高一数学第二章函数同步辅导讲义

第二章函数同步辅导第一讲映射与函数一、辅导内容1．映射、一一映射的定义和概念的理解2．函数的定义、表示。

3．函数的三要素及函数的表达方法。

二、重点、难点讲解1．映射、一一映射〔1〕集合A到集合B的映射有三个要素，即集合A、集合B和对应法则f.其中集合A和集合是有先后顺序的，因为一般情况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射.而对于集合A和集合B的元素是什么，映射的定义未对此作具体要求，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其他对象.〔2〕一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A到集合B的映射：①集合A中的每一．．个．元素〔一个不漏地〕在集合B中都有象〔但集合B中的每一个元素不一定都有原象〕；②集合A中的每一个元素在集合B中的象只有唯一．．的一个〔集合B中的元素在集合A中的原象可能不止一个〕.也就是说，图1和图2〔3〕对于上述映射，如果加上一个条件，要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象，则这样的映射称为“集合A到集合B上．的映射”.如果在此基础上再加上一个条件，要求集合B中的每一个元素在集合A中的原象只有唯一的一个，则这样的映射称为“集合A 到集合B上的一一．．映射”.例1如图3，集合A={1、2、3、4、5}，B={a、b、c、d、e}.判断以下对应中，〔1〕哪些是集合A到集合B的映射；(2)哪些是集合A到集合B上的映射；〔3〕哪些是集合A到集合B上的一一映射.图3①BA②③BA④图1 图2解〔1〕②和④是集合A 到集合B 的映射，①中集合A 的元素3在集合中没有象；③中集合A 的元素3在集合B 中有两个象，它们都不是映射.〔2〕②是集合A 到集合B 上的映射.④中集合B 的元素b 在集合A 中没有原象. 〔3〕②是集合A 到集合B 上的一一映射. 例2 已知集合A={30≤≤x x }，B={10≤≤y y }.判断以下各对应f 是否是集合A到集合B 的映射？一一映射？并说明理由. (1)f :x y x 31=→； (2) f :x y x 41=→；(3)f :2)2(-=→x y x ； (4) f :291x y x =→；(5)f :2)1(41-=→x y x解 〔1〕∵30≤≤x ， ∴1310≤≤x . 因此对集合A 的每一个元素x ，B x y ∈=31，所以对应f :B A →是集合A 到集合B 的映射.对于集合B 中的每一个元素y ，由y x3=及10≤≤y ，有30,330≤≤≤≤x y .即集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象，且这样的原象只有一个，所以对应f :B A →是一一映射.〔2〕∵30≤≤x ， ∴43410≤≤x .所以对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，因此对应f :B A →是映射.而集合B 中有些元素，如1=y ，在集合A 中没有原象，因此映射f :B A →不是一一映射. 〔3〕∵30≤≤x ， ∴122≤-≤-x ， ∴4)2(02≤-≤x .由此知集合A 的某些元素，如0=x ，在集合B 中没有象，因此对应f :B A →不是映射，更不是一一映射.〔4〕∵30≤≤x ， ∴19102≤≤x .因此对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，所以对应f :B A →是映射.由291x y=，对于集合B 中的每一个元素y ，A y x ∈=3，即集合B 中的每一个元素在集合A 中有唯一的原象，因此映射f :B A →是一一映射.0=x 和2=x ，都对应于集合B 中的同一个元素41，所以对应f :B A →是映射，但不是一一映射. 2. 函 数〔1〕函数的定义.在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发，用变量来定义的，习惯上称为传统定义.传统定义由研究变量的物理意义而产生，反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，因为有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性.当然，两种定义的本质是一样的. 集合A 到集合B 的映射f :B A →要成为函数，还必须满足两个条件：①集合A 、B都是非空集合；②集合A 、B 都是数的集合.其中集合A 就是函数的定义域，而集合B 不一定是值域.一般地说，值域C 是集合B 的子集，即B C ⊆.〔假设集合B C =，则这个映射就成为集合A 到集合B 上的映射〕. 〔2〕函数的三要素.定义域A ，值域C 和定义域A 到值域C 的对应法则f，构成了函数的三个要素.当且仅当这三个要素完全相同时，两个函数才是同一个函数. 在判断两个函数是否同一函数时，主要观察它们的定义域和对应法则是否相同. 〔3〕区间设a 、R b ∈，且b a <.用闭区间[b a ,]表示集合{b x a x ≤≤}，用开区间),(b a 表示集合{b x a x <<}，用半开半闭区间],(b a 表示集合{b x a x ≤<}，用半开半闭区间),[b a 表示集合{b x a x <≤}.〔4〕函数的表示法.函数常用的表示法有：解析法，列表法及图像法，三种表示法各有其长处. 要搞清符号)(x f 和)(a f 〔a 为常数〕的区别.一般情况下，)(x f 是一个随自变量x 的变化而变化的变量，而)(a f 是当自变量a x =时函数的值，是一个确定的量.与初中接触到的函数不一样，这里的函数可以是在不同区间中〔或不同条件下〕表达式不同的分段函数，因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线，它可能是一些孤立的点，一些线段，或一些曲线.例3 判断以下各对函数是否是同一个函数，并说明理由. (1) 2)(x x f = ， 2)()(x x g = ；(2).)(33x x f = ， x x g =)( ；(3)11)(2+-=x x x f ， 1)(-=x x g ； (4)1)(-=x x f ， ⎩⎨⎧<->-=);1(,1),1(,1)(x x x x x g (5)2)(x x f = ， x x g =)( ；(6)21)(x x f -= ， 21)(t t g -= .解 〔1〕不是同一个函数，两者的定义域不同， 它们的定义域分别为),(+∞-∞和),0[+∞.〔2〕不是同一个函数，它们的对应法则和值域都不同.x x f =)( ，其值域为),(+∞-∞； x x g =)(，其值域为),0[+∞.),1()1,(+∞---∞ 和),(+∞-∞.〔4〕不是同一个函数，它们的定义域不同，定义域分别是),(+∞-∞和),1()1,(+∞-∞ .〔5〕是同一个函数，)()(x g x x f == .〔6〕是同一个函数，虽然自变量用不同的字母表示，但定义域、值域和对应法则都相同.例4 已知32)(-=x x f ， 12)(2+=x x g ，求 )]([x g f 和 )]([x f g .解)]([x g f =143)12(23)(222-=-+=-x x x g .)]([x fg =192481)32(21)]([2222+-=+-=+x x x x f .评析 由此可见，在求)]([x g f 时，只要用)(x g 代替)(x f 表达式中的x ，然后再将)(x g 的表达式代入其中，就可以求得)]([x g f .一般来说，)]([)]([x f g x g f ≠.例5 〔1〕已知=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧-,12,2,02x 求)2(f ，)1(-f ，)]0([f f ，)]22([-f f ； 〔2〕已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<--≤+=),2(,23),21(,),1(,32)(2x x x x x x x g 且3)(=t g ， 求t .解 〔1〕∵02>， ∴0)2(=f .∵01<-， ∴11)1(2)1(2=--⋅=-f .0)2()]0([==f f f .2)0(]1)22(2[)22([2==--⋅=-f f f f . (2)当132)(,1≤+=-≤x x g x ； 当40,212<≤<<-x x ；当423)(,2≥-=≥x x g x ..3),2,1(3.3,3)(,3)(2=∴-∉-±===∴=t t t t g t g例6 〔1〕画出函数342+-=x x y 的图像；〔2〕画出函数342+-=x x y 的图像；〔3〕已知函数)(x f y =的图像如右图，写出)(x f 的解析式.解 〔1〕⎩⎨⎧<-+≥--=+-=).0(,1)2(),0(,1)2(34222x x x x x x y (x > 0), (x = 0),(x < 0),图像如以下图左. (2)当0342≥+-x x ,即1≤x 或3≥x 时，1)2(3422--=+-=x x x y ；当0342<+-x x，即31<<x 时，1)2(34)34(222+--=-+-=+--=x x x x x y .∴⎨⎧≥≤--=),3,1(,1)2(2x x x y 或 〔2〕由第〔2〕题可见，画)(x f y =的图像，只要把)(x f y =的图像在x 轴下方部分“翻到”x 轴上方，即作出这一部分图像关于x 轴的对称曲线，而在x 轴上方的曲线保持不变，就可以得到函数)(x f y =的图像.〔3〕函数的定义域如果没有特别说明，通常指使式子有意义的一切自变量x 的集合，在实际问题中，还应考虑自变量x 要满足的实际问题的条件.我们现在涉及到的使式子有意义的情况，仅是分母不能为零，负数不能开偶次方.今后学习了其他函数，还会出现另外一些情况. 例7 求以下函数的定义域： 〔1〕 2312+-=x x y； 〔2〕xy 21211++= ；〔3〕7522--=x x y .解 〔1〕.21,0)2)(1(,0232≠≠≠--≠+-x x x x x x且∴定义域为{}R x x x x ∈≠≠,2,1且.〔2〕由;0,2≠x x由22212+=+x xx, 2-≠x ； 由2232212121++=++=++x x x x x, 32-≠x . ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠≠≠R x x x x x,32,2,0且且 .〔3〕271,0)72)(1(,07522≥-≤≥-+≥--x x x x x x或 . ∴定义域为}27,1{≥-≤x x x或.评析 对于繁分式，一条分数线即有一个限制条件，此题有三条分数线，因此有三个限制条件.例8 已知函数)(x f y =的定义域为[-1，2]，求函数)1()1()(-++=x f x f x g 的定义域. 解 由)(x f 中的x 必须满足21≤≤-x ，因此)(x g 中的x 必须满足：⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-,211,211x x 即 ⎩⎨⎧≤≤≤≤-.30,12x x∴)(x g 的定义域为{}10≤≤x x .例9 〔1〕已知11)11(2-=+xx f ，求)(x f ；〔2〕已知函数)(x f 的定义域是),0()0,(∞-∞ ，且x xf x f 4)1(2)(3=+，求)(x f ；(3)已知32)2(+=-x x f ，求)(x f .解 〔1〕设x t 11+=，则 11-=t x)1(≠t ， ∴t t t t f 21)1()(22-=--= )1(≠t ， ∴x x x f 2)(2-= )1(≠x .〔2〕由x x f x f4)1(2)(3=+， ① 将x 换成x 1，得xx f x f4)(2)1(3=+， ② 3×①－2×② ，得 xx x f812)(5-= ， ∴xx x f 58512)(-=. (x ≠0) 〔3〕令2-=x t ，则 2,)2(2-≥+=t t x .∴)2(11823)2(2)(22-≥++=++=t t t t t f . ∴).2(1182)(2-≥++=x x x x f例10 设⎩⎨⎧-=,1)(x f 解 由已知，-)1(x f ∴⎩⎨⎧≥<-=).1(,1),1(,1x x y图像如下图.一、选择题1．设f是从集合A B 中都有象；②集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象；③集合A 中不同的元素在集合B 中的象也不同；④集合B 中不同的元素在集合A 中的原象也不同，其中正确的选项是 〔 〕A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④2．已知集合A={}60≤≤x x ，B={}30≤≤y y ，则以下对应关系f 中，不能看成是从集合A 到集合B 的映射的是 〔 〕A ．f ：x y x 21=→B ．f ：x y x 31=→C ．f：x y x =→ D ．f：x y x 61=→3．以下三个命题：①函数是从定义域到值域的一一映射；②函数的定义域和值域可能是数集，也可能不是数集；③函数的定义域和值域都不能是空集.其中真命题是 〔 〕A ．①B ．②C ．③D ．①和③4．以下各组函数：①2)(+=x x f ，44)(2++=x x x g ；②11)(2+-=x x x f ，1)(-=x x g ；③xx f =)(，xx x g =)(；④1)(+=x x f ，⎩⎨⎧<--≥+=)0(,1)0(,1)(x x x x x g .其中)(x f 和)(x g 表示同一个函数的是 〔 〕 A ．① B ．①和② C ．③ D ．④ 5．函数xx y-=1的定义域是 〔 〕A ．),0()0,(+∞-∞B ．),1()1,0()0,(+∞-∞C ．)0,1()1,(---∞D ．)0,(-∞ 6．已知函数)(x f 的定义域是)1,0(，则函数)1(2-x f 的定义域为 〔 〕A ．)2,1( B ．)2,1()1,2( --C ．)0,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题7．已知),(y x 在映射f 下的象是)2,2(y x y x -+，则)3,1(在f下的原象是 。