2016-2017学年北京海淀区清华大学附属中学10月高一上学期月考数学试卷

2016~2017学年10月北京海淀区清华大学附属中学高一上学期月考数学试卷
选择
1. 已知集合A = {1, 2, 3} ，B = {2, 3, 4 }，则集合A ∪ B=（ ）．
A. ∅
B. {1, 4}
C. {2, 3}
D. {1, 2, 3, 4}
2. 函数f (x) = x 2 − 2x ，x ∈ [−1, 2]的值域为（ ）．
A. [−1, 3]
B. [−1, 0]
C. [0, 3]
D. [−1, 2]
3. 已知集合A= {x |3x + a > 0 }，集合B= {1}，且A ⊆ ∁R B ，则实数a 的取值范围是（ ）．
A. a ⩾ −3
B. a ⩽ −3
C. a ⩾ 3
D. a ⩽ 3
4. 下列函数为奇函数，且在(0, +∞)内单调递减的是（ ）． A. y = x 1-
B. y = −x 2
C. y = −x |x|
D. y = x
5. 函数f (x) = ax 3 + bx + 3，且f (−2) = 1，f (2) =（ ）．
A. −1
B. 1
C. 2
D. 5
6. 若函数f (x) = x 2+ ax + 1在(−1, +∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）．
A. a ⩾ −2
B. a ⩽ −2
C. a ⩾ 2
D. a ⩽ 2
7. 已知函数f (x) = x 2 + |x| +1，下列说法错误的是（ ）．
A. 函数f (x)为偶函数
B. 函数f (x)的最小值为 43
C. 函数f (x)的图像关于y 轴对称
D. 函数f (x)在(1, +∞)上单调递增
8. 已知函数y= f (x)的定义域为D ，存在正数M ，对于任意的x ∈ D ，均有|f (x)| ⩽ M |x|则称函数y= f (x)为“Ω函数”，下列函数为“Ω函数”的是（ ）． A. f (x) =
x
1 B. f (x) = x
2 C. f (x) = x (x ⩾ 1) D. f (x) = x + 1
填空
9. 若函数f (x + 1) = x + 1，则f (2) = ．
10. 若函数y= f (x)表示如下：
则f [f (x)] − x =0的所有解构成的集合为 ．
11. 函数y= f (x)是定义在 R 上的奇函数，且当x > 0时，f (x) = x − 1，则不等式f (x) ⩾ 0的解集为 ．
12. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+≤+=01
101)( x x x x x f ，若函数y= f (x) − k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围为 ．
13. 某市出租汽车收费标准如下：① 3 公里以内收费12元；②超过3公里但不超过15公里，超过的部分每公里收费2.4元；③超过15 公里，超过的部分每公里收3.6元．张先生某次乘坐出租车结算时，发现出租车费恰好平均每公里3元，则张先生乘坐出租车行驶的里程为
公里．
14. 已知 为实数，函数 ⎩⎨⎧=a
x x a x x x f 2
)( ，若存在实数k ，使得函数 y = f (x) − k 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．
解答
15. 已知函数f (x) =x
-21定义域为A ．
（1）求集合A∩ N ．
（2）集合B= {y∣y = x2 + a, x ∈ A}，若集合A∩B中恰好只有一个元素为自然数，求实数a的取值范围．
16. 已知集合A = {3, a, a2− 2}，其中a为实数．
（1）若−1∈A，求a的值．
（2）已知集合B = {x∣x2 + 5x + 6 < 0}，且A∩ B =∅，求a的取值范围．
17. 已知函数f (x) = x2 + ax + b为偶函数，且有一个零点为2．
（1）求实数a ， b 的值．
（2）若g(x) = f (x) − k x 在[0, 3]上的最小值为−5，求实数 k 的值．
18. 已知二次函数y = f (x)满足条件：f (0) = −3，f (3) = 0，且对于任意的x∈R，恒有
f (1 + x) = f (1 − x) ．
（1）求函数y = f (x)的解析式．
（2）若直线y = kx + 1与y = f (x)的图像交于A ，B两点，点A ，B在 x 轴上的正投影分别为A0，B0，求线段A0B 0的长度的最小值．
19. 已知函数f (x)满足：
①f (1) = 1；
②对于任意的 x，y∈R，恒有f (x + y) = f (x) + f (y)；
③若x ≠ y ，则(x − y)[f (x) − f (y)] > 0．
（1） f (0)及f (2
1)的值． （2） 求证：y = f (x)是奇函数． （3） 解关于 x 的不等式f (x 2) − 2f (x) > 3 ．
20. 已知函数y = f (x)的定义域为D ，若存在区间[a, b] ⊆ D ，使得{y |y = f (x), x ∈
[a, b]} = [a, b]，称区间[a, b]为函数y = f (x) 的“和谐区间”．
（1） 请直接写出函数f (x) = x 3的所有“和谐区间”．
（2） 若[0, m](m > 0) 为函数f (x) = ∣
23x − 1∣的一个“和谐区间”，求m 的值． （3） 求函数f (x) = x 2 − 2x 的所有“和谐区间”．。