第三章 立体2
因截交线是属于截平面上的线，所以截交线一般 是封闭的平面图形。
根据上述性质，截交线的基本画法可归结为求平面与 立体表面共有点的作图问题。
二、平面与平面立体相交
平面立体被截平面切割后所得的截交线，是由直线段组 成的平面多边形，多边形的各边是立体表面与截平面的交线 。求出截平面与平面体各被截棱线的交点依次连接即得截交 线。 求截交线的一般步骤 （1）根据立体与截平面的位置分析截交形状 （2）求截交线上各顶点的投影 （3）判别可见性后，按顺序连接各点投影 （4）擦去被截掉部分的投影，按虚实加深图线
4" 3" 5"
2" 1"
13 5
3-2 分析平面立体的截交线，补全截切体的投影
3.
1'2'
7'8' 5'6' 3'4'
8" 6"
4" 2"
7"
5"
3" 1"
24
68Biblioteka 7135步2骤004与-8答案
山东科技大学 王农
12
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[例6] 画出三棱柱穿孔后的水平投影和侧面投影
1’(2’）
4.4 平面与立体相交
一、概述 二、平面与平面立体相交 三、平面与回转体相交
一、概述
平面与立体相交，可看作用平面截切立体，平面称 为截平面，截平面与立体表面所产生的交线称为截交 线，截交线围成的平面图形称为截断面，被截切后的 立体称为截割体。
截平面 截交线
截断面
截交线性质:
共有性 截交线是截平面和立体表面的共有线。
定形、找点、判断、连接、整理
例1 求四棱锥的截交线
1' 2' 3'
1"
2"
3"
4' 5'
4
2
4"
5"
解题步骤
1．分析 截交线的正面 投影已知，水平投影和 侧面投影未知；
2．求出截交线上的折 点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、
V；
3．判别可见性，顺次地 连接各点，作出截交线；
4．整理轮廓线。
1
5
3
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ Ⅴ
[例2] 求立体切割后的投影
6
（5） 4
1
2 （3）
35
1
6
2 4
6
5
4
3 1 2
Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
例3 求三棱锥的截交线
4'
1'
2'
3'
3
1 4
2
y
y
4"
3" y
1" 2" y
解题步骤
1．分析 截交线的正面 投影已知，水平投影和 侧面投影未知；
2．求出截交线上的折点 Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ ；
3．顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可 见性；
2”
1”
3’ (4’）
5’ 7’ (6’）
4”(6”)
4
2
6
3
5
71
3”(5”)
7’’
本节结束
4．整理轮廓线。
Ⅳ Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
4.补全三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
6'
5'
1'
2' 3'4'
1
4
6
3
5
2
6"
4" 1" 3"
5" 2"
5 作六棱柱被截切后的侧面投影。
6'7' 6"
7"
4'5'
4"
2'3'
2"
1'
2 46
5" 3" 1"
1
3 57
3.作三棱柱被穿孔后的侧面投影。
3'4'
5' 1'2' 24
第三章 第二节 原子晶体与分子晶体 第2课时 Word版含答案
第2课时原子晶体[学习目标定位] 1.知道原子晶体的概念，能够从原子晶体的结构特点理解其物理特性。
2.学会晶体熔、沸点比较的方法。
一、原子晶体的概念、结构及其性质1.概念及组成(1)概念：相邻原子间以共价键相结合形成的具有空间立体网状结构的晶体，称为原子晶体。
(2)构成微粒：原子晶体中的微粒是原子，原子与原子之间的作用力是共价键。
2.两种典型原子晶体的结构(1)金刚石的晶体结构模型如图所示。
回答下列问题：①在晶体中每个碳原子以4个共价单键对称地与相邻的4个碳原子相结合，形成正四面体结构，这些正四面体向空间发展，构成彼此联结的立体网状结构。
②晶体中相邻碳碳键的夹角为109°28′，碳原子采取了sp3杂化。
③最小环上有6个碳原子，晶体中C原子与C—C键个数之比为1∶2。
④晶体中C—C键键长很短，键能很大，故金刚石的硬度很大，熔点很高。
(2)二氧化硅晶体结构模型如图所示。
回答下列问题：①每个硅原子都采取sp3杂化，以4个共价单键与4个氧原子结合，每个氧原子与2个硅原子结合，向空间扩展，构成空间网状结构。
②晶体中最小的环为6个硅原子、6个氧原子组成的12元环，硅、氧原子个数比为1∶2。
3.特性由于原子晶体中原子间以较强的共价键相结合，故原子晶体：①熔、沸点很高，②硬度大，③一般不导电，④难溶于溶剂。
4.常见的原子晶体：常见的非金属单质，如金刚石(C)、硼(B)、晶体硅(Si)等；某些非金属化合物，如碳化硅(SiC)、氮化硼(BN)、二氧化硅(SiO2)等。
原子晶体的结构特点(1)构成原子晶体的微粒是原子，其相互作用力是共价键。
(2)原子晶体中不存在单个分子，化学式仅仅表示的是物质中的原子个数比关系，不是分子式。
例1下列物质的晶体直接由原子构成的一组是()①CO2②SiO2③晶体Si④白磷⑤氨基乙酸⑥固态HeA.①②③④⑤⑥B.②③④⑥C.②③⑥D.①②⑤⑥【考点】原子晶体【题点】原子晶体的一般性质及判断答案C解析CO2、白磷、氨基乙酸、固态He是分子晶体，其晶体由分子构成，稀有气体He由单原子分子构成；SiO2、晶体Si属于原子晶体，其晶体直接由原子构成。
高中数学人教A版选修1-1第3章3-2立体几何中的向量方法教案
即 a2 = 3x2 + 2(3x2 cos )
x=
1a
3 + 6 cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求
两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
分析：面面距离 点面距离 向量的模 回归图形
解： 过 A1点作 A1H ⊥ 平面 AC 于点 H.
解：
设平面 AEF 的法向量为
则有
6，如图所示建立坐标系，有
为平面 AEF 的单位法向量。
分别求平面 SAB 与平面 SDC 的法向量，并求出它们夹角的余弦。 解：因为 y 轴 平面 SAB，所以平面 SAB 的法向量为 设平面 SDC 的法向量为， 由
§3.2.2 空间角与距离的计算举例
【学情分析】：
空间中的几何元素
如图，在空间中，我们取一点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 点、直线、平面的
的位置就可以用向量 OP 来表示．称向量 OP 为点的位置向量。
位置的向量表示方 法。
●P
基点 O●
2. 思考：在空间中给定一个定点 A 和一个定方向（向量），能确定一条直
线在空间的位置吗？ l
a
P
A
AP = a( R)
∴ sin BAD = 1− 9 = 32 ， 105 35
五、小结 六、作业
∴ S ABCD =| AB | | AD | sin BAD = 8 6 ．
1． 点、直线、平面的位置的向量表示。 2． 线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。 A，预习课本 105～110 的例题。 B，书面作业:
（1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量； （2）求平行四边形 ABCD 的面积．
新教材高中数学第3章空间向量与立体几何§22-2空间向量的运算三课件北师大版选择性必修一
3．理解投影向量与投影数量的概 算，提升数学运算与直观想象
念以及它们之间的关系．(难点) 素养．
NO.1
情境导学·探新知
新知初探 初试身手
平面向量的数量积是如何定义的？空间向量的数量积可以像平 面向量的数量积那样定义吗？为什么？
1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作O→A＝a，
O→B＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角 记法 〈a，b〉 范围 _0_≤__〈__a_，__b_〉__≤__π_ 向量 当〈a，b〉＝π2时，a⊥b；a·b＝0 垂直 规定：零__向__量__与任意向量垂直
1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a， －b〉，〈－a，－b〉有什么关系？
类型 2 利用数量积求夹角 [探究问题] 1．若向量A→B与C→D的夹角为 α，直线 AB 与 CD 所成的角为 β， 则 α＝β 一定成立吗？
[提示] 不一定．α＝β 或 α＋β＝π．
2．怎样利用数量积求两直线的夹角 α？
[提示] 先求 cos α＝|cos〈a，b〉|＝|a|a|··|bb||；再结合 α 的范围确定 其值．
－3k，则 a·b＝( )
A．－2
B．－1
C．±1
D．2
[答案] A
1234
3．在如图所示的正方体中，下列夹角为 45°的一组向量是 ( )
A．A→B与A→′C′
C．A→B与A→′D′ [答案] A
B．A→B与C→′A′ D．A→B与B→′A′
1234
4．已知向量 a，b 满足：|b|＝ 2，〈a，b〉＝45°，且 a 与 2b－a 互相垂直，求向量 a 的模．
[提示] 〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a， b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
2021_2022高中数学第三章空间向量与立体几何2立体几何中的向量方法1教案新人教A版选修2_
立体几何中的向量方法【教学目标】1. 向量运算在几何证明与计算中的应用；2. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题。
【导入新课】 复习引入1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a ba b⋅⋅，可求两个向量的数量积或夹角问题；⑵利用性质a ⊥b ⇔a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题。
新授课阶段例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥。
证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －。
∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=． ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =。
∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥ 例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D间的距离。
解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥。
由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120，∴2||CD ＝2()CA AB BD ++＝2||CA ＋2||AB ＋2||BD ＋2(·CA AB ＋·CA BD ＋·AB BD )＝22222cos120b a b b +++＝22a b +。
工程制图(英汉双语对照)第3章平面与曲面立体相交 2
双曲线+直线
P 平行于轴线；
截交线的投影形状 ④Parabola+straight line: P parallel with a contour line.
抛物线+直线
P 平行于一条轮廓线；
⑤Isoceles triangle:P across the apex point. 等腰三角形 P 通过锥尖。
①Circularity: P perpendicular to the axis.
圆形
P 垂直于轴线；
②Ellipse: P tilted to the axis. 椭圆 P 倾斜于轴线；
Shape of the projection of intersection lines
③Hyperbola+ straight line:P parallel with axis.
显
求圆柱筒被截切后的H 、W 面投影。
示
后
Example3. Draw V，H views of the cutting cone.
面
求圆锥体被截切后的H、W 面投影。
内
容
Example4. Draw V，H views of the cutting half sphere。
求半圆球体被截切后的H、W 面投影。
(2) Draw special points. 求特殊位置各点（顶、拐点）的投影；
(3) Distinguish its visibility. 判别可见性后，按顺序连接各点的投影； 请
(4) Complete the projection. 根据立体和截交线的二投影求出第三投影； 点
(5)
Erase
请点击鼠标左键显示后面内容
chap03-2
两种常用的改变基团位置的方法: 两种常用的改变基团位置的方法: 交换基团法 旋转法
1. 交换基团法
手性碳上的两个基团或原子交换奇数次得对映体, 交换偶数 手性碳上的两个基团或原子交换奇数次得对映体, 交换偶数 奇数次得对映体 次回到原来结构
CH3 交换CH3和C2H5 H HO I C2H5 H H3C I C2H5 交换 1 次 H HO CH3 C2H5 交换CH3和OH 交换 2 次
H OH
CH3 CH3 CH3
伞形式
Fischer 投影式
十字式
一.立体结构式的变换
问题 1:如何改变基团的位置而又不改变原有构型? 如何改变基团的位置而又不改变原有构型? 问题 2: 如何判断两个结构式(如下图)是否为同一化合物? 如何判断两个结构式(如下图)是否为同一化合物?
CH3 H HO C2H5 C2H5 H3C H OH
3 4 S
COOH H H HO R 2
3
OH OH H
H OH
R 4
COOH
COOH
非手性分子(有对称面) 非手性分子(有对称面)
手性分子(为对映体) 手性分子(为对映体)
假手性碳的构型(用r/s表示) 表示) 假手性碳的构型( r/s表示
相同组成的手性碳优先顺序:R型 > S型 相同组成的手性碳优先顺序: S型
4. 一些不含手性碳的手性分子
含有两个互相垂直的平面) 连二烯型(含有两个互相垂直的平面)
H C Cl C C H Cl H Cl C C C Cl H
与镜像无法重合,是手性分子 与镜像无法重合, 比较: 比较:
H C Cl C C H H H H C C C Cl H
有对称面,为非手性分子 有对称面,
新浙教版九年级数学下册第三章《3.2简单几何体的三视图2》公开课课件
于同一平面(如图4-22)，就是我们所熟悉的三视图.
• 通过以上的合作，你有什么发现？
三视图的形成
把主视图、俯视图、左视图摊平在一个平面上，则 就是三视图。
左视图
三视图的对应规律
主视图和俯视图 ----长对齐
主视图和左视图 ----高平齐
俯视图和左视图 ----宽相等
长对正，高平齐，宽相等！
做一做
如图所示的蒙古包的上部是圆锥，下部是圆柱体，你 能画出它的三视图吗？三视图与投影有什么关系？
正投影面上的正 投影就是主视图
侧投影面上的正 投影就是左视图
水平投影上的正 投影就是俯视图 在平行投影中，如果投影线垂直于投影面，那么这种 投影就称为正投影。 物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影
2cm
主视图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2cm
左视图
2c·m
俯视图
练一练
1、如图，圆柱体的三视图正确的是（ D ）
主视图 俯视图
左视图
（A）
主视图 左视图
（B）
俯视图
主视图 俯视图
左视图
（C）
主视图 俯视图
左视图
（D）
练一练
2.P82课内练习-2
3、画出下列几何体的三视图（小立方体棱长为1cm）
作业作业本（2）P18-1.2.3.4.5.6
一个正六棱柱高2cm，底面是边长为1.5cm的正六边 形，先说出它在正面、水平面、侧面三个方向的正投 影是什么图形，然后画出它的三视图。
为了使正投影能正确、清楚地反映物 体，物体与投影线、投影面之间常要选 择一些特殊的位置关系！
口答
P82作业题1，2，3
例1、一个圆锥如下图所示，底面直径为8㎝， 高6㎝，画出它的三视图(比例为1：4)
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。
第三章 平面立体的投影及线2
b’ a’ V X H a d’ c’
b
d c
0
c1’
b1’ a1’
例题
求点S到平面ABC的距离
k1
s1 距离
例题
已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
d e
N
d
2、投影面平行面（目的是得到反映平面实形的投影）
平面与投影面的位置关系有三种：平行、垂直、任意斜平面。 投影面平行面其投影已反映实形，不需作辅助投影。
H
YH (a)投影面水平面
YH
（2）正平面：平行于正立投影面的平面 a、在V面投影反映实形 b、在H 、W面的投影积聚成直线，且分别平行于投影轴OX、OZ
Z Z V W YW X X YW
H
YH
YH
(b)投影面正平面
（3）侧平面：平行于侧立投影面的平面 a、在W面投影反映实形 b、在H 、V面的投影积聚成直线，且分别平行于投影轴OYH、OZ Z Z V W YW X X YW
⑴反映投影面垂直面实形的辅助投影
投影面垂直面本身垂直于原投影面之一，因此在垂直于原投影面内作一平行于垂直面的平面即可。 作图步骤： a.作O1X1∥ac(b),建立新投影体系V1/H. b.过a作的O1X1垂线，在垂线上量取a1´ax´=a´ax´,得a1´. c.过c(b)点作O1X1的垂线，在垂线上量取b1´b´x=b´bx´, c1´bx´=c´bx,得b1´和c1´. d.连接a1´b1´和a1´c1´和b1´c1´得△a1´ b1´c1´，即为△ABC的实形。
第三章立体上直 线的投影分析 3.2.5 直线的辅助 投影
两直线位置关系的判定： 判定两直线与投影面的位置关系 一、两条都为投影面斜直线。 1、其两面投影均相交。看交点是否符合点的投影规律：符合， 则两直线相交；否则就是交错。
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定1数学教案
3.2.2 空间线面关系的判定设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：思考：否垂直？[提示] 垂直1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]利用空间向量证明线线平行【例1】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 1．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c . ∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.利用空间向量证明线面、面面平行[探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ 提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例2】 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[思路探究][证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA→－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD . 1．本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.[证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)， 则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)， 设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)，又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .向量法证明垂直问题【例3】 如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE . [思路探究] 建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明] AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1， 则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1.又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n .∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE . 1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解] 由例3，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x ＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明． (2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， ∴存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy ， ∴x ＝6，y ＝152.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.－5 [∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5.]4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.。