计算机算法设计与分析第4版王晓东电子

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算法设计与分析王晓东

习题2-1 求下列函数的渐进表达式：3n^2+10n; n^2/10+2n; 21+1/n; logn^3; 10 log3^n 。

解答：3n^2+10n=O(n^2),n^2/10+2^n=O(2^n),21+1/n=O(1),logn^3=O(logn),10log3^n=O(n).习题2-3 照渐进阶从低到高的顺序排列以下表达式：n!，4n^2,logn,3^n,20n,2,n^2/3。

解答：照渐进阶从高到低的顺序为：n!、3^n、4n^2 、20n、n^2/3、logn、2习题2-4(1)假设某算法在输入规模为n时的计算时间为T(n)=3*2^n。

在某台计算机上实现并完成该算法的时间为t秒。

现有另外一台计算机，其运行速度为第一台计算机的64倍，那么在这台新机器上用同一算法在t秒内能解输入规模为多大的问题？(2)若上述算法的计算时间改进为T(n)=n^2，其余条件不变，则在新机器上用t秒时间能解输入规模多大的问题？(3)若上述算法的计算时间进一步改进为,其余条件不变，那么在新机器上用t秒时间能解输入规模多大的问题？解答：(1)设能解输入规模为n1的问题，则t=3*2^n=3*2^n/64,解得n1=n+6(2)n1^2=64n^2得到n1=8n(3)由于T（n)=常数，因此算法可解任意规模的问题。

习题2-5 XYZ公司宣称他们最新研制的微处理器运行速度为其竞争对手ABC公司同类产品的100倍。

对于计算复杂性分别为n，n^2，n^3和n!的各算法，若用ABC公司的计算机能在1小时内能解输入规模为n的问题，那么用XYZ公司的计算机在1小时内分别能解输入规模为多大的问题？解答：n'=100nn'^2=100n^2得到n'=10nn'^3=100n^3得到n'=4.64nn'!=100n!得到n'<n+log100=n+6.64习题2-6对于下列各组函数f(n)和g(n)，确定f(n)=O(g(n))或f(n)=Ω(g(n))或f(n)=θ（g(n)），并简述理由。

计算机算法设计与分析(王晓东第4版)第8章

都变成负值为止
Department of Electronic Information
30
Fun Time
z
=
9
+
21x2
−
3 4
x4
−
2x5,
s.t.
x3
−
1 2
x2
+
41x4
=
3
x1 x6
+ −
5 2
x2
5 2
x2
+ −
41x4 43x4
+ +
2x5 = 10 +8x5 = 1
• 选出使目标函数增加的非基本变量作为入基变量 • z 行中的正系数非基本变量都满足要求
Department of Electronic Information
24
单纯形表
max z = −x2 + 3x3 − 2x5,
s.t.
x1
+
3x2
−
x3
+
2x5
=
7
x4 − 2x2 + 4x3 = 12
x2 x3 x5
z 0 -1 3 -2 x1 7 3 -1 2 x4 12 -2 4 0 x6 10 -4 3 8
Department of Electronic Information
23
单纯形算法的第 1 步–选取入基变量
• 查看单纯形表的第 1 行（也称之为 z 行）中标有非基本变量的各列中的值
2x2 − 7x4 ≤ 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 9
x2 − x3 + 2x4 ≥ 1 xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4

计算机算法设计与分析(第4版)[王晓东][电子教案]第2章

2.1 递归的概念
例5 整数划分问题前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因而容易用递归函数直接求解。在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。
A(1,0) 2 A(0, m) 1 m0 A(n,0) n 2 n2 A(n, m) A( A(n 1, m), m 1) n, m 1
2.1 递归的概念
例3 Ackerman函数前2例中的函都可以找到相应的非递归方式定义：
n! 1 2 3 (n 1) n
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
算法总体思想

将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
1 q ( n, n ) q ( n, m ) 1 q (n, n 1) q ( n, m 1) q (n m, m)
正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
n 1, m 1 nm nm n m 1
2.1 递归的概念
例6 Hanoi塔问题设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠臵。在移动圆盘时应遵守以下移动规则：规则1：每次只能移动1个圆盘；规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。

算法设计与分析-1-15

计算机算法设计与分析（第4版）
电子工业出版社
教材资料、课程情况
计算机算法设计与分析（第4版），王晓东编著，北京：电子工业出版社，2012
—— 优缺点
Introdocution to Algotithms(2nd Ed), Cormen,T.H,
Leiserson, C.E.,Rivest, R., Stein,C.北京：高等教育出版社， 2002 必修课，11/12/13/14年，增强解决问题能力； ACM程序设计竞赛，bupt；研究生复试；大公司应聘笔试
• 程序=数据结构 + 算法
（1）处理对象，输入、输出、中间结果、….
（2）处理过程
程序(Program)
• 程序可以不满足算法的性质(4)——有限性。 • 例如，操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，某些语句、模块反复执行，因而不是一个算法。
• 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题
(1)输入：有外部提供的量作为算法的输入。
(2)输出：算法产生至少一个量作为输出。
(3)确定性：组成算法的每条指令、语句是清晰，无歧义的。
(4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的时间也是有限的。
程序(Program)
• 程序：算法用某种程序设计语言的具体实现。 • 进程（process，“操作系统”课程）：程序的一次执行 e.g. Windows任务管理器
• CSP例题
注意事项
成绩
期中，期末，作业；
掌握：1. 各章主要算法策略——5种策略
2. 算法设计策略应用于具体问题典型问题算法
3. 各章典型问题/算法设计 + 分析作业：各章典型问题/算法的编程实现（每章3个）答疑、作业：助教课堂纪律

计算机算法设计与研究(王晓东第4版)第4章

School of Computer and Communication Engineer
2
找零问题
问题描述: 假设有顾客在超市购买物品价值 2.5 元, 支付一张 20 元人民币, 请给出找零方案, 要求找给顾客的零钱的数目最少?
• 10 元一张, 5 元一张, 1 元二张, 5 角一张.
• 共计5张.
n 元 0-1 向量 (x1, x2, . . . , xn), xi ∈ {0, 1}, 1 ≤ i ≤ n,
使得
n i=1
wixi
≤
c,
而且,Байду номын сангаас
n i=1
vixi
达到最大.
School of Computer and Communication Engineer
11
背包问题贪心算法基本步骤
• 首先计算每种物品单位重量的价值 vi/wi, 然后依贪心选择策略, 将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包
School of Computer and Communication Engineer
19
Fun Time
考虑如下活动集合 S:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 si 1 3 0 5 3 5 6 8 8 2 12 fi 4 5 6 7 9 9 10 11 12 14 16
• 子集 {a3, a9, a11} 为一相容活动集合 • 计算最大相容活动集合?
5
贪心算法产生最优解的条件
• 贪心选择性 • 最优子结构
School of Computer and Communication Engineer
6
贪心选择性质
定义 1. 若一个优化问题的全局最优解可以通过局部最优选择得到, 则该问题称为具有贪心选择性.

计算机算法设计与分析(王晓东) 第5章回溯法

n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间
5
生成问题状态的基本方法

扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法
}
18
n后问题
在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。
1 2 3 4 5 6 7 8 Q Q Q Q Q Q Q
void backtrack (int i) {// 搜索第i层结点 if (i > n) // 到达叶结点更新最优解bestx,bestw; return; r -= w[i]; if (cw + w[i] <= c) {// 搜索左子树 x[i] = 1; cw += w[i]; backtrack(i + 1); cw -= w[i]; } if (cw + r > bestw) { x[i] = 0; // 搜索右子树 backtrack(i + 1); } r += w[i];

计算机算法设计与分析(第4版) 王晓东习题解答

第一章作业1.证明下列Ο、Ω和Θ的性质1）f=Ο(g)当且仅当g=Ω(f)证明：充分性。

若f=Ο(g)，则必然存在常数c1>0和n0，使得∀n≥n0，有f≤c1*g(n)。

由于c1≠0，故g(n) ≥ 1/ c1 *f(n)，故g=Ω(f)。

必要性。

同理，若g=Ω(f)，则必然存在c2>0和n0，使得∀n≥n0，有g(n) ≥ c2 *f(n).由于c2≠0，故f(n) ≤ 1/ c2*f(n)，故f=Ο(g)。

2）若f=Θ(g)则g=Θ(f)证明：若f=Θ(g)，则必然存在常数c1>0，c2>0和n0，使得∀n≥n0，有c1*g(n) ≤f(n) ≤ c2*g(n)。

由于c1≠0，c2≠0，f(n) ≥c1*g(n)可得g(n) ≤ 1/c1*f(n)，同时，f(n) ≤c2*g(n)，有g(n) ≥ 1/c2*f(n)，即1/c2*f(n) ≤g(n) ≤ 1/c1*f(n)，故g=Θ(f)。

3）Ο(f+g)= Ο(max(f,g))，对于Ω和Θ同样成立。

证明：设F(n)= Ο(f+g)，则存在c1>0，和n1，使得∀n≥n1，有F(n) ≤ c1 (f(n)+g(n))= c1 f(n) + c1g(n)≤ c1*max{f,g}+ c1*max{f,g}=2 c1*max{f,g}所以，F(n)=Ο(max(f,g))，即Ο(f+g)= Ο(max(f,g))对于Ω和Θ同理证明可以成立。

4）log(n!)= Θ(nlogn)证明：∙由于log(n!)=∑=n i i 1log ≤∑=ni n 1log =nlogn ，所以可得log(n!)= Ο(nlogn)。

∙由于对所有的偶数n 有，log(n!)= ∑=n i i 1log ≥∑=n n i i 2/log ≥∑=nn i n 2/2/log ≥(n/2)log(n/2)=(nlogn)/2-n/2。

当n ≥4，(nlogn)/2-n/2≥(nlogn)/4，故可得∀n ≥4，log(n!) ≥(nlogn)/4，即log(n!)= Ω(nlogn)。

计算机算法设计与分析【王晓东-电子工业出版社-2版】-第3章

上海金融学院信息管理系
void MatrixChain(int* p,int n,int m[][6],int s[][6])
#include "stdafx.h" #include <iostream.h>
{ for (int i = 1; i <= n; i++) {m[i][i] = 0; s[i][i] = 0;}
计算机算法设计与分析【王晓东-电子工业出版
社-2版】-第3章
2021年8月5日星期四
学习要点:
理解动态规划算法的概念。掌握动态规划算法的基本要素（1）最优子结构性质（2）重叠子问题性质掌握设计动态规划算法的步骤。 (1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 (2)递归地定义最优值。 (3)以自底向上的方式计算出最优值。 (4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
矩阵连乘问题
穷举法动态规划
将矩阵连乘积 Ai Ai1...Aj 简记为A[i:j] ，这里i≤j
考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵 Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k<j，则其相应完全
加括号方式为 ( Ai Ai1...Ak )( Ak1Ak2...Aj )
计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上 A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量
上海金融学院信息管理系
矩阵连乘问题
给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1， 2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。

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渐近分析记号的若干性质
• （1）传递性： • f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； • f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； • f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； • f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))；
问题求解(Problem Solving)
理解问题精确解或近似解
选择数据结构算法设计策略
设计算法证明正确性
分析算法设计程序
算法复杂性分析
• 算法复杂性 = 算法所需要的计算机资源 • 算法的时间复杂性T(n)； • 算法的空间复杂性S(n)。 • 其中n是问题的规模（输入大小）。
算法的时间复杂性
行每条指令的时间也是有限的。
程序(Program)
• 程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。 • 程序可以不满足算法的性质(4)。 • 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因
而不是一个算法。 • 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问
题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程序得到输出结果后便终止。
Байду номын сангаас第1章算法概述
学习要点: • 理解算法的概念。 • 理解什么是程序，程序与算法的区别和内在联系。 • 掌握算法的计算复杂性概念。 • 掌握算法渐近复杂性的数学表述。 • 掌握用C++语言描述算法的方法。
算法(Algorithm)
• 算法是指解决问题的一种方法或一个过程。 • 算法是若干指令的有穷序列，满足性质： • (1)输入：有外部提供的量作为算法的输入。 • (2)输出：算法产生至少一个量作为输出。 • (3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。 • (4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执
• （1）最坏情况下的时间复杂性 • Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n } • （2）最好情况下的时间复杂性 • Tmin(n) = min{ T(I) | size(I)=n } • （3）平均情况下的时间复杂性
• Tavg(n) = p(I )T (I ) size(I )n
• f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
• （5）算术运算： • O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) ； • O(f(n))+O(g(n)) = O(f(n)+g(n)) ； • O(f(n))*O(g(n)) = O(f(n)*g(n)) ； • O(cf(n)) = O(f(n)) ； • g(n)= O(f(n)) O(f(n))+O(g(n)) = O(f(n)) 。
• f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))；
• （2）反身性： • f(n)= (f(n))； • f(n)= O(f(n))； • f(n)= (f(n)). • （3）对称性： • f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . • （4）互对称性： • f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
• 等式和不等式中渐近记号O,o, 和的意义是类似的。
渐近分析中函数比较
• f(n)= O(g(n)) a b; • f(n)= (g(n)) a b; • f(n)= (g(n)) a = b; • f(n)= o(g(n)) a < b;
• f(n)= (g(n)) a > b.
• 定理1： (g(n)) = O (g(n)) (g(n))
渐近分析记号在等式和不等式中的意义
• f(n)= (g(n))的确切意义是：f(n) (g(n))。 • 一般情况下，等式和不等式中的渐近记号(g(n))表示
(g(n))中的某个函数。 • 例如：2n2 + 3n + 1 = 2n2 + (n) 表示 • 2n2 +3n +1=2n2 + f(n)，其中f(n) 是(n)中某个函数。
0 cg(n) f(n) }
• （3）非紧上界记号o
• o(g(n)) = { f(n) | 对于任何正常数c>0，存在正数和n0
>0使得对所有n n0有：0 f(n)<cg(n) } • 等价于 f(n) / g(n) 0 ，as n。
• （4）非紧下界记号 • (g(n)) = { f(n) | 对于任何正常数c>0，存在正数和n0
• 规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明：
• 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对所有 n n1，有f1(n) c1f(n) 。
• 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数n2，使得对所有n n2，有g1(n) c2g(n) 。
>0使得对所有n n0有：0 cg(n) < f(n) } • 等价于 f(n) / g(n) ，as n。
• f(n) (g(n)) g(n) o (f(n))
• （5）紧渐近界记号 • (g(n)) = { f(n) | 存在正常数c1,c2和n0使得对所有n n0
有：c1g(n) f(n) c2g(n) }
• 其中I是问题的规模为n的实例，p(I)是实例I出现的概率。
算法渐近复杂性
• T(n) , as n ; • (T(n) - t(n) )/ T(n) 0 ，as n; • t(n)是T(n)的渐近性态，为算法的渐近复杂性。 • 在数学上， t(n)是T(n)的渐近表达式，是T(n)略去低阶
项留下的主项。它比T(n) 简单。
渐近分析的记号
• 在下面的讨论中，对所有n，f(n) 0，g(n) 0。 • （1）渐近上界记号O • O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：
0 f(n) cg(n) } • （2）渐近下界记号 • (g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：