高考数学专题-椭圆及其标准方程
高考数学专题复习_椭圆
高考数学专题复习椭圆【考纲要求】一、考点回顾1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程3. 椭圆的参数方程4 椭圆的简单几何性质5 点与椭圆的位置关系6 关于焦点三角形与焦点弦7 椭圆的光学性质8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法二 典例剖析1 求椭圆的标准方程【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连-方程为____________（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点，若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，且2PQ =u u u r ，则椭圆方程为_____________________【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r（1）求椭圆的离心率。
（2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。
【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为12,F F ，斜率为k 的直线过右焦点2F与椭圆交于,A B 两点，与y 轴交于点M 点，且22MB BF =u u u r u u u r（1）若k ≤（2）若k =AB 的中点到右准线的距离为10033，求椭圆的方程【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程（2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求直线l 的方程（3）若点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线PQ '过定点 （4）求OPQ V 的最大面积【例5】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程=+与椭圆交于,A B两点（,A B不是左，右顶点）且以（2）若直线:l y kx mAB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u r（1）求椭圆离心率e 的取值范围（2）当离心率e 取最小值时，12PF F V 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设F1(-c,0)，F2(c,0)，点P(x,y)，则PF1+PF2=2a。
椭圆的标准方程为，x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
椭圆的性质：1.椭圆的离心率0<e<1，焦点到中心的距离为ae。
2.椭圆的长轴2a，短轴2b，焦距2ae。
3.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。
4.椭圆的面积为πab。
5.椭圆的焦点到直径的距离等于直径的一半。
6.椭圆的焦点到切线的距离等于焦点到法线的距离。
7.椭圆的切线与法线的交点坐标分别为(x1,y1)和(x1,-y1)。
8.椭圆的渐近线方程为y=±b/ax。
9.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
10.椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+ecosθ)。
椭圆的标准方程推导：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，中心为O(0,0)，点P(x,y)。
则有PF1+PF2=2a，根据两点之间的距离公式可得。
√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。
整理得到。
(√((x+c)^2+y^2))^2+(√((x-c)^2+y^2))^2=4a^2。
化简得到。
x^2/a^2+y^2/b^2=1。
从而得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程性质：1.椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
2.椭圆的中心在原点O(0,0)。
3.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。
4.椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率e=c/a。
5.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距2ae。
6.椭圆的面积为πab。
7.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。
8.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
高三数学专项复习椭圆的标准方程课件
标准方程 图形
范围 对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长
离心率
a,b, c 的关系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
y
o
x
x2 y2 1(a b 0)
b2 a2 y
ox
a ≤ x ≤ a , b ≤ y ≤ b a ≤ y≤ a , b≤ x ≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：
YM
左边是两个分式的平方和， F1 O
F2 X
(-c,0)
(c,0)
右边是1
x2 y2
（2）椭圆的标准方程中， a2 b2 1(a b 0)
x2与y2的分母哪一个大，则 焦点在哪一个轴上。
Y
F2(0 , c)
M X
O
（3）椭圆的标准方程中
F1(0,-c)
❖ A、 1 B、 C、3 D、 5
2
2
2
6
3
❖ 2、（2010）方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上
的椭圆，则实数k的取值范围是（ D）
❖ A、（0，+） B、（1，+ ）
❖ C、（0,2） D、（0,1）
知识点一：椭圆的定义
M
F1
F2
演示椭圆的定义
❖ 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
❖ 这两个定点F1和F2叫做椭圆的焦点， ❖ 两个焦点的距离|F1F2|=2c叫做椭圆的焦距．
知识点二：椭圆的标准方程
求曲线方程的步骤:
步骤一：建立直角坐标系, 设动点坐标M(x，y) 步骤二：找关系式|MF1|+|MF2|=2a |F1F2|=2c(c＞0) F1（-c,0) F2(c,0)
高中数学椭圆及其标准方程
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
整理得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
由椭圆定义可知 2a 2c, 即a c, 所以
a 2 c 2 0, 设 a 2 c 2 b 2 (b 0),
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
x
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
♦提出了问题就要试着解决问题. 怎么推导椭圆的标准方程呢？
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤：
坐标法
回忆圆标 准方程推 导步骤
1、建立适当的坐标系，用有序实数对 （x,y）表示曲线上任意一点M的坐标; 2、写出适合条件 P（M） ; 3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ; 4、化方程为最简形式。
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
两边除以 a b 得
2 2
x y 2 1(a b 0). 2 a b
2
2
椭圆的标 准方程
刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程， 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
高考数学 《椭圆的定义及标准方程》
椭圆的定义及标准方程主标题：椭圆的定义及标准方程副标题：为学生详细的分析椭圆的定义及标准方程的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：椭圆，椭圆的定义，椭圆标准方程难度：2重要程度：5考点剖析：1.理解椭圆的定义；2．掌握椭圆的标准方程及其几何性质，命题方向：1.从考查内容看，椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，其中直线与椭圆位置关系的问题更是高考考查的热点．2．从考查形式看，对定义、标准方程和几何性质的考查常以选择题、填空题的形式出现，属中档题；直线与圆锥曲线位置关系的问题以及与向量、不等式、方程结合的问题常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度．规律总结：椭圆的定义及标准方程规律总结：一条规律：椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系： 给出椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上⇔n >m >0. 两种方法：求椭圆方程的两种方法：(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程；(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．知识梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫 椭圆 ．这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做 焦距 ．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：(1)若 22a c > ，则集合P 为椭圆；(2)若 22a c = ，则集合P 为线段；(3)若 22a c < ，则集合P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质。
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，且椭圆的长轴是以焦点为端点的线段的长度的两倍。
椭圆也可以用数学方程来描述，下面我们来介绍椭圆的标准方程以及相关性质。
1. 椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程是指在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行的情况下，椭圆的方程。
假设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，则椭圆的标准方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
当椭圆的中心不在原点时，可以通过平移坐标轴的方法将椭圆的中心移动到原点，然后再求解标准方程。
2. 椭圆的性质。
椭圆有许多独特的性质，下面我们来介绍其中的一些重要性质：（1）焦点和离心率，椭圆的焦点到中心的距离称为椭圆的焦距，用2c表示。
椭圆的离心率定义为e=c/a，表示焦点到中心的距离与长轴长度的比值。
离心率是一个重要的参数，可以描述椭圆的形状。
（2）焦点和直角坐标系，椭圆的焦点与坐标系有着重要的几何关系。
设椭圆的焦点为F1（c,0）和F2（-c,0），则椭圆上任意一点P(x,y)到焦点的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a。
（3）椭圆的参数方程，椭圆还可以用参数方程来描述，参数方程为x=acosθ，y=bsinθ，其中θ为参数，取值范围为0到2π。
参数方程可以直观地描述椭圆上的点的位置，方便进行曲线的分析和计算。
3. 椭圆的图形和应用。
椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在数学领域，椭圆是圆锥曲线中的一种，具有独特的几何性质和数学特征，是研究曲线和几何形状的重要对象。
在物理学中，椭圆的运动规律被广泛应用于天体运动、机械振动等领域。
在工程领域，椭圆的形状被广泛应用于建筑设计、轨道设计等领域。
总之，椭圆是一种重要的几何图形，具有独特的几何性质和广泛的应用价值。
通过了解椭圆的标准方程和相关性质，我们可以更好地理解和应用椭圆，为实际问题的分析和解决提供更多的可能性。
高三数学椭圆常考题型
高三数学椭圆常考题型一、椭圆的基本性质椭圆是一种常见的二次曲线，具有以下基本性质：1. 椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。
2. 椭圆的焦点距离为：c = sqrt(a^2 - b^2)。
3. 椭圆的离心率e = c/a，离心率的取值范围是[0,1]。
4. 椭圆的准线方程为：x = ±a^2/c。
二、常考题型及解析1. 椭圆的定义与标准方程【例1】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为1/2，且椭圆C上一点到两焦点的距离之和为4。
(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若AB是过椭圆C中心的弦，M是AB的中点，且|AB| = 4√5，求线段AB 的长。
【解析】(1) 根据题意，设椭圆C的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。
由离心率的定义，我们有e = c/a = 1/2。
再根据椭圆的定义，到两焦点的距离之和为4，所以2a = 4，即a = 2。
由离心率的定义和已知条件，我们可以得到b = sqrt(a^2 - c^2) = sqrt(4 - 1) = sqrt3。
所以椭圆C的标准方程为：x^2/4 + y^2/3 = 1。
(2) 设AB的方程为y = kx + t。
代入椭圆方程得到二次方程(3 + 4k^2)x^2 +8ktx + 4t^2 - 12 = 0。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x1 + x2 = -8kt/(3 + 4k^2)，x1x2 = (4t^2 - 12)/(3 + 4k^2)。
由弦长公式得|AB| = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = sqrt((1 + k^2)(x1 - x2)^2) = sqrt((1 + k^2)[(x1 + x2)^2 - 4x1x2])。
将已知条件代入得到k 和t 的关系，进一步求出线段AB的长为8sqrt(3-k^2)。
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，距离为2c。
椭圆的长轴是通过焦点的直线段，短轴是长轴的垂直平分线段。
椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(a>b)。
椭圆的标准方程可以通过椭圆的几何特征进行推导。
首先，我们知道椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
根据点到直线的距离公式，可以得到椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和为2a的方程，√((x+c)²+ y²) + √((x-c)² + y²) = 2a。
然后，我们可以对这个方程进行整理，得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。
通过标准方程，我们可以直观地得到椭圆的中心、长轴、短轴等信息。
同时，我们也可以通过标准方程来求解椭圆的焦点坐标和离心率等参数。
在实际问题中，椭圆的标准方程可以帮助我们进行图形的分析和计算。
例如，当我们需要绘制椭圆的图形时，可以通过标准方程来确定椭圆的中心、长轴、短轴，进而绘制出准确的图形。
另外，当我们需要求解椭圆上的点的坐标或者求解椭圆的焦点坐标时，也可以通过标准方程来进行计算。
除了标准方程外，椭圆还有其他形式的方程，例如参数方程和一般方程。
参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标，而一般方程则是通过平移、旋转等变换得到的一般形式的方程。
这些不同形式的方程都可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质和特点。
总之，椭圆及其标准方程是解析几何中重要的内容，它不仅具有丰富的几何性质，而且在实际问题中有着广泛的应用。
通过深入理解椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，从而更好地应用椭圆解决实际问题。
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椭圆及其标准方程【题型Ⅰ】椭圆及其标准方程
1、若点M到两定
点F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为2，则点M的轨迹是
（
）
A.椭圆
B.直线F1F2
C.线段F1F2
D.线段F1 F2的中垂线.变式：方程( x2) 2y2( x2) 2y 26表示的曲线为 ________ .
2、两焦点为F1 (3,0) ， F2 (3,0) ，且过点A(0,4) 的椭圆方程是（）
A． x2y 21B． x 2y21
1692516
C． x2y21D．以上都不对
259
练习：椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为2
，长轴长为6，则椭圆方程为（）3
A． x2y21B． x 2y 21
362095
C． x 2y 21或 x2y 21D． x2y 21或 x 2y 21 955920363620
3 、与圆( x1)2y 2 1 外切，且与圆(x1)2y 29 内切的动圆圆心的轨迹方程是__________。
练习：已知圆
A :
x
32
y
2100，圆
A
内必定点
B
（，），圆
P
过点
B
且与圆
A
内
3 0
切，求圆心P 的轨迹方程.
4、椭圆x
2
y21的左、右焦点为 F1、 F2，ABF1的极点A、B在椭圆上，且边
AB经
过259
右焦点 F2，则ABF1的周长是__________。
练习：已知三角形PAB的周长为12，此中 A(-3,0),B(3,0),求动点P的轨迹方程
5、已知椭圆x
2
y21， F1， F2分别为椭圆的左右焦点，点 A （1,1）为椭圆内一点，95
点 P位椭圆上一点，求PA + PF1的最大值
6、求与椭圆x
2
y
21有同样焦点，且过点P( 5, 6) 的椭圆方程。
164
练习：若椭圆的两焦点为（－ 2 ， 0 ）和（ 2， 0 ），且椭圆过点(5,3
) ，则椭圆方程是
22（）
A． y 2x21B． y 2x21C． y2x21D． x 2y21 8410648106
7、经过点M( 3 ,－2), N(－2 3 , 1)的椭圆的标准方程是.
变式：方程 Ax2+By2=C 表示椭圆的条件是
（ A）A, B 同号且 A≠ B （ C）A, B, C 同号且 A≠B （B）A, B 同号且 C 与异号（ D）不行能表示椭圆
【题型Ⅱ】椭圆的几何性质
8、曲线x
2
y21与x 2y21( k 9) 之间有（）25925k 9k
A．同样的长短轴B．同样的焦距C．同样的离心率D．同样的短轴长
练习：椭圆
x2y21的焦点坐标是（）
m2m5
（A） (± 7, 0)（ B）(0,±7) （C）(±7 ,0)（D）(0, ±7 )
9、设椭圆的标准方程为
x2y2
k 351，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是
k
（ A） k>3（ B） 3< k<5（ C） 4<k<5（ D） 3<k<4
练习： a0,，方程 x 2 sin y2 cos 1 表示焦点在y 轴上的椭圆，则的取值范2
围是
（ A）0,（B）0,（C）,（D）,
2（）
44424
10、椭圆的两个焦点和短轴的两个极点，是一个含60角的菱形的四个极点，则椭圆的离心率为（）
A．1
B．3C．3D．
1
或3 22322
练习：假如椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为
（ A）31
2（C）
39（B）
4
（D ）5310
22
11、设 P 为椭圆x
2y21(a b0) 上一点， F1、 F2为焦点，若PF1 F275，
a b
PF2 F115 ，则椭圆的离心率为（）
A．
2
B．
3
C．
2
D．
6 2233
练习： F1、 F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、 Q 两点，PF1PQ ，且| PF1 | | PQ |，则椭圆的离心率_________.
12、椭圆x
2
y
2 1( a>b>0)长轴的右端点为
A，若椭圆上存在一点P，使∠ APO=90 °，求a 2 b 2
此椭圆的离心率的取值范围。
练习：椭圆x
2
y 21(a>b>0)的半焦距为c，若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的坐标为c，a2 b 2
则椭圆的离心率为.
13、椭圆的两焦点为F1(－ 4, 0), F 2(4, 0)，点 P 在椭圆上，已知△ PF 1F2的面积的最大值为12，
求此椭圆的方程。
x2y 2
1 上一点，以点P以及焦点F1, F2为极点的三角形的面积为1，练习：点 P 为椭圆
4
5
则点 P 的坐标是
15
（ B）(151515
（ A）(±, 1), ±1) （C） (
2, 1) （ D）(±, ±1)
222
14、 P 为椭圆x
2
y212是其焦点，若∠1212的面100上的一点， F和 F F PF=60 °，则△ F PF 64
积为.
练习：已知 3 0、x 2y 2
的两个焦点， P 在椭圆上，，
F13,0是椭圆1F1 PF2 ,F2
m 2n
F1PF 2面积最大，求椭圆的方程．且当
3
时，
15、直线y x m 与椭圆
x
2
y
21有两个交点，求m 的取值范围。
144 25
16、椭圆
x
2
y 2
1 a ＞ b ＞ 0 与直线 x
y 1 交于 P 、Q 两点，且 OP
OQ ，此中 O
a 2
b 2 为坐标原点 .
（1）求 1
1 的值；（
2 ）若椭圆的离心率 e 知足 3
≤ e ≤
2
，求椭圆长轴的取值范
a 2
b 2
3
2
围
17、已知：椭圆
x 2
y
2
1，求：
16 4
（ 1）以 P （ 2， -1 ）为中点的弦所在直线的方程； （ 2）斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程；
（ 3）过 Q(8,2) 的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。
18、已知椭圆中心在原点，焦点在
x 轴上，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个极点
B 与两个
焦点 F 1、 F 2 构成的三角形周长为 4 2 2 ，且 BF 1 F 2 45 ，求椭圆的标准方程。
19、已知椭圆x2y 21和点 A(0, 1) ，一条斜率为k的直线l与椭圆交于不一样两点M、 N，
3
且知足 | AM| | AN | ，求k的取值范围。
20、一条改动的直线L 与椭圆x
2 +
y
2 =1 交于P、 Q 两点， M 是 L 上的动点，知足关系42
|MP| ·|MQ|=2．若直线L 在改动过程中一直保持其斜率等于1．求动点 M的轨迹方程，并说明曲线的形状．
练习：在面积为 1 的△ PMN 中，tan∠ PMN= 1
, tan∠ MNP =－ 2, 适合成立坐标系，求以 M, N 2
为焦点，且过点P 的椭圆方程。