北京市海淀区2016-2017学年高二下学期期中考试数学理试题
海淀区高二年级第二学期期中考试数 学 （理科） 2017.4一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 复数13-i 的虚部为（ ）A. 3iB. 1C. 3D. 3- 2.1d x x =⎰（ ）A. 0B.12C. 1D. 12-3. 若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且1=1i z +，则12z z ⋅=（ ）A.2-B.2C.2i -D.2i4. 若,,a b c 均为正实数，则三个数111,,a b c b c a+++这三个数中不小于2的数 （ ）A.可以不存在B.至少有1个C. 至少有2个D. 至多有2个5. 定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数()f x '和()g x '的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x =-极值点的情况是（ ）A. 只有三个极大值点，无极小值点B. 有两个极大值点，一个极小值点C. 有一个极大值点，两个极小值点D. 无极大值点，只有三个极小值点6. 函数()ln f x x =与函数2()g x ax a =-的图象在点(10)，的切线相同，则实数a 的值为（ ）A. 1B. 12-C. 12D. 12或12- 7. 函数(21)xy e x =-的大致图象是 （ ）8.为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查。
调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1） 甲同学没有加入“楹联社”; （2） 乙同学没有加入“汉服社”;（3） 加入“楹联社”的那名同学不在高二年级; （4） 加入“汉服社”的那名同学在高一年级; （5） 乙同学不在高三年级。
试问：丙同学所在的社团是 （ ） A.楹联社 B.书法社 C.汉服社 D.条件不足无法判断 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 在复平面内，复数1-ii对应的点的坐标为 . 10. 设函数(),()f x g x 在区间(0,5)内导数存在，且有以下数据：x 1 2 3 4 ()f x2 3 4 1 ()f x ' 3 4 2 1 ()g x3 14 2 ()g x '2413则曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程是 ;函数(())f g x 在2x =处的导数值是 ． 11. 如图，()1sin f x x =+，则阴影部分面积是 .12. 如图，函数()f x 的图象经过(0,0),(4,8),(8,0),(12,8)四个点，试用“>，=，<”填空： （1）(4)(2)2f f -______(12)(8)4f f -；（2）(6)f '______(10)f '.13. 已知平面向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，那么1212x x y y ⋅+a b =；空间向量111(,,)x y z =a ，222(,,)x y z =b ，那么121212x x y y z z ⋅++a b =．由此推广到n 维向量：12(,,,)n a a a =a ，12(,,,)n b b b =b ，那么⋅a b = ．14. 函数()e ln xf x a x =-（其中a ∈R ）① a ∃∈R ，使得直线e y x =为函数()f x 的一条切线； ② 对0a ∀<，函数()f x 的导函数()f x '无零点； ③ 对0a ∀<，函数()f x 总存在零点；则上述结论正确的是 ．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知函数32()392f x x x x =--+ （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值.16．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，111--+=++n n a a n n ，*n ∈N .（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 17．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln af x x a x x=-+-，其中a ∈R . （Ⅰ）求证/；当1a =时，函数()y f x =没有极值点； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调增区间．18．（本小题满分12分）设(1)() In t x f x e t x -=-，(0)t >（Ⅰ）若1t =，证明1x =是函数()f x 的极小值点； （Ⅱ）求证：()0f x ≥.海淀区高二年级第二学期期中参考答案 2017.4数 学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.A4.B5.C6.C7.A8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,1)-- 10. 31y x =-；12 11. 2π+ 12. (1) >； (2) <13. 1122n n a b a b a b ⋅+++a b = 14. ①②③三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）解：'2()369f x x x =-- ………………………………（2分）)3)(1(3)32(32-+=--=x x x x 令'()0f x =，得11-=x .；32=x ……………………………（3分）当x 变化时，)(x f ,'()f x 在区间(,)-∞+∞上的变化状态如下：…………………………………（6分）所以)(x f 的单调递增区间是()1,-∞-，()+∞,3；单调递减区间是()3,1-. ………………………………（7分） …（Ⅱ）因为(2)0f -=，(2)20f =-， ………………………（9分） 再结合)(x f 的单调性可知，函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值为20-. ………………（10分）16．（Ⅰ）由题意11a =，21a a +321a a +，432a a +=解得：21a =，3a ，42a =………………………（3分）（Ⅱ）猜想：对任意的*n ∈N ，n a………………………（4分）① 当1n =时，由11a ==猜想成立. ………………………（5分） ② 假设当k n = （∈k N *）时，猜想成立，即1--=k k a k ……………………（6分）则由111--+=++k k a a k k ，得k k a k -+=+11 ………………………（9分）即当1+=k n 时，猜想成立由①、②可知，对任意的*n ∈N ，猜想成立，即数列{}n a 的通项公式为n a = ……………………（10分）17.（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域是()+∞,0． ………………（1分） 当1a =时，1()2In f x x x x=-- 函数'221()1f x x x =-+ ………………（3分） 2212x x x +-=()0122≥-=xx ， ………………（5分） 所以函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增. 所以当1a =时，函数()y f x =没有极值点. ……………（6分）（Ⅱ）'21()1a af x x x+=-+， ()+∞∈,0x ………………（7分） ()221x a x a x ++-=()()21x a x x --=. 令'()0f x =，得a x x ==21,1 .………………（8分） ① 0≤a 时，由'()0f x >可得1>x ，所以函数()y f x =的增区间是()+∞,1； ………………（9分） ② 当10<<a 时，由'()0f x >可得a x <<0，或1>x ，所以函数()y f x =的增区间是()a ,0，()+∞,1； ……………（10分） ③ 当1>a 时，由'()0f x >可得10<<x ，或a x >，所以函数()y f x =的增区间是()1,0，()+∞,a ； ………………（11分） ④ 当1=a 时，由（Ⅰ）可知函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增. ………………（12分）综上所述，当0≤a 时，函数()y f x =的增区间是()+∞,1； 当10<<a 时，所以函数)(x f y =的增区间是),0(a ，),1(+∞； 当1=a 时，函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增； 当1>a 时，所以函数()y f x =的增区间是()1,0，()+∞,a .18．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………（ 1分） 若1=t ，则1()ln x f x ex -=-，'11()x f x e x-=-． ………………（2分）因为'(1)0f =， ………………（3分）且10<<x 时，xe ex 1101<=<-，即'()0f x <，所以()f x 在)1,0(上单调递减； ………………（4分）1>x 时，xe e x 1101>=>-，即'()0f x >，所以()f x 在),1(+∞上单调递增； ………………（5分）所以1=x 是函数)(x f 的极小值点； ………………（6分） （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，0t >.'(1)(1)1()()t x t x t f x te t e x x --=-=-． ………………（7分） 令(1)1()t x g x e x -=-，则'(1)21()0t x g x te x-=+>，故()g x 单调递增． ………………（8分）又(1)0g =， ………………（9分） 当1x >时，()g x ＞0，因而'()f x ＞0，()f x 单增，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞；当01x <<时，()g x ＜0，因而'()f x ＜0，()f x 单减，即()f x 的单调递减区间为(0,1)．………………（11分）所以()+∞∈,0x 时，()(1)10f x f ≥=≥成立. ………………（12分）。
2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷
2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个 C．至少有2个 D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A． B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x1234f（x）2341f′（x）3421g（x）3142g′（x）2413则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，an），=（b1，b2，…，bn），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{an }满足a1=1，an+1+an=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明．n17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x（﹣∞﹣1）﹣1（﹣1，3）3（3，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，an=﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即ak=﹣则由ak+1+ak=﹣，得ak+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{an }的通项公式为an=﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）第11页共11页。
2016-2017学年北京市海淀区首师大附中高二下学期期末试卷数学(理科)-解析版
2016-2017学年北京市海淀区首师大附中高二下学期期末试卷数学（理科）-解析版评卷人得分一、单选题1．在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由条件求得圆心的直角坐标进而求出圆的直角坐标方程，再利用把它化为极坐标方程即可.详解：由题意可得圆心的直角坐标为，半径为1，故圆的直角坐标方程为，即，再把它化为极坐标方程为，即，故选A.点睛：本题主要考查求圆的标准方程，把直角坐标方程化为极坐标方程，熟练掌握的运用是解题的关键，属于基础题．2．已知平面向量，，满足，，，若，则实数（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，，∴，故选D考点：平面向量共线的坐标表示．3．在等比数列中，，，则公比等于（）．A. B. 或 C. D. 或【答案】B【解析】分析：根据等比数列的通项公式将，用和表示，可得关于的一元二次方程，解方程可得.详解：∵等比数列中，，，∴，∴，解得或，故选B．点睛：本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．4．用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】从到成立时，左边增加的项为，因此增加的项数是，选A.5．在所在平面内有一点，满足，，则等于（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到为直径，故为直角三角形，求出三边长可得的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．详解：∵，，∴，∴，∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴，，，故．则，故选C．点睛：本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识，求出为直角三角形及三边长，是解题的关键.6．已知，观察下列算式：；，；若，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据已知中的等式，结合对数的运算性质，可得（），进而得到答案.详解：∵，∴；；…归纳可得：（），若，则，故选C.点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．7．函数在上的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：求出函数在上导函数，求出极值点的个数，以及的值，即可判断函数的图象.详解：函数在是偶函数，则在可得，令，可得方程只有一个解，如图：可知在有一个极值点，排除B，D，，排除C，故选A.点睛：本题考查函数的图象的判断，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，主要利用的是排除法，除上述排除法以外，常见的还有通过函数的单调性、奇偶性、特殊点（其中包括方向和）等等.8．数列满足，前项和为，，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：化简可得，从而可得数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，即，从而可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，从而解得.详解：∵，∴，解得；由，得，，故数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，∴，∴，∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，∴，∴，∴，故选A.点睛：本题考查了等差数列与等比数列的应用及数列的化简与构造，属于难题；常见求数列通项公式几种常见的形式：1、公式法；2、利用数列前项和与通项的关系式：；3、累加法；4、累乘法；5、已知递推关系求，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题9．若复数为纯虚数，那么实数的值为__________．【答案】【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，又已知复数为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案.详解：，又∵为纯虚数，∴，解得，故答案为．点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及学生的运算能力，是基础题．10．__________．【答案】【解析】分析：找出函数的原函数，根据微积分基本定理即可得结果.详解：，故答案为.点睛:本题主要考查了利用微积分基本定理求定积分，准确找出被积函数的原函数是解题的关键，属于基础题.11．圆（为参数）被直线截得的弦长为__________．【答案】2【解析】分析：首先将圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，根据圆心到直线的距离，弦的一半以及圆的半径构成直角三角形可得结论.详解：圆（为参数）的一般方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，故圆被直线截得的弦长为，故答案为2.点睛：本题主要考查了将圆的参数方程化为普通方程，以及直线与圆相交求所得弦长，属于基础题.12．设，是单位向量，且，若与的夹角不超过，则的最大值是__________．【答案】【解析】分析：先计算向量与的数量积，再由两向量角不超过，可得它们的数量积不小于0，解不等式即可得最值.详解：∵与的夹角不超过，∴，∴，∵是单位向量，且，∴，∴，即的最大值为，故答案为.点睛：本题考查了向量数量积运算的应用，特别是运算性质和运算律的运用，解题时要善于转化，属于中档题.13．已知数列满足：，，对于任意正整数，，，，总有成立，则__________，通项__________．【答案】10【解析】分析：根据，，成立，可以求得，，数列为等差数列，从而可求得.详解：∵，，对于任意正整数，，，（），总有成立，，∴，∴令，，，得，即∴该数列是以首项是1，公差为3的等差数列，∴，，故答案为10，．点睛：本题考查等差数列的通项公式，解决的方法是特值法，解题的关键是得出数列为等差数列，属于中档题．14．已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点，则曲线关于曲线的关联点的个数为__________个．【答案】1【解析】分析：由定义，先设点的坐标，再由点，的坐标表示出中点的坐标，由中点坐标在曲线上，建立关于的方程，研究此方程根的个数，即可得出关联点的个数.详解：设点，则点，的中点的坐标是，由于此点也在曲线上，故有，即，此方程的根即两函数与的交点的横坐标，由于此二函数一为增函数，一为减函数，故两函数与的交点个数为1，故符合条件的关联点仅有一个，故答案为1.点睛：本题考查函数图象的对称性，考查了转化思想，数形结合的思想，解题的关键是紧紧抓住题中的定义，将其转化为方程根的问题，进而等价为函数图象交点个数问题，根据函数的单调性及图象的大致趋势即可.评卷人得分三、解答题15．在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点．（）求证：．（）若为线段上一点，且，求证：平面．（）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】）证明见解析；（）证明见解析；（）为中点．【解析】分析：（1）证明，，即可证明平面，利用直线与平面垂直的性质定理证明；（2）以为原点，，为，轴，建立如图所示的坐标系，求出平面的一个法向量，根据可证得结果；（3）设，，，利用若直线与平面所成的角为，列出方程求出，即可得到点的位置．详解：（）∵，是的中点，∴，又∵平面，，∵点，∴平面，∴．（）如图，以为原点，，为，轴，建立如图所示的坐标系，∴，，，，，∴，，设平面的一个法向量．∴，∴，取，∵，∴，∴，∴平面．（）在棱上存在一点，设，且，∴，∴，∴，，，若直线与平面所成角为，∴，解得，∴存在点符合条件，且点是棱的中点．点睛：本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，直线与平面所成角的处理方法，空间向量的数量积的应用，线面平行等价于直线的方向向量和平面的法向量互相垂直，直线与平面所成的角满足，其中为直线的方向向量，为平面的法向量.16．已知函数，其中实数．（）判断是否为函数的极值点，并说明理由．（）若在区间上恒成立，求的取值范围．【答案】（）是的极值点；（）．【解析】试题分析: （Ⅰ）对函数求导,将代入导函数的分子,可得函数值为0,根据判别式结合验证可得,1是函数的异号零点，所以是函数的极值点．（Ⅱ）分类讨论参数a, 当时，函数单调递减，所以恒成立；当时，在区间上单调递增，所以，所以不等式不能恒成立.试题解析:（Ⅰ）由可得函数定义域为．，令，经验证，因为，所以的判别式，由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，所以是的异号零点，所以是函数的极值点．（Ⅱ）已知，因为，又因为，所以，所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；当时，在区间上，所以函数单调递增，所以，所以不等式不能恒成立；所以时，有在区间恒成立．点睛:本题考查学生的是导数在单调性以及恒成立问题的应用,属于中档题目.导数与极值点的关系：(1)定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；(2)函数f(x)在点x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y＝|x|，结合图象，知它在x＝0处有极小值，但它在x＝0处的导数不存在；(3)f′(x0)＝0既不是函数f(x)在x＝x0处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后提醒学生一定要注意对极值点进行检验．17．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于，两点．（）求椭圆的方程．（）当四边形为矩形时，求直线的方程．【答案】（1）；（）．【解析】试题分析：(I)借助题设条件运用参数之间的关系等知识建立方程组求解；(II)依据题设运用直线与椭圆的位置关系进行探求.试题解析：（Ⅰ）由题意可得解得，.故椭圆的方程为...........（5分）（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，点，.，，由得.所以，因为.所以中点.因此直线方程为.由解得，.因此四边形为矩形，所以，即.所以.所以.解得，故直线的方程为...........（14分）考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识与直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念,求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再借助题设中的矩形满足的条件建立方程,求得,从而使得问题获解.18．如果数列，，，（，且），满足：①，；②，那么称数列为“”数列．（）已知数列，，，；数列，，，，．试判断数列，是否为“”数列．（）是否存在一个等差数列是“”数列？请证明你的结论．（）如果数列是“”数列，求证：数列中必定存在若干项之和为．【答案】（）数列不是“”数列，数列是“”数列；（）不存在等差数列是“”数列；（）证明见解析．【解析】分析：（1）根据定义直接判断即可得解；（2）假设存在等差数列是“”数列，由，得，与矛盾，从而可证不存在等差数列为“”数列；（3）将数列按以下方法重新排列：设为重新排列后所得数列的前项和（且），任取大于0的一项作为第一项，则满足，然后利用反证法，证明即可.详解：（）由题目是定义可直接判断出，数列不符合数列要求，数列是“”数列．（）不存在一个等差数列是“”数列，证明：假设存在等差数列是“”数列，则由，得与矛盾，说明假设不成立，即不存在等差数列是“”数列．（）将数列按以下方法重新排列：设为重新排列后所得数列的前项和（，且），任取大于的一项作为第一项，则满足，假设当时，，若，则任取大于的一项作为第项，可保证，若，则剩下的项必有或与异号的一项，否则总和不是，∴取或与异号的一项作为第项，可保证，如果按上述排列后存在成立，那么命题得证，否则，，这个整数只能取区间内的非整数，∵区间内的非整数至多个，∴一定存在，那么从第项到第项之和为，命题得证，综上所述，数列中一定存在若干项之和为，证毕．点睛：本题主要考查了新定义和数列的应用，解答新定义的试题的关键是把题目中的定义转化已经学过的知识进行解决，属于中档题.。
北京市海淀北大附中2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
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人大附中 2016-2017 学年度第二学期期末高二年级数学（理科）
一、选择题（共 8 道小题，每道小题 5 分，共 40 分，请将正确答案填涂在答题纸上．）
10．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是 0 、1 2i 、 2 i ，则该正方形的 第四个顶点对应的复数是__________． 【答案】 (1,3) 【解析】正方形三个顶点对应的坐标为 (0,0) ， (1, 2) ， (2,1) ， 设第 4 个顶点为 (a,b) ， 则 (a 1,b 2) (2 0,1 0) (2,1) ， ∴ a 1 ， b 3 ，即第 4 个顶点为 (1,3) ．
（1 ）若序列 A0 为1， 2 ， 3 ， 4 ，则序列 A2 为__________． （ 2 ）若序列 A0 为1， 2 ， ， n ，则序列 S( A0 ) __________． 【答案】（1） 8 ，12 （ 2 ） (n 2) 2n1
【解析】（1）由题意 A1 :1 2 ， 2 3 ， 3 4 ，
sin
π 4
4
可化成
y
x
4
2 0，
圆
4
sin
π 4
可化成
(x
2)2 (y
2)2 4 ，
圆心 2, 2 到直线的距离 d | 2 2 4 2 | 2 r ， 12 12
说明圆与直线相切．
故选 C ．
D．相离
6．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为 0.3 ；第一次落地没有打破，第二次
《解析》北京市海淀区2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
北京市海淀区2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题：1、复数1﹣i的虚部为（）A、iB、1C、D、﹣2、xdx=（）A、0B、C、1D、﹣3、若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A、﹣2B、2C、﹣2iD、2i4、若a，b，c均为正实数，则三个数a+ ，b+ ，c+ 这三个数中不小于2的数（）A、可以不存在B、至少有1个C、至少有2个D、至多有2个5、定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A、只有三个极大值点，无极小值点B、有两个极大值点，一个极小值点C、有一个极大值点，两个极小值点D、无极大值点，只有三个极小值点6、函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A、1B、﹣C、D、或﹣7、函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A、B、C、D、8、为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：①甲同学没有加入“楹联社”；②乙同学没有加入“汉服社”；③加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；④加入“汉服社”的那名同学在高一年级；⑤乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A、楹联社B、书法社C、汉服社D、条件不足无法判断二、填空题：9、在复平面内，复数对应的点的坐标为________．g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是________；函数f（g（x））在x=2处的导数值是________．11、如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是________．12、如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：(1)________ ；(2)f′（6）________f′（10）．13、已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么• =x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么• =x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么• =________．14、函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是________．（写出所有正确的结论的序号）三、解答题：15、已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16、已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n= ﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17、已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18、设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．答案解析部分一、<b >选择题：</b>1、【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】【解答】解：复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．【分析】直接由虚部定义得答案．2、【答案】B【考点】定积分【解析】【解答】解：xdx= x2| = ，故选：B【分析】根据定积分的计算法则计算即可．3、【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．4、【答案】B【考点】反证法与放缩法【解析】【解答】解：假设a+ ，b+ ，c+ 这三个数都小于2，∴a+ +b+ +c+ ＜6∵a+ +b+ +c+ =（a+ ）+（b+ ）+（c+ ）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定至少有一个不小于2，从而可以得结论．5、【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．【分析】根据函数的单调性结合函数的图象判断函数的极值点的个数即可．6、【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意，f′（x）= ，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a= ，故选C．【分析】求导数，利用函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，即可求出实数a的值．7、【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】解：y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x 时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x= ，∴f（x）只有1个零点x= ，当x 时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x 时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．【分析】判断函数的单调性，计算函数与坐标轴的交点坐标即可得出答案．8、【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：假设乙在高一，则加入“汉服社”，与②矛盾，所以乙在高二，根据③，可得乙加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．【分析】确定乙在高二，加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社．二、<b >填空题：</b>9、【答案】（﹣1，﹣1）【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：复数= =﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．10、【答案】y=3x﹣1；12【考点】导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；12【分析】求出f′（1）=3，f（1）=2，即可求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．利用复合函数的导数公式，可得函数f（g（x））在x=2处的导数值，11、【答案】π+2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】解：由图象可得S= （1+sinx）dx=（x﹣cosx）| =π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+2【分析】由图象可得S= （1+sinx）dx，再根据定积分的计算法则计算即可．12、【答案】（1）＞（2）＜【考点】函数的图象【解析】【解答】解：（1.）由函数图象可知= ，= =2，∴．（2.）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．【分析】（1）代入函数值计算或根据平均变化率的几何意义比较割线的斜率；（2）根据导数的几何意义比较切线的斜率即可．13、【答案】a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：由题意可知• =a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．【分析】根据平面向量和空间向量数量积的计算公式归纳得出结论．14、【答案】①②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．【分析】求出f（x）的导数，设出切点（m，f（m）），可得切线的斜率，由已知切线的方程可得a，m，的方程，求得m=1，a=0，即可判断①；求出f（x）的导数，运用指数函数的值域和不等式的性质可得导数大于0，即可判断②；由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，即可判断③．三、<b >解答题：</b>15、【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）在闭区间的最小值即可．16、【答案】解：（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1= ，a3+a2= ﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2= ﹣1，a3= ﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n= ﹣，当n=1时，由a1=1= ﹣，猜想成立．假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k= ﹣则由a k+1+a k= ﹣，得a k+1= ﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n= ﹣【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法【解析】【分析】（Ⅰ）由数列{a n}的递推公式依次求出a2，a3，a4；（Ⅱ）根据a2，a3，a4值的结构特点猜想{a n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【题型解答题17、【答案】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）= ≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+ = ，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，证明结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．18、【答案】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，因为f′（1）=0，且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0. ；令，则，故g（x）单调递增．又g（1）=0，当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，判断即可；（Ⅱ）求出函数的导数，令，根据函数的单调性证明即可．。
北京海淀2016-2017年高二下期中考试数学理及答案
海淀区高二年级第二学期期中考试数 学 （理科） 2017.4一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 复数13-i 的虚部为（ ）A. 3iB. 1C. 3D. 3- 2.1d x x =⎰（ ）A. 0B.12C. 1D. 12-3. 若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且1=1i z +，则12z z ⋅=（ ）A. 2-B. 2C. 2i -D. 2i4. 若,,a b c 均为正实数，则三个数111,,a b c b c a+++这三个数中不小于2的数 （ ）A.可以不存在B.至少有1个C. 至少有2个D. 至多有2个5. 定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数()f x '和()g x '的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x =-极值点的情况是（ ）A. 只有三个极大值点，无极小值点B. 有两个极大值点，一个极小值点C. 有一个极大值点，两个极小值点D. 无极大值点，只有三个极小值点6. 函数()ln f x x =与函数2()g x ax a =-的图象在点(10)，的切线相同，则实数a 的值为（ ）A. 1B. 12-C. 12D. 12或12- 7. 函数(21)xy e x =-的大致图象是 （ ）8.为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查。
调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1） 甲同学没有加入“楹联社”; （2） 乙同学没有加入“汉服社”;（3） 加入“楹联社”的那名同学不在高二年级; （4） 加入“汉服社”的那名同学在高一年级; （5） 乙同学不在高三年级。
试问：丙同学所在的社团是 （ ） A.楹联社 B.书法社 C.汉服社 D.条件不足无法判断 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 在复平面内，复数1-ii对应的点的坐标为 . 10. 设函数(),()f x g x 在区间(0,5)内导数存在，且有以下数据：x1 2 3 4 ()f x 2 3 4 1 ()f x '3 4 2 1 ()g x 3 1 4 2 ()g x '2413则曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程是 ;函数(())f g x 在2x =处的导数值是 ． 11. 如图，()1sin f x x =+，则阴影部分面积是 .12. 如图，函数()f x 的图象经过(0,0),(4,8),(8,0),(12,8)四个点，试用“>，=，<”填空： （1）(4)(2)2f f -______(12)(8)4f f -；（2）(6)f '______(10)f '.13. 已知平面向量 ，，那么 ；空间向量 ，，那么 ．由此推广到 维向量：，，那么 ．14. 函数()e ln xf x a x =-（其中a ∈R ）① a ∃∈R ，使得直线e y x =为函数()f x 的一条切线； ② 对0a ∀<，函数()f x 的导函数()f x '无零点； ③ 对0a ∀<，函数()f x 总存在零点；则上述结论正确的是 ．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知函数32()392f x x x x =--+ （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值.16．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，111--+=++n n a a n n ，*n ∈N .（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 17．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln af x x a x x=-+-，其中a ∈R . （Ⅰ）求证/；当1a =时，函数()y f x =没有极值点； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调增区间．18．（本小题满分12分）设(1)() In t x f x e t x -=-，(0)t >（Ⅰ）若1t =，证明1x =是函数()f x 的极小值点； （Ⅱ）求证：()0f x ≥.海淀区高二年级第二学期期中参考答案 2017.4数 学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.A4.B5.C6.C7.A8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,1)-- 10. 31y x =-；12 11. 2π+ 12. (1) >； (2) < 13. 1122n n a b a b a b ⋅+++a b = 14. ①②③三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）解：'2()369f x x x =-- ………………………………（2分） )3)(1(3)32(3 2-+=--=x x x x令'()0f x =，得11-=x .；32=x ……………………………（3分）当x 变化时，)(x f ,'()f x 在区间(,)-∞+∞上的变化状态如下：x()1,-∞-1-()3,1-3()+∞,3'()f x +0 -+)(x f↗极大↘极小↗…………………………………（6分）所以)(x f 的单调递增区间是()1,-∞-，()+∞,3；单调递减区间是()3,1-. ………………………………（7分）…（Ⅱ）因为(2)0f -=，(2)20f =-， ………………………（9分） 再结合)(x f 的单调性可知，函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值为20-. ………………（10分）16．（Ⅰ）由题意11a =，212a a +=，3231a a +=-，4322a a +=-解得：221a =-，332a =-，423a =-………………………（3分）（Ⅱ）猜想：对任意的*n ∈N ，1n a n n =--………………………（4分）① 当1n =时，由11111a ==--,猜想成立. ………………………（5分）② 假设当k n = （∈k N *）时，猜想成立，即1--=k k a k ……………………（6分）则由111--+=++k k a a k k ，得k k a k -+=+11 ………………………（9分）即当1+=k n 时，猜想成立由①、②可知，对任意的*n ∈N ，猜想成立，即数列{}n a 的通项公式为1n a n n =-- ……………………（10分）17.（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域是()+∞,0． ………………（1分） 当1a =时，1()2In f x x x x=--函数'221()1f x x x =-+ ………………（3分） 2212x x x +-=()0122≥-=xx ， ………………（5分） 所以函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增.所以当1a =时，函数()y f x =没有极值点. ……………（6分）（Ⅱ）'21()1a af x x x+=-+， ()+∞∈,0x ………………（7分） ()221x a x a x ++-=()()21x a x x --=. 令'()0f x =，得a x x ==21,1 .………………（8分） ① 0≤a 时，由'()0f x >可得1>x ，所以函数()y f x =的增区间是()+∞,1； ………………（9分） ② 当10<<a 时，由'()0f x >可得a x <<0，或1>x ，所以函数()y f x =的增区间是()a ,0，()+∞,1； ……………（10分） ③ 当1>a 时，由'()0f x >可得10<<x ，或a x>，所以函数()y f x =的增区间是()1,0，()+∞,a ； ………………（11分） ④ 当1=a 时，由（Ⅰ）可知函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增. ………………（12分）综上所述，当0≤a 时，函数()y f x =的增区间是()+∞,1；当10<<a 时，所以函数)(x f y =的增区间是),0(a ，),1(+∞； 当1=a 时，函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增； 当1>a 时，所以函数()y f x =的增区间是()1,0，()+∞,a .18．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………（ 1分） 若1=t ，则1()ln x f x e x -=-，'11()x f x ex-=-． ………………（2分） 因为'(1)0f =， ………………（3分）且10<<x 时，xe ex 1101<=<-，即'()0f x <，所以()f x 在)1,0(上单调递减； ………………（4分）1>x 时，xe e x 1101>=>-，即'()0f x >，所以()f x 在),1(+∞上单调递增； ………………（5分）所以1=x 是函数)(x f 的极小值点； ………………（6分）（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，0t >.'(1)(1)1()()t x t x t f x te t e x x --=-=-． ………………（7分）令(1)1()t x g x e x -=-，则'(1)21()0t x g x te x-=+>，故()g x 单调递增． ………………（8分）又(1)0g =， ………………（9分） 当1x >时，()g x ＞0，因而'()f x ＞0，()f x 单增，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞；当01x <<时，()g x ＜0，因而'()f x ＜0，()f x 单减，即()f x 的单调递减区间为(0,1)． ………………（11分） 所以()+∞∈,0x 时，()(1)10f x f ≥=≥成立. ………………（12分）。
高二数学下学期期中试题理扫描版北师大版
北京市海淀区高二数学下学期期中试题理（扫描版）海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准 2013.4 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．D 2．D 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．2a =-，12b =10．1a ≥ 11．4312．313．①②④ 14．()31327xf x x =+； 2(0,)31n -（每空2分）三、解答题：本大题共4小题，共44分. 15.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）22()4f x a x ax b '=-+………………2分 由题意(0)3f b '==………………4分（Ⅱ）由函数()f x 在1x =处取得极大值 2(1)430f a a '∴=-+=解得1a =或3a = ………………6分①当1a =时，2()43(1)(3)f x x x x x '=-+=--由上表知，函数()f x 在1x =处取得极大值，符合题意………………8分②当3a =时，2()91233(31)(1)f x x x x x '=-+=--由上表知，函数()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意. 综上所述，若函数()f x 在1x =处取得极大值，a 的值为1. ………………10分16.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意，当3n ≥时，121()2n n n x x x --=+ ………………2分 （Ⅱ）10x =，2x a =，3211()22a x x x =+=，43213()24ax x x =+=121a x x a ∴=-=，2322a a x x =-=-，3434aa x x =-= ………………4分 推测1(2)n n aa -=-………………6分y方法一证明：对于任意*n N ∈，1n n n a x x +=-121111111()()222n n n n n n n n n a x x x x x x x a ++++++=-=+-=--=- ……………….9分又10a a =>Q {}n a ∴是以a 为首项，以12-为公比的等比数列.故111()2(2)n n n aa a --=⋅-=-………………10分方法二下面用数学归纳法证明： ① 当11111=()2n a a a -==⋅-时，，1(2)n n a a -=-成立 ……….………………7分 ② 假设当(1,)n k k k =≥∈N 时，1(2)n n aa -=-成立，即11()2k ka a -=⋅-， 则1时，n k =+11+2112k k k k k k x x a x x x +++++=-=-12k k x x +-= +11111()()22k k k x x a -+=--=⋅-，所以1时，n k =+1(2)n n aa -=-成立. …………..…….9分由①②可知，数列{}n a 的通项公式为1*1(),2n n a a n N -=⋅-∈ ……………10分17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD由已知可得AF AD ⊥且AF ⊂平面ADEF∴AF ⊥平面ABCD……………2分又AB AD ⊥如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -(0,0,0)A，(4,0,0)B ，C ，E所以，有(BE =-u u u r，AC =u u u r(0BE AC ⋅=-⋅=u u u r u u u rBE AC ∴⊥u u u r u u u r，BE AC ∴⊥ ………………4分（Ⅱ）由已知可得,AD CD AD DE ⊥⊥，所以平面CED 的一个法向量为1(0,1,0)=n ………………5分 设平面BCE 的法向量为2(,,)x y z =n ，则有220420020BE x z BC x ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇔⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩n n u u u ru u ur ，不妨令1y =， 所以平面BCE的一个法向量为2=n . ……………7分121212cos ,||⋅<>=⋅n n n n |n |n由已知可得所求二面角B CE D --的余弦值为………………………………9分 （Ⅲ）设(0,0,)P z ，02z ≤≤，(4,0,)BP z =-u u u r设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有020020AE z AC x ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇔⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩n n u u u r u u ur ，不妨令1y =，则 平面ACE的一个法向量为(=n , ………………11分由(4,0,)(0BP z =-⋅=n u u u rg ，解得4z =，不符合题意,即线段AF 上不存在点P ，使得BP ∥平面ACE ………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞ , ………………1分当2a =-时，214'()x f x x-=， ………………3分因为11()ln 2022f =--<，所以，此时，在定义域上()0f x <， 所以函数()f x 的零点个数为0. ………………………………………………….6分 （Ⅱ）1(1)(21)()2(2)ax x f x ax a x x--'=-++=, ………………8分①当0a ≤时,………9分②当02a <<时,……..10分③当2a =时，2(21)()0x f x x-'=≥对(0,)x ∈+∞恒成立,且仅当1=时'()0f x =所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ……………11分 ④当2a >时…12分综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)2，单调递减区间是1(,)2+∞；当02a <<时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)2和1(,)a+∞，单调递减区间是11(,)2a；当2a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当2a >时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)a和1(,)2+∞，单调递减区间是11(,)2a .说明：本题第二问不列表也可以。
2017海淀区高二(下)期中(数学)理含答案
2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣ C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社 B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x 1 2 3 4f（x） 2 3 4 1f′（x） 3 4 2 1g（x） 3 1 4 2g′（x） 2 4 1 3则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．2017海淀区高二（下）期中数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x （﹣∞﹣﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞）1）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n =﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k+1+a k =﹣，得a k+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n =﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx ﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。
北京海淀区北京大学附属中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题
人大附中2016-2017学年度第二学期期末高二年级数学（理科）练习一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分，请将正确答案填涂在答题纸上．）1.设i 是虚数单位，则311i=-（ ）． A.11i 22- B. 11i 22+C. 1i -D. 1i +2.在极坐标系中，点π1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭与点3π1,4⎛⎫⎪⎝⎭的距离为（ ）． A. 1B.C.D. 3.已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 A. 1 B. 2C. -1D. -24.圆1,{1x y θθ=-+=+（θ为参数）被直线0y =截得的劣弧长为（ ）A.2B. πC.D. 4π5.直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的位置关系是（ ）． A. 相交但不过圆心B. 相交且过圆心C. 相切D. 相离6.某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A 0.378B. 0.3C. 0.58D. 0.9587.若函数21()ln 2f x x x =-在其定义域一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）． A. (1,2)B. [1,2)C. [0,2)D. (0,2)8.几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知.（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A ，B ，C ； （2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D ，E ，F ； （3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G ，A ，C ； （4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B ，D ，H ； （5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I ，C ，E ． 倒霉和李华在下落过程中撞到了从A 到I 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这9根树枝不同的撞击次序有（ ）种． A. 23B. 24C. 32D. 33二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分．将正确答案填写在答题卡要求的空格中．） 9.若5()x a -的展开式中2x 项的系数是10，则实数a 的值是__________．10.在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________．11.设随机变量~(2,)B p ξ，~(4,)B p η，若5(1)9p ξ≥=，则(2)p η≥的值为__________． 12.设1a >，1b >，若ln 2ln 3a a b b -=-，则a ，b 大小关系为__________．13.抛物线2:4C x y =与经过其焦点F直线l 相交于A ，B 两点，若5AF =，则||AB = __________，抛物线C 与直线l 围成的封闭图形的面积为__________． 14.对于有n 个数的序列01:A a ，2a ，，(*)n a n ∈N ，实施变换T 得新序列112:A a a +，23a a +，，1n n a a -+，记作10()A T A =；对1A 继续实施变换T 得新序列210()(())A T A T T A ==，记作220()A T A =；，110()n n A T A --=．最后得到的序列1n A -只有一个数，记作0()S A ． （1）若序列0A 为1，2，3，4，则序列2A 为__________． （2）若序列0A 为1，2，，n ，则序列0()S A =__________．三、解答题的的的15.已知函数2()f x ax bx c =++，[0,6]x ∈的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数()f x 的值域为[0,9].过该函数图象上的动点(,())P t f t 作x 轴的垂线，垂足为A ，连接OP .（I ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）记的面积为S ，求S 的最大值.16.某保险公司开设的某险种的基本保费为1万元，今年参加该保险的人来年继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的下一年度的保费与其与本年度的出险次数的关联如下：设今年初次参保该险种的某人准备来年继续参保该险种，且该参保人一年内出险次数的概率分布列如下：（1）求此续保人来年的保费高于基本保费的概率．（2）若现如此续保人来年的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率． （3）求该续保人来年的平均保费与基本保费的比值．。
北京四中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题
北京四中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 复数i-12= A. 2+2i B. 22+22i C. 1-i D. 1+i2. 下列求导正确的是A. （3x 2-2）'=3xB. （log 2x ） '=2ln 1⋅xC. （cosx ） '=sinxD. （xln 1）'=x 3. 曲线y=x ·e x 在x=1处切线的斜率等于A. 2eB. eC. 2D. 1 4. ⎰421dx x等于 A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 25. 函数f （x ）=3+x lnx 的单调递增区间为A. （0，e 1）B. （e ，+∞）C. （e 1，+∞）D. （e 1，e0，31，221，e-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-11，2g （x ）+21x-2 三、解答题：本大题共2小题，共20分.17. （本小题满分8分）解：（I ）因为f （x ）=lnx-x 2+x 其中x>0所以f '（x ）=x 1-2x+1=xx x )12)(1(+- 所以f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）.（II ）由（I ）f （x ）在hslx3y3h 21，11，e1，21，21，21，21，21，2g （x ）+21x-2（1-lnx ）+21x-2hslx3y3h=xlnx-21x 2+x, 则F'（x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2，则t '（x ）=x 1-1=xx -1. 令t '（x ）=0，得x=1.则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数；由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数；而F '（21e ）=-2-21e +2=-21e <0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1，且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数；在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数.所以x 1为极值点，此时m=0.又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0,则F '（x ）在（3，4）上有且只有一个零点x 2，且在（3，x 2）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数；在（x 2，4）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数.所以x 2为极值点，此时m=3.综上m=0或m=3. …………………9分（III ）（1）当x ∈（0，e ）时，g （x ）>0，依题意，h （x ）≥g （x ）>0，不满足条件；（2）当x=e 时，g （e ）=0，f （e ）=e 3-3ae+e ，①若f （e ）=e 3-3ae+e≤0，即a≥312+e ，则e 是h （x ）的一个零点； ②若f （e ）=e 3-3ae+e>0，即a<312+e ，则e 不是h （x ）的零点； （3）当x ∈（e ，+∞）时，g （x ）<0，所以此时只需考虑函数f （x ）在（e,+∞）上零点的情况. 因为f '（x ）=3x 2-3a>3e 2-3a ，所以①当a≤e 2时，f '（x ）>0，f （x ）在（e ，+∞）上单调递增.又f （e ）=e 3-3ae+e ，所以（i ）当a≤312+e 时，f （e ）≥0，f （x ）在（e ，+∞）上无零点； （ii ）当312+e <a≤e 2时，f （e ）<0， 又f （2e ）=8e 3-6ae+e≥8e 3-6e 3+e>0，所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；②当a>e 2时，令f '（x ）=0，得x=±a .由f '（x）<0，得e<x<a；由f '（x）>0，得x>a；所以f（x）在（e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增. 因为f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，a>312e. …………12分。
2016-2017北京西城北京四中高二下期中【理】
高二数学 期中测试卷（理）试卷分为两卷，卷（．．．．．．．．．Ⅰ．）．100．．．分，卷（．．．．Ⅱ．）．50．．分，共计．．．．150．．．分，考试时间．．．．．．120．．．分钟．． 请将卷（．．．．Ⅰ．）．选择题答案填涂在答题卡上，卷（．．．．．．．．．．．．．．．Ⅱ．）选择题答案填在答题纸上．．．．．．．．．．．．．．卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．复数21i=-（ ）．A BC ．1i -D ．1i +2．下列求导正确的是（ ）． A ．2(32)3x x ¢-= B ．21(log )ln2x x ¢=× C ．(cos )sin x x ¢=D ．1()ln x x¢=3．曲线e x y x =?在1x =处切线的斜率等于（ ）． A ．2e B ．e C ．2 D ．14．421dx xò等于（ ）． A ．2ln2- B ．2ln2C ．ln2-D ．ln25．函数()3ln f x x x =+的单调递增区间为（ ）． A ．10,e骣琪琪桫 B ．(e,)+?C ．1,e 骣琪+?琪桫D ．1,e e 骣琪琪桫6．在复平面内，复数2i1i-+（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）． A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限7．函数26()1xf x x =+在区间[]0,3的最大值为（ ）． A ．3 B ．4C ．2D ．58．已知23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++ ，则(0)f ¢=（ ）．A ．nB ．1n -C ．(1)2n n - D ．1(1)2n n +9．函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(1,2)-B ．(3,6)-C ．(,3)(6,)-?+?D ．(,1)(2,)-?+?10．方程2sin cos x x x x =+的实数解个数是（ ）．A ．3B ．0C ．2D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 11．复数(2i)i +?的模为__________．12．由曲线2y x =，3y x =围成的封闭图形的面积为__________．13．若曲线32y x x =+-上的在点0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 坐标为__________．14．如图，由函数2()f x x x =-的图象与x 轴、直线2x =转成的阴影部分的面积为__________．15．已知111122n S n n n =+++++ ，n *ÎN ，利用数学归纳法证明不等式1324n S >的过程中，从n k =到1()n k k N *=+?时，不等式的左边1K K S S +=+__________．16．对于函数()y f x =，x ÎD ，若对于任意1x ÎD ，存在唯一的2x ÎDM ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ，那么函数32()1f x x x =-+，在[]1,2x Î上的几何平均数M =__________．三、解答题：本大题共2小题，共20分． 17．设函数2()ln f x x x x =-+． （1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间1,e 2轾犏犏臌上的最大值．18．已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ÎR ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）求()f x 的极值．卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 1．若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+?上是减函数，则实数b 的取值范围是（ ）． A ．[]1-+?，B ．(1)-+?，C ．](,1-?D ．(,1)-?2．观察211()x x¢=-，32()3x x ¢=，(sin )cos x x ¢=，由归纳推理可得：若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ）．A ．()f x -B ．()f xC ．()g xD ．()g x -3．若i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，则1i z -+的最大值为（ ）．A 1B ．2-C 1D ．2二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4．曲线n y x =在2x =处的导数为12，则正整数n =__________．5．设函数21y x =-+的切线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则OAB △的面积的最小值为__________．6．对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log 2xf x x骣琪=-琪桫，③()cos(2)cos f x x x =+-，判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+?上恰有两个零点1x ，2x ，且121x x <． 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是__________．三、解答题：本大题共2小题，共20分 7．已知函数322()f x x ax bx a =+++．（1）若()f x 在1x =处有极值10，求a ，b 的值；（2）若当1a =-时，()0f x <在[1,2]x Î恒成立，求b 的取值范围．8．已知函数3()3f x x ax e =-+，()1ln g x x =-，其中e 为自然对数的底数．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线l ：20x y +=垂直，求实数a 的值． （2）设函数1()()22F x x g x x 轾=-+-犏犏臌，若()F x 在区间(,1)()m m m +?Z 内存在唯一的极值点，求m 的值；（3）用{}max ,m n 表示m ，n 中较大者，记函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>．若函数()h x 在(0,)+?上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．。