2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9 平面解析几何 第63练含解析
2018版高考数学(全国用,理科)专题复习：专题9 平面解析几何 第63练
1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．(2016·天津红桥区一模)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 3．(2017·兰州质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1||PF 2|＝a 2，则该椭圆的离心率为( ) A.34B.32C.22D.124．(2016·衡水模拟)已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 的坐标为( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)5．(2016·三明模拟)设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．30B ．25C ．24D ．406．(2017·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 7．(2016·衡水冀州中学月考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为 ( ) A. 2 B.72 C ．2 D.748．已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 二、填空题9．(2016·池州模拟)已知M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________．10．(2016·豫北六校联考)如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为____________．11．(教材改编)已知点P (x ，y )在曲线x 24＋y 2b2＝1(b >0)上，则x 2＋2y 的最大值f (b )＝__________________.(用含b 的代数式表示)12．(2016·合肥一模)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________________.答案精析1．A [由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]2．C [由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22， 故b ＝(22)2－22＝2，因为焦点在y 轴上，故选C.]3．C [由|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1||PF 2|＝a 2，可得点P 是椭圆的短轴端点， 即P (0，±b )，故b ＝12×2c ＝c ， 故a ＝2c ，即离心率e ＝c a ＝22，故选C.] 4．D [由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2，即P (0，－1)或P (0,1)时，取“＝”．]5．C [∵|PF 1|＋|PF 2|＝14，又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.] 6．A [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2， 联立得a 2＝8，b 2＝6.]7．A [由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，所以b ＝a 2－c 2＝3c ， 则方程ax 2＋2bx ＋c ＝0为2x 2＋23x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝12， 则点P (x 1，x 2)到原点的距离为 d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝3－1＝2，故选A.]8．D [圆F 的方程转化为标准方程得，(x －1)2＋y 2＝12⇒F (1,0)，半径r ＝23，由已知可得|FB |＝|PF |＋|PB |＝|PF |＋|P A |＝23>2＝|AF |⇒动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆⇒a ＝3，c ＝1⇒b 2＝a 2－c 2＝2⇒动点P 的轨迹方程是x 23＋y 22＝1，故选D.] 9．8解析 依题意得，a ＝2，M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆的左焦点F (－3,0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8.10.x 24＋y 22＝1 解析 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则A (a,0)，B (0，b )， C ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，F (a 2－b 2，0)， 依题意，得a 2－b 2＝2，所以M ⎝⎛⎭⎫2，b a a 2－2， 由于O ，C ，M 三点共线，所以b a a 2－22＝b 2a 2， 即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2，所以所求的椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. 11.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4，0<b ≤4，2b ，b >4 解析 由x 24＋y 2b 2＝1，得x 2＝4⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2，令T ＝x 2＋2y ，将其代入得T ＝4－4y 2b2＋2y . 即T ＝－4b 2⎝⎛⎭⎫y －b 242＋b 24＋4(－b ≤y ≤b )．当b 24≤b ，即0<b ≤4，y ＝b 24时，f (b )＝b 24＋4； 当b 24>b ，即b >4，y ＝b 时，f (b )＝2b . 所以f (b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4，0<b ≤4，2b ，b >4.12.x 25＋y 24＝1 解析 由题意可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)， 即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34， 所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A (35，45)， 易知另一切点为B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)，即c ＝1， 令x ＝0得上顶点为(0,2)，即b ＝2， 所以a 2＝b 2＋c 2＝5，故所求椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.。
加练半小时高考数学江苏专用理科专题复习：专题9 平面解析几何 含答案
训练目标 对圆锥曲线热点、难点集中研究，重点突破，规范训练解题格式、解题步骤. 训练题型 (1)范围、最值问题；(2)定点、定值问题；(3)探索性问题.解题策略 (1)利用化归思想结合定义、性质，将问题转化为圆锥曲线常见问题；(2)利用函数与方程思想，寻找探索性问题的解题思路；(3)利用数形结合思想及圆锥曲线的几何性质，解决定值、定点问题. 1．(2015·浙江重点中学协作体上学期第二次适应性测试)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，32)．过它的两个焦点F 1，F 2分别作直线l 1与l 2，l 1交椭圆于A ，B 两点，l 2交椭圆于C ，D 两点，且l 1⊥l 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ACBD 的面积S 的取值范围．2．(2015·武汉4月调研)如图，A ，B 分别是椭圆Γ：x 24＋y 2＝1的左，右顶点，M 是椭圆Γ上位于x 轴上方的动点，直线AM ，BM 与直线l ：x ＝4分别交于C ，D 两点．(1)若CD ＝4，求点M 的坐标；(2)记△MAB 和△MCD 的面积分别为S 1和S 2，是否存在实数λ，使得S 1＝λS 2？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．3．(2015·江西新余上学期期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别是F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线l ：x ＝my ＋c 与椭圆C 交于M ，N 两点，且当m ＝－33时，M 是椭圆C 的上顶点，且△MF 1F 2的周长为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左顶点为A ，直线AM ，AN 与直线：x ＝4分别相交于点P ，Q ，问当m 变化时，以线段PQ 为直径的圆被x 轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．4．(2015·江苏东海高级中学1月检测)已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点E 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AE ，BE 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求线段MN 长度的最小值；(3)当线段MN 的长度最小时，椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得△TBE 的面积为15？若存在，确定点T 的个数；若不存在，请说明理由．5．(2015·厦门上学期期末质检)已知抛物线E ：y 2＝4x ，点F (a,0)，直线l ：x ＝－a (a >0)．(1)P 为直线l 上的点，R 是线段PF 与y 轴的交点，且点Q 满足RQ ⊥FP ，PQ ⊥l ，当a ＝1时，试问点Q 是否在抛物线E 上？并说明理由．(2)过点F 的直线交抛物线E 于A ，B 两点，直线OA ，OB 分别与直线l 交于M ，N 两点(O 为坐标原点)，求证：以MN 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．答案解析1.解 (1)由c a ＝12⇒a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 将点P 的坐标代入椭圆方程得c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)若l 1与l 2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S ＝6.若l 1与l 2的斜率都存在，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k， 则直线l 1的方程为y ＝k (x ＋1)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.①∴x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， ∴|x 1－x 2|＝12k 2＋14k 2＋3， ∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3，② 注意到方程①的结构特征和图形的对称性，可以用－1k代替②中的k ， 得CD ＝12(k 2＋1)3k 2＋4，∴S ＝12AB ·CD ＝72(1＋k 2)2(4k 2＋3)·(3k 2＋4)， 令k 2＝t ∈(0，＋∞)，∴S ＝72(1＋t )2(4t ＋3)·(3t ＋4)＝6(12t 2＋25t ＋12)－6t 12t 2＋25t ＋12 ＝6－612t ＋12t＋25≥6－649＝28849， 当且仅当t ＝1时等号成立，∴S ∈[28849，6)， 综上可知，四边形ABCD 的面积S ∈[28849，6]． 2.解 (1)直线AM 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝k (x ＋2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6k ，所以C (4,6k )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1， 消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，设M (x 0，y 0)，则(－2)·x 0＝16k 2－41＋4k 2， 所以x 0＝2－8k 21＋4k 2， 从而y 0＝4k 1＋4k 2，即M (2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2)， 又B (2,0)，故直线BM 的方程为y ＝－14k(x －2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－14k (x －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－12k ，∴D (4，－12k)． ∴CD ＝|6k ＋12k |＝6k ＋12k(k >0)， 由CD ＝4，得6k ＋12k＝4， 解得k ＝12或k ＝16， 从而求得M (0,1)或M (85，35)． (2)由(1)得M (2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2)． 所以S 1＝12AB ·|y M |＝12×4×|4k 1＋4k 2|＝8k 1＋4k 2， S 2＝12CD ·|4－x M |＝12×|6k ＋12k |×|4－2－8k 21＋4k 2| ＝(1＋12k 2)22k (1＋4k 2)， 假设存在实数λ，使得S 1＝ λS 2，则λ＝S 1S 2＝16k 2(1＋12k 2)2＝16k 21＋24k 2＋144k 4＝16144k 2＋1k 2＋24 ≤162 144k 2·1k 2＋24＝13.当且仅当144k 2＝1k 2，即k ＝36时，等号成立． 又∵λ>0，∴0<λ≤13， 故存在λ∈(0，13]，使得S 1＝λS 2. 3.解 (1)当m ＝－33时，直线的倾斜角为120°， 又△MF 1F 2的周长为6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2c ＝6，c a ＝cos 60°，解得a ＝2，c ＝1，⇒b ＝3， 所以椭圆方程是x 24＋y 23＝1. (2)当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝1，此时，点M ，N 的坐标分别是(1，32)，(1，－32)， 又点A 的坐标是(－2,0)，由图可以得到P ，Q 两点坐标分别是(4,3)，(4，－3)，以PQ 为直径的圆过右焦点，被x 轴截得的弦长为6，猜测当m 变化时，以PQ 为直径的圆恒过焦点F 2，被x 轴截得的弦长为定值6.证明如下：设点M ，N 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则直线AM 的方程是y y 1＝x ＋2x 1＋2， 所以点P 的坐标是(4，6y 1x 1＋2)， 同理，点Q 的坐标是(4，6y 2x 2＋2)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1，得3(my ＋1)2＋4y 2＝12⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，所以y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， 从而F 2P →·F 2Q →＝(4－1)(4－1)＋36y 1y 2(x 1＋2)(x 2＋2) ＝9＋36y 1y 2(my 1＋3)(my 2＋3) ＝9＋36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＝9＋－9×36－9m 2－18m 2＋27m 2＋36＝0， 所以，以PQ 为直径的圆一定过右焦点F 2，被x 轴截得的弦长为定值6.4.解 (1)已知直线方程为x －2y ＋2＝0，令x ＝0，得y ＝1，所以D (0,1)，所以b ＝1，令y ＝0，得x ＝－2，所以A (－2,0)，所以a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)显然直线AE 的斜率存在且为正数，设直线AE 的方程为y ＝k (x ＋2)(k >0)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x ＝103， 解得M (103，16k 3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 2＋4y 2＝4，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，则Δ＝16>0，由求根公式得x ＝－16k 2＋162(1＋4k 2)＝2－8k 21＋4k 2或x ＝－16k 2－162(1＋4k 2)＝－2－8k 21＋4k 2(舍去)， 所以E (2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2)， 从而直线BE 的方程为y ＝－14k(x －2)， 联立方程组⎩⎨⎧ y ＝－14k (x －2)，x ＝103，解得N (103，－13k)， 所以MN ＝16k 3＋13k ≥2 16k 3·13k ＝83， 当且仅当k ＝14时取“＝”， 因此，线段MN 长度的最小值为83. (3)由(2)知，k ＝14时线段MN 的长度最小， 此时E (65，45)，BE ＝425， 因为△TBE 的面积S ＝15， 所以点T 到直线BE 的距离d ＝2S BE ＝24， 因为直线BE 的方程为x ＋y －2＝0，设过点T 且与直线BE 平行的直线m 的方程为 x ＋y ＋t ＝0(t ≠－2)，由两平行线之间的距离为24， 得|t ＋2|2＝24，解得t ＝－32或t ＝－52， 当t ＝－32时，直线m 的方程为x ＋y －32＝0， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －32＝0，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得5x 2－12x ＋5＝0，显然判别式Δ>0，故点T 有2个；当t ＝－52时，直线m 的方程为x ＋y －52＝0， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －52＝0，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得5x 2－20x ＋21＝0，显然判别式Δ<0，故点T 不存在．所以，椭圆C 上存在两个点T ，使得△TBE 的面积为15. 5．(1)解 由已知a ＝1得F (1,0)为焦点，l ：x ＝－1为准线．如图，点C 为准线l 与x 轴的交点，因为点O 为FC 的中点且OR ∥PC ， 所以R 为线段PF 的中点，又因为RQ ⊥PF ，所以RQ 为PF 的垂直平分线，可知 PQ ＝QF .根据抛物线定义得，点Q 在抛物线E ：y 2＝4x 上．(2)证明 由图形的对称性可知定点在x 轴上，设定点为K (m,0)，直线AB 的方程为x ＝ty ＋a (t ≠0)，代入y 2＝4x ，得y 2－4ty －4a ＝0.设A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4a ，又求得k OA ＝4y 1，k OB ＝4y 2， 故直线OA 的方程为y ＝4y 1x ， 直线OB 的方程为y ＝4y 2x ， 得到M (－a ，－4a y 1)，N (－a ，－4a y 2)． 由于圆恒过定点K (m,0)，根据圆的性质可知∠MKN ＝90°，即KM →·KN →＝0，又KM →＝(－a －m ，－4a y 1)，KN →＝(－a －m ，－4a y 2)， 所以(－a －m )2＋16a 2y 1y 2＝0⇒(a ＋m )2－4a ＝0， 所以m ＝±2a －a .故以MN 为直径的圆恒过定点(2a －a,0)，(－2a －a,0)．。
2018版高考数学全国用,理科专题复习：专题9 平面解析
1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．(2016·天津红桥区一模)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 3．(2017·兰州质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1||PF 2|＝a 2，则该椭圆的离心率为( ) A.34B.32C.22D.124．(2016·衡水模拟)已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 的坐标为( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)5．(2016·三明模拟)设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．30B ．25C ．24D ．406．(2017·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 7．(2016·衡水冀州中学月考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为 ( ) A. 2 B.72 C ．2 D.748．已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 二、填空题9．(2016·池州模拟)已知M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________．10．(2016·豫北六校联考)如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为____________．11．(教材改编)已知点P (x ，y )在曲线x 24＋y 2b2＝1(b >0)上，则x 2＋2y 的最大值f (b )＝__________________.(用含b 的代数式表示)12．(2016·合肥一模)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________________.答案精析1．A [由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]2．C [由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22， 故b ＝(22)2－22＝2，因为焦点在y 轴上，故选C.]3．C [由|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1||PF 2|＝a 2，可得点P 是椭圆的短轴端点， 即P (0，±b )，故b ＝12×2c ＝c ， 故a ＝2c ，即离心率e ＝c a ＝22，故选C.] 4．D [由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2，即P (0，－1)或P (0,1)时，取“＝”．]5．C [∵|PF 1|＋|PF 2|＝14，又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.] 6．A [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2， 联立得a 2＝8，b 2＝6.]7．A [由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，所以b ＝a 2－c 2＝3c ， 则方程ax 2＋2bx ＋c ＝0为2x 2＋23x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝12， 则点P (x 1，x 2)到原点的距离为 d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝3－1＝2，故选A.]8．D [圆F 的方程转化为标准方程得，(x －1)2＋y 2＝12⇒F (1,0)，半径r ＝23，由已知可得|FB |＝|PF |＋|PB |＝|PF |＋|P A |＝23>2＝|AF |⇒动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆⇒a ＝3，c ＝1⇒b 2＝a 2－c 2＝2⇒动点P 的轨迹方程是x 23＋y 22＝1，故选D.] 9．8解析 依题意得，a ＝2，M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆的左焦点F (－3,0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8.10.x 24＋y 22＝1 解析 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则A (a,0)，B (0，b )， C ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，F (a 2－b 2，0)， 依题意，得a 2－b 2＝2，所以M ⎝⎛⎭⎫2，b a a 2－2， 由于O ，C ，M 三点共线，所以b a a 2－22＝b 2a 2， 即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2，所以所求的椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. 11.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4，0<b ≤4，2b ，b >4 解析 由x 24＋y 2b 2＝1，得x 2＝4⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2，令T ＝x 2＋2y ，将其代入得T ＝4－4y 2b2＋2y . 即T ＝－4b 2⎝⎛⎭⎫y －b 242＋b 24＋4(－b ≤y ≤b )．当b 24≤b ，即0<b ≤4，y ＝b 24时，f (b )＝b 24＋4； 当b 24>b ，即b >4，y ＝b 时，f (b )＝2b . 所以f (b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4，0<b ≤4，2b ，b >4.12.x 25＋y 24＝1 解析 由题意可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)， 即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34， 所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A (35，45)， 易知另一切点为B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)，即c ＝1， 令x ＝0得上顶点为(0,2)，即b ＝2， 所以a 2＝b 2＋c 2＝5，故所求椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9 平面解析几何 第57练 Word版含解析
1221则直线l2的方程为________________．2．过点P(1,2)作直线l，若点A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线l的方程是________________．3．(2016·如东高级中学期中)已知直线l过直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点，且与直线x－3y＋2＝0垂直，则直线l的方程为______________．4．过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程是________________．5．光线沿直线y＝2x＋1的方向射到直线y＝x上被反射后光线所在的直线方程是________________．6．(2016·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合，则直线l与直线l1的距离是________．7．已知点P(a，b)，Q(b，a)(a，b∈R)关于直线l对称，则直线l的方程为________________．8．(2016·常州模拟)在△ABC中，点A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为____________．9．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为____________．10．(2016·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y 轴上的截距之和的最小值为________．11．(2016·苏州模拟)已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是______________________．12．在直线方程y＝kx＋b中，当x∈－3,4]时，恰好y∈－8,13]，则此直线方程为__________________．13．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为__________________．14．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________________．(2)若a＞－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积取最小值时，直线l对应的方程为________________．答案精析1．3x ＋4y －3＝02．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝03．3x ＋y ＋2＝0 4.2x ＋y －4＝05．y ＝x 2－12解析 在直线y ＝2x ＋1上取点(0,1)，(1,3)，关于直线y ＝x 的对称点(1,0)，(3,1)，过这两点的直线为y －01－0＝x －13－1，即y ＝x 2－12. 6.115解析 设直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，依题意可得l 1：a (x －3)＋b (y －5)＋c ＝0，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位得直线l ：a (x －4)＋b (y －3)＋c ＝0，故a ＝－34b ，则直线l 与直线l 1的距离d ＝|－3a －5b ＋c ＋4a ＋3b －c |a 2＋b 2＝|a －2b |a 2＋b 2＝|－34b －2b |(－34b )2＋b 2＝115. 7．x －y ＝0 解析 由题意知，k PQ ＝－1，故直线l 的斜率k ＝1，又直线l 过线段PQ 的中点M (a ＋b 2，a ＋b2)，故直线l 的方程为y －a ＋b 2＝x －a ＋b 2，即x －y ＝0.8．(－1,0)或(53，8)解析 设点C 到直线AB 的距离为h ，由题意知AB ＝(－1－3)2＋(5－2)2＝5，∴S △ABC ＝12AB ·h ＝52h ＝10，∴h ＝4，即点C 到直线AB 的距离为4.易求得直线AB 的方程为3x ＋4y －17＝0.设点C 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 0－y 0＋3＝0，|3x 0＋4y 0－17|5＝4，解得⎩⎨⎧ x 0＝－1，y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53，y 0＝8，即点C 的坐标为(－1,0)或(53，8)．9.12|ab |解析 令x ＝0，得y ＝1b ，令y ＝0，得x ＝1a ，S ＝12|1a ||1b |＝12|ab |.10．4解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.11．2x ＋y ＋1＝0解析 ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知，点P 1(a 1，b 1)的坐标满足2x ＋y ＋1＝0.∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知，点P 2(a 2，b 2)的坐标也满足2x ＋y ＋1＝0.∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0. 12．3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0解析 方程y ＝kx ＋b ，即一次函数y ＝kx ＋b ，由一次函数单调性可知：当k ＞0时，函数为增函数，∴⎩⎨⎧ －3k ＋b ＝－8，4k ＋b ＝13，解得⎩⎨⎧ k ＝3，b ＝1.当k ＜0时，函数为减函数，∴⎩⎨⎧ 4k ＋b ＝－8，－3k ＋b ＝13，解得⎩⎨⎧ k ＝－3，b ＝4.∴此直线方程为3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0.13．3x －2y ＋5＝014．(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0(2)x ＋y －2＝0解析 (1)当直线l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a ＋2＝0，解得a ＝－2. 此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M (2＋aa ＋1，0)，N (0,2＋a )，因为a ＞－1，所以S △OMN ＝12×2＋aa ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12(a＋1)＋1a＋1＋2]≥122(a＋1)·1a＋1＋2]＝2.当且仅当a＋1＝1a＋1，即a＝0时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0.。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题9 平面解析几何 第60练含解析
________________．2．已知圆x2＋y2－2x＋my－4＝0上两点M，N关于直线2x＋y＝0对称，则圆的半径为________．3．(2016²丽水一模)已知圆x2＋y2＝4，过点P(0，3)的直线l交该圆于A，B 两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最大值是________．4．已知圆心在x轴上，半径为2的圆C位于y轴的右侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆C的标准方程为________．5．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．6．过点P(12，1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为____________________．7．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是______________．8．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使AB最小，则直线l的方程是________________．9．已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________．10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y＝33x反射，反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1，l2都相切．(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标．答案精析1．2x ＋3y －1＝0 2.3 3.2 4．(x －2)2＋y 2＝2解析 设圆心为(a,0)(a ＞0)，由题意得|a |2＝2，所以a ＝2(a ＝－2舍去)，即圆C 的圆心为C (2,0)，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2. 5．10 2解析 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)， 故EF ＝ 5.∴BD ＝210－(5)2＝25， ∴S 四边形ABCD ＝12AC ²BD ＝10 2.6．2x －4y ＋3＝0解析 设AB 的中点为D ，则cos ∠ACB ＝2cos 2∠ACD －1. 所以当cos ∠ACD 最大时，cos ∠ACB 最大，∠ACB 最小． 当斜率存在时，设l ：y －1＝k (x －12)，即kx －y ＋1－k2＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|k2＋1|k 2＋1.当CP ⊥AB 时，d 最大． 此时k CP ＝－2，所以k ＝12，所以y ＝12x ＋34；当斜率不存在时，d ＝12＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋154＝52，舍去．综上，直线l ：y ＝12x ＋34，即2x －4y ＋3＝0.7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12解析 由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0， 得(x －2)2＋(y －2)2＝18，所以r ＝3 2.如图，若圆O ′上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，则需要直线l 在如图中的l 1和l 2之间(包括l 1和l 2)，l 1和l 2为临界位置，此时圆心O ′(2,2)到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为d ＝2，从而易求l 1的倾斜角为π12，l 2的倾斜角为5π12，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12.8．x －y ＋3＝0解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使AB 最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0. 9．±1解析 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C (1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝r sin45°＝22，即d ＝1a 2＋1＝22，所以a ＝±1. 10．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)， 因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3， 所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)， 即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )， 因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上， 所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上， 所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝3， 故所求圆C 的方程为 (x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)，即y 0－42＝33²x 02，且y 0＋4x 0＝－3，解得x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)． 由题意易知，当B ′，P ，Q 三点共线时，PB ＋PQ 最小， 故PB ＋PQ 的最小值为B ′C －3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3 ＝221－3，由⎩⎨⎧y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P (32，12)， 故PB ＋PQ 的最小值为221－3， 此时点P 的坐标为(32，12)．。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9 平面解析几何 第64练 Word版含解析
原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________． 2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP→＝4FQ →，则QF ＝____________. 3．已知抛物线C ：y 2＝4x ，顶点为O ，动直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，则OA →·OB→的值为________．4．(2016·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AFBF ＝________.5．(2016·无锡模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则抛物线的方程是______________．6．(2016·黑龙江哈尔滨三中一模)直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝23，则l 过定点________．7．(2016·常州模拟)如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为抛物线C 上的点，以F 为圆心，p2为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ，∠AFO ＝120°，A 在y 轴上的投影为N ，则∠ONB ＝________.8．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．9．(2016·福建质检)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作PP1，QQ1垂直于抛线物的准线于P1，Q1，若PQ＝2，则四边形PP1Q1Q的面积是________．10．(2016·镇江模拟)已知过拋物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O是坐标原点，AF＝2，则BF＝______，△OAB的面积是________．11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．12．(2016·石家庄质量检测二)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点．若tan∠AMB＝22，则AB＝________.13．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB＝8，AF＜BF，则BF＝________.14．(2016·扬州中学月考)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，并且△ABC的重心是抛物线的焦点，BC边所在的直线方程为4x＋y－20＝0，则抛物线的方程为__________．答案精析1.92 2.3 3.5 4.13解析 设抛物线的准线为l ：x ＝－p2，设FB ＝m ，F A ＝n ，过A ，B 两点向准线l 作垂线AC ，BD ，由抛物线定义知AC ＝F A ＝n ，BD ＝FB ＝m ， 过B 作BE ⊥AC ，E 为垂足， AE ＝CE －AC ＝BD －AC ＝m －n ， AB ＝F A ＋FB ＝n ＋m .在Rt △ABE 中，∠BAE ＝60°， cos60°＝AE AB ＝m －n m ＋n ＝12，即m ＝3n . 故AF BF ＝n m ＝m3m ＝13. 5．y 2＝3x解析 分别过点A ，B 作准线的垂线AE ，BD ，分别交准线于点E ，D ，则BF ＝BD ， ∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BD ， ∴∠BCD ＝30°，又AE ＝AF ＝3，∴AC ＝6， 即点F 是AC 的中点， 根据题意得p ＝32， ∴抛物线的方程是y 2＝3x . 6．(－3,0)解析 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋b ，得k 2x 2＋(2kb －2)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb －2k 2，x 1x 2＝b 2k 2.由k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝23，得2x 1x 2－3y 1y 2＝2x 1x 2－3(kx 1＋b )·(kx 2＋b )＝(2－3k 2)x 1x 2－3kb (x 1＋x 2)－3b 2＝0，代入可得b ＝3k ，所以y ＝kx ＋3k ＝k (x ＋3)，所以直线l 一定过点(－3,0)． 7．30°解析 因为点A 到抛物线C 的准线的距离为AN ＋p2，点A 到焦点F 的距离为AB ＋p2，所以AN ＝AB ，因为∠AFO ＝120°，所以∠BAN ＝60°，所以在△ABN 中，∠ANB＝∠ABN ＝60°，则∠ONB ＝30°. 8．2解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 于点M 1，则MM 1＝AA 1＋BB 12.因为AB ≤AF ＋BF (F 为抛物线的焦点)，即AF ＋BF ≥6，所以AA 1＋BB 1≥6,2MM 1≥6，MM 1≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2. 9．1解析 由题意得，四边形PP 1Q 1Q 为直角梯形，PP 1＋QQ 1＝PQ ＝2，P 1Q 1＝PQ ·sin30°＝1，∴S ＝PP 1＋QQ 12·P 1Q 1＝1. 10．2 2解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴， ∴BF ＝AF ＝2，AB ＝4.故△OAB 的面积S ＝12AB ·OF ＝12×4×1＝2. 11．2 6解析 如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ， 得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6， 故水面宽为26米．12．8解析 根据对称性，如图所示，不妨设l ：x ＝my ＋1(m ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝y 214·y 224＝1，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2. ∵tan ∠AMB ＝tan(∠AMF ＋∠BMF )， ∴y 1x 1＋1＋－y 2x 2＋11－y 1x 1＋1·－y 2x 2＋1＝22，即y 1(my 2＋2)－y 2(my 1＋2)(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝22，解得y 1－y 2＝42m 2， ∴4m 2＋1＝42m 2， 解得m 2＝1(负值舍去)，∴AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝4m 2＋4＝8.13．4＋2 2解析 由y 2＝4x ，得焦点F (1,0)．又AB ＝8，故AB 的斜率存在(否则AB ＝4)．设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，故x 1＋x 2＝2＋4k2，由AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝2＋4k 2＝6，即k 2＝1，则x 2－6x ＋1＝0，又AF ＜BF ，所以x 1＝3－22，x 2＝3＋22，故BF ＝x 2＋1＝3＋22＋1＝4＋2 2. 14．y 2＝16x解析 设抛物线的方程为y 2＝2px ， 由⎩⎨⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2px ，可得2y 2＋py －20p ＝0， 由Δ＞0，得p ＞0或p ＜－160， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－p2，所以x 1＋x 2＝5－y 14＋5－y 24 ＝10－14(y 1＋y 2)＝10＋p 8，设A (x 3，y 3)，由三角形重心为F (p2，0)，可得x 1＋x 2＋x 33＝p 2，y 1＋y 2＋y 33＝0，所以x 3＝11p 8－10，y 3＝p2， 因为A 在抛物线上， 所以(p 2)2＝2p (118p －10)，从而p ＝8，所以所求抛物线的方程为 y 2＝16x .。
2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第63练双曲线练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第63练 双曲线练习 理1．(2016·泰州一模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2－y 2＝1的实轴长为________．2．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________________．3．(2016·南京模拟)设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若PF 1＝3，则PF 2＝________.4．(2016·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左，右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为________． 5．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3)，则此双曲线的方程为________________．6．(2016·杭州第一次质检)设双曲线x 24－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l交双曲线左支于A ，B 两点，则BF 2＋AF 2的最小值为________．7．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点．若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．8．(2016·苏、常、锡、镇联考)已知圆O 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0都内切于动圆，则动圆圆心的轨迹方程是____________________________．9．(2016·南通一模)已知双曲线x 2－y 22＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离d ＝________.10．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为________．11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则b 2＋13a的最小值是________．12．(2016·安徽江南十校联考)以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左，右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝________.13．(2016·扬州二模)圆x 2＋y 2＝4与y 轴交于点A ，B ，以A ，B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左边的交点分别为C ，D ，当梯形ABCD 的周长最大时，此双曲线的方程为________________．14．(2016·淮北一模)称离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)为黄金双曲线，如图是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0，c ＝a 2＋b 2)的图象，给出以下几个说法：①双曲线x 2－2y25＋1＝1是黄金双曲线； ②若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；③若F 1，F 2为左，右焦点，A 1，A 2为左，右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点F 2，且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为________．答案精析1．2 2 2.x 24－y 25＝1 3.7 4.25.y 29－x 216＝1 解析 由题意可知c ＝32＋42＝5， ∴a 2＋b 2＝c 2＝25，①又点(4,3)在y ＝a b x 上，故a b ＝34，②由①②解得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线的方程为y 29－x 216＝1. 6．11解析 由双曲线定义可得AF 2－AF 1＝2a ＝4，BF 2－BF 1＝2a ＝4，两式相加可得AF 2＋BF 2＝AB ＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而AB min ＝2b2a＝3，故AF 2＋BF 2＝AB ＋8≥3＋8＝11. 7. 3解析 不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义知PF 1－PF 2＝2a ， 又因为PF 1＋PF 2＝6a ， 所以PF 1＝4a ，PF 2＝2a ，因为PF 1＞PF 2，所以∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2·cos 30°， 即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，所以c 2－23ac ＋3a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3. 8.x 294－y 2914＝1(x ≥32) 解析 圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0， 即为(x －5)2＋y 2＝16，所以圆O 2的圆心为O 2(5,0)，半径r 2＝4，而圆O 1：(x ＋5)2＋y 2＝1的圆心为O 1(－5,0)，半径r 1＝1，设所求动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，则r ＝O 1M ＋1且r ＝O 2M ＋4，所以O 1M －O 2M ＝3，所以动点M 到定点O 1及O 2的距离的差为3，且O 1O 2＝10＞3， 所以点M 的轨迹为双曲线的右支， 且实轴长2a ＝3，焦距2c ＝10， 即所求动圆圆心的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≥32)． 9.233解析 根据题意可知S △F 1MF 2＝12|F 1F 2→|·d＝12|MF 1→|·|MF 2→|， 利用条件及双曲线定义得 ⎩⎪⎨⎪⎧||MF 1→|－|MF 2→||＝2，|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝12，解方程组可得|MF 1→|·|MF 2→|＝4， 所以所求的距离d ＝423＝233.10.10解析 由题意可知，经过右顶点A 的直线方程为y ＝－x ＋a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a ＋b.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a －b.因为b ＞a ＞0，所以a 2a －b＜0，且a 2a ＋b＞0，又点B 的横坐标为等比中项，所以点B 的横坐标为a 2a －b，则a ·a 2a ＋b＝(a 2a －b )2，解得b ＝3a ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝10. 11.233解析 c a ＝2⇒c 2a 2＝4⇒a 2＋b 2＝4a 2⇒3a 2＝b 2，则b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a≥2a ·13a ＝233，当且仅当a ＝13a，即a ＝33时，b 2＋13a 取得最小值233.12．2解析 双曲线方程为x 24－y 25＝1，PF 1－PF 2＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，得F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得， △F 1PF 2的内心在直线x ＝2上， 所以点M (2,1)就是△F 1PF 2的内心， 故S △PMF 1－S △PMF 2 ＝12(PF 1－PF 2)×1 ＝12×4×1＝2. 13.y 24－23－x 223＝1 解析 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，C (x ′，y ′)(x ′＜0，y ′＞0)， BC ＝t (0＜t ＜22)．如图，连结AC ， ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°， 作CE ⊥AB 于E ，则BC 2＝BE ·BA ， ∴t 2＝4(2－y ′)， 即y ′＝2－14t 2.∴梯形的周长l ＝4＋2t ＋2y ′ ＝－12t 2＋2t ＋8＝－12(t －2)2＋10，∴当t ＝2时，l 最大． 此时，BC ＝2，AC ＝23，又点C 在双曲线的上支上，且A ，B 为焦点， ∴AC －BC ＝2a ，即2a ＝23－2， ∴a ＝3－1， ∴b 2＝23，∴所求方程为y 24－23－x 223＝1.14．①②③④ 解析 ①双曲线x 2－2y25＋1＝1， a 2＝1，c 2＝1＋5＋12＝5＋32， ∴e ＝c a＝5＋32＝5＋12， ∴命题①正确；②若b 2＝ac ，c 2－a 2＝ac ，∴e ＝5＋12， ∴命题②正确；③B 1F 21＝b 2＋c 2，B 1A 2＝c ， 由∠F 1B 1A 2＝90°， 得b 2＋c 2＋c 2＝(a ＋c )2， 即b 2＝ac ，e ＝5＋12， ∴命题③正确； ④若MN 经过右焦点F 2，且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则c ＝b 2a，即b 2＝ac ，e ＝5＋12， ∴命题④正确．综上，正确命题的序号为①②③④.。
江苏2018版高考数学复习第九章平面解析几何9.7抛物线教师用书文苏教版
9.7 抛物线1.抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离PF ＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.2.y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角). (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )1.(2016·四川改编)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是______. 答案 (1,0)解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0).2.(2017·苏州模拟)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝______.答案 1解析 由抛物线的定义，可得AF ＝x 0＋14，∵AF ＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1.3.(2016·苏州模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝________.答案 －34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知过焦点的直线斜率不为0， 设其直线方程为x ＝ky ＋12，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋12，y 2＝2x ，得y 2－2ky －1＝0，y 1y 2＝－1，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 1y 224＋y 1y 2＝14－1＝－34.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0). 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5.(2017·南京月考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为___. 答案 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p2＝4，解得p ＝2.题型一 抛物线的定义及应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________. 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则P1Q＝P1F.则有PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4.即PB＋PF的最小值为4.引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求PB＋PF的最小值.解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.因为PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离，所以PB＋PF≥BF＝42＋22＝16＋4＝25，即PB＋PF的最小值为2 5.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝PF－1，所以d1＋d2＝d2＋PF－1.易知d2＋PF的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋PF的最小值为|1＋5|12＋－2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连结AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－－2＋－2＝ 5.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为__________. 答案 x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式， 得1AF ＋1BF ＝ABp24＋p2AB －p ＋p24＝2p(定值).(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB .所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2016·全国乙卷改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C的准线于D ，E 两点.已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________. (2)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为3，延长PF 交抛物线于Q ，若O 为坐标原点，则S △OPQ ＝________. 答案 (1)4 (2)322解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0， ① 点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＝r 2， ③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为4. (2)如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0).又PF ＝3，由抛物线定义知：点P 到准线x ＝－1的距离为3， ∴点P 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8， 由图知点P 的纵坐标y ＝22，∴P (2,22)，∴直线PF 的方程为y ＝22(x －1). 方法一 联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知Q (12，－2)，∴S △OPQ ＝12·OF ·|y P －y Q |＝12×1×|22＋2|＝322. 方法二 将y ＝22(x －1)代入y 2＝4x ， 得2x 2－5x ＋2＝0，∴x 1＋x 2＝52，∴PQ ＝x 1＋x 2＋p ＝92，O 到PQ 的距离d ＝223， ∴S △OPQ ＝12·PQ ·d ＝12×92×223＝32 2.题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.(1)证明 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去).设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)， 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1(x ≠1).思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(2016·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x2＝4y 的焦点为F ，定点A (22，0)，若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________. 答案 1∶3解析 由题意得F (0,1)， ∴直线AF 的方程为x 22＋y1＝1，将它与抛物线方程联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝2，又交点在第一象限，∴M (2，12)，准线方程为y ＝－1.故易求得N (42，－1).∴由三角形相似性质得FM MN ＝1－1212－－＝13.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (16分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0. 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1my ，∴它的焦点F (0，14m).[2分] (2)∵RF ＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在实数m ，使△ABQ 定以Q 为直角顶点的直角三角形.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y ，得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12. [7分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m. (*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m ).[9分]得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m)，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，[12分]结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞).∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形.[16分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.(2017·盐城模拟)若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝________. 答案 14解析 因为抛物线的标准方程为x 2＝1ay ，所以其焦点坐标为(0，14a )，则有14a ＝1，a ＝14.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为______________. 答案 x ＝－1解析 ∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3.(2016·淮安模拟)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为________. 答案 2解析 直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线， 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ， 过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线， 和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2. 4.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________. 答案 －4解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝p ＋2pk 2，∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 5.(2016·苏州一模)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若AF ＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为________. 答案 3解析 设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)， 则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，则y 1＝42， 则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22x －，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝42或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－22，则B (1，－22)，∴BF ＝1＋2＝3，BC ＝9，∴λ＝3.6.(2016·镇江模拟)已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若FA ＝2FB ，则k 的值为________.答案223解析 抛物线C 的准线为l ：x ＝－2， 直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，由FA ＝2FB ，得AM ＝2BN ，从而点B 为AP 的中点，连结OB ，则OB ＝12AF ，所以OB ＝BF ，从而点B 的横坐标为1，点B 的坐标为(1,22)， 所以k ＝22－01－－＝223.7.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0.方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得AB ＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12. 8.(2016·宿迁模拟)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则NF ∶FM ＝________. 答案 1∶2解析 由题意知直线l 的方程为y ＝22(x －p2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22x －p2，得4x 2－5px ＋p 2＝0，∴N (p 4，－22p )，∴NF ＝p 4＋p 2＝34p ，MF ＝p ＋p 2＝32p ，∴NF ∶FM ＝1∶2.9.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________.答案 43解析 抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点F (1,0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0＋1＝5，所以x 0＝4，所以y 20＝4x 0＝16，y 0＝4，从而点A (4,4)，直线AF 的斜率为k ＝4－04－1＝43.10.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB ＝________.答案 6解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，c ＝2，c a ＝12，可得a ＝4，b 2＝16－4＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3. 从而AB ＝6.11.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为__________. 答案 (2，±22)解析 如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF ＝AM ，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMFS △AOF ＝12·AF ·AM ·sin∠MAF 12·OF ·AF π－∠MAF＝3，∴AF ＝AM ＝3，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0， ∴y 204＋1＝3，∴y 204＝2，y 0＝±22，∴点A 的坐标是(2，±22).12.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________. 答案 (2,4) 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2).当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条. 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上.将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3.因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.13. (2016·江苏苏北四市期中)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)过点(2,1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A ′，连结A ′B.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 解 (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程得2p ＝4， 解得p ＝2，∴抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(2)若直线l 斜率不存在，则显然不成立，则直线l 的斜率k 一定存在. 设直线l 的方程为y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ′(－x 1，y 1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1，得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ，∴k A ′B ＝y 2－y 1x 2－－x 1＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，∴y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝x 2－x 14x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，∴直线A ′B 过定点(0,1).。
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1．(2016·泰州一模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的实轴长为________．2．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________________．3．(2016·南京模拟)设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若PF 1＝3，则PF 2＝________. 4．(2016·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左，右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为________． 5．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3)，则此双曲线的方程为________________．6．(2016·杭州第一次质检)设双曲线x 24－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则BF 2＋AF 2的最小值为________． 7．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点．若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________． 8．(2016·苏、常、锡、镇联考)已知圆O 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0都内切于动圆，则动圆圆心的轨迹方程是____________________________．9．(2016·南通一模)已知双曲线x 2－y 22＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离d ＝________.10．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为________．11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值是________． 12．(2016·安徽江南十校联考)以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左，右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝________.13．(2016·扬州二模)圆x 2＋y 2＝4与y 轴交于点A ，B ，以A ，B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左边的交点分别为C ，D ，当梯形ABCD 的周长最大时，此双曲线的方程为________________．14．(2016·淮北一模)称离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)为黄金双曲线，如图是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0，c ＝a 2＋b 2)的图象，给出以下几个说法：①双曲线x 2－2y 25＋1＝1是黄金双曲线；②若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；③若F 1，F 2为左，右焦点，A 1，A 2为左，右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点F 2，且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为________．答案精析1．22 2.x 24－y 25＝1 3.7 4.2 5.y 29－x 216＝1解析 由题意可知c ＝32＋42＝5， ∴a 2＋b 2＝c 2＝25，①又点(4,3)在y ＝a b x 上，故a b ＝34，② 由①②解得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线的方程为y 29－x 216＝1. 6．11解析 由双曲线定义可得AF 2－AF 1＝2a ＝4，BF 2－BF 1＝2a ＝4，两式相加可得AF 2＋BF 2＝AB ＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而AB min ＝2b 2a ＝3，故AF 2＋BF 2＝AB ＋8≥3＋8＝11. 7. 3解析 不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义知PF 1－PF 2＝2a ， 又因为PF 1＋PF 2＝6a ， 所以PF 1＝4a ，PF 2＝2a ，因为PF 1＞PF 2，所以∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2·cos30°， 即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，所以c 2－23ac ＋3a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3. 8.x 294－y 2914＝1(x ≥32) 解析 圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0， 即为(x －5)2＋y 2＝16，所以圆O 2的圆心为O 2(5,0)，半径r 2＝4，而圆O 1：(x ＋5)2＋y 2＝1的圆心为O 1(－5,0)，半径r 1＝1，设所求动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，则r ＝O 1M ＋1且r ＝O 2M ＋4， 所以O 1M －O 2M ＝3，所以动点M 到定点O 1及O 2的距离的差为3，且O 1O 2＝10＞3， 所以点M 的轨迹为双曲线的右支， 且实轴长2a ＝3，焦距2c ＝10， 即所求动圆圆心的轨迹方程为 x 294－y 2914＝1(x ≥32)． 9.233解析 根据题意可知 S △F 1MF 2＝12|F 1F 2→|·d ＝12|MF 1→|·|MF 2→|， 利用条件及双曲线定义得 ⎩⎪⎨⎪⎧||MF 1→|－|MF 2→||＝2，|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝12，解方程组可得|MF 1→|·|MF 2→|＝4， 所以所求的距离d ＝423＝233.10.10解析 由题意可知，经过右顶点A 的直线方程为y ＝－x ＋a ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a ＋b .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a －b.因为b ＞a ＞0，所以a 2a －b ＜0，且a 2a ＋b ＞0，又点B 的横坐标为等比中项，所以点B 的横坐标为a 2a －b ，则a ·a 2a ＋b ＝(a 2a －b )2，解得b ＝3a ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝10.11.233解析 c a ＝2⇒c 2a 2＝4⇒a 2＋b 2＝4a 2⇒3a 2＝b 2，则b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥2a ·13a ＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时，b 2＋13a 取得最小值233.12．2解析 双曲线方程为x 24－y 25＝1， PF 1－PF 2＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M →|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，得F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得， △F 1PF 2的内心在直线x ＝2上， 所以点M (2,1)就是△F 1PF 2的内心， 故S △PMF 1－S △PMF 2 ＝12(PF 1－PF 2)×1 ＝12×4×1＝2. 13.y 24－23－x 223＝1 解析 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，C (x ′，y ′)(x ′＜0，y ′＞0)， BC ＝t (0＜t ＜22)． 如图，连结AC ， ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°，作CE ⊥AB 于E ， 则BC 2＝BE ·BA ， ∴t 2＝4(2－y ′)， 即y ′＝2－14t 2.∴梯形的周长l ＝4＋2t ＋2y ′ ＝－12t 2＋2t ＋8＝－12(t －2)2＋10， ∴当t ＝2时，l 最大． 此时，BC ＝2，AC ＝23，又点C 在双曲线的上支上，且A ，B 为焦点， ∴AC －BC ＝2a ，即2a ＝23－2， ∴a ＝3－1， ∴b 2＝23，∴所求方程为y 24－23－x 223＝1.14．①②③④解析 ①双曲线x 2－2y 25＋1＝1，a 2＝1，c 2＝1＋5＋12＝5＋32，∴e ＝c a ＝5＋32＝5＋12，∴命题①正确；②若b 2＝ac ，c 2－a 2＝ac ，∴e ＝5＋12，∴命题②正确；③B 1F 21＝b 2＋c 2，B 1A 2＝c ，由∠F 1B 1A 2＝90°，得b2＋c2＋c2＝(a＋c)2，即b2＝ac，e＝5＋1 2，∴命题③正确；④若MN经过右焦点F2，且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，则c＝b2 a，即b2＝ac，e＝5＋1 2，∴命题④正确．综上，正确命题的序号为①②③④.。