2018年高考数学[理科]模拟试[卷][三]

2018年高考数学(理科)模拟试卷(三)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)2．[2016·西安市八校联考]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．03．[2017·福建质检]已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝13，则cos x ＋cos ( π3－x )的值为( ) A ．－33 B.33 C ．－13 D.134．[2016·天津高考]设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个6．[2017·江西南昌统考]已知a ＝2－13 ，b ＝()2log 23－12 ，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a7．[2016·江苏重点高中模拟]若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n (mod m )，例如10＝4(mod 6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．17B ．16C ．15D ．138．[2017·湖北武汉调研]已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y －4≤0，2x －y －2≥0，如果目标函数z ＝y ＋1x －m的取值范围为[0,2)，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D ．(－∞，0]9．[2017·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD 、ABFE 、CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10, EF 到平面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是( )A ．110B ．116C ．118D ．12010．[2017·山西太原质检]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →11．[2017·河南郑州检测]已知点F 2、P 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若OM →＝12(OP →＋OF 2→)，OF 2→2＝F 2M →2，且2OF 2→·F 2M →＝a 2＋b 2，则该双曲线的离心率为( )A.3＋12 B.32C. 3 D ．2 3 12．[2017·山西联考]已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤5e ，2B.⎣⎡⎭⎫－52e ，－83e 2 C.⎣⎡⎭⎫－12，－83e 2 D.⎣⎡⎭⎫－4e ，－52e第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017·济宁检测]已知(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．14．[2017·惠州一调]已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n，n ∈N *，则b 2017＝________.15．[2017·河北正定统考]已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接F A ，与抛物线C 相交于点M ，延长F A ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f (x )＝x ＋sin2x .给出以下四个命题： ①∀x >0，不等式f (x )<2x 恒成立；②∃k ∈R ，使方程f (x )＝k 有四个不相等的实数根； ③函数f (x )的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n }为等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 2＝π. 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号)三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2016·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a＝4cos C ，b ＝1. (1)若A ＝90°，求△ABC 的面积； (2)若△ABC 的面积为32，求a ，c .18．[2016·广州四校联考](本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：(1)愿的概率分别为多少？(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．(1)证明DF⊥AE；(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为1414？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由．20．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足PM →·PN →＝54？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．21．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋12x 2，g (x )＝(x＋1)ln (x ＋1)－x ＋(a －1)x 2＋16x 3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2017·河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，M (－2,0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B ⎝⎛⎭⎫ρ，θ＋π3，|BM |＝1. (1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求|OA |2＋|MA |2的取值范围．23．[2016·大连高三模拟](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲若∃x 0∈R ，使关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，设满足条件的实数t 构成的集合为T .(1)求集合T ；(2)若m >1，n >1且对于∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求m ＋n 的最小值．参考答案(三)第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(0,2]∪[3，＋∞) 答案 D解析 集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)．2．[2016·西安市八校联考]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0 答案 D解析 因为2z －z ＝21＋i －1＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.3．[2017·福建质检]已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝13，则cos x ＋cos ( π3－x )的值为( ) A ．－33 B.33 C ．－13 D.13答案 B解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝12sin x ＋32cos x ＝13，所以cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝33，故选B. 4．[2016·天津高考]设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n－2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，选C.5．[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 答案 D解析 由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，D 错误．6．[2017·江西南昌统考]已知a ＝2－13 ，b ＝()2log 23－12 ，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a 答案 C解析 因为a ＝2－13 ＝⎝⎛⎭⎫12 13 ＝⎝⎛⎭⎫1416 ，b ＝()2log 23 －12 ＝3－12＝⎝⎛⎭⎫13 12 ＝⎝⎛⎭⎫12716 ，所以a >b ，排除B 、D ；c ＝14⎠⎛0πsin xdx ＝－14cos x ⎪⎪⎪π＝－14(cos π－cos0)＝12＝⎝⎛⎭⎫14 12 ，所以b >c ，所以a >b >c ，选C.7．[2016·江苏重点高中模拟]若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n (mod m )，例如10＝4(mod 6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．17B ．16C ．15D ．13 答案 A解析 当n >10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数n ＝17，故选A.8．[2017·湖北武汉调研]已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y －4≤0，2x －y －2≥0，如果目标函数z ＝y ＋1x －m的取值范围为[0,2)，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D ．(－∞，0]答案 C解析 由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z ＝y ＋1x －m的几何意义为可行域内的点(x ，y )与A (m ，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，即B (2，－1)．由题意知m ＝2不符合题意，故点A 与点B 不重合，因而当连接AB 时，斜率取到最小值0.由y ＝－1与2x －y －2＝0，得交点C ⎝⎛⎭⎫12，－1，在点A 由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围满足z ∈[0,2)，则m <12，故选C.9．[2017·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD 、ABFE 、CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10, EF 到平面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是( )A ．110B ．116C ．118D ．120 答案 D解析 如图，过点A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过点B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，连接PM ，QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V ＝15×8＝120.故选D.10．[2017·山西太原质检]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 利用平面向量的线性运算法则求解.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A.11．[2017·河南郑州检测]已知点F 2、P 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若OM →＝12(OP →＋OF 2→)，OF 2→2＝F 2M →2，且2OF 2→·F 2M →＝a 2＋b 2，则该双曲线的离心率为( )A.3＋12B.32C. 3 D ．2 3答案 A解析 设双曲线的左焦点为F 1，依题意知，|PF 2|＝2c ，因为OM →＝12(OP →＋OF 2→)，所以点M 为线段PF 2的中点．因为2OF 2→·F 2M →＝a 2＋b 2，所以OF 2→·F 2M →＝c 22，所以c ·c ·c o s ∠PF 2x ＝12c 2，所以c o s ∠PF 2x ＝12，所以∠PF 2x ＝60°，所以∠PF 2F 1＝120°，从而|PF 1|＝23c ，根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以23c －2c ＝2a ，所以e ＝c a ＝13－1＝3＋12，故选A.12．[2017·山西联考]已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤5e ，2B.⎣⎡⎭⎫－52e ，－83e 2C.⎣⎡⎭⎫－12，－83e 2D.⎣⎡⎭⎫－4e ，－52e 答案 B解析 由f (x )≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)e x ＋1，设g(x )＝mx ，h(x )＝－(3x ＋1)e x ＋1，则h ′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由h ′(x )>0，得－(3x ＋4)>0，即x <－43，由h ′(x )<0，得－(3x ＋4)<0，即x >－43，故当x ＝－43时，函数h(x )取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h(x )，y ＝g(x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足g(x )≤h(x )的整数解超过两个，不满足条件；当m <0时，要使g(x )≤h(x )的整数解只有两个，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧ h (－2)≥g (－2)，h (－3)<g (－3)，即⎩⎪⎨⎪⎧5e －1≥－2m ，8e －2<－3m ，即⎩⎨⎧m ≥－52e，m <－83e 2，即－52e ≤m <－83e 2，即实数m 的取值范围是[ －52e ，－83e2 )，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017·济宁检测]已知(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．答案 2解析 令x ＝1，可得2×(－1)＝a 0，即a 0＝－2； 令x ＝2，可得(22＋1)×0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11， 即a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝0， 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2.14．[2017·惠州一调]已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n，n ∈N *，则b 2017＝________.答案 20172018解析 ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12，∵b n ＋1＝b n 1－a 2n，∴b n ＋1＝b n 1－(1－b n )2＝12－b n ，∴1b n ＋1－1－1b n －1＝－1，又b 1＝12，∴1b 1－1＝－2，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴1b n －1＝－n －1，∴b n ＝n n ＋1.故b 2017＝20172018.15．[2017·河北正定统考]已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接F A ，与抛物线C 相交于点M ，延长F A ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．答案 2解析 依题意得焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MN |＝1∶3，所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4a＝22，解得a ＝ 2.16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f (x )＝x ＋sin2x .给出以下四个命题： ①∀x >0，不等式f (x )<2x 恒成立；②∃k ∈R ，使方程f (x )＝k 有四个不相等的实数根； ③函数f (x )的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n }为等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 2＝π. 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ③④解析 f ′(x )＝1＋2cos2x ，则f ′(x )＝0有无数个解，再结合f (x )是奇函数，且总体上呈上升趋势，可画出f (x )的大致图象为：(1)令g (x )＝2x －f (x )＝x －sin2x ，则g ′(x )＝1－2cos2x ，令g ′(x )＝0，则x ＝π6＋k π(k ∈Z )，则g ⎝⎛⎭⎫π6＝π6－32<0，即存在x ＝π6>0使得f (x )>2x ，故①错误； (2)由图象知不存在y ＝k 的直线和f (x )的图象有四个不同的交点，故②错误；(3)f (a ＋x )＋f (a －x )＝2a ＋2sin2a cos2x ，令sin2a ＝0，则a ＝k π2(k ∈Z )，即(a ，a )，其中a＝k π2(k ∈Z )均是函数的对称中心，故③正确； (4)f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 1＋a 2＋a 3＋sin2a 1＋sin2a 2＋sin2a 3＝3π， 即3a 2＋sin(2a 2－2d )＋sin2a 2＋sin(2a 2＋2d )＝3π， ∴3a 2＋sin2a 2＋2sin2a 2cos2d ＝3π， ∴3a 2＋sin2a 2(1＋2cos2d )＝3π，∴sin2a 2＝3π1＋2cos2d －31＋2cos2da 2，则问题转化为f (x )＝sin2x 与g (x )＝3π1＋2cos2d －31＋2cos2dx 的交点个数．如果直线g (x )要与f (x )有除(π，0)之外的交点，则斜率的范围在⎝⎛⎭⎫－43π，－2，而直线的斜率－31＋2cos2d 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故不存在除(π，0)之外的交点，故a 2＝π，④正确．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a＝4cos C ，b ＝1.(1)若A ＝90°，求△ABC 的面积；(2)若△ABC 的面积为32，求a ，c .解 (1)a ＋1a ＝4cos C ＝4×a 2＋b 2－c 22ab ＝2(a 2＋1－c 2)a ，∵b ＝1，∴2c 2＝a 2＋1.(2分) 又∵A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2＝c 2＋1，∴2c 2＝a 2＋1＝c 2＋2，∴c ＝2，a ＝3，(4分) ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ＝12×1×2＝22.(6分)(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝32，则sin C ＝3a .∵a ＋1a ＝4cos C ，sin C ＝3a ，∴⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫3a 2＝1，化简得(a 2－7)2＝0， ∴a ＝7，从而cos C ＝14⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝277， ∴c ＝a 2＋b 2－2bc cos C ＝7＋1－2×7×1×277＝2.(12分)18．[2016·广州四校联考](本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，(1)愿的概率分别为多少？(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．解 (1)由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P 1＝4200＝150；(2分)当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P 2＝16200＝225.(4分)(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有C 25＝10(种)，(5分)其和不低于32周的选法有(14,18)，(15,17)，(15,18)，(16,17)，(16,18)，(17,18)，共6种，由古典概型概率计算公式得P (A )＝610＝35.(7分)②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.P (ξ＝29)＝110＝0.1，P (ξ＝30)＝110＝0.1，P (ξ＝31)＝210＝0.2，P (ξ＝32)＝210＝0.2，P (ξ＝33)＝210＝0.2，P (ξ＝34)＝110＝0.1，P (ξ＝35)＝110＝0.1，因而ξ的分布列为(10分)所以E (ξ)＝29×0.1＋30×0.1＋31×0.2＋32×0.2＋33×0.2＋34×0.1＋35×0.1＝32.(12分)19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点．(1)证明DF ⊥AE ；(2)是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在，说明点D 的位置；若不存在，说明理由．解 (1)证明：因为AE ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，所以AE ⊥AB . 因为AA 1⊥AB ，AA 1∩AE ＝A ，所以AB ⊥平面A 1ACC 1.因为AC ⊂平面A 1ACC 1，所以AB ⊥AC .以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则有A (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)．(4分) 设D (x 1，y 1，z 1)，A 1D →＝λA 1B 1→且λ∈[0,1]，即(x 1，y 1，z 1－1)＝λ(1,0,0)，则D (λ，0,1)，所以DF →＝⎝⎛⎭⎫12－λ，12，－1.因为AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，所以DF →·AE →＝12－12＝0，所以DF ⊥AE .(6分)(2)假设存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414. 由题意可知平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)．(8分) 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·FE →＝0，n ·DF →＝0，因为FE →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，12，DF →＝⎝⎛⎭⎫12－λ，12，－1， 所以⎩⎨⎧－12x ＋12y ＋12z ＝0，⎝⎛⎭⎫12－λx ＋12y －z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32(1－λ)z ，y ＝1＋2λ2(1－λ)z .令z ＝2(1－λ)，则n ＝(3,1＋2λ，2(1－λ))是平面DEF 的一个法向量．(10分)因为平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414，所以|cos 〈AA 1→，n 〉|＝|AA 1→·n ||AA 1→||n |＝1414， 即|2(1－λ)|9＋(1＋2λ)2＋4(1－λ)2＝1414，解得λ＝12或λ＝74(舍去)，所以当D 为A 1B 1的中点时满足要求．故存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414，此时D 为A 1B 1的中点．(12分)20．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足PM →·PN →＝54？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝1，∵|BD |＝3，∴2b2a＝3，又a 2－b 2＝1，∴a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k (x －2)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)＋1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)>0，所以k >－12.又x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，(8分)因为PM →·PN →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝54，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2·8k (2k －1)3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54. 解得k ＝±12，因为k >－12，所以k ＝12.故存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .(12分)21．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋12x 2，g (x )＝(x＋1)ln (x ＋1)－x ＋(a －1)x 2＋16x 3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋12x 2，定义域为(－1，＋∞)，(2分)则f ′(x )＝x 2x ＋1>0，所以f (x )的单调递增区间为(－1，＋∞)，无单调递减区间．(4分)(2)由(1)知，当x ≥0时，有f (x )≥f (0)＝0，即ln (x ＋1)≥x －12x 2.g ′(x )＝ln (x ＋1)＋2(a －1)x ＋12x 2≥⎝⎛⎭⎫x －12x 2＋2(a －1)x ＋12x 2＝(2a －1)x .(6分) ①当2a －1≥0，即a ≥12时，且x ≥0时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数，且g (0)＝0，所以当x ≥0时，g (x )≥0，所以a ≥12符合题意．(8分)②当a <12时，令g ′(x )＝ln (x ＋1)＋2(a －1)x ＋12x 2＝φ(x )，φ′(x )＝1x ＋1＋2(a －1)＋x ＝x 2＋(2a －1)x ＋2a －1x ＋1，(9分)令x 2＋(2a －1)x ＋2a －1＝0，则其判别式 Δ＝(2a －1)(2a －5)>0， 两根x 1＝1－2a －(2a －1)(2a －5)2<0，x 2＝1－2a ＋(2a －1)(2a －5)2>0，当x ∈(0，x 2)时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(0，x 2)上单调递减，且φ(0)＝0，即x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<g ′(0)＝0，g (x )在(0，x 2)上单调递减，所以存在x 0∈(0，x 2)，使得g (x 0)<g (0)＝0，即当x ≥0时，g (x )≥0不恒成立，所以a <12不符合题意．综上所述，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(12分)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2017·河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，M (－2,0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B ⎝⎛⎭⎫ρ，θ＋π3，|BM |＝1. (1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求|OA |2＋|MA |2的取值范围．解 (1)设A (x ，y )，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x B ＝ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝12x －32y ， y B ＝ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝32x ＋12y ， 故B ⎝⎛⎭⎫12x －32y ，32x ＋12y .由|BM |2＝1，得⎝⎛⎭⎫12x －32y ＋22＋⎝⎛⎭⎫32x ＋12y 2＝1，整理得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.(5分)(2)圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝3＋sin α(α为参数)，则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10，所以|OA |2＋|MA |2∈[10－43，10＋43]．(10分)23．[2016·大连高三模拟](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 若∃x 0∈R ，使关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，设满足条件的实数t 构成的集合为T .(1)求集合T ；(2)若m >1，n >1且对于∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求m ＋n 的最小值． 解 (1)||x －1|－|x －2||≤|x －1－(x －2)|＝1，所以|x －1|－|x －2|≤1，所以t 的取值范围为(－∞，1]， 即T ＝{t |t ≤1}(5分)(2)由(1)知，对于∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，只需log 3m ·log 3n ≥t max ，所以log 3m ·log 3n ≥1，又因为m >1，n >1，所以log 3m >0，log 3n >0，又1≤log 3m ·log 3n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 3m ＋log 3n 22＝(log 3mn )24(log 3m ＝log 3n 时取等号，此时m ＝n )，(8分)所以(log 3mn )2≥4，所以log 3mn ≥2，mn ≥9，所以m ＋n ≥2mn ≥6，即m ＋n 的最小值为6(此时m ＝n ＝3)．(10分)。