可控性与可观性2010
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第三章线性系统的可控性与可观性2
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
若满足下列条件，则称 1 与 2 是互为对偶的。
A2 A1T , B2 C1T , C 2 B1T
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性， 能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能 化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数 为
bn 1 s n 1 bn 2 s n 2 b1 s b0 W ( s) n s a n 1 s n 1 a1 s a 0
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
两个n维系统 S1(A1 B1 CI)、S2(A2 B2 C2) 若满足下列关系 A2=A1T B2=C1T C2=B1T 则称S1与S2是对偶系统.
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
如果∑1 和 ∑2 互为对偶系统，那么： 1．如果将∑1模拟结构图中将信号线反向；输入 端变输出端，输出端变输入端；信号综合点变信 号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成 的就是∑2的模拟结构图，如下图所示。
9.2 线性系统的可控性和可观测性
k k t1 k 0 0
n 1
n 1 k 0
t1
0
k ( )u( )d f k
f0 f An 1 B 1 f n 1
若图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电 压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统 是可控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
+ x1 + C1 R u R + x2 R C2 R
阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图2 并联双水槽系统
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。 该双水槽系统的状态可控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
t / AR
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
n 1
n 1 k 0
t1
0
k ( )u( )d f k
f0 f An 1 B 1 f n 1
若图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电 压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统 是可控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
+ x1 + C1 R u R + x2 R C2 R
阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图2 并联双水槽系统
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。 该双水槽系统的状态可控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
t / AR
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
线性系统的可控性与可观测性
12
第3章 线性系统的可控性和可观测性
必要性：已知系统完全可控，欲证W(0, t1) 非奇异。反
设W(0, t1)为奇异，即存在某个非零向量 x0 Rn ，使
T x0 W (0, t1 ) x0 0
0 x W (0, t1 ) x0 x e
T 0 0 T 0 t1 T
t1
At
13
第3章 线性系统的可控性和可观测性
因系统完全可控，根据定义对此非零向量 x0 应有
x(t1 ) e x0 e At1 e At Bu (t )dt 0
At1 0 t1
x0 e At Bu(t )dt
0
t1
x0
2
x x0 e 0
T 0 t1
8
第3章 线性系统的可控性和可观测性
三．可观测性定义
1．系统完全可观测
对于线性时变系统
x A(t ) x, y C (t ) x x(t0 ) x0 t0 , t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 ,
对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量 可观测。如果对于一切t1>t0系统都是可观测的，则称系 的初值x(t0)，则称系统在[t0, t1]内是完全可观测的，简称
2 T B AB A B
, T An1B 0
T An 1 B S 0
由于 α≠0 ，所以上式意味着 S 为行线性相关的，即
rankS<n 。这显然与已知rankS=n相矛盾。因而反
设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。
必要性：已知系统完全可控，欲证 rankS=n ，采用 反证法。反设rankS<n ，这意味着S为行线性相关， 因 此 必 存 在 一 个 非 零 n 维 常 向 量 α 使 成立。
线性系统的可控性和可观测性
8.4 线性系统的可控性和可观测性8.4.1 可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。
在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。
现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。
这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。
如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。
相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。
可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。
可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a ） (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。
系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。
图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。
图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
可控制性和可观性
∴系统不可控。
1 1 0 0 1 0 1 0 x 1 0 u x （ 4） 0 1 1 0 1
解： Qc [ B
0 1 AB] 1 0
解：
Qc [ B AB
rankQc 2 n
∴系统可控。
x(t 0 ) 0
，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu x
如果存在一个分段连续的输入u(t) , ，能在[ t0 , tf ]有限时间 间隔内，将系统由零初始状态 x(t0) 转移到任一指定的非零终 端状态 x(tf ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是 可达的（能达的）。
0 7 0 0 1 0 5 0 x 4 0u （ 3） x 0 1 0 7 5
解： （1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是 可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不 可控的。 （3）系统可控。 （4）系统不可控。
1 2 AB] , 0 0
1 0 1 x x （ 2） 0 1 1u
解： Qc [ B
解：
rankQ c 1 n
∴系统不可控
0 1 0 x 1u （ 3） x 1 0
1 1 Qc [ B AB] 1 1 rankQ c 1 n
1 x
u
2 x
1 s 1 s
x1
y
x2
2
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§4-1 问题的提出
1 0 1 x u （ 3） x 0 1 1
1 1 0 0 1 0 1 0 x 1 0 u x （ 4） 0 1 1 0 1
解： Qc [ B
0 1 AB] 1 0
解：
Qc [ B AB
rankQc 2 n
∴系统可控。
x(t 0 ) 0
，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu x
如果存在一个分段连续的输入u(t) , ，能在[ t0 , tf ]有限时间 间隔内，将系统由零初始状态 x(t0) 转移到任一指定的非零终 端状态 x(tf ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是 可达的（能达的）。
0 7 0 0 1 0 5 0 x 4 0u （ 3） x 0 1 0 7 5
解： （1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是 可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不 可控的。 （3）系统可控。 （4）系统不可控。
1 2 AB] , 0 0
1 0 1 x x （ 2） 0 1 1u
解： Qc [ B
解：
rankQ c 1 n
∴系统不可控
0 1 0 x 1u （ 3） x 1 0
1 1 Qc [ B AB] 1 1 rankQ c 1 n
1 x
u
2 x
1 s 1 s
x1
y
x2
2
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§4-1 问题的提出
1 0 1 x u （ 3） x 0 1 1
9-8 系统的可控制性与可观测性
λ'1 (t ) −1 ' λ2 (t ) = 0 λ'3 (t ) 0
系统的各参数矩阵为： 系统的各参数矩阵为：
−1 A= 0 0 0 −2 0
0 0 B= 1 0 1 − 3
C =[1 1 0]
(
)
0 ... 0 ... ... ... s − α k ...
−1
ˆ b1 ˆ b2 ... ˆ bk
上式展开为： 上式展开为： k ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ck bk ci bi c1b1 c2b2 H( s ) = + + ...+ =∑ s −αk i =1 s −αi s −α1 s −α2 得出结论： 得出结论： 1.若系统不完全可控或不完全可观,则s域上表现为 1.若系统不完全可控或不完全可观 若系统不完全可控或不完全可观, H(s)必有零极点相消现象。 必有零极点相消现象。 2.转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观 2.转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观 部分运动规律， 部分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运 动规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不 动规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不 。（ 可观部分，而留下的是可控或可观部分） 可观部分，而留下的是可控或可观部分） 例 9-8-6
H( s) = C( sI − A)
−1 ∧ B+ D = C sI − A B+ D ∧ ∧ −1 ∧
暂且不考虑与输入信号直接相联系的D 则有： 暂且不考虑与输入信号直接相联系的D，则有：
0 s − α 1 0 −1 s −α2 ˆ sI − A B = [c ,c ,...c ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H (s ) = C 1 2 k ... ... 0 0
第四章线性定常系统的可控性和可测性资料
部分状态与输入（控制）有关的部分，另 一部分状态则在形式上就与输入（控制） 无关的部分。
• 显然那些与输入（控制）无关的状态是不 可控的，这些状态构成了不可控子空间。 而与输入（控制）有关的状态是可控的， 这些状态构成了可控子空间。
• 上述方法称为按能控性分解，显然主要是 对A和B进行变换。
• ⑵. 另一种，则是按能观性分解，其方法是 类似的。即将状态空间表达式中的状态分 解为：一部分状态与输出有关，另一部分 状态则与输出是无关的。显然这主要是通 过对C的变换来达到。
• ⑶. 第三种方法是按能控性和能观性进行分 解
• 显然如果系统不可控也不可观，则需要同 时进行可控和可观性分解。A, B, C
三. 按可控性分解
• 设定常系统
x Ax Bu
y Cx
(3 1)
是状态不完全能控，其能控性判别阵：
M B, AB, , An1B
的秩 rankM n1 n
1 R1 b 1 ,
0
0 R2 Ab 1 ,
1
1 R3 0 任意
0
1 0 1 R c 1 1 0
0 1 0
• 检查 det Rc 1 0 ，故 Rc 满秩。
•则
0 1 1
Rc1 0 0
1
1 1 1
•则
0 1 1
Aˆ
Rc1 ARc
1
2
0
0
0
1
1
Bˆ
Rc1B
0
• 2.性质
(1).对偶系统 S1和 S2 的传函阵互为转置,即
GS 2 (GS1)T
(2).对偶系统的特征值是相同的
• 3.对偶原理
(1)若 S1 可控则有 S2 可观 (2)若 S2可观则有 S1 可控
• 显然那些与输入（控制）无关的状态是不 可控的，这些状态构成了不可控子空间。 而与输入（控制）有关的状态是可控的， 这些状态构成了可控子空间。
• 上述方法称为按能控性分解，显然主要是 对A和B进行变换。
• ⑵. 另一种，则是按能观性分解，其方法是 类似的。即将状态空间表达式中的状态分 解为：一部分状态与输出有关，另一部分 状态则与输出是无关的。显然这主要是通 过对C的变换来达到。
• ⑶. 第三种方法是按能控性和能观性进行分 解
• 显然如果系统不可控也不可观，则需要同 时进行可控和可观性分解。A, B, C
三. 按可控性分解
• 设定常系统
x Ax Bu
y Cx
(3 1)
是状态不完全能控，其能控性判别阵：
M B, AB, , An1B
的秩 rankM n1 n
1 R1 b 1 ,
0
0 R2 Ab 1 ,
1
1 R3 0 任意
0
1 0 1 R c 1 1 0
0 1 0
• 检查 det Rc 1 0 ，故 Rc 满秩。
•则
0 1 1
Rc1 0 0
1
1 1 1
•则
0 1 1
Aˆ
Rc1 ARc
1
2
0
0
0
1
1
Bˆ
Rc1B
0
• 2.性质
(1).对偶系统 S1和 S2 的传函阵互为转置,即
GS 2 (GS1)T
(2).对偶系统的特征值是相同的
• 3.对偶原理
(1)若 S1 可控则有 S2 可观 (2)若 S2可观则有 S1 可控
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（3）系统可控。 （4）系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 7
定理3 在S平面上状态完全可控的条件
现
代 控
状态完全可控的条件也可用传递函数或传递矩
制 阵描述。
理
论
状态完全可控性的充分必要条件是在传递函数
或传递矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那
么在相约的模态上，系统不可控。
论 当A为对角阵且特征根互异时，输入矩阵Bheory
Page: 6
线性定常连续系统状态完全可控的条件
状 态 可 控 性 例题
现 代
【例】判别下列系统的状态可控性。
控
制 理
（1）
7
x
0
0 5
0 2
0
x
5
u
论
0 0 1 7
（2）
7
x
0
0 5
0 0
0
rank CB CAB ... CAn1B D q
（q-输出变量个数）
一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什么必然的联系。 即输出可控不一定状态可控，状态可控不一定输出可控。
Modern Control Theory
Page: 10
连的续可系观统测连续时间系统的可观测性 性
现
代 一、定义
在S平面上状态完全可控的条件
现
代
完全可观测性条件也可用传递函数或者传递矩阵阐述。完全
现
代 控
一. 可控性判据
制 理 论
定理1：
若定义连续时间系统A, B的n*(np)可控矩阵
Sc B AB A2B
An1B
则系统状态完全可控（或系统可控）的充要条件是：
该系统的可控性矩阵满秩，即 rankSc n
Modern Control Theory
Page: 4
连续时间系统状态例完全题可控的条件
现
代 【例】判别可观测性
控
制
（1）
1 0 0 0
理 论
x 0 2 0 x 0 u y 5 3 2 x
0 0 3 1
解：系统可观测。
（2） 1 0 0 0
x 0 2 0 x 0 u 0 0 3 1
解：系统不可观测。
Modern Control Theory
y 5 3 0 x
Page: 14
C
状 态 完 全 可 观 测 的 充 要条 件 是nq n维 能 观 测 矩 阵S0
CA :
CA
n1
满 秩 ， 即rankS0 n,或 CT AT C T ... ( AT )n1 C T n
Modern Control Theory
Page: 11
例 连续时间系统的可观测性
题
理 论
y 1 0 x
解：上述动态方程可写成：
x1 x 2
x1 2x2
2u
y x1
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x1是不可控的；
从输出方程看，输出y不能反映状态变量 x2 ，所以状态变量 x2 不能观测。
Modern Control Theory
Page: 3
状态完全可控的条件
当 R1R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
x1，x2所有变量，称系统可控。
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性
输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
Modern Control Theory
Page: 2
可控性可观测性例题
现
代 控 制
【例】 1 0 0 x 0 2 x 2 u
现
代
【例】判别可观测性
控 制 理 论
（1） （2）
4 5 1
x
1
0 x 1 u
2 1 1
x 1
3
x
1
u
y 1 1 x
1 0 y 1 0 x
解：（1）
c 1 1
Qo cA 5
5
（2）
1 0
Qo
c cA
1 2
0
1
2
1
Modern Control Theory
rankQo 1 2 故系统不可观测 rankQo 2 2 系统可观测
Modern Control Theory
Page: 8
例题 在S平面上状态完全可控的条件
现 代
【例】判别下列系统的状态可控性。
控 制 理
传递函数：X (s) s 2.5
U (s) (s 2.5)(s 1)
论
显然，在此传递函数的分子和分母中存在相约的因
子（s+2.5）（因此失去一个自由度）。由于有相约因子
，所以该系统状态不完全可控。
Modern Control Theory
Page: 9
连续时间连系续统系状统态的完输全出可可控控的性条件
现
代 控
三 连续系统的输出可控性
制 定理：
理 论
设系统 x Ax Bu, y Cx Du，则系统输出完全可控的充要条件是
输出可控性矩阵 CSc | D 满秩，即
Page: 12
定理2 连续时间系统的可观测性
现
代
控 制
定理2：线性定常系统 x Ax Bu, y Cx Du，系统状态空间
理 可观测的充要条件为：当A为对角矩阵且特征值互异时，输出矩阵C中
论 不包含全为零的列。
Modern Control Theory
Page: 13
例 题
连续时间系统的可观测性
控 制
定义：若对系统{A，B，C，D}，存在给定输入u(t)，能在[ t0,tf ）
理 论
有限时间内，由输出y(t)能任一确定系统初始状态x(t0)，则系统
则系统各个状态都可观测，则称系统是状态完全可观测的，简
称系统可观测。
二、可观测性定理
x Ax Bu
定理1：线性定常连续系统 y Cx Du
现
代
控
制 理 论
【例】
2
x
0
1 1
x
1 0
u,
试判别状态可控性
解：
Qc [b
1 Ab] 0
2
0
，
rankQc 1 n
∴系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 5
连续时间系统状态完全可控的条件
现
代 控
定理2：
定理2
制 理
设连续时间系统 x Ax Bu, 系统状态完全可控的充要条件为：
x
5 u
0 0 1 7
（3）
（4）
7 0 0 0 1
7 0 0 0 1
x
0
5
0
x
4
0 u
x
0
5
0
x
0
0 u
0 0 1 7 5
0 0 1 7 5
解：
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
可控性和可观测性
现
代 控
1. 可控性与可观测性定义
制 理
2. 连续时间系统的可控性判据
论
3. 输出可控性
4. 连续时间系统的可观测性判据
5. 对偶原理
Modern Control Theory
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可控性可观测性定义
现
代 【例】RLC网络
控
制 理 论
取x1 iL , x2 uc , y uc