巧解钟表上的角度问题
时钟问题巧解-三种类型解题方法以及角度巧解ppt课件
例5
现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间， 时针与分针到“4”的距离第一次相等？
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例5
现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间，时针与 分针到“4”的距离第一次相等？ 解析：假设4点时时针和分针同时出发，相向而行，那么 就会在图乙中分针所在的位置“相遇”。此题就转化为相 遇问题。在这个相遇过程中，时针和分针共同行走的路 程是20小格，分针的速度是每分钟走1小格，时针的速 度是每分钟走1/12小格，用路程和÷速度和=相遇时间。
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解题
360º÷12×3=90º.....3大格所对应的角度 0.5º×50=25º......时针从1：00-1：50这50分
钟所形成的角度。 90º+25º=115º......1时50分的时刻，时针与分
针的夹角度数。 答。。。
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练习
3、吃过晚饭，小明一家出去散步，他们出门前钟 面显示7点多，他们回来后钟面显示也是7点多， 且两次钟面上时针与分针都恰好位于一条直线上： 请问他们散步用了多长时间？
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例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？
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例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？ 解析：时针和分针位于一条直线上，要分两钟情 况来考虑： 时针和分针重合 时针和分针成180º角
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例4
在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹 角是多少度？
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例4
1、时针分针重合：（点数*5）/（1-1/12） 2、时针分针成直角（画图根据情况用公式）：
3点前：（点数*5+15）/（1-1/12） 3点后：（点数*5-15）/（1-1/12） 3、时针分针在一条直线上： 6点前：（点数*5+30）/（1-1/12） 6点后：（点数*5-30）/（1-1/12）
巧解钟表问题
巧解钟表问题在学习角的运算时，同学们都遇到过许多有关钟表的时针和分针的夹角问题。
对于这类问题，大多数同学常常感到无从下手。
下面介绍几种推算的方法，以达到快速解答这类题目的目的。
准备知识：一个圆周360 ，被分成12个格，每格30 ，也即钟表每走一小时，时针转过的角度为30 ；同时圆周又分成60个小格，每小格6 ，也即每走一分钟，分针转过的角度为6 。
例1．当钟表显示3点整时，时针与分针的夹角是多少度？三点半呢？3点40分呢？ 解：（本题和下面几题所说的时针转过的角度、分针转过的角度都是与12点时的位置相比较转过的角度）（1）3点整时时针转过的角度为：330⨯ ＝90 ，分针转过的角度为：00⨯ ＝0。
∴时针与分针的夹角为900- ＝90 。
（2）三点半时，时针转过的角度为：13302⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ ＝105 ，分针转过的角度为：306⨯ ＝180。
∴时针与分针的夹角为105180- ＝75 。
（3）3点40分时，时针转过的角度为：4033060⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝110 ，分针转过的角度为：406⨯ ＝240 。
∴时针与分针的夹角为110240- ＝130 。
规律：时针与分针的夹角＝时针转过的角度－分针转过的角度。
例2．下午5点20分到6点半，时针转过的角度是多少？解：5点20时针转过的角度为：2053060⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝160 ，6点半时针转过的角度为：16302⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝195 。
∴下午5点20分到6点半时针转过的角度是160195- ＝35 。
规律：时针转过的角度等于两次时针转过的角度差的绝对值。
例3．从5点12分到5点34分，分针转过的角度是多少？解：5点12分分针转过的角度为：126⨯ ＝72 ，5点34分分针转过的角度为：346⨯＝204 。
∴分针转过的角度是72204- ＝132 。
规律：分针转过的角度等于两次分针转过的角度的差的绝对值。
例4．4点与5点之间，钟面上时针与分针何时重合？分析：钟面上时针与分针所转的角度相等时，时针与分针重合。
钟表角度问题解题技巧
钟表角度问题解题技巧钟表角度问题是数学中常见的几何问题，涉及到时针、分针和秒针之间的角度关系。
以下是一些解决钟表角度问题的技巧：1. 了解钟表的结构：钟表通常由时针、分针和秒针组成，每根指针以不同的速度移动。
时针每小时移动 30 度，分针每分钟移动 6 度，秒针每秒钟移动 6 度。
2. 利用时针和分针的关系：在钟表上，时针和分针之间的夹角可以通过计算它们之间的时间差来确定。
例如，如果时间为 3 点 30 分，时针和分针之间的夹角为 30 度（因为时针已经走过了 3 个小时，而分针已经走过了30 分钟，即半个小时，所以它们之间的夹角为30 度）。
3. 使用角度的加减法：在解决钟表角度问题时，可以使用角度的加减法来计算指针之间的夹角。
例如，如果要计算时针和分针之间的夹角，可以将时针的角度和分针的角度相减。
4. 注意特殊情况：在一些特殊情况下，时针和分针之间的夹角可能不是整数。
例如，在 1 点 50 分，时针和分针之间的夹角不是 50 度，而是 25 度（因为时针已经走过了 1 个小时又 50 分钟，即 1 又 5/6 小时，所以它与 12 点的夹角为 30×1+30×5/6=55 度，而分针与 12 点的夹角为 6×50/60=5 度，因此它们之间的夹角为 55-5=50 度）。
5. 画图辅助理解：在解决钟表角度问题时，可以通过画图来帮助理解和计算。
画出钟表的表盘，并标出时针、分针和秒针的位置，可以更直观地看出它们之间的夹角关系。
通过掌握以上技巧，可以更好地解决钟表角度问题。
练习不同类型的问题，加深对时针、分针和秒针之间角度关系的理解，将有助于提高解决这类问题的能力。
中考数学复习指导：常见钟表问题的解法
常见钟表问题的解法纵观近年全国各地的中考试卷，此类问题也经常出现，我们不妨称之为“钟表问题”．本文拟从几个方面说明钟表问题的常见类型及其解法．一、求钟面角1．求时针与分针的夹角例1 6点15分时，时针与分针的夹角为_______．思路点拨找出分针与时针之间的格数，再乘以30°即可．解∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，∴6时15分钟时，时针与分针之间有3个整格；同时，时针在6的左侧14处，即与6的夹角为7.5°，∴6时15分钟时分针与时针的夹角3×30°＋7.5°＝97.5°．故在6点15分，时针和分针的夹角为97.5°．2．求时针或分针旋转的角度例2 由2点15分钟到2点30分时钟的分针转过的角是_______．思路点拨算出分针1分钟转过的角，再乘以时间即可，解∵分针1分钟转过6°，∴2点15分到2点30分分针转过的角是6°×15＝90°．二、与轴对称相结合解题例3 小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是( )思路点拨根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置应关于过12时、6时的直线成轴对称．解实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点．那么，8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子，所以应该是C或D答案之一．这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形，故选D．三、利用函数图象解题例4 时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变换而变化．设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，图中能大致表示y 与t之间的函数关系的图象是( )（C）（D）思路点拨根据分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到75°，即可得出符合要求的图象．解当3：00时，y＝90°；当3：30时，时针在3和4中间位置，故时针与分针夹角为：y＝75°．又∵分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合；再增大到75°，所以只有D符合要求．故选D．例5 小华观察钟面（如图1），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度．他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2：00开始对钟面进行了一个小时的观察．为了研究方便，他将分针与时针原始位置OP(图2)的夹角记为），，度，时针与原始位置OP的夹角记为y2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t分钟，观察结束后，他利用所得数据绘制成图象(图3)，并求出了y 1与t 的函数关系式： ()()1603063603060t t y t t ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩请你完成： (1)求出图3中y 2与t 的函数关系式；(2)直接写出A 、B 两点的坐标，并解释这两点的实际意义；(3)若小华继续观察一小时，请你在图3中补全图象．思路点拨 (1)分针每分钟转过的角度是6°，据此即可列出函数解析式；(2)求出两个函数的交点坐标即可；(3)分针会再转一圈，与第一个小时的情况相同，是一个循环，而时针OP 的夹角增大的速度与第一个小时相同，即函数图象向右延伸．(3)补全图象如图4．四、与解直角三角形结合解题例6 图5表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．如图6，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为_______cm．思路点拨根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分，得出AD＝10；进而得出A'C＝16，从而得出A'A"＝3，得出答案即可．解连结A'A"（如罔7）易知AD＝10，∴A'C＝16，∴AD＝A'O＝6．则钟面显示3点50分时．∠A"OA'＝30°，∴A'A"＝3，∴A点距桌面的高度为：16＋3＝19(公分)五、与圆结合解题例7 一只时钟，它的分针长40厘米．这根分针的尖端转动一周所走的路程是多少厘米？思路点拨分针的尖端转动一周所路程正好是以分针的长度为半径的圆长，利用圆周长的计算公式计算即可．解∵r＝40．∴C＝2πr＝2×40π＝80π(厘米)。
知识拓展：钟表上的角度问题
钟表上的角度问题在学习过程中，我们常会遇到与钟表上的角度有关的数学问题，部分学生在解决这类问题时感到困难大，若能仅从时针、分针转动所成的角度入手解决则较容易．我们知道，时针、分针转动一周都经过12大格或60小格．因此，每小时时针转动30°，每分钟分针转动6°．这样我们可以分别计算时针、分针转动的角度，然后求解．下面就常见的类型加以说明．一、求时针、分针的夹角．例1在5点整时，时针与分针所成的夹角是多少度解：5点整时，时针转过了30°×5=150°，分针转过为0°，其度差为150°-0°=150°∴时针与分针的夹角是150°．例26点40分时，时针与分针的夹角是多少度解：6点40分时，时针转过了（66040）×30°=200°，分针转过了40×6°=240°，其度差为240°-200°=40°，∴时针与分针的夹角是40°．例31点54分时，时针与分针的夹角是多少度解：1点54分时，时针转过了（16054）×30°=57°，分针转过了54×6°=324°，其度差为324°-57°=267°，（大于180°）∴时针与分针的夹角是360°-267°=93°．二、求时针与分针的重合时间．例412点后，时针与分针何时首次重合解：时针与分针重合其度差为0°，若设时y 分时针与分针重合，则时针转了︒⨯+30)60(y x ，分针转了6y 度，则有 30（60y ）-6y=0．整理得y=1160，当=1时，得y=1160．∴时针与分针首次重合为1时1160分． 例5在3点至4点间，时针与分针何时重合解：设3点y 分时，时针与分针重合，则时针转过（360y ）×30度，分针转过6y 度，∴06)603(30=-+⋅y y 。
钟表上的角度问题
一、整点时刻两针的夹角 例1 求下午4时，时针与分针之间的夹角
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分析： 下午4时，时针指在4上，分针指在12上，于是可求 出它们之间的夹角.
解：4点整时，时针转过了30°×4=120°， 分针转过为0°， 其度差为 120°－0°=120°， ∴时针与分针的夹 6点40分时,时针与分针的夹角是多少度 2 解:6点40分时,时针转过了 (6 )×30°=200°, 3 分针转过了40×6°=240°, 其度差为240°-200°=40°, ∴时针与分针的夹角是40°.
练习： 1、钟表上2时15分时，时针与分针所形成的锐角的度数是多少？ 2、1点54分时,时针与分针的夹角是多少度 ？ 三、时针与分针分别转过的角度 例3 若时针由2点30分走到2点55分，问时针、分针各转过多大 角度？
分析: 弄清时针、分针每分钟各转过多少度即可求解.
解: 因为时针由2点30分走到2点55分，历经25分钟，
时钟上角度大小的计算问题
时钟钟面上的时针和分针之间的夹角问题，历来是许多同学求解的困惑问 题之一，事实上，只要同学们能弄清时针、分针之间的关系： 时针 1小时转1大格 1小时转30° 1分钟转0.5° 分针 1小时转12大格 1小时转360° 1分钟转6°
分针转的角度为：分钟数×6°； 时针转的角度为：小时数×30°＋分钟数×0.5°
0.5°×(55－30)＝0.5°×25＝12.5°， 所以时针转过的角度为：
或：30°×
55 30 60
=12.5°
分针转过的角度为： 6°×(55－30)＝6°×25＝150°，
七年级上册数学钟面问题
七年级上册数学钟面问题一、时针与分针的夹角问题。
1. 3点整时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：钟面一圈为360°，钟面被分成12个大格，所以每一个大格的角度为360÷12 = 30^∘。
3点整时，时针指向3，分针指向12，中间有3个大格，所以夹角为3×30 = 90^∘。
2. 4点30分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针走30分钟，转了半圈，即180^∘。
时针每小时走一个大格，即30^∘，那么半小时时针走了30÷2=15^∘。
4点时，时针与分针夹角为4×30 = 120^∘，4点30分时，夹角为180 - (120 + 15)=45^∘。
3. 9点15分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针15分钟转了15×6 = 90^∘（因为分针每分钟转6^∘）。
时针每小时转30^∘，15分钟是(15)/(60)=(1)/(4)小时，时针9点15分转了9×30+(1)/(4)×30 = 270 + 7.5=277.5^∘。
所以夹角为277.5 - 90=187.5^∘。
4. 5点20分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针20分钟转了20×6 = 120^∘。
时针每小时转30^∘，20分钟是(1)/(3)小时，时针5点20分转了5×30+(1)/(3)×30=150 + 10 = 160^∘。
所以夹角为160 - 120 = 40^∘。
5. 2点40分时，时针与分针的夹角是多少度？- 解析：分针40分钟转了40×6 = 240^∘。
时针每小时转30^∘，40分钟是(2)/(3)小时，时针2点40分转了2×30+(2)/(3)×30 = 60+20 = 80^∘。
所以夹角为240 - 80 = 160^∘。
二、时针与分针重合问题。
6. 时针与分针在12点整重合，下一次重合是什么时间？- 解析：分针每分钟转6^∘，时针每分钟转0.5^∘。
时钟问题巧解-三种类型解题方法以及角度巧解
3月3日
基础知识回顾
1、时、分、秒之间的基本换算，弄清时针和分针 的行走速度： 按“时”算，分针每小时走60小格，时针每小时走
5小格，分针比时针多走了55小格。 按“分”算，分针每分钟走1小格，时针每分钟走
1/12小格，分针每分钟比时针多走11/12小格。
公式应用（画图根据实际情况分析）
LOREM IPSUM DOLOR
4、现在是8点整，再经过多长时间，时针和分针将第一 次在一条直线上？ 5、时针和分针每隔多少时间重合一次？一昼夜重合多少 次？ 6、4时整时，时针与分针的夹角是多少度（指小于180º 的角）？ 7、在钟面上，8时25分的时刻，时针与分针的夹角是多少 度（指小于180º的角）？
例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？
例3
在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于 一条直线上？ 解析：时针和分针位于一条直线上，要分两钟情 况来考虑： 时针和分针重合 时针和分针成180º角
例4
在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹 角是多少度？
例4
在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹 角是多少度？ 解析：在钟面上，1大格对应的角度是 360º÷12=30º，3大格对应的是90º. 分针每小时走一圈，每分钟走360º÷60=6º，时针 每分钟走6º的1/12，是0.5º.“多的一些”就是时 针从1点整开始走到1点50分这50分钟形成的角度。
例5
现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间， 时针与分针到“4”的距离第一次相等？
例5
现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间，时针与 分针到“4”的距离第一次相等？ 解析：假设4点时时针和分针同时出发，相向而行，那么 就会在图乙中分针所在的位置“相遇”。此题就转化为相 遇问题。在这个相遇过程中，时针和分针共同行走的路 程是20小格，分针的速度是每分钟走1小格，时针的速 度是每分钟走1/12小格，用路程和÷速度和=相遇时间。
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巧解钟表上的角度问题
让我们重新认识一下时钟：时钟的表面被均分成12大格、60小格，若把钟表表面看成以表心为顶点的周角，则每一大格对应的角度为30°，每一小格为6°，也就是说，分针每分钟转过6°的角，时针每分钟转过60
1×30°＝°的角，即每分钟分针总比时针多转°.有了上述知识，我们再来求有关钟表的问题，就不会感到困难了.
分针转的角度为：分钟数×6°；
时针转的角度为：小时数×30°＋分钟数×°.
例1.试问时钟的分针与时针一昼夜重合多少次
解析：你可能直觉认为，分针每小时转一圈，每转一圈就要与时针重合一次，一昼夜有24小时，分针与时针岂不是要重合24次吗
乍听起来这个说法颇有道理，但还是让我们计算后再下结论吧！
设分针与时针从上一次重合到下一次重合用时x 分钟，易知其间分针比时针多转了360°，于是有
6x －＝360，解得x ＝11
720（分）. 一昼夜分针与时针重合的次数为：24×60÷
11720＝22（次）. 怎么样，还相信你的直觉吗
例2.某人晚上6时后外出时，钟表上时针与分针的夹角时110°，晚上7时前回来时，钟表的时针与分针的夹角仍为110°，求此人外出了多长时间
解析：易知，6时后时针与分针首次呈110°角时，分针落后时针110°角，第二次呈110°角时，分针超过时针110°，即其间分针比时针多走了2×110°，设完成此过程共经过了x 分钟，则有
6x －＝2×110，解得x ＝40（分）.
即此人外出了40分钟.。