【真题】16年浙江省嘉兴一中高三(上)数学期中试卷含答案(理科)

2015-2016学年浙江省嘉兴一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．52．（5分）已知p：m﹣1＜x＜m+1，q：（x﹣2）（x﹣6）＜0，且q是p的必要不充分条件，则m的取值范围是（）A．3＜m＜5 B．3≤m≤5 C．m＞5或m＜3 D．m≥5或m≤33．（5分）已知m为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m⊥α，则m⊥βC．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m⊥α，α∥β，则m⊥β4．（5分）函数f（x）=1﹣2sinx（sinx+cosx）的图象向左平移个单位得函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式是（）A．g（x）=2sin（2x﹣）B．g（x）=2cos2xC．g（x）=2cos（2x+） D．g（x）=2sin（2x+π）5．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣6．（5分）在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足++=，++=，++=，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：57．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣28．（5分）设．若f（x）=x2+px+q的图象经过两点（α，0），（β，0），且存在整数n，使得n＜α＜β＜n+1成立，则（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题6分，共36分.9．（6分）已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩B=．A∩∁R B=．∁R（A∪B）=．10．（6分）已知等差数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，且满足a4=10，S6=S3+39，则数列{a n}的首项a1=，通项a n=．11．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2．12．（6分）已知函数f（x）=；（1）当a=时，f（x）的值域为，（2）若f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是．13．（4分）已知平面向量，（≠）满足||=且与﹣的夹角为150°，则|m+（1﹣m）|的取值范围是．14．（4分）已知实数x，y，z满足x+y+z=0，x2+y2+z2=1，则x的最大值为．15．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的底是边长为1的正三角形，高AA1=1，在AB 上取一点P，设△PA1C1与面A1B1C1所成的二面角为α，△PB1C1与面A1B1C1所成的二面角为β，则tan（α+β）的最小值是．三、解答题（共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（15分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若cosBcosC=﹣，且△ABC的面积为2，求a．17．（15分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．18．（15分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．19．（15分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（Ⅰ）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值．20．（14分）已知数列{a n}满足：a1=0，，n=2，3，4，…．（Ⅰ）求a5，a6，a7的值；（Ⅱ）设，试求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）对于任意的正整数n，试讨论a n与a n的大小关系．+12015-2016学年浙江省嘉兴一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选：D．2．（5分）已知p：m﹣1＜x＜m+1，q：（x﹣2）（x﹣6）＜0，且q是p的必要不充分条件，则m的取值范围是（）A．3＜m＜5 B．3≤m≤5 C．m＞5或m＜3 D．m≥5或m≤3【解答】解：p：m﹣1＜x＜m+1，q：2＜x＜6；∵q是p的必要不充分条件；即由p能得到q，而q得不到p；∴，∴3≤m≤5；∴m的取值范围是[3，5]．故选：B．3．（5分）已知m为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m⊥α，则m⊥βC．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m⊥α，α∥β，则m⊥β【解答】解：对于A，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，不正确；对于B，∵α⊥β，∴设α∩β=a，在平面β内作直线b⊥a，则b⊥α，∵m⊥α，∴m∥b，若m⊄β，则m∥β，若m⊂β，也成立．∴m∥β或m⊂β，不正确；对于C，若m∥α，α⊥β，则则m∥β或m，β相交，不正确；对于D，若m⊥α，α∥β，利用平面与平面平行的性质，可得m⊥β，正确．故选：D．4．（5分）函数f（x）=1﹣2sinx（sinx+cosx）的图象向左平移个单位得函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式是（）A．g（x）=2sin（2x﹣）B．g（x）=2cos2xC．g（x）=2cos（2x+） D．g（x）=2sin（2x+π）【解答】解：∵f（x）=1﹣2sinx（sinx+cosx）=1﹣2sin2x﹣2sinxcosx=1﹣（1﹣cos2x）﹣sin2x=2（cos2x﹣sin2x）=2cos（2x+），∴向左平移个单位得函数g（x）=2cos[2（x+）+]=﹣2cos2x=2sin（2x﹣），故选：A．5．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，当y=0，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．6．（5分）在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足++=，++=，++=，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【解答】解：由++=，得+=﹣，即+=+，即+=，∴=2，P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1：3；故选：B．7．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2【解答】解：设|AF1|=|AB|=m，则|BF1|=m，|AF2|=m﹣2a，|BF2|=m﹣2a，∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m，∴m﹣2a+m﹣2a=m，∴4a=m，∴|AF2|=（1﹣）m，∵△AF1F2为Rt三角形，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2∴4c2=（﹣）m2，∵4a=m∴4c2=（﹣）×8a2，∴e2=5﹣2故选：D．8．（5分）设．若f（x）=x2+px+q的图象经过两点（α，0），（β，0），且存在整数n，使得n＜α＜β＜n+1成立，则（）A． B．C．D．【解答】解：∵f（x）=x2+px+q的图象经过两点（α，0），（β，0），∴f（x）=x2+px+q=（x﹣α）（x﹣β）∴f（n）=（n﹣α）（n﹣β），f（n+1）=（n+1﹣α）（n+1﹣β），∴min{f（n），f（n+1）}≤=≤==又由两个等号不能同时成立故故选：B．二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题6分，共36分.9．（6分）已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩B=[2，4] ．A∩∁R B=[0，2）∪（4，+∞）．∁R（A∪B）=（﹣∞，0）．【解答】解：由A中不等式变形得：2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由B中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣4）≤0，解得：2≤x≤4，即B=[2，4]，∴∁R B=（﹣∞，2）∪（4，+∞），A∪B=[0，+∞），则A∩B=[2，4]；A∩∁R B=[0，2）∪（4，+∞）；∁R（A∪B）=（﹣∞，0），故答案为：[2，4]；[0，2）∪（4，+∞）；（﹣∞，0）10．（6分）已知等差数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，且满足a4=10，S6=S3+39，则数列{a n}的首项a1=1，通项a n=3n﹣2．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a4=10，S6=S3+39，得，解得．∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．故答案为：1，3n﹣2．11．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．12．（6分）已知函数f（x）=；（1）当a=时，f（x）的值域为（0，+∞），（2）若f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是[）．【解答】解：（1）时，；①x≤7时，f（x）=；②x＞7时，f（x）=；x﹣6＞1；∴；即；∴f（x）的值域为（0，+∞）；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴；解得；∴实数a的取值范围为．故答案为：（1）（0，+∞），（2）[，1）．13．（4分）已知平面向量，（≠）满足||=且与﹣的夹角为150°，则|m+（1﹣m）|的取值范围是．【解答】解：如图所示不妨设=（，0），=．=+（1﹣m）．∵与﹣的夹角为150°，∴∠OAB=30°．由于=+（1﹣m）．可知：点C在直线AB上，当且仅当OC⊥AB时，取得最小值，此时==．∴|m+（1﹣m）|的取值范围是．故答案为：．14．（4分）已知实数x，y，z满足x+y+z=0，x2+y2+z2=1，则x的最大值为．【解答】解：∵x+y+z=0，∴z=﹣x﹣y，∵x2+y2+z2=1，∴x2+y2+x2+2xy+y2=1，∴2y2+2xy+（2x2﹣1）=0，∴△=4x2﹣16x2+8≥0，解得﹣，∴x的最大值为．故答案为：．15．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的底是边长为1的正三角形，高AA1=1，在AB 上取一点P，设△PA1C1与面A1B1C1所成的二面角为α，△PB1C1与面A1B1C1所成的二面角为β，则tan（α+β）的最小值是﹣．【解答】解：作PP1⊥A1B1，则PP1是三棱柱的高．过P1作P1H⊥A1C1，连结PH，则∠PHP1=α，设AP=x，BP=1﹣x（0≤x≤1），则，同理，∴（当时取等号），∴tan（α+β）的最小值是﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（15分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若cosBcosC=﹣，且△ABC的面积为2，求a．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A=3cos（B+C）+1得，2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，所以，cosA=或cosA=﹣2（舍去），因为A为三角形内角，所以A=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=﹣cos（B+C）=，则cosBcosC﹣sinBsinC=；由cosBcosC=﹣，得sinBsinC=，由正弦定理，有，即b=，c=，由三角形的面积公式，得S===，即=2，解得a=4．17．（15分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．【解答】（1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面ACD．在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．取CE的中点M，连接BM、FM，由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．所以BM⊥平面CDE．又BM⊂平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（7分）（2）解：过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，则∠NHF就是二面角C﹣BE﹣F的平面角．在Rt△FNH中，NH=，FH=，所以cos∠NHF==故二面角C﹣BE﹣F的余弦值为…（15分）18．（15分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，，相减得，∴，∴，又=，∴，即a2=2b2．联立得，解得，∴M的方程为．（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|CD|===．联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，∴交点为A（0，），B，∴|AB|==．===，∴S四边形ACBD∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．∴四边形ACBD面积的最大值为．19．（15分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（Ⅰ）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为，令因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．（Ⅱ）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2﹣1|+a|x﹣1|=…（10分）①当时，可知h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3．②当时，h（x）在[﹣2，﹣1]，上递减，在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3．③当时，h（x）在[﹣2，﹣1]，上递减，在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3．④当时，h（x）在，上递减，在，上递增，且h（﹣2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3．当时，h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为h（1）=0．⑤当时，h（x）在[﹣2，]，[1，]上递减，在[，1]，[，2]上递增，此时h （x）在[﹣2，2]上最大值为h（1）=0；⑥当，即a≤﹣4时，h（x）在[﹣2，1]上递增，在[1，2]上递减，故此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为h（1）=0．综上所述，当a≥0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3；当﹣3≤a＜0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3；当a＜﹣3时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为0．20．（14分）已知数列{a n}满足：a1=0，，n=2，3，4，…．（Ⅰ）求a5，a6，a7的值；（Ⅱ）设，试求数列{b n}的通项公式；的大小关系．（Ⅲ）对于任意的正整数n，试讨论a n与a n+1【解答】解：（Ⅰ）∵a1=0，a2=1+2a1=1，a3=2+2a1=2，a4=1+2a2=3，∴a5=3+2a2=5；a6=1+2a3=5；a7=4+2a3=8．（3分）（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n，都有：，∴．∴数列{b n}是以为首项，为公差的等差数列．∴．（7分）（Ⅲ）对于任意的正整数k，；当n=2k或n=1，3时，a n＜a n+1当n=4k+1时，a n=a n+1；当n=4k+3时，a n＞a n．（8分）+1证明如下：首先，由a1=0，a2=1，a3=2，a4=3可知n=1，3时，a n＜a n+1；=a2k﹣a2k+1=（1+2a k）﹣（k+1+2a k）其次，对于任意的正整数k，n=2k时，a n﹣a n+1=﹣k＜0；（9分）n=4k+1时，a n﹣a n+1=a4k+1﹣a4k+2=（2k+1+2a2k）﹣（1+2a2k+1）=2k+2a2k﹣2a2k+1=2k+2（1+2a k）﹣2（k+1+2a k）=0所以，a n=a n+1．（10分）n=4k+3时，a n﹣a n+1=a4k+3﹣a4k+4=（2k+2+2a2k+1）﹣（1+2a2k+2）=2k+1+2a2k+1﹣2a2k+2=2k+1+2（k+1+2a k）﹣2（1+2a k+1）=4（k+a k﹣a k+1）+1（*）（证明见后），所以，事实上，我们可以证明：对于任意正整数k，k+a k≥a k+1此时，a n＞a n．+1综上可知：结论得证．（12分）（*）的证明如下：对于任意正整数k，k+a k≥a k+11）当k=2m（m∈N*）时，k+a k﹣a k+1=2m+a2m﹣a2m+1=2m+（1+2a m）﹣（m+1+2a m）=m＞0，满足（*）式．2）当k=1时，1+a1=1=a2，满足（*）式．3）当k=2m+1（m∈N*）时，k+a k﹣a k+1=2m+1+a2m+1﹣a2m+2=2m+1+（m+1+2a m）﹣（1+2a m+1）=3m+1+2a m﹣2a m+1=2（m+a m﹣a m+1）+（m+1）于是，只须证明m+a m﹣a m≥0，如此递推，可归结为1）或2）的情形，于是+1（*）得证．（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页（共21页）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =． ③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。