高中数学二次函数
高中数学必修一 第二章 函数 第12节 二次函数的图象和性质
典例分析：
（2）函数 f（x）=ax2+2ax+1 在[﹣3，2]上有最大值 4．那么实数 a 等于（ ）
A．﹣3 B． C．
D．
解：①当 a＞0 时，因为对称轴为 x=﹣1， 所以 f（2）最大， 所以 f（2）=4，即 4a+4a+1=4，
所以 a= ；
②当 a＜0 时，因为对称轴为 x=﹣1，所以 f（﹣1）最大，所以 f（﹣1）=4，即 a﹣2a+1=4，所以 a=﹣3； ③当 a=0 时，f（x）=1 恒成立，不满足条件． 综上可知，a=﹣3 或 a= ．
练习：若函数 f（x）=x2+bx+c 满足 f（﹣3）=f（1），则 （ ） A．f（1）＞c＞f（﹣1） B．f（1）＜c＜f（﹣1） C．c＞f（﹣1）＞f（1） D．c＜f（﹣1）＜f（1） 解：函数 f（x）=x2+bx+c，开口向上，满足 f（﹣3）=f（1），函数的对称轴为： x=﹣1． x∈[﹣1，+∞）函数是增函数． x=﹣1 时函数取得最小值． f（0）=c． 所以：f（1）＞c＞f（﹣1）． 故选：A．
高中数学 必修一
第二章 函数 第12节 二次函数的图像和性质
第二章 函数
第十二节 二次函数的图象和性质
必备新知
1．二次函数的定义
函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，定义域为 R.
必备新知
2．二次函数 y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
典例分析：
例 1：画出函数 f(x)＝－x2＋2x＋3 的图象，并根据图象回答下列问题：
练习：已知函数 y＝f(x)＝3x2＋2x＋1. (1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)已知 f(－32)＝1，不计算函数值求 f(0)；
论述高中数学二次函数的变换规律
论述高中数学二次函数的变换规律一、二次函数的一般形式二次函数一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二、平移变换规律1. 水平平移：- 右平移h个单位：y = a(x - h)^2 + bx + c；- 左平移h个单位：y = a(x + h)^2 + bx + c。
2. 垂直平移：- 上平移k个单位：y = ax^2 + bx + (c + k)；- 下平移k个单位：y = ax^2 + bx + (c - k)。
三、缩放变换规律1. 水平缩放：- 横坐标伸缩为原来的k倍：y = a(x/k)^2 + bx + c，其中k≠0；- 横坐标收缩为原来的k倍：y = a(kx)^2 + bx + c，其中k≠0。
2. 垂直缩放：- 纵坐标伸缩为原来的k倍：y = (ak)x^2 + bx + c，其中k≠0；- 纵坐标收缩为原来的k倍：y = (a/k)x^2 + bx + c，其中k≠0。
四、翻转变换规律1. 关于x轴翻转：y = a(-x)^2 + bx + c。
2. 关于y轴翻转：y = ax^2 - bx + c。
3. 关于原点翻转：y = a(-x)^2 - bx + c。
五、其他常见变换规律1. 拉伸变换：- 沿x轴拉伸：y = a(x/k)^2 + bx + c，其中a>0，且k>1；- 沿y轴拉伸：y = (ak)x^2 + bx + c，其中a>1。
2. 旋转变换：- 顺时针旋转α角：y = a(xcosα + ysinα)^2 + bxcosα - bysinα + c，其中a>0，α∈[0,2π)。
- 逆时针旋转α角：y = a(xcosα - ysinα)^2 + bxcosα + bysinα + c，其中a>0，α∈[0,2π)。
六、应用举例例如，对于二次函数y = x^2 + 2x + 1，可以通过平移、缩放和翻转等变换规律进行如下操作：- 右平移1个单位：y = (x - 1)^2 + 2(x - 1) + 1；- 上平移2个单位：y = x^2 + 2x + 3；- 横坐标伸缩为原来的2倍：y = (1/2)x^2 + 2x + 1；- 纵坐标伸缩为原来的3倍：y = 3x^2 + 2x + 1；- 关于y轴翻转：y = x^2 - 2x + 1；- 关于原点翻转：y = x^2 + 2x + 1。
高中数学中的二次函数与函数拐点位置
高中数学中的二次函数与函数拐点位置在高中数学中，二次函数是一个非常重要且基础的概念。
它在解决实际问题、数学建模和几何图形分析中都具有广泛的应用。
本文将重点讨论二次函数的定义、性质以及函数拐点位置的确定方法。
一、二次函数的定义与性质二次函数是指具有如下形式的函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$，且$a, b, c$为实数。
1. 二次函数的图像特点二次函数的图像通常呈现开口方向向上或向下的抛物线形状。
开口方向由二次函数的系数$a$的正负决定。
当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
2. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴是一个重要的概念，它切割了抛物线图像，将其分为左右对称的两部分。
对称轴可以通过以下公式求得：$x = -\frac{b}{2a}$。
其中，$x$表示对称轴的横坐标。
3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是函数最高点或最低点的位置，也是函数拐点的位置。
顶点的纵坐标可以通过直接将对称轴的横坐标代入二次函数中计算得到。
二、函数拐点位置的确定方法函数拐点是函数曲线发生弯折的位置，也是函数图像由凹向上凹向下（或凹向下凹向上）的转折点。
寻找函数拐点有以下两种常用方法。
1. 利用导数和二阶导数对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其一阶导数为$y' = 2ax + b$，二阶导数为$y'' = 2a$。
函数拐点位置可以通过求解二阶导数等于零的横坐标来确定。
当$y'' = 0$时，可以解得$x = -\frac{b}{2a}$，即为函数拐点的横坐标。
2. 利用顶点坐标根据二次函数的顶点坐标$(h, k)$，其函数拐点的横坐标为$h$。
因此，为了确定函数拐点的位置，只需要找到二次函数的顶点坐标即可。
对于一般形式的二次函数，我们可以通过完成平方的方式将其转化为顶点坐标形式。
精品_高中数学专题—二次函数巩固
2 当x [－1,1]时，由x 2－x＋1 2x＋m，
得x 2－3x m－1.当x＝1时， ( x 2－3x) min＝－2， 所以m－1 －2，则m －1.故实数m的取值 范围是(－，－1)．
考点二、二次函数的零点分布
【例2】 已知函数 f(x)＝x2 ＋ 2mx＋2m ＋1的 零点都在区间(0,1)上，求实数m的 取值范围．
高中数学专题
二次函数专题巩固
知识梳理
• 1、二次函数的解析式（待定系数法）
• ①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
• ②顶点式：y=a(x－h)2+k,a≠0，其中 (h,k)为抛物线的顶点坐标。 • ③零点式(两根式)：y=a(x－x1)(x－x2)， a≠0其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横 坐标。
2 【解析】 1 设函数 f x ＝ ax ＋bx＋1(a 0)，
则a( x＋1) 2＋b( x＋1)＋1＝ax 2＋bx＋1＋2x， 2a b b 2 a 1 整理得 ，解得 . a b 1 1 b 1 所以f x ＝x 2－x＋1.
f (2) 0 于是设f x ＝a( x－2) ＋c.由 ， f (0) 48 16a c 0 a 4 即 ，得 ， 4a c 48 c 64 所以f x ＝－4x 2＋16x＋48.
2
【练习1】 已知二次函数 f(x) 满足 f(x ＋ 1) － f(x) ＝ 2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2) 在区间 [ － 1,1] 上，函数 f(x) 的图象 恒在直线y＝2x＋m的上方，求实数m 的取值范围．
③当t 2时，函数f x 在区间[t，t＋1]上 递减，此时g t ＝f t ＝－t 2＋4t－1， t 2 2t 2(t 1) 综上，g t ＝3(1 t 2) t 2 4t 1(t 2)
初高中数学衔接知识复习二次函数
初、高中数学衔接知识复习：二次函数一．要点回顾1． 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方得：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以由函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移而得到。
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质：[1] 当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，函数取最小值 ．[2] 当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，函数取最大值 ．3．二次函数的三种表示方式[1]二次函数的三种表示方式：(1)．一般式： ； (2)．顶点式： ； (3)．交点式： ． 说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．2 二次函数图像的变换----------平移二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2（ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（3）把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为 （ ）（A ）y ＝ (x ＋1)2＋1 （B ）y ＝－(x ＋1)2＋1（C ）y ＝－(x －3)2＋4 （D ）y ＝－(x －3)2＋二．题型演练例1．抛物线()21252y x =--+的顶点坐标是_________，对称轴是_________，开口向_____，当x =_______时，y 有最______值，最大值为 ________。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是一种基本的数学函数，也是高中数学中重要的一部分。
下面是关于二次函数的知识点总结。
一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的元素上。
函数有定义域、值域和对应关系，可以用图像、表格和公式的形式来表示。
二、二次函数的定义二次函数是一个具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以是开口向上的“U”型或开口向下的“∩”型。
三、二次函数的图像特点1.对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
2.初中线：二次函数的图像在抛物线的顶点上与对称轴相交，这个点称为抛物线的顶点。
3.开口方向：二次函数的图像开口方向由a的正负决定，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。
4.顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
5. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可以用求根公式(-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解。
四、二次函数的性质1.定义域和值域：二次函数的定义域为实数集，值域根据二次函数开口的方向来确定。
2.单调性：当a>0时，二次函数在定义域上是递增的；当a<0时，二次函数在定义域上是递减的。
3.最值：当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
4.轴对称性：二次函数是轴对称的，对称轴为x=-b/2a。
5.单调区间：当a>0时，二次函数在对称轴两侧是递增的；当a<0时，二次函数在对称轴两侧是递减的。
6.零点个数：二次函数的零点个数最多为2个。
五、二次函数的标准形式和一般形式1.标准形式：二次函数的标准形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
2. 一般形式：二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c。
高中数学二次函数知识点
高中数学二次函数知识点一、基本概念二次函数是指关于自变量的二次多项式函数，通常表达为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是定值且a≠0。
二、图像及特征二次函数的图像为一个开口朝上或朝下的平滑曲线，对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，开口朝上；当a<0时，开口朝下。
当a>0时，曲线在对称轴上方存在最小值；当a<0时，曲线在对称轴下方存在最大值。
三、函数变形及性质1. 平移：将二次函数y=ax²+bx+c沿x 轴平移h个单位，得到y=a(x-h)²+b(x-h)+c2. 垂直伸缩：将二次函数y=ax²+bx+c的图像沿y轴纵向伸缩k倍，得到y=kax²+kbx+c3. 水平伸缩：将二次函数y=ax²+bx+c的图像沿x轴横向伸缩k倍，得到y=a(x/k)²+b(x/k)+c4. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a5. 零点：二次函数的零点为y=0的解，即ax²+bx+c=0的解，其判别式为△=b²-4ac。
当△>0时，有两个不同的实数零点；当△=0时，有一个实数零点；当△<0时，无实数零点。
6. 解析式：y=ax²+bx+c的解析式为y=a(x+h)²+k四、常见类型1. 线性函数：当a=0、b≠0时，二次函数化为y=bx+c，其图像为一直线。
2. 完全平方型：当△=0时，二次函数化为y=a(x+h)²+k，其图像为一个顶点在对称轴处的抛物线。
3. 拉伸型：当a>0、|a|<1时，二次函数的图像沿y轴纵向收缩；当a>1时，二次函数的图像沿y轴纵向伸展。
4. 正比例型：当a>0、b=0时，二次函数化为y=ax²，其图像为对称于原点的抛物线。
5. 负比例型：当a<0、b=0时，二次函数化为y=ax²，其图像为对称于y轴的抛物线。
高中数学二次函数知识点总结
二次函数知识点和常见题型一.二次函数的三种表示方法：（1）一般式cbx ax y ++=2（2）顶点式nm x a y ++=2)(（3）两根式))((21x x x x a y --=1若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11a b c ==-=-B．3,12,11ab c ===C．3,6,11a b c ==-=D．3,12,11a b c ==-=变式2：若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数()2f x ax bx c=++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x 且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231fx x =--的图像向上平移几个单位得到？二．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)有如下性质：（1）顶点坐标24(,)24b ac b a a --；对称轴2b x a=-；（2）若a>0，且△=b 2-4ac≤0，那么f (x)≥0，2bx a=-时，2min4()4ac b f x a-=；（3）若a>0，且f (x)≥0，那么△≤0；（4）若a>0，且存在x 0∈(-∞，+∞)，使得f (x 0)≤0，那么△≥0;若a<0，有与性质2、3、4类似的性质2将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c=++，如果()()12fx fx =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．2b a -B．ba-C．cD．244ac b a -变式2：函数()2fx xp x q=++对任意的x 均有()()11fxfx+=-，那么()0f 、()1f-、()1f的大小关系是（）A．()()()110f f f<-<B．()()()011fff<-<C．()()()101f ff<<-D．()()()101f f f -<<y变式3：已知函数()2fx a x b x c=++的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c 有关的正确命题_________．三．二次函数的单调性：当0>a ，x ∈(－∞，－b 2a ]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增当0<a ，x∈(－∞，－b2a ]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减3.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x的单调区间；(2)求()fx ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()242fx x a x =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是()A．3a ≥B．3a≤C．3a<-D．3a≤-变式2：已知函数()()215fx x a x =--+在区间(12,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x k x=-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．四．二次函数在给定区间的最值设()()02>++=a c bx axx f，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：ab n m 2-<<n abm <-<2即[]n m ab,2∈-n m ab<<-2()()()()n f x f m f x f ==min max ()()(){}()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,maxminmax ()()()()m f x f n f x f ==min max 对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min（2）若[]nmab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,maxmax =，()()(){}n f m f x f ,minmin=另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．4.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2)求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()223fx xx =-+在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A．[)1,+∞B．[]0,2C．[]1,2D．(),2-∞变式2：若函数234y x=-+的最大值为M，最小值为m，则M +m 的值等于________．变式3：已知函数()224422fx x a x a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．变式4：求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2)定义域为[]2,1-．变式5：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A．3220,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．()20,4-C．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D．920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭变式6：函数y=cos2x+sinx 的值域是__________．变式7：已知二次函数f (x)=a x 2+bx（a、b 为常数，且a ≠0），满足条件f (1+x)=f (1－x)，且方程f (x)=x 有等根．(1)求f (x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（m <n），使f (x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n 的值，如果不存在，说明理由．五.奇偶性：b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111fx m x mx =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()fx是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值．六．图像变换：已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax xx f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x=1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a-．其中正确的序号是___③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题：①当c=0时，)(x f y =是奇函数；②当b=0，c>0时，方程0)(=x f 只有一个实根；③)(x f y =的图象关于点（0，c）对称；④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为————．七.恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
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【例1】已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1, f (1) 1 且 f ( x) 的最大值是8。试确定此二次函数。
2 解法1：设 f ( x) ax bx c(a 0)
2 4 ac b 由f(x)的最大值是8知 8 4a
又
f (2) 4 a 2 b c 1 f ( 1) a b c 1
思考
如何求函数f(x)的最大值？
图像分析
(2) (1)
(3)
知识巩固
练习2
1.
已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时, 求函数f(x)的最大值与最小值 。 (2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是 单调函数； （3）当 a R 时，求函数f(x)的最大值。 2.已知f(x)=x2-3x+1, 当x∈［-1,1］上，不等式 f (x)＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围。
定义域 值域
单调性 奇偶性 最值
在 (-∞, 2a ]上递减 , 在[ b ,+∞)上递增.
2a
b
4ac b 2 （ - ∞, ] 4a
在(-∞,
b
b ] 2a
上递增.
在 [ 2a ,+∞)上递减.
当b=0是为偶函数 最小值
4ac b 2 4a
Hale Waihona Puke （b 2a最大值 ,
x
4ac b 2 ） 4a
∴可设 f ( x) 1 a( x 2)( x 1)(a 0)
12 9 f ( x) a( x x 2) 1 a( x ) a 1 2 4 9
2
由题意知
4
a 1 8
解得 a=-4
f ( x) 4( x2 x 2) 1 4x2 4x 7
无论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系。 当问题中含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行 分类讨论； (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最 值一般在区间的端点或顶点处取得。
【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t,t+1]，若f(x)的最小
值为h(t)，写出h(t)的解析式，并求h(t)的最小值．
解得 a 4，b=4，c=7
【例1】已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1, f (1) 1 且 f ( x) 的最大值是8。试确定此二次函数。 解法2：由 f (2) 1, f (1) 1
得函数 f ( x) 的对称
1 轴是 x 2 1 2 可设 f ( x) a( x ) 8(a 0) 2 9 由 f (2) a 8 1 得 4 a 4
学习目标
1. 理解二次函数的定义，会结合条件求出二 次函数的解析式。 2.会根据二次函数的解析式画出图象，会判断 函数在某个区间上的单调性，会求闭区间上的 最值。 3.掌握用数形结合、分类讨论的数学思想解决 函数问题的方法。
基础知识
1.二次函数的解析式
f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
一般式 解 析 式 顶点式 两根式
4ac b 2 4a
顶点 对称轴
b 2a
基础练习
1. 函数 f ( x) x 3x 2 在 区间 5,5 上的最大值 、最 小值分别为（ D ） 1 1 1 (C)12, (D)无最大值，最小值是 (A)42,12 (B)42， 4 4 4
2
2.已知函数y=ax2+bx+c，如果a＞b＞c且a+b+c=0,则它的图象是下 图中的( D )
2
题型二：二次函数的图象与性质的应用
【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t,t+1]，若f(x)的最
小值为h(t)，写出h(t)的解析式，并求h(t)的最小 值．
3 2 29 f ( x) ( x ) 2 4
图象分析
3 2 29 f ( x) ( x ) 2 4
【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t,t+1]，若f(x)的最 小值为h(t)，写出h(t)的解析式，并求h(t)的最小 值．
3.若二次函数的图象经过点（0,1），对称轴是x=2，最小值为-1, 则它的解析式为 f ( x) 1 ( x 2)2 1 ( f ( x) 1 x 2 2 x 1)
2
2
题型一：求二次函数的解析式
【例1】已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1, f (1) 1 且 f ( x) 的最大值是8。试确定此二次函数。
5 2 t 5t 1, t 2 , 5 3 29 h t , t , 2 2 4 3 2 t 3t 5, t . 2
方法总结
求二次函数最值的类型及解法： (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动
f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k）
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), x1, x2为f(x)的零点
基础知识
函数 图象
2.二次函数的图象与性质
y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
y o x
R
4ac b 2 [ ,+∞) 4a
y o x
方法总结
求二次函数的解析式,一般用待定系数法， 关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式， 一般选择规律如下：
三个点坐标 顶点坐标 已知 对称轴 最大（小）值 宜选用两根式 宜选用顶点式 宜选用一般式
零点
知识巩固
练习1
若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a、b∈R)是偶函数，且它的 值域为(-∞,4]，则该函数的解析式f(x)=__________. 2 x 4
1 2 f ( x) 4( x ) 8 2
【例1】已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1, f (1) 1 且 f ( x) 的最大值是8。试确定此二次函数。 解法3：由 f (2) 1, f (1) 1
知 f ( x) 1 0 的两根为2，-1