度方向搜索。牛顿 法基于泰勒级数展开，构造一个二次模型逼近目标函 数，并在此基础上求解极小值。拟牛顿法是牛顿法的 改进，通过构造一个正定的拟牛顿矩阵来逼近海森矩 阵。共轭梯度法结合了梯度法和牛顿法的思想，在每 一步迭代中沿着当前搜索方向的前一方向共轭的方向 进行搜索。
可解释性与透明度
研究如何提高信赖域算法的可解释性和透明度，使其在关键领域（如 医疗、金融等）得到更广泛的应用。
信赖域算法的挑战和机遇
挑战
非线性、非凸、大规模、多模态等复杂优化问题对信赖域算法提出了更高的要求。同时，算法的稳定性和收敛速 度也是需要克服的难题。
机遇
随着计算能力的提升和算法理论的不断发展，信赖域算法有望在更多领域发挥重要作用。例如，在数据科学、机 器学习、人工智能、控制系统等领域，信赖域算法具有广阔的应用前景。同时，与其他先进技术的结合也为信赖 域算法的发展提供了新的机遇。
信赖域算法的未来发展
深度学习与机器学习集成
探索将信赖域算法与深度学习、机器学习等先进技术相结合，以解决 复杂、高维的非线性优化问题。
智能优化
结合人工智能和优化算法，开发能够自适应学习和进化的智能优化系 统。
强化学习与优化算法结合
利用强化学习中的智能体与环境交互学习的特点，与信赖域算法结合， 实现更高效的优化。
• 可以处理约束优化问题。
信赖域算法的优缺点
09-2信赖域法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------09-2信赖域法一、算法理论信赖域方法与线搜索技术一样, 也是优化算法中的一种保证全局收敛的重要技术. 它们的功能都是在优化算法中求出每次迭代的位移, 从而确定新的迭代点. 所不同的是: 线搜索技术是先产生位移方向(亦称为搜索方向) , 然后确定位移的长度(亦称为搜索步长) 。
而信赖域技术则是直接确定位移, 产生新的迭代点。
信赖域方法的基本思想是: 首先给定一个所谓的信赖域半径作为位移长度的上界，并以当前迭代点为中心以此上界为半径确定一个称之为信赖域的闭球区域。
然后, 通过求解这个区域内的信赖域子问题 (目标函数的二次近似模型) 的最优点来确定候选位移。
若候选位移能使目标函数值有充分的下降量, 则接受该候选位移作为新的位移, 并保持或扩大信赖域半径, 继续新的迭代。
否则, 说明二次模型与目标函数的近似度不够理想, 需要缩小信赖域半径，再通过求解新的信赖域内的子问题得到新的候选位移。
如此重复下去，直到满足迭代终止条件。
信赖域方法解决无约束线性规划 minx Rf(x) 的基本算法结构。
设kx 是第 k 次迭代点，记kkff(x )=，kkgf(x )= ，k B 是1 / 10Hesse阵2kf(x )的第 k 次近似，则第 k 次迭代步的信赖域子问题具有如下形式：Tk1min(d)g2Tkkqdd B d=+，. .ks td ∆其中k∆是信赖域半径，是任一种向量范数，通常取 2 -范数或 -范数。
定义kf∆为 f 在第 k 步的实际下降量：-kkkkff f(xd )=+，定义kq∆对应的预测下降量：( )()0 -kkkkqqqd∆=. 定义他们的比值为：kkkfrq∆=∆一般的，我们有0kq∆。
【课件】运筹学与最优化方法(华南理工)第3章(07-4)
的最优解S(k)和最优值
(k +1) (k ) (k )
q(S(k) )
(k + 1) (k )
) f (X = X + S 若 f (X (3)令 X 取 X * = X (k+1) ,停止,否则转(4) (4)计算 f = f (X (k) ) f (X (k+1) ), q = f (X (k) ) q(S(k) ) 1/ 2k ..若 f < 0.1q 令
第三章
无约束非线性规划
3.4 信赖域法, Matlab解无约束非线性规划
一.信赖域法: 1.思想: 1) 前两节方法的结构原理为用二次模型产生下降方 向,在下降方向上确定可接受的步长,得到新迭代点. 若二次模型不近似原目标函数,则在搜索方向上无 法找到满意的下降迭代点. 能否先指定步长的界,再用二次模型确定方向和步 长? *注:保证在下近似,可使f(x)与 二次模
y(1) = x +α(x xmax )
2 扩展:给定扩展系数 >1,计算.(加速) 扩展:给定扩展系数γ 计算.(加速) 计算.(加速
y(2) = x +γ ( y(1) x)
3.5 直接算法
一, 2,改进单纯形法: (续) ,改进单纯形法: (1)若f(y(1))<f(x min), 则 若 那么y 取代x 否则, 取代x 若f(y(1))> f(y(2)), 那么 (2)取代 max; 否则, y(1)取代 max (2)若max{f(x(i))| x(i) ≠x max } ≥ f(y(1)) ≥ f(x min), y(1)取代 max . 取代x 若 3° 收缩:若f(x max )> f(y(1)) > f(x(i)), x(i) ≠x max ,计算 ° 收缩: 计算
信赖域算法matlab程序求解问题
信赖域算法matlab程序求解问题信赖域算法（Trust Region Algorithm）是一种用于求解无约束优化问题的数值优化算法。
它通过在当前解的局部区域内构建一个信赖域来逼近目标函数的局部性质，然后在该信赖域内求解近似问题，以寻找更优的解。
在MATLAB中，可以使用fminunc函数来实现信赖域算法。
该函数可以求解多元无约束优化问题的最小值。
其调用形式如下：```[x, fval, exitflag, output] = fminunc(fun, x0, options) ```其中，`fun`是目标函数的句柄，`x0`是初始解向量，`options`是优化选项的结构体。
返回值`x`是最优解向量，`fval`是最优解的目标函数值，`exitflag`是退出标志，`output`是优化过程的输出信息。
在使用fminunc函数时，需要定义一个目标函数。
目标函数是一个输入为解向量x，输出为目标函数值的函数。
例如，假设要求解的优化问题的目标函数为：```function f = objective(x)f = x(1)^2 + x(2)^2;end```然后，可以使用fminunc函数来求解最小值：```x0 = [0, 0]; % 初始解向量options = optimset('GradObj', 'on'); % 启用目标函数的梯度计算[x, fval, exitflag, output] = fminunc(@objective, x0, options);```在上述代码中，`optimset`函数用于设置优化选项，`'GradObj', 'on'`表示启用目标函数的梯度计算。
如果目标函数没有提供梯度计算，可以将该选项置为`'off'`。
信赖域算法在求解优化问题时，会自动进行迭代，不断更新解向量，直到满足收敛条件。
信赖域算法 参数解释
信赖域算法参数解释信赖域算法（Trust Region Method）是一种非线性优化算法，用于求解无约束非线性优化问题。
该算法通过构建一个信赖域模型来逐步逼近最优解。
下面我将对信赖域算法的参数进行逐一解释。
1. 信赖域半径（Trust Region Radius）: 信赖域半径是信赖域算法的一个关键参数，用来控制当前信赖域模型的有效范围。
信赖域算法通过在该信赖域内进行迭代计算来逐步逼近最优解。
信赖域半径通常用一个正数来表示，代表了当前信赖域的半径大小。
2. 模型准则函数（Model Objective Function）: 模型准则函数是信赖域算法中的一个重要参数，用于评价信赖域模型与原始优化问题之间的拟合程度。
常见的模型准则函数包括二次模型、三次模型等，其中二次模型是最常用的。
模型准则函数的选择会直接影响算法的收敛性和准确性。
3. 模型的预测质量（Model Prediction Quality）: 模型的预测质量是衡量当前信赖域模型在给定信赖域半径内的拟合程度和预测能力。
通常采用实际函数值和模型函数值之间的差异来评估。
4. 信赖域约束比率（Trust Region Constraint Ratio）: 信赖域约束比率是一个用于控制信赖域半径变化的参数。
当信赖域内的拟合程度较好时，可适当增大信赖域半径；当拟合程度较差时，应缩小信赖域半径。
信赖域约束比率通常取值在(0,1)之间。
5. 信赖域更新策略（Trust Region Update Strategy）: 信赖域更新策略用于根据不同的计算情况来更新信赖域半径。
常见的信赖域更新策略包括成功步长比例、信赖域半径调整因子等。
更新策略的选择会影响到算法的收敛性和稳定性。
6. 模型剪裁准则（Model Truncation Criterion）: 模型剪裁准则用于判断当前信赖域模型是否拟合程度足够好，是否需要继续进行迭代计算。
常见的剪裁准则有曲率条件和信赖域约束条件等。
界约束非线性方程组的信赖域法
信赖域法是一种迭代方法，用于求解非线性方程组。
它是以特定初值作为起点，沿着一个信赖域（trust-region）内的迭代，最终达到收敛的解或最小值的近似值的方法。
信赖域法的基本思想是，每次迭代都会得到一个新的解，然后检查该解是否与上一次迭代的解在某个信赖域内，如果超出信赖域，则修正步长；如果在信赖域内，则更新解，并改变信赖域的大小，使得信赖域大小逐渐增加，以达到收敛的效果。
信赖域法可以用于求解非线性方程组。
它可以确保每次迭代都能得到更优的解，并且可以在可控范围内调整步长，从而控制收敛的速率。
同时，它也可以确保迭代解处于可靠的区域，从而避免计算结果出现大的误差。
因此，信赖域法可以很好地应用于求解具有边界约束的非线性方程组。
它可以有效地控制迭代的步长，确保方程组的解处于可靠的范围，从而保证迭代的准确性。
第8讲信赖域方法
对于二次模型函数 ，定义其柯西点: 对于二次模型函数(2)，定义其柯西点 二次模型函数
s c = −τ k k ∆k gk , gk
其中, 其中
T 1, if g k Bk g k ≤ 0; gk 3 τk = min ∆ g T B g ,1 , or. k k k k
7
5．信赖域算法 ．信赖域算法 Step1. 给 出 初 始 点 x0 ， 信 赖 域 半 径 的 上 界 ∆ , ∆ 0 ∈ ( 0, ∆ ) , 0 ≤ ε ,
0 < η1 ≤ η 2 < 1, 0 < γ 1 ≤ 1 < γ 2 , k := 0 .
Step2. 如果 g k ≤ ε ,停止 停止. 停止 Step3. (近似 求解子问题 得到 sk . 近似)求解子问题 近似 求解子问题(2),得到 Step4. 计算 f ( xk + sk ) 和 rk .令 令
xk + sk , if rk ≥ η1 . xk +1 = or. xk ,
Step5.校正信赖域半径 令 校正信赖域半径.令 校正信赖域半径
∆ k +1 ∈ ∆ k , min {γ 2 ∆ k , ∆}
∆ k +1 ∈ ( 0, γ 1∆ k ] ∆ k +1 ∈ [γ 1∆ k , ∆ k ]
if rk < η1; if rk ∈ [η1 ,η2 ) ;
if rk ≥ η 2 .
8
5．信赖域算法 ．信赖域算法 Step6. 产生 Bk +1 ，校正 q( k ) ，令 k := k + 1, 转 Step 2. 很成功迭代: 很成功迭代 成功迭代: 成功迭代 不成功迭代: 不成功迭代 算法参数选择建议: 算法参数选择建议
信赖域方法
由于最优曲线的确定需要计算矩阵 的所有 特征值和特征向量，相当费时．
折线法在于用低维空间内满足一定要求的 折线，记为 代替最优曲线．通过求解：
信赖域半径的选择
根据模型函数 对目标函数 来调整信赖域半径
的拟合程度
对于问题(1)的解 定义比值：
它衡量模型函数 程度．
与目标函数 的一致性
注：(1) 越接近于１，表明模型函数与目标
函数的一致性程度越好，可以增大 以扩大 信赖域．
(2)
不接近于１，可以保持 不变．
(3) 接近于零或取负值，表明模型函数与目标
例1：设
在当前点
试用双折线法求
解：
由于
计算 有：
由于
使得 得 所以
故取双折线步长为：
解二次方程 因此
基本思想
牛顿法的基本思想是在迭代点 附近用二次
函数逼近
并以 的
的极小点 修正 得到：
以上方法只能保证算法的局部收敛性，为了建
立总体收敛性算法，我们采用了线搜索技术．虽然
这种策略是成功的，但它有一个缺点，即没有进一
步利用二次模型．
基本思想
牛顿法的基本思想是在迭代点 附近用二次
函数逼近
并以 的
的极小点 修正 得到：
信赖域子问题折线法基本思想如果令信赖域的半径在区间内连续变化则问题1的解在空间中形成一条光滑的连续曲线记为此时问题1等价于在信赖域内在最优曲线上确定一点使二次函数取极小即
信赖域方法
信赖域方法是求解最优化问题的另一类有效 方法．其最初的设计思想可追溯至Levenberg Marq和uart对Gauss－Newton法的修 正．线搜索方法是把一个复杂的最优化问题转化 成一系列简单的一维寻优问题．信赖域方法是把 最优化问题转化为一系列相对简单的局部寻优 问题．
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（ 10.5.3）
求解信赖域子问题显然 是关键的
（k） ˆ ，使得 若d 是（ 10.5.3 ）的最优解，则存在乘 子 ˆ 2 （k） （k） （k） （k） f（x ）d f（x ） d 0 1 （k） （k） 2 （d d ） （k） （ || d || -rk） 0 T
（1）
1 T 2 （1） （1） T （1） min： （ d ） def f （ x ） f （ x ） d d f （ x ）d 1 2 s.t. || d || 1 即求解
2 2 min： （ d ） 5 4d d d 1 2 1 2 2 s.t.d1 d2 2 1
信赖域方法
15721546 马广庆
前言
上一节，学习了牛顿法 ，传统的牛顿法属于局 部收敛算法 （收敛性与初始点的选 取有关），为了得到全 局收敛算法，
（k） （k） 对它做了改进，即当 f（x ） 0， 2 f（x ）正定时， （k） - f（x ） 沿着搜索方向 d 2 作一维搜索， （k） f（x ） 从而得到一个缩短的步 长，这个就是阻尼牛顿 法， （k）
（2） （2） 2 s.t.d1 d2 2 4 （2） 0 （2） （2） 得到子问题的解 d ，算的f（x d ） 0 1 （2） （ d ） 1，实际下降量与预测下 降量之比， 2 2
5.例题讲解
2-0 2 2 -1
令x
（3）
x
（2）
d
（2）
0 ，r3 2r2 4 2
（3） .求解子问题 1 T 2 （k) min：（ f ( x ) f ( x ) d d f(x )d k d） 2 s.t. || d || rk
(k ) (k ) T
4.算法步骤
（k） 得到子问题的最优解 d ，令 （k） （k） f（x ( k )） - f (x d ) k （k） （k） f（x ） - （ d ） k （k 1） （k） （4） .如果 k ，令x x ；如果 k ， （k 1） （k） （k） 令x x d
3.信赖域算法
考虑无约束问题： min：f（x），x n
（k ） 将f（x）在给定点x 处展开，取二次近似
1 T （k ） （ k） T （k) f（x） f ( x ( k ) ) f ( x ( k ) ) （ x-x ） （x - x ） 2 f(x )(x - x (k) ) 2 （k） 取d （x - x ），得到二次模型
（ f ( x ) f ( x k d）
(k )
(k ) T
1 T 2 （k) ) d d f(x )d 2
3.信赖域算法
（k） （k） 为了在x 附近用（ d ）近似 f （ x d）， k
限定d的取值，令|| d || rk , 即 || x - x (k) || rk rk 就是前面提到的第 k步的信赖域半径 （由此可以看出，限定 d的取值实质是在当前迭 代点的某个邻域 内建立一个简单模型， 这个简单模型近似于原 问题并求极值） 这样，求函数 f（x）的极小点问题就归结 为解 一系列子问题 1 T 2 （k) (k ) (k ) T min：（ d ） f ( x ) f ( x ) d d f(x )d k 2 s.t . || d || rk （可以看出信赖域算法 是将复杂的最优问题转 化为 一些列相对简单的局部 寻优问题）
（3） （3）
0 经过第三次迭代。计算 得到f（x ） 1，f（x ） 0 （3） 0 x 是最优解 2
6.收敛性分析
（1） 定理：设f（x）是 n 上的实函数，x 是给定的初始点， （1） S {x | f（x） f（x ） }是有界闭集，
1 （5） .如果 k ，令rk 1 rk；如果 k 2 令rk 1 rk；如果 k ，令rk 1 2rk （6） .置k k 1，转步骤（ 2）
5.例题讲解
例题：无约束问题
4 2 min：f（x） x1 x1 x2 2 - 4x 2 5
6.收敛性分析
证明：
（k） （k） 为简便，记f k f（x ）， 2f k 2 f（x ） .
由于S是有界闭集， 2 f（x）在S上连续，因此存在正数 M，使得 对每个k有 || 2 f k || M.
（k） 先证明|| f（x ） || 存在收敛到0的子列。反证法，假定
（k） （k） （k） x 后，先确定一个搜索方 向d ，然后沿着这个搜索方 向d
选择选择适当的步长 k，产生新的迭代点
（k 1） （k） （k） x x k d
先确定方向，再确定步长
1.信赖域方法与常规方法的区别
信赖域方法
（k） k {x R n | || x - x || rk }
该方法具有整体收敛性 。 但它没有进一步的使用 二次模型函数。 这一节，将介绍另一种 全局收敛算法- 信赖域算法
信赖域方法
1.信赖域方法与常规方法区别 2.信赖域基本思想 3.信赖域方法
4.算法步骤
5.例题分析 敛性分析
1.信赖域方法与常规方法的区别
常规方法
前面介绍的无约束最优 化方法，一般策略是在 给定点
4.算法步骤
步骤如下：
（1） （1 ） .给定可行点x ，信赖域半径 1，参数0 1
1 3 （一般 ， ）及精度要求 ，置k 1 4 4 （k） （k） （k） （2） .计算f（x ），f（x ） .若 || f（x ） || ，
（k） （k） 则停止计算，得到解 x ；否则，计算 2 f（x ）
3.信赖域方法
要从上海火车站去人民广场，有两种方法： ①可以先定一个方向，比如先向西走，走着走着发现方向 有点不对（人民广场应该是时尚地标啊，怎么越走感觉越 郊区了呢），就调整一下方向，变成向东南方向走，诸如 此类。 ②用信赖域算法，就比如，我先划一个圈，然后在这个圈 里面找离人民广场可能最接近的点，之后在这个点为中心 再画一个圈，在这个圈内找离人民 广场可能最近的点， 以此类推。
1 rk； 2
且rk 1 rk 或rk 1 2rk
3.信赖域算法
特点： 不要求目标函数的Hesse矩阵正定，在非正定的情况下也 能处理。 既有牛顿法的快速局部收敛性，也有理想的全局收敛性。 算法利用二次模型来修正步长，使得目标函数的下降比线 搜索方法更有效。
由于位移长度受到Taylor展开式有效的信赖域的限制，此 方法又称为有限步长法
5.例题讲解
（1） 0 d （1） 1 得到子问题的 K T点，也是最优解 d （1） d 2 1 （1） （1） （1） 函数值f（x d ） 2， （ d ） 2 1
实际下降量与预测下降 量之比
（1） （1） （1） f（x ） - f（x d ） 5-2 1 1 （1） （1） f（x ） - （ 5-2 1 d ）
' T
（ 10.5.8）
（ 10.5.9）
由于d是最速下降方向，因此 0 || f k ||4 || f k ||2 当 （0，rk）时，下降量 Q T 2M 2f k 2 f k f k 当 rk时，根据（ 10.5.9 ）式，即f k 2 f k f k rk || f k ||3
记：
ˆ
1 T （k） （k） 2
（d d ） （k） 得到d 为最优解的必要条件
（k） （k） （k） （k） 2 f（x ）d d -f（x ） （k） （ || d || -rk） 0 0 （k） || d || r k （k） （k） （k） -1 （k） 设 2 f（x ） I可逆，有（ 10.5.5 ）得到 || d |||| （ 2 f（x ） I） f（x ||
3.信赖域算法
（k） （k） （k） 求出信赖子问题 d 后，点x d 能否作为原问题的近似 解，
还要根据用（ k d）逼近f（x）是否成功来确定。 如果函数值实际下降量 与预测下降量之比，即
（k） （k） f（x ( k )） - f (x d ) k （k） （k） f（x ） - （ d ） k （k） 太小，就认为逼近不成 功，后继点仍取 x ，且信赖域半径 rk 1 （k 1） （k） （k） 若 k比较大，则逼近成功， 后继点x x d ，
逼近成功，令 x
（2）
x
（1）
d
（1）
0 ，r2 2r1 2 1
进行第二次迭代，经计 算得到 0 2 2 0 （2） f（x ） 2，f（x ） , f（x ） ，解子问题 2 0 2 2 min：（ 2 - 2d2 d1 d2 2 d） 2
取初点x
（1）
0 1 , 信赖域半径r1 1，取 ， 4 0
3 ，试用信赖域方法求最 优解 4
5.例题讲解
（1） 解：经计算得到函数值 f（x ） 5，目标函数的梯度
0 2 0 2 （1） f（x ） ，Hesse矩阵 f（x ） 4 0 2 解子问题
定义当前点的邻域 这里rk 是第k步的信赖半径 在这个信赖域内，优化 目标函数的二次逼近式
（k） （二次模型函数）得到 模型函数近似解 d （k 1） （k） （k） （k 1） （k） 产生新的迭代点 x x d ，或x x
相当于直接确定了位移
2.信赖域算法的基本思想
对于问题：min：f（x） 首先给出初始点，在初 始点附近构造一个近似 于原目标函数的 近似模型，信赖域子问 题就是在当前迭代点的 某个邻域内