北京市清华附中2020-2021学年高一新生分班考试数学试题含答案
清华附中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 答案和解析
【解析】
分析：利用余弦定理求解即可
详解：由余弦定理：
，
又∵ ，
∴ ．
故选 ．
点睛：本题考查余弦定理的应用，属基础题.
5．B
【解析】
分析：直接利用基本不等式求解即可.
详解： ，
当且仅当 时等号成立，
∴最小值为 ，
故选 ．
点睛：本题考查基本不等式的应用，属基础题.
6．D
【解析】
分析：考虑特殊值法，进行判断即可.
12．
【解析】
分析：利用一次函数的单调性求解，注意进行分类讨论.
详解： ， ，
时， ，
时， ，
综上： ．
点睛：本题考查利用一次函数的单调性讨论函数的性质，属基础题.
13．
【解析】
分析：直接利用基本不等式求解即可.
详解：
．
当且仅当 时等号成立．
∴最小值为 ．
点睛：本题考查基本不等式的应用，属基础题.
14．
解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，
所以Sn=-11n+
×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，Sn取最小值．
故选A
点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．
10． 或
【解析】
详解： ．
故选 ．
点睛：本题考查等比数列通项公式，属基础题.
2．A
【解析】
分析：考虑特殊值法，进行判断即可.
详解：不枋设 ， ，
对于 选项 ，不大于 ．
故选： ．
点睛：本题考查不等式的性质，属基础题.
2020-2021学年北京一零一中学高一新生入学摸底测试数学试题【含答案】
2020-2021学年北京一零一中学高一新生入学摸底测试数学试题一、单选题1．满足的非负整数对的个数是（ ）2a b a b ++-=(),a b A ．2B ．3C ．4D ．6B【分析】依题意可得，再分种情况讨论，得到所对应的方程组，求出方程组0a b +≥5的解即可判断；【详解】解：因为、是非负整数，所以，又，a b 0a b +≥2a b a b ++-=根据题意可得：，或或或或，02a b a b +=⎧⎨-=⎩02a b a b +=⎧⎨-=-⎩11a b a b +=⎧⎨-=⎩11a b a b +=⎧⎨-=-⎩20a b a b +=⎧⎨-=⎩解方程组得：（舍去）或（舍去）或或或，11a b =⎧⎨=-⎩11a b =-⎧⎨=⎩10a b =⎧⎨=⎩01a b =⎧⎨=⎩11a b =⎧⎨=⎩故符合题意的数对有、、共个；(),a b ()1,0()0,1()1,13故选：B ．2．如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下图由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）A ．B ．C ．D ．B【分析】根据题意和图可知，左边和右边各为一个正方体，当中下面为三个正方体，上面为两个正方体，然后根据题中定义好的表示方法组合在一起即可．【详解】由题意和图可知，左边和右边各为一个正方体，用表示，当中为三个正方体，用表示，上面为两个正方体，用表示，所以答案B 是符合题意的，故选B ．本题考查几何体的正视图的画法，解题关键是注意用什么样的小正方形，代表几个小正方体．3．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费标准按原标准每分钟降低了元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟元，则原收费标准每分钟a b 为（ ）A ．元B ．54b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭54b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．元D ．元34b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭43b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D【分析】设原收费标准每分钟为x 元，则根据题意，以现在的收费标准为等量关系，列出等式，表示出原收费标准即可.【详解】解：设原收费标准为x 元，则第一次降价后的收费标准为元()x a -再次下调了后的收费标准为元，25%()(125%)x a --依题意知现在的收费标准为b 则有，()(125%)x a b --=解得，故原收费标准为元，43b x a =+43bx a =+故选：D.4．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入 (1)2345…输出…1225310417526…那么，当输入数据是时，输出的数据是（ ）A ．B ．C ．n 21nn +21nn -D ．21n n +21nn -C【分析】分析输入、输出的数据之间的关系，从而找到规律．【详解】解：输入，输出；1211211=+输入，输出；2222521=+输入，输出；32331031=+输入，输出；42441741=+由此可得，输入，输出；n 21n n +故选：C5．如图，与是两个全等的等边三角形，且.有下列四个命题；ABP △CDP PA PD ⊥①；②；③直线与垂直；④四边形是轴对称图15PBC ∠=︒AD BC ∥PC AB ABCD 形.其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D【分析】由题意可得为等腰直角三角形，则可得，则已知条APD △45PAD PDA ∠=∠=︒件可得，，然后逐个分析判断即可AB PB AP PC PD CD =====60APB DPC ∠=∠=︒【详解】因为与是两个全等的等边三角形，且，ABP △CDP PA PD ⊥所以，，45PAD PDA ∠=∠=︒AB PB AP PC PD CD =====，60APB DPC BAP ABP PDC PCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒所以，36090120150BPC ∠=︒-︒-︒=︒所以，130152PBC PCB ∠=∠=⨯︒=︒所以，6045105,601575BAD ABC ∠=︒+︒=︒∠=︒+︒=︒所以，10575180BAD ABC ∠+∠=︒+︒=︒所以，AD BC ∥因为，751590ABC PCB ∠+∠=︒+︒=︒所以，AB PC ⊥因为，，，AD BC ∥AB CD =AD BC ≠所以四边形为等腰梯形，ABCD 所以四边形是轴对称图形.ABCD 所以①②③④均正确，故选：D6．在平面直角坐标系中，有两个定点，.在轴上找一点，使得xOy ()3,3A -()5,1B x C 最小，则点的坐标是（ ）||||AC CB +C A ．B ．C ．D ．()3,0()5,0()7,0()9,0A【分析】如图，作点关于轴的对称点，连接交轴点，连接. 求B x (5,1)D -AD x C BC 出直线的解析式即得解.AD 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴点，连接.B x (5,1)D -AD x C BC 则此时最小.||||AC CB +设直线的解析式为，AD y kx b =+由题得3313,,.1522k b k b k b=-+⎧∴=-=⎨-=+⎩所以.1322y x =-+令.0,3,(3,0)y x C =∴=∴故选：A7．等腰三角形内接于一个半径为6的圆.其中ABC O AB AC ==与圆相切，且圆同时也和在底边中点处相切，则圆的半径是E O E ABC BC E （ ）A B ．2C ．D 83C【分析】设的中点为，圆与圆切于点，连接，即可得到是圆的BC F E O D AD AD O 直径，连接，利用勾股定理求出，再由等面积法求出，最后由勾股定理求BD BD BF 出，即可得解.DF 【详解】解：设的中点为，圆与圆切于点，连接，BC F E O D AD因为，，所以过点，AB AC ==AF BC ⊥DF BC ⊥AD F 依题意可得如下图形：所以即为圆的直径，连接，所以，即，AD O BD AB BD ⊥90ABD ∠=︒所以，8BD ===又，即，1122AB BD AD BF ⋅=⋅1181222BF⨯=⨯⋅解得BF =所以，163DF ===所以，即圆的半径为.1823DE DF ==E 83故选：C8．某中学每年都要举行秋季运动会，为了进一步科学地指导学生提高运动成绩，某体育老师在学校的秋季运动会上根据一名同学1500m 跑的测试情况绘成下图，图中是一条折线段，图形反映的是这名同学跑步的时间与距离的关系，由图可知下列说OA 法错误的是（ ）A ．这名同学跑完1500m 用了6分钟，最后一分钟跑了300mB ．这名同学的速度越来越快C ．这名同学第3到第5分钟的速度最慢D ．这名同学第2、第3分钟的速度是一样的B【分析】根据图象判断同学跑步速度变化情况及总路程和时间关系，即可判断各项的正误.【详解】由图知：6分钟跑完1500m 且最后一分钟跑了300m ，A 正确；前5分钟，第0到1分钟斜率最大，第1到3分钟、第3到5分钟斜率依次变小，而从第5到6分钟斜率再次变大，所以B 错误，C 、D 正确.故选：B9．一次数学考试共有8道判断题，每道题4分，满分32分，规定正确的画√，错误的画×.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则的值为（ ）m题号学生12345678得分甲×√×√××√×24乙××√√√××√20丙√×××√√√×20丁×√×√√×√√mA ．16B ．20C ．24D ．28C【分析】根据甲乙的得分情况判断甲乙正确和错误分布，即可判断丙答案正误情况，最终得到8道题的标准答案，进而确定丁的分数.【详解】由表知：2、3、5、7、8中甲正确有3个，乙正确有2个，而1、4、6甲乙的判断都正确；所以丙的1、4、6均错误，故丙所选的2、3、5、7、8都正确，综上，丁的2、8判断错误，1、3、4、5、6、7判断正确，共得24分.故选：C10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班名同学都有选举权和被选举权. k 他们的编号分别为1,2,3,, ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”. 令：k （其中且）则同时同意1,0,ij i j a i j ⎧=⎨⎩第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选1,2,,i k = 1,2,,j k = 第号同学当选的人数为（ ）1,2A ． 11121312122232k k a a a a a a a a +++++++++ B ．11213111222322k k a a a a a a a a +++++++++ C ．11122122313212k k a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅ D ．11211222132312k ka a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅ C【分析】由已知得出同意第1号同学当选依次由决定，同意第1121311,,,,k a a a a ⋯2号同学当选依次由决定，故得结论.1222322,,,,k a a a a ⋯【详解】第1，2，…，k 名学生是否同意第1号同学当选依次由来确定（表示同意，表示不同意或弃权），是否同1121311,,,,k a a a a ⋯11i a =10i a =意第2号同学当选依次由确定，1222322,,,,k a a a a ⋯而是否同时同意1，2号同学当选依次由 确定，11122122313212,,,,k k a a a a a a a a 故同时同意1，2号同学当选的人数为11122122313212k k a a a a a a a a ++++ 故选:C ．本题考查对新定义的理解，关键在于理解定义中所表示符号的含义，属于中档题.二、双空题11．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有白色瓷砖______块，第（）个图形中需要黑色瓷砖______块（用含的代数式n n 表示）.25 31n +【分析】用第（3）个图形中总的瓷砖数减去黑色瓷砖数即可得解；利用图中黑色瓷砖数的增加规律可得第（）个图形中需要的黑色瓷砖数.n 【详解】从图形观察，每增加一个图形，黑色正方形瓷砖就增加3块，第一个图中黑色瓷砖有4块，则第（3）个图形黑色瓷砖有10块，第（3）个图形中共有瓷砖35块，所以白色瓷砖有25块；第n 个图形瓷砖有（块）.43(1)31n n +-=+故25；.31n +三、填空题12．当______.3x <6-=3-【分析】利用二次根式的性质化简，再利用绝对值的代数意义计算即可．【详解】解：，所以，，3x < 30x -<60x -<6-6=-，()()3636363x x x x x x =---=-----=-++-=-⎡⎤⎣⎦故3-13．在平面直角坐标系中，已知点在抛物线xOy ()1,1A --上，则此抛物线的对称轴方程是______.()()221221y k x k x =---+58x =-【分析】将点的坐标代入抛物线方程，解出，需注意二次项系数不为，()1,1A --k 0再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：因为点在抛物线上，()1,1A --()()221221y k x k x =---+所以，解得，()()221221110k k k ⎧-+-+=-⎪⎨-≠⎪⎩3k =-所以抛物线方程为，对称轴为；28101y x x =++105288x =-=-⨯故58x =-14．如果可以分解为两个一次因式之积，那么______.225206x xy ay x y ++-+-=a -14【分析】原多项式可分解为：，然后把225206x xy ay x y ++-+-(2)(3)x my x ny +++-因式展开，解出的值，进而求出a 的值.,m n 【详解】由已知，因为x 系数为，所以原式225206x xy ay x y ++-+-1-可分解两个一次因式为：，(2)(3)x my x ny +++-则，22(2)(3)()(23)6x my x ny x m n xy mny x n m y +++-=+++-+--解得所以52320,m n n m mn a +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，，7,2,m n =⎧⎨=-⎩14a =-故-1415．已知，则分式______.4a bb a +=22223a ab b a ab b -+=++0.215【分析】将目标式分子、分母同时除以ab ，结合已知求值即可.【详解】由，则.4a b b a +=222233151a b a ab b b a a b a ab b b a +--+==++++故1516．如图所示的八个点，，，，，，，处各写一个数，分别是，A B C D E F G H a ，，，，，，，已知每个点处所写的数等于与这个点有线段相连的三个b c d e f g h 点处的数的平均数，则代数式______.()()1213a b c d e f g h a b c d e f g h +++++++=+++-+++340.75【分析】根据题意可得，，，，设3d b e a ++=3a c f b ++=3b d gc ++=3a c h d ++=，，代入可得和的关系，继而可得出答案．a b c d m +++=e f g h n +++=m n 【详解】解：由图形及题意得：，，，，3d b e a ++=3a c f b ++=3b d gc ++=3a c h d ++=，2()()3a b c d e f g h a b c d +++++++∴+++=设，，a b c d m +++=e f g h n +++=，23m na b c d +∴+++=，，23m nm +∴=m n =∴即a b c d e f g h+++=+++．∴11()23233221123234()33a b c d e f g h m nm n m m m n m m a b c d e f g h m n +++-+++---==⨯=⨯=--+++-+++-故．3417．如图所示，正方形的面积是4，点在反比例函数的图像OABC B ()0,0k y k x x =><上，若点是该反比例函数图像上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂R B R x y 线，垂足为，，从矩形的面积中减去其与正方形重合部分的面积，M N OMRN OABC 记剩余部分的面积为.则当（为常数，且）时，点的坐标是S S m =m 04m <<R ______.（用含的代数式表示）m或48,24m m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭84,42m m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭【分析】依题意可得点坐标，从而得到函数的解析式，所以可以设的坐标为，B R 4(,)x x 当在点的左边时，，由此可以求出然后求出；当在点R B 4()(2)S x m x =-⨯--=x y R 右边时，也用同样方法求出，．B x y 【详解】解：正方形的面积是，OABC 4，点坐标为，2AB BC ∴==∴B (2,2)--，，4k ∴=4y x ∴=设的坐标为，R 4,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭当在点的左边，即时，，R B 2x <-4((2)S x m x =-⨯--=解得，，84x m =-42m y -∴=当在点右边，即时，，R B 20x -<<4(2)S x m x =-⨯--=解得，．42m x -=84y m ∴=-故或．48,24m m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭84,42m m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭18．规定：表示不大于的最大整数.表示不小于的最小整数，表示最接近[]x x ()x x [)x 的整数（，为整数），例如：，，，则下列说法x 12x n ≠+n []2.32=()2.33=[)2.32=正确的是______.（写出所有正确说法的序号）①当时，；1.7x =[]()[)6x x x ++=②当时，；2.1x =-[]()[)7x x x ++=-③方程的解为；[]()[)4311x x x ++=1 1.5x <<④当时，函数的图像与正比例函数的图像有两个交点.11x -<<[]()y x x x=++4y x =②③【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而得解．【详解】解：①当时，1.7x =[]()[)x x x ++[1.7](1.7)[1.7)=++122=++，故①错误；5=②当时，2.1x =-[]()[)x x x ++[ 2.1]( 2.1)[ 2.1)=-+-+-，故②正确；(3)(2)(2)7=-+-+-=-③当，1 1.5x <<4[]3()[)x x x ++4321=+⨯+，故③正确；11=④时，11x -<< 当时，，∴10.5x -<<-[]()101y x x x x x =++=-++=-当时，，0.50x -<<[]()101y x x x x x =++=-++=-当时，，0x =[]()0000y x x x =++=++=当时，，00.5x <<[]()011y x x x x x =++=++=+当时，，0.51x <<[]()011y x x x x x =++=++=+，则时，得；时，得；当时，，4y x = 14x x -=13x =-14x x +=13x =0x =40y x ==当且时，函数的图象与正比例函数的图象有三个∴11x -<<0.5x ≠-[]()y x x x =++4y x =交点，故④错误，故②③．四、解答题19．解方程：()()()()111111223x x x x x ++=-----4x =【分析】首先将方程变形，再解分式方程即可，最后需检验；【详解】解：()()()()111111223x x x x x ++=-----即11111112132x x x x x +-+-=-----即113x =-所以，解得，31x -=4x =检验：把代入得，4x =()()()1230x x x ---≠所以方程的解为.4x =20．如图.在梯形中，，，，，，在线ABCD AD BC ∥90A ∠=︒6AB =2AD =3BC =段上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三AB P P A D P B C 角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点有几个？并计算出的长.P PA存在3个点P ，或.125PA =33【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A,P,D 分别与点B,C,P 对应；若点A,P,D 分别与点B,P,C 对应，分别分析得出AP 的长度即可.【详解】设，则，AP x =6BP x =-若 ,则,PAC PBC PA AD PB BC =即 ，解得；263x x =-125x =若,则 ,PAD CBP PA AD CB BP =即 ，解得；236x x =-123,3x x ==综上所述，这样的点P 有3个，或.125AP=3321．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋Q ＝a ＋120．设甲大棚的投入为x (单位：14万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．（1）求f (50)的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．【分析】（1）由计算可得；(50)(50)(150)f P Q =+（2）由已知列出函数式，注意定义域，然后换元，化()()(200)f x P x Q x =+-t =为二次函数，由二次函数知识得最大值．【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f (50)＝80＋×150＋120＝277.5．14（2）由题知，f (x)＝80＋ (200－x )＋12014＝－x ＋250，14依题意得20,20020,x x ≥⎧⎨->⎩解得20≤x ≤180，故f (x )＝－x ＋250(20≤x ≤180)．14令tt 2＝x，t ∈，y ＝－t 2＋t ＋250＝－ (t －2＋282，1414当t ＝，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．22．某班有学生50人，老师为了解学生课外阅读时间，收集了他们2019年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：，1012x ≤<，，，，得到如图所示的频率分布直方图.1214x ≤<1416x ≤<1618x ≤<1820x ≤<(1)试计算该班学生中，2019年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；(2)已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在，求从课外阅读时间1820x ≤<在中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率是多少？1820x ≤<(3)假设同组中的每个数据用该组的两个端点的数的平均数代替，试估计该班学生2019年10月课外阅读时间的平均数.(1)15(2)710(3)小时14.68【分析】（1）根据频率分布直方图求出频率，即可计算出人数；（2）首先求出课外阅读时间在中的学生人数，设女生为，，男生为，1820x ≤<A B C ，，利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；D E （3）根据平均数公式计算可得；【详解】(1)解：由频率分布直方图可知外阅读时间不小于小时的频率为16，0.1020.0520.30⨯+⨯=因为，500.3015⨯=所以该班学生中，2019年10月课外阅读时间不小于小时的学生人数为人．1615(2)解：依题意可知课外阅读时间在中的学生人数为人，1820x ≤<0.052505⨯⨯=这名学生中有名女生，名男生，设女生为，，男生为，，，523A B C D E 从中抽取人的所有可能情况有：，，，，，，2(,)A B (A,C)(,)A D (,)A E (,)B C (,)B D ，，，，共种．(,)B E (,)C D (,)C E (,)D E 10其中至少抽到1名女生的情况有，，，，，，(,)A B (A,C)(,)A D (,)A E (,)B C (,)B D ，共种，(,)B E 7所以从课外阅读时间在的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率1820x ≤<.710P =(3)解：根据题意，该班学生2019年10月课外阅读时间的平均数为：（小时）．0.082110.122130.152150.102170.0521914.68⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=由此估计该班学生2019年10月课外阅读时间的平均数为小时．14.6823．如图，过的直角顶点作圆，圆与的两边，分别相切Rt ACB △C O O ACB △AB BC 于，，并交边于点.在优弧上任取一点，连结，.若，D C AC E DE F FE FD BC a =cos ACEFD AB∠=(1)求证：；AD BD =(2)试求的大小；EDA ∠(3)计算圆的面积.O (1)见解析(2)30°(3)213a π【分析】（1）由题意可知点在，连接，则，再由O AC ,OD CD EFD ACD ∠=∠，从而可得,再利用互余关系可得，cos cos AC EFD A AB ∠==∠A ACD ∠=∠B DCB ∠=∠然后由等角对等边可得结论，（2）连接，则，再由等腰三角形的性质可得OB 12ABO CBO ABC ∠=∠=∠，而，从而可得，再由弦切角定理可求得结果，A ABO ∠=∠90A ABC ∠+∠=︒30A ∠=︒（3）由（1）（2）可得，，然后求出，从而12BC AB a AD BD ====30ABO ∠=︒OD 可求出三角形的面积【详解】(1)证明：圆与的边相切于，，O ACB △BC C 90ACB ∠=︒所以点在上，O AC 连接，,OD CD 因为，和均为锐角，cos cos AC EFD A AB ∠==∠A ∠EFD ∠所以，A EFD ∠=∠因为，所以，EFD ACD ∠=∠A ACD ∠=∠所以，AD CD =因为，90,90A B ACD DCB ∠+∠=︒∠+∠=︒所以，B DCB ∠=∠所以，CD BD =所以AD BD =(2)连接，OB 因为圆与的两边，分别相切于，，O ACB △AB BC D C 所以平分，，OB ABC ∠⊥OD AB 所以，12ABO CBO ABC ∠=∠=∠因为，，AD BD =⊥OD AB 所以为等腰三角形，AOB 所以，OA OB =所以，A ABO ∠=∠因为，90A ABC ∠+∠=︒所以，390A =︒∠所以，30A ∠=︒因为切圆于，AB O D 所以，∠=∠EDA ACD 因为，A ACD ∠=∠所以30EDA A ∠=∠=︒(3)因为，，30A ∠=︒90ACB ∠=︒AD BD=所以，12BC AB a AD BD ====因为，,30A ABO ∠=∠=︒⊥OD AB 所以，tan OD OBD BD ∠=所以，tan OD BD OBD =∠=所以圆的面积为O 22213OD aπππ⎫==⎪⎪⎭24．有一张矩形纸片，按下面步骤进行折叠：ABCD 第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使点，重合，点落在点处，得折ABCD B D C C '痕；EF 第二步：如图②，将五边形折叠，使，重合，得折痕.再打开；AEFC D 'AE C F 'DG 第三步：如图③，进一步折叠，使，均落在上，点，落在点处，AE C F 'DG A C 'A '点，落在点处，得折痕，.E F E 'MN QP 这样，就可以折出一个五边形.DMNPQ (1)适当添加辅助线，请写出图①中三组全等三角形______，______，______；（写出不同的三组即可）(2)若这样折出的五边形（如图③）恰好是一个正五边形，当，DMNPQ AB a =，AD b =①请写出一个与的关系式，并加以证明；a b ②设正五边形的边长，请求出边长（用或表示）.=DM m m a b m (1)答案见解析(2)①，证明见解析；②；222tan18a b ab -=︒tan18m =︒【分析】（1）连接，根据翻折的性质判断即可；BF （2）根据正五边形的性质求出角的度数，再找出图形中的线段关系，最后利用锐角三角函数计算可得；【详解】(1)解：如图连接，可得、、BF BCF DC F '≅ BEF DEF ≅△△，DAE DC F '≅ 根据翻折的性质，翻折前后的图形全等，对应边相等，对应角相等，可得、、、，CF C F '=BC DC '=BE ED =EF EF =C C '∠=∠由、、，所以；CF C F '=C C '∠=∠BC DC '=BCF DC F '≅ 由，所以，BCF DC F '≅ BF DF =所以由、、可得，BF DF =EF EF =BE ED =BEF DEF ≅△△又，所以，90EDA EDF EDF C DF '∠+∠=∠+∠=︒EDA C DF '∠=∠又，，所以；90A C '∠=∠=︒AD DC '=DAE DC F '≅(2)解：①，222tan18a b ab -=︒证明：由题意知点是矩形的中心，即延长过点，延长也过点，G DG B MN B 由于五边形，恰好是一个正五边形，且由折叠的过程知：，DMNPQ 54MDB ∠=︒，108DMB ∠=︒，18DBM ABM ∴∠=∠=︒．36DBA ∴∠=︒，，DE BE = 36EDB DBA ∠=∠=︒．543618ADE MDB EDB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒在中，由勾股定理知，，即，Rt ADE △2222AD AE DE BE +==222()b AE a AE +=-解得．222a b AE a -=，22tan tan182AE AE a b ADE AD b ab -∠=︒=== ；222tan18a b ab ∴-=︒②，tan18m =︒证明：，PN DM = ，111222PG NG PN DM m ∴====，，，12BG DB = 1122NG DM m ==NG BD ⊥tan tan18NG GBN BG ∴∠=︒==．∴tan18m =︒25．已知点，，…，，…（为正整数）顺次为一条直线()111,B y ()222,B y (),n n B n y n 上的点，点，，…，，…（为正整数）顺次为1412x y =+()11,0A x ()22,0A x (),0n n A x n 轴上的点，其中，对任意正整数，点，，构成以为顶x ()101x a a =<<n n A n B 1n A +n B 点的等腰三角形.(1)求点的坐标；n B (2)求点的横坐标；n A n x (3)上述等腰三角形中，是否可能存在直角三角形？若可能，求此时的值；1n n n A B A +a 若不可能，请说明理由.(1)；1412,n n n B ⎛+⎫ ⎪⎝⎭(2)答案见解析；(3)存在，、、时等腰三角形为直角三角形.23a =16a =712a =1n n n A B A +【分析】（1）根据题设函数式写出的坐标；n B （2）由题设可得，讨论的奇偶性分别求出对应通项公式；22n n x x --=*(N ,2)n n ∈>n （3）讨论的奇偶性，结合求对应a 值，注意a 的范围.n 1||2||n n n A A y +=【详解】(1)由题设，，故.1412n n y =+1412,n n n B ⎛+⎫ ⎪⎝⎭(2)由题设，，，…，，1212x x +=2322x x +=112n n x x n -+=-*(N ,1)n n ∈>所以，，，…，，212x x +=324x x +=436x x +=12(1)n n x x n -+=-*(N ,1)n n ∈>则，，，，…，，312x x -=422x x -=532x x -=642x x -=22n n x x --=*(N ,2)n n ∈>当，，则，21n k =-*(N )k ∈()101x a a =<<212(1)22k x a k k a -=+-=+-当，，则，2n k =*(N )k ∈22x a =-222(1)2k x a k k a =-+-=-当为奇数时，当为偶数时.n 1n x n a =+-n n x n a =-(3)若△为等腰直角三角形，则，1n n n A B A +1||2||n n n x x y +-=若为奇数时，，即，n 12(1)26n a -=+12113a n =-当时；当时；当不满足；1n =23a =3n =16a =5n ≥若为偶数时，，即，n 1226n a =+1231a n =+当时；当不满足；2n =712a =4n ≥综上，、、时等腰三角形为直角三角形.23a =16a =712a =1n n n A B A +。
北京市清华大学附属中学2020_2021学年高一数学下学期期中试题含解析
市清华大学附属中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题〔含解析〕一、选择题〔共10小题，每一小题4分，共40分〕1．i是虚数单位，＝〔〕A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1+i D．﹣1﹣i2．在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，如此△ABC的面积为〔〕A．B．C．D．33．如下列图，在△ABC中，D为AB的中点，如此＝〔〕A．﹣B．﹣+C．﹣﹣D．+4．函数，如此〔〕A．y'＝e x B．C．D．5．，是平面向量，“是“〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．函数y＝f〔x〕的图象如下列图，f'〔x〕是函数f〔x〕的导函数，记a＝2f'〔2〕，b＝2f'〔4〕，c＝f〔4〕﹣f〔2〕，如此a，b，c数值排序正确的答案是〔〕A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b7．平面向量，满足，，＜，＞＝120°，如此＝〔〕A．2B．C．4D．128．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，∠C＝90°．假如某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝30°，坝底至塔顶距离AB＝30米，如此大坝的坡角〔∠DAC〕的余弦值为〔〕A．B．C．D．9．在R上可导的函数f〔x〕的图形如下列图，如此关于x的不等式x•f′〔x〕＜0的解集为〔〕A．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕B．〔﹣1，0〕∪〔1，+∞〕C．〔﹣2，﹣1〕∪〔1，2〕D．〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕10．O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且，如此的最大值为〔〕A．B．C．D．4二、填空题：〔共5小题，每一小题5分，共25分〕11．假如复数〔a2﹣3a+2〕+〔a﹣1〕i是纯虚数，如此实数a＝．12．，，．假如，如此实数λ的值为．13．小明用A＝〔a1，a2，⋯，a30〕记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当第k天半小时内到家时，记a k＝1，当第k天不能半小时内到家时，记a k＝﹣1〔1≤k≤30〕；用B＝〔b1，b2，⋯，b30〕记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第k天半小时内到家时，记b k＝1，当预测第k天不能半小时内到家时，记b k＝﹣1〔1≤k≤30〕；记录完毕后，小明计算出A⋅B＝22，其中A⋅B＝a1b1+a2b2+⋯+a30b30，那么该交通软件预测准确的总天数是．14．假如函数在[1，2]上单调递增，如此实数a的取值X围是．15．定义域为R的函数y＝f〔x〕，如果存在x0∈R，使得f〔x〕在〔﹣∞，x0]上单调递增，在[x0，+∞〕上单调递减，如此称f〔x〕为单峰函数．那么如下函数是单峰函数的有．①y＝2x﹣e x；②；③；④y＝x3〔1﹣3x+3x2﹣x3〕．三、解答题：〔共6小题，共85分〕16．，，是同一平面内的三个向量，，．〔Ⅰ〕假如与的方向相反，求的坐标；〔Ⅱ〕假如，求与的夹角θ．17．函数．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的x的值．18．函数f〔x〕＝x3+x2﹣x+1．〔Ⅰ〕求曲线y＝f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕求函数f〔x〕的单调区间和极值；〔Ⅲ〕假如函数y＝f〔x〕的图象与直线y＝a仅有一个公共点，直接写出实数a的取值X围．19．如图，在四边形ABCD中，CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，．〔Ⅰ〕求sin∠DBC；〔Ⅱ〕求AD．20．函数f〔x〕＝x+b﹣alnx在x＝1处的极值为2，其中a＞0．〔Ⅰ〕求a，b的值；〔Ⅱ〕对任意的x∈[1，+∞〕，证明恒有x[2﹣f〔x〕]≤x2﹣2x+1．21．对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合A＝{a1，a2，⋯，a n}，B＝{b1，b2，⋯，b n}均为正整数集的子集，假如满足：①a1+a2+⋯+a n＝b1+b2+⋯+b n，②a12+a22+⋯+a n2＝b12+b22+⋯+b n2，③A∩B＝∅，如此称A，B互为等矩集．〔Ⅰ〕假如集合A＝{1，5，6}与B＝{2，x，y}互为等矩集，求x，y的值；〔Ⅱ〕证明：如果集合A＝{a1，a2，⋯，a n}，B＝{b1，b2，⋯，b n}互为等矩集，那么对于任意的k∈N*，集合A'＝{a1+k，a2+k，⋯，a n+k}，B'＝{b1+k，b2+k，⋯，b n+k}也互为等矩集；〔Ⅲ〕对于任意给定的正整数n≥4，是否存在两个n元正整数集A，B互为等矩集？请说明理由．参考答案一、选择题：〔共10小题，每一小题4分，共40分〕1．i是虚数单位，＝〔〕A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1+i D．﹣1﹣i解：＝，应当选：C．2．在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，如此△ABC的面积为〔〕A．B．C．D．3解：因为AC＝2，BC＝3，C＝60°，所以△ABC的面积S＝CB•CA•sin C＝3×2×＝．应当选：A．3．如下列图，在△ABC中，D为AB的中点，如此＝〔〕A．﹣B．﹣+C．﹣﹣D．+解：∵在△ABC中，D为AB的中点，∴＝＝﹣＝﹣＝﹣，应当选：B．4．函数，如此〔〕A．y'＝e x B．C．D．解：，如此＝．应当选：C．5．，是平面向量，“是“〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：假如||＝|+|，如此＝+2•+，∴2||•||•cos＜，＞+＝0，∴2||•cos＜，＞+||＝0或||＝0，∴||＝|+|是||＝0的必要不充分条件，应当选：B．6．函数y＝f〔x〕的图象如下列图，f'〔x〕是函数f〔x〕的导函数，记a＝2f'〔2〕，b＝2f'〔4〕，c＝f〔4〕﹣f〔2〕，如此a，b，c数值排序正确的答案是〔〕A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b解：结合图像：f′〔2〕＜＜f′〔4〕，故2f′〔2〕＜f〔4〕﹣f〔2〕＜2f′〔4〕，即a＜c＜b，应当选：D．7．平面向量，满足，，＜，＞＝120°，如此＝〔〕A．2B．C．4D．12解：平面向量，满足，，＜，＞＝120°，如此＝＝＝2．应当选：A．8．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，∠C＝90°．假如某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝30°，坝底至塔顶距离AB＝30米，如此大坝的坡角〔∠DAC〕的余弦值为〔〕A．B．C．D．解：因为∠BAD＝30°，AB＝30，BD＝20，在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝；由∠ADB＝∠C+∠DAC＝90°+∠DAC，所以sin∠ADB＝sin〔90°+∠DAC〕＝cos∠DAC＝，所以大坝的坡角〔∠DAC〕的余弦值为．应当选：D．9．在R上可导的函数f〔x〕的图形如下列图，如此关于x的不等式x•f′〔x〕＜0的解集为〔〕A．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕B．〔﹣1，0〕∪〔1，+∞〕C．〔﹣2，﹣1〕∪〔1，2〕D．〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕解：假如x＝0时，不等式x•f′〔x〕＜0不成立．假如x＞0，如此不等式x•f′〔x〕＜0等价为f′〔x〕＜0，此时函数单调递减，由图象可知，此时0＜x＜1．假如x＜0，如此不等式x•f′〔x〕＜0等价为f′〔x〕＞0，此时函数单调递增，由图象可知，此时x＜﹣1．，故不等式x•f′〔x〕＜0的解集为〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕．应当选：A．10．O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且，如此的最大值为〔〕A．B．C．D．4解：∵，∴⊥，又∵|OA|＝|OB|＝1，∴|+|＝．|+|＝|﹣+﹣|＝|+﹣〔+〕|，当、与+反向时，|+|取得最大值2+，应当选：B．二、填空题：〔共5小题，每一小题5分，共25分〕11．假如复数〔a2﹣3a+2〕+〔a﹣1〕i是纯虚数，如此实数a＝ 2 ．解：∵复数〔a2﹣3a+2〕+〔a﹣1〕i是纯虚数，所以即得a＝2故答案为：212．，，．假如，如此实数λ的值为﹣1 ．解：∵，，且，∴2〔λ+3〕﹣〔3﹣λ〕＝0，解得λ＝﹣1．故答案为：﹣1．13．小明用A＝〔a1，a2，⋯，a30〕记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当第k天半小时内到家时，记a k＝1，当第k天不能半小时内到家时，记a k＝﹣1〔1≤k≤30〕；用B＝〔b1，b2，⋯，b30〕记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第k天半小时内到家时，记b k＝1，当预测第k天不能半小时内到家时，记b k＝﹣1〔1≤k≤30〕；记录完毕后，小明计算出A⋅B＝22，其中A⋅B＝a1b1+a2b2+⋯+a30b30，那么该交通软件预测准确的总天数是26 ．解：依题意，假如a k b k＝1〔1≤k≤30〕，如此表示第k天预报正确，假如a k b k＝﹣1〔1≤k≤30〕，如此表示第k天预报不正确，由A⋅B＝a1b1+a2b2+⋯+a30b30＝22，假设其中有x天预报正确，如此等式左边有x个1，30﹣x个〔﹣1〕，如此x+〔30﹣x〕×〔﹣1〕＝22，解得x＝26．∴该交通软件预测准确的总天数是26．故答案为：26．14．假如函数在[1，2]上单调递增，如此实数a的取值X围是〔﹣∞，e] ．解：∵，x∈[1，2]，∴f′〔x〕＝e x﹣，∵f〔x〕在[1，2]单调递增，∴f′〔x〕≥0在x∈[1，2]恒成立，即e x﹣≥0恒成立，即a≤x2e x，令g〔x〕＝x2e x，x∈[1，2]，如此g′〔x〕＝〔x2+2x〕e x＞0在[1，2]上恒成立，∴g〔x〕在[1，2]上单调递增，∴g〔x〕min＝g〔1〕＝e，故a≤e，故答案为：〔﹣∞，e]．15．定义域为R的函数y＝f〔x〕，如果存在x0∈R，使得f〔x〕在〔﹣∞，x0]上单调递增，在[x0，+∞〕上单调递减，如此称f〔x〕为单峰函数．那么如下函数是单峰函数的有①④．①y＝2x﹣e x；②；③；④y＝x3〔1﹣3x+3x2﹣x3〕．解：根据题意，单峰函数的概念可知，假如f〔x〕为单峰函数，如此它只有一个极值点，且是极大值点，对于①y＝2x﹣e x，其导数为y′＝2﹣e x，在区间〔﹣∞，ln2〕，y′＞0，函数为增函数，在区间〔ln2，+∞〕上，y′＜0，函数为减函数，如此f〔x〕为单峰函数；②，其导数为y′＝sin x﹣，令g〔x〕＝sin x﹣，如此g〔〕＝1﹣＞0，g〔2〕＝sin2﹣1＜0，∴∃x0∈〔，2〕，使得g〔x0〕＝sin x0﹣0＝0，又g〔﹣x〕＝﹣g〔x〕，∴g〔x〕为R上的奇函数，又g〔0〕＝0，∴的极值点有3个，故f〔x〕不是单峰函数；③，其导数为y′＝＝，令y′＝0，可得x＝±，故f〔x〕不是单峰函数；④y＝x3〔1﹣3x+3x2﹣x3〕，其导数为y′＝3x2﹣12x3+15x4﹣6x5＝﹣3x2〔x﹣1〕2〔2x ﹣1〕，当x≤时，y′≥0，当x＞时，y′≤0，∴f〔x〕在〔﹣∞，]上单调递增，在[，+∞〕上单调递减，故f〔x〕为单峰函数；故答案为：①④．三、解答题：〔共6小题，共85分〕16．，，是同一平面内的三个向量，，．〔Ⅰ〕假如与的方向相反，求的坐标；〔Ⅱ〕假如，求与的夹角θ．解：〔Ⅰ〕根据题意，，假如与的方向相反如此＝t，t＜0，即＝〔2t，4t〕，又||＝，如此4t2+16t2＝5，解可得t＝﹣，如此＝〔﹣1，﹣2〕．〔Ⅱ〕由，可得||＝＝2，假如，如此•〔﹣4〕＝2﹣4•＝20﹣4×2××cosθ＝0，解得cosθ＝，又由0≤θ≤π，如此θ＝．17．函数．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的x的值．解：〔Ⅰ〕函数＝＝．故函数的最小正周期为．〔Ⅱ〕由于，所以，故．故即当x＝时，函数的最小值为，当x＝时，函数的最大值为2．18．函数f〔x〕＝x3+x2﹣x+1．〔Ⅰ〕求曲线y＝f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕求函数f〔x〕的单调区间和极值；〔Ⅲ〕假如函数y＝f〔x〕的图象与直线y＝a仅有一个公共点，直接写出实数a的取值X围．解：〔I〕f′〔x〕＝3x2+2x﹣1，所以f′〔1〕＝4，f〔1〕＝2，故曲线y＝f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程y﹣2＝4〔x﹣1〕，即y＝4x﹣2；〔II〕f′〔x〕＝3x2+2x﹣1＝〔3x﹣1〕〔x+1〕，易得当x或x＜﹣1时，f′〔x〕＞0，函数单调递增，当﹣1＜x＜时，f′〔x〕＜0，函数单调递减，故函数的单调递增区间〔﹣∞，﹣1〕，〔，+∞〕，单调递减区间〔﹣1，〕，当x＝﹣1时函数取得极大值f〔﹣1〕＝2，当x＝时，函数取得极小值；〔III〕由〔II〕知，a＞2或a＜时，y＝a与y＝f〔x〕只有一个交点．故a的X围{a|a＞2或a＜}．19．如图，在四边形ABCD中，CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，．〔Ⅰ〕求sin∠DBC；〔Ⅱ〕求AD．解：〔I〕CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，，由正弦定理得，即，所以sin∠DBC＝；〔II〕由题意得∠DBC为锐角，结合〔I〕得cos∠DBC＝，因为，所以sin∠ABC＝，cos∠ABD＝cos〔∠ABC﹣∠DBC〕＝﹣＝，由余弦定理得，cos∠BDC＝＝＝，解得BD＝3，由余弦定理得cos∠ABD＝＝＝，所以AD＝．20．函数f〔x〕＝x+b﹣alnx在x＝1处的极值为2，其中a＞0．〔Ⅰ〕求a，b的值；〔Ⅱ〕对任意的x∈[1，+∞〕，证明恒有x[2﹣f〔x〕]≤x2﹣2x+1．解：〔I〕，由题意得，，解得a＝1，b＝1；证明：〔II〕x[2﹣f〔x〕]﹣x2+2x﹣1＝﹣2x2+3x+xlnx﹣1，令g〔x〕＝﹣2x2+3x+xlnx﹣1，x≥1，如此g′〔x〕＝﹣4x+lnx+4，＜0恒成立，所以g′〔x〕在[1，+∞〕上单调递减且g′〔1〕＝0，所以x≥1时，g〔x〕≤g〔1〕＝0，所以x[2﹣f〔x〕]≤x2﹣2x+1．21．对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合A＝{a1，a2，⋯，a n}，B＝{b1，b2，⋯，b n}均为正整数集的子集，假如满足：①a1+a2+⋯+a n＝b1+b2+⋯+b n，②a12+a22+⋯+a n2＝b12+b22+⋯+b n2，③A∩B＝∅，如此称A，B互为等矩集．〔Ⅰ〕假如集合A＝{1，5，6}与B＝{2，x，y}互为等矩集，求x，y的值；〔Ⅱ〕证明：如果集合A＝{a1，a2，⋯，a n}，B＝{b1，b2，⋯，b n}互为等矩集，那么对于任意的k∈N*，集合A'＝{a1+k，a2+k，⋯，a n+k}，B'＝{b1+k，b2+k，⋯，b n+k}也互为等矩集；〔Ⅲ〕对于任意给定的正整数n≥4，是否存在两个n元正整数集A，B互为等矩集？请说明理由．【解答】〔Ⅰ〕解：由等矩集定义，如此，①2﹣②2，可得xy＝21③，由①③可知，x，y为方程t2﹣10t+21＝0的两个根，解得或；〔Ⅱ〕证明：只需证明A'和B'满足等矩集的三条定义即可，〔a1+k〕+〔a2+k〕+⋯+〔a n+k〕＝a1+a2+•••+a n+nk＝b1+b2+•••+b n+nk＝〔a b+k〕+〔b2+k〕+⋯+〔b n+k〕，故满足定义①；〔a1+k〕2+〔a2+k〕2+⋯+〔a n+k〕2＝〔a12+a22+•••+a n2〕+2k〔a1+a2+•••+a n〕+nk2＝〔b12+b22+•••+b n2〕+2k〔b1+b2+•••+b n〕+nk2＝〔b1+k〕2+〔b2+k〕2+⋯+〔b n+k〕2，故满足定义②；假设A'∩B'≠∅，如此存在p，q∈N*，a1+k＝bq+k，可得ap＝bq，与A∩B＝∅矛盾，所以A'∩B'＝∅，故满足定义③．综上所述，A'和B'也互为等矩集；〔Ⅲ〕解：①对于m元等矩集组A m和B m和n元等矩集组A n和B n，可以发现只需要A m，B m，A n，B n两两交集为空集，如此A m∪A n和B m∪B n互为m+n等矩集组，此结论可以推广到的形式；②可以发现，假如A＝{a1，a2，•••，a n}和B＝{b1，b2，•••，b n}互为等矩集，如此有A'＝{ka1，ka2，•••，ka n}和B'＝{kb1，kb2，•••，kb n}，k∈N*互为等矩集，因此我们可以构造3元，4元，5元的等矩集组，从而能够证明3k，3k+1，3k+2元等矩集组的存在，即对任意n≥4，n∈N*，存在n元正整数集A和B互为等矩集，3元等矩集：{1，5，6}和{2，3，7}，4元等矩集：{1，4，6，7}和{2，3，5，8}，对于5元等矩集，可以利用两组4元等矩集的并集，其中去除一个3元等矩集进展构造，两组4元等矩集：A：{1，4，6，7}和{2，3，5，8}，B：{2，8，12，14}和{4，6，10，16}，并集为{1，2，4，6，7，8，12，14}和{2，3，4，5，6，8，10，16}，其中存在3元等矩集：{2，6，7}和{3，4，8}，删除后得到5元等矩集：{1，4，8，12，14}和{2，5，6，10，16}，根据上述构造方法可以总结n元等矩集的构造：①假如n＝3k，如此可以由k个3元等矩集组并得；②假如n＝3k+1，如此可以由〔k﹣1〕个3元等矩集组合一个4元等矩集组并得；③假如n＝3k+2，如此可以由〔k﹣1〕个3元等矩集组合一个5元等矩集组并得．因此，对于任意给定的正整数n≥4，必存在两个n元正整数集A，B互为等矩集．。
北京市海淀清华附中2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
北京市海淀清华附中2021学年高一数学下学期期中试题〔含解析〕清华附中G16级〔马班〕一、选择题〔每题5分，共40分〕1．等比数列a n中，a132，公比q1，那么a6等于〔〕．2A．1B．1C．11 2D．2【答案】C15【解析】解：a61．322故：选C．2．假设a b 0，那么以下不等关系中不能成立的是〔〕．11B．|a||b|C．a3b3D．2a2b A．aab【答案】A【解析】解：不枋设a2，b1，111，不大于1对于A选项b2．a12应选：A．3．在等差数列a n中，a17，a2a42，那么公差d〔〕．A．2B．3C．2D．3【答案】D【解析】解：设a n a1(n1)d，a2a47d73d2，∴d3．应选：D．4．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设b2a2c23ac，那么B等于〔〕．A．30B．60C．120D．150【答案】D【解析】解：由余弦定理：222cosBacb 3，2ac2又∵O B ，πB150． 应选：D ．5．t0，那么函数yt24t1的最小值为〔〕．tA ．4B ．2C ．0D ．2【答案】B【解析】 t 24t11 1ytt4≥2t4，tt当且仅当t 1时等号成立， ∴最小值为 2， 应选：B ．6．假设ab ，c R ，那么以下不等式中成立的是〔〕．A ．acbcB ．a1C ．11 D ．ac 2≥bc 2ba b【答案】D【解析】解： A ：c 可能为0． B ：b 不一定大于零．：b 正a 负． ：成立．7．不等式x1 0的解集为〔〕． x2A ．(1,)B ．(,2)C ．(2,1)D ．(,2)U(1,)【答案】C(x 1)(x 2)0 2x 1【解析】 2 0x2，x∴(2,1)．应选：C ．8．6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于 24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是〔〕 ．A ．2枝玫瑰的价格高B ．3枝康乃馨的价格高C ．价格相同D ．不确定【答案】A【解析】解：设玫瑰、康乃馨价格为 x 、y ，6x 3y 24 ，4x 4y 20化为2xy8x y，52m n 2 令n ， m 3m 5 ∴ ，8∴2x 3y 5(2x y) 8(x y) 5x8 5x8 0，2x3y ，应选：A ．二、填空题〔每题5分，共 30分〕9．不等式x 2 3x4 0的解集为__________．【答案】见解析【解析】解：x 2 3x40，(x4)(x1)0，∴x 4或x1，[x|x4或x1]．10．在△ABC 中，A2π b ，a3c ，__________．3c【答案】见解析【解析】解：余弦定理：b 2c 2 a 2，cosA2bc∴1 b2 c 2 3c 2 ，22bc 有b 22c 2 bc 0，c0，∴b2b 2 0，c cb b 1 0，2cc又∵b0，cb1．c11．假设函数yax 2在[1,2]上的函数值恒为正，那么实数 a 的取值范围是__________．【答案】见解析【解析】解： a 0，y 20，a 0 时，a 2 0 a 2，a 0 时， 2a 2 0a 1，综上：a2．12．设等差数列 a n 的前n 项和为S n ，假设a 111，a 4a 66，那么当S n 取最小值时，n等于__________． 【答案】见解析【解析】解：a 1 11，设a n11(n1)d ，a 4 a 6 6，a 1 3da 15d6，d2，∴a n 112n 22n13， ∴a 61，a 710，∴S n 在n 6是取最小．213．函数y x7x10(x0)的最小值是__________．x【答案】见解析【解析】解：x27x10 y xx107≥7210xx x7210．当且仅当x10时等号成立．∴最小值为7210．14．a n是等差数列，a28，S10185，从a n中依次取出第3项，第9项，第27项，L，第3n项，按原来的顺序排成一个新数列b n，那么b n等于__________．【答案】见解析【解析】解：设a n a1(n1)d，a1d81851(a1a1，109d)2得d3，a15，b1=a35a23232，b2a9583233，b a5263234L，37b n23n1．三、解答题〔此题共6个小题，共80分〕15．a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，试比较M与N的大小？【答案】见解析【解析】解：M N a1a2(a1a21)(a11)(a21)，有∵a1,a2(0,1)，MN0，MN．16．数列a n是等差数列，满足a12，a48，数列b n是等比数列，满足b24，b532．〔Ⅰ〕求数列a n和b n的通项公式．〔Ⅱ〕求数列 a n b n的前nn项和S ．【答案】见解析【解析】解：设a n a 1(a1)d ，b n a 1qn1，a 1 2，a 4 a 13d8 bq 1 4 ，b 5q 4b 132d2，∴a n 2n ，b n2n∴S246L2n222L2nn1 (22(1 2n ) 2 2n)n21 n 2n2n12．17．在△ABC 中，B 为锐角，且2bsinA3a ．〔Ⅰ〕求角 B 的大小．〔Ⅱ〕假设b3，ac 6，求△ABC 面积．【答案】见解析【解析】解：2bsinA3a ，由正弦定理：2sinBsinA 3sinA ，∴sinB3，2∵0πB ，2∴Bπ．3〔2〕余弦定理：cosBa 2 c 2b 2 ，2ac1 a2 c 29，22ac9 a 2 c 2ac ，a c 6 ∴ac 3，∴S1acsinB2 13 3 32 29 ．3 418．△ABC 的面积S3 (a 2 b 2 c 2 )．12〔Ⅰ〕求 C 的大小．〔Ⅱ〕假设c 1，求 3b a 的最大值．【答案】见解析【解析】解：S1absinC ，2a 2b 2c 2 ，cosC2ab3 2221 absinC而S (abc) 243．2abcosC4∴tanC3，又0C π， π ∴C ， 31 a2 b 2 c 2cosC，2ab aba 2b 21．19．记关于x的不等式xa 0的解集为P ，不等式|x 1|≤1的解集为Q ．x1〔Ⅰ〕假设a 3，求P ． 〔Ⅱ〕假设Q P ，求正数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：〔1〕x 10，x 1 (x 3)(x 1) 0， 即： 1 x 3，P x|1 x 3．〔2〕Q x||x 1|≤1， x|0≤x ≤2，由a 0得P x|1 xa，又Q ≤P ， a2．20．等比数列 a n 的公比q1，a 11，且a 1，a 3，a 214成等差数列，数列b n 满足：a 1b 1a 2b 2La n b nn*．(n1)31，nN〔Ⅰ〕求数列 a n 和 b n 的通项公式． 〔Ⅱ〕假设ma n ≥b n 8恒成立，求实数 m的最小值．【答案】见解析n1【解析】解：〔1〕设a n q ，2a 3 a 1 a 2 14，22q 1 q14．且q0，∴q 3， ∴a n3n1，又∵a 1b 1 La n b nb 1 3b 2 L 3n1b n (n 1)3n 1．而b 1 3b 2 L 3n2b n1(n2)3n11，n ≥2， ∴有3n1b n (n1)3n(n2)3n1，∴b n2n1，n ≥2，当n 1时，a 1b 11，b 11，故b n 2n1．nn8恒成立，〔2〕假设ma ≥b即：m ≥ 2n 9最大值，3 n 2有C n2n 9，n ≥2时，C n12n11 3n1n2，3244n C n C n13n2，当n2，3，L，6时，C n≥C n1，即：n s或6时，C n最大为1．81即：m≥1，可得m最小为1．8181。
2020-2021学年北京市清华附中高一(上)段考数学试卷(10月份)
2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜12.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 1164.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥2√ab7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟9.（单选题.4分）若关于x的不等式kx2-kx＜1的解集为R则实数k的取值范围是（）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）10.（单选题.4分）已知非空集合A.B满足以下两个条件（i）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii）若x∈A.则x+1∈B．则有序集合对（A.B）的个数为（）A.12B.13C.14D.1511.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R+．（1）求x2+y2+xy的最小值；（2）求√x+√y的最大值；（3）求x（1-3y）的最小值．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜1【正确答案】：D【解析】：根据全称命题的否定方法.根据已知中的原命题.写出其否定形式.可得答案．【解答】：解：∵命题p：∀x∈N.x3≥1.∴￢p：∃x∈N.x3＜1.故选：D．【点评】：本题考查的知识点是全称命题.命题的否定.熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键．2.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}【正确答案】：C【解析】：由全集U及A.求出A的补集.找出B与A补集的交集即可．【解答】：解：∵全集U={1.2.3.4.5}.集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.∴∁U A={4.5}.则B∩（∁U A）={4.5}．故选：C．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算.熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 116【正确答案】：C【解析】：根据xy=x（1-2x）=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.即可求出最大值．【解答】：解：∵实数x.y满足2x+y=1. ∴y=1-2x.∴xy=x（1-2x）=-2x2+x=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.当x= 14 .y= 12时取等号.故选：C．【点评】：本题考查了二次函数的性质.考查了运算和转化能力.属于基础题．4.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：先判断由x=1能否推出“x2=1”.再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立.利用充要条件的定义判断出结论．【解答】：解：当x=1成立则“x2=1”一定成立反之.当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件故选：A．【点评】：判断一个条件是另一个条件的什么条件.首先弄清哪一个是条件；再判断前者是否推出后者.后者成立是否推出前者成立.利用充要条件的定义加以判断．5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d【正确答案】：C【解析】：根据不等式的性质依次验证每个选项是否正确.即可判断【解答】：解：A：由b＜0＜a.d＜c＜0可知.bd＞0.ac＜0.则bd＞ac.故A不正确B：由d＜c＜0可知1c ＜1d＜0 .又b＜0＜a∴ a c ＜0，bd＞0∴ a c ＜bd.故B不正确C：∵b＜a.d＜c∴a+c＞b+d.故C正确D∵d＜c∴-d＞-c.又a＞b∴a-d＞b-c.故D不正确故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质.要求熟练掌握不等式的性质．属于基础试题6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥√ab【正确答案】：C【解析】：利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】：解：A．∵（a-b）2≥0.∴a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立.因此不正确．B．取a.b＜0时.a+b≥2 √ab不成立．C．∵ab＞0.∴ ab . ba＞0.∴ ba+ab≥2 √ba•ab=2.当且仅当a=b时取等号.正确．D．取a.b＜0时. 1a + 1b≥√ab故选：C．【点评】：本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)【正确答案】：A【解析】：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.推出b=-2a.再代入bx+a＜0.解之即可．【解答】：解：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.所以b=-2a.所以不等式bx+a＜0可化为-2ax+a＜0.解得x＜12.故选：A．【点评】：本题考查一元一次不等式的解法.灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键.考查学生的逻辑推理能力和运算能力.属于基础题．8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【正确答案】：B 【解析】：由提供的数据.求出函数的解析式.由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】：解：将（3.0.7）.（4.0.8）.（5.0.5）分别代入p=at 2+bt+c.可得{0.7=9a +3b +c 0.8=16a +4b +c 0.5=25a +5b +c.解得a=-0.2.b=1.5.c=-2.∴p=-0.2t 2+1.5t-2.对称轴为t=- 1.52×(−0.2) =3.75．故选：B ．【点评】：本题考查了二次函数模型的应用.考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题.确定函数模型是关键．9.（单选题.4分）若关于x 的不等式kx 2-kx ＜1的解集为R 则实数k 的取值范围是（ ）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）【正确答案】：B【解析】：对系数k 分类讨论.利用判别式即可求出结论．【解答】：解：当k=0时.不等式化为0＜1.对任意实数x 恒成立.所以k=0时满足条件；当k≠0时.不等式为kx 2-kx-1＜0的解集是R.所以 {k ＜0△=k 2+4k ＜0.解得-4＜k ＜0； 综上知.实数k 的取值范围是（-4.0]．故选：B ．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了分类讨论思想.是基础题．10.（单选题.4分）已知非空集合A.B 满足以下两个条件（i ）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii ）若x∈A .则x+1∈B ．则有序集合对（A.B ）的个数为（ ）A.12B.13C.14D.15【正确答案】：A【解析】：对集合A 的元素个数分类讨论.利用条件即可得出．【解答】：解：由题意分类讨论可得：若A={1}.则B={2.3.4.5.6}；若A={2}.则B={1.3.4.5.6}；若A={3}.则B={1.2.4.5.6}；若A={4}.则B={1.2.3.5.6}；若A={5}.则B={2.3.4.1.6}；若A={6}.则B={2.3.4.5.1}.舍去．若A={1.3}.则B={2.4.5.6}；若A={1.4}.则B={2.3.5.6}；若A={1.5}.则B={2.3.4.6}；若A={2.4}.则B={1.3.5.6}；若A={2.5}.则B={1.3.4.6}；若A={3.5}.则B={1.2.4.6}；若A={1.3.5}.则B={2.4.6}．综上可得：有序集合对（A.B ）的个数为12．故选：A ．【点评】：本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．11.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：集合{0.1}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合.包括空集．【解答】：解：集合{0.1}的子集有：∅.{0}.{1}.{0.1}共4个．故答案为：4．【点评】：本题考查集合的子集个数问题.对于集合M的子集问题一般来说.若M中有n个元素.则集合M的子集共有2n个.此题是基础题．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先求出A.根据条件得到B=C R A即可求解结论．【解答】：解：∵集合A={x|y= √m−x }=（-∞.m].B=（2-m.+∞）．又∵A∪B=R.且A∩B=∅.∴B=C R A=（m.+∞）.∴m=2-m⇒m=1.故答案为：1．【点评】：本题考查了交集及其运算.是基础题．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]{m|-4≤m＜-3}【解析】：分情况解二次不等式.结合已知条件即可求解结论．【解答】：解：当m＞0时.x2+mx＜0⇒-m＜x＜0.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.此时没有正根.故舍去.当m＜0时.x2+mx＜0⇒0＜x＜-m.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.∴3＜-m≤4⇒-4≤m＜-3. 当m=0时.x2+mx＜0⇒x不存在.综上可得：实数m的取值范围为：{m|-4≤m＜-3}．【点评】：本题主要考查不等式的求解以及分类讨论思想的应用.属于中档题目．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][1.+∞）【解析】：求出集合A.B.由A∪B=R.能求出实数a的取值范围．【解答】：解：∵当a＜1时.集合A={x|x2-2x+a≥0}={x|x≤1- √1−a或x≥1+ √1−a }.当a≥1时.集合A的解集为R.当△=4-4（a+1）≤0时.即a≥0时.集合B的解集为∅.当a＜0时.集合B={x|x2-2x+a+1＜0}={x|1- √−a＜x＜1+ √−a }.若A∪B=R.则有1- √1−a≥1- √−a .且 1+ √−a≥1+ √1−a .解得不存在使不等式成立的实数a.故实数a的取值范围是[1.+∞）．故答案为[1.+∞）．【点评】：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题.两个集合的并集的定义.属于基础题．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：取特殊值法可判断① ；利用基本不等式可判断② ；利用反证法.推出a+b≤2.与已知a+b＞2矛盾.从而可判断③ ④ ；．【解答】：解：已知a＞0.b＞0.a+b＞2.取a=2.b= 18 .则ab= 14＜1.故① 错误；a2+b2=（a+b）2-2ab≥（a+b）2-2 (a+b2)2= (a+b)22＞2.故② 正确；假设1a 和1b都不小于1.则1a≥1. 1b≥1.所以0＜a≤1.0＜b≤1.所以0＜a+b≤2.与a+b＞2矛盾.所以假设不成立.所以1a 和1b中至少有一个数小于1.故③ 正确；假设1+ab . 1+ba都不小于2.则1+ab≥2. 1+ba≥2.∵a＞0.b＞0.∴1+a≥2b.1+b≥2a.两式相加得：2+a+b≥2（a+b）.解得a+b≤2.这与已知a+b＞2矛盾.故假设不成立.∴ 1+ab . 1+ba中至少有一个小于2.故④ 正确．故正确结论的序号为② ③ ④ ．故答案为：② ③ ④ ．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用.反证法的应用.考查逻辑推理能力以及计算能力．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为（x+1）（x-4）≥0.求出解集即可；（2）不等式化为x2-x+1＞0.利用判别式求出不等式的解集；（3）讨论a的取值.从而求出不等式x2≤a的解集．【解答】：解：（1）不等式x2-3x-4≥0可化为（x+1）（x-4）≥0.解得x≤-1或x≥4.所以不等式的解集为{x|x≤-1或x≥4}；（2）不等式-x2+x-1＜0可化为x2-x+1＞0.△=（-1）2-4×1×1=-3＜0.所以不等式的解集为R；（3）当a≥0时.解不等式x2≤a.得- √a≤x≤ √a；当a＜0时.不等式x2≤a无解；所以.a≥0时.不等式x2≤a的解集为-x|- √a≤x≤ √a }；a＜0时.不等式x2≤a的解集为∅．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了运算求解能力.是基础题．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）将1代入x2-（a+1）x-a＞0.解得即可.（2）集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.当x=2满足.x=3不满足时.或当x=2不满足.x=3满足时.解不等式组可得．【解答】：解：（1）1∈A .将1代入x 2-（a+1）x-a ＞0得1-（a+1）-a ＞0.解得a ＜0. 即a 的范围为（-∞.0）（2）集合B={2.3}.且A∩B 中恰好只有1个元素. 则说明x 2-（a+1）x-a ＞0有1个元素是2或3. 则当x=2满足.x=3不满足时.∴ {22−2(a +1)−a ＞032−3(a +1)−a ≤0 .即 {a ≥32a ＜23.此时解集为∅. 则当x=2不满足.x=3满足时.∴ {22−2(a +1)−a ≤032−3(a +1)−a ＞0 .解得 23 ≤a ＜ 32 . 综上所述a 的取值范围为[ 23 . 32 ）．【点评】：本题考查了元素和集合的关系.属于基础题． 18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R +． （1）求x 2+y 2+xy 的最小值； （2）求 √x +√y 的最大值； （3）求x （1-3y ）的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy.然后利用基本不等式即可求解； （2）（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy .然后利用基本不等式即可求解； （3）由x （1-3y ）=（1-y ）（1-3y ）=3y 2-4y+1.然后结合二次函数的性质可求解．【解答】：解：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy≥1-（ x+y 2 ）2= 34.当且仅当x=y= 12 时.取得最小值 34 ；（2）因为x+y=1.x.y∈R +.所以（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy ≤1+x+y=2.当且仅当x=y 时取等号.此时取得最大值2；（3）∵x.y∈R+.x+y=1.∴x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1.结合二次函数的性质可知.当y= 23时取得最小值- 13．【点评】：本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用.属于基础题．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知函数过定点可得一个关于m.n的等式.再利用二次函数恒成立问题可再建立一个关于m.n的关系式.两式结合即可求解.（2）联立直线方程和二次函数方程可得一个关于x的二次方程.而x1.x2为该方程的根.则可由根与系数的关系得x1.x2的和与积.再利用立方和公式展开x 13+x23 .进而可以求解．【解答】：解：（1）由已知函数过点（1.0）可得：m+n+1=0… ① .又对任意x∈R.总有y≥0.则△=m2-4n≤0… ② .由① 得n=-1-m.代入② 得：m2+4m+4≤0.即（m+2）2≤0.所以m+2=0.则m=-2.n=1.故m.n的值分别为-2.1；（2）由（1）可得y=x2-2x+1.与y=kx+2联立方程可得：x2-（k+2）x-1=0.则方程的根为x1.x2.由根与系数的关系可得：{x1+x2=k+2 x1x2=−1 .所以x 13+x23 =（x1+x2）（x 12 -x1x2+x 22）=（k+2）[（x1+x2）2-3x1x2] =（k+2）[（k+2）2+3]=14.令k+2=t.则t3+3t-14=0.即t3-8+3t-6=（t-2）（t2+2t+4）+3（t-2）=（t-2）（t2+2t+7）=0.显然t-2=0.即t=2.所以k+2=2.即k=0.故实数k的值为0．【点评】：本题考查了二次函数的性质.涉及到恒成立问题以及立方和公式和高次方程求解等问题.考查了学生的运算转化能力.属于中档题．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解A-B.B-A；（2）由Q-P=∅.结合定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解实数a的取值范围．【解答】：解：（1）由定义A-B={x∈A且x∉B}．集合A=（-1.1）.B=（0.2）.∴A-B=（-1.0].B-A=[1.2）．（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}={x|（x-2a）（x+a）≥0}.Q=[1.2].由Q-P=∅.可得Q⊆P.当a=0时.P=R.满足Q⊆P；当a＜0时.P={x|x≤2a或x≥-a}.由Q⊆P.可得{a＜0−a≤1.解得-1≤a＜0.当a＞0时.P={x|x≤-a或x≥2a}.由Q⊆P.可得{a＞02a≤1.解得0＜a≤ 12.综上可得.实数a的取值范围[-1. 12]．【点评】：本题考查对新定义的理解和应用.是基础题.解题时要认真审题．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．【正确答案】：【解析】：（1）直接由新定义可求解；（2）等价转化为-1＜x+y1+xy＜1求证；（3）先判断x*y满足交换律和结合律.得到所要求解的式子结果唯一.再利用定义求解．【解答】：解：（1）0* 13 = 0+131+0•13=13. 12∗13=12+131+12•13=57；（2）证明：∵-1＜x＜1.-1＜y＜1.∴-1＜xy＜1.x-1＜0.y-1＜0.∴1+xy＞0.（x-1）（y-1）＞0.∴xy-（x+y）+1＞0.∴1+xy＞x+y.∴ x+y1+xy＜1．同理：（x+1）（y+1）＞0.即xy+（x+y）+1＞0.∴（x+y）＞-（1+xy）.∴ x+y1+xy＞−1 .∴ −1＜x+y1+xy＜1 .∵ x∗y=x+y1+xy.∴∀x.y∈（-1.1）.都有x*y∈（-1.1）成立．（3）由已知可得x*y=y*x.满足交换律．∵（x*y）*z= x+y1+xy ∗z =x+y1+xy+z1+x+y1+xy×z=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.x*（y*z）=x* y+z1+yz =x+y+z1+yz1+x×y+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.∴（x*y）*z=x*（y*z）.满足结合律．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6有唯一值．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6= (−57)∗(−16)∗(−14)∗12∗13∗14=(−57)+(−16)1+(−57)×(−16)* (−14)+121+(−14)×12*13+141+13×14= (−3747)∗27∗713=(−3747)+271+(−3747)×27∗713=(−1117)∗713=−(1117)+7131+(−1117)×713=−16 ．∴x 1*x 2*x 3*x 4*x 5*x 6的所有可能值构成的集合为{ −16}．【点评】：本题考查对新定义的理解.属于中档题．。
北京市清华大学附属中学2020_2021学年高一数学10月考试题含解析
【详解】 恰有三个元素，
，
，即 .
故答案为： 。
【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.
14。 已知集合A={x｜x2—2x+a≥0）,B={x｜x2-2x+a+1<0｝，若 ，则实数a的取值范围为______。
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】因为 x, 的否定为 x,
因此命题p： x∈N,x3>1的 p为： x∈N，x3 1,
故选：D
【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本求解能力，属基础题。
2。 已知全集U=｛1,2,3，4，5}。集合A=｛1，2，3｝,B={2，4,5}，则 （ )
A。 {2,4}
B. ｛1，3}
C。 ｛4,5｝
2，3，4,5， , ；
若 ，则 ．
则有序集合对 的个数为
A. 12B。13C。 14D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】
对集合A的元素个数分类讨论,利用条件即可得出．
【详解】解：由题意分类讨论可得:若 ，则 3，4，5， ；若 ，则 3，4，5， ;若 ，则 2,4,5， ；若 ，则 2，3，5， ；若 ，则 3，4,1， ；
即xy的最大值为
故选：B
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力,属基础题。
4. 设 ,则“ "是“ ”的( ）
A。 充分而不必要条件B。 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用定义法判断即可。
【详解】当 时， ,充分性成立；反过来,当 时，则 ，不一定有 ，
2020-2021学年北京市清华大学附属中学高一上学期期末考试数学试卷含答案
2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．33．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜07．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为．12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有.（填上正确选项序号即可）三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】由α的范围求出π﹣α的范围，进而看可确定π﹣α的范围．【解答】解：因为×3，k∈Z，所以﹣＜π﹣α＜﹣2kπ，k∈Z，所以π﹣α为第四象限．故选：D．2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】根据题意可得a＞2，即可判断正确的选项．【解答】解：∵集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，∴a＞2，∴a的值可以为3．故选：D．3．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）【答案】B【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：由a＞b＞c，当c＝0时，故A不成立；∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b，故B成立；∵b＞c，∴﹣b＜﹣c，∴a﹣b＜a﹣c，故C不成立；例如a＝1，b＝0，c＝﹣1，则c（b﹣a）＝1，a（b﹣c）＝1，故D不成立．故选：B．4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，进而根据两角和的余弦公式即可得到结论．【解答】解：因为点P（3，﹣4）是角α终边上一点，所以sinα＝＝﹣，cosα＝＝，所以＝cosαcos﹣sinαsin＝（cosα﹣sinα）＝（+）＝．故选：B．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出sinα＝，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：sinα＝等价于或，所以“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜0【答案】C【分析】结合指数函数为y＝0.3x的单调性即可比较x，y的大小．【解答】解：因为y＝0.3x在R上单调递减，且0.3x＞0.3y＞0.30，所以x＜y＜0．故选：C．7．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由正弦函数的对称性可令2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t，再通过k的取值可得结论．【解答】解：由正弦函数的对称性可得2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t＝+，k∈Z，当k＝0时，t＝，故选：B．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）【答案】B【分析】先求函数的对称轴，然后结合函数取得最大于最小值的位置即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣4x的开口向上，对称轴x＝2，且f（0）＝f（4）＝0，f（2）＝﹣4，∵函数f（x）在[0，m]内的值域为[﹣4，0]，则实数2≤m≤4故选：B．9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【答案】C【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．【解答】解：y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x＝0时，e b＝192，当x＝22时e22k+b＝48，∴e22k＝＝e11k＝e b＝192当x＝33时，e33k+b＝（e11k）3•（e b）＝（）3×192＝24故选：C．10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]【答案】A【分析】根据该分段函数的性质，由函数零点问题转化为函数图像交点问题，由F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇函数的性质，转化为x∈（0，2]时有两解，结合函数图像即可得解．【解答】解：由F（﹣x）＝f（﹣x）﹣f（x）＝﹣[f（x）﹣f（﹣x）]＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，根据对称性可得x∈（0，2]时有两个零点即可，令F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝0，可得f（x）＝f（﹣x），若x∈（0，2]则﹣x∈[﹣2，0），即有两解，结合对称性可得：如图所示可得：，所以0＜a＜2．故选：A．二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为π．【答案】见试卷解答内容【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论．【解答】解：根据三角函数的周期公式可得函数的周期T＝，故答案为：π12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝0．【答案】0．【分析】首先计算f（x）+f（﹣x）的和为常数，再由已知条件可得所求值．【解答】解：函数f（x）＝a sin x+bx+1，则f（﹣x）+f（x）＝a sin（﹣x）+b（﹣x）+1+a sin x+bx+1＝（﹣a sin x+a sin x）+（﹣bx+bx）+2＝2，所以f（1）+f（﹣1）＝f（1）+2＝2，解得f（1）＝0．故答案为：0．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．【答案】．【分析】由正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间，再由集合的包含关系，解不等式可得所求最大值．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+），可令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，由题意可得[﹣，m]⊆[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，即有kπ﹣≤﹣且m≤kπ+，k∈Z，即k≤，可得k＝0时，m取得最大值，故答案为：．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．【答案】；【分析】（1）由题意可得m＝3，则可得y＝3f（x）的解析式，求解3f（x）≥2，即可得答案．（2）先分析有效治疗末端时间点，由此列出满足再服用m个单位药剂后，接下来2个小时能㫃持续有效的不等式，利用恒成立求得m的范围，即可得答案．【解答】解：（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则m＝3，所以当0≤x＜6时，，当6≤x≤8时，令，解得，当6≤x≤8时，令，解得，所以若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，则m＝2，所以，此时，所以治疗时间末端为第6小时结束，因为在治疗时间末端再服用m个单位药剂，所以6≤x≤8，所以，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，设，为开口向上，对称轴为x＝4的抛物线，所以g（x）在[6，8]上单调递增，所以，故，所以m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有②③.（填上正确选项序号即可）【答案】②③．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据三角函数图像和图像的变换即可求解．【解答】解：①y＝cos2x＝cos2x+，其可由y＝cos2x先纵坐标缩小一半，再向上平移得到，二者不是同形函数，故①错误；②y＝2sin x cos x＝sin2x＝cos（2x﹣），可由y＝cos2x向右平移个单位得到，故②正确；③y＝sin4x﹣cos4x＝（sin2x2）（sin2x﹣cos2x）＝sin2x+cos2x＝﹣cos2x＝cos（2x+π），可由y＝cos2x向左平移个单位得到，故③正确；④y＝sin2x•tan x＝2sin x cos x•＝2sin2x＝1﹣cos2x＝cos（2x+π）+1，因为y＝sin2x•tan x的定义域不是R，而cos2x的定义域是R，所以不可能平移得到．故④错误；综上所述，②③正确．故答案为：②③．三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝﹣；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．【答案】（Ⅰ）（1）；（2）﹣；（Ⅱ）（1）[﹣1，4]；（2）当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．【分析】（Ⅰ）（1）根据对数定义计算即可；（2）根据诱导公式计算即可；（∐）（1）根据一元二次不等式运算即可；（2）根据一元二次不等式解法对a进行讨论运算即可．【解答】解：（Ⅰ）（1）log93＝；（2）＝﹣cos＝﹣；（Ⅱ）（1）一元二次方程x2﹣3x﹣4的解为﹣1，4，结合二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图像可得一元二次不等式x2﹣3x﹣4≤0的解集为[﹣1，4]；（2）关于x的不等式x2≥ax即为x（x﹣a）≥0，当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）1．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而根据两角和的正切公式即可求解的值．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα，所以tanα＝﹣2，所以＝＝＝﹣．（Ⅱ）因为α为第二象限角，所以∈（kπ+，kπ+），k∈Z，是第一或第三象限角，所以＝﹣＝＝＝＝＝1．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．【答案】（I）a＝2；（II）a＝或a＝．【分析】（I）由已知f（2）＝2（II）结合对数函数的单调性对a进行分类讨论，结合对数的运算性质可求．【解答】解：（I）因为f（2）＝log a（2+a）＝2，所以a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或a＝﹣1（舍），（II）当a＞1时，f（x）在[1，3]上单调递增，由题意得，，解得，a＝，当0＜a＜1时，f（x）在[1，3]上单调递减，由题意得，，解得，a＝，综上，a＝或a＝．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．【答案】（Ⅰ）2．（Ⅱ）最大值为2+，最小值为0．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行转化求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，根据三角函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝4（sin x+cos x）cos x＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+（1+cos2x）＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，则＝2sin（2×+）+＝2sin+＝2×＝2．（Ⅱ）当x∈时，2x∈[0，π]，2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[sin，sin]，即sin（2x+）∈[﹣，1]，则2sin（2x+）∈[﹣，2]，2sin（2x+）+∈[0，2+]，即f（x）的最大值为2+，最小值为0．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）【答案】（I）a＝1，b＝﹣1；（II）1．【分析】（1）把已知点的坐标直接代入即可求解a，b；（II），由题意可得相应方程只有一个解，然后结合二次方程根的存在条件可得m，k的关系，再结合二次函数的性质可求．【解答】解：（I）由题意得，，解得，a＝1，b＝﹣1；（II）由题意得，T（﹣，0），k≠0，由x﹣＝kx+m只有一个解，即（k﹣1）x2+mx+1＝0只有一个解，因为k≠1，所以Δ＝m2﹣4（k﹣1）＝0，所以|OT|2＝＝＝﹣4（）＝﹣4[（）2﹣，根据二次函数的性质得，当k＝2时，上式取得最大值1，此时|OT|取得最大值1．21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．【答案】（I）；（II）；（III）．【分析】（I）（II）根据定义和条件得到不等式组，求解即得；（III）先找一特例，使得，然后证明不可能更大即可．【解答】解：（I），，；（II）若，∴，或，解得或，即实数b的所有可能取值构成的集合；（III）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，当时，，所以．若存在X＝{x1，x2，…，x n}∈Ωn，使得，则，∴，∴，∴，矛盾．所以L的最小值．。
北京市清华附中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题
清华附中高一第二学期期末试卷数学（选择题（此题共8个小题，每题5分，共40分）1．以下各角中，是第三象限的角为( ) A ．480-︒ B ．32π C ．720︒ D ．450︒2.已知角α的终边通过点（3，4），那么tan α=（ ）A ． 43B ． 43C ． 34D ． 343．样本中共有五个个体，其值别离为a,0,1,2,3.假设该样本的平均值为1，那么样本方差为 ( )A.65 B.65C. 2 D ．24．甲从正方形四个极点中任意选择两个极点连成直线，乙也从该正方形四个极点中任意选择两个极点连成直线，那么所得的两条直线彼此垂直的概率是( )A.318 B.418 C.518 D.6185．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法取得的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的选项是( )A ．直线l 在y 轴上的截距是回归系数B ．x 和y 的回归系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，散布在l 双侧的样本点的个数必然相同D ．直线l 过点(x ，y )6．用秦九韶算法求多项式f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1在x ＝0.4时的值时，需要做的乘法和加法的次数别离是( )A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,57．为了取得函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像( )A 向左平移4π个长度单位B 向右平移4π个长度单位结束开始是否输入两个数a 和b输出a输出2bC 向左平移2π个长度单位 D 向右平移2π个长度单位 8． 在实数的原有运算法那么中，咱们补充概念新运算b a ⊗,运算原理如右图所示，那么函数)100(lg )45(tan)(x x x x f ⊗-⋅⊗=π（]2,2[-∈x ）的最大值等于（“•”和“-”仍为通常的乘法和减法）( ) A ．1- B ．1 C ．6 D ．12一、 填空题（此题共6个小题，每题5分，共30分） 9．函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为 10．中央电视台青年歌手大奖赛的9位评委为参赛选手甲给出的分数，如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发觉有一个数字(茎叶图中的x )无法看清．假设记分员计算无误，那么数字x 应该是________．11．如图，单摆的摆线离开平稳位置的位移S (厘米)和时刻t (秒)的函数关系是2sin(2),[0,)4S t t π=+∈+∞，那么摆球往复摆动一次所需要的时刻是_____秒．12．某程序框图如下图，现输入如下四个函数：2()f x x =，1()f x x=，()e xf x =，()sin f x x =，那么能够输出的函数是 .13．已知12,(0,)x x π∈且12x x <，那么以下五个不等式：①1212sin sin x x x x <；②12sin sin x x <； ③12121(sin sin )sin()22x x x x ++<；④12sin sin 22x x >； ⑤1212sin sin 22x x x x >． 其中正确的序号是 ．14. 设函数()sin |sin |4f x x x a =--,假设1a =时,()f x 的最小值是 ；假设对任意[0,]2x π∈，()0f x ≤恒成立，那么实数a 的取值范围是 . 二、 解答题（此题共6个小题，共80分） 15．(本小题总分值13分)假设函数如下，那么)sin(ϕω+=x A y (0,0ωϕπ><<)在一个周期内的图象（1）写出函数的周期；（2）求函数的解析式； （3）求函数的单调增区间.16．(本小题总分值13分)为了解学生身高情形，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情形的统计图如图： (1)估量该校男生的人数；(2)估量该校学生身高在170～185cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 之间的概率． 17. (本小题总分值14分)已知2tan =α，求 （1）4sin()2cos 5sin 3cos()παααα-++-的值；（2）2cos sin 3sin 52-+ααα的值.18．(本小题总分值13分)从参加高一年级某次模块考试中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率散布直方图如下图．(1)估量这次测试数学成绩的平均分；(2)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同，且都在96分以上．现用简单随机抽样的方式，从94,95,96,97,98,99这6个数中任取2个数，求这两个数恰好是在[90,100]段的两个学生的数学成绩的概率． 19．(本小题总分值13分)已知c bx x x f R c b ++=∈2)(,,，对任意R ∈βα,，都有0)cos 2(,0)(sin ≤+≥βαf f（1）求)1(f 的值； （2）证明：3≥c ；（3）设)(sin αf 的最大值10，求)(x f .20．(本小题总分值14分)已知函数)(x f ，若是存在给定的实数对（b a ,），使得对)(x f ，(),()f a x f a x +-有概念的所有x 都有()()f a x f a x b ++-=恒成立，那么称)(x f 为“п-函数”. （Ⅰ）判定函数12()2sin ,()ln f x x f x x ==是不是是“п-函数”；（Ⅱ）假设x x f tan )(3=是一个“п-函数”，求出所有知足条件的有序实数对),(b a (参考公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+)；（Ⅲ）假设概念域为R 的函数)(x f 是“п-函数”，且存在知足条件的有序实数对)1,0(和(1,2).当(0,1]x ∈时，[-∈x时函数) )2012(x,f的值域为]2,1[，求当]2012f的值域.(x。
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P DA 清华附中高一新生分班考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简=-2aa （ ）A ．aB ．a -C ．aD ．2a2．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为 （ ）A ．21或-B ．2C ．1-D ．2-3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3， 则tan C 等于 （ ）A ．43 B ．35 C ．34 D ．45 4．如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，∠P = 40°，则∠BAC =（ ）A ．040 B ．080 C ．020 D ．0105．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是 （ ）A ．21 B ．165 C ．167 D ．436．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为 ( ) A . 6 B .4 C .5D . 37．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动(4题图) O C B A P (6题图) AB CDF E (3题图)D CB A 路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是 ( )8.若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=02101422x xx x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（ ）个A ．0 B.1 C. 2 D.3注意：请将选择题的答案填入表格中。
二、填空题（每题5分，共50分）9．已知a 、b 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，则代数式()()2a b a b ab -+-+ 的值等于10．有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为m ，3的对面的数字为n ，则方程1x m n +=的解x 满足1+<<k x k ，k 为整数，则k11．如图，直角梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，∠A =90º，∠C =30º．折叠纸片使BC 经过点D ，点C 落在点E 处，BF 是折痕，且BF =CF =8，则AB 的长为11题图 52 3 3 2 1 2 6 1 甲 乙 丙 10题图12．记函数y 在x 处的值为()f x （如函数2y x =也可记为2()f x x =，当1x =时的函数 值可记为(1)1f =）。
已知||)(x xx f =，若c b a >>且0=++c b a ，0≠b ，则 )()()(c f b f a f ++的所有可能值为13．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。
已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是14．如图，三棱柱111C B A ABC -中，底面2,1==BC AB ，三个侧面都是矩形，31=AAM 为线段1BB 上的一动点，则当1MC AM +最小时，BM =15.如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中C ，D ，E 在AB 上，F ，N 在半圆上。
若AB=10，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是16.如图，CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高，BC 长度为1，DE ⊥AC 。
设ΔADE ，ΔCDB ，ΔABC 的周长分别是12,,p p p 。
当12p p p+取最大值时，AB= 17. 如图放置的等腰直角∆ABC 薄片（2,900==∠AC ACB ）沿x 轴滚动，点A 的运动 轨迹曲线与x 轴有交点，则在两个相邻交点间点A 的轨迹曲线与x 轴围成图形面积为 ___ 18. 如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为 （用具体数字作答）1 2 3 4 5 6 7…3 5 7 9 11 13… 8 12 16 20 24… 20 28 36 44… 48 64 80… 题图15oxy C AB题图17题图16题图13A B C M1A 1B 1C 题图1411. 12.13. _ 14. _ _ _15. _ 16. _ 17. 18.三、解答题（共60分）19. （本小题满分12分）如图，抛物线1417452++-=x x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N 。
设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 能否为菱形？请说明理由.20. （本小题满分12分）函数)(x f ，若自变量x 取值范围内存在0x ，使00)(x x f =成立，则称以00(,)x x 为坐标的点为函数()f x 图像上的不动点。
（)(x f 的定义．．．见第．．12．．题．） （1）若函数bx ax x f ++=3)(有两个关于原点对称的不动点，求a ，b 应满足的条件； （2）在（1）的条件下，若a=2，直线1)1(:-+-=b x a y l 与y 轴、x 轴分别相交于A 、B 两点，在xby =的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2)，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足是Q ，若四边形A BQP 的面积等于2，求P 点的坐标（3）定义在实数集上的函数)(x f ，对任意的x 有)()(x f x f -=-恒成立。
下述命题“若函数)(x f 的图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，举反例说明。
21. （本小题满分12分）已知圆O 圆心为坐标原点，半径为34，直线l：4)y x =+交x 轴负半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点 （1）求BAO ∠（2）设圆O 与x 轴的两交点是12,F F ，若从1F 发出的光线经l 上的点M 反射后过点2F ，求光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程（3）点P 是x 轴负半轴上一点，从点P 发出的光线经l 反射后与圆O 相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P 的坐标22.（本小题满分12分）在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.(1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层，（Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？图（2）图（1）23. （本小题满分12分）试求出所有正整数a 使得关于x 的二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根.数学试卷答案一、选择题（每题5分，共40分）三、填空题（每题5分，共50分）9． 1- 10． 0 11． 6 12． 1或-1 13． 6 14． 1 15． 25 16． 2 17． 24+π 18． 12288 三、解答题（共60分）19．解：（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB 的解析式为y =121+x …………… 3分 （2）)121(1417452+-++-=-==t t t MP NP MN s )30(415452≤≤+-=t tt ………………6分（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN =BC ，此时，有25415452=+-t t ，解得11=t ，22=t 所以当t =1或2时，四边形BCMN 为平行四边形. ………………8分①当t =1时，23=MP ，4=NP ，故25=-=MP NP MN ,又在Rt △MPC 中，2522=+=PC MP MC ，故MN =MC ，此时四边形BCMN 为菱形 …………10分②当t =2时，2=MP ，29=NP ，故25=-=MP NP MN ,又在Rt △MPC 中，522=+=PC MP MC ，故MN ≠MC ，此时四边形BCMN 不是菱形. …………12分20.解：（1）由题得x bx ax =++3有两个互为相反数的根0x ，0x -)0(0≠x 即)(0)3(2b x a x b x -≠=--+有两个互为相反数的根0x ，0x - ……1分根带入得⎪⎩⎪⎨⎧=---+=--+0))(3(0)3(020020a x b x a x b x ，两式相减得0)3(20=-x b ，3=∴b ……3分方程变为)3(02-≠=-x a x 90≠>∴a a 且 …………4分（2）由（1）得3,2==b a ，所以2:+-=x y l ，即A （0,2） B(2,0) ……5分设x y 3=上任意一点)2)(3,(>t tt P ，所以)2)(0,(>t t Q ……6分 又因为2-=∆AOB AOQP S S 四边形，所以22221)32(21=⨯⨯-+t t 25=∴t ……8分)56,25(P ∴ ……………………9分（3）正确①在)()(x f x f -=-令0=x 得)0()0(f f -=所以0)0(=f所以)0,0(为函数的不动点 ……………………10分 ②设00(,)x x 为函数()f x 图像上的不动点，则00)(x x f = 所以000)()(x x f x f -=-=-，所以),(00x x --也为函数()f x 图像上的不动点 ……………………12分21．解：（1）由题|OA|=4，|OB|=334，所以33tan =∠BAO ，所以030=∠BAO 2分 （2）如图（1）由对称性可知，点1F 关于l 的对称点/1F 在过点()4,0A -且倾斜角为060的直线/l 上在/21AF F ∆中，0'160=∠AO F ，3811'1=-==O F AO AF AF ，3162=AF所以/21AF F ∆为直角三角形，02'190=∠F AF 。