时钟问题—两针夹角
小学数学应用题之时钟问题
小学数学应用题之时钟问题【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等，这类问题可转化为行程问题中的追及问题。
【数量关系】分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为5.5度/分。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
【解题思路和方法】将两针重合，两针垂直，两针成一线，两针夹角60°等为“追及问题”后可以直接利用公式。
例1：钟面上从时针指向8开始，再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合？（精确到1分）解：1、此类题型可以把钟面看成一个环形跑道，那么本题就相当于行程问题中的追及问题，即分针与时针之间的路程差是240°。
2、分针每分钟比时针多转6°-0.5°=5.5°，所以需要240÷5.5≈44（分钟）。
也就是从8时开始，再经过44分钟，时针正好与分针第一次重合。
例2：从早晨6点到傍晚6点，钟面上时针和分针一共重合了多少次？解：我们可以把钟面看成一个环形跑道，这样分针和时针的转动就可以转化成追及问题，从早晨6点到傍晚6点，一共经过了12小时，12个小时分针要跑12圈，时针只能跑1圈，分针比时针多跑12-1=11（圈），而分针每比时针多跑1圈，就会追上时针一次，也就是和时针重合1次，所以12小时内两针一共重合了11次。
例3：一部记录中国军队时代变迁的纪录片时长有两个多小时，小明发现，纪录片播放结束时，手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下，这部纪录片时长多少分钟？（精确到1分）解：1、解决本题的关键是认识到时针与分针合走的路程是1080°，进而转化成相遇问题来解决。
2、两个多小时，分针与时针位置正好交换，所以分针与时针所走的路程和正好是三圈，也就是分针和时针合走了360°×3=1080°，而分针和时针每分钟的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°需要1080÷6.5≈166（分钟），即这部纪录片时长166分钟。
时钟的时针与分针角度
时钟的时针与分针角度时钟是人们日常生活中常见的计时工具，它由秒针、分针和时针组成。
众所周知，时针和分针的相对位置可以反映时间的变化，而它们的角度也具有一定的规律。
本文将深入探讨时钟时针和分针之间的角度关系，并解释其中的原理。
时针和分针的角度是如何变化的呢？一般来说，时针以较慢的速度绕时钟盘旋转，它每小时转动一周，即360°。
而分针则转速更快，每分钟旋转一周。
基于这个设定，我们可以推断出时针和分针之间的角度是随着时间的流逝而发生变化的。
首先，我们来看时针和分针在整点时的角度关系。
以12点整为例，此时时针和分针完全重合，它们之间的夹角为0°。
而在其他整点，如3点、6点和9点，时针和分针之间的夹角分别为90°、180°和270°。
这是因为当时针指向整点数字时，分针正好指向钟盘上的12点刻度线。
由于时针和分针每两个整点之间的夹角都相同，因此它们的相对位置也是固定的。
接下来，我们观察时针和分针在整点之间的角度变化。
以1点为例，此时时针指向1点的刻度，而分针则偏离12点刻度一定角度。
我们可以发现，在1点到2点之间的这一段时间内，时针和分针之间的夹角是在缓慢增加的。
这是因为时针每小时转动360°，而分针每分钟转动360°，所以它们的转速存在差异，导致时针和分针之间的夹角逐渐增大。
除了整点和整点之间的关系，我们还可以进一步观察时针和分针在其他时间点的角度变化。
以6点30分为例，此时时针指向6点的刻度线，而分针则偏离12点刻度线一定角度。
在这种情况下，时针和分针之间的夹角不再是固定的整数倍关系，而是通过插值计算得出。
具体来说，我们可以通过下面的公式来计算：时针和分针夹角 = |（时针指向的小时数 × 30）- （分针指向的分钟数 × 6）|这个公式中的绝对值符号是为了保证计算结果为正值。
通过这个公式，我们可以计算出时针和分针在任意时间点的夹角，并进一步验证角度的变化规律。
钟表上的角度问题
一、整点时刻两针的夹角 例1 求下午4时，时针与分针之间的夹角
.
分析： 下午4时，时针指在4上，分针指在12上，于是可求 出它们之间的夹角.
解：4点整时，时针转过了30°×4=120°， 分针转过为0°， 其度差为 120°－0°=120°， ∴时针与分针的夹 6点40分时,时针与分针的夹角是多少度 2 解:6点40分时,时针转过了 (6 )×30°=200°, 3 分针转过了40×6°=240°, 其度差为240°-200°=40°, ∴时针与分针的夹角是40°.
练习： 1、钟表上2时15分时，时针与分针所形成的锐角的度数是多少？ 2、1点54分时,时针与分针的夹角是多少度 ？ 三、时针与分针分别转过的角度 例3 若时针由2点30分走到2点55分，问时针、分针各转过多大 角度？
分析: 弄清时针、分针每分钟各转过多少度即可求解.
解: 因为时针由2点30分走到2点55分，历经25分钟，
时钟上角度大小的计算问题
时钟钟面上的时针和分针之间的夹角问题，历来是许多同学求解的困惑问 题之一，事实上，只要同学们能弄清时针、分针之间的关系： 时针 1小时转1大格 1小时转30° 1分钟转0.5° 分针 1小时转12大格 1小时转360° 1分钟转6°
分针转的角度为：分钟数×6°； 时针转的角度为：小时数×30°＋分钟数×0.5°
0.5°×(55－30)＝0.5°×25＝12.5°， 所以时针转过的角度为：
或：30°×
55 30 60
=12.5°
分针转过的角度为： 6°×(55－30)＝6°×25＝150°，
时针分针夹角问题解答
有关时针分针夹角的计算钟表上的时针、分针你追我赶，始终围绕中心按各自恒定的速度旋转，两针所成的夹角也随着时间的变化而变化。
如何来计算两针的夹角呢？通常我们以两针各自正对钟表面上“12”时为起始位置，以所计算角度时刻时针、分针暂停的位置为终止位置，两针各自旋转的角度之差为两针的夹角。
由于我们常说的角都是小于180度的，当两针夹角大于180度时，应用周角360度减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。
时针旋转一圈是12小时，从起始位置旋转到终止位置旋转了360度，1小时旋转了30度，1分钟旋转了0。
5度；分针旋转一圈是60分钟，从起始位置旋转到终止位置是360度，1分钟旋转了6度。
一、整点两针夹角的计算例1 2点整时针分的夹角是多少度？分析：如图1，时针从0点旋转到2点，旋转了2×30°=60°；分针没有旋转，从0分到0分，转了0°。
所以两针的夹角为60°-0°=60°。
解：2×30°-0×6°=60°练习1：6点整时，时针分针的夹角是多少度？8点整呢？（提示：当所计算的夹角大于180度时，应用周角360度减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。
）二、非整点两针夹角的计算例2 计算3点40分时两针的夹角。
分析：如图2所示，3点40分时，时针以正对0点为始边，以2以到3点40分时为终边，旋转角度为：3×30°＋40×0.5°=110°；分针以正对0分为始边，以旋转到40分时为终边，旋转角度为：40×6°=240°。
分针旋转角度大于时针旋转角度，所以两针夹角为240°-110°=130度。
解：如图2所示，时针旋转角度为：3×30°＋40×0.5°=110°分针旋转角度为：40×6°=240°两针夹角为240°-110°=130°练习2：计算10点过5分时两针的夹角。
时钟问题
要点解析知识网络：时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具.生活中也时常会遇到与时钟有关的问题.关于时钟的问题有:求某一时刻时针与分针的夹角,两针重合,两针垂直,两针成直线等类型.要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针运动的规律和特点。
时钟盘面被等分为12大格，那么每两个大格之间的夹角是360°÷12＝30°。
每个大格又被分为5个小格，每个小格之间的夹角为30°÷5＝6°。
在钟表上时针和分针是同时运动的，它们的关系是：时针走一个小时转过30°，分针转过360°，恰为一个圆周。
重点·难点在时钟问题中求解两针重合、两针垂直、两针成直线等问题也都是对求两针夹角问题的扩展和延伸。
因此只要能够透彻的分析、解答了两针夹角的问题，其他问题则有章可循。
学法指导解这类问题时，通常分别考虑时针与分针的转动情况，再根据条件综合在一起，然后求解，另外，还需要注意全面考虑多种可能的情况。
例1如图1，在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？思路剖析：将时钟盘面分成12格，那么在1点45分，分针必落在9这个位置上，而时钟针不在1这个位置上，而是在1和2之间的某个位置上，也就是要求出从1点到1点45分，45分钟的时间时针转过的角度。
时钟走60分钟时针转过360°÷12＝30°，那么走45分钟，转过30°×（45/60）＝22。
5°。
而且从1点45分时时钟盘面上时针、分针的位置易知，从9点整到13点整之间包含有4个大格。
那么此时时针与分针的夹角是这两部分角度的和。
解答：两针的夹角：①从9点整到13点整之间包含13－45÷5＝4个大格。
②时针从13点整走45分钟占45/60大格两针夹角：30°×[(13－45÷5)＋45/60]＝30°×19/4＝142。
时针与分针所成的夹角
展示评价
依次可以计算：时针转过的角度与分针转过 的角度的差的绝对值； 当这个值大于180度 时，再用360度减去这个差。分针每分钟(钟 面上转过一小格)转过6°;时针每小时转过30°, 时针每分钟转过0．5°．因此,对于m点n分时: 时针转过的度数为m×30°+n× 0．5°,分针 转过的度数为n×6°,所以时针与分 针的夹角 α=|m×30°+n×0．5°-n×6°|, 即α=| m×30°-n×5．5°|。若上式得到的角 大于 180°,则时针与分针的夹角应为360°减去 上 式得到的角,即360°-α.
分层训练
2. 完成《导学测评》 4.6.1《角》的第9题
总结
今天你到了什么？
联系拓展 基础过关
1.9时30分，钟面上时针与分针成 夹角是钝角。角度为105°。
联系拓展 基础过关
答案：角度为105°。 分析过程如下： 9时30分，时针和分针中间相差 3.5个大格。 因为钟表12个数字，每相邻两个 数字之间的夹角为30° 所以9时30分分针与时针的夹角是 3.5×30°=105°。
时针与分针所成夹角
检查预习
情景导入
观察班内的钟表，思考：时钟与分 钟所形成的夹角该如何让计算呢？
学习目标： 会计算时针与分针的夹角
自学梳理
1. 时针一小时转过的角度？
2. 时针一分钟转过的角度？
3. 分针一小时转过的角度？
4. 分针一分钟转过的角度？ 5. 做一做：10时10分，时针与分针所成的夹角？ 6.思考：m时n分 (0≤m≤24 , 0≤n≤60,m,n都是正整 数)时，时针与分针所成的角度？
（提示：画图，观察并思考）
7.小组讨论。
展示评价
时针12小时转过360°，所以每一小 时时针转过30°，即60分钟转过30°， 所以每一分钟转过0.5 ° 。分针1小 时转过360°，即60分钟转过360°， 则每一分钟转过6°。依次可以计算： 时针转过的角度与分针转过的角度的 差的绝对值； 当这个值大于180度 时，再用360度减去这个差。
时钟量角练习题
时钟量角练习题1. 按照图示，求下列两个时钟的钟盘之间的夹角。
 答案：角度为 45°。
2. 在下图中，一个时钟的时针指向 5，而另一个时钟的分钟指针指向 8。
求两个时钟之间的夹角。
 答案：角度为 150°。
3. 若一个时钟的时针指向 10，分钟指针指向 3，求两个时钟之间的夹角。
 答案：角度为 135°。
4. 在下图中，一个时钟的时针指向 4，分钟指针指向 9。
求两个时钟之间的夹角。
 答案：角度为 135°。
5. 若一个时钟的时针指向 12，分钟指针指向 6，求两个时钟之间的夹角。
 答案：角度为 180°。
6. 在下图中，一个时钟的时针指向 9，分钟指针指向 2。
求两个时钟之间的夹角。
 答案：角度为 120°。
7. 按照图示，求下列两个时钟的钟盘之间的夹角。
 答案：角度为 90°。
8. 在下图中，一个时钟的时针指向 6，而另一个时钟的分钟指针指向 11。
求两个时钟之间的夹角。
 答案：角度为 150°。
9. 若一个时钟的时针指向 8，分钟指针指向 4，求两个时钟之间的夹角。
关于时针和分针数学问题
关于时针和分针数学问题与时针和分针相关的数学问题，主要有时针和分针何时重合，何时成一条直线，何时垂直以及计算某一时刻两针夹角度数等，这些问题最终可归结为时针和分针的夹角问题。
一、基本事实1、每小时：分针转360°，时针转3603012︒=︒ 2、每分钟：分针转360660︒=︒，时针转301 602︒⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭3、 从0：0开始，时针与分针每经过360°/(6°-12⎛⎫⎪⎝⎭°) = 56511 (分钟)重合一次；时钟旋转一周，两针共计重合11次；4、 从0：0开始，时针与分针每经过180°/(6°-12°) = 83211 (分钟)，时针与分针处在一条直线上。
实际上，从任何一个时针与分针重合的时刻算起，83211分钟后就是两针成一直线的时刻。
5、 从0：0开始，时针与分针每经过90°/(6°-12°) = 41611 (分钟)，或270°/(6°-12°) = 14911(分钟)，时针与分针呈垂直。
时钟旋转一周，两针相互垂直22次。
二、基本公式1、假设经过M 分钟：分针转过的角度 = 6 M ︒⨯ (1)时针转过的角度 =12⎛⎫︒⨯M ⎪⎝⎭(2) 2、假设任意时间H ：M 时（H 点M 分），分针与时针夹角计算公式为：16M - 30H + 2⎛⎫⎛⎫︒⨯︒⨯︒⨯M ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11M - 30H 2⎛⎫⎛⎫︒⨯︒⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (3)当 ()11M - 30H 02⎛⎫⎛⎫︒⨯︒⨯>︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，分针在时针前；当 ()11M - 30H 02⎛⎫⎛⎫︒⨯︒⨯<︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，分针在时针后；3、假设分针落后时针的夹角为D °，则分针与时针再次重叠所需时间为：1122D D ⎛⎫︒/=︒/11 ⎪⎝⎭（分钟） 三、例题例1：当4点36分时，时针与分针的夹角是多少度？解：由公式(3)()1136 - 4 782⎛⎫⨯︒⨯=︒ ⎪⎝⎭30 答：当4点36分时，时针与分针的夹角为78︒例2：现在是6点整，问多少分钟后时针与分针第一次重合？解：设分钟X 后，时针与分针第一次重合，即时针与分针的夹角是0。
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时钟问题—两针夹角
时钟问题—两针夹角
分两种情况：
（1）顺向：按顺时针方向分别计算出时针、分针钟面度数，然后大角--小角的差就是两针夹角（也就是角度差）
（2）反向：用360度减去以上顺向角度差，就是两针反向夹角，正反两个夹角之和正好是360度。
例1：当钟面上9时20分时，时针与分针的夹角为多少度？
解：
分针：20×6=120
时针：9×30+20×0.5=280
夹角(1)顺向：
280-120=160°
夹角(2)反向：
360-160=200°
例2：6时整，两针夹角？
解：
分针：0×6=0
时针：6×30+0×0.5=180
夹角（1）顺向：
180-0=180°
夹角（2）反向：
360-180=180°
例3：8时30分，两针夹角？
解：
分针：30×6=180
时针：8×30+30×0.5=255
夹角（1）顺向：
255-180=75°
夹角（2）反向：
360-75=285°
例4：2时50分，两针夹角？解：
分针：50×6=300
时针：2×30+50×0.5=85
夹角（1）顺向：
300-85=215°
夹角（2）反向：
360-215=145°。