高一数学-直线的倾斜角与斜率--直线方程应用
2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．
对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
（1）从斜截式考虑
不垂直于 x 轴和 y 轴， 且不过原点 任何位置的直线
已知直线 l1 : y k1x b1 , l2: y k2x b2 ,
l1 // l2 1 2 k1 k2 (b1 b2 ) ；
最小值时，这个最小值为
（）
A．5 13
B． 362
C．15 5
D．5＋10 2
5
二、填空题：
高一 直线倾斜角度-斜率-直线方程
11．当 a =
时，直线 l1 : x ay 2a 2 ，直线 l2 : ax y a 1平行．
12．已知△ABC 中 A (4,1) ，B (2,3) ，C (3,1) ，则△ABC 的垂心是
3、若直线 l 的倾斜角 θ 满足 tan 3 ，则 θ 的取值范围是 （
）
A、k
2
k
（k∈Z）
B、0
6
或2
C、0
3
或
2
D、0
6
或
2 3
4、k 是直线 l 的斜率，θ 是直线 l 的倾斜角，若 30°≤θ<120°，则 k 的取值范围是（ ）
以是 x 1 y 1 0 ，还可以是 4x―2y+2=0 等．） 22
要点二：直线方程的不同形式间的关系
名称 点斜式 斜截式 两点式
方程的形式 y―y1=k(x―x1)
y=kx+b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
常数的几何意义 （x1，y1）是直线上一定点，k 是斜率 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距 （x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点
BC 的方程.
（1）平行直线的设法： （2）一般地，经过点 A（x0，y0），且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(x―x0)+B(y―y0)=0． （3）类似地有：与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为 Bx―Ay+m=0（A，B 不同时为零）．
【变式 1】已知直线 l1 ：3mx+8y+3m-10=0 和 l2 ：x+6my-4=0 .问 m 为何值时: （1） l1 与 l2 平行（2） l1 与 l2 垂直.
．
13．过点 A(1,2) ，且与原点距离等于 2 的直线方程为
l1 l2 1 2
2
tan
Байду номын сангаас
1
cot
2
k1
1 k2
k1k2
1
于是与直线
y
kx
b
平行的直线可以设为
y
kx
b1
；垂直的直线可以设为
y
1 k
x
b2
．
（2）从一般式考虑：
l1 : A1x B1y C1 0,l2 : A2x B2 y C2 0
[例题分析] 例 1、△ABC 为正三角形，顶点 A 在 x 轴上，A 在边 BC 的右侧，∠BAC 的平分线在 x 轴上，求边 AB 与 AC 所
在直线的斜率。
例 2、若经过点 P（1－a，1＋a）和 Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数 a 的取值范围。
例 3、已知经过点 A（－2，0）和点 B（1，3a）的直线 1 与经过点 P（0，－1）和点 Q（a，－2a）的直线 2 互
D．若直线 l1, l2 斜率都不存在，则直线 l1, l2 一定平行。
2．直线 l1, l2 在 x 轴上的截距都是 m ，在 y 轴上的截距都是 n ，则 l1, l2 满足
（）
A．平行
B．重合
C．平行或重合 D．相交或重合
3．经过点 (2,1) 的直线 l 到 A (1,1) 、B (3,5) 两点的距离相等，则直线 l 的方程为 （ ）
x y 1 0 ，则 PB 的方程为
（）
A． x y 5 0 B． 2x y 1 0 C． 2y x 4 0 D． 2x y 7 0
7．若三条直线 l1：x－y＝0；l2：x＋y－2＝0; l3：5x－ky－15＝0 围成一个三角形，则 k 的取
于是与直线 Ax By C 0 平行的直线可以设为 Ax By D 0 ；垂直的直线可以设为 Bx Ay D 0.
【典型例题】类型一：直线的一般式方程
例 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
（1）斜率是 1 ，经过点 A（8，―2）； 2
（2）经过点 B（4，2），平行于 x 轴；
l1 l2 A1 A2 B1 B20
l1 / / l2 A1 B2
A2
B1
0且 A1C2
A2C1
0 或 B1C2
B2C1
0 ，记忆式（
A1 A2
B1 B2
C1 C2
）
l1 与 l2 重合， A1B2 A2B1 0 ， A1C2 A2C1 0 ， B1C2 B2C1 0
A． 2x y 3 0
B． x 2
C． 2x y 3 0 或 x 2
D．都不对
4．已知点 M (0,1) ，点 N 在直线 x y 1 0 上，若直线 MN 垂直于直线 x 2y 3 0 ，
则点 N 的坐标是
（）
A． (2,1)
B． (2,3)
当
B≠0
时，方程可变形为
y
A B
x
C B
，它表示过点
0,
C B
，斜率为
A B
的直线．
当 B=0，A≠0 时，方程可变形为 Ax+C=0，即 x C ，它表示一条与 x 轴垂直的直线． A
2
高一 直线倾斜角度-斜率-直线方程
2．在平面直角坐标系中，一个关于 x、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对 应着无数个关于 x、y 的一次方程（如斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1 的直线，其方程可以是 2x―y+1=0，也可
3k 3
A、
3
3 k 1 B、 3
5、下列说法正确的有（ ） ①若两直线斜率相等，则两直线平行；
k 3 C、 k 3 或 3
k 3 D、 3
②若 1 ∥ 2 ，则 k1=k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。
适用范围 不垂直于 x 轴 不垂直于 x 轴 不垂直于 x 轴和 y 轴
截距式 一般式
x y 1 ab
Ax+By+C=0（A2+B2≠0）
a 是直线在 x 轴上的非零截距，b 是直 线在 y 轴上的非零截距 A、B、C 为系数
要点三：直线方程的综合应用
1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
轴反射，这时反射光线恰好过点 D（－1，6）．求 BC 所在直线的方程．
4
Y 一、选择题：
高一 直线倾斜角度-斜率-直线方程
1．下列说法正确的是
（）
A．若直线 l1, l2 的斜率相等，则直线 l1, l2 一定平行；
B．若直线 l1, l2 平行，则直线 l1, l2 斜率一定相等；
C．若直线 l1, l2 中，一个斜率不存在，另一斜率存在，则直线 l1, l2 一定相交；
.
10、已知点 M（2，2）和 N（5，－2），点 P 在 x 轴上，且∠MPN 为直角，求点 P 的坐标。
11、求证：A（1，－1），B（―2，―7），C（0，－3）三点共线。
12、已知 A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点 D，使直线 CD⊥AB，且 CB∥AD。
要点一：直线方程的一般式：Ax+By+C=0， (其中 A、B 不全为零) 1．A、B 不全为零才能表示一条直线，若 A、B 全为零则不能表示一条直线.
直线的倾斜角与斜率
高一 直线倾斜角度-斜率-直线方程
一、直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的概念：（1）倾斜角： x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角叫做直线 的倾斜角。 （2）倾斜角的范围：当 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°因此 0°≤＜180°。
2、直线的斜率 （1）斜率公式：k=tan（≠90°）
值范围是
（）
A．kR 且 k 5 且 k 1
B．kR 且 k 5 且 k －10
C．kR 且 k 1 且 k 0
D．kR 且 k 5
8．点 P(m n,m) 到直线 x y 1的距离为 mn
（）
A． m2 n2
B． m2 n2
【变式 2】 求经过点 A（2，1），且与直线 2x+y―10=0 垂直或者平行的直线 l 的方程．
类型二：直线与坐标轴形成三角形问题
例 4．已知直线 l 的倾斜角的正切值为 0.8，且它与坐标轴围成的三角形的面积为 6，求直线 l 的方程．
类型三：直线方程的实际应用 例 6．一条光线从点 A（－4，－2）射出，到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y
直线的倾斜角和斜率直线方程的点斜式直线方程的斜截式
直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式一. 教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线： 定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。
（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。
满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。
2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。
规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。
范围：0°≤α＜180° 注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。
（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。
（3）应特别注意倾斜角的范围［0，π）。
（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。
3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。
符号：常用k 表示，即k ＝tan α。
注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。
（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。
（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。
4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。
yx O α α P 1 P 2yx Oα α P 1 P 2PyxO α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。
高一数学知识点总结_直线与方程知识点
⾼⼀数学知识点总结_直线与⽅程知识点⾼⼀数学怎么学?多预习，预习还可以培养⾃⼰的⾃学能⼒。
今天⼩编在这给⼤家整理了⾼⼀数学知识点总结，接下来随着⼩编⼀起来看看吧!⾼⼀数学知识点总结(⼀)直线的倾斜⾓与斜率定义：x轴正向与直线向上⽅向之间所成的⾓叫直线的倾斜⾓。
特别地，当直线与x轴平⾏或重合时，我们规定它的倾斜⾓为0度。
范围：倾斜⾓的取值范围是0°≤α<180°。
理解：(1)注意“两个⽅向”：直线向上的⽅向、x轴的正⽅向;(2)规定当直线和x轴平⾏或重合时，它的倾斜⾓为0度。
意义：①直线的倾斜⾓，体现了直线对x轴正向的倾斜程度;②在平⾯直⾓坐标系中，每⼀条直线都有⼀个确定的倾斜⾓;③倾斜⾓相同，未必表⽰同⼀条直线。
公式：k=tanαk>0时α∈(0°，90°)k<0时α∈(90°，180°)k=0时α=0°当α=90°时k不存在ax+by+c=0(a≠0)倾斜⾓为A，则tanA=-a/b，A=arctan(-a/b)当a≠0时，倾斜⾓为90度，即与X轴垂直练习题：1.直线l经过原点和(-1，1)，则它的倾斜⾓为()A.45°B.135°C.45°或135°D.-45°【解析】选B.直线l的斜率为k==-1，所以直线的倾斜⾓为钝⾓135°.2.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜⾓为α，若将此直线绕点P按逆时针⽅向旋转45°，得到直线的倾斜⾓为α+45°，则()A.0°≤α<180°B.0°≤α<135°C.0°<α≤135°D.0°<α<135°【解析】选D.直线l与x轴相交，可知α≠0°，⼜α与α+45°都是倾斜⾓，从⽽有得0°<α<135°.3.直线l的倾斜⾓是斜率为的直线的倾斜⾓的2倍，则l的斜率为()A.1B.1C.3D.4【解析】选B.因为tanα=，0°≤α<180°，所以α=30°，故2α=60°，所以k=tan60°=.故选B.⾼⼀数学知识点总结(⼆)直线的⽅程定义：从平⾯解析⼏何的⾓度来看，平⾯上的直线就是由平⾯直⾓坐标系中的⼀个⼆元⼀次⽅程所表⽰的图形。
高考数学复习知识点讲解教案第47讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
定倾斜角 的取值范围.
π
（2）注意倾斜角的取值范围是[0, π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为 ,此
2
时直线垂直于轴.
（3）每条直线都有倾斜角，但不一定存在斜率.
变式题（1）
若直线 + − 1 = 0与连接 2,3 , −3,2 的线段总有公共点，
3.直线 + + = 0
= −, .
2
+
2
≠ 0 的一个法向量 = , ，一个方向向量
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
− 3
1.［教材改编］ 已知直线经过点 −2,0 与 −5,3 3 ,则直线的斜率 =______，
∘
1,
−
3
（答案不唯一）
120
倾斜角 =_______，一个方向向量为_____________________________.
当直线在轴、轴上的截距均不为0时,设直线的方程为
+ =
将点 −3,1 的坐标代入可得 = −2或 = −4,
此时直线的方程为 + + 2 = 0或 − + 4 = 0.故选ABC.
1或
+
−
=1 ≠0 ,
（2）
[2023·山西大学附中月考] 已知△ 的顶点 5,5 ，边上的高所在直
=
2
，
3
=
−1
4− −2
=
−1
−1
，所以
6
6
=
2
直线的倾斜角、斜率及直线的方程ppt
点斜式方程的局限性
点斜式方程只适用于已知一点和 斜率的直线，对于其他情况需要
使用其他形式的直线方程。
当直线与x轴垂直时，斜率不存 在，点斜式方程不适用。
在实际应用中，需要根据具体情 况选择合适的直线方程形式。
05 直线的两点式方程与斜率 的关系
点斜式方程
01
点斜式方程是直线方程的一种形 式，它表示通过一个固定点(x1, y1)和斜率m的直线。
02
点斜式方程可以用来求解直线的 方程，特别是当已知直线上的一 点和斜率时。
两点式方程
两点式方程是直线方程的另一种形式， 它表示通过两点(x1, y1)和(x2, y2)的 直线。
两点式方程也可以用来验证两点是否 在同一直线上。
整理得到$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$m$为直线斜率。
因此，点斜式方程为$y - y_1 = m(x - x_1)$，它是通过直线上两点坐标推导出来的。
斜率在点斜式方程中的应用
斜率$m$表示直线在坐标系上的倾斜程度，当$m > 0$时， 直线从左下到右上倾斜；当$m < 0$时，直线从左上到右下 倾斜；当$m = 0$时，直线与x轴平行。
两点式方程仅适用于已知两点坐标的情 况，对于其他情况可能不适用。
当两点坐标相同时，即直线过一个点时， 另外，当直线与坐标轴平行或重合时，
两点式方程将失去意义。
斜率不存在，此时两点式方程也无法表
示直线。
06 直线的方程在实际问题中 的应用
利用直线方程解决几何问题
确定两点间的直线方程
已知两点坐标，利用直线方程求解直线方程。
推导过程中，利用了直线上两点间斜率相等的性质，即斜率是固定的值。
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结一、倾斜角：重点：取值范围：0≤a ＜180° 二、斜率k ：1、当a ≠90°时，斜率k=tana ；2、当a=90°时，斜率k 不存在；（联系正切函数的定义域去理解）3、两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的斜率公式：）间的斜率公式：k=y 2-y 1/x 2-x 1理解：①两点间斜率要求x 1≠x 2，因为当x 1=x 2时，直线垂直于x 轴，倾斜角为90°，斜率k 不存在；在；②当x 1≠x 2且y 1=y 2时，直线垂直于y 轴，倾斜角为0°，斜率k=0 三、各表达式之间的区别与联系：名称名称公式公式备注备注点斜式点斜式y-y 0=k(x-x 0)1、联系斜率公式进行理解联系斜率公式进行理解2、已知一定点P 0（x 0，y 0）和斜率k ； 斜截式斜截式 y=kx+b 1、 联系点斜式进行理解；联系点斜式进行理解；2、 此时是已知一定点P （0，b ）和斜率k ； 3、 b 表示直线在y 轴上的截距轴上的截距 两点式两点式y-y 1/y 2-y 1=x-x 1/x 2-x 11、 两点式要求x 1≠x 2且y 1≠y 2；2、 当x 1=x 2且y 1≠y 2时，直线垂直于x轴；轴； 3、 当x 1≠x 2且y 1=y 2时，直线垂直于y 轴。
轴。
截距式截距式 x/a+y/b=1 1、 联系两点式进行理解；联系两点式进行理解；2、 点P 1（a ，0），P 2（0，b ）分别为直线与坐标轴的交点坐标；线与坐标轴的交点坐标； 一般式一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）不同时为零）1、 联系二元一次方程组的相关知识点理解；理解；2、 熟练掌握A 、B 、C 对直线位置的影响作用。
响作用。
四、斜率k与截距b对直线位置的影响：1、k对直线位置的影响：对直线位置的影响：时，直线向右上方倾斜；①当k＞0时，直线向右上方倾斜；时，直线向右下方倾斜；②当k＜0时，直线向右下方倾斜；轴；③当k=0时，此时倾斜角为0，直线平行与x轴；轴平行。
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[变式探究 2] 若将本例(2)的条件改为“经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连 接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线 l 的倾斜角 α 的取 值范围．
解析：如图所示，
kPA＝－21－－0－1＝－1，kPB＝1－2－－01＝1， 由图可得，直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是0，π4∪34π，π.
答案：2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0 解析：点 A、B 的中点为(3,2)，当直线过原点时，方程为 y＝23x， 即 2x－3y＝0. 当直线不过原点时，设直线的方程为 x＋y＝k，把中点(3,2)代入得 k＝5， 故直线方程为 x＋y－5＝0. 综上，所求直线的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
解析：由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 在 y 轴上的截 距为 2－a>0，直线 l2 在 x 轴上的截距为 a2＋2，所以四边形的面积 S ＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋145，当 a＝12时， 四边形的面积最小．
5．已知两点
A(－1,2)，B(m,3)，且
m∈－
33－1，
3－1，则直
线 AB 的倾斜角 α 的取值范围是( )
A.π6，π2 B.π2，23π C.π6，π2∪π2，23π D.π6，23π
答案：D 解析：
①当 m＝－1 时，α＝π2； ②当 m≠－1 时，
∵k＝m＋1 1∈(－∞，－
3)∪
y2－y1
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1≠x2，则 l 的斜率 k＝ x2－x1 .
3．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
两点式
一轮复习：直线的倾斜角、斜率与直线的方程
授课主题直线的倾斜角、斜率与直线的方程教学目标1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． 4．掌握两点间的距离公式．教学内容1． 平面直角坐标系中的基本公式(1)两点间的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2． 直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．(2)倾斜角的范围：[0°，180°)． 3． 直线的斜率(1)定义：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线斜率不存在；(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)．若直线的倾斜角为θ (θ≠π2)，则k ＝tan_θ.4． 直线方程的形式及适用条件名称 几何条件 方程 局限性 点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为ky －y 0＝k (x －x 0)不含垂直于x 轴的直线斜截式斜率为k ，纵截距为by ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 1≠x 2，y 1≠y 2) y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 (x 2≠x 1，y 2≠y 1) 不包括垂直于坐标轴的直线 截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ，b ≠0)x a ＋y b ＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0平面直角坐标系内的直线都适用题型一 直线的倾斜角与斜率例1、直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．方法点拨：数形结合，由斜率公式求得k P A ，k PB . 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 方法技巧求直线倾斜角与斜率问题的求解策略1．求直线倾斜角或斜率的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)． 2．先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的直线的斜率．见典例．【冲关针对训练】已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．答案 －23≤m ≤12解析 如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k P A ＝－2，k l ＝－1m ，∴－1m ≤－2或－1m ≥32，解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.题型二 直线方程的求法又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4. 此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)设所求直线l 的方程为y －1＝k (x －2)． 则可得A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)，∴截距之和为2k －1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋2 2. 此时－2k ＝－1k ⇒k ＝－22.故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即x ＋2y －2－2＝0. 方法技巧与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1．求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．2．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 【冲关针对训练】已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解 (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k <0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B (0,1－k )， 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.1.(2017·大庆模拟)两直线x m －y n ＝a 与x n －ym＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )答案 B解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.2．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( ) A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2答案 D解析 ∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.3．(2018·江西南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．105°答案 A解析 由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，2为半径的圆的一部分，如图所示． 由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2，所以S △AOB＝12×|2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A.4．(2014·四川高考)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．答案 5解析 易知A (0,0)，B (1,3)，且P A ⊥PB ，∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时取“＝”)．一、选择题1．(2018·朝阳模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 D解析 直线斜率为－33，即tan α＝－33，0≤α<π，∴α＝5π6，故选D. 2．(2017·正定质检)直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( )A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°答案 B解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.3．(2018·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3 C.2π3 D.3π4答案 DA ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C. 9．(2017·烟台期末)直线mx ＋n2y －1＝0在y 轴上的截距是－1，且它的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝－2B ．m ＝3，n ＝2C ．m ＝3，n ＝－2D ．m ＝－3，n ＝2答案 A解析 根据题意，设直线mx ＋n2y －1＝0为直线l ，另一直线的方程为3x －y －33＝0， 变形可得y ＝3(x －3)，其斜率k ＝3，则其倾斜角为60°，而直线l 的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的倾斜角为120°，且斜率k ＝tan120°＝－3，又由l 在y 轴上的截距是－1， 则其方程为y ＝－3x －1；又由其一般式方程为mx ＋n2y －1＝0，分析可得m ＝－3，n ＝－2.故选A.10．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3答案 C解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值．而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点和点(m ，n )的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小，最小值为2. 故m 2＋n 2的最小值为4.故选C. 二、填空题11．已知P (－3,2)，Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－73，－13解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a <－13. 12．(2018·石家庄期末)一直线过点A (－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．答案 x ＋3y －9＝0或y ＝4x ＋16解析 设横截距为a ，则纵截距为12－a ，直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，把A (－3,4)代入，得－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4，a ＝9.a ＝9时，直线方程为x 9＋y3＝1，整理可得x ＋3y －9＝0.a ＝－4时，直线方程为x －4＋y16＝1，整理可得4x －y ＋16＝0.综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.13．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 14．在下列叙述中：1112 ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.方法与技巧1． 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2． 求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．3． 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法． 失误与防范1． 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2． 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3． 利用一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0求它的方向向量为(－B ，A )不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的．1． 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D 解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.13。
第2章 2.2.1 直线的倾斜角与斜率-人教B版(2021)高中数学选择性必修第一册讲义
2.2 直线及其方程2.2.1直线的倾斜角与斜率学习目标核心素养1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)2．理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点) 4．直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用．(难点)5．掌握直线的方向向量和法向量．(重点) 1．通过直线的倾斜角与斜率的概念学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养．1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0°．(3)倾斜角α的范围为[0°，180°)．2．直线的倾斜角与斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上l两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：(1)当y 1＝y 2时(此时必有x 1≠x 2)，θ＝0°． (2)当x 1＝x 2时(此时必有y 1≠y 2)，θ＝90°． (3)当x 1≠x 2且y 1≠y 2时，tan θ＝y 2－y 1x 2－x 1．[提示] 成立．(4)一般地，如果直线l 的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称k ＝tan θ为直线l 的斜率，当θ＝90°时，称直线l 的斜率不存在．(5)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，当x 1≠x 2时，直线l 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1．[提示] k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝k BA ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以直线AB 的斜率与A 、B 两点的顺序无关．[提示] 不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 3．直线的方向向量(1)一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，则称向量a 为直线l 的一个方向向量，记作a ∥l ．(2)如果a 为直线l 的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa 都是l 的一个方向向量，而且直线l 的任意两个方向向量一定共线．(3)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量．[提示] (1,1)．(4)一般地，如果已知a ＝(u ，v )是直线l 的一个方向向量，则： ①当u ＝0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°．②当u ≠0时，直线l 的斜率存在，且(1，k )与a ＝(u ，v )都是直线l 的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝vu，tan θ＝vu．4．直线的法向量一般地，如果表示非零向量υ的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量υ为l的一个法向量，记作υ⊥l．[提示](2,1)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．()(3)一个倾斜角α不能确定一条直线．()(4)斜率公式与两点的顺序无关．()(5)直线的方向向量与法向量不唯一．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[提示](1)错误．除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度．(2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α．(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．(5)正确．若a为直线的方向向量，则λa(λ≠0)也是直线的方向向量．2．如图所示，直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．以上都不对C[根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°．] 3．直线l过点M(1,2)，N(2,5)，则l的斜率为()A．3B．－3C．13D．－13A[根据题意，l的斜率为5－22－1＝3．]4．直线l经过点A(2,1)和B(－5，－2)，则直线l的一个方向向量为．(－7，－3)[AB→＝(－5－2，－2－1)＝(－7，－3)．]5．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为．2或29[∵A、B、C三点共线，∴k AB＝k BC，即53－a＝9a＋75，∴a＝2或a＝29．]直线的倾斜角【例1】绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．故选D．]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．[跟进训练]1．已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角．[解]∵l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B，∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°．直线的斜率【例2】1231，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)．(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；(2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率．[思路探究]根据题意，分清直线过哪两个点，然后用斜率公式求解，要注意斜率不存在的情况．[解](1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在．设它们的斜率分别为k1，k2，k3．则由斜率公式得：k1＝－1－2－2－3＝35，k2＝－2－24－3＝－4，k3＝2－2－3－3＝0．(2)当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，此时其斜率不存在．当a≠3时，其斜率k＝3－2a－3＝1a－3．1．求斜率时要注意斜率公式的适用范围，若给出直线上两个点的坐标，首先要观察横坐标是否相同，若相同，则斜率不存在；若不相同，则可使用斜率公式．若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”．2．由例题中图可以看出：(1)当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；(2)当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；(3)当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合．[跟进训练]2．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．[解] (1)由斜率公式得 k AB ＝1－11－(－1)＝0，k BC ＝3＋1－12－1＝3．k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33．倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°． 又∵tan 0°＝0， ∴AB 的倾斜角为0°． tan 60°＝3，∴BC 的倾斜角为60°． tan 30°＝33，∴AC 的倾斜角为30°．(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3．斜率公式的应用[探究问题[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2．[提示] 能．因为A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)， 所以k AB ＝3－(－5)1－(－3)＝2，k BC ＝11－35－1＝2，所以k AB ＝k BC ，且直线AB ，BC 有公共点B ， 所以A ，B ，C 这三点在同一条直线上．【例3】 已知直线l 过点M (m ＋1，m －1)，N (2m ，1)．[思路探究] 求直线的斜率⇒直线的斜率公式． [解] (1)k MN ＝m －1－1m ＋1－2m＝1，解得m ＝32．(2)l 的倾斜角为90°，即l 平行于y 轴，所以m ＋1＝2m ，得m ＝1．1．本例条件不变，试求直线l 的倾斜角为锐角时实数m 的取值范围． [解] 由题意知 ⎩⎨⎧m －1－1m ＋1－2m ＞0，m －1≠1，解得1＜m ＜2．[解] (1)由题意知m －1－2mm ＋1－3m ＝1，解得m ＝2．(2)由题意知m ＋1＝3m ，得m ＝12．直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在．(2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(其中x 1≠x 2)进行计算．求直线的方向向量或法向量【例向量，并确定直线l 的斜率与倾斜角．[解] AB →＝(4－1,5－2)＝(3,3)是直线l 的一个方向向量．由法向量与方向向量垂直，∴法向量可以为(－1,1)．因此直线的斜率k ＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而可知θ＝45°．求方向向量和法向量的方法(1)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线上的两个不同的点，则直线l 的方向向量为AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，直线的法向量和方向向量垂直．(2)直线的方向向量和法向量不唯一．[跟进训练]3．已知直线l 经过点M (3,3)和N (2,3＋3)，求直线l 的一个方向向量和法向量，并求直线l 的斜率和倾斜角．[解] MN →＝(2－3,3＋3－3)＝(－1，3)，∴直线l 的一个方向向量为(－1，3)，由于法向量与方向向量垂直． ∴法向量v ＝(3，1)，斜率k ＝3＋3－32－3＝－3，由tan θ＝－3知θ＝120°．1．斜率公式k ＝y2－y 1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫或k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)． 2．直线的倾斜角定义及范围：0°≤α＜180°． 3．直线斜率的几何意义：k ＝tan α(α≠90°)． 4．斜率k 与倾斜角α之间的关系⎩⎨⎧α＝0°⇒k ＝tan 0°＝0，0°＜α＜90°⇒k ＝tan α＞0，α＝90°⇒tan α(不存在)⇒k 不存在，90°＜α＜180°⇒k ＝tan α＜0.1．若经过P (－2，m )和Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 等于( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 A [由题意知k PQ ＝4－m m ＋2＝1，解得m ＝1．]2．斜率不存在的直线一定是( ) A ．过原点的直线 B ．垂直于x 轴的直线 C ．垂直于y 轴的直线 D ．垂直于坐标轴的直线B [只有直线垂直于x 轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．]3．若过两点M (3，y )，N (0，3)的直线的倾斜角为150°，则y 的值为( ) A ． 3 B ．0 C ．－ 3D ．3B [由斜率公式知3－y0－3＝tan 150°，∴3－y0－3＝－33，∴y ＝0．]11 4．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率的取值范围是 ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) [设直线的倾斜角为α，斜率为k ，当0°≤α＜90°时，k ＝tan α≥0，当α＝90°时无斜率，当90°＜α＜135°时，k ＝tan α＜－1，故直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1)∪[0，＋∞)．]5．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．[解] 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2， 所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3．。
高考数学大一轮复习 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
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对点训练 △ABC 的三个顶点为 A(－3,0)，B(2,1)， C(－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 的垂直平分线 DE 的方程．
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【解】 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点， 由两点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝ 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x，y)，则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC 边的中线 AD 过点 A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式 得 AD 所在直线方程为－x3＋2y＝1，即 2x－3y＋6＝0.
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3
2．斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝_t_a_n_α__.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的 y2－y1
斜率 k＝__x_2－__x_1__.
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4
二、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 斜截式
＝
.
【答案】 －
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8
4．一条直线经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直
线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线的一般式方程
是
，斜截式方程是
．
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3
高考数学科学复习创新方案：直线的倾斜角与斜率、直线的方程
直线的倾斜角与斜率、直线的方程[课程标准]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．1．直线的方向向量设A ，B 是直线上的两点，则AB →就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴01正向与直线l 02向上的方向之间所成的角α叫做这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为030°．②倾斜角的范围为040°≤α<180°．(2)直线的斜率条件公式直线的倾斜角为α，且α≠90°k ＝05tan α直线过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2k ＝06y 2－y 1x 2－x 13.直线的方向向量同斜率的关系若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝07yx．4．直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k 与点(x 0，y 0)08y －y 0＝k (x －x 0)不含直线x ＝x 0斜截式斜率k 与直线在y 轴上的截距b09y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)10y －y1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2)截距式直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b11x a ＋y b ＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—12Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用1．直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系．α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k >0不存在k <0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的一个法向量v ＝(A ，B )，一个方向向量a ＝(－B ，A )．1．(人教A 选择性必修第一册2.1.1练习T 5改编)过A (2，4)，B (1，m )两点的直线的一个方向向量为(－1，1)，则m ＝()A ．－1B ．1C．5D．3答案C解析解法一：由题意可知m－41－2＝－1，∴m＝5.故选C.解法二：∵AB→＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5.故选C. 2．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案D解析由直线的方程得直线的斜率k＝－33，设该直线的倾斜角为α，则tanα＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π63．(人教A选择性必修第一册练习T3改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0答案D解析直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y ＋1＝0.4．(人教A选择性必修第一册习题2.2T10改编)如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析∵AC＜0，BC＜0，∴A，B同号．又直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－A B x－CB，－AB＜0，－CB＞0，∴直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限．5．(人教A 选择性必修第一册习题2.2T 7改编)过点(5，2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是________．答案2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0解析设所求直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a .①当a ＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；②当a ≠0时，设所求直线方程为x a ＋y 2a ＝1，又直线过点(5，2)，所以5a ＋22a ＝1，解得a ＝6，所以所求直线方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0.综上，所求直线方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.例1(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A ．[0，π) B.0，π4∪3π4，C.0，π4D.0，π4∪答案B解析设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.故选B.(2)(2023·湖北名校联考模拟)已知点A (2，3)，B (－3，－2)与直线l ：kx －y －k ＋1＝0，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．答案∞，34∪[2，＋∞)解析已知点A (2，3)，B (－3，－2)与直线l ：kx －y －k ＋1＝0，且直线l 与线段AB 相交，直线l ：kx －y －k ＋1＝0，即直线l ：k (x －1)－y ＋1＝0，它经过定点M (1，1)，MA 的斜率为3－12－1＝2，MB 的斜率为－2－1－3－1＝34，则直线l 的斜率k∞，34∪[2，＋∞)．直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分1.(2023·重庆南开中学模拟)已知直线l 的一个方向向量为p ＝sin π3，l 的倾斜角为()A.π6B.π3C.2π3D.4π3答案A解析由题意得，直线l 的斜率k ＝cosπ3sin π3＝33＝tan π6，即直线l 的倾斜角为π6.故选A.2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．答案13－3解析如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan45°1＋tan θtan45°＝2－11＋2＝13，k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan45°1－tan θtan45°＝2＋11－2＝－3.例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(1，2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量为v＝(－3，2)．解(1)由题可知sinα＝45，则tanα＝±43，∵直线经过点P(1，2)，∴直线的方程为y－2＝±43(x－1)，即y＝±43(x－1)＋2，整理得4x－3y＋2＝0或4x＋3y－10＝0.(2)解法一：①当截距为0时，直线过点(0，0)，(2，3)，则直线的斜率为k＝3－02－0＝3 2，因此直线的方程为y＝32x，即3x－2y＝0.②当截距不为0时，可设直线的方程为xa＋ya＝1.∵直线过点P(2，3)，∴2a＋3a＝1，∴a＝5.∴直线的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.解法二：由题意可知所求直线的斜率存在，则可设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0.令x＝0，得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－3k＋2.于是－2k＋3＝－3k ＋2，解得k＝32或k＝－1.则直线的方程为y－3＝32(x－2)或y－3＝－(x－2)，即3x－2y＝0或x＋y－5＝0.(3)＋y ＝2，x －y ＝1，＝1，＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的一个方向向量为v ＝(－3，2)，∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.求直线方程的两种方法注意：使用点斜式、截距式求直线方程时，应注意分类讨论．1.(2024·福建龙岩质检)过点A (－1，1)的直线l 的倾斜角是直线l 1：3x －y ＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程是()A.3x －y ＋3＋1＝0B.3x ＋y ＋3－1＝0C.3x －3y ＋3＋3＝0D.3x ＋3y ＋3－3＝0答案B解析由k 1＝tan α＝3，得α＝60°，所以k ＝tan120°＝－3，所以直线l 的方程是y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3－1＝0.2．经过A (0，2)，B (－1，0)两点的直线方程为________，若直线的一个方向向量为(1，k )，则k ＝________．答案2x －y ＋2＝02解析经过A (0，2)，B (－1，0)两点的直线方程为x －1＋y2＝1，即2x －y ＋2＝0，所以直线的一个方向向量为(1，2)，故k ＝2.3．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________．答案2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0解析设直线方程的截距式为xa＋1＋ya＝1，则6a＋1＋－2a＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是x3＋y2＝1或x2＋y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.多角度探究突破考向三直线方程的应用角度直线方程与不等式的结合例3过点P(4，1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解设直线l：xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4，1)，所以4a＋1b＝1.(1)因为4a ＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，S△AOB＝12ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立．所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0.角度直线方程与函数的结合例4为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB |＝100m ，|BC |＝80m ，|AE |＝30m ，|AF |＝20m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30，0)，F (0，20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF 上时，草坪面积可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )．又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m .∴S ＝(100－m －20＋23m ＝－23(m －5)2＋180503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP |∶|PF |＝5∶1.∴当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题、不等式的性质、基本不等式等)来解决．1.已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________．答案12解析由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＋154，所以当a ＝12时，四边形的面积最小．2．如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行直道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行直道的长度为多少米？解如图，建立平面直角坐标系，则P (3，4)．设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以－4k，B (0，4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k －9k因为k <0，所以－9k －16k ≥24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号．此时，A (6，0)，B (0，8)，所以人行直道的长度为62＋82＝10米．课时作业一、单项选择题1．(2023·上海松江区二模)经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是()A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝0答案A解析由于直线的方向向量为(1，2)，故直线的斜率为21＝2，故直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.故选A.2．(2024·山东滨州模拟)已知A (m ，0)，B (0，1)，C (3，－1)，且A ，B ，C 三点共线，则m ＝()A.32B.23C ．－32D ．－23答案A解析因为A ，B ，C 三点共线，且A (m ，0)，B (0，1)，C (3，－1)，所以直线的斜率存在，且k AB ＝k BC ，即1－m ＝－23，解得m ＝32.故选A.3．(2023·杭州学军中学期中)已知直线l 1：3x ＋y ＝0与直线l 2：kx －y ＋1＝0，若直线l 1与直线l 2的夹角为60°，则实数k 的值为()A.3B ．－3C.3或0D ．－2或－3答案C解析因为直线l1：3x ＋y ＝0的斜率为k ＝－3，所以其倾斜角为120°.直线l 2：kx －y ＋1＝0恒过点(0，1)，如图，若直线l 1与直线l 2的夹角为60°，则l 2的倾斜角为60°或0°，所以k ＝3或k ＝0.故选C.4．函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为()A.0，3π4B.0∪3π4，C.3π4，D.π2，3π4答案B解析设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)，∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴切线的斜率k ＝tan α≥－1，则α的取值范围为03π4，5．已知△ABC 的顶点C 的坐标为(1，1)，AC 所在直线的方向向量为(1，2)，AC 边上的中线所在的直线方程为x ＋y －1＝0，则点A 的坐标为()答案A解析设A (x 0，y 0)，AC 所在直线的方向向量为(1，2)，则AC 所在直线的斜率k ＝1－y 01－x 0＝21，∴1×(1－y 0)－2(1－x 0)＝0，得y 0＝2x 0－1，∴A (x 0，2x 0－1)，又C (1，1)，则AC x ∵AC 边上的中线所在的直线方程为x＋y －1＝0，则AC x x ＋y －1＝0上，∴1＋x 02＋x 0－1＝0，解得x 0＝13，∴点A 故选A.6．现有下列四个命题：甲：直线l 经过点(0，－1)；乙：直线l 经过点(1，0)；丙：直线l 经过点(－1，1)；丁：直线l 的倾斜角为锐角．如果只有一个假命题，则假命题是()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案C解析设A (0，－1)，B (1，0)，C (－1，1)，则k AB ＝－1－00－1＝1，k BC ＝1－0－1－1＝－12，因为k AB ≠k BC ，所以A ，B ，C 三点不共线，所以假命题必是甲、乙、丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0，而k AB >0，k BC <0，k AC <0，故丙是假命题．故选C.7．(2024·四川宜宾模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案D解析因为直线ax ＋by ＝ab 过点(1，1)，所以a ＋b ＝ab ，又因为a >0，b >0，所以1b ＋1a ＝1，所以直线x b ＋ya ＝1在x 轴与y 轴上的截距之和为b ＋a ＝(b ＋a ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b ＝2时取等号，所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.故选D.8.(2023·安徽江南十校模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立平面直角坐标系，OO 1，OO 2，OO 3，OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为()A ．0°B ．1°C ．2°D ．3°答案C解析∵O ，O 3都为五角星的中心点，∴OO 3平分第三颗小星的一个角，由五角星的内角为36°，知∠BAO 3＝18°，过O 3作x 轴的平行线O 3E ，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角约为18°－16°＝2°.故选C.二、多项选择题9．已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则()A．直线l的方程为x－3y＋3＝0B．直线l与直线l1的倾斜角互补C．直线l在y轴上的截距为1D．这样的直线l有两条答案ABC解析因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以直线l与直线l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－13，知直线l的斜率为1 3，可得直线l的方程为y－2＝13(x－3)，即直线l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；令x＝0，得y＝1，所以直线l在y轴上的截距为1，故C正确；过点P(3，2)且斜率为13的直线只有一条，故D错误．故选ABC.10．已知直线x sinα＋y cosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是()A．直线的倾斜角是π－αB．无论α如何变化，直线不过原点C．直线的斜率一定存在D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案BD解析直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，x sinα＋y cosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝π2时，直线的斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝12|1－sinα|·|1－cosα|＝1|sin2α|≥1，D正确．故选BD.11．(2023·广东珠海二模)在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，则正方形ABCD四边所在直线中过点(0，0)的直线的斜率可以是()A ．2 B.32C.34D.14答案ABD解析因为选项斜率均为正值，不妨假设AB 所在的直线过点(0，0)，设直线AB 的倾斜角为αk ，①若CD 所在的直线过点(1，0)，如图1，可得|BC |＝sin α，|CD |＝2cos α，因为|BC |＝|CD |，即sin α＝2cos α，所以k ＝tan α＝2；②若CD 所在的直线过点(2，0)，如图2，可得|BC |＝2sin α，|CD |＝3cos α，因为|BC |＝|CD |，即2sin α＝3cos α，所以k ＝tan α＝32；③若CD 所在的直线过点(4，0)，如图3，可得|BC |＝4sin α，|CD |＝cos α，因为|BC |＝|CD |，即4sin α＝cos α，所以k ＝tan α＝14.综上所述，k 的值可能为2，32，14.故选ABD.三、填空题12．若直线l 的一个方向向量为a sin π7，l 的倾斜角θ＝________．答案5π14解析∵直线l 的一个方向向量为a sin π7，∴直线l 的斜率k ＝cos π7sin π7＝sin5π14cos5π14＝tan 5π14，∴直线l 的倾斜角θ＝5π14.13．在△ABC 中，已知A (1，1)，AC 边上的高线所在的直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在的直线方程为3x ＋2y －3＝0.则BC 边所在的直线方程为________．答案2x ＋5y ＋9＝0解析由题意，得k AC ＝－2，k AB ＝23，∴l AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，l AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.x ＋y －3＝0，x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)．由x －3y ＋1＝0，－2y ＝0，得B (－2，－1)，∴l BC ：2x ＋5y ＋9＝0.14．(2023·重庆育才中学期末)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．设△ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，点P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F ，一同学已正确算得OE ＝0，则OF 的方程为________________．答案＝0解析由题意，C (c ，0)，P (0，p )，则CP 的方程为x c ＋yp＝1，同理，AB 的方程为x b ＋ya＝1，两直线方程相减，得OF 的方程为＝0.四、解答题15．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点，所以直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.16．过点Pl与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求△OAB面积的最小值以及此时直线l的方程；(2)是否存在直线l，使△OAB的周长为12？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解(1)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为xa ＋yb＝1.因为直线l过点，所以43a＋2b＝1，故1＝43a ＋2b≥283ab⇒ab≥323，故S△OAB＝12ab≥163，＝2b，＋2b＝1，＝83，＝4时取等号，此时直线l的方程为3x8＋y4＝1，故(S△OAB)min＝163，此时直线l的方程为3x＋2y－8＝0.(2)假设存在满足条件的直线l：xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，＋2b＝1，b＋a2＋b2＝12，＝4，＝3＝12 5，＝92，故存在满足条件的直线l：3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.。