哈尔滨工业大学《现代控制理论基础》考试题B卷及答案

哈工大2010

年春季学期

现代控制理论基础 试题B 答案

题号 一 二 三 四 五

六 七 八 卷面分 作业分 实验分 总分 满分值 10 10 10 10 10 10 10 10 80 10 10 100 得分值

第 1 页 （共 8 页）

班号 姓名

一．（本题满分10分）

请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。

【解答】根据基尔霍夫定律得：

1113222332

1L x Rx x u L x Rx x Cx x x

++=⎧⎪

+=⎨⎪+=⎩ 改写为1

13111

22

322

31

211111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ⎧

=--+⎪⎪

⎪=-+⎨⎪⎪=-⎪⎩

，输出方程为2y x =

写成矩阵形式为

[]11

111222

2

331231011000110010R

L

L x x L R x x u L L x x C C x y x x ⎧⎡⎤

--⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥

⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎪⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢

⎥

⎨⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎪⎣

⎦

⎪

⎡⎤⎪

⎢⎥

⎪=⎢⎥⎪

⎢⎥⎪⎣⎦⎩

二．（本题满分10分）

单输入单输出离散时间系统的差分方程为

(2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++

回答下列问题：

（1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性；

（3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】

（1）在零初始条件下进行z 变换有：

()()253()2()z z Y z z R z ++=+

系统的脉冲传递函数：

2()2

()53

Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为

2()530D z z z =++=

特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到

21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得

(2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+-

[]212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有：

212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为

12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为

哈尔滨工业大学

现代控制理论基础 (B 卷答案) 班号： 姓名：

第 3 页 （共 8 页）

[]112212(1)()011()(1)35()3()()10()x k x k r k x k x k x k y k x k ⎧+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦

⎪⎣⎦⎣⎦⎨

⎡⎤

⎪=⎢⎥⎪⎣⎦⎩

（4）系统矩阵为

0135⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦G ，输出矩阵为[]10=c ，[][]01100135⎡⎤

==⎢⎥--⎣⎦

cG 能观性矩阵为o 1001⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

c Q cG ，o rank 2=Q ，系统完全能观。 三．（本题满分10分） 回答下列问题：

（1）简述线性系统的对偶原理；

（2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系；

（3）r 输入r 输出2+r 阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？ 【解答】

（1）若线性系统1与线性系统2互为对偶，则系统1的能控性等价于系统2的能观性，系统1的能观性等价于系统2的能控性。

（2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定，则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。

（3）r 输入r 输出2+r 阶线性解耦系统等效于r 个独立的单输入单输出系统。 四．（本题满分10分）

设有一个2阶非线性系统，其状态方程为1122

22

cos x x x x x x =-⎧⎨=⎩，判断该系统在坐标

原点处的稳定性，并证明你的判断。

【解】此系统在坐标原点处不稳定。 【证明】

取李雅普诺夫函数22

12()V x x =+x ，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为：

()2

112211222

()222cos 2V x x x x x x x x x =+=-+x 221122222cos 2x x x x x =-+ ()22

11222

2cos 2x x x x x =-+222222112222222112

cos cos 2cos 42x x x x x x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭

2

22

12222

112cos 2cos 22x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。

五．（本题满分10分）

设某控制系统的模拟结构图如下，

试判断系统的能控性、能观性和稳定性。 【解答】

根据模拟结构图可得状态空间表达式

11221

23x x x u x x u =-++⎧⎨=--⎩ 1y x =

写成矩阵形式为

[]11221223110110x x u x x x y x ⎧-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤

⎪=⎢⎥⎪

⎣⎦⎩

2310-⎡⎤=⎢⎥

-⎣⎦

A ，11⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦b ，[]10=c 。 系统的特征方程为