湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考数学理含答案
三湘名校教育联盟2018-2019高三第一次大联考
理数学
一、单项选择题每题5分
1.已知集合 A={183|2--x x x <0}，B={12
|-x x >1},则 = =B A A. (1,3) B. (1,6) C. (2,3) D. (2,6)
2.已知复数z 满足i i zi 2111+=-+，则其共轭复数z 的虚部为
A.-2
B.-1
C.1
D.2
3.设向量
)21,21(),1,0(-=-=b a ，则下列结论中正确的是 A.a//b B.(a+b)丄b C.(a-b)丄b D.|a-b|=|b|
4.已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥--0120301y y x y x ,则的最小值为 A. 21 B. 1 C. 23
D.2
5.“2=a ”是“函数
)21lg()(2ax x x f -+=为奇函数”的
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A.8
B.16
C.24
D.48
7.设
,则
A. a<b 〈c
B. b<a<c
C.c 〈a 〈b
D. c<b 〈a
8.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。
其中的“筹”原意
是指《孙 子算经》中记载的
算筹，古代是用算筹来进行
计算，算筹是将几寸长的小
竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十
万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框 图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S 用算筹表示为
9.过双曲线C: 122
22=-b y a x (a>b>0)的一个焦点F 向其一条渐近线引垂线，垂足为E ，0为
坐标原点，若△O EF 的面积为1，其外接圆面积为45π
，则C 的离心率为 A. 25 B.3 C.2 D. 5
10.设α>0，β>0,将函数x x f sin )(=的图像向左平移α个单位长度得到图像C 1，将函数)6cos()(π+
=x x g 的图像向右平移β个单位长度得到图像C 2，若C 1与C 2重合，则
=+)cos(βα A. 23- B. 23 C. 21- D. 21
11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为π4，则正方体外接球的体积为 A. π68 B. π36 C. π332 D. π664
12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0＞,1210,1)(x x x e x f x ，若n m ＜且)()(n f m f =，则m n -的最小值为
A. 12lg 2-
B. 2lg 2-
C. 2lg 1+
D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若6)2(a x -的展开式中3x 的系数为-20,则a = .
14. 抛物线py x 22= (p>0)上纵坐标为4的点A 到其焦点F 的距离为5,
则点A 到原点的距离为 .
15.函数x x x f cos 22sin )(+=在区间],0[π上的值域为 .
16.已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边，
B A b a 2sin cos ,3,62===，则△AB
C 的面积为 .
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(―)必考题：共60分。
17.(12分）
已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且1123+=+n n n a a S .
(1)是否存在常数λ，使得n n n a a a λλ++=++12)1(?请说明理由；
(2)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和.
18. (12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA 丄底面ABCD,且PA=2AB ，F 是AB 的中点，
点E 在线段PC 上，且PE 丄PC
31.
（1）证明：平面丄平面ABCD;
（2）求二面角B-AE-D 的余弦值.
19.(12分）
随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。
已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：
以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。
（1）若某送餐员一天送餐的总距离为80千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；
（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定1千米内为短距离，每份3元， 2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份9元。
(i)记X 为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X 的分布列和数学期望； (ii)若送餐员一天的0标收入不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？
20.(12分）
已知椭圆C: 122
22=+b y a x (a>b>0)的上顶点E 与其左、右焦点F 1、F 2构成面积为1的直
角三角形。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点F 2的直线l 交C 于A （11,y x )，B(22,y x )两点，P 是C 上的动点，当31121=+x x 吋，
求△PAB 面积的最大值。
21.(12分）
设函数
)1ln()(++=x b ae x f x ，曲线)(x f y =在点（0, )0(f )处的切线方程为：12+=x y .
（1）求b a ,的值；
（2）若当0≥x 时，mx x f +≥1)(,求m 的取值范围.
(二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1: 142
2
=+y x ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心极坐标为（3，π)，半径为1的圆。
（1）求曲线C 1的参数方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设M ，N 分别为曲线C 1、C 2上的动点，求|MN|的取值范围.
23.[选修4 一5 :不等式选讲](10分）
已知函数 |2||12|)(+--=x x x f .
（1）求不等式)(x f >0的解集；
（2）若关于x 的不等式|5|3)3(|12|+++≥+x x f m 有解，求实数m 的取值范围.。
湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高三上学期第一次大联考数学(理)试题
○…………外○…………内绝密★启用前湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高三上学期第一次大联考数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|(2)0}A x x x =-…，{1,0,1,2,3}B =-，则()U A B ð的子集个数为（） A ．2B ．4C ．8D ．162．若复数z 满足()112i z i -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ） A ．23钱 B ．1钱 C ．43钱 D ．53钱 4．已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（）A ．B ．…○…………线…………○……※※…○…………线…………○……C．D．5．已知，均为单位向量，，则A．B．C．D．6．ABC∆内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“ABC∆为锐角三角形”是“222a b c+>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在ABC∆中，1AB=，3AC=，1AB BC⋅=，则ABC∆的面积为（）A．12B．1 C D8．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．设4log3a=，8log6b=，0.10.5c-=，则（）A．a b c>>B．b a c>>C．c a b>>D．c b a>>10．定义在R上的奇函数()f x满足(1)(1)f x f x+=-，且当[0,1]x∈时，()(32)f x x x=-，则29(2f=（）A．1-B．12-C．12D．111．设函数2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩…，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．(,2]-∞- B ．[2,)+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞12．若(0,)x ∀∈+∞，1ln(1)1x kx x ++>+恒成立，则整数k 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．由曲线22y x x =-+与直线y x =围成的封闭图形的面积为___________． 14．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()sin cos 2παπα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______.15．已知()ln(e 1)(0)ax f x bx b =+-≠是偶函数，则ab=__________． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132020a =，()*12,n n n a S S n n N -=≥∈，则当nS 取最大值时，n 的值为______. 三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，519a =，555S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222()2cos a b ac B bc -=+． （1）求A ；（2）D 为边BC 上一点，3BD DC =，DAB π∠=，求tan C ．19．已知函数()()cos sin 4f x x x α=+-，0απ<<，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为12y x b =+. （1）求α与b 的值；（2）求()f x 的最大值及单调递增区间.20．已知数列{}n a 满足1n a >且()()()22221222log log log n a a a ++⋅⋅⋅+()()11216n n n =++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 21．已知函数()2xf x e ax a =+++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≤时，()2f x ≥，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()ln 1,f x x ax a =-+∈R ． （1）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，直线AB 的斜率为k ，若120x x k ++>恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．B 【解析】 【分析】先求出U C A ,再求出()U C A B ⋂,然后利用公式2n 进行计算可得. 【详解】(,0)(2,)U C A =-∞+∞，∴(){1,3}U C A B =-，∴子集个数为4．故选B. 【点睛】本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题. 2．C 【解析】 【分析】先由复数的除法得1322z i =-+，再求其共轭复数即可得解. 【详解】由()112i z i -=+，可得12(12)(1)1321312222i i i i z i i ++++-====-+-. 1322z i =--在复平面内对应的点为13(,)22--位于第三象限.故选：C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5即可得解． 【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ，又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5，∴a ＝1， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '在R 上单调递增. 【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在R 上单调递增.只有C 符合,故选C ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 5．B 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求 ，代入即可求解． 【详解】解： ， 均为单位向量，且 ，，， 则，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 6．A【分析】由余弦定理可知222a b c +>时C 一定为锐角，进而由充分必要条件的定义判断即可得解. 【详解】当△ABC 为锐角三角形时，C 一定为锐角，此时222a b c +>成立，当222a b c +>成立时，由余弦定理可得cos C ＞0，即C 为锐角，但此时△ABC 形状不能确定，故ABC ∆为锐角三角形”是“222a b c +>”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断及余弦定理的应用，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】由()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-可得2cos 3A =，进而得sin A =，再利用面积公式即可得解. 【详解】因为2()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC AB A ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=，解得2cos 3A =.所以sin 3A ==.所以ABC ∆的面积为11sin 132232AB AC A ⋅⋅=⨯⨯⨯=故选：C. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题. 8．D 【解析】利用三角恒等变换、函数 的图象变换规律，得出结论． 【详解】解：函数，故将函数 的图象向右平移个单位，可得 的图象， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数 的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 9．D 【解析】 【分析】通过对数的运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数2log y x =的单调性可得1a b << ,通过指数函数的性质可得1c > .【详解】2log a =，2log b =，660-<，∴1a b <<，0.121c =>，故选D ．【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题. 10．A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和(1)(1)f x f x -=+可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.【详解】∵()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x -=+，∴(1)(1)(3)f x f x f x +=--=-，4T =，29293111()(16)()()(32)1222222f f f f =-=-=-=--⨯=-．【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题. 11．B 【解析】 【分析】将问题转化为当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根 所以当0x …时，(0,1)m ∀∈ ，1x e m -=-有一根，当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20240a a m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩ 对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥ 解得2a …．故选B ． 【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题. 12．C 【解析】 【分析】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立, 即h(x)的最小值大于k,再通过,二次求导可求得. 【详解】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立，即h(x)的最小值大于k ，2x 1ln(x 1)h (x)x --+'=，令g (x )x 1l n (x 1)(x 0)=--+>，则()01xg x x '=>+，∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，又(2)1ln30g =-<，(3)22ln20g =->，∴g(x)0=存在唯一实根a ，且满足(2,3)a ∈，1ln(1)a a =++．当x a >时，g(x)0>，h (x)0'>；当0x a <<时，g(x)0<，()0h x '<，∴(1)[1ln(1)]()()1(3,4)min a a h x h a a a+++===+∈，故整数k 的最大值为3．故选C ．【点睛】本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题. 13．16【解析】 【分析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)，结合图像可知围成的封闭图形的面积. 【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)， 如图:结合图像可知围成的封闭图形的面积为1123200111(2)()326x x x dx x x -+-=-+=⎰．【点睛】本题考查了定积分的几何意义,属基础题.14．45【解析】 【分析】由向量平行可得2cos sin αα=，结合221sin cos αα=+可得24sin 5α=，结合诱导公式化简得()2sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，所以2cos sin αα=.()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭.由22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=，所以24sin 5α=. 故答案为：45. 【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题. 15．2 【解析】 【分析】根据偶函数的定义,由()()f x f x -= 恒成立可得. 【详解】 由()()f x f x =-得1ln(1)ln(1)ln ln(1)ax ax axax ax e e bx ebx bx e ax bx e-++-=++=+=+-+，∴2ax bx = ，2ab=． 【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题. 16．674 【解析】【分析】化简条件可得()*11112,n n n n N S S --=-≥∈，进而得120233n S n=-，利用反比例函数的性质分析数列的单调性即可得解. 【详解】由()*12,n n n a S S n n N -=≥∈，可得()*112,n n n n SS S S n n N ---=≥∈. 所以()*11112,n n n n N S S --=-≥∈. 从而有：1{}n S 是以1120203S =为首项，-1为公差的等差数列. 所以120202023(1)(1)33n n n S =+-⋅-=-，所以120233n S n=-. 当1674n ≤≤时，n S 递增，且0n S >； 当675n ≤时，n S 递增，且0nS <.所以当674n =时，n S 取最大值. 故答案为：674. 【点睛】本题主要考查了n a 和n S 的递推关系，考查了数列的单调性，属于中档题.17．（1）41n a n =-（2）()343nn +【解析】 【分析】（1）由等差数列的基本量表示项与和，列方程组求解即可； （2）先求得1111144143n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再利用裂项求和即可得解. 【详解】解析：（1）设公差为d ，则1141951055a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，∴()34141n a n n =+-=-.（2）()()111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴11111114377114143n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭()343n n =+. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和，属于基础题. 18．（1）23π；（2. 【解析】 【详解】分析：（1）由余弦定理可得222a b c bc --=，从而可得cos A ，进而得解； （2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BCC =,①，在Rt ABC 中， ()sin 30cC BD+=,②，联立①和②可得解. 详解：（1）由已知条件和余弦定理得：222222222a c b a b ac bc ac+--=⋅+即： 222a b c bc --=则2221cos 22b c a A bc +-==-又0A π<<，23A π∴=. （2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BC C =,① 在Rt ABD △中， ()sin 30cC BD+=,② 由①②可得：()sin 30sin CC +=即：1cos 22sin C C C =,化简可得：tan C =点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．（1）3πα=,4b =（2）最大值12，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】 【分析】（1）求函数的导数得()'cos(2)f x x α=+，由()1'02f =得3πα=，从而得解； （2）由1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合三角函数性质利用整体代换可求最值和单调区间. 【详解】（1）()()()'sin sin cos cos f x x x x x αα=-+++()cos 2x α=+，()1'02f =，3πα=，()04f =，4b =.（2）()21sin cos 2f x x x x =11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 当2232x k πππ+=+，k Z ∈时，()f x 取得最大值12. 由222232k x k πππππ-≤+≤+得5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， ∴()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和性质及利用导数求函数切线，属于中档题.20．（1）2nn a =（2）()1122n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】（1）先令1n =得12a =，再由()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--，与条件作差得2n n a =；（2）由2nn b n =⋅，利用错位相减法求和即可.【详解】解析：（1）当1n =时，()221log 1a =，由1n a >得12a =. 当2n ≥时，()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--， ∴()()()()()2211log 12112166n a n n n n n n =++---2n =，∴2n n a =， ∵1n =也适合，∴2nn a =. （2）2nn b n =⋅，∴1212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅， 两式相减得1212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅()1122n n +=-⋅-，∴()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查了和与项的递推关系及错位相减法求和，属于中档题. 21．（1）见解析（2）[]1,0- 【解析】 【分析】（1）求函数导数得()'xf x e a =+，分别讨论0a ≥和0a <时导数的正负从而得函数的单调性；（2）令()xh x e ax a =++，则()00h ≥，1a ≥-，讨论0a =，0a >和10a -≤<时，利用导数研究函数的单调性进而得解. 【详解】（1）()'xf x e a =+，若0a ≥，则()'0f x >，()f x 在R 上单调递增；若0a <时，由()'0f x >得()ln x a >-，由()'0f x <得()ln x a <-，∴()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增.（2）当0x ≤时，22x e ax a +++≥，即0x e a x a ++≥，令()x hx e a x a =++，则()00h ≥，1a ≥-，当0a =时，()0xh x e =>，满足题意；当0a >时，()'0xh x e a =+>，∴()h x 在(],0-∞上递增，由xy e =与()1y a x =-+的图像可得()0h x ≥在(],0-∞上不恒成立；当10a -≤<时，由()'0xh x e a =+=解得()ln x a =-，当()ln x a <-时，()'0h x <，()h x 单调递减； 当()ln 0a x -<≤时，()'0h x >，()h x 单调递增.∴()h x 在(],0-∞上的最小值为()()ln h a -，∴()()()ln ln 0h a a a -=-≥，解得10a -≤<.综上可得实数a 的取值范围是[]1,0-. 【点睛】本题主要考查了函数导数的应用及分类讨论的思想，利用导数研究函数最值解决恒成立问题，属于难题.22．（1）(0,1)（2）(-∞ 【解析】 【分析】(1)求导得1()f x a x'=-,当0a ≤时,可得()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点, 当0a >时,利用导数可以求得函数()f x 在定义域内的最大值为1()f a ,由11()ln 0f a a=>，解得01a <<.然后根据1()0f a >,1()0f e < 得到()f x 在11(,)e a上有1个零点；根据1()0f a >,22f ()0e a <,得到()f x 在221(,)ea a上有1个零点,可得a 的取值范围. (2)利用斜率公式将120x x k ++>恒成立,转化为2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-,即2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数,再求导后,分离变量变成min 1(2)a x x+…,最后用基本不等式求得最小值,代入即得. 【详解】 （1）1()f x a x'=-，0x >， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点； ②当0a >时，在区间1(0,)a 上，()0f x '>；在区间1(,)a+∞上，()0f x '<．∴()f x 在1(0,)a 是增函数，在1(,)a +∞是减函数，11()ln0f a a=>，解得01a <<，此时2211e e a a<<，且1()110a a f e e e =--+=-<，∴()f x 在11(,)e a 上有1个零点；2222()22ln 132ln (01)e e e f a a a a a a=--+=--<<， 令2()32ln e F a a a =--，则222222()0e e a F x a a a-'=-+=>，∴()F a 在(0,1)上单调递增，∴2()()130F a F e <=-<，即22f ()0e a <，∴()f x 在221(,)ea a上有1个零点．∴a 的取值范围是(0,1)． （2）由题意得22111221ln ln 0x ax x ax x x x x --+++>-，∴2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-， ∴2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数，∴1()20m x x a x'=+-…在(0,)+∞上恒成立，∴min 1(2)a x x +…，∵0x >，∴12x x +=…当且仅当12x x =时，即x =取等号，∴a …∴a 的取值范围是(-∞． 【点睛】本题考查了函数的零点,零点存在性定理,不等式恒成立,以及用基本不等式求最值,属难题.。
湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考试题(6科7份)
三湘名校教育联盟• 2019届高三第一次大联考化学本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页。
全卷满分100分，考试时间90分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 0 16 Na 23 Mg 24 S 32 Cl 35.5Fe 56 Cu 64一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化学与生产和生活密切相关。
下列过程中没有发生化学变化的是A.海水提溴B.纯碱去除油污C.用四氯化碳萃取溴水中的Br2D.粗故水的精制2.化学与生产、生活密切相关。
下列说法正确的是A.使用光导纤维长距离输送高压电，可以降低电能损耗B.钢管和铜管露天堆放在一起，钢管容易生锈C.天然纤维素和合成纤维素的主要成分都是纤维素D.食用花生油和鸡蛋清都不能发生水解反应3.设N A为阿伏加德罗常数的数值。
下列说法正确的是A.标准状况下，1:1.2 L H2与11.2 L D2所含的质子数均为N AB. 1 L 0.1 mol . LT1 FeCl3 溶液中含 Fe3+数目为 0.1 N AC.6.4gCu与3.2gS粉混合隔绝空气加热，充分反应后，转移电子数为0.2N AD.O.1 mol乙醇与0.1 mol乙酸在浓硫酸催化并加热下，生成乙酸乙酯分子数为0.1 N A4.下列关于有机化合物的说法正确的是A. C4H10O有4种同分异构体B.纤维素、蛋白质、油脂及聚乙烯均属于高分子化合物C.光照下CH4与Cl2等物质的量混合可制得纯净的CH3C1D.由苯生成环已烷、硝基苯的反应分别属于加成反应和取代反应5.下列有关离子能大量共存或离子方程式书写正确的是6.下列化学用语中正确的是7.已知4种短周期元素X、Y、Z、W的核外电子数之和为42。
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三(上)第一次联考数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|0≤x <2}，则A ∩(∁U B)=( )A. {−1,3}B. {0,1}C. {−1,2，3}D. {−1,0，3} 2. 已知复数z =−1i −1，则它的共轭复数z −在复平面内对应的点的坐标为( ) A. (−1,−1) B. (−1,1) C. (1,2) D. (1,−2)3. “x <1”是“log 2(x +1)<1”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何。
”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等。
”(“钱”是古代的一种重量单位)，则其中第二人分得的钱数是( )A. 56B. 1C. 76D. 43 5. 函数f(x)=x 33+sinx 的图像大致为( ) A. B. C. D.6. 设a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则c ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )的最大值为( )A. 2B. √2C. 1D. 0 7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=a 2+bc ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则△ABC的面积是( ) A. √3 B. 2√3 C. 4 D. 4√38. 将函数的图象向左平移π4个单位得到f (x )的图象，则( ) A. f (x )=sin2xB. C. f (x )=−sin2x D. 9. 设a =0.32，b =20.3，c =log 0.34，则( ) A. b <a <cB. c <b <aC. b <c <aD. c <a <b 10. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +1)+f(x −1)=0，且当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2+1，则f(2222)=( ) A. 0B. 1C. 5D. −5 11. 已知函数若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A. [−1,0) B. [0,+∞) C. [−1,+∞) D. [1,+∞)12. 已知函数f(x)的定义域为R ，其导函数为fˈ(x)，对任意x ∈R ，fˈ(x)>f(x)恒成立，且f(1)=1，则不等式ef(x)>e x 的解集为( )A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ． 14. 已知π<α<2π，cos(α−7π)=−35，则sin(3π+α)tan(α−7π2)的值为______。
湖南省三湘名校(五市十校)2019届高三下学期第一次联考数学(理)试卷(解析版)
2019届高三3月联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合M，然后取补集即可.【详解】=,全集则故选：C【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题.2.已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则="( " )A. B. C. 0 D. 4【答案】C【解析】由题知，故，∴，故选择C。
2019届湖南省三湘名校(五市十校)高三下学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省三湘名校（五市十校）高三下学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解出集合M，然后取补集即可.【详解】=,全集则故选：C【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题.2．已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.3．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（）A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C．与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为. 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4．已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则="( " )A．B．C．0 D．4【答案】C【解析】由题知，故，∴，故选择C。
湖南三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考数学(理)试题及答案
绝密★启用前三湘名校教育联盟• 2019届高三第一次大联考理科数学本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A={183|2--x x x <0}，B={12|-x x >1},则 = =B AA. (1,3)B. (1,6)C. (2,3)D. (2,6)2.已知复数z 满足i izi2111+=-+，则其共轭复数z 的虚部为 A.-2 B.-1 C.1 D.23.设向量)21,21(),1,0(-=-=b a ，则下列结论中正确的是 A.a//b B.(a+b)丄b C.(a-b)丄b D.|a-b|=|b|4.已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥--0120301y y x y x ,则的最小值为A.21 B. 1 C. 23D.2 5.“2=a ”是“函数)21lg()(2ax x x f -+=为奇函数”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.8 B.16 C.24 D.487.设 2ln 21,)1(43,310221=-==⎰-c dx x b a ,则A. a<b 〈cB. b<a<cC.c 〈a 〈bD. c<b 〈a8.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。
其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框 图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S 用算筹表示为9.过双曲线C: 12222=-by a x (a>b>0)的一个焦点F 向其一条渐近线引垂线，垂足为E ，0为坐标原点，若△O EF 的面积为1，其外接圆面积为45π，则C 的离心率为 A.25B.3C.2D. 5 10.设α>0，β>0,将函数x x f sin )(=的图像向左平移α个单位长度得到图像C 1，将函数)6cos()(π+=x x g 的图像向右平移β个单位长度得到图像C 2，若C 1与C 2重合，则=+)cos(βαA. 23-B. 23C. 21-D. 2111.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为π4，则正方体外接球的体积为 A. π68 B. π36 C. π332 D. π66412.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0＞,1210,1)(x x x e x f x ，若n m ＜且)()(n f m f =，则m n -的最小值为A. 12lg 2-B. 2lg 2-C. 2lg 1+D. 2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省三湘名校(五市十校)2019届高三下学期第一次联考数学(理)试卷
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○…………线…………○………… 2019年04月18日xx 学校高中数学试卷 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 第1卷 评卷人 得分 一、选择题 1.设U A B =⋃，{1,2,3,4,5}A =，{B =10以内的素数}，则 ()A B ⋂=（ ） A. {2,4,7} B. ∅ C. {4,7} D. {1,4,7} 2.i 为虚数单位，已知a 是纯虚数，1i 1i a -+与1i +为共轭虚数，则a =（ ） A.i B. 2i C. i - D. 2i - 3.学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示： 将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（ ） A. 抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B. 该校只有50名学生不喜欢阅读。
湖南省三湘名校(五市十校)2019届高三数学下学期第一次联考试题理(含解析)
湖南省三湘名校（五市十校）2019届高三数学下学期第一次联考试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合M，然后取补集即可.【详解】=,全集则故选：C【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题.2.已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则="( " )A. B. C. 0 D. 4【答案】C【解析】由题知，故，∴，故选择C。
湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考数学(文)试题(解析版)
三湘名校教育联盟• 2019届高三第一次大联考文科数学一、选择题:本题共12小题,毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合2{|5140}A x x x =--<，{|33}B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. (3,2]--B. (2,3]-C. (2,3]D. [3,7)【答案】D【解析】分析：先求出A 集合，然后由图中阴影可知在集合A 中出去A,B 的交集部分即可.详解：由题得：{|27}(2,3)A x x A B =-<<耷=-故有题中阴影部分可知：阴影部分表示的集合为()A C AB ?[)3,7 故选D.点睛：考查集合的交集和补集，对定义的理解是解题关键，属于基础题.2.若复数z 满足(2)7z i i +=+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由()27z i i +=+求得72i z i+=+，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，由共轭复数的定义可得结果.【详解】因为数z 满足()27z i i +=+，所以()()727325i i i z i i +-+===-+， 可得3z i =+， 所以z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知向量a ()1,2l =+ ，b ()2,2=-若22a b a b -=+，则lA. -3B. -1C. 1D. 2 【答案】C【解析】【分析】 由22a b a b -=+两边平方化简得0a b?，将向量a ()1,2l =+ ，b ()2,2=-代入0a b ?可得结果. 【详解】由22a b a b -=+两边平方得 22224444a a b b a a b b -?=+?可得0a b ?，因为a ()1,2l =+ ，b ()2,2=-， ()2140a b l ?-++=， 解得1l =，故选C.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b q ?，二是1212a b x x y y ?+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a b a bq = （此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b ×；（3）,a b 向量垂直则0a b ?;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ×）.4.函数()2ln x xf x x =的图象大致为A.B. C. D.【答案】A【解析】【分析】 利用奇偶性排除,C D ，利用特殊点排除B ，从而可得结果.【详解】因为()()22ln ln x x x x f x f x x x ---===， 所以()f x 是偶函数， 可得图象关于y 轴对称，排除,C D ；当0x >时，()()ln 1,10,02x f x f f x 骣琪==<琪桫，排除B ，故选A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5.已知{n a }是等比数列，数列{n b }满足*2log ,n n b a n N =? ，且244b b +=，则3a 的值为A. 1B. 2C. 4D. 16【答案】C【解析】【分析】由{}n a 为等比数列，可得24a a = 23a ，由244b b +=可得2224log log a a +223log 4a ==，从而可得结果.【详解】{}n a 为等比数列，所以24a a = 23a因为244b b +=，所以所以22242242log log log a a log a a +==23232log 4a a ==，可得23log 2a =，34a \=，故选C.【点睛】本题主要考查对数的运算以及等比数列的下标性质，属于中档题. 比数列最主要的性质是下标性质：解答等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若2p q m n r +=+=则2p q m n r a a a a a ==.6.设a Z Î，函数 ()x f x e x a =+-，若命题p ：“(1,1),)()0x f x "??”是假命题，则a 的取值个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】由p 为假命题可得()()00:1,1,0p x f x ??=为真命题，由零点存在定理可得111a e e -<<+，结合a 是整数即可得结果.【详解】因为命题p ：“()()1,1,)0x f x "??”是假命题， 所以()()00:1,1,0p x f x ??=为真命题，()f x 为增函数，且函数是()f x 连续函数， ()()110f f \-<，111a e e-<<+，又因为a 是整数，所以0,1,2,3a =，即a 的个数为4，故选D.【点睛】本题主要考查全称命题的否定以及零点存在定理的应用，属于中档题. 应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 8B. 16C. 24D. 48【答案】B【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构，然后结合利用体积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，在棱长为4的正方体中，题中的三视图对应的几何体为四棱锥11A CDD C -， 四棱锥的底面积()111244122CDD C S =??， 该几何体的体积111241633V Sh ==创=. 本题选择B 选项. 【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线y x b =+与圆22x y a +=有交点的概率为12，则a = A. 14 B. 12C. 1D. 2 【答案】B【解析】【分析】由直线y x b =+与圆22x y a +=有交点可得-，利用几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】因为直线y x b =+与圆22x y a +=有交点，所以圆心到直线的距离d ?b \?， 又因为直线y x b =+与圆22x y a +=有交点的概率为12，1122a \=?，故选B. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及几何概型概率公式的应用，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框 图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S 用算筹表示为A.B. C. D.【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出S 的值，再利用表格中的对应关系可得结果.【详解】第一次循环，1,1,3i x y ===；第二次循环，2,2,8i x y ===第三次循环，3,14,126i x y ===；第四次循环，4,1764i S ==，满足S xy =，推出循环，输出1764S =，因为1746对应，故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.将函数()()cos <2f x x p f f 骣琪=+琪桫图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移6p 个单位长度，所得函数图象关于2x p =对称，则f = A. 512p - B. 3p - C. 3p D. 512p 【答案】B【解析】【分析】函数()()cos <2f x x p f f 骣琪=+琪桫图象经过放缩变换与平移变换后可得1cos 26y x p j 轾骣犏琪=++琪犏桫臌，由1226k p p j p 骣琪++=琪桫可得结果. 【详解】函数()()c o s <2f x x p f f 骣琪=+琪桫图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到1cos 2y x j 骣琪=+琪桫， 再向左平移6p 后得到1cos 26y x p j 轾骣犏琪=++琪犏桫臌， 因为1cos 26y x p j 轾骣犏琪=++琪犏桫臌的图象关于于2x p =对称， 1226k p p j p 骣琪\++=琪桫，解得3k p j p =-， 当0k =时，3p j =-，故选B. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为4p ，则正方体外接球的体积为A. B. 36p C. D.【答案】B【解析】【分析】利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果.【详解】设正方体的棱长为a ，则BD =，因为三棱锥11A BC D -内切球的表面积为4p ，所以三棱锥11A BC D -内切球的半径为1，设11A BC D -内切球的球心为O ，1A 到面1BC D 的距离为h ，则1114A BC D O BC D V V --=，11114133BC D BC D S h S D D ?创?，4h \=， 又(23h =，4,a \= 又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，\3=，其体积为343363p p ?，故选B.【点睛】解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体积列方程求出内切球半径.12.过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为60°的直线交抛物线于A 、B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与y轴相切于点M ，N ，则|MN| =A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由抛物线方程求出其焦点坐标，由直线倾斜角求出其斜率，由点斜式可得直线方程，直线方程与抛物线方程联立，求出,A B 的纵坐标，从而可得,OM ON 的值，进而可得结果.【详解】设()()1122,,A x y B x y ，因为24y x =抛物线的焦点为()1,0F ，直线AB 的倾斜角为60，可得直线AB直线AB的方程为)1y x -，因为,AF BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点,M N ， 所以1211,22OM y ON y ==， 1212MN y y \=-， 将AB方程)1y x -代入24y x =，21240,y y y --===-12MN ==，故选C. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，直线与抛物线的位置关系以及圆与直线的位置关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知: ,x y 满足约束条件1030210x y x y y ì--?ïï+-?íï+?ïî,则2z x y =-的最小值为_______. 【答案】32【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出1030210x y x y y ì--?ïï+-?íï+?ïî约束条件表示的可行域，如图，由10210x y y ì--=ïïíï+?ïî可得1212x y ì=ïïïíïï=-ïî，将2z x y =-变形为2y x z =-， 平移直线2y x z =-，由图可知当直2y x z =-经过点11,22骣琪-琪桫时， 直线在y 轴上的截距最大，则2z x y =-有最小值， 最小值为1132222z =?=，故答案为32. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S , 1315310a a a ++=,则9S 的值为________. 【答案】18 【解析】 【分析】由1315310a a a ++=可得152010a d +=，求得52a =，利用等差数列的下标性质以及等差数列的求和公式 可得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则1315310a a a ++=可化为152010a d +=， 即142a d +=，52a \=，()199599182a a S a +\===，故答案为18.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，以及等差数列的性质，属于中档题. 解与等差数列有关的问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.15.已知F 为双曲线2221y x b -=的一个焦点，O 为坐标原点,OF 的中点M 到C 的一条渐近线的距离为2，则C 的离心率为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出一条渐近线过程以及一个焦点的坐标，求出焦点到渐近线的距离，由OF 中点到渐近线的距离，结合三角形中位线定理可求得b .【详解】双曲线方程2221y x b-=，\双曲线交点)F，渐近线方程为y bx =，b =，OF 的中点到渐近线的距离为2，根据中位线定理及双曲线的性质知焦点到渐近线的距离为2b =?2c \=，离心率2ce a==，故答案为2. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 16.函数()sin 22cos f x x x =+在区间[0，p ]上的值域为________.【答案】[,]22-【解析】 【分析】利用导数研究函数()si n 22cos fx x x =+的单调性，可得可得()si n 22cos f x x x =+的增区间为50,,,66pp p 骣骣琪琪琪琪桫桫，减区间为5,66p p骣琪琪桫，求出()()502,266f f f f p p p 骣骣琪琪=-==-琪琪桫桫，从而可得结果.【详解】()()2'2cos 22sin 22sin sin 1f x x x x x =-=-+-()()22sin 1sin 1x x =--+，当50,,66x pp p 骣骣琪琪稳琪琪桫桫时，()'0f x >； 可得()sin22cos f x x x =+的增区间为50,,,66p pp 骣骣琪琪琪琪桫桫，当5,66x p p骣琪Î琪桫时，()'0f x <，可得()sin22cos f x x x =+的减区间为5,66p p骣琪琪桫，()()502,266f f f f p p p 骣骣琪琪=-==-琪琪桫桫， ()22f x 轾犏\?犏臌，故答案为22轾犏-犏臌. 【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题. 求函数()f x 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x ¢；(3) 解方程()0,f x ¢=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x ¢在()0f x ¢=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边，且22222a bccos B b c +=+. （1）证明：A = 2B,（2）若()1,cos 2cos b a B c b A ==-，求△ABC 的外接圆面积. 【答案】（1）见解析（2）p 【解析】 【分析】(1)由22222a bccos B b c +=+，利用余弦定理，结合降幂公式可得cos cos2,A B =从而可得结果；（2）由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理得cos cos cos 2sin cos A B sinB A C A +=，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得1cos 2A =，再利用正弦定理可得结果. 【详解】（1）由已知及余弦定理得2222cos22cos b c a bc B bc A +-==，cos cos2,2A B A B \==.（2）由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理得cos cos cos 2sin cos A B sinB A C A +=，即()2sin cos sin A B C A +=，1cos ,602A A \==，由（1）知30,22,1sin bB R R B====， S p \=.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18.如图，四棱锥P-ABCD 的底面四边形ABCD 是梯形，AB//CD ，CD=2AB ，M 是PC 的中点.（1）证明：BM//平面PAD ；（2）若PB = BC 且平面PBC 丄平面PDC ，证明：PA=AD. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】(1)取PD 的中点F ，连接,AF MF 利用三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理可得四边形ABMF 时平行四边形，//AF BM ，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；(2) 由等腰三角形的性质可得BM PC ^，利用面面垂直的性质可得BM ^平面,PDC BM PD ^，再利用//AF BM ，可得AF PD ^，进而证明结论.【详解】（1）取PD 的中点F ，连接,AF MF ， 则由已知得1////,//,//2MF CD AB AF BM BM ===\\平面PAD .（2）由题意得MB PC ^，平面PBC ^平面,PDC BM \^平面,PDC BM PD ^，//,AF BM AF PD =\^，PA AD \=.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质以及线面垂直的性质，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 19.随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯.由此催生了一批外卖点餐平台，已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计,按送餐距离分类统计结果如下表：以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率.（1）从这80名点外卖的用户中任取一名用户.求该用户的送餐距离不超过3千米的概率； （2）试估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离；（3）若该外卖平台给送餐员的送餐贽用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元；超过4千米为远距离，每份9元，若送餐员一天的目标收 人不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？ 【答案】（1）710（2）2.35 （3）33 【解析】 【分析】（1）由表格中数据直接利用古典概型概率公式可得结果；（2）估计每名点外卖用户的平均送餐距离为()1120.520 1.524 2.516 3.58 4.5 2.3580?????；（3）送一份外卖的平均收入为32408233598080805???（元），从而可得结果. 【详解】（1）由表格中数列据可得概率12202478010P ++==.（2）估计每名点外卖用户的平均送餐距离为()1120.520 1.524 2.516 3.58 4.5 2.3580?????（千米）， （3）送一份外卖的平均收入为32408233598080805???（元）， 2315032.65富，\估计一天至少要送33份外卖.【点睛】本题主要考查阅读能力，古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率.20.已知椭圆C: 22221x y a b += (a>b>0)且过点（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线：2y x m =+交C 于A 、B 两点，0为坐标原点，求△OAB 面积的最大值. 【答案】（1）22142x y +=（2【解析】 【分析】（1）且过点，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设()()1122,A xy B xy ，将2y x m =+代入C 的方程，整理得2220x m +-=，根据韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，结合三角形面积公式可得12S AB d ==. 【详解】（1）由已知可得2e ==22211a b +=，解得224,2a b ==，\椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设()()1122,A x y B xy ，将y x m =+代入C的方程， 整理得2220x m +-=，()2222420,4m m m D=-->\<，21212,2x x x x m \+=-=-，212122222m y y x mx m -琪琪=++=琪琪桫桫，AB ==d =，2214222m m S AB d +-=４=，当且仅当22m -时取等号，OAB\D 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21.已知函数()ln f x x x =. （1）证明：()1f x x ?； （2）若当1x e³时，2()1f x ax x a ?+-，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）1a ³ 【解析】 【分析】（1）构造函数()()1g x f x x =-+，利用导数研究函数的单调性，求出函数()g x 在1x =处取得最小值()10,g =，从而可得结果；（2）当1x e³时，()21f x ax x a ?+-，等价于()2ln 11x x x a h x x ++?+，利用导数研究函数()h x 的单调性，可得()h x 在1x =处取得最大值()11,1h a =\?. 【详解】（1）()0,x ??，设()()1g x f x x =-+，则()'ln g x x =，当1x >时，()'0g x >；当01x <<时，()'0g x <，()g x \在1x =处取得最小值()()10,0g g x =\?，即()1f x x ?. （2）由已知2ln 11x x x a x ++³+，设()2ln 11x x x h x x ++=+， 则()()()()221ln ln 2'1x x x x h x x -++=+，ln ln 2y x x x =++是增函数，1120y e\>--+>， \当1,1x e 骣琪Î琪桫时，()'0h x >；当()1,x ??时，()'0h x <，()h x \在1x =处取得最大值()11,1h a =\?.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ³恒成立(()maxa f x³即可)或()a f x £恒成立（()mina f x£即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min0f x ³或()max 0f x £恒成立；④ 讨论参数.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：2214y x +=，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心极坐标为(3,)p ，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的参数方程和2C 的直角坐标方程；（2）设M ，N 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求MN 的取值范围. 【答案】（1）cos 2sin x y j jì=ïí=ïî（j为参数），22(3)1x y ++=；（2）15MN ＃【解析】分析：（1）结合公式22cos sin 1j j +=，借助换元法可得曲线1C 的参数方程，把极坐标(3,)p 化为直角坐标后可得圆的标准方程；（2）曲线1C 的参数方程即为1C 上点的坐标，求出它与圆心距离的最值范围，即可得MN 的取值范围．详解：（1）1C 的参数方程为2x cos y sin j jì=ïí=ïî（j为参数），2C 的直角坐标方程为()2231x y ++=. （2）设()cos ,2sin M j j，()23,0C -，()2222cos 34sin MC j j =++()223cos 6cos 133cos 116j j j =-++=--+，∵1cos 1j-＃，∴22416MC ＃，224MC ＃，∴15MN ＃.点睛：点P 到圆C 上点的距离的取值范围是[,]PC r PC r -+，其中r 是圆C 的半径．23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数 ()212f x x x =--+ （Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式21(3)35m f x x +?++有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1(,)(3,)3-???；（2）(,3][2,)-??? 【解析】分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集； （2）(3)3525210f x x x x +++=+++，利用绝对值的三角不等式求得25210x x +++的最小值min ，然后解不等式21min m +?即可．详解：（1）()13,2131,223,2x x f x x x x x ì-?ïïïï=---<<íïï-+?ïïî，当30x ->时，得3x >；当310x -->时，得123x -<<-；当30x -+>时，得2x ?， 综上可得不等式()0f x >的解集为()1,3,3骣琪-???琪桫.（2）依题意()()min21335m f x x +?++，令()()33525210g x f x x x x =+++=+++ 252105x x ?-++=.∴215m +?，解得2m ³或3m ?，即实数m 的取值范围是][(),32,-???.点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别： （1）“能成立”：存在x 使不等式()t f x ³成立min ()tf x 鄢，存在x 使不等式()t f x £成立max ()tf x 郏；（2）“恒成立”：对任意的x 不等式()t f x ³恒成立max ()tf x 鄢，对任意的x 不等式()t f x £恒成立min ()tf x 郏．。
湖南省三湘名校(五市十校)2019届高三下学期第一次联考数学(理)试卷(解析版)
2019届高三3月联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合M，然后取补集即可.【详解】=,全集则故选：C【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题.2.已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则="( " )A. B. C. 0 D. 4【答案】C【解析】由题知，故，∴，故选择C。