第十章第2课时知能演练轻松闯关
1.1第二课时知能演练轻松闯关
1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝7，c ＝8，则角B 等于( )A ．90°B ．120°C ．60°D ．30°解析：选C.由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12， 又∵0<B <π，∴B ＝60°.2．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C.∵c 2－a 2－b 22ab>0， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0， 又∵0<C <π，∴π2<C <π， ∴△ABC 一定是钝角三角形．3．若△ABC 的三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角的度数为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．60°解析：选A.由题设，可得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，∴C ＝150°， ∴三角形的最大内角为150°4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3C.π2D.2π3解析：选B.p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C ， ∴C ＝π3. 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac tan B ＝32，即cos B tan B ＝32，sin B ＝32， ∴B ＝π3或2π3. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22accos C ＝a 2＋b 2－c 22ab∴bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝12(32＋42＋62) ＝612. 答案：6127．(2019·济宁高二检测) △ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________．解析：当B 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c >bb 2>a 2＋c 2， 即⎩⎨⎧ 3＋x >4x 2<7.∴1<x <7， 当C 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c c 2>a 2＋b 2， 即⎩⎨⎧ 3＋4>x x 2>25. ∴5<x <7.答案：1<x <7或5<x <78．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C的值为________． 解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A .即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案：359．在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝14.若a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b 、c 的值．解：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，∴16＝36－52bc .∴bc ＝8. 由⎩⎨⎧ b ＋c ＝6，bc ＝8，b <c 可求得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4. 10．(2019·广州高二检测)a ，b ，c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值；(2)求边a ，b ，c ；(3)判断△ABC 的形状．解：(1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ， 结合正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ， 整理得b 2＋c 2－a 2＝85bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45， ∴sin A ＝35. (2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0，解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a ＝3.(3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A.根据正弦定理，由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc得a 2－b 2＝6b 2即a 2＝7b 2，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.2．在△ABC 中 ，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，则第三边c 的长为________．解析：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0.∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)． ∴cos C ＝35. 根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×35＝16. ∴c ＝4，即第三边长为4.答案：43．如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解：在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， ∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32， ∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ·15cos 60°∴x 2－8x ＋15＝0，∴x ＝3或x ＝5，∴AB ＝21或AB ＝35.在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ， ∴AD ＝123或AD ＝20 3.。
命题及其关系、充分条件与必要条件复习
基础梳理 1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_________叫做命题，其中____________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题． 2.四种命题及其关系 (1)四种命题 若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是___________；否命题是____________；逆否命题是_____________．
1.本部分主要考查四种命题的概念及其相互关系，考查充分条件、必要条件、充要条件的概念及应用. 2.本部分知识具有较强的工具性，单独考查的机会不多，常与集合、几何等知识相结合命题.
本节目录
CONTENTS
教材回顾夯实双基
01
考点探究讲练互动
02
名师讲坛精彩呈现
03
知能演练轻松闯关
04
教材回顾夯实双基
知能演练轻松闯关
本部分内容讲解结束
THANK FOR YOU WATCHING
演讲人姓名
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陈述句
判断为真
判断为假
若q，则p
若¬p，则¬q
若¬q，则¬p
思考探究
1
一个命题的否命题与命题的否定是同一个命题吗？
2
提示：不是．一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论；而一个命题的否定仅是否定它的结论．
3
(2)四种命题间的关系 (3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有_______的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 ____________．
相同
没有关系
3.充分条件、必要条件与充要条件 (1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则________的充分条件，________的必要条件． (2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的 ___________，q也是p的____________．
第十章10.4知能演练轻松闯关
1．(2011·高考天津卷)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为() A．3B．4C．5 D．6解析：选B.由a＝1，i＝0→i＝0＋1＝1，a＝1×1＋1＝2→i＝1＋1＝2，a＝2×2＋1＝5→i ＝2＋1＝3，a＝3×5＋1＝16→i＝3＋1＝4，a＝4×16＋1＝65>50，∴输出4.第1题第2题2．执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()A．8 B．5C．3 D．2解析：选C.n＝4，s＝0，t＝1，k＝1，p＝1,1<4，p＝0＋1＝1，s＝1，t＝1；k＝2,2<4，p＝1＋1＝2，s＝1，t＝2；k＝3,3<4，p＝1＋2＝3，s＝2，t＝3；k＝4,4<4不成立，输出p＝3.3．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．解析：由T ＝T ＋k 可知T 是一个累加变量，原题实质为求1＋2＋3＋…＋k 的和，其和为k (k ＋1)2.令k (k ＋1)2≤105，得k ≤14.故当k ＝15时，T ＝1＋2＋3＋…＋15＝120>105，此时输出k ＝15. 答案：15第3题 第4题4．(2011·高考浙江卷)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________． 解析：初始值：k ＝2，执行“k ＝k ＋1”得k ＝3，a ＝43＝64，b ＝34＝81，a >b 不成立； k ＝4，a ＝44＝256，b ＝44＝256，a >b 不成立；k ＝5，a ＝45＝1024，b ＝54＝625，a >b 成立，此时输出k ＝5.答案：5一、选择题1．(2011·高考课标全国卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p 是( )A ．120B ．720C ．1440D ．5040解析：选B.当输入的N 是6时，由于k ＝1，p ＝1，因此p ＝p ·k ＝1.此时k ＝1，满足k <6，故k ＝k ＋1＝2.当k ＝2时，p ＝1×2，此时满足k <6，故k ＝k ＋1＝3.当k ＝3时，p ＝1×2×3，此时满足k <6，故k ＝k ＋1＝4.当k ＝4时，p ＝1×2×3×4，此时满足k <6，故k ＝k ＋1＝5.当k ＝5时，p ＝1×2×3×4×5，此时满足k <6，故k ＝k ＋1＝6.当k ＝6时，p ＝1×2×3×4×5×6＝720，此时k <6不再成立，因此输出p ＝720.2．(2011·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.由框图可知：P ＝1，S ＝1→P ＝2，S ＝32→P ＝3，S ＝116→P ＝4，S ＝2512，循环终止．输出P ＝4.3．如图是求x 1，x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S *(n ＋1)B ．S ＝S *x n ＋1C ．S ＝S *nD ．S ＝S *x n解析：选D.由题意可知，输出的是10个数的乘积，故循环体应为S ＝S *x n .4. (2012·揭阳检测)如图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x (x ≤－1)0 (－1<x ≤2)x 2 (x >2)的值的算法框图，在①、②、③处应分别填入的是( )A ．y ＝－x ，y ＝0，y ＝x 2B ．y ＝－x ，y ＝x 2，y ＝0C ．y ＝0，y ＝x 2，y ＝－xD ．y ＝0，y ＝－x ，y ＝x 2解析：选B.∵x ≤－1时y ＝－x ，∴①处应填y ＝－x ；∵x >2时y ＝x 2，∴②处应填y ＝x 2，又∵当－1<x ≤2时y ＝0，∴③处应填y ＝0.5．如果执行如图所示的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( )A.54B.45C.65D.56解析：选D.根据程序框图可知，该程序框图的功能是计算S ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k ×(k ＋1)，现在输入的N ＝5，所以输出的结果为S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝56D. 二、填空题6．如图所示是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．解析：第一次进入判断框前n ＝1，s ＝0＋(－1)1＋1＝0；第二次进入判断框前n ＝2，s ＝0＋(－1)2＋2＝3；第三次进入判断框前n ＝3，s ＝3＋(－1)3＋3＝5；第四次进入判断框前n ＝4，s ＝5＋(－1)4＋4＝10.答案：107．执行如图所示的程序框图，输入l ＝2，m ＝3，n ＝5，则输出的y 的值是________．解析：当输入l ＝2，m ＝3，n ＝5时，不满足l 2＋m 2＋n 2＝0，因此执行：y ＝70l ＋21m ＋15n＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y ＝y －105，执行后y ＝278－105＝173，再执行一次y ＝y －105后y 的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68. 答案：688．下面给出了一个问题的算法：第一步：输入a ；第二步：若a ≥4，则执行第三步，否则执行第四步；第三步：输出2a －1；第四步：输出a 2－2a ＋3.问：(1)这个算法解决的问题是__________；(2)当输入的a 值为__________时，输出的数值最小．解析：由于输入a 的值不同，代入的关系式不同，从而它是求分段函数的函数值问题，且这个分段函数为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4x 2－2x ＋3，x <4.问题(2)实质上是求分段函数的最小值的问题，当x ≥4时，f (x )＝2x －1≥7；当x <4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，所以f (x )min ＝2，此时x ＝1，所以当输入的a 值为1时，输出的数值最小．答案：(1)求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4x 2－2x ＋3，x <4的函数值 (2)1三、解答题9．(2012·西安调研)给出以下10个数5,9,80,43,95,28,17,60,36,73.要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的算法框图．解：算法框图如下：10．如图所示的算法框图，根据该图和下列各小题的条件回答问题．(1)该算法框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的值为3时，输出的值为多大？(3)在(2)的前提下，要想使输出的值最大，输入的值应为多大？(4)在(2)的前提下，按照这个算法框图，当x 值都大于2时，x 值大的输出的y值反而小，为什么？(5)在(2)的前提下，要想使输出的值等于3，输入的值应是多少？(6)在(2)的前提下，要想使输入的值与输出的值相等，输入的值应是多大？解：(1)该算法框图解决的是求函数f (x )＝－x 2＋mx 的函数值的问题，其中输入的是自变量x的值，输出的是x 对应的函数值．(2)∵x ＝0时，y ＝0，x ＝4时，y ＝－16＋4m ，∴4m －16＝0，∴m ＝4.∴当x ＝3时，输出的y 值为y ＝－32＋4×3＝3.(3)y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当输入的值为2时，输出的值最大．(4)当x >2时，y ＝－(x －2)2＋4为减函数，所以x 增大时，输出的y 值反而小．(5)令－x 2＋4x ＝3，即x 2－4x ＋3＝0，∴x ＝1或x ＝3，∴输入的值应为1或3.(6)令－x 2＋4x ＝x ，得x ＝3或x ＝0.∴输入的值应为3或0.11．设计求1＋2＋3＋4＋…＋2012的一个算法，并画出相应的算法框图．解：算法如下：1．s＝0；2．i＝1；3．s＝s＋i；4．i＝i＋1；5．如果i不大于2012，返回重新执行3,4,5，否则执行6；6．输出s的值，结束算法．则最后得到的s的值就是1＋2＋3＋4＋…＋2012的值．根据以上步骤可画出如图所示的程序框图．。
人教版B数学选修1-2：3.1.2第二课时知能演练轻松闯关
1.当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点为(m ＋1，m －1)，∵0<m <1，∴1<m ＋1<2，－1<m －1<0，∴点(m ＋1，m －1)位于第四象限．2.若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R)互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.∵z 1与z 2互为共轭复数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝－1，∴z 1＝－3－i.3.若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ＝__________．解析：由题意知sin θ＝cos θ，即tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4k ∈Z.答案：k π＋π4k ∈Z)4.复数z ＝3a －6i 的模为40，则实数a 的值为__________．解析：由|z |＝（3a ）2＋（－6）2＝40得a ＝±23.答案：±23[A 级 基础达标]1.在复平面内，复数z ＝sin2＋icos2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三角限D ．第四象限解析：选D.∵π2<2<π，∴sin2>0，cos2<0.∴复数z 在复平面内对应的点(sin2，cos2)位于第四象限．2.已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 是( )A ．－5＋2iB ．－5－2iC.5＋2iD.5－2i解析：选A.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则x ＝－5，由|z |＝3得(－5)2＋y 2＝9，即y ＝±2，又因为复数z 对应的点在第二象限，所以y ＝2.3.若a ，b ∈R ，复数(a 2－3a ＋2)＋(b －1)i ＝0，则实数对(a ，b )表示的点的坐标为() A ．(1，－1) B ．(2，1)C ．(1，1)或(2，1)D ．(－1，－1)解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0b －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，故(a ，b )表示点(1，1)或(2，1)． 4.在复平面内，表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为__________． 解析：由题意得(m －3，2m )在直线y ＝x 上，则有2m ＝m －3，解得m ＝9.答案：95.已知复数a ＋i ，2－i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，若直线AB 的斜率为－1，则a ＝__________．解析：易知A (a ，1)，B (2，－1)，故k AB ＝－1－12－a＝－1⇒a ＝0. 答案：06.实数m 取什么值时，复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i(1)表示复数z 的点位于第一象限；(2)表示复数z 的点位于直线y ＝2x 上？解：(1)由表示复数z 的点位于第一象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧m （m －1）>0，m －1>0，解得m >1，即当m >1时，表示复数z 的点位于第一象限，故m 的取值范围是(1，＋∞)；(2)由表示复数z 的点位于直线y ＝2x 上，可得m －1＝2m (m －1)，解得m ＝1或m ＝12即当m ＝1或m ＝12时，表示复数z 的点位于直线y ＝2x 上． [B 级 能力提升]7.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选B.点A (－1，－2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (2，1)，则向量OB →对应的复数为2＋i.8.复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：选B.（1＋cos α）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝2|cos α2|. ∵α∈(π，2π)，∴α2∈(π2，π)， ∴上式＝－2cos α2. 9.以非零实数a 、纯虚数b i(b ∈R)和复数a ＋b i 对应的点为顶点所构成的三角形必是__________．解析：在复平面作出各点如图．故△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形10.已知复数z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，求当实数m 为何值时，复数z 是：①实数；②z ＝4＋6i ；③对应的点在第三象限．解：∵z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，①令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数．②⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4m 2－m －6＝6⇒m ＝4； ③若z 所对应点在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m <0m 2－m －6<0⇒ 0<m <3.11.(创新题)已知复数z ＝(2x ＋a )＋(2－x ＋a )i(x ，a ∈R)，当x 在(－∞，＋∞)内变化时，求|z |的最小值g (a )．解：|z |2＝(2x ＋a )2＋(2－x ＋a )2＝22x ＋2－2x ＋2a (2x ＋2－x )＋2a 2.令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2且22x ＋2－2x ＝t 2－2.从而|z |2＝t 2＋2at ＋2a 2－2＝(t ＋a )2＋a 2－2，当－a ≥2，即a ≤－2时，g (a )＝a 2－2；当－a <2，即a >－2时，g (a )＝（a ＋2）2＋a 2－2＝2|a ＋1|.。
湘教版数学选修2-26.2.1知能演练轻松闯关.docx
1.(2012·渝北调研)已知a >b >0，则证明a －b <a －b 可选择的方法，以下最合理的是( )A ．综合法B ．分析法C ．类比法D ．归纳法解析：选B.首先，排除C 、D.然后，比较综合法、分析法． 我们选择分析法，欲证：a －b <a －b ，只需证：a <b ＋a －b ，即证：a <b ＋(a －b )＋2b （a －b ），只需证：0<2b （a －b ），显然成立，原不等式得证．2.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足的条件为( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C.若∠A 为钝角，则由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，即b 2＋c 2<a 2. 3.(2011·高考天津卷)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b解析：选B.∵2<3.6<4，∴log 23.6>1>log 43.6.又∵log 43.6>log 43.2，∴a >c >b .4.设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________．解析：∵b ＝47＋3，c ＝46＋2， 显然b <c .而a 2＝2，∴c 2＝(6－2)2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a 2，∴a >c ，∴a >c >b .答案：a >c >b一、选择题1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法．其中正确的语句有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选A.①②③④正确．2.(2011·高考北京卷)如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 解析：选D.不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧log 12x <log 12y log 12y <0，⇒1<y <x .3.某同学证明不等式7－1＞11－5的过程如下： 要证7－1＞11－5，只需证7＋5＞11＋1，即证7＋27×5＋5＞11＋211＋1，即证35＞11，即证35＞11.因为35＞11成立，所以原不等式成立．这位同学使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．综合法，分析法结合使用D ．其他证法解析：选B.根据分析法的思维特点可判定出来．4.(2012·江北检测)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b (a >0，b >0)，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤BC ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：选A.由于a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b， 又函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b . 5.(2012·南川检测)已知A ，B 为△ABC 的两个内角，则A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B .6.若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：选C.由于P >0，Q >0，所以要比较P 与Q 的大小，只须比较P 2与Q 2的大小． Q 2－P 2＝(a ＋3＋a ＋4)2－(a ＋a ＋7)2＝2a 2＋7a ＋12－2a 2＋7a .∵a 2＋7a ＋12>a 2＋7a ，∴a 2＋7a ＋12>a 2＋7a ，∴2a 2＋7a ＋12>2a 2＋7a ，∴Q 2>P 2，∴Q >P .二、填空题7.将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥08.(2011·高考天津卷)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．解析：由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时“＝”号成立)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时“＝”成立)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18. 答案：189.已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1.解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1，只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2.只需使(1－x 2－y )2＝0，即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1.答案：1三、解答题10.已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac a< 3. 证明：∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0，要证原不等式成立，只要证b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2，也即证(a ＋c )2－ac <3a 2，即(a －c )(2a ＋c )>0，∵a －c >0，2a ＋c ＝(a ＋c )＋a＝a －b >0.∴(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．11.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE ；(2)证明：PD ⊥平面ABE .证明：(1)在四棱锥P -ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故P A ⊥CD .∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC .而AE ⊂平面P AC ，∴CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A ，∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵P A ⊥底面ABCD ，PD 在底面ABCD 内的射影是AD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD ，又∵AB ∩AE ＝A ，综上得PD ⊥平面ABE .12.(创新题)已知非向零量a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a －b |≤ 2. 证明：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.要证|a |＋|b ||a －b |≤2，只需证|a |＋|b |≤2|a －b |， 平方得|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2(|a |2＋|b |2－2a ·b )，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，显然成立．故原不等式得证．。
第十章第1课时知能演练轻松闯关
2.2第一课时知能演练轻松闯关-最新教学文档
1．下列数列能成为等差数列的是( )A.13，15，19，111B.2，5，8，11 C ．0,0,0,0 D ．1，－1,1，－1解析：选C.由等差数列的定义可知，0,0,0,0，构成了一个等差数列．2．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( )A ．－2B ．－12C.12 D ．－12解析：选B.根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，∴a 1＝1，又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，∴d ＝－12. 3．等差数列－3,1,5，…的第15项的值是( )A ．40B ．53C ．63D ．76解析：选B.由已知得a 1＝－3，d ＝4，∴a n ＝－3＋(n －1)×4＝4n －7，∴a 15＝4×15－7＝53.4．在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( )A ．－9B ．－8C ．－7D ．－4解析：选B.设公差为d ，由等差数列的通项公式，得a 2＝a 1＋d ＝－5，①∵a 6＝a 4＋6，∴a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6.②联立①②解得a 1＝－8.5．下列命题中正确的个数是( )(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2一定成等差数列(2)若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 可能成等差数列(3)若a ，b ，c 成等差数列，则ka ＋2，kb ＋2，kc ＋2一定成等差数列(4)若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c可能成等差数列 A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个解析：选B.对于(1)取a ＝1，b ＝2，c ＝3⇒a 2＝1，b 2＝4，c 2＝9，(1)错．对于(2)a ＝b ＝c ⇒2a ＝2b ＝2c ，(2)正确；对于(3)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，∴(ka ＋2)＋(kc ＋2)＝k (a ＋c )＋4＝2(kb ＋2)，(3)正确；对于(4)，a ＝b ＝c ≠0⇒1a ＝1b ＝1c， (4)正确，综上选B.6．在等差数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝9，则a 15＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝2，a 1＋6d ＝9，解得⎩⎨⎧ a 1＝－32，d ＝74，∴a 15＝－32＋14×74＝23. 答案：237．(2019·枣庄调研)数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n 得3n －1＝4n －6，∴n ＝5.答案：58．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4千米)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2元9．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求数列{a n }的首项a 1与公差d .解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10， ①a 1＋11d ＝31. ② 由②－①得7d ＝21，∴d ＝3，∴a 1＝－2.10．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1(4－4a n)－2－1a n －2 ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12. 又b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n . ∵b n ＝1a n －2，∴a n ＝1b n ＋2＝2n ＋2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2. 1．已知等差数列{a n }的首项a 1＝125，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >825B ．d <825C.875<d <325D.875<d ≤325解析：选D.设{a n }的通项公式为a n ＝125＋(n －1)d ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>1，a 9≤1， 即⎩⎨⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1， 解得875<d ≤325. 2．(2019·高考安徽卷)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4. 由一个内角为120°知其必是最长边x ＋4所对的角．由余弦定理得(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)cos 120°，∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10，∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3. 答案：15 33．已知等差数列{a n }的前三项的和为－3，前三项的积为8，求它的通项公式． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7，故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.。
第二章第一节知能演练轻松闯关
1.下列说法中正确的是()A．冬天对着手哈气，手变暖是机械能转化为内能B．用酒精灯给水加热，是机械能转化为内能C．洗澡时，用毛巾擦背，感觉后背发热，是机械能转化为内能D．滑冰时，冰刀与冰之间相互摩擦，出现一道痕迹，是内能转化为机械能答案：C2.图2－1－3如图2－1－3所示，从能量的转化和转移的角度可用下面三句话来概括：①小孩克服摩擦做功，动能转化为内能②小孩从滑梯上滑下时，重力势能转化为动能③小孩的臀部吸热，内能增加，温度升高以下排序正确的是()A．①②③B．②③①C．②①③D．③②①答案：C3.下列关于能量转化现象的说法中，正确的是()A．用太阳灶烧水是太阳能转化为内能B．电灯发光是电能全部转化为光能C．核电站发电是电能转化为内能D．生石灰放入盛有凉水的烧杯里，水温升高是动能转化为内能解析：选A.太阳灶烧水是太阳能转化为内能，A正确；电灯发光是电能转化为内能和光能，B错误；核电站发电是核能转化为电能，C错误；生石灰放入盛有凉水的烧杯里，化学能转化为内能，D错误．4.下列说法不．正确的是()A．任何一种机器做功都要消耗能量，不消耗能量的机器是无法对外做功的B．每种能量都与一种运动形式相对应，与内能相对应的运动形式是热运动C．能量在转化过程中总量可以减少，但不会增加D．能量不论如何转化，系统的总能量是不变的解析：选C.由能量守恒定律可知，A、B、D均正确，C错误，故本题应选C选项．5.有人试图制造一台“永久”的发电机．设计思路如下：先利用外界供给的电能，使电动机转动，再让电动机带动发电机发电．发电机发电后，一部分电供给电动机继续使用，电动机不再利用外界供给的电能；一部分电能供用户使用．这样，一旦这个发电机发出电来，它就可以不再使用外界的能量，自己“源源不断”地发出电来．用能量转化和守恒的知识分析说明，这样的“永动机”能实现吗？解析：题中设想的能量转化过程是这样的：电能→机械能→电能→机械能＋电能(用户)．根据能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为别的形式，或者从一个物体转移到别的物体，所以上述能量转化中均应是守恒的，一旦发电机发出电来不再使用外界能量是不可能的，这种永动机不能实现．答案：见解析一、选择题1.关于能量的转化和转移，以下说法中正确的是()A．能量可以从能量多的物体向能量少的物体转移，也可以从能量少的物体向能量多的物体转移B．内能可以转化为机械能，机械能也可以转化为内能C．能量只能从一种形式转化成另一种形式D．能量可以从一种形式转化为另一种形式，但转化前后能的总量会减少解析：选AB.能量转移的方向与物体能量的多少无关，故A正确；机械能与内能之间可以相互转化，故B正确；能量既可以相互转化也可以发生转移，而总能量保持不变，故C、D 错．2.一辆汽车在关闭发动机后继续沿水平方向向前运动，从能的转化看，它是()A．动能不变B．机械能不变C．动能转化为势能D．机械能转化为内能解析：选D.汽车沿水平方向向前减速运动，重力势能不变，动能减小，机械能减小，故A、B、C错；由于克服摩擦力做功，减小的机械能转化为内能，所以D正确．3.(2012·广州高二检测)下列现象中，只有能的转化而不发生能的转移的过程是()A．冬天用热水袋取暖B．一杯水慢慢变凉C．用打气筒给轮胎打气时，气筒壁会发热D．冬天用手摸户外的东西时感到凉解析：选C.用打气筒给轮胎打气时，外力压缩气体做功，机械能转化为内能，故C正确；用热水袋取暖，一杯水慢慢变凉，冬天用手摸户外的东西时感到凉，都是内能发生了转移，故A、B、D错．4.一铁块沿斜面释放后滑下，恰好做匀速运动，那么在下滑过程中()A．铁块机械能减小，内能增加B．铁块机械能守恒，内能不变C．铁块具有的总能量不变D．铁块具有的总能量增加解析：选A.铁块下滑时，由于摩擦力做功，机械能减少，而摩擦生热，使斜面及铁块内能增加．铁块的总能量减少了，斜面和铁块组成的系统的总能量不变．5.下列对能量守恒定律的认识错误的是()A．某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加B．某个物体的能量减少，必然有其他物体的能量增加C．不需要任何外界的动力而持续对外做功的机器——永动机是不可能制成的D．石子从空中落下，最后停止在地面上，说明机械能消失了解析：选 D.能量守恒定律是指能量的总量不变，但更重要的是指转化和转移过程中的守恒．在不同形式的能量间发生转化，在不同的物体间发生转移．不需要任何外界动力而持续对外做功的机器是违背能量守恒定律的，是永远不可能制成的．机械能可以转化成其他形式的能，但不能消失，因为能量是不会消失的，故A、B、C均正确，D错误．6.下列说法正确的是()A．随着科技的发展，永动机是可以制成的B．太阳照射到地球上的光能转化成了其他形式的能量，但是照射到宇宙空间的能量都消失了C．“既要马儿跑，又要马儿不吃草”违背能量转化和守恒定律，因而是不可能的D．有种“全自动”手表，不用上发条，也不用任何形式的电源，却能一直走动，说明能量可以凭空产生解析：选C.永动机是指不消耗或少消耗能量，而可以大量对外做功的装置．历史上曾出现过各式各样的所谓永动机的发明，结果都以失败告终，原因就是违背了能量转化和守恒定律，人类只能发现规律、利用规律，但绝不可以违背规律，即使以后科技再发达，也要受自然规律的制约，所以永动机是永远不可能制成的，故选项A错误；太阳辐射大量的能量，地球只吸收了极少的一部分，就形成了风云雨雪，使万物生长，但辐射到星际空间的能量也没有消失，一定是转化成了别的能量，故选项B错．马和其他动物，包括人要运动，必须消耗能量，动物的能量来源于食物中储存的化学能，故选项C正确；所谓“全自动”手表内部还是有能量转化装置的，一般是一个摆锤，当人戴着手表活动时，摆锤不停摆动，给游丝弹簧补充能量，才会维持手表的走动，如果把这种表放在桌面上静置几天，它一定会停摆的，故选项D错．7.(2012·大连八中高二检测)汽车关闭发动机后恰能沿斜坡匀速运动，在这个过程中() A．汽车的机械能守恒B．汽车的动能和势能相互转化C．机械能逐渐转化为内能，总能量逐渐减少D．机械能逐渐转化为内能，总能量不变解析：选D.汽车关闭发动机后恰能沿斜坡做匀速运动，则汽车必受到摩擦力的作用，机械能不守恒，汽车匀速运动，则动能不变，摩擦力做功，使机械能逐渐转化为内能，但总能量不变．8.一颗子弹以某一水平速度击中了静止在光滑水平面上的木块，未从木块中穿出．对于这一过程，下列说法中正确的是()A．子弹减少的机械能等于木块增加的机械能B．子弹减少的动能等于木块增加的动能C．子弹减少的机械能等于木块增加的动能与木块增加的内能之和D．子弹减少的动能等于木块增加的动能与子弹和木块的内能增量之和解析：选D.子弹打击木块的过程中，除了子弹与木块间动能的转移外，还有摩擦阻力作用，导致动能与内能的转化，但此过程中总能量守恒，子弹、木块组成的系统损失的动能等于系统增加的内能，故选项D正确．9.物体从高处落下，由于空气阻力的影响，其能量转化情况是()A．机械能增加，内能也增加B．机械能减少，内能也减少C．机械能不变，内能也不变D．机械能减少，内能增加解析：选D.物体下落过程中，克服空气阻力做功，使部分机械能转化为内能，故D正确．10.图2－1－4大约在1670年，英国赛斯特城的主教约翰·维尔金斯设计了一种磁力“永动机”，如图2－1－4所示．在小柱上放一个强力的磁铁A，两个斜的木槽M和N叠着倚靠在小柱旁边，上槽M的上端有一个小孔C，下槽N是弯曲的．这位发明家认为：如果在上槽上放一个小铁球B，那么由于磁铁A的吸引力，小球会向上滚，可是滚到小孔处，它就要落到下槽N上，一直滚到N槽的下端，然后顺着弯曲处绕上来，跑到上槽M上．在这里，它又受到磁铁的吸引，重新向上滚，再从小孔里落下去，沿着N槽滚下去，然后再经过弯曲处回到上槽里来，以便重新开始运动．这样，小球就会不停地前后奔走，进行“永恒的运动”．关于维尔金斯的“永动机”，正确的认识应该是()A．符合理论规律，一定可以实现，只是实现时间早晚的问题B．如果忽略斜面的摩擦，维尔金斯“永动机”一定可以实现C．如果忽略斜面的摩擦，铁球质量较小，磁铁磁性又较强，则维尔金斯“永动机”可以实现D．违背能量守恒定律，不可能实现解析：选D.由题意可知，磁铁对小铁球的吸引力大于重力沿槽向下的分力，所以小铁球沿N 槽滚动时是减速前进的，若忽略摩擦，小铁球即使能滚到N槽下端，其速度也必为零，在不获得其他任何能量的前提下，无论如何也不可能再获得速度，使自己绕着弯曲处上升，重新回到M槽底端，故D正确．二、非选择题11.请填写下列现象中，能量转换的方式．(1)水轮机带动发电机发电：________________________________________________________________________；(2)水沸腾后，水壶盖被顶起：________________________________________________________________________；(3)电动机带动机器运转：________________________________________________________________________；(4)植物吸收太阳光进行光合作用：________________________________________________________________________；(5)煤炭燃烧发热：________________________________________________________________________.答案：(1)机械能转换为电能(2)内能转换为机械能(3)电能转换为机械能(4)光能转换为化学能(5)化学能转换为内能12.如图2－1－5所示，一个质量m＝100 g的金属块恰能从一个长l＝4 m、倾角θ＝30°的斜面的顶端匀速下滑至底端，损失的机械能有20%被金属块吸收，求在下滑过程中产生的内能及金属块升高的温度．[金属块的比热容为98 J/(kg·℃)]图2－1－5解析：金属块匀速下滑过程中动能不变，机械能的减少量即重力势能的减少量为mgl sin θ.这部分机械能通过摩擦生热转化成了等值的内能．Q ＝ΔE ＝mgl sin θ＝100×10－3×9.8×4×sin30° J＝1.96 J.而其中20%的内能被金属块吸收，所以金属块增加的内能为ΔU ＝Q ′＝η·Q ＝20%×1.96 J ＝0.392 J.又因为Q ′＝cm ·Δt ，所以Δt ＝Q ′c ·m ＝0.39298×0.1℃＝0.04 ℃. 答案：1.96 J 0.04℃。
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1．(2011·高考重庆卷)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：12512012210513011411695120134
则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为()
A．0.2B．0.3
C．0.4 D．0.5
解析：选C.落在[114.5,124.5)内的样本数据为120,122,116,120，共4个，故所求概率为4
10＝2 5
＝0.4.
2．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是()
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C.x2－5x＋4＝0的两根是1,4.
当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4.
当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.
∴a＝1，b＝4.
则方差s2＝1
4
×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
3．某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n名同学进行调查．下表是这n
(1)求n
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是4.5)作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a，b的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率．
解：(1)由频率分布表可得n＝6
0.12
＝50.
(2)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧
150
(6×4.5＋10×5.5＋a ×6.5＋b ×7.5＋4×8.5)＝6.52，6＋10＋a ＋b ＋4＝50，
解得a ＝15，b ＝15.
设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A ，则P (A )＝15＋450
＝0.38.
即该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率约为
0.38.
一、选择题
1．在某一样本的频率分布表中，第三组的频数和频率分别为24和1
3
为( )
A ．24
B ．48
C ．72
D ．108
解析：选C.∵频率＝频数样本容量，∴样本容量＝频数频率＝24
1
3
＝72.
2．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.则其平均数，中位数，众数的大小关系是( ) A ．平均数>中位数＝众数 B ．平均数<中位数＝众数 C ．中位数<众数<平均数 D ．众数＝中位数＝平均数 解析：选D.由所给数据可知
平均数为：20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80
8
50，
中位数为50，众数为50.
3
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
解析：选C.由表可知，乙、丙的成绩最好，平均环数为8.9；但乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选，故选C.
4．在一次选秀节目的比赛中，9位评委给某位参赛选手打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为90分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若统计员计算无误，则数字x 应该是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
解析：选D.去掉一个最高分和一个最低分后，剩下的7个分数的和为90×7＝630，易知去
掉的一个最低分为82分，则有效分数必然包含85、86、91、91、92和93，而另一个数应为630－85－86－91－91－92－93＝92，故x 的值为2.
5．某校甲、乙两个班级各有编号为1,2,3,4,5的五名学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
A.25
B.425
C.35
D ．4 解析：选A.甲班的平均数为x 甲＝6＋7＋7＋8＋7
5
＝7，
甲班的方差为
s 2甲＝(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)25＝25；
乙班的平均数为x 乙＝6＋7＋6＋7＋9
5
＝7，
乙班的方差为
s 2乙＝(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)25＝65
.
∵65>25，∴s 2
＝25，故选A. 二、填空题
6．某校为了了解一次数学质量检测的情况，随机抽取了100名学生的成绩，并按下表的分数段计数：
解析：样本的平均成绩为 (60×35＋98×50＋130×15)÷100＝89.5. 答案：89.5
7．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是________．
解析：依题意，设第2小组的频率为2x ，则有6x ＝1－(0.0375＋0.0125)×5，得2x ＝0.25，
即第2小组的频率为0.25，因此报考飞行员的学生人数是12
0.25
＝48.
答案：48 8．(2010·高考北京卷)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.
若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
解析：∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a ＝1－0.700
10
＝0.030.
由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的学生分别为30人，20人，10人，∴由
分层抽样可知抽样比为1860＝3
10
，∴在[140,150]中选取的学生应为3人．
答案：0.030 3 三、解答题
9．某学校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分． 解：(1)分数在[120,130)内的频率为
1－(0.01＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7 ＝0.3， 频率组距＝0.3
10
＝0.03，补全后的直方图如下．
(2)平均分为
x ＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05
＝121. 10．(2010·高考湖北卷)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．
(1)
(2)估计数据落在[1.15,1.30)
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库．几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数． 解：(1)，故可得下表：
(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.470.47. (3)120×1006
＝2000，所以水库中鱼的总条数约为2000.
11．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：
(1)画出茎叶图；
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适？
解：(1)画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数．
(2)由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列为： 甲：27,30,31,35,37,38 乙：28,29,33,34,36,38
∴x 甲＝1
6(27＋30＋31＋35＋37＋38)＝33，
x 乙＝1
6(28＋29＋33＋34＋36＋38)＝33.
s 2甲＝16[(－6)2＋(－3)2＋(－2)2＋22＋42＋52
]＝473
，
s2乙＝1
6
[(－5)2＋(－4)2＋0＋12＋32＋52]＝
38
3
.
∵x
甲＝x
乙
，s2
甲
>s2
乙
，
∴乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更合适．。